Cote n° 135 · pages 1–58 · Lecture modernisée · Catégories [et Gr-catégories] : notes manuscrites (s.d.), copies de tapuscrit annoté (s.d.), copies de manuscrit annoté (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1974]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–58

Le dossier, ses trois mains, et l'ordre suivi ici

Le dossier ne se lit pas dans l'ordre où il est relié. Les notes des pages 2 à 37 sont d'un travail en cours et sautent d'un sujet à l'autre ; le tapuscrit des pages 39 à 44 et le manuscrit anglais des pages 46 à 58 exposent, eux, une théorie déjà faite. La présente lecture regroupe par argument : elle prend les définitions là où elles sont complètes — dans le manuscrit anglais — puis le théorème de classification, puis ses spécialisations, puis les constructions qui en dépendent, et rapproche donc régulièrement des pages éloignées les unes des autres. Le repère de page en marge de chaque section dit d'où elle est tirée.¹

Trois conventions sont fixées ici pour tout le dossier, parce qu'il en emploie plusieurs. Les invariants sont notés \(\pi_{0}\) et \(\pi_{1}\), comme dans les notes et le tapuscrit, et non \(\Pi_{0}\), \(\Pi_{1}\) comme dans le manuscrit anglais. L'homomorphisme qui mesure le défaut de stricte commutativité est noté \(s\), comme dans le tapuscrit ; les notes l'écrivent \(\sigma\), et parfois \(\Sigma_{\varphi}\) lorsqu'il provient d'une forme bilinéaire \(\varphi\). Enfin la contrainte d'associativité est prise dans le sens usuel aujourd'hui, \(a_{X,Y,Z} : (X \otimes Y) \otimes Z \to X \otimes (Y \otimes Z)\), alors que le manuscrit anglais l'écrit dans l'autre sens.²

Le vocabulaire du dossier est conservé. Une Gr-catégorie est ce qu'on appelle aujourd'hui un 2-groupe, ou groupe catégorique ; une catégorie de Picard est un groupoïde de Picard, c'est-à-dire un 2-groupe symétrique. On garde les premiers noms, qui sont ceux du dossier et de son titre, en rappelant les seconds là où ils servent à chercher.

46–50

Une Gr-catégorie : un groupe dont l'égalité est devenue un isomorphisme

Le manuscrit anglais des pages 46 à 50 est le seul endroit du dossier où les définitions soient données au complet ; on les prend là.³

Une \(\otimes\)-catégorie est une catégorie \(C\) munie d'un bifoncteur covariant \(\otimes : C \times C \to C\). Une contrainte d'associativité est un isomorphisme de trifoncteurs \[ a_{X,Y,Z} : (X \otimes Y) \otimes Z \xrightarrow{\ \sim\ } X \otimes (Y \otimes Z) \] satisfaisant l'axiome du pentagone : pour tous \(X, Y, Z, T\), le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& ((X \otimes Y) \otimes Z) \otimes T
\arrow[dl, "a_{X \otimes Y{,}Z{,}T}"'] \arrow[dr, "a_{X{,}Y{,}Z} \otimes \mathrm{id}_{T}"] & \\
(X \otimes Y) \otimes (Z \otimes T) \arrow[d, "a_{X{,}Y{,}Z \otimes T}"'] & &
(X \otimes (Y \otimes Z)) \otimes T \arrow[d, "a_{X{,}Y \otimes Z{,}T}"] \\
X \otimes (Y \otimes (Z \otimes T)) & &
X \otimes ((Y \otimes Z) \otimes T) \arrow[ll, "\mathrm{id}_{X} \otimes a_{Y{,}Z{,}T}"]
\end{tikzcd}

commute. Une contrainte de commutativité est un isomorphisme de bifoncteurs \(c_{X,Y} : X \otimes Y \xrightarrow{\sim} Y \otimes X\) tel que \(c_{Y,X} \circ c_{X,Y} = \mathrm{id}_{X \otimes Y}\) ; elle est dite stricte si \(c_{X,X} = \mathrm{id}_{X \otimes X}\) pour tout \(X\). Une contrainte d'unité est un triplet \((1, g, d)\) où \(1\) est un objet et \(g_{X} : X \xrightarrow{\sim} 1 \otimes X\), \(d_{X} : X \xrightarrow{\sim} X \otimes 1\) sont des isomorphismes naturels avec \(g_{1} = d_{1}\). La compatibilité de \(a\) et \(c\) est l'axiome de l'hexagone, celle de \(a\) et de l'unité l'axiome du triangle ; une \(\otimes\)-catégorie munie de \(a\) et de l'unité est dite AU, munie des trois ACU.

Un \(\otimes\)-foncteur \(C \to C'\) est un couple \((F, \check{F})\) formé d'un foncteur \(F\) et d'un isomorphisme de bifoncteurs \(\check{F}_{X,Y} : FX \otimes FY \to F(X \otimes Y)\) ; il est dit associatif, commutatif, unifère selon qu'il respecte \(a\), \(c\), l'unité — l'isomorphisme \(\hat{F} : 1' \simeq F1\) d'un foncteur unifère étant unique lorsqu'il existe. Un \(\otimes\)-morphisme \((F,\check{F}) \to (G,\check{G})\) est un morphisme de foncteurs \(\lambda\) compatible aux \(\check{F}\), \(\check{G}\).

Définition. Une Gr-catégorie est une \(\otimes\)-catégorie AU dont la catégorie sous-jacente est un groupoïde et dont tout objet est inversible.⁴ Une catégorie de Picard est une Gr-catégorie munie d'une contrainte de commutativité compatible avec sa contrainte d'associativité ; elle est stricte si cette contrainte l'est. Une Gr-catégorie est donc, mot pour mot, un groupe où l'égalité a été remplacée par l'isomorphisme, et une catégorie de Picard un groupe commutatif au même sens.

À une Gr-catégorie \(C\) on attache trois invariants.

1. Le groupe \(\pi_{0}(C)\) des classes d'isomorphisme d'objets, la loi étant induite par \(\otimes\).
2. Le groupe \(\pi_{1}(C) = \mathrm{Aut}(1_{C})\), qui est commutatif.⁵
3. Une action de \(\pi_{0}(C)\) sur \(\pi_{1}(C)\), qui en fait un \(\pi_{0}(C)\)-module à gauche. Pour \(X\) un objet, les deux isomorphismes \(\gamma_{X} : u \mapsto u \otimes \mathrm{id}_{X}\) et \(\delta_{X} : u \mapsto \mathrm{id}_{X} \otimes u\) de \(\mathrm{Aut}(1)\) sur \(\mathrm{Aut}(X)\) ne coïncident pas en général, et l'action de la classe \(s\) de \(X\) est \(s \cdot u = \delta_{X}^{-1}\gamma_{X}(u)\).

Un épinglage de type \((M,N)\) — \(M\) un groupe, \(N\) un \(M\)-module à gauche — est un couple d'isomorphismes \(\varepsilon_{0} : M \xrightarrow{\sim} \pi_{0}(C)\), \(\varepsilon_{1} : N \xrightarrow{\sim} \pi_{1}(C)\) compatibles aux actions.⁶ Une flèche entre Gr-catégories épinglées de même type est un \(\otimes\)-foncteur associatif compatible aux épinglages ; une telle flèche est automatiquement une \(\otimes\)-équivalence, de sorte que classer ces objets à équivalence près, c'est compter les composantes connexes de la catégorie qu'ils forment.

40–41

Le théorème de classification

Soit \(C\) une Gr-catégorie d'invariants \(\pi_{0}\), \(\pi_{1}\). Choisissons pour chaque \(a \in \pi_{0}\) un représentant \(L_{a} \in \mathrm{Ob}\,C\), et pour chaque couple un isomorphisme \(\phi_{a,b} : L_{a} \otimes L_{b} \simeq L_{ab}\). Pour trois éléments \(a\), \(b\), \(c\), la contrainte d'associativité \[ (L_{a} \otimes L_{b}) \otimes L_{c} \xrightarrow{\ \sim\ } L_{a} \otimes (L_{b} \otimes L_{c}), \] transportée par \(\phi_{a,b}\), \(\phi_{ab,c}\), \(\phi_{b,c}\) et \(\phi_{a,bc}\), devient un automorphisme de \(L_{abc}\), c'est-à-dire la tensorisation par un élément bien déterminé \(f(a,b,c) \in \pi_{1}\). Les \(\phi\) étant choisis, la donnée de la contrainte d'associativité équivaut donc à celle d'une application \[ f : \pi_{0} \times \pi_{0} \times \pi_{0} \longrightarrow \pi_{1}, \] et l'axiome du pentagone dit exactement que \(f\) est un 3-cocycle de \(\pi_{0}\) à valeurs dans \(\pi_{1}\). L'indétermination sur le système \((\phi_{a,b})\) est celle d'une 2-cochaîne arbitraire \(g\), et remplacer \(\phi\) par \(\phi g\) remplace \(f\) par \(f + \delta g\). Il reste une classe bien définie \[ k(C) \in H^{3}\bigl(\pi_{0}(C),\, \pi_{1}(C)\bigr). \]

Théorème (Sính). L'application \(C \mapsto k(C)\) est une bijection de l'ensemble des classes d'équivalence de Gr-catégories épinglées de type \((M,N)\) sur \(H^{3}(M,N)\). Toute classe se produit, et une Gr-catégorie est donc déterminée, à équivalence près, par le triplet formé du groupe \(M\), du \(M\)-module \(N\) et d'une classe de cohomologie arbitraire dans \(H^{3}(M,N)\).⁷

La loi de groupe de \(H^{3}\) a de plus une interprétation géométrique, à la Baer : elle correspond à une opération sur les Gr-catégories elles-mêmes.⁸

39–41

Ce que la classe \(k(C)\) redonne dans les exemples

Le tapuscrit accompagne le théorème de quatre exemples, et c'est là qu'on voit ce qu'il vaut : deux d'entre eux redonnent des invariants classiques, les deux autres en produisent de nouveaux.

Les lacets d'un espace pointé. Soit \((X,x)\) un espace topologique pointé, \(C\) la catégorie dont les objets sont les lacets de \(X\) en \(x\) et les morphismes les classes d'homotopie d'homotopies entre lacets, \(\otimes\) étant la composition des lacets — associative seulement à homotopie près, ce qui est tout le point. Alors \(\pi_{0}(C) = \pi_{1}(X,x)\) et \(\pi_{1}(C) = \pi_{2}(X,x)\), et \(k(C)\) est le premier invariant de Postnikov de \(X\), dans \(H^{3}(\pi_{1}(X), \pi_{2}(X))\).⁹

Les torseurs sous un faisceau abélien. Si \(F\) est un faisceau abélien sur un topos \(X\), la catégorie des torseurs sous \(F\) munie de la composition de Baer est une catégorie de Picard stricte, d'invariants \(\pi_{0} = H^{1}(X,F)\) et \(\pi_{1} = H^{0}(X,F)\), et \(k(C) = 0\). Les Modules inversibles sur un topos annelé \((X, O_{X})\) en sont le cas \(F = O_{X}^{*}\).

Les auto-équivalences d'une catégorie. Si \(A\) est une catégorie, la sous-catégorie pleine de \(\mathrm{Hom}(A,A)\) formée des équivalences de \(A\) avec elle-même, munie de la composition, est une Gr-catégorie ; \(\pi_{0}\) est le groupe des classes d'isomorphisme d'auto-équivalences, \(\pi_{1}\) le groupe des automorphismes du foncteur identique. Ici \(k(C)\) « semble nouveau », dit le tapuscrit, y compris lorsque \(A\) est la catégorie des bi-Modules inversibles sous un Anneau \(O_{X}\). On peut prendre pour \(A\), plus généralement, un objet d'une 2-catégorie quelconque.

Les bitorseurs, et l'invariant de Mac Lane. Soit \(F\) un faisceau en groupes, non nécessairement commutatifs. Prenant pour \(A\) le champ des \(F\)-torseurs à droite, la Gr-catégorie de ses auto-équivalences s'identifie à celle des bitorseurs sous \(F\) — les faisceaux munis de deux actions de \(F\) qui commutent et font chacune de \(P\) un torseur — la loi étant la composition de Baer. Ses invariants sont \[ \pi_{0} = \mathrm{Autext}(F), \qquad \pi_{1} = Z(F), \] le groupe des automorphismes extérieurs et le centre.¹⁰ Et \(k(C)\) n'est autre que l'invariant classique de Mac Lane, l'obstruction à réaliser par une extension de groupes le « noyau » que \(F\) définit.

41–42

Le cas commutatif : les catégories de Picard

Soit \(C\) une catégorie de Picard. Comme Gr-catégorie elle a ses invariants \(\pi_{0}\), \(\pi_{1}\), mais \(\pi_{0}\) est ici commutatif et agit trivialement sur \(\pi_{1}\) ; c'est une condition nécessaire pour qu'une Gr-catégorie porte une structure de Picard. À tout objet \(X\) on associe la symétrie de \(X \otimes X\), qui est un automorphisme de \(X \otimes X\), donc la tensorisation par un élément \(s(X)\) de \(\pi_{1}(C)\), et l'on obtient un homomorphisme canonique \[ s = s(C) : \pi_{0} \longrightarrow {}_{2}\pi_{1}, \] où \({}_{2}\pi_{1}\) est le sous-groupe des éléments annulés par \(2\).

Théorème (Sính). Une catégorie de Picard est déterminée, à équivalence non canonique de catégories de Picard près, par la donnée des groupes commutatifs \(\pi_{0}\) et \(\pi_{1}\) et de l'homomorphisme \(s : \pi_{0} \to {}_{2}\pi_{1}\). Elle est stricte si et seulement si \(s = 0\), et deux catégories de Picard strictes de mêmes invariants \(\pi_{0}\), \(\pi_{1}\) sont équivalentes.¹¹

Une conséquence mérite d'être isolée, parce qu'elle se perd facilement : une équivalence de Gr-catégories entre deux catégories de Picard n'est pas nécessairement compatible avec les contraintes de commutativité, donc n'est pas nécessairement une équivalence de catégories de Picard. La classification « au sens Picard » est strictement plus fine que celle des Gr-catégories.

11–12

La contrainte de commutativité comme torseur

Les notes des pages 11 et 12 disent d'où vient l'invariant \(s\), et la réponse est qu'il est le seul possible. Fixons la contrainte d'associativité et demandons quelles contraintes de commutativité lui sont compatibles. Si \(c\) et \(c'\) en sont deux, leur différence est une application \(\varphi : \pi_{0} \times \pi_{0} \to \pi_{1}\) ; l'axiome de l'hexagone force \(\varphi\) à être bilinéaire, et la relation \(c_{Y,X}c_{X,Y} = \mathrm{id}\) force \(\varphi(x,y) + \varphi(y,x) = 0\). Réciproquement toute telle \(\varphi\) tord \(c\) en une contrainte compatible. Donc :

• les structures de Picard sur une Gr-catégorie donnée forment un torseur sous le groupe \(\mathrm{Bil}^{\mathrm{as}}(\pi_{0}, \pi_{0}; \pi_{1})\) des applications bilinéaires antisymétriques ;
• les structures de Picard strictes en forment un sous-torseur sous le sous-groupe \(\mathrm{Bil}^{\mathrm{alt}}(\pi_{0}, \pi_{0}; \pi_{1})\) des applications bilinéaires alternées, celles pour lesquelles \(\varphi(x,x) = 0\).¹²

L'application \(\varphi \mapsto (x \mapsto \varphi(x,x))\) envoie \(\mathrm{Bil}^{\mathrm{as}}\) dans \(\mathrm{Hom}(\pi_{0}, {}_{2}\pi_{1})\), de noyau \(\mathrm{Bil}^{\mathrm{alt}}\), et c'est elle qui fait varier \(s\). Tout tient donc à savoir si elle est surjective. Elle l'est :

Lemme (page 4). Soient \(M\), \(N\) deux groupes commutatifs et \(\Sigma : M \to {}_{2}N\) un homomorphisme. Il existe une application bilinéaire antisymétrique \(\varphi : M \times M \to N\) telle que \(\varphi(x,x) = \Sigma(x)\) pour tout \(x\).

En effet \(\Sigma\) est à valeurs dans \({}_{2}N\) et annule donc \(2M\) : il se factorise en une application \(\mathbf{F}_{2}\)-linéaire \(M/2M \to {}_{2}N\). Choisissons une base \((e_{i})_{i \in I}\) du \(\mathbf{F}_{2}\)-espace vectoriel \(M/2M\), posons \(n_{i} = \Sigma(e_{i})\), et \[ \varphi(e_{i}, e_{j}) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq j,\\ n_{i} & \text{si } i = j, \end{cases} \] prolongée par bilinéarité. Alors \(\varphi(x,y) + \varphi(y,x) = 2\varphi(x,y) = 0\) puisque les valeurs sont dans \({}_{2}N\), et \(\varphi(x,x) = \sum_{i} x_{i}^{2} n_{i} = \sum_{i} x_{i} n_{i} = \Sigma(x)\) puisque \(x_{i}^{2} = x_{i}\) dans \(\mathbf{F}_{2}\).¹³

Corollaire (page 4). Toute catégorie de Picard devient stricte en changeant sa seule contrainte de commutativité. En particulier, comme Gr-catégorie elle est splittée : \(k(C) = 0\) pour toute catégorie de Picard.¹⁴

D'où l'énoncé de la page 12, où il faut rétablir deux hypothèses que la page laisse implicites : une Gr-catégorie \(C\) admet une structure de catégorie de Picard si et seulement si \(\pi_{0}(C)\) est commutatif, agit trivialement sur \(\pi_{1}(C)\), et \(k(C) = 0\) ; et elle admet alors aussi une structure de Picard stricte.¹⁵

2–4

Multiplier par un groupe, et tordre

Les pages 2 et 4 fabriquent des catégories de Picard à partir d'une donnée bilinéaire, et c'est la construction dont le lemme ci-dessus est le moteur.

Soit \(C\) une Gr-catégorie et \(\Gamma\) un groupe. On regarde \(\Gamma\) comme catégorie discrète d'ensemble sous-jacent \(\Gamma\), la loi du groupe définissant un \(\otimes\) d'associativité stricte, et l'on forme \(\Gamma \times C\). On a \[ \pi_{0}(\Gamma \times C) = \Gamma \times \pi_{0}(C) \xrightarrow{\ p\ } \pi_{0}(C), \qquad \pi_{1}(\Gamma \times C) = \pi_{1}(C), \qquad k_{\Gamma \times C} = p^{*}(k_{C}). \] Si \(\Gamma\) est commutatif il porte une contrainte de commutativité, et si de plus \(C\) est de Picard, \(\Gamma \times C\) l'est.

Donnons-nous alors une application bilinéaire antisymétrique \(\varphi : \Gamma \times \Gamma \to \pi_{1}(C)\). Elle se relève en \(\overline{\varphi}\bigl((\alpha,x),(\beta,y)\bigr) = \varphi(\alpha,\beta)\) sur \(\pi_{0}(\Gamma \times C)\), laquelle est encore bilinéaire antisymétrique, et tord la contrainte de commutativité de \(\Gamma \times C\). La catégorie de Picard obtenue est notée \(\Gamma \times^{\varphi} C\) ; elle a les mêmes \(\pi_{0}\) et \(\pi_{1}\) que \(\Gamma \times C\), et diffère d'elle exactement par \(s\), qui a été augmenté de \(\alpha \mapsto \varphi(\alpha,\alpha)\).

32–32

Les droites graduées, ou le plus petit exemple non strict

La page 32 donne l'exemple, sous le titre « catégorie de Picard-type non stricte ». Soit \(A\) un anneau commutatif unitaire avec \(2 \cdot 1_{A} \neq 0\). Les objets de \(C\) sont les \(A\)-modules gradués modulo \(2\) munis d'une base formée d'un élément, mais donnée seulement au signe près — soit deux éléments échangés par \(x \mapsto -x\), formant chacun une base. Les morphismes sont les homomorphismes gradués \(\varphi : L \to M\) envoyant la base sur la base ; le produit est le produit tensoriel gradué, avec pour base l'ensemble des \(x \otimes y\) ; la contrainte d'associativité est l'habituelle ; et la contrainte de commutativité est la règle de Koszul.

On a \(\pi_{0}(C) = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), le degré, et \(\pi_{1}(C) = \{\pm 1\} \cong \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) — c'est ici que sert l'hypothèse \(2 \cdot 1_{A} \neq 0\), sans laquelle \(-1 = 1\) et \(\pi_{1}\) serait nul.¹⁶ Et \(s\) est l'identité de \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) : une droite de degré impair, échangée avec elle-même, donne \(-1\). C'est donc, par le théorème de la page 42, la plus petite catégorie de Picard non stricte, et à équivalence près la seule de ces invariants.

La page ajoute une « description alternative » : \(C = (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) \times C_{0}\), le premier facteur catégorie discrète et le second la catégorie des torseurs sous \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\). Cette description est exacte comme description de la catégorie et de son \(\otimes\), mais elle ne rend pas la structure de Picard : le produit \(\Gamma \times C_{0}\) est strict, et l'exemple est sa torsion \(\Gamma \times^{\varphi} C_{0}\) au sens de la page 4, avec \(\Gamma = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) et \(\varphi\) l'accouplement de Koszul.¹⁷

Le même exemple avec une graduation par \(\mathbf{Z}\) au lieu de \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) a pour invariants \(\pi_{0} = \mathbf{Z}\), \(\pi_{1} = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) et \(s\) la réduction modulo \(2\) ; en langue d'aujourd'hui, c'est le tronqué en degré \(1\) du spectre des sphères, et \(s\) est la multiplication par \(\eta\). On le retrouvera plus bas comme enveloppe de Picard des \(\mathbf{Z}\)-modules projectifs de type fini.

50–52

La résolution explicite de Sính

Le manuscrit anglais donne, aux pages 51 et 52, la forme calculatoire de la classification, et c'est le seul endroit du dossier où elle soit écrite. On y introduit deux complexes de groupes abéliens libres au-dessus de \(M\), \[ L_{\cdot}(M) : L_{3}(M) \to L_{2}(M) \to L_{1}(M) \to L_{0}(M) \to M, \] et de même \({}'L_{\cdot}(M)\), avec \[ L_{0} = {}'L_{0} = \mathbf{Z}[M], \qquad L_{1} = {}'L_{1} = \mathbf{Z}[M \times M], \qquad L_{2} = {}'L_{2} = \mathbf{Z}[M^{3}] + \mathbf{Z}[M^{2}], \] \[ {}'L_{3} = \mathbf{Z}[M^{4}] + \mathbf{Z}[M^{3}] + \mathbf{Z}[M^{2}], \qquad L_{3} = {}'L_{3} + \mathbf{Z}[M], \] les différentielles étant celles de la barre, plus \(d_{2}[x,y] = [x,y] - [y,x]\), \(d_{3}[x,y] = [x,y] + [y,x]\), et — dans \(L_{\cdot}\) seulement — \(d_{3}[x] = [x,x]\). On obtient une bijection canonique entre les classes d'équivalence de catégories de Picard épinglées de type \((M,N)\) et \(H^{2}\bigl(\mathrm{Hom}({}'L_{\cdot}(M), N)\bigr)\) ; et l'exactitude de \(L_{\cdot}(M)\) donne la trivialité de la classification des strictes.

Les deux complexes ne diffèrent que par le générateur \([x]\) en degré \(3\), de différentielle \([x,x]\), et ce générateur est la strictesse : imposer \(c_{X,X} = \mathrm{id}\), c'est annuler la diagonale. D'où la lecture moderne des deux énoncés. \(L_{\cdot}(M)\) est une résolution libre de \(M\), donc \(H^{2}(\mathrm{Hom}(L_{\cdot}(M),N)) = \mathrm{Ext}^{2}_{\mathbf{Z}}(M,N)\), qui est nul parce qu'un groupe abélien a une résolution libre de longueur \(1\) : les catégories de Picard strictes de type \((M,N)\) sont donc toutes équivalentes, non par accident mais parce que \(\mathbf{Z}\) est de dimension homologique \(1\). Et \(H^{2}(\mathrm{Hom}({}'L_{\cdot}(M),N)) \cong \mathrm{Hom}(M, {}_{2}N)\), ce que les notes énoncent directement page 11. On verra plus bas, page 17, ce que devient la première de ces deux vérités lorsqu'on quitte le point pour un topos : \(\mathrm{Ext}^{2}\) n'y est plus nul, et il apparaît là où on l'attend.¹⁸

7–10

La face géométrique : représentations, 2-gerbes, noyaux

Les pages 7 à 10 donnent de la classification une seconde lecture, où la classe \(k(C)\) n'est plus le résultat d'un calcul de cocycles mais la classe d'un objet géométrique. Elles procèdent en trois temps.

Représentations d'un ensemble simplicial

Soient \(K\) un ensemble simplicial et \(P\) une \(\otimes\)-catégorie AU. Une représentation \(\Lambda\) de \(K\) dans \(P\) est la donnée d'un objet \(\Lambda(u) \in P\) pour chaque \(u \in K_{1}\) ; pour chaque \(\sigma \in K_{2}\), d'un isomorphisme \[ \Lambda(d_{2}\sigma) \otimes \Lambda(d_{0}\sigma) \simeq \Lambda(d_{1}\sigma) ; \] et pour chaque \(\Delta \in K_{3}\), de la condition de cohérence qui fait commuter le pentagone associé.¹⁹

La composée \(K_{1} \to P \to \pi_{0}(P) = G\) définit un homomorphisme \(\alpha\), d'où \(\overline{\alpha} : K_{1} \to \mathrm{Aut}(\pi_{1}(P))\) et un système local \(\overline{M} = (M, \overline{\alpha})\) sur \(K\), où \(M = \pi_{1}(P)\). Le problème est de classer, \(K\), \(P\) et \(\alpha\) étant fixés, les représentations correspondantes ; la réponse annoncée est qu'elles forment une 2-catégorie qui est un 2-torseur sous une 2-catégorie de Picard stricte d'invariants \[ H^{2}(K, \overline{M}), \qquad H^{1}(K, \overline{M}), \qquad H^{0}(K, \overline{M}), \] contravariante en \(K\) et covariante en \(P\). On la note \(\mathrm{Rep}(K; P, \alpha)\). Les pages 20 à 23, plus bas, démontrent cet énoncé dans le cas qui sert : celui où \(K\) est le nerf d'une catégorie.

La 2-gerbe attachée à une Gr-catégorie

Soit \(P\) une Gr-catégorie d'invariants \(G = \pi_{0}(P)\) et \(M = \pi_{1}(P)\). On lui associe un objet sur le topos classifiant \(B_{G}\) : à tout \(G\)-ensemble \(X\), on attache le nerf \(\mathcal{X}\) du groupoïde d'action — dont les objets sont les points de \(X\) et les flèches \(G \times X\) — muni de \(\alpha_{X} : \mathrm{Fl}\,\mathcal{X} = G \times X \to G\) la projection, et l'on pose \[ \widetilde{P}(X) = \mathrm{Rep}(\mathcal{X}; P, \alpha_{X}). \] C'est contravariant en \(X\), c'est un 2-champ, et c'est une 2-gerbe liée par le faisceau \(M_{B_{G}}\) défini par l'action de \(G\) sur \(M\).

Énoncé (page 8). \(G\) et le \(G\)-module \(M\) étant fixés, cette construction est une équivalence entre la 3-catégorie des Gr-catégories épinglées par \((G,M)\) et la 3-catégorie des 2-gerbes sur \(B_{G}\) liées par \(M_{B_{G}}\).²⁰

Sur les morphismes : si \(u : G \to G'\) et \(v : M \to M'\) sont compatibles aux actions, les \(\otimes\)-homomorphismes \(P \to P'\) au-dessus de \((u,v)\) forment une 2-catégorie, qui est un 2-pseudo-torseur sous une 2-catégorie de Picard d'invariants \(H^{2}(G,M')\), \(H^{1}(G,M')\), \(H^{0}(G,M')\) ; ce 2-pseudo-torseur est équivalent à celui des homomorphismes de 2-gerbes correspondants, et l'obstruction à ce qu'il ait un objet est dans \(H^{3}(G,M')\) — c'est la différence des images canoniques des classes de \(P\) et de \(P'\).

Tout ceci se transporte aux Gr-champs sur un topos \(S\) : si \(G\) est un groupe sur \(S\) et \(M\) un \(G\)-Module sur \(S\), on interprète tout en termes de 2-gerbes relatives sur \(B_{G}\) au-dessus de \(S\), c'est-à-dire de 2-gerbes sur \(B_{G}\) trivialisées sur \(S\) par \(S \simeq B_{e} \to B_{G}\). La page note que l'étage inférieur du même dictionnaire — les 1-gerbes relatives sur \(B_{G}\) — répond aux extensions de \(G\) par \(M\), et que le cas d'un \(M\) non commutatif reste à traiter.

Les noyaux de Mac Lane

La page 10 boucle avec la théorie classique. Soit \(F\) un groupe et \[ \varphi : G \longrightarrow \mathrm{Autext}(F) \] un homomorphisme — se donner \(\varphi\), c'est se donner un lien sur \(B_{G}\). On lui associe une Gr-catégorie \(P(\varphi)\) d'invariants \(G\) et \(M = Z(F)\), comme image inverse par \(\varphi\) de la Gr-catégorie \(P(F)\) des bitorseurs sous \(F\), dont on a vu que les invariants sont \(\mathrm{Autext}(F)\) et \(Z(F)\). Les trivialisations de \(P(\varphi)\) correspondent alors aux réalisations de \(\varphi\) par une extension de \(G\) par \(F\) subordonnée à \(\varphi\), et l'on retrouve ainsi l'obstruction de Mac Lane dans \(H^{3}(G,M)\).

La page pose ensuite une question qu'il faut lire pour ce qu'elle est : que toute classe de \(H^{3}(G,M)\) s'obtienne à partir d'un noyau ne relève pas, dit-elle, d'une logique générale. Le fait, lui, est un théorème d'Eilenberg et Mac Lane ; ce que la page demande n'est pas le fait mais la raison.²¹

18–19

Les splittages, et la Gr-catégorie \(C_{0}\)

Reste à dire ce que sont les trivialisations. Soit \(C\) une Gr-catégorie d'invariants \(G\), \(M\). On note \(C_{0}\) la Gr-catégorie splittée de mêmes invariants : \[ \mathrm{Ob}\,C_{0} = G, \qquad \mathrm{Fl}\,C_{0} = G \times M \rightrightarrows G, \qquad s = b = \mathrm{pr}_{1}, \] \[ (g,m) \cdot (g,m') = (g, m+m'), \qquad (g,m) \otimes (g',m') = (gg',\, m + g \cdot m'), \qquad a_{g,g',g''} = \mathrm{id}. \] Un splittage de \(C\) est une équivalence de Gr-catégories épinglées \(C_{0} \to C\), ce qui revient à la donnée d'un système \(L : G \to \mathrm{Ob}\,C\) et \(\varphi : G \times G \to \mathrm{Fl}\,C\) comme au paragraphe de la classification.²²

Les splittages de \(C\) forment une catégorie, qui est un 1-torseur sous la Gr-catégorie \(\mathrm{Aut}(C_{0})\) des auto-équivalences épinglées de \(C_{0}\) ; elle est non vide exactement quand \(k(C) = 0\). Et les invariants de \(\mathrm{Aut}(C_{0})\) se lisent tout de suite :

• ses objets sont les 2-cochaînes \(\varphi : G \times G \to M\) qui sont des 2-cocycles — la contrainte d'associativité de \(C_{0}\) étant triviale, dire que \((\mathrm{id}, \varphi)\) est un \(\otimes\)-foncteur, c'est dire \(\delta\varphi = 0\) ;²³
• ses flèches \(\varphi \to \psi\) sont les 1-cochaînes de cobord \(\psi - \varphi\) ;
• d'où \(\pi_{0}(\mathrm{Aut}\,C_{0}) = H^{2}(G,M)\) et \(\pi_{1}(\mathrm{Aut}\,C_{0}) = Z^{1}(G,M)\).

L'ensemble des splittages à isomorphisme près est donc un torseur sous \(H^{2}(G,M)\), et chacun a \(Z^{1}(G,M)\) pour groupe d'automorphismes : c'est, sous le dictionnaire ci-dessus, la description usuelle de l'espace des trivialisations d'une 2-gerbe.

La fin de la page 19 fait la même chose au-dessus d'un \(G\)-ensemble \(X\) : on y construit une 2-catégorie \(S(C,X)\) dont les 0-objets sont les systèmes associant un \(L(x,g) \in \mathrm{Ob}\,C\) à chaque couple \((x,g)\) et un isomorphisme \[ L(x,g) \otimes L(gx, g') \simeq L(x, g'g) \] à chaque triplet. C'est mot pour mot \(\mathrm{Rep}(\mathcal{X}; C, \alpha_{X})\) de la page 8, écrit en clair : la composée de \(x \xrightarrow{g} gx \xrightarrow{g'} g'gx\) est \(x \xrightarrow{g'g} g'gx\), et l'isomorphisme est celui d'une représentation du nerf du groupoïde d'action.

20–23

Extensions d'une catégorie par une Gr-catégorie

Les pages 20 à 23 sont le calcul qui soutient l'énoncé de la page 7. On y remplace le groupe par une catégorie quelconque.

Définition (page 20). Soient \(\Gamma\) une catégorie et \(M\) un groupe. Une extension de \(\Gamma\) par \(M\) est la donnée, pour toute flèche \(u\) de \(\Gamma\), d'un \(M\)-bitorseur \(P_{u}\) ; pour tout couple de flèches composables, d'un isomorphisme \(\varphi_{u,v} : P_{u} \otimes P_{v} \simeq P_{uv}\) ; et de la commutativité, pour trois flèches composables, du pentagone reliant les deux parenthésages.

Le NB de la page dit ce qui compte : au lieu de \(M\) on peut se donner directement une Gr-catégorie \(\widetilde{P}\) — celle des \(M\)-bitorseurs, par exemple — et c'est la bonne généralité. Les invariants sont alors un homomorphisme \(\alpha : \mathrm{Fl}(\Gamma) \to \pi_{0}(\widetilde{P})\), qui vaut \(\mathrm{Autext}(M)\) dans le cas des bitorseurs, et une classe \(c \in H^{2}(\Gamma; \widetilde{P})\) — un \(H^{2}\) non commutatif, en général dépourvu d'élément neutre.²⁴

Une 2-extension remplace les bitorseurs \(P_{u}\) par des \(M\)-gerbes, les isomorphismes \(\varphi_{u,v}\) par des équivalences, et la commutativité du pentagone par un isomorphisme \(\alpha_{u,v,w}\) entre les deux composés. Il faut alors, et alors seulement, un axiome de plus, pour quatre flèches composables : que tous les isomorphismes \[ \bigl(\cdots((P_{u_{1}} \otimes P_{u_{2}}) \otimes P_{u_{3}}) \cdots\bigr) \longrightarrow P_{u_{1}u_{2}\cdots u_{n}} \] déduits des \(\varphi\) et de l'associativité forment un système transitif.²⁵

La 2-catégorie des \(\alpha\)-extensions

Soient \(\Gamma\) une catégorie, \(P\) une Gr-catégorie, et \(\alpha : \mathrm{Fl}(\Gamma) \to \pi_{0}(P)\) un homomorphisme, de composé \(\overline{\alpha}\) dans \(\mathrm{Aut}(\pi_{1}(P))\). La page 23 décrit la 2-catégorie des extensions de \(\Gamma\) par \(P\) subordonnées à \(\alpha\) :

• ses 0-objets sont ces extensions ;
• ses 1-objets \(\{P_{u}, \varphi_{u,v}\} \to \{P'_{u}, \varphi'_{u,v}\}\) sont les systèmes d'homomorphismes \(\lambda(u) : P_{u} \to P'_{u}\) faisant commuter le carré

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
P_u \otimes P_v \arrow[r, "\varphi_{u{,}v}"]
\arrow[d, "\lambda(u) \otimes \lambda(v)"'] & P_{uv} \arrow[d, "\lambda(uv)"] \\
P'_u \otimes P'_v \arrow[r, "\varphi'_{u{,}v}"'] & P'_{uv}
\end{tikzcd}

• et ses 2-objets, de \(\lambda\) à \(\mu\), sont les 0-cochaînes \(m\) sur \(\Gamma\) à valeurs dans \(\pi_{1}(P)\) dont le cobord réalise le passage de l'un à l'autre.

Le calcul qui donne l'énoncé est celui-ci. Si \(\{\lambda(u)\}\) est un 1-objet, tous les autres sont de la forme \(\lambda(u) \otimes f(u)\) avec \(f : \mathrm{Fl}\,\Gamma \to \pi_{1}(P)\) vérifiant \[ f(uv) = f(u) \cdot \bigl(\alpha(u) \cdot f(v)\bigr), \] c'est-à-dire \(f \in Z^{1}\bigl(\Gamma, (\pi_{1}(P), \overline{\alpha})\bigr)\) ; l'ensemble des 1-objets est donc un pseudo-torseur sous \(Z^{1}\). Et \(\mu = \lambda \otimes f\) est reliée à \(\lambda\) par les \(m\) tels que \(f = \delta m\), où \((\delta m)(u) = m(y) - \alpha(u) \cdot m(x)\) pour \(u : x \to y\).²⁶

En passant aux classes d'isomorphisme, on obtient exactement ce que la page 7 annonçait : la 2-catégorie des \(\alpha\)-extensions est un 2-pseudo-torseur d'invariants \(H^{2}\), \(H^{1}\), \(H^{0}\) de \(\Gamma\) à valeurs dans le système local \((\pi_{1}(P), \overline{\alpha})\). Une extension de \(\Gamma\) par \(P\) subordonnée à \(\alpha\) est une représentation du nerf de \(\Gamma\) dans \(P\) ; les deux énoncés sont le même.²⁷

13–17

Le passage au topos : les champs de Picard

Les pages 13 à 17 refont toute la théorie commutative au-dessus d'un topos \(S\), où \(\pi_{0}\) et \(\pi_{1}\) deviennent des faisceaux abéliens \(M\), \(N\). Le cadre est celui de Deligne : les champs de Picard stricts sur \(S\) correspondent aux complexes de la catégorie dérivée \(D(\mathrm{Ab}(S))\) concentrés en deux degrés, et leurs \(\mathrm{Hom}\) aux \(R\mathrm{Hom}\) tronqués. Ce que le dossier ajoute est le cas non strict, où le triplet \((M, N, \sigma : M \to {}_{2}N)\) remplace le couple.

Les foncteurs. Soient \(P\), \(P'\) des champs de Picard épinglés par \((M,N,\sigma)\) et \((M',N',\sigma')\), et un homomorphisme de triplets fixé. Le champ des \(\otimes\)-foncteurs AUC \(P \to P'\) qui l'induisent est un 1-torseur sous le champ de Picard strict d'invariants \(\mathrm{Ext}^{1}(M,N')\) et \(\mathrm{Hom}(M,N')\), obtenu par troncature de \(R\mathrm{Hom}(M,N')\). Trois conséquences, que la page tire successivement :

• deux foncteurs induisant le même homomorphisme de triplets ne sont pas nécessairement isomorphes ; ils le sont si \(\mathrm{Ext}^{1}(S; M,N') = 0\), et localement isomorphes si le faisceau \(\underline{\mathrm{Ext}}^{1}(M,N')\) est nul ;
• tout homomorphisme de triplets n'est pas nécessairement induit ; l'obstruction est dans \(\mathrm{Ext}^{2}(S; M,N')\), elle s'annule localement, et vit donc dans \(H^{0}(S, \underline{\mathrm{Ext}}^{2}(M,N'))\) ;
• et pour \((M,N,\sigma)\) fixé, les champs de Picard de ces invariants forment une 2-catégorie qui est un 2-pseudo-torseur sous celle des champs de Picard stricts d'invariants \((M,N)\) : la « différence » de deux d'entre eux est un champ de Picard strict d'invariants \(M\), \(N\), c'est-à-dire une classe de \(\mathrm{Ext}^{2}(S; M,N)\).

Ce dernier point est exactement le dictionnaire de Deligne lu à l'envers : un complexe concentré en deux degrés, de cohomologies \(N\) et \(M\), s'inscrit dans un triangle distingué \(N[1] \to K \to M \to N[2]\), et de tels complexes sont classés par \(\mathrm{Hom}_{D}(M, N[2]) = \mathrm{Ext}^{2}(M,N)\).

L'existence. Reste à savoir quels triplets \((M,N,\sigma)\) proviennent effectivement d'un champ de Picard, et c'est la question à laquelle le lemme de la page 4 répondait sur le point. Elle est claire si \(\sigma\) est la restriction d'une application bilinéaire antisymétrique \(M \times M \to N\), donc si \(M/2M\) est un faisceau « libre », par exemple si \(M\) est libre sur \(\mathbf{Z}\). En général, choisissons une présentation \(0 \to R \to L \xrightarrow{p} M \to 0\) avec \(L\) tel que \(\sigma \circ p\) soit réalisable par un champ \(P\), muni d'une classe de \(\mathrm{Ext}^{2}(S; L,N)\). La restriction de \(P\) à \(R\) définit une classe de \(\mathrm{Ext}^{2}(S; R,N)\), déterminée modulo les images des éléments de \(\mathrm{Ext}^{2}(S; L,N)\), dont l'image \[ \omega(\sigma) \in \mathrm{Ext}^{3}(S; M,N) \] est canoniquement déterminée ; et \(\omega(\sigma) = 0\) si et seulement si l'on peut choisir \(P\) tel que \(P|_{R}\) soit splitté, c'est-à-dire tel que \(P\) provienne d'un champ d'invariants \(M\), \(N\). On vérifie que \(\omega(\sigma)\) ne dépend pas de la présentation choisie, qu'elle est fonctorielle en \(M\) et \(N\), et compatible aux images inverses par morphismes de topos.

Et l'obstruction est nulle. La page 16 conclut par l'argument d'universalité : on se place sur le topos classifiant \(B\) de la donnée \(\sigma : M \to {}_{2}N\), où \(\mathrm{Ext}^{i}(B; M,N) = 0\) pour \(i > 0\) ; en particulier \(\omega(\sigma) \in \mathrm{Ext}^{3}(B;M,N) = 0\), et la fonctorialité transporte cette nullité partout. Tout triplet \((M,N,\sigma)\) provient donc d'un champ de Picard.²⁸

Le bilan de la page 17. Soit \(\mathcal{P}\) la 2-catégorie des champs de Picard sur \(X\) épinglés par \((M,N)\), munie de la composition de Baer. Ses invariants sont \[ 0 \longrightarrow \mathrm{Ext}^{2}(M,N) \longrightarrow \pi_{0}(\mathcal{P}) \longrightarrow \mathrm{Hom}(M, {}_{2}N) \longrightarrow 0, \] \[ \pi_{1}(\mathcal{P}) = \mathrm{Ext}^{1}(M,N), \qquad \pi_{2}(\mathcal{P}) = \mathrm{Hom}(M,N), \] où \(\pi_{0}\) est le groupe des objets à équivalence près, \(\pi_{1}\) celui des classes d'isomorphie d'auto-équivalences d'un objet, et \(\pi_{2}\) celui des automorphismes du foncteur identique d'un objet.²⁹

C'est le point où toutes les pages du dossier se recoupent. La suite exacte dit que \(\pi_{0}(\mathcal{P})\) est une extension de la classification par \(\sigma\) — celle de Sính — par le groupe \(\mathrm{Ext}^{2}(M,N)\) qui mesure les champs stricts. Sur le topos ponctuel, \(\mathrm{Ext}^{2}_{\mathbf{Z}}(M,N) = 0\) et la suite donne \(\pi_{0}(\mathcal{P}) \cong \mathrm{Hom}(M, {}_{2}N)\) : on retrouve exactement l'énoncé des pages 11 et 42. Et \(\pi_{1} = \mathrm{Ext}^{1}(M,N)\), \(\pi_{2} = \mathrm{Hom}(M,N)\) sont les deux invariants que la page 11 attribuait déjà à la catégorie de Picard sous laquelle les équivalences forment un torseur. Ce qui, sur le point, était un théorème sans reste devient sur un topos une suite exacte à deux termes, et le terme nouveau est exactement l'obstruction homologique que le point n'avait pas.

31–37

Suites de fibrations et tours de lacets

Trois feuilles du dossier — les pages 31, 35 et 37 — sont des feuilles de calcul sans prose, couvertes de treillis de suites de fibrations. Elles ne sont pas restituées ici sous leur forme graphique, et c'est une décision qu'il vaut mieux énoncer que taire.³⁰

Ce qu'elles disent est ceci. Une fibration \(F \to X \to S\) dans un cadre pointé engendre sa suite de Puppe, \[ \cdots \to \Omega^{2}S \to \Omega F \to \Omega X \to \Omega S \to F \to X \to S, \] et les pages la font proliférer dans deux directions à la fois : chaque rangée d'un treillis est une telle suite, chaque colonne en est une autre, et chaque bloc de rangées reprend le précédent après application de \(\Omega\). La page 37 fait la même chose pour un carré \(X_{ij}\) : les suites de fibrations des lignes et des colonnes s'engrènent, chaque tour de trois rangées reprenant le précédent sous \(\Omega\). C'est le calcul qui organise, en langue d'aujourd'hui, la suite spectrale d'une tour de fibrations.

La page 35 en donne la version attachée à des flèches composables \(A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} D\) : les fibres \(\Gamma_{f}\), \(\Gamma_{gf}\), \(\Gamma_{hgf}\), … y sont reliées par des suites qui se déduisent l'une de l'autre par \(\Omega\) d'un côté et par \(\Sigma\) de l'autre. C'est l'axiome de l'octaèdre sous sa forme itérée : la fibre d'une composée s'inscrit dans une suite de fibrations avec les deux fibres.

La même page énonce en clair, au centre, le critère pour qu'un carré soit cartésien au sens homotopique. Étant donné \(Z\) au-dessus de \(S\) avec ses deux projections \(p\), \(q\) vers \(X\) et \(Y\), sont équivalentes les conditions : \(\Gamma_{g} \to \Gamma_{f}\) est un isomorphisme ; \(\Gamma_{p} \to \Gamma_{g}\) en est un ; et la propriété universelle faible — pour tout \(T\) muni de \(p' : T \to X\), \(q' : T \to Y\) avec \(fp' = gq'\), il existe \(u : T \to Z\) avec \(p' = pu\) et \(q' = qu\), sans que \(u\) soit nécessairement unique.³¹

Enfin, cerclée au bas de la page 35, une remarque qui vaut plus que le calcul qui l'entoure : se donner le foncteur \(\Omega\) et une notion de suite distinguée \(\Omega S \to F \to X \to S\), avec ses axiomes. C'est le programme d'une axiomatisation du cadre où toutes ces suites vivent — la moitié « fibres » de ce qui deviendra la structure des catégories stables et, dans le vocabulaire plus tardif de Grothendieck lui-même, des dérivateurs. La page n'écrit pas les axiomes.

25–29

Le programme des pages 25 à 29

Les pages 25 à 29 sont d'une autre nature que tout le reste : une liste numérotée de onze points, d'une écriture très abrégée, qui est un programme de travail. On la restitue dans son ordre.

1. Les \(n\)-catégories, strictes ou non, et les \(n\)-foncteurs ; elles forment une \((n{+}1)\)-catégorie dont les \(\mathrm{Hom}\) sont des \(n\)-catégories ; notion de \(i\)-fidélité, la \((n{+}1)\)-fidélité s'appelant \(n\)-équivalence. Une Gr-catégorie « est » une 2-catégorie à un seul 0-objet. Il y a des chances, dit la page, que les non strictes se ramènent aux strictes.
2. Les exemples venus des structures simpliciales, et le cœur du point : pour \(A\) une catégorie et \(C\) une catégorie, se donner un \(\mathrm{Hom}\) interne bifonctoriel à valeurs dans \(\hat{C}\) équivaut à se donner un foncteur \(\hat{C} \to \mathrm{Hom}_{!}(\hat{A}, \hat{A})\) commutant aux limites inductives, la composition des \(\mathrm{Hom}\) correspondant à la multiplicativité de ce foncteur et l'associativité à sa compatibilité.³² Pour \(C\) la catégorie des ensembles finis totalement ordonnés non vides, \(\hat{C}\) est celle des ensembles simpliciaux, on dispose dans les \(\mathrm{Hom}\) de notions d'homotopie, et l'on associe à \(A\) des \(n\)-catégories pour tout \(n\) — construction facile si les \(\mathrm{Hom}\) sont de Kan.³³ La page ajoute, sous un numéro 2\('\), les topos de Quillen et l'interprétation des \(n\)-catégories strictes comme structures simpliciales particulières.
3. Les \(n\)-catégories fibrées et les \(n\)-champs sur un site ou un topos : équivalence entre \(n\)-champs sur un site et sur le topos associé ; \(n\)-champ enveloppant d'une \(n\)-catégorie fibrée ; existence des images inverses, déduites des images directes par la formule d'adjonction.
4. Les \(n\)-champs de profondeur \(\geq i\) le long d'un fermé.
5. Les formules de changement de base, d'une topologie ordinaire à une topologie étale.
6. Les théorèmes du type de Lefschetz, en topologie étale ou dans l'analytique complexe.
7. Les \(n\)-champs localement constants : un morphisme de topos \(f : X \to Y\) est une équivalence d'homotopie si et seulement si il induit une équivalence \(\Gamma(Y,A) \simeq \Gamma(X, f^{*}A)\) pour tout \(n\)-champ localement constant \(A\) — d'où l'idée qu'un type d'homotopie de topos est reconnu par la donnée, pour tout \(n\), de la \((n{+}1)\)-catégorie des \(n\)-champs localement constants, avec les foncteurs de passage entre étages ; dans le cadre d'Artin et Mazur, avec les restrictions de constructibilité voulues.
8. Les structures algébriques sur les \(n\)-catégories et \(n\)-champs : Gr-structures, structures de Picard, de Picard stricte, torseurs, et leur stabilité par images directes et inverses.
9. La \((n{+}1)\)-catégorie des \(n\)-champs de Picard stricts sur \(X\) est équivalente à la sous-catégorie pleine de \(D(\mathrm{Ab}(X))\) formée des complexes concentrés en \(n{+}1\) degrés consécutifs ; les opérations, images directes et inverses se correspondent, à une troncature près pour l'image directe, et les \(\mathrm{Hom}\) correspondent aux \(R\mathrm{Hom}\) tronqués.³⁴ La page ajoute qu'il y aurait lieu d'interpréter géométriquement les objets tronqués de \(D(\mathrm{Mod}(O))\) pour \(O\) un Anneau sur \(X\), ainsi que \(Rf_{*}\), \(Lf^{*}\) et \(R\mathrm{Hom}\), et de lire les \(\otimes^{L}\) comme des accouplements universels de catégories de Picard.
10. L'étude des \(n\)-Gr-champs. Le cas \(n = 1\) est fait, pour \(X\) quelconque ; pour \(n = 2\) et \(X\) le topos ponctuel, la page ne sait quoi dire.³⁵
11. Le \(n\)-champ de Picard enveloppant d'un \(n\)-\(\otimes\)-champ ACU, dont les invariants \(\pi_{i}\) seraient les faisceaux \(K_{i}(A)\).

Et la page 29 pose la question ouverte : que dire de la structure des \(n\)-champs de Picard non stricts ? Le cas \(n = 1\) se voit — c'est tout ce qui précède — mais rien pour \(n \geq 2\).

Deux de ces points ont trouvé leur réponse, et il vaut de dire laquelle. Le point 11 est le théorème de complétion en groupe : la construction enveloppante d'une catégorie monoïdale symétrique est son spectre de K-théorie, et ses \(\pi_{i}\) sont bien les \(K_{i}\) — ce que Segal et May établissent, par les \(\Gamma\)-espaces et par les opérades \(E_{\infty}\), dans les années mêmes du dossier. Et la question de la page 29 se reformule ainsi : les \(n\)-champs de Picard non stricts sont les spectres connectifs \(n\)-tronqués, dont la structure est celle de leur tour de Postnikov, avec des invariants de Postnikov stables ; le cas \(n = 1\) n'a qu'un seul invariant, et c'est le \(s\) des pages 12 et 42, autrement dit la multiplication par \(\eta\). C'est précisément parce que \(s\) ne s'annule pas que le point 9 doit se restreindre aux champs stricts, qui sont les modules sur \(\mathbf{Z}\) — et donc les complexes.

42–44

L'enveloppe de Picard : \(K^{0}\) et \(K^{1}\)

Le dernier tiers du tapuscrit résout un problème universel, et c'est là que le dossier rejoint la K-théorie.

Soient \(C\) une \(\otimes\)-catégorie AUC et \(S\) une partie de \(\mathrm{Ob}\,C\). On cherche à envoyer \(C\), par un \(\otimes\)-foncteur AUC, dans une \(\otimes\)-catégorie AUC \(G\) de manière que \(F(X)\) soit inversible pour tout \(X \in S\), et universellement. Le résultat principal est que ce problème a toujours une solution, notée \(S^{-1}C\), et que pour toute \(G\) le foncteur naturel \[ \mathrm{Hom}_{\otimes \mathrm{AUC}}(S^{-1}C, G) \longrightarrow \mathrm{Hom}^{S}_{\otimes \mathrm{AUC}}(C, G) \] est un isomorphisme de catégories, l'exposant \(S\) désignant la sous-catégorie pleine des foncteurs qui inversent les objets de \(S\).

Lorsque \(S\) est l'ensemble de tous les objets de \(C\), la catégorie \(S^{-1}C\) est elle-même une catégorie de Picard, non nécessairement stricte : c'est l'enveloppe de Picard de \(C\), et ses invariants méritent, dit le tapuscrit, la notation \[ K^{0}(C) = \pi_{0}(S^{-1}C), \qquad K^{1}(C) = \pi_{1}(S^{-1}C). \]

Théorème. Si \(C\) est la catégorie des modules projectifs de type fini sur un anneau \(R\), munie de la somme, ces groupes sont les invariants classiques \(K^{0}(R)\) et \(K^{1}(R)\) — le groupe de Grothendieck et le groupe de Whitehead.³⁶

Vient alors la remarque la plus fine du tapuscrit, et elle est négative. Cette catégorie stabilisée n'est pratiquement jamais une catégorie de Picard stricte, même dans le cas des modules projectifs de type fini ; or, par le dictionnaire de Deligne, une catégorie de Picard stricte est un complexe. Il est donc peu probable qu'on puisse construire dans la catégorie dérivée de \((\mathrm{Ab})\) un objet canonique \(K_{\cdot}\) avec \(H_{0}(K_{\cdot}) = K^{0}\) et \(H_{1}(K_{\cdot}) = K^{1}\) : une telle construction fournirait précisément la catégorie de Picard stricte qui n'existe pas.

En langue d'aujourd'hui, cet argument est exact et il nomme l'obstruction. Que l'enveloppe ne soit pas stricte, c'est que \(s \neq 0\) ; et \(s\) est la multiplication par \(\eta\), de \(K^{0}\) dans \(K^{1}\). Un complexe de chaînes donnerait un module sur \(\mathbf{Z}\), où \(\eta\) agit par zéro. Le spectre de K-théorie n'en est pas un, et c'est pourquoi il ne se laisse pas remplacer par un complexe.³⁷

Le tapuscrit termine sur la question suivante, qui est le point 11 du programme : une interprétation géométrique analogue pour les \(K^{i}\) supérieurs, à chercher du côté des \(n\)-catégories de Picard et de leurs enveloppes.

52–56

Les deux problèmes universels du chapitre III

Le manuscrit anglais donne la construction que le tapuscrit se dispense d'expliciter — « fort longue et fastidieuse », dit-il. Elle passe par deux problèmes universels dont le second se réduit au premier.

Rendre des objets unités. Soient \(A\) une \(\otimes\)-catégorie AC, \(A'\) une \(\otimes\)-catégorie AC dont la catégorie de base est un groupoïde, et \((T,\check{T}) : A' \to A\) un \(\otimes\)-foncteur AC. On cherche une \(\otimes\)-catégorie ACU \(P\), un \(\otimes\)-foncteur AC \((D,\check{D}) : A \to P\), et un \(\otimes\)-isomorphisme \(\lambda\) de \(D \circ T\) sur le foncteur constant \(1_{P}\), universels.

La construction prend \(\mathrm{Ob}\,P = \mathrm{Ob}\,A\) et, pour morphismes, \[ \mathrm{Hom}_{P}(A,B) = \Phi(A,B)/R_{A,B}, \] où \(\Phi(A,B)\) est l'ensemble des triplets \((A', B', u)\) avec \(A', B' \in \mathrm{Ob}\,A'\) et \(u : A \otimes TA' \to B \otimes TB'\) dans \(A\), et où \(R_{A,B}\) identifie deux triplets lorsqu'il existe \(C'_{1}\), \(C'_{2}\) et des isomorphismes \(A'_{1} \otimes C'_{1} \simeq A'_{2} \otimes C'_{2}\), \(B'_{1} \otimes C'_{1} \simeq B'_{2} \otimes C'_{2}\) rendant commutatif, dans la catégorie quotient \(A^{S}\), le diagramme de comparaison.³⁸ Le manuscrit donne ensuite la composition, la structure \(\otimes\), les contraintes ACU, le foncteur \(D\) et l'isomorphisme \(\lambda\), chacun par un diagramme explicite ; on ne les reproduit pas ici, la transcription les portant en entier.

Inverser des objets. Soient \(C\), \(C'\) des \(\otimes\)-catégories ACU, \(C'\) de base un groupoïde, et \((F,\check{F}) : C' \to C\) un \(\otimes\)-foncteur ACU. On cherche \(P\) et \((Q,\check{Q}) : C \to P\) tels que \(QFX'\) soit inversible pour tout \(X'\), universellement. Le problème se ramène au premier en posant \(A' = C'\), \(A = C \times C'\) et \(TX' = (FX', X')\), grâce à l'équivalence canonique \[ \mathrm{Hom}^{\otimes \mathrm{ACU}}(C \times C', Q) \longrightarrow \mathrm{Hom}^{\otimes \mathrm{ACU}}(C, Q) \times \mathrm{Hom}^{\otimes \mathrm{ACU}}(C', Q). \] La catégorie \(P\) obtenue est la \(\otimes\)-catégorie de fractions de \(C\) relativement à \((C', F)\). Prenant pour \(C'\) le sous-groupoïde maximal \(C^{is}\) et pour \(F\) l'inclusion, on obtient l'enveloppe de Picard \(\mathrm{Pic}(C)\), et \[ \pi_{0}\bigl(\mathrm{Pic}(P(R))\bigr) \simeq K^{0}(R), \qquad \pi_{1}\bigl(\mathrm{Pic}(P(R))\bigr) \simeq K^{1}(R). \] En marge de cette formule, de la main de l'annotateur, une phrase en anglais qui dit exactement ce que le tapuscrit disait à la page 43 : cette enveloppe de Picard n'est pas une catégorie de Picard stricte.³⁹

57–57

La catégorie de suspension

La dernière page mathématique du manuscrit anglais tire de tout ceci une conséquence négative, et c'est la seule du dossier qui porte sur la topologie.

Soient \(C\) une \(\otimes\)-catégorie ACU, \(Z\) un objet distinct de l'unité, et \(S = -\otimes Z\). La catégorie de suspension de \(C\) définie par \(Z\) est la solution \((P, i, p)\) du problème universel des triples \((Q, j, q)\) où \(q\) est une auto-équivalence de \(Q\) et où le carré reliant \(S\) et \(q\) commute à isomorphisme naturel près. Pour \(C\) la catégorie homotopique des espaces pointés munie du smash et \(Z = S^{1}\), on retrouve la définition classique de la catégorie de suspension.

Soient alors \(C'\) la sous-catégorie \(\otimes\)-stable engendrée par \(Z\) et \(P\) la \(\otimes\)-catégorie de fractions de \(C\) relativement à \(C'\). On dispose d'un foncteur \(G\) de la catégorie de suspension vers \(P\). Si \(G\) n'est pas fidèle — ce qui, affirme la page, est le cas pour les espaces pointés et \(Z = S^{1}\) — alors il est impossible de munir la catégorie de suspension d'une loi \(\otimes\) qui en fasse une \(\otimes\)-catégorie ACU avec \(iZ\) inversible et \(i\) un \(\otimes\)-foncteur ACU.⁴⁰

44–44

Une algèbre homologique non commutative

Le dossier finit sur une prophétie, et elle n'a besoin d'aucun préalable. Les développements esquissés, dit la page 44, obligeront à tirer au clair les relations très étroites qu'on pressent entre trois séries de notions : les \(n\)-catégories et \(\infty\)-catégories d'un côté, les ensembles simpliciaux et les espaces topologiques de l'autre ; de même entre les \(n\)-Gr-catégories et les groupes simpliciaux ou topologiques ; de même enfin entre les \(n\)-catégories de Picard strictes et les complexes de chaînes tronqués à la dimension \(n\). Il y aurait à s'attendre à une fusion plus ou moins complète entre ces trois visions — algèbre homologique, algèbre homotopique, algèbre catégorique — dans une vision commune, qui pourrait bien prendre le nom d'algèbre homologique non commutative,

étant entendu que ce qui porte actuellement ce nom n'est qu'une amorce très partielle de ce qui doit venir…

Suit une dernière question, « plus terre à terre ». Si \(R\) est commutatif, ou plus généralement si \(C\) est une catégorie additive munie d'un \(\otimes\) ACU biadditif, l'enveloppe de Picard porte, outre sa somme \(\oplus\), une seconde opération \(\otimes\) venue du produit tensoriel, reliée à la première par des isomorphismes de distributivité \[ X \otimes (Y \oplus Z) \simeq (X \otimes Y) \oplus (X \otimes Z). \] Il y aurait lieu d'étudier systématiquement les catégories ainsi munies de deux opérations AUC et d'une donnée de distributivité, et d'en faire une théorie de structure lorsqu'elles sont de Picard pour \(\oplus\). Cela implique en particulier que \(\pi_{0}\) est un anneau commutatif unitaire et \(\pi_{1}\) un module sur cet anneau ; et la question posée est : quels autres invariants faut-il introduire pour caractériser une telle catégorie à équivalence près, respectant toutes les structures ?⁴¹ C'est le dernier mot mathématique du dossier.