Cote n° 134-2 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · [Chapitre I : Take off (pages 1 à 65) et table des matières provisoire] : tapuscrits annotés (19/02-22/02/1983), note manuscrite (s.d.), copies de lettre (1975, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1975-[1983]
Édition de démonstration

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Lettre à L. Breen, Villecun 17/19 juillet 1975 (original manuscrit, suite)

161p. 17 de l'auteur, d'après la suite de sa pagination (le numéro n'est pas visible en tête de la page) ; crayon des archivistes : 162. La page commence au milieu d'une phrase, dans le crochet sur « l'astuce de Lang » ouvert au lot 8. stant – \(\pi_1^{\mathrm{ar}}(J) \simeq H^0(k, J)\)] sous une forme cohomologique, en énonçant que l'on a \[\Delta_0 \mathbb{R}\Gamma_k(J^*) \simeq \mathbb{R}\Gamma_k(\Delta J^*[1])\] où \(\Delta\) est la dualité de Serre, \(\Delta_0\) la dualité de Pontrjagin des groupes abéliens top. totalement discontinus (dualité à valeurs dans \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\)), \(J^*\) un complexe de ind-pro-groupes algébriques sur \(k\). Tenant compte de cette « formule de dualité de Lang » et appliquant \(\mathbb{R}\Gamma_k\) à la formule de dualité ⌜des corps de classes⌝ géométrique, on trouve la « formule de dualité des corps de classes arithmétique » \[\boxed{\Delta_0(H_!(X, F)) \simeq H^*(X, D(F)[3])}\] (isom. de groupes topologiques tot. discontinus). au-dessus de \(H^0(k, J)\), deux lettres (« \(\vee\) », « \(+\) » ?) dont le rôle n'est pas clair. « \(\mathbb{R}\Gamma_k\) » : l'indice du second membre ressemble à un \(h\). La formule finale est encadrée. Le sens de « sous une forme cohomologique » (l'astuce de Lang « dans sa forme cohomologique ») est confirmé par la version anglaise, lot 4, p. 64.

Autre remarque : lorsque \(F\) n'est pas un « faisceau étale », mais a une structure continue comme \(\alpha_p\), il faut faire attention dans la définition de \(Rf_!(F)\), pour \(X\) non complet, à partir de la compactifiée ⌜\(\tilde{X}\)⌝ ; ainsi, si \(F\) provient d'un faisceau ⌜« admissible »⌝ \(\tilde{F}\) sur \(\tilde{X}\), il faut avoir un triangle exact

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & Rf_!(\hat{\tilde{F}}) \arrow[dl] & \\
Rf_!(F) \arrow[rr] & & R\tilde{f}_*(\tilde{F}) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

162p. 18 de l'auteur (crayon : 163). où \(\hat{\tilde{F}}\) est le complété formel de \(\tilde{F}\) le long de \(\tilde{X} - X\) (nb fini de points …). C'est ici, sauf erreur, que s'amorce le lien avec le corps de classes local, version cohomologique, dont je vais dire quelques mots maintenant.

E) Corps de classes local comme formule de dualité.

Soit \(V\) un anneau de val. discrète complet, à corps résiduel \(k\) – on suppose […] ou bien \(k\) relevé en \(k \subset V\) (donc \(V \simeq k[[T]]\)) – ou bien \(k\) parfait. Pour fixer les idées et être sur un terrain solide, je prends ⌜d'abord⌝ sur \(K\) = corps des fractions de \(V\) des coefficients finis \(F\) (comme sur \(X\) tout à l'heure), et je m'intéresse aux \(H^i(K, F)\) ou encore à \(R\Gamma_K(F)\). L'essentiel du travail à faire consiste à définir une catégorie de coeff. convenable sur \(k\) (sans doute la même que dans D)) et un foncteur \[F \longmapsto \mathbb{R}\underline{\Gamma}_K(F)\] vers ces coefficients, de telle façon que l'on ait \[\mathbb{R}\Gamma_K(F) \simeq R\Gamma_k(\mathbb{R}\underline{\Gamma}_K(F)) \,.\] « ou bien \(k\) parfait » : la version anglaise précise « of char. \(p>0\) », ajout de la copie dactylographiée. L'exposant de « \(H^i(K, F)\) » est surchargé ; lu \(i\). Dans la dernière formule les indices \(K\) et \(k\) sont mal distingués ; lus d'après le sens (et la version anglaise, lot 4, p. 65).

163p. 19 de l'auteur (crayon : 164). Ceci correspond à l'intuition (sortant immédiatement des exemples élémentaires), moyennant quoi, pour \(k\) alg. clos disons, les \(H^0(K, F)\), \(H^1(K, F)\) … ont une structure de groupes algébriques (ind-pro …) sur \(k\). Dans cette construction, le schéma en anneaux sur \(k\) défini par \(V\) (introduit par Serre) et le « foncteur de Greenberg » (associant à un schéma sur \(V\) un préschéma sur \(k\)) joueront un rôle essentiel. « le schéma en anneaux sur \(k\) défini par \(V\) » : ainsi sur la page ; la version anglaise (lot 4, p. 65) dit « the ring scheme of Witt vectors over \(k\) ».

Ceci posé, la formule de dualité s'écrira formellement comme dans (D) ci-dessus \[\Delta R\underline{\Gamma}_K(F) \simeq R\underline{\Gamma}_K(DF[1])\] où \(D\) est la dualité de Cartier, \(\Delta\) est la dualité de Serre. Pour un corps résiduel fini, elle devient (via « l'astuce de Lang » plus haut) \[\Delta_0 R\Gamma_K(F) \simeq R\Gamma_K(DF[2]) \,,\] \(\Delta_0\) dualité de Pontrjagin. Elle contient encore le corps de classes local géométrique à la Serre, et le corps de classes local arithmétique sous sa forme classique. dans la seconde formule, les deux indices sont des \(K\) ; la version anglaise dactylographiée porte \(\Gamma_k\) à gauche. Le « 2 » du décalage est surchargé.

Remarques a) Si \(F\) est premier à la car. résiduelle, la formule est très facile et bien connue. On peut la considérer comme un cas très particulier

164p. 20 de l'auteur (crayon : 165). de la « formule d'induction », pour un morphisme \(i : s \to S\), en formalisme de dualité : \[i^!(D_S F) = D_s(i^*(F))\] (on prend ici l'inclusion de \(s = \operatorname{Spec} k\) dans \(S = \operatorname{Spec} V\)). Donc le travail à faire concerne les coefficients \(p\)-primaires, \(p = \operatorname{car} k > 0\). Le cas le plus subtil est celui d'inégales caractéristiques.

b) Le foncteur \(R\underline{\Gamma}\) s'obtient en composant \(Rj_*\) (où \(j : U = \operatorname{Spec} K \to \operatorname{Spec} V = S\) est l'inclusion) avec une sorte de « foncteur de Greenberg », version cohomologique.

c) Dans (D) et (E), je me suis borné à parler de coefficients finis \(F\) – c'est pour ceux-là que je suis sûr de mon fait. Mais il est certainement vrai que la formule de dualité est encore plus riche, qu'on peut encore énoncer quelque chose ⌜p. ex.⌝ pour \(F\) un schéma en groupes non nécessairement fini, p. ex. un schéma abélien ⌜(avec quelques fibres dégénérées dans (D) ?)⌝ – mais je n'ai jamais tiré cette question entièrement au clair, même heuristiquement. J'ai un vague souvenir d'un genre de formule dans la formule d'induction, l'indice du membre de gauche est un \(S\) majuscule, celui de droite un \(s\) minuscule.

165p. 21 de l'auteur (crayon : 166). qui devrait être contenue dans le formalisme, savoir (si \(k\) alg. clos disons) : si \(F\) schéma abélien sur \(K\), \(F'\) le schéma abélien dual, et \(G'\) le groupe pro-algébrique sur \(k\) attaché « à la Greenberg » à son modèle de Néron, on a \[H^1(K, F) \overset{?}{\simeq} \mathrm{Ext}^1_{k\text{-gr}}(G', \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\] (NB sans aucune garantie). En principe, la conj. mentionnée sur les modèles de Néron devrait sortir de la machine de dualité locale la fin de la phrase est écrite dans la marge gauche, de bas en haut, et rattachée par une accolade au texte ; le premier mot n'est lu qu'avec doute (la version anglaise, lot 4, p. 66 : « the previously mentioned duality conjecture concerning Neron models of SGA 7 »).

d) Tu pourrais demander à Deligne s'il n'a pas approfondi les questions (D) et (E) dernièrement. l'alinéa d) est séparé de la suite par un trait horizontal.

(F) Portée et limites de la topologie fppf

Depuis les essais de Serre de trouver une « coh. de Weil » en utilisant la cohomologie d'un schéma à coefficients non seulement discrets \(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) \((n \to \infty)\), ou \(\mu_{p^n}\) \((n \to \infty)\), mais aussi continus (⌜p. ex.⌝ \(W_n\), \(n \to \infty\)), qui donnaient de bons résultats pour récupérer un \(H^1\) correct, pendant de nombreuses années j'étais ⌜resté⌝ sous l'impression, que j'essayais en vain de préciser, qu'une « coh. de Weil » « \(p\)-adique » correcte, en car. \(p > 0\), devrait pouvoir sortir d'une façon – d'une autre de la cohomologie fppf, pour des coefficients finis p. ex., ou des coefficients « \(\mu_{p^n}\) » : le \(\mu\) est mal formé. « d'une façon – d'une autre » : un tiret tient la place de « ou ».

166p. 22 de l'auteur (crayon : 167). plus généraux, groupes algébriques sur \(k\). La construction en (B) du complexe des jacobiennes locales était, évidemment, ⌜un peu⌝ lié à cet espoir – l'homologie donnerait peut-être ce que la cohomologie nous cèle ! Depuis lors, on dispose du formalisme de la cohomologie cristalline, et on sait que ⌜(Berthelot)⌝ (du moins […] pour \(X\) projectif et lisse) elle a les propriétés correctes. Si on l'utilise comme une sorte d'étalon sûr à quoi « mesurer » les autres cohomologies, on trouve ceci : la partie de la cohomologie cristalline \(H^i_{\mathrm{cris}}(X)\) qui peut être décrite en termes de cohomologie fppf de \(X\) à coefficients dans des \(k\)-groupes algébriques, n'est qu'une […] petite partie des \(H^i\) ; de façon précise, utilisant la structure ⌜très rigide⌝ supplémentaire des \(H^i\) (modules de t.f. sur l'anneau \(W(k)\) des vecteurs de Witt) provenant de l'existence de l'isom de Frobenius \(H^i \xrightarrow{F} H^i\) (semi-linéaire), on trouve que l'on reste toujours dans la partie « de pente \(\leqslant 1\) » (alors que les pentes possibles varient entre \(0\) et \(i\) …). Ceci explique pourquoi pour \(i = 1\) « (Berthelot) » est écrit au-dessus de « formalisme », avec un trait qui le renvoie après « on sait que » ; la place retenue est celle de la version anglaise.

167p. 23 de l'auteur (crayon : 168). on a pu obtenir via fppf un \(H^1\) correct, alors que pour le \(H^2\) déjà tous les essais ont été infructueux.

À vrai dire, on conjecture que toute la partie de pente \(\leqslant 1\) des \(H^i_{\mathrm{cris}}\) provient de fppf. Mais j'ai perdu complètement contact avec ces questions – des gens, comme Mazur, Katz, Messing – et bien sûr, Deligne – devraient être au courant du point où en est la question. l'alinéa est suivi d'un triple trait horizontal.

Ta question 7° semble indiquer qu'il y a malentendu en ton esprit sur la signification du « type d'homotopie » de \(X\), \(X\) un topos (p. ex. le topos étale d'un schéma). Sans doute tu dois confondre l'algèbre homotopique qu'on peut faire sur \(X\) à coups de faisceaux semi-simpliciaux, de champs en tous genres, et des relations entre ceux-ci – et cet autre point de vue où \(X\) (avec sa structure si riche de topos) disparaît virtuellement

168p. 24 de l'auteur (crayon : 169). pour ne devenir plus qu'un pâle élément d'une « catégorie homotopique » (ou pro-homotopique), déduite de celle des topos par un processus de localisation […] – à première vue, tout ce qui reste encore à ce pauvre \(X\), ce sont ses \(\pi_i\) – et ses groupes de cohomologie à coefficients constants – ou à la rigueur constants tordus. Quand on fouille un peu plus dans cette direction « que reste-t-il encore à ce pauvre \(X\) » on tombe précisément sur les ⌜\(n\)-⌝champs loc. constants (car un \(X \xrightarrow{f} X'\) qui est une équivalence d'homotopie induit une \((n+1)\)-équivalence entre les cat. de \(n\)-champs loc. constants sur \(X\) et sur \(X'\)) – qui contiennent bien sûr les complexes ⌜de chaînes⌝ abéliens de longueur \(n\) à faisceaux de coh. loc. constants, et l'hypercohomologie de ceux-ci. C'est ainsi qu'on arrive à […] ⌜ce⌝ triangle d'[…] ⌜objets⌝ se déterminant mutuellement après « localisation », deux ou trois mots (« à … ») ne sont pas lus ; la version anglaise dit « a very thorough process ». Le mot ajouté au-dessus du second biffé est d'une lecture très incertaine ; la version anglaise porte « this triangle of objects ».

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=2pt, nodes={font=\scriptsize}]
 & \text{topos (ou espace top., ou} & \\
 & \text{ens. ½simpl.) \emph{modulo}} & \\
 & \text{$n$-homotopie} \arrow[dddl, leftrightarrow] \arrow[dddr, leftrightarrow] & \\
 & & \\
 & & \\
\text{$n$-groupoïdes} & & \text{$n$-catégories « spéciales »} \\
\text{(à $n$-équiv. près)} \arrow[rr, leftrightarrow] & & \text{(à $n$-équivalence près)}
\end{tikzcd}

« modulo » est souligné deux fois, « homotopie » une fois. Le triangle, dessiné à la main, est disposé ici ligne par ligne, comme dans la version anglaise (lot 4, p. 68).

169p. 25 de l'auteur (crayon des archivistes : 170). On dit qu'une \(n\)-catégorie ⌜\(E_n\)⌝ est « spéciale » (ou \(n\)-galoisienne) si elle est \(n\)-équivalente à la cat. des \((n-1)\)-champs loc. constants sur un espace top. (ou un topos) convenable, ou, ce qui doit revenir au même, si elle est \(n\)-équivalente à la catégorie des \(n\)-foncteurs \(G_n \to (n\text{-Cat})\), où \(G_n\) est un \(n\)-groupoïde. Si \(X\), \(G_n\), \(E_n\) se correspondent ainsi, on dit que \(E_n\) \(G_n\) est le \(n\)-groupoïde fondamental de \(X\), ou de \(E_n\), ou que \(E_n\) est la catégorie des \(n\)-systèmes locaux sur \(X\), ou sur \(G_n\), ou que \(X\) est une réalisation géométrique de \(G_n\) ou de \(E_n\). « au même » est écrit « au \(=\) » ; il note ainsi « même » tout au long du lot, rendu ici en toutes lettres. « \(n\)-systèmes locaux » : ainsi sur la page ; la version anglaise (lot 4, p. 68) corrige à la main en « \((n-1)\)-systems ». Le symbole biffé avant \(G_n\) est lu \(E_n\) avec doute.

En analogie avec le cas bien familier \(n=1\), \(G_n\) doit s'interpréter comme la sous-\(n\)-catégorie pleine de \(\underline{\mathrm{Hom}}_n(E_n, (n\text{-cat}))\) formée des \(n\)-foncteurs \(E_n \to (n\text{-cat})\) satisfaisant certaines propriétés d'exactitude (on a envie de dire : qui commutent aux \(\varprojlim\) finies et aux \(\varinjlim\) quelconques) ; mais cela nous attire dans l'inquiétant mirage des \(n\)-limites dans les \(n\)-catégories (NB le cas \(n=2\) commence à nous être familier …). Il est prudent dans tout

170p. 26 de l'auteur (crayon : 171). ceci de supposer que \(X\) est « localement homotopiquement trivial », ce qui assure que le pro-ensemble simplicial que lui associent Artin–Mazur (par le procédé des nerfs d'hyperrecouvrements) est essentiellement constant dans la catégorie homotopique ordinaire – donc \(X\) définit un type d'homotopie habituel. Ce n'est pas le cas bien sûr pour le topos étale d'un schéma. Pour un tel cas, le \(n\)-groupoïde fondamental doit être conçu comme un pro-\(n\)-groupoïde (rien d'étonnant à cela, vu la théorie familière des \(\pi_1\)) ; et \(E_n\) comme une (ind)-\(n\)-catégorie (la ind-structure correspondant à l'exigence de locale trivialité, pour un \(n\)-champ variable, relativement à des recouvrements de plus en plus fins de \(X\)). « pro » est souligné deux fois, « \(n\) » une fois. Le paragraphe est clos par un double trait.

Je comprends cependant ta résistance instinctive à concevoir ce dépouillement extrême d'un beau topos \(X\), au point de n'en retenir que le maigre type d'homotopie. Bien plus, je suis persuadé qu'en

171p. 27 de l'auteur (crayon : 172). allant jusqu'au bout de cette résistance, on arrive à généraliser et à approfondir la notion de « type d'homotopie », et à apporter encore une nouvelle eau au […] développement d'un bon yoga homotopique. Voici où je veux en venir. ⌜([…])⌝ la version anglaise porte ici « new grist to the mill » ; le mot avant « développement » n'est pas lu (il est trop court pour « moulin du »). Après « en venir », une insertion entre parenthèses, reliée par un trait à la ligne suivante, commence par « d' » et n'est pas lue ; elle n'a pas d'équivalent dans la version anglaise.

Parlons d'abord de faisceaux, pour simplifier, au lieu de champs, ⌜et plaçons-nous sur le topos étale d'un schéma \(X\).⌝ Les faisceaux loc. constants – modulo une condition de finitude supplémentaire assez anodine – forment les plus simples des faisceaux constructibles, à la définition desquels ils servent de modèle. Supposant \(X\) cohérent (= qu.-qct et qu.-sép), les faisceaux constructibles généraux sont ceux pour lesquels il existe une partition ⌜finie⌝ \(X = \bigcup_{i \in I} X_i\) de \(X\) en « cellules » ⌜ou « strates »⌝ \(X_i\), loc. fermées et constructibles, telles que […] la restriction de \(F\) à chaque \(X_i\) soit loc. constante et (plus une condition de finitude …). Ainsi la catégorie des faisceaux constructibles sur \(X\) (qui redonne la catégorie de tous les faisceaux en passant à une catégorie de ind-objets …) peut elle-même se concevoir comme limite inductive de catégories, associées à des partitions de plus en

172p. 28 de l'auteur (crayon : 173). plus fines de \(X\). On peut donc, pour une telle partition ⌜\(\mathcal{P}\)⌝ fixée, se proposer une étude approfondie ⌜de la cat.⌝ des faisceaux (ou complexes de faisceaux, ou champs) qui sont « \(\mathcal{P}\)-constructibles » (ou plus généralement, qui sont « loc. constants » sur chacun des \(X_i\)). Ces catégories n'auront des structures vraiment satisfaisantes que si pour préciser […] elles sont stables par les opérations courantes – telles que \(R\underline{\mathrm{Hom}}\), ou \(Rj_*j^*\) où \(j : X_i \to X\) est une « cellule » de la partition⌜, etc⌝. En fait, si \(X\) est excellent et qu'on dispose de la résolution des singularités, on sait que les faisceaux ⌜de torsion⌝ constructibles (sous réserve d'être premiers aux car. résiduelles) sont stables par […] ces opérations – mais non avec une partition de \(X\) fixée une fois pour toutes. Pour avoir une telle stabilité plus fine, il faut faire des hypothèses très strictes […] « d'équisingularité » de la stratification donnée de \(X\), le long des strates. Je pense néanmoins qu'un affinement des techniques connues montrera que \(X\) admet des stratifications arbitrairement fines ayant ces propriétés d'équisingularité (et avec des \(X_i\) réguliers et connexes, mais peu importe […] cette propriété ici …). À titre d'exemple « pour préciser » est biffé sous la ligne, à hauteur de « structures vraiment » (lecture incertaine) ; « de la cat. » est ajouté dans la marge gauche, avec un trait vers « des faisceaux ».

173p. 29 de l'auteur (crayon : 174). supposons qu'il y ait exactement deux strates, une strate fermée \(X_0\) et \(X_1 = X - X_0\). D'après le dévissage d'Artin, un faisceau \(F\) sur \(X\) revient à la donnée d'un faisceau \(F_0\) ⌜\((= i_0^*(F))\)⌝ sur \(X_0\), d'un faisceau \(F_1\) ⌜\((= i_1^*(F))\)⌝ sur \(X_1\), et d'un homomorphisme \(F_0 \to i_0^* i_{1*}(F_1)\). Pour que \(F\) ⌜(\(X_0 \overset{i_0}{\hookrightarrow} X \hookleftarrow X_1\))⌝ soit \(\mathcal{P}\)-constructible, il faut et il suffit que \(F_0\) et \(F_1\) soient loc. constants (plus des conditions de finitude accessoires …), sur \(X_0\) et \(X_1\) respectivement. Alors (grâce aux hyp. d'équisingularité) il en sera de même de \(i_0^* i_{1*}(F_1) = \varphi(F_1)\), et ⌜la cat.⌝ des faisceaux qui nous intéressent […] s'exprime entièrement en fonction ⌜termes⌝ de catégories de faisceaux loc. constants sur \(X_0\) et \(X_1\), ⌜i.e. des seuls⌝ […] ⌜types⌝ d'homotopie de \(X_0\) et \(X_1\), à cela près qu'il faut encore expliciter la nature du foncteur exact à g. \(\varphi\). Je pense que ceci est possible, dans le contexte ⌜schématique⌝ où je me suis placé (techniquement assez sophistiqué), en introduisant un « voisinage tubulaire étale » de \(X_0\) dans \(X\) (qui est un topos fort intéressant, mais pas associé à un schéma). Mais cette construction technique ne fait que para- les deux exposants \(i_0^*\), \(i_1^*\) des ajouts sont mal formés et lus d'après la suite. Le diagramme des inclusions \(X_0 \hookrightarrow X \hookleftarrow X_1\) est écrit dans la marge gauche, sous « Pour que \(F\) ». Au milieu de la page, la suite « i.e. des seuls types d'homotopie » est faite d'ajouts interlinéaires sur un mot biffé et souligné ; l'ordre retenu est celui de la version anglaise (« i.e. of the mere homotopy type »). « exact à g. » : exact à gauche.

174p. 30 de l'auteur (crayon : 175). phraser une intuition topologique extrêmement simple, que je vais expliciter, en supposant pour fixer les idées qu'on est sur le corps de base \(\mathbb{C}\) et qu'on en profite pour travailler avec les espaces loc. compacts habituels. L'idée topologique derrière l'hypothèse d'équisingularité, c'est qu'il existe un voisinage tubulaire \(T\) de \(X_0\) dans \(X\) se rétractant sur \(X_0\), et tel que \((X_0, T)\) au-dessus de \(X_0\) soit un fibré localement trivial, donc \(T - X_0\) au-dessus de \(X_0\) est loc. trivial. En fait, si ⌜\(\partial T\)⌝ […] est le « bord » de \(T\), qui sera aussi fibré loc. trivial sur \(X_0\), \(T\) sur \(X\) est le fibré en cônes déduit \((\simeq (\partial T \times I) \amalg_{\partial T} X_0\), où \(I = [0, 1]\), \(\partial T \to \partial T \times I\) défini par \(x \mapsto (x, 1)\), et \(\partial T \to X_0\) est la projection) donc \(\mathring{T} = T - X_0 \simeq \partial T \times [0, 1[\) est \(X_0\)-homotope à \(\partial T\). Si \(X_0\) et \(X_1\) sont non singuliers, il en est de même de \(\mathring{T}\) et \(\partial T\), qui sont des fibrés topologiquement lisses sur \(X_0\). D'ailleurs, […] posant \(\tilde{X}_1 = X_1 - \mathring{T}\), […] l'inclusion \(\tilde{X}_1 \hookrightarrow X_1\) est une équivalence d'homotopie, et \(X\) se reconstitue, à homéomorphisme près, à partir du diagramme d'espaces

\begin{tikzcd}[column sep=large]
{(\mathring{T} = T - X_0 \simeq)\ \partial T} \arrow[r, "{j\ \text{(inclusion)}}"] \arrow[d, "{\text{fibration}\ p}"'] & {\tilde{X}_1\ (\simeq X_1)} \\
X_0 &
\end{tikzcd}

comme la somme amalgamée. En termes de ce diagramme d'espaces, le foncteur \(\varphi\) plus « \(T\) sur \(X\) » : ainsi sur la page (et dans la version anglaise) ; on attendrait \(T\) sur \(X_0\). Le mot biffé après « si » est noirci ; « \(\partial T\) » est écrit au-dessus.

175p. 31 de l'auteur (crayon : 176). haut s'interprète immédiatement comme \[\varphi(F_1) \simeq p_* j^*(\tilde{F}_1)\] où \(F_1 \mapsto \tilde{F}_1\) est la restriction de \(X_1\) à \(\tilde{X}_1\) (qui est donc une équivalence de catégories pour les faisceaux (loc. const.) envisagés). Il ⌜La donnée⌝ d'[…] \(F = (F_0, F_1, u : F_0 \to \varphi F_1)\) peut donc aussi s'expliciter comme la donnée de \[F_0 \,,\ \tilde{F}_1 \,,\ \tilde{u} : p^*(F_0) \to j^*(\tilde{F}_1)\] où \(F_0\) \((\tilde{F}_1)\) est un faisceau loc. constant sur \(X_0\) (resp. \(\tilde{X}_1\)). Il faut se rappeler de plus qu'ici \(p\) est une vraie fibration, et \(j\) une inclusion (et pratiquement, – en \(X_0\), \(X_1\) lisses – […] l'inclusion du bord dans une variété à bord).

Si on préfère, on peut aussi prendre le diagramme un peu moins joli (mais un peu plus canonique)

\begin{tikzcd}
\mathring{T} \arrow[r, "j'"] \arrow[d, "p'"'] & X_1 \\
X_0 &
\end{tikzcd}

revenant essentiellement au même, car formé d'espaces homotopes au précédent. On peut même y remplacer \(X_0\) par \(T\) (\(X_0\) en étant un rétract par déformation) et écrire

\begin{tikzcd}
\mathring{T} \arrow[r, hook, "j'"] \arrow[d, hook, "p''"'] & X_1 \\
T &
\end{tikzcd}

le diagramme est à cheval sur les pp. 31 et 32 de l'auteur : le sommet \(T\) et la flèche \(p''\) (un crochet d'inclusion) sont au bas de la p. 31, le reste en tête de la p. 32 ; il est donné ici en entier. « en \(X_0\), \(X_1\) lisses » : lecture incertaine de « en » (la version anglaise : « for the case »).

176p. 32 de l'auteur (crayon : 177). où « pris à la lettre » \(p''\) est maintenant une inclusion, mais « moralement » c'est ⌜tjrs⌝ une fibration à fibres très jolies [de dim. finie notamment, voire des variétés non singulières – c'est donc beaucoup mieux que ce que nous donne le yoga de Cartan–Serre « toute application continue est équivalente à une fibration » …]. C'est ce dernier diagramme qui est susceptible d'une construction directe, purement algébrique, dans le cadre des schémas, lorsque l'on a développé la construction du voisinage tubulaire étale.

Le point où je veux en venir, c'est que la considération ⌜de la cat.⌝ des faisceaux ⌜(ou complexes d'iceux, ou⌝ (ou ⌜\(n\)-champs …)⌝ \(\mathcal{P}\)-constructibles sur un \(X\), où \(\mathcal{P}\) est une stratification « équisingulière » donnée, revient dans le cas particulier actuel à la connaissance d'un diagramme de types d'homotopie ordinaires ⌜(ou de pro-types, si on revient à la top. étale)⌝

\begin{tikzcd}
\Delta \arrow[r, "j"] \arrow[d, "p"'] & X_1 \\
X_0 &
\end{tikzcd}

en prenant des systèmes de coeff locaux (ou de \(n\)-champs loc. constants) sur ces sommets ⌜\(X_0\), \(X_1\)⌝ […], reliés par des hom de compatibilité du type \(p^*(F_0) \to j^*(F_1)\). Ce serait un exercice amusant (que je n'ai pas encore fait) de « tjrs » (toujours) est écrit au-dessus de « une fibration ». La parenthèse « (ou de pro-types … étale) » est écrite au-dessus de « ordinaires », qu'elle précède sur la page. Le sommet du diagramme est un \(\Delta\), comme dans la version anglaise (lot 4, p. 73).

177p. 33 de l'auteur (crayon : 178). vérifier et d'expliciter comment les « 6 opérations » habituelles sur les faisceaux (soit sur \(X\), soit sur une réunion de strates de \(X\)) peuvent s'exprimer dans ce dictionnaire, dans le cas disons de strates non singulières (autrement, on aurait des difficultés avec les complexes dualisants, dont on aimerait qu'ils appartiennent à notre catégorie …) ⌜et de revérifier le formulaire connu de ces opérations⌝. Mais il apparaît probablement que, pour bien pouvoir tout transcrire, il convient, plutôt ⌜que⌝ de regarder un diagramme du type

\begin{tikzcd}
\bullet \arrow[r] \arrow[d] & \bullet \\
\bullet &
\end{tikzcd}

dans la catégorie homotopique formée avec la cat. des ens. semi-simpliciaux, ⌜de⌝ regarder la catégorie des diagrammes d'ensembles semi-simpliciaux, et à partir de là passer à une catégorie homotopique de fractions. le diagramme « du type » est un simple coin de deux flèches, sans sommets écrits ; les points sont ajoutés ici. « semi-simpliciaux » est écrit la seconde fois « ½simpliciaux ».

J'ai plus ou moins explicité dernièrement, en cogitant sur les fondements de « topologie modérée » (i.e. où on élimine d'emblée tous les phénomènes de sauvagerie), comment une stratification équisingulière […], à strates non singulières disons, d'un « espace modéré » ⌜compact⌝ donne naissance canoniquement à un diagramme […] d'espaces, un ajout interlinéaire au-dessus de « équisingulière » est biffé et cerclé, illisible.

178p. 34 de l'auteur (crayon : 179). qui sont des variétés à bord, les […] flèches des diagrammes étant pour l'essentiel des fibrations loc. triviales de variétés à bord sur d'autres (à fibres des variétés à bord), et des inclusions des bords dans les variétés à bord [en fait, on trouve des inclusions légèrement plus générales, certains des bords qui apparaissent étant munis d'une décomposition cellulaire « élémentaire », ⌜i.e. dont⌝ […] les strates ⌜fermées⌝ sont encore des variétés à bord qui se recollent suivant des parties communes du bord ; et il y a lieu d'envisager ⌜aussi⌝ les inclusions de ces morceaux les uns dans les autres …], et se reconstitue à partir de ce diagramme ⌜par recollement⌝. En d'autres termes, on a une description-dévissage canonique des espaces modérés compacts ⌜\(X\)⌝, éventuellement munis de stratifications équisingulières à strates non sing., en termes de diagrammes ⌜finis⌝ de nature précise formés avec des variétés à bord. Quand on s'intéresse aux faisceaux ⌜(ou complexes de faisceaux, ou \(n\)-champs …)⌝ \(\mathcal{P}\)-constructibles sur \(X\), où \(\mathcal{P}\) est une telle stratification fixée, ceux-ci s'explicitent en termes du diagramme envisagé, dont il « élémentaire » : le mot porte une marque finale qui peut être un pluriel. Le mot biffé après l'ajout « i.e. dont » (lecture incertaine du second mot) est noirci.

179p. 35 de l'auteur (crayon : 180). n'y a plus lieu de retenir que le « type d'homotopie ». On prévoit que les 6 opérations sur ces faisceaux peuvent se traduire ad hoc dans ce cadre homotopique. Enfin, si au lieu d'un seul espace modéré compact \(X\), on a disons un morphisme modéré \(f : X \to Y\) de tels, choisissant des stratifications équisingulières sur \(X\) et \(Y\) adaptées à \(f\) (les strates de \(X\) étant notamment des fibrés loc. triviaux sur celles de \(Y\) …), on doit trouver un « morphisme » du diagramme de variétés à bord exprimant \(X\) dans celui exprimant \(Y\) (avec des morphismes mutuels se ramenant encore, pour l'essentiel, à des fibrations de variétés à bord sur d'autres) de telle façon que les 4 opérations \(Rg_*\), \(Rg_!\), \(Lg^*\), \(g^!\) entre faisceaux ⌜\(\mathcal{P}_X\)- et \(\mathcal{P}_Y\)-constructibles⌝ sur \(X\) et \(Y\) (ou sur des sous-espaces ⌜\(X'\), \(Y'\)⌝ loc. fermés réunions de strates, de sorte que \(f\) induise \(g : X' \to Y'\)) s'expriment encore en termes d'opérations standard entre seuls types d'homotopie. Enfin, toutes ces constructions, encore partiellement hypothétiques (y a du travail ⌜de fondements⌝ sur la planche !) doivent

180p. 36 de l'auteur (crayon : 181). pouvoir se paraphraser dans le cadre des schémas excellents, à grands coups de voisinages tubulaires étales. Dans l'un et l'autre cas, le « type d'homotopie fin » d'un espace modéré, resp. d'un schéma excellent, se définirait par passage à la limite à partir des ⌜\(\mathcal{P}\)-⌝« types d'homotopie » associés à des stratifications équisingulières (à strates non sing.) \(\mathcal{P}\) de plus en plus fines. Ce type d'homotopie ⌜« fin »⌝ incorporerait la connaissance, non des seuls faisceaux ⌜ou \(n\)-⌝champs loc. constants, mais ⌜(via un passage à la limite inductive)⌝ la connaissance de tous. Et il dépendrait, en un sens convenable, fonctoriellement de \(X\). Dans le cas d'un schéma de type fini sur un corps alg. clos disons, les théorèmes de finitude cohomologiques – homotopiques les plus forts s'exprimeraient précisément en termes du type d'homotopie fin, et diraient que les types d'homotopie ordinaires qui en sont les éléments constituants sont essentiellement des « polyèdres finis » – et même des variétés à bord compactes – ou de façon plus précise, la phrase continue au lot 10.