Cote n° 134-2 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · [Chapitre I : Take off (pages 1 à 65) et table des matières provisoire] : tapuscrits annotés (19/02-22/02/1983), note manuscrite (s.d.), copies de lettre (1975, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1975-[1983]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-06.fr.xml

Lettre à Daniel Quillen, 19–22.2.1983 (second exemplaire, suite) — Pursuing Stacks

101sa p. « 5' » : § 4 (suite). Second exemplaire de la lettre à Quillen, qui double les pp. 14 à 36 ; texte de Pursuing Stacks, imprimé, donc cité et non transcrit (Maltsiniotis (éd.), À la poursuite des champs, vol. I, SMF 2022). Corrections manuscrites : « finite inverse limits » puis « lim » au-dessus de « fiber products » biffé, « iterated » ajouté quatre fois devant « fiber products », « here » au-dessus de « are » ; en marge gauche, une remarque en anglais : il abandonnera désormais le qualificatif « iterated ».

102sa p. « 6 » : fin du § 4 et § 5 (numéro « 5. » ajouté en marge, sur une frappe « 6 »). Ajouts « This step » au-dessus de « which » biffé, « system of », « letters », « in this respect » ; en marge gauche, écrite en travers, une remarque en anglais sur l'ordre de l'opération \(\ast\) (« heuristically clear », mais demandant une preuve).

103sa p. « 6' » : § 5 (suite), début du § 6 (numéro « 7. » en marge, corrigé de la frappe). Ajouts « (iterated) », « will turn out to be », « of these », « inductive », « quite » ; en marge gauche, une note datée « (23.2) », appelée par un astérisque après « I believe it is », qui revient sur cette conviction (« But no longer … »).

104sa p. « 7 » : § 6 (suite) — décomposition cellulaire des \(D_n\) et première idée des sommes amalgamées « standard ». Les deux figures (triangle et cercle) sont dessinées à la main, suivies de « which are circles » ; « formulation » remplace un mot biffé ; retouches d'indices (\(n\), \(2n+1\), \(0 \leq j \leq n-1\)).

105sa p. « 7' » : § 6 (suite et fin). Ajouts « i.e. numbered », « \((i \in I)\) », « sub- », « \(f_{n(i),j}\) », « object » au-dessus de « subset », « \((2 \leq i \leq N)\) » ; la dernière phrase est complétée à la main (choix de source ou but selon les signes \(\varepsilon\), \(\varepsilon'\)). Bas de page blanc.

106sa p. « 8 » (numéro non visible), datée « 21.2. » : §§ 7 et 8 (numéros « 8. » et « 9. » en marge). Ajout « however » ; un astérisque après « all categories \(C_n\) » renvoie à une note en marge gauche, en face d'un trait vertical, qui déclare l'assertion fausse et renvoie au P.S., p. 12.

107sa p. « 8' » : § 8 (suite). Ajouts « the bunch of », « (binary) », « two », « finite », « a "homotopy" » au-dessus d'un mot biffé, « implicit », « that » ; deux notes en marge gauche, en face de traits verticaux, qualifient d'inexact ce qui est dit des sommes amalgamées (« unaccurate », « unaccurate, see above! »).

108sa p. « 9 » : fin du § 8 (l'histoire des sept mathématiciens) et § 9 (numéro « 10. » en marge). Ajouts « his own », « which », « (in the sense of the Y-theory) », « \(\infty\)- », « n ».

109sa p. « 9' » : § 9 (suite). Ajouts « i.e. », « with », « I believe », « two » au-dessus de « categories ».

110sa p. « 10 » : § 10 (numéro « 11. » en marge). Ajouts « of \(\mathrm{Hom}(D_n, |K|)\) », « by », « an "allowable" » au-dessus d'un mot biffé, « merely », « in the \(D_i\) », « after all », « undesirable » au-dessus de « extra ».

111sa p. « 10' » : § 11 (numéro « 12. » en marge), fin de la journée du 21.2 (« Good night »). Ajouts « \(M\)- », « stepwise », « gerbs » deux fois au-dessus de mots biffés, « should ».

112sa p. « 11 », datée « 22.2.1983 » : § 12 (numéro « 13. » en marge ; c'est le § 13 de l'édition imprimée) — terminologie : \(n\)-stacks, \(n\)-Gr-stacks, « coherators » (« cohéreurs »). Peu de corrections manuscrites.

113sa p. « 11' » : § 12 (suite). Ajouts « fiber products » à deux endroits sur « amalgamated sums » biffé, « primitive », « intrinsic », « even » ; en marge gauche, en face d'un trait vertical, « false, see P.S. » ; plus bas, en marge, « nor even automorphisms! ».

114sa p. « 12 » : fin du § 12, formule finale « Very cordially yours », signée à la main « Alexander » ; P.S. daté « (23.2) » sur l'erreur concernant les produits fibrés dans les \(C_n\), interrompu en bas de page. Ajouts « implies », « still in embryo », « later », « practically » ; en marge gauche, une remarque en anglais (« Maybe false, … », sur la sous-catégorie \(C_0\)). La dernière ligne est coupée horizontalement par le scan ; « coherator » n'y est qu'à moitié visible. La feuille suivante, crayonnée 115, manque au scan (vérifié sur le fac-similé par Michel Hua, 2026-10-15).

R. Brown, note sur sa traduction de la lettre à Breen

115note dactylographiée de R. Brown (Bangor) : la suite est une traduction informelle, par lui avec l'aide de L. Breen (Rennes) et de J.-L. Loday (Strasbourg), de la partie mathématique de la lettre manuscrite de Grothendieck à Breen datée des 17–19 juillet 1975 ; il remercie Grothendieck d'en avoir communiqué les copies, ainsi que des deux lettres précédentes. Texte d'un tiers, résumé. Aucune marque de Grothendieck.

R. Brown, « Comments » (Bangor, novembre 1982)

117tapuscrit de R. Brown, adressé à Grothendieck, en quatre pages numérotées « -2- » à « -4- » à partir de la deuxième.

COMMENTS

  1. 1.

    The topic of duality has progressed somewhat since 1975, see for example

    L. Begueri à la suite, au crayon gris, de la main de R. Brown (vérifié sur le fac-similé par Michel Hua, 2026-10-15) : « Memoir SMF »

    M. Bester à la suite, de la même main de Brown, au crayon gris : « Thesis, U of Michigan »

    (These references are due to L. Breen.)

    demander réf. : Breen.à l'encre noire de Grothendieck (vérifié sur le fac-similé par Michel Hua, 2026-10-15), à droite des deux références, en face d'un trait vertical

  2. 2.

    The work of Mme Sinh referred to on p. 2 is as follows:

    H.X. Sinh, Gr-catégories, Thèse Doctorat d'État Université Paris VII (1975).

    See also

    N.[…]. ⌜Saavedra,⌝ Rivano, Catégories tanakiennes, Springer Lecture Notes in Mathematics 265 (1972).l'initiale dactylographiée après « N. » est surfrappée ; « Saavedra, » est écrit à l'encre noire au-dessus, avec un signe d'insertion

    Related to these notions is that of \(+\)-groupoid (=coherent symmetric monoidal groupoid with strict associativity and strict zero object) whose theory is developed also in:

    M. Takeuchi, 'On Villamayor and Zelinsky's long exact sequence', Mem. Amer. Math. Soc. 33 (1981) No 249.

  3. 3.

    The description of groups in (1-cat) given on p. 2–3 is in effect an equivalence between G-groupoids (= group objects in the category of groupoids) and crossed modules. This is described also in:

    R. Brown and C.B. Spencer, 'G-groupoids, crossed modules and the fundamental groupoid of a topological group', Proc. Kon. Akad. v. Weten. 79(1976), 296 – 302.

    and is believed to have been known to Verdier in 1965.

  4. 4.The equivalence mentioned in the last comment has been generalised to

118equivalences between six categories as set out in the diagram,

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\text{poly-T-complexes} \arrow[r, leftrightarrow, "(f)"] \arrow[d, leftrightarrow, dashed, "(f)"'] & \text{cubical T-complexes} \arrow[r, leftrightarrow, "(c)"] & \omega\text{-groupoids} \arrow[d, leftrightarrow, "(d)"] \arrow[dl, leftrightarrow, "(a)"] \\
\text{simplicial T-complexes} \arrow[r, leftrightarrow, "(e)"'] & \text{crossed complexes} \arrow[r, leftrightarrow, "(d)"'] & \infty\text{-groupoids}
\end{tikzcd}

la flèche (f) verticale est en pointillé sur la page.

The categories are defined and the equivalences proved in:

  1. a)R. Brown and P. J. Higgins, 'The algebra of cubes', J. Pure Appl. Alg. 21(1981) 233 – 260.
  2. b)R. Brown and P. J. Higgins, 'Colimit theorems for relative homotopy groups', ibid. 22(1981) 11 – 41.
  3. c)R. Brown and P. J. Higgins, 'The equivalence of \(\omega\)-groupoids and cubical T-complexes', Cah. Top. Géom. Diff. (3e Coll. sur les catégories, dédié a Charles Ehresmann) 22 (1981), 349 – 369.
  4. d)R. Brown and P. J. Higgins, 'The equivalence of \(\infty\)-groupoids and crossed complexes' ibid, 370 – 386.
  5. e)N. K. Ashley, Simplicial T-complexes, Ph.D. thesis, University of Wales (1978),(to be published in an issue of Esquisses Mathématiques, Amiens).
  6. f)D. W. Jones, Ph.D. thesis in preparation.

Applications of the equivalence (a) are given in reference (b) above.

  1. 5.However the notion of \(\infty\)-groupoid referred to in (4) is not adequate for the purposes considered by Grothendieck since, roughly speaking, crossed complexes describe the homotopy types only of spaces \(X\) which fibre over a \(K(\pi,1)\) with fibre a product of Eilenberg-MacLane spaces.
  2. 6.A notion of multiple groupoid called an n-cat-group has been described

119in:

J.-L. Loday, 'Spaces with finitely many homotopy groups', J. Pure Appl. Alg. 24(1982) 179 – 202.

The n-cat-groups (which may be described as n-fold categories in the category of groups) are adequate for the description of truncated homotopy types. This is Loday's main result.

  1. 7.

    An analysis of the structure of non-abelian chain complex on a length two normalised chain complex of a simplicial group is given in:

    D. Conduché, 'Modules croisés généralisés de longueur 2' (in preparation).

  2. 8.

    By following through some of the equivalences in (4) above, we can associate to an \(\infty\)-groupoid \(G\) a simplicial T-complex \(NG\), whose underlying simplicial set could be called the nerve of \(G\). A direct description of \(NG\) is that \((NG)_n\) is the set of \(\infty\)-groupoid maps to \(G\) from \(\sigma\underset{\sim}{\Delta}^n\), the homotopy \(\infty\)-groupoid of the standard n-simplex \(\Delta^n\) (i.e. \(\sigma\underset{\sim}{\Delta}^n\) has associated crossed complex \(\pi\underset{\sim}{\Delta}^n\), the homotopy crossed complex of \(\underset{\sim}{\Delta}^n\)).

    Now a definition of \(\infty\)-category is also given in (4)(d) above, but the corresponding functor nerve: \(\infty\)-categories \(\longrightarrow\) simplicial sets is still unknown.

  3. 9.An indication of the use of the ideas of (4) in non-abelian situations is given in:
  1. a)R. Brown and P.J. Higgins, 'Crossed complexes and non-abelian extensions', Int. Conf. on Category Theory, Gummersbach (1981), Springer L.N.M. (to appear).
  2. b)R. Brown, 'Non-abelian cohomology and the homotopy classification of maps', Proc. Conf, Méthodes d'algèbre homotopique en topologie, Marseilles – Luminy (1982). Astérixes (to appear)

120The latter paper uses the equivalence between crossed complexes and simplicial T-complexes (which generalises the Dold-Kan theorem on the equivalence of chain complexes and simplicial abelian groups) to give a notion of nerve, and so classifying space \(BC\) of a crossed complex \(C\). The classical Eilenberg-MacLane bijection \[[X, K(A, n)] \cong H^n(X, A)\] for a CW-complex \(X\), is then generalised to a bijection \[[X, BC] \cong H^0(X, C)\] However, as pointed out in (5), these results are still "too abelian", and much more work is needed to realise Grothendieck's programme.

  1. 10.

    The theory of tubular neighbourhoods has been developed in papers by D.A. Cox.

    'Algebraic tubular neighbourhoods I, II', Math. Scand. 42 (1978), 211 – 228, 229 – 242.

    Another of his papers seems relevant:

    'Homotopy theory of simplicial schemes', Compositio Math. 39(1979) 263 – 296.

R. BROWN

School of Mathematics and Computer Science, University College of North Wales, Bangor, Gwynedd. U.K.« U.K. » ajouté à l'encre bleue

November, 1982

au pied de la page, au crayon gris, de la main de R. Brown (vérifié sur le fac-similé par Michel Hua, 2026-10-15), comme « Memoir SMF » p. 117 : « 11 A van Kampen Theorem for 2-cat-groups has now been proved by Brown and Loday. »