Cote n° 134-2 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Chapitre I : Take off (pages 1 à 65) et table des matières provisoire] : tapuscrits annotés (19/02-22/02/1983), note manuscrite (s.d.), copies de lettre (1975, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1975-[1983]
Édition de démonstration

Lettre à Daniel Quillen (suite) — Pursuing Stacks

21Pp. 21 à 36 (pagination de l'auteur 7 à 22) : suite de la lettre à Daniel Quillen commencée le 19.2.1983, tapuscrit annoté de sa main ; c'est le texte de Pursuing Stacks, §§ 4 (fin) à 13 et post-scriptum du 23.2 ; imprimé dans Maltsiniotis (éd.), À la poursuite des champs, vol. I, SMF, Documents mathématiques 20, 2022. Non transcrit. La fin du § 4 vient de la page précédente (lot 01).

p. de l'auteur 7 : fin du § 4, début du § 5.

22p. de l'auteur 8 : § 5 (suite).

23p. de l'auteur 9 : § 5 (suite).

24p. de l'auteur 10 : fin du § 5, début du § 6.

25p. de l'auteur 11 : § 6 (suite), début du § 7.

26p. de l'auteur 12 : § 7 (suite).

27p. de l'auteur 13 : § 7 (suite).

28p. de l'auteur 14, datée « 21.2. » : §§ 8 et 9.

29p. de l'auteur 15 : § 9 (suite).

30p. de l'auteur 16 : fin du § 9, début du § 10.

31p. de l'auteur 17 : § 10 (suite).

32p. de l'auteur 18 : § 11.

33p. de l'auteur 19 : § 12.

34p. de l'auteur 20, datée « 22.2.1983 » : § 13.

35p. de l'auteur 21 : § 13 (suite) ; une note marginale datée « 25.2 ».

36p. de l'auteur 22 : fin du § 13, signature « Alexander », post-scriptum « PS (23.2) ».

Appendice au chapitre I : trois lettres à Larry Breen

37p. de l'auteur 23. Texte en anglais, tapuscrit annoté de sa main. Il appartient à la dactylographie de Pursuing Stacks mais n'est ni la lettre à Quillen ni une section numérotée ; voir l'en-tête du fichier.

APPENDIX to Chapter I : three letters to Larry Breen

In this appendix, I am encludingsic three letters to Larry Breen, dated 5.2, 17.2 and 17-19.7. 1975. These letters are written in French, and the first two are reproduced textually, whereas the third appears here in English translation. I am grateful to Ronnie Brown who took the trouble last year to make such a translation (from a hardly legible handwri copy of the handwritten letter to Larry Breen) with the assistance of Larry Breen himself and J.L. Loday. I am now using his translation rather than the original letter, which no printer could possibly decipher !

Also, for the second letter I am using a typed copy made in 1975 by Larry Breen (who presumably had difficulties too deciphering the handwriting). Thanks are due to him for his interest and patience (with someone like me, very unknowledgeable in standard homotopy techniques), […] ⌜which⌝ appeared from ⌜in⌝ the letters I got from him in response and his verbal explanations on related matters, ⌜as well as from in⌝ the trouble he took in copying retyping ⌜that letter⌝ and sending me copies of my own letters to him, and allowing me to reproduce them in this volume of Pursuing Stacks. My only present contribution to this set of letters is adding a few comments (in the notes (⌜22⌝) to (⌜31⌝)), ⌜adding subtitles (with numbers App. 1 to App. 18), and correcting some⌝ and correcting some inaccuracies in the English translation (due mainly to my handwriting …). Also, I skipped the beginning of the first letter, which does'nt seem to me of general relevance. Après « (31)), » un court passage dactylographié est biffé sous l'ajout manuscrit ; illisible.

The first two letters are an attempt to explain to Larry Breen (who has a wide background in algebraic geometry and homological and homotopical algebra) some of the main points of the programme I had in mind around the notions of n-categories and n-stacks (which is what I am supposed to be pursuing now in my present work "Pursuing Stacks"). They were written under the impetus of the ⌜new⌝ intuition which (new to me at any rate) which then had just appeared to me, namely that (non strict) n-groupoids should model (in a suitable sense) n-truncated homotopy types.

signe d'alinéa The third letter, ⌜written in⌝ answer to a number of questions in Larry Breen's response to the first two, is of a wider scope. A large part of the letter outlines (very sketchyly) some main points of a duality program (including a cohomological formulation of "geometric" local and global classfield theory), which appears ⌜emerged by the end of the fifties and appears⌝ here for the first time in print, and going back to the end of the fifties. It ⌜The later part of the letter⌝ gives also some hints about the need of a framework of "tame topology" suitable for writing up a "dévissage theory" of stratified spaces, and for […] ⌜working⌝ with étale tubular neighbourhoods, for the common purpose of coming to grips of ⌜with⌝ a suitable notion of "fine homotopy type" of a "tame" topological space or ⌜of⌝ a scheme ⌜say⌝, in terms of the ordered set ⌜inverse system⌝ of "indexed homotopy types" corresponding to ⌜all⌝ equisingular stratifications.

Première lettre à Lawrence Breen, Villecun, 5.2.1975

38p. de l'auteur « 23 bis ». Copie dactylographiée, en français, annotée de sa main. Une bande retapée (date, appel « Cher Breen », coupure « …. » et les trois lignes de l'App. 1) est collée sur la copie dactylographiée d'origine ; le début de la lettre, sauté pour le volume (cf. p. 37), y transparaît sous la bande, barré de grandes croix. Ce qu'on en devine est donné ici, sous réserve ; le reste n'est pas lisible à travers le papier.

Villecun le 5.2.1975 — Cher Breen, Merci pour ta longue lettre, reçue il y a déjà un moment, et excuse le retard pour répondre. Je dois avouer que toute cette lettre m'a passé par dessus la tête, elle était écrite pour quelqu'un plus […] que je ne le suis — surtout maintenant où je ne réfléchis plus au maths que quelques jours par mois, à la sauvette. Ton scepticisme concernant la […] exacte de ma lettre à Deligne était fondé, et ton interprétation cohomologique […] comme un Ext (X(M),T) certainement exacte. Je m'étais convaincu par voie géométrique qu'il y avait un homomorphisme d'obstruction Hom(M,N) → Ext (M,N), mais […] au cas "universel" […]

Villecun 5.2.1975

Cher Breen

….

(App. 1) … Pour tout le reste de ta lettre, elle mériterait un lecteur plus averti, aussi, pour qu'elle ne soit pas entièrement perdue au monde, je vais l'envoyer à Illusie ! J'ai néanmoins constaté, avec intérêt, ton intérêt à demi refoulé pour des 2-catégories de Picard, n-catégories et autre faune de ce genre, et ton espoir que je te prouverai peut-être que ces animaux sont tout à fait indispensables pour faire des maths sérieuses dans telle ou telle circonstance. J'ai bien ⌜peur⌝ que cet espoir ne soit déçu, je crois que jusqu'à maintenant on a toujours pu s'en tirer en éludant de tels objets et l'engrenage dans lequel ils pourraient nous entrainer. Est-ce nécessairement une raison pour continuer à les éluder ? Les situations où on a l'impression "d'éluder" en effet me semblent en tous cas devenir toujours plus nombreuses — et si on s'abstenait de tirer une situation complexe et chargée de mystère au clair, chaque fois qu'on ne serait pas forcé de le faire pour des raisons techniques provenant de la math déjà faite, — il y aurait sans doute beaucoup de parties des maths aujourd'hui reputées "sérieuses" qui n'auraient jamais ⌜été⌝ développées (Il n'est pas dit non plus que le monde s'en trouverait plus mal …). Ton commentaire (que j'ai également entendu chez Deligne) que la classification d'objets géométriques relativement merdiques se réduit finalement à des invariants cohomologiques essentiellement "bien connus" et relativement simples n'est pas non plus convainquant ; n'est ce pas négliger la différence entre la compréhension d'un objet géométrique, et la détermination de sa "classe à isomorphisme (ou équivalence …) près" ?

39p. de l'auteur 24.

Tu me demandes des exemples "convainquants" de 2-catégories de Picard. Voici quelques cas ⌜exemples,⌝ en vrac ⌜(je ne sais s'ils seront convainquants !)⌝ :

(22) 1) Si \(L\) est un lien ⌜(22)⌝ de centre \(Z\) sur le topos \(X\), les gerbes liées par \(Z\) forment une 2-catégorie de Picard stricte, représentée par le complexe \(R\Gamma_X(Z)\) tronqué en degré 2, dont les objets de cohomologie non triviaux sont les \(H^i(X,Z)\), \(0\leqslant i\leqslant 2\). Les gerbes liées par \(L\) forment un pseudo-2-torseur sous la gerbe précédente, qui est un 2-torseur (i.e. non vide) sss une certaine obstruction dans \(H^3(X,Z)\) est nulle. Pour comprendre cette classe de notre point de vue, il y a lieu de passer aux 2-champs correspondants : le 2-champ de Picard ⌜strict⌝ des \(Z\)-gerbes liés par […] et le 2-champ des sur des objets variables de \(X\), et le 2-champ des \(L\)-gerbes sur des objets variables. Ce dernier est bel et bien un 2-torseur sous le champ précédent, or la classification de ces deux 2-torseurs (à 2-équivalence près) se fait par le \(H^3(X,Z)\), De façon précise (tout comme les \(Z\)-⌜1-⌝gerbes peuvent être interpétéessic comme des 1-torseurs sous la \(Z\)-1-champ ⌜de Picard strict⌝ des \(Z\)-torseurs, et sont par conséquent classifiées par le \(H^2(X,Z)\)). On voit déjà, bien sûr, poindre ici l'oreille de la 3-catégorie de Picard stricte des 2-gerbes liées par \(Z\), ou (de façon équivalente) des 2-torseurs sous le 2-champ de Picard strict des \(Z\)-1-gerbes ; cette 3-catégorie de Picard stricte étant décrite par \(R\Gamma_X(Z)\) tronqué en dimension 3, ayant comme invariants de cohomologie non triviaux les \(H^i(X,Z)\) \((0\leqslant i\leqslant 3)\). Quant au 3-champ de Picard correspondant, il est décrit par une résolution injective de \(Z\) tronquée en degré 3, alors que le 2-champ de Picard précédent se décrivait en tronquant en degré 2.

2. Si \(M\) et \(N\) sont deux faisceaux abéliens sur \(X\), les champs de Picard (NB : 1-champs !) d'invariants \(M\) et \(N\) forment eux-même une ⌜2-⌝catégorie de Picard stricte, représentée sans doute par le complexe \(\mathrm{RHom}(X(M),N)\) ⌜(23)⌝ tronqué en dimension degré 2, dont les invariants de chomologiesic non triviaux sont donc "le drôle de \(\mathrm{Ext}^2\)" de ma lettre à Deligne, et les Honnètes \(\mathrm{Ext}^i(M,N)\) \((0\leqslant i\leqslant 1)\). l'exposant de ce premier \(\mathrm{Ext}\) ressemble à un 1 ; l'encadrement \(0\leqslant i\leqslant 1\) demande \(i\). Les champs de Picard stricts forment une sous-2-catégorie de Picard pleine, représentée par \(\mathrm{RHom}(M,N)\) tronqué en degré 2, d'invariants les \(\mathrm{Ext}^i(M;N)\) \((0\leqslant i\leqslant 2)\). Bien sûr, \(\mathrm{Ext}^2\) donne les ⌜0-⌝objets à équivalence près, \(\mathrm{Ext}^1\) les automorphismes à isomorphisme près de l'objet nul, \(\mathrm{Ext}^0\) les automorphismes de l'automorphisme identique dudit … Je n'ai pas réfléchi à une bonne interprétation géométrique de la \(n\)-catégorie de Picard associée à \(\mathrm{RHom}(M,N)\) tronqué en degré \(n\), et encore moins bien sûr pour \(\mathrm{RHom}(X(M),N)\), mais sans doute il faut regarder dans la direction des \(n\)-champs de Picard.

3. Soit \(G\) un Groupe sur \(X\), opérant sur un faisceau abélien \(N\). Les champs en (Gr)-catégories sur \(X\) liés par \((G,N)\) forment une 2-catégorie de Picard,

40p. de l'auteur 25.

dont les invariants sont \(H^3(B_G \bmod X,N)\), \(H^2(B_G \bmod X,N)\), et \(Z^1(G,N)\) (groupe des 1-cocyles de \(G\) à coéfficients dans \(N\)) — je te laisse le soin de deviner quel est le complexe tronqué qui le décrit ! J'ai écrit il y a quelques mois à Deligne à ce sujet, et l'ai prié de t'envoyer une copie de […] la lettre.

4) Soit \(X\) un topos localement annelé, on peut considérer les Algèbres d'Azumaya sur \(X\) (i.e. les Algèbres localement isomorphes à une alg. de matrices d'ordre \(n\), \(n\geqslant 1\)) comme les objets d'une 2-catégorie de Picard, où la catégorie \(\underline{\mathrm{Hom}}(A,B)\), pour \(A\) et \(B\) des Algèbres d'Azumaya, est la catégorie des "trivialisations" de \(A^{\circ}\otimes B\), i.e. des couples \((E,\varphi)\), \(E\) un Module localement libre et \(\varphi\) un isomorphisme \(\underline{\mathrm{End}}(E)\simeq A^{\circ}\otimes B\). Il faut travailler un peu pour définir les accouplements \(\underline{\mathrm{Hom}}(A,B)\times\underline{\mathrm{Hom}}(B,C)\to \underline{\mathrm{Hom}}(A,C)\) ; l'opération \(\otimes\) dans la 2-catégorie de Picard à construire est bien sûr le produit tensoriel d'Algèbres, et l'opération "puissance \(-1\)" est le passage à l'algèbre opposée. On vérifie , passant aux champs correspondants, qu'en qu'en associant à toute Algèbre d'Azumaya la 1-gerbe de ses trivialisations, on trouve un 2-\(\otimes\)-foncteur de la 2-catégorie de Picard (dite "de Brauer") dans celle des 1-gerbes liées par \(\underline{G}_m\), qui est 2-fidèle. Les invariants de la première sont donc les groupes \(H^2(X,\underline{G}_m)_{\mathrm{Br}}\), \(H^1(X,\underline{G}_m)\) et \(H^0(X,\underline{G}_m)\), où dans le premier terme l'indice Br désigne le sous-groupe du \(H^2\) formé des classes de cohomologie provenant d'Algèbres d'Azumaya. On aurait envie de parler du 2-champ de Picard des Algèbres d'Azumaya sur des objets variables de \(X\), mais c'est bien une 2-catégorie de Picard fibrée sur \(X\), mais pas tout à fait un 2-champ (whatever that means), sans doute — la condition de 2-recollement (whatever that means) ne doit pas être satisfaite — sinon il n'y aurait pas d'indice Br au \(H^2\) …

espace (⌜App. 2⌝) La considération des \(n\)-catégories de Picard ⌜strictes⌝ (qui s'imposent à nous pas à pas dans un contexte essentiellement "commutatif") me semblent la clef du passage de l'algèbre homologique ordinaire ("commutative"), en termes de complexes, à une algèbre homologique non commutative, du fait qu'elles donnent une interprétation géométrique correcte des "complexes tronqués à l'ordre \(n\)" ⌜(en tant qu'objets de catégories dérivées)⌝, donc, essentiellement (par passage à la limite sur \(n\)) des complexes tout courts. L'idée naive qui se présente est alors que les "complexes non commutatifs" (qui seraient les objets-fantômes d'une algèbre homologique non commutative) sont peut-être ce qui reste des \(n\)-catégories de Picard (strictes) quand on oublie leur caractère additif, i.e. leur structure de Picard — c'est à dire qu'on ne retient que la \(n\)-catégorie ! ⌜(Quand on se place sur un topos \(X\), on s'intéresse donc aux \(n\)-champs sur \(X\) …)⌝ A vrai dire, cette idée est venue d'abord d'une autre direction, quand il s'est agi en géométrie algébrique de démontrer des formules ⌜théorèmes⌝ de Lefschetz

La phrase et la lettre se poursuivent à la page suivante (lot 03).