Cote n° 134-2 · pages 1–80 · Lecture modernisée · [Chapitre I : Take off (pages 1 à 65) et table des matières provisoire] : tapuscrits annotés (19/02-22/02/1983), note manuscrite (s.d.), copies de lettre (1975, s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1975-[1983]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et ce que cette lecture couvre

Les stations

Le dossier est un tapuscrit de 1983 annoté de sa main, dans l'ordre où Grothendieck l'a monté pour en faire le premier chapitre de Pursuing Stacks. On y distingue sept stations.

• 1.Pages 1 à 12 : la couverture, « The Modelizing Story », le plan en parties I à X et deux états successifs de la table des matières, §§ 1 à 140, plus la table de l'appendice (App. 1 à 18). Ce sont ses tables de travail ; elles sont lues ici comme un document.
• 2.Page 13 : une dédicace manuscrite.
• 3.Pages 14 à 36 : le chapitre I, « Take off », c'est-à-dire la lettre à Daniel Quillen des 19–23 février 1983, §§ 1 à 13. Imprimé par Maltsiniotis ; non repris ici.
• 4.Page 37 : l'avertissement de 1983 à l'appendice, en anglais.
• 5.Pages 38 à 47 : première lettre à Breen, Villecun, 5.2.1975 (App. 1 à 5).
• 6.Pages 48 à 55 : deuxième lettre, Villecun, 17.2.1975 (App. 6 à 8).
• 7.Pages 56 à 77 : troisième lettre, Villecun, 17/19 juillet 1975, dans une traduction anglaise revue par lui (App. 9 à 18).

Suivent, pages 78 à 80, les premières pages des « NOTES to Chapter I and Appendix », imprimées dans la même édition et non reprises ici.

L'épine dorsale

Le dossier ne construit pas un objet de page en page ; il en annonce un. Les tables disent où Pursuing Stacks devait aller, la lettre à Quillen dit par où il commence, et les lettres à Breen disent d'où il vient : de l'intuition de 1975 que les \(n\)-groupoïdes non stricts modélisent les types d'homotopie \(n\)-tronqués — l'avertissement de la page 37 le dit en propres termes. Les trois lettres déploient cette intuition dans un ordre qui est celui de cette lecture :

1. des exemples de \(2\)-catégories de Picard (pages 38 à 40) ;
2. les \(n\)-champs comme cadre naturel d'une algèbre homologique non commutative (pages 40 à 42) ;
3. le dictionnaire entre \(n\)-groupoïdes et types d'homotopie tronqués, absolu puis relatif à un topos (pages 42 à 47) ;
4. le \(n\)-groupoïde fondamental d'un topos et la classification de ses systèmes locaux (pages 48 à 51) ;
5. la cohomologie comme intégration de champs (pages 51 à 55) ;
6. en juillet, le prolongement vers la dualité, la topologie modérée et la linéarisation des types d'homotopie (pages 56 à 77).

Conventions, valables pour tout le dossier

• On note \(\mathcal{S}\) l'\(\infty\)-catégorie des espaces, ou \(\infty\)-groupoïdes, et \(\mathcal{S}_{\leqslant n}\) celle des \(n\)-groupoïdes, c'est-à-dire des \(n\)-types d'homotopie (espaces dont les \(\pi_i\) sont nuls pour \(i > n\) en tout point base). Ce dictionnaire est l'hypothèse d'homotopie ; on dit à la page 43 sous quelle forme elle est un théorème.
• Un \(n\)-champ (en groupoïdes) sur un topos \(X\) est un objet \(n\)-tronqué de l'\(\infty\)-topos \(\mathrm{Sh}(X;\mathcal{S})\) des faisceaux d'espaces sur \(X\) ; pour \(n = 0\) ce sont les faisceaux, pour \(n = 1\) les champs en groupoïdes de Giraud.¹ Un \(n\)-champ de Picard strict est l'objet associé à un complexe de faisceaux abéliens concentré sur \(n+1\) degrés consécutifs ; un champ de Picard au sens de Deligne (SGA 4, XVIII, 1.4) est le cas \(n=1\).
• \(\Pi_n(X)\) désigne le \(n\)-groupoïde fondamental de \(X\) — la troncature en degré \(n\) de sa forme, en général un pro-objet. La lettre du 17 février le note d'abord \(\mathcal{C}_n\) ; les deux notations désignent le même objet.
• Le foncteur « espace classifiant » des pages 52 et 53, qu'il note d'une cursive lue \(\mathcal{T}\) dans la transcription, est noté ici \(B\), comme aujourd'hui ; la lettre \(\mathcal{T}_n\) reste réservée au « \(n\)-topos classifiant » de la page 50.
• Une application \(f\) est dite \(k\)-connexe si elle induit une bijection sur les \(\pi_i\) pour \(i < k\) et une surjection sur \(\pi_k\), en tout point base. C'est la convention dont dépendent les corrections des pages 48 et 54.
• Les intertitres « App. 1 » à « App. 18 » sont de sa main, ajoutés en 1983 ; ils servent ici à repérer les passages.

Ce que le dossier n'établit pas, et ce qui manque

• La lettre de juillet passe de sa page 1 (page 56 du dossier) à sa page 12 (page 57) : ses pages 2 à 11 ne sont pas dans le dossier transcrit.²
• Le complexe \(X(M)\) de la page 39 n'est pas défini sur ces pages.
• Les commentaires de 1983 annoncés page 37, « notes (22) à (31) », sont dans les « NOTES » des pages 78 sq., imprimées par Maltsiniotis et non reprises ; leur suite est au-delà de la page 80.
• Les lettres de Breen ne sont pas dans ces pages, et on ne les reconstruit pas.
• Les pages 81 à 184 ne sont pas transcrites ; on ne sait de leur contenu que ce qu'en dit l'inventaire.

1–12

Le plan de Pursuing Stacks (pages 1 à 12)

La couverture porte au crayon, et seulement cela, « The Modelizing Story ». La page suivante donne un plan en parties, tapé puis remanié à la main³ :

• ITake-off ;
• IITest categories ;
• IIIHomotopy structures ;
• IVAsphericity structures ;
• VAbelianization ;
• VISchematization ;
• VIIAbelianization (II) ;
• VIIIHomotopy properties of (Cat) and \(A^{\wedge}\) (closed model structures) ;
• IXDerivators ;
• XBack to topoi.

Sous la liste, un schéma de dépendances relie les parties ; on le reproduit tel qu'il est tracé, la partie I restant isolée⁴ :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathrm{I} & \mathrm{II} \arrow[r, Rightarrow] & \mathrm{III} \arrow[r, Rightarrow] & \mathrm{IV} \arrow[dd, Rightarrow] & \mathrm{V} \arrow[d, Rightarrow] \arrow[dr] & \\
 & & & & \mathrm{VII} & \mathrm{VI} \\
 & & & \mathrm{VIII} \arrow[d, Rightarrow] & & \\
 & & & \mathrm{IX} & &
\end{tikzcd}

Les pages 3 à 12 donnent deux états de la table. Le premier (page 3, sa page « i ») titre encore « The Modilizing Story » et attribue le chapitre I à « A letter to … », sans nom ; le second (page 4) porte le titre général « PURSUING STACKS (À la poursuite des champs). First episode: THE MODELIZING STORY (Histoire de Modèles) » et précise « a letter to Daniel Quillen ». La table de l'appendice — les dix-huit intertitres des lettres à Breen — n'est qu'au premier état ; elle concorde avec les marques « App. » portées dans les marges des lettres, qui sont donc de la même campagne de 1983.⁵ La transcription note que ces tables de travail diffèrent de la table imprimée ; on ne les a pas collationnées avec elle.

Ce qu'elles montrent, c'est la forme du projet à la date des pages 7 et 8 : §§ 1 à 66 en deux parties (« Take-off », puis « Test categories and test functors » et « Homotopy structures, contractibility structures »), une partie IV refaite au propre à la main après qu'une première version tapée a été barrée (§§ 67 à 99), puis abélianisation (§§ 100 à 109), schématisation (§§ 110 à 133) et linéarisation (§§ 133 à 140), la table s'arrêtant sur « (to be completed) ».⁶

Quelques noms d'aujourd'hui pour s'orienter dans ces intitulés — ils sont de nous, et l'ouvrage, qui est de 1983, ne pouvait pas les connaître, sauf le premier :

• les « catégories test » et « modélisateurs » (§§ 26 à 44, 65) et le « basic localizer » \(\underline{W}\) (§§ 60 à 65) sont devenus, chez Maltsiniotis (La théorie de l'homotopie de Grothendieck, Astérisque 301, 2005) et Cisinski (Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie, Astérisque 308, 2006), la théorie des catégories test et des localisateurs fondamentaux ; Cisinski y démontre la conjecture de Grothendieck que le localisateur fondamental des équivalences faibles usuelles de \((\mathrm{Cat})\) est le plus petit ;
• le § 87 commente l'article de Thomason (1980) qui munit \((\mathrm{Cat})\) d'une structure de catégorie de modèles fermée — c'est le seul de ces noms que le texte cite lui-même ;
• les « dérivateurs » (§ 69, partie IX) sont la théorie qu'il développera ensuite (Les Dérivateurs), parallèlement à Heller ;
• la « schématisation » des types d'homotopie (§§ 110 à 133) est ce que Toën a construit sous le nom de champs affines (2006) et de types d'homotopie schématiques (Katzarkov, Pantev, Toën, 2008) ;
• la paire \(\widetilde{LH}_\bullet \dashv \widetilde{K}\) du § 121 entre types d'homotopie abéliens et types d'homotopie pointés est, sauf erreur de lecture du titre, l'adjonction entre homologie réduite (le groupe abélien libre engendré, à la Dold–Thom) et l'oubli, via Dold–Kan.

13–13

La dédicace (page 13)

La page est manuscrite. Une première dédicace, « À ceux qui furent mes élèves — à qui j'ai donné du meilleur de moi-même, et aussi du pire … », est barrée de traits obliques. Celle qui reste est à son frère, Dodek Shapiro, qu'il aurait « voulu rencontrer un jour », et dont les seuls signes tangibles sont « quelques lettres et photos d'enfant, anciennes de près d'un demi-siècle », datées d'Oulianovsk et adressées à leur père, Sascha.⁷

14–36

Le chapitre I : la lettre à Quillen (pages 14 à 36)

Les pages 14 à 36 sont le tapuscrit annoté de la lettre à Daniel Quillen commencée aux Aumettes le 19 février 1983 et poursuivie jusqu'au 23 (avec une note marginale du 25), qui forme les §§ 1 à 13 de Pursuing Stacks et se termine par un post-scriptum ; un bandeau collé page 14 l'intitule « Chapter I : TAKE OFF / A letter to …. / (followed by an Appendix: Three letters to Larry Breen) ». Ce texte est imprimé dans G. Maltsiniotis (éd.), À la poursuite des champs, vol. I, SMF, Documents mathématiques 20, 2022, et c'est là qu'il faut le lire ; on ne le restitue ni ne le paraphrase ici. Les titres de ses sections sont ceux des tables des pages 3 et 4 : de « The importance of innocence » (§ 1) à « An urgent reflection on proper names: “stacks” and “coherators” » (§ 13).⁸

37–37

L'avertissement de 1983 à l'appendice (page 37)

L'appendice s'ouvre sur une page en anglais, qui dit d'où viennent les textes qui suivent et ce qu'il en a fait. Les deux premières lettres sont reproduites telles quelles, en français ; pour la deuxième il se sert d'une copie dactylographiée faite par Breen en 1975. La troisième paraît dans une traduction anglaise faite l'année précédente par Ronnie Brown, avec l'aide de Breen et de J.-L. Loday, à partir d'une copie à peine lisible de la lettre manuscrite ; il dit s'en servir plutôt que de l'original, qu'« aucun imprimeur ne pourrait déchiffrer », et l'avoir corrigée là où son écriture avait égaré les traducteurs. Il a sauté le début de la première lettre, ajouté les intertitres App. 1 à 18 et des commentaires, les notes (22) à (31).⁹

Il situe ensuite les lettres. Les deux premières tentaient d'expliquer à Breen « some of the main points of the programme I had in mind around the notions of \(n\)-categories and \(n\)-stacks », sous l'impulsion d'une intuition neuve pour lui : « that (non strict) \(n\)-groupoids should model (in a suitable sense) \(n\)-truncated homotopy types ». La troisième, réponse aux questions de Breen, est « of a wider scope » : un programme de dualité remontant à la fin des années cinquante, y compris une formulation cohomologique de la théorie du corps de classes « géométrique » locale et globale, qui « appears here for the first time in print » ; puis le besoin d'une « tame topology » pour une théorie du dévissage des espaces stratifiés et des voisinages tubulaires étales, en vue d'un « fine homotopy type » défini par le système projectif des types d'homotopie indexés associés aux stratifications équisingulières.

38–47

Première lettre à Breen, Villecun, 5 février 1975 (pages 38 à 47)

La lettre est datée « Villecun 5.2.1975 » et commence, dans le volume, par « Cher Breen » suivi d'une coupure. Le début sauté transparaît sous la bande collée : il y remercie Breen d'une longue lettre et parle de sa propre lettre à Deligne et d'une interprétation, due à Breen, d'un groupe d'obstruction comme un \(\mathrm{Ext}\).¹⁰ Que les pages 41 à 47 soient la fin de cette même lettre résulte de la continuité : la phrase interrompue au bas de la page 40 (« des théorèmes de Lefschetz ») reprend en haut de la page 41, et les intertitres App. 2 à 5 se suivent.¹¹

38–40

App. 1 : des \(2\)-catégories de Picard (pages 38 à 40)

Breen espérait, dit-il, qu'on lui prouverait que les \(2\)-catégories de Picard, les \(n\)-catégories « et autre faune de ce genre » sont indispensables à des mathématiques sérieuses. Grothendieck craint que non : on a toujours pu les éluder. Mais il refuse d'en conclure qu'il faut continuer, et il refuse l'argument selon lequel la classification d'objets géométriques « relativement merdiques » se ramènerait à des invariants cohomologiques bien connus : c'est confondre la compréhension d'un objet géométrique et la détermination de sa classe à équivalence près.

Suivent quatre exemples. Dans le langage des conventions, une \(2\)-catégorie de Picard stricte est un \(2\)-groupoïde muni d'une structure de groupe abélien strictement commutative à cohérence près, et elle équivaut à la donnée d'un complexe de groupes abéliens concentré en trois degrés consécutifs, à quasi-isomorphisme près ; ses \(\pi_0\), \(\pi_1\), \(\pi_2\) sont les trois groupes de cohomologie de ce complexe, du plus haut degré au plus bas.¹²

1) Gerbes. Soit \(L\) un lien sur le topos \(X\), de centre \(Z\) (un faisceau abélien). Les gerbes liées par \(Z\) forment une \(2\)-catégorie de Picard stricte, associée au complexe \(\tau_{\leqslant 2}\,R\Gamma(X,Z)\), de sorte que \[ \pi_{2-i}\bigl(\mathrm{Gerbes}_Z(X)\bigr) \simeq H^i(X,Z), \qquad 0 \leqslant i \leqslant 2 . \] Les gerbes liées par \(L\) forment un pseudo-torseur sous cette \(2\)-catégorie, non vide si et seulement si une obstruction dans \(H^3(X,Z)\) est nulle — c'est le théorème de Giraud (Cohomologie non abélienne, IV.3.4). Pour comprendre cette classe, il propose de passer aux champs : le \(2\)-champ de Picard strict des \(Z\)-gerbes sur les objets variables de \(X\), qui est le \(2\)-champ \(B^2Z\), et le \(2\)-champ des \(L\)-gerbes, qui est un \(2\)-torseur sous le précédent ; et les \(2\)-torseurs sous \(B^2Z\) sont classés par \(H^3(X,Z)\), comme les \(Z\)-gerbes, torseurs sous le champ de Picard strict \(BZ\) des \(Z\)-torseurs, le sont par \(H^2(X,Z)\).¹³

2) Champs de Picard d'invariants \(M\) et \(N\). Si \(M\) et \(N\) sont deux faisceaux abéliens, les champs de Picard (non nécessairement stricts) dont le faisceau des classes d'objets est \(M\) et celui des automorphismes de l'objet nul est \(N\) forment une \(2\)-catégorie de Picard stricte. Il la dit « représentée sans doute » par le complexe \(\mathrm{RHom}(X(M),N)\) tronqué en degré \(2\), d'invariants « le drôle de \(\mathrm{Ext}^2\) » de sa lettre à Deligne et les « honnêtes » \(\mathrm{Ext}^0(M,N)\) et \(\mathrm{Ext}^1(M,N)\).¹⁴ Les champs de Picard stricts forment une sous-\(2\)-catégorie de Picard pleine, associée à \(\tau_{\leqslant 2}\,\mathrm{RHom}(M,N)\) : le groupe \(\mathrm{Ext}^2(M,N)\) classe les objets à équivalence près, \(\mathrm{Ext}^1(M,N)\) les automorphismes de l'objet nul à isomorphisme près, \(\mathrm{Ext}^0(M,N)\) les automorphismes de l'automorphisme identique de celui-ci. Il n'a pas, dit-il, d'interprétation géométrique de \(\tau_{\leqslant n}\,\mathrm{RHom}(M,N)\) pour \(n > 2\), mais il faut la chercher du côté des \(n\)-champs de Picard.¹⁵

3) Gr-champs liés par \((G,N)\). Soit \(G\) un faisceau de groupes sur \(X\) opérant sur un faisceau abélien \(N\). Les champs en Gr-catégories sur \(X\) liés par \((G,N)\) — \(\pi_0 = G\), \(\pi_1 = N\), avec l'action donnée — forment une \(2\)-catégorie de Picard, d'invariants \[ \pi_0 = H^3(B_G/X, N), \qquad \pi_1 = H^2(B_G/X, N), \qquad \pi_2 = Z^1(G,N), \] où \(B_G/X\) est le topos classifiant de \(G\) au-dessus de \(X\) et \(Z^1(G,N)\) le groupe des \(1\)-cocycles (homomorphismes croisés). Il laisse à Breen le soin de deviner le complexe tronqué qui la décrit.¹⁶

4) Algèbres d'Azumaya. Sur un topos localement annelé \(X\), les Algèbres d'Azumaya forment une \(2\)-catégorie de Picard « de Brauer » : la catégorie des morphismes \(A \to B\) est celle des trivialisations \((E,\varphi)\) de \(A^{\circ}\otimes B\), avec \(E\) un Module localement libre et \(\varphi : \underline{\mathrm{End}}(E) \xrightarrow{\sim} A^{\circ}\otimes B\) — ce qu'on appelle aujourd'hui une équivalence de Morita —, le produit est le produit tensoriel et l'inverse l'algèbre opposée. En associant à chaque algèbre la gerbe de ses trivialisations, on obtient un \(2\)-foncteur monoïdal vers la \(2\)-catégorie de Picard des \(\mathbb{G}_m\)-gerbes, qui est \(2\)-fidèle (pleinement fidèle sur les catégories de morphismes) ; d'où les invariants \[ \pi_0 = H^2(X,\mathbb{G}_m)_{\mathrm{Br}}, \qquad \pi_1 = H^1(X,\mathbb{G}_m) = \mathrm{Pic}(X), \qquad \pi_2 = H^0(X,\mathbb{G}_m), \] où \(H^2(X,\mathbb{G}_m)_{\mathrm{Br}}\) est le sous-groupe des classes qui proviennent d'algèbres d'Azumaya. Formées sur les objets variables de \(X\), ces \(2\)-catégories font une \(2\)-catégorie de Picard fibrée qui n'est « pas tout à fait un \(2\)-champ (whatever that means) » : la condition de \(2\)-recollement doit faillir, sans quoi il n'y aurait pas d'indice \(\mathrm{Br}\).¹⁷

40–42

App. 2 : les \(n\)-champs et l'algèbre homologique non commutative (pages 40 à 42)

Les \(n\)-catégories de Picard strictes, qui « s'imposent pas à pas » dans un contexte commutatif, donnent une interprétation géométrique correcte des complexes tronqués à l'ordre \(n\) en tant qu'objets de catégories dérivées, donc, à la limite sur \(n\), des complexes tout court. D'où l'idée « naïve » qu'il propose : les « complexes non commutatifs », objets fantômes d'une algèbre homologique non commutative, seraient ce qui reste d'une \(n\)-catégorie de Picard quand on oublie sa structure de Picard — la \(n\)-catégorie elle-même — et, sur un topos, les \(n\)-champs.¹⁸

L'idée, dit-il, est d'abord venue d'ailleurs : des théorèmes de Lefschetz « faibles » en cohomologie étale à coefficients discrets, pour une variété projective et toute section hyperplane, ou une variété quasi projective et presque toute section hyperplane, sous les hypothèses de profondeur cohomologique les plus naturelles. Dans le cas commutatif, la dualité indique les meilleurs énoncés possibles (exposé de Mme Raynaud dans SGA 2), mais seulement pour des coefficients premiers aux caractéristiques ; des démonstrations géométriques directes donnaient des énoncés voisins pour le \(\pi_0\) et le \(\pi_1\) sans cette restriction, du moins dans le cas propre. Les meilleurs énoncés, conjecturés dans SGA 2, ont été démontrés par Michèle Raynaud dans sa thèse. Le point est que ces énoncés se formulent le plus naturellement en termes de \(1\)-champs sur le site étale, la notion de profondeur \(\geqslant i\) (\(i = 1,2,3\)) aussi, et qu'on ne semble pas pouvoir démontrer, par exemple, la bijectivité \(\pi_1(Y)\to\pi_1(X)\) pour une section hyperplane \(Y\) avec le seul formalisme du \(H^0\) et du \(H^1\) non abéliens de Giraud : il faut les trois théorèmes de changement de base — propre, lisse, et « propreté cohomologique générique » — pour les \(1\)-champs de torsion eux-mêmes.¹⁹ Le contexte naturel des théorèmes de changement de base et de Lefschetz, et de la profondeur, doit donc être celui des \(n\)-champs, et il ne s'agira pas d'une « jonglerie purement formelle » : on sera aussitôt soumis à des tests d'utilisabilité sérieux.

Il propose enfin d'expliciter les ingrédients d'une telle algèbre, en rappelant que même l'algèbre homologique commutative n'est pas dans un état satisfaisant, puisqu'on ne sait pas quelle est « la bonne notion de catégorie triangulée » : on fait de la prose, comme Monsieur Jourdain, sans se demander quelles structures portent les catégories de complexes.²⁰

42–45

App. 3 : les \(n\)-groupoïdes comme types d'homotopie tronqués (pages 42 à 45)

C'est le post-scriptum, écrit pour « mettre en appétit », et c'est le cœur des trois lettres. Le « yoga » est le suivant : une \(n\)-catégorie en groupoïdes, à \(n\)-équivalence près, « est essentiellement la même chose » qu'un ensemble simplicial à homotopie près dont on néglige les \(\pi_i\) pour \(i \geqslant n+1\).

Le \(n\)-groupoïde fondamental d'un complexe de Kan. À un ensemble simplicial de Kan \(K_\bullet\), il associe une \(n\)-catégorie \(C_n(K_\bullet)\) : ses \(0\)-objets sont les \(0\)-simplexes, ses \(1\)-flèches les chemins, ses \(2\)-flèches les homotopies entre chemins à extrémités fixes, et ainsi de suite jusqu'aux \(n\)-flèches, qui sont les homotopies prises à homotopie près. La composition est associative à homotopie près seulement, de sorte que l'objet obtenu n'est pas strict ; et c'est précisément la mise au point de ce yoga qui pourrait servir de fil d'Ariane pour définir les \(n\)-catégories non strictes, leurs \(n\)-foncteurs et leurs \(n\)-équivalences, à côté du yoga inductif « une \(n\)-catégorie est une catégorie dont les \(\mathrm{Hom}\) sont des \((n-1)\)-catégories ». La construction est fonctorielle, et même \(n\)-fonctorielle en \(K_\bullet\).²¹

Les groupes d'homotopie. \(C_n(K_\bullet)\) est un \(n\)-groupoïde : toute \(i\)-flèche, \(1 \leqslant i \leqslant n\), y est une équivalence. Pour un \(n\)-groupoïde \(C\) et un objet \(x\), on pose : \(\pi_0(C)\) l'ensemble des classes d'objets ; \(\pi_1(C,x)\) le groupe des classes de \(1\)-flèches \(x \to x\) ; \(\pi_2(C,x)\) celui des classes de \(2\)-flèches \(1_x \Rightarrow 1_x\), qui est commutatif, comme les suivants ; et ainsi de suite jusqu'à \(\pi_n\). Ce sont des systèmes locaux sur \(\pi_0\), et il y a des isomorphismes canoniques \(\pi_i(K_\bullet,x) \simeq \pi_i(C_n(K_\bullet),x)\) pour \(0 \leqslant i \leqslant n\). Par suite, une application simpliciale \(f : K_\bullet \to K'_\bullet\) induit une \(n\)-équivalence \(C_n(K_\bullet) \to C_n(K'_\bullet)\) si et seulement si elle induit une bijection sur les \(\pi_i\) pour \(0 \leqslant i \leqslant n\), en tout point base.

Il hésite alors : il « serait plus heureux » de pouvoir ajouter « et une surjection sur \(\pi_{n+1}\) », condition qui lui paraît nécessaire pour identifier la localisée des ensembles simpliciaux selon ces flèches à celle des \(n\)-catégories selon les \(n\)-équivalences.²² Il ajoute que la troncature homotopique (tuer les \(\pi_i\) pour \(i > n\)) se traduit par l'opération qui conserve les \(i\)-flèches pour \(i < n\) et remplace les \(n\)-flèches par leurs classes à équivalence près, et l'inclusion des \(n\)-types dans les \(N\)-types par l'ajout d'identités en dimensions \(n+1\) à \(N\) — ce qui est exact, la troncature étant adjointe à gauche de l'inclusion.

Les \(\infty\)-catégories. Sauf erreur, dit-il, la localisée des \(\infty\)-catégories (en groupoïdes) selon les \(\infty\)-équivalences est la catégorie homotopique, « ou du moins une sorte de complétée de celle-là ».²³ Une \(\infty\)-catégorie de Picard stricte s'interprète comme un complexe de chaînes regardé dans une catégorie dérivée, ce qu'il faut relier à la théorie de Dold–Puppe, qui interprète ces complexes comme des groupes abéliens simpliciaux.²⁴

Le dictionnaire. Pour se donner confiance, il traduit des constructions familières. L'espace des lacets \(\Omega(K_\bullet,x)\) correspond à la \((n-1)\)-catégorie \(\underline{\mathrm{Hom}}(x,x)\). L'espace simplicial des applications \(\mathrm{Hom}_\bullet(K_\bullet,K'_\bullet)\) correspond à la \(n\)-catégorie \(\underline{\mathrm{Hom}}(C,C')\). La fibre homotopique d'une application correspond au produit fibré homotopique \(C \times_{C'} \mathrm{pt}\) dans les \(n\)-groupoïdes.²⁵ Les espaces \(K(\pi,n)\) sont les \(n\)-gerbes liées par \(\pi\). Il ne voit pas de candidat pour la suspension.²⁶ Enfin le dévissage de Postnikov : un \(n\)-groupoïde s'interprète comme son tronqué \((n-1)\)-groupoïde muni d'une \(n\)-gerbe sur le topos classifiant de celui-ci, liée par \(\pi_n\) tordu par l'action de \(\pi_1\). C'est la description actuelle de l'étage \(\tau_{\leqslant n}K \to \tau_{\leqslant n-1}K\) comme fibration de fibre \(K(\pi_n,n)\), classée par un invariant de Postnikov \(k_n \in H^{n+1}(\tau_{\leqslant n-1}K;\pi_n)\) à coefficients locaux.

45–46

App. 4 : relativisation sur un topos (pages 45 et 46)

Tout ce yoga doit être relativisé au-dessus d'un topos \(X\) : il faudrait identifier, dans une certaine mesure, l'algèbre homotopique des faisceaux simpliciaux sur \(X\) et l'algèbre « catégorique » des \(n\)-champs en groupoïdes, \(0 \leqslant n \leqslant \infty\).²⁷ L'image inverse des faisceaux simpliciaux, qui est évidente, doit correspondre à l'image inverse plus subtile des \(n\)-champs ; et l'image directe des \(n\)-champs, qui est évidente, à une image directe dérivée des faisceaux simpliciaux — « on hésite s'il faut mettre \(Lf_*\) ou \(Rf_*\) ».²⁸ Les dévissages de Postnikov doivent avoir une interprétation simple en termes de champs ; il rappelle la remarque de Giraud qu'un \(1\)-champ en groupoïdes équivaut à la donnée de son faisceau \(\pi_0\) et d'une gerbe sur le topos induit \(X_{/\pi_0}\), gerbe dont le lien « devrait être noté \(\pi_1\) ». Cela vaut pour tout \(n\) : un \(n\)-champ \(F\) est un objet connexe de l'\(\infty\)-topos \(\mathrm{Sh}(X;\mathcal{S})_{/\pi_0 F}\).²⁹

Remords. Mais il ne sait pas définir à vue de nez le topos classifiant d'un \(n\)-champ pour \(n \geqslant 2\) — il suffirait de savoir le faire pour une \(n\)-gerbe liée par un faisceau abélien \(\pi_n\) — et ne sait donc pas décrire le dévissage de Postnikov en termes de \(n\)-champs au-delà de \(n \leqslant 2\). C'est lié à la définition directe de la cohomologie d'un \(n\)-groupoïde, qui devrait redonner celle de l'ensemble simplicial correspondant : peut-on le faire par un nerf ? Cas typique : trouver, pour un groupe commutatif \(\pi\), un topos canonique et fonctoriel en \(\pi\) qui ait le type d'homotopie de \(K(\pi,n)\). « On frémit à l'idée que les topos pourraient ne pas faire l'affaire, et qu'il y faille des “\(n\)-topos” !! (J'espère bien que ces animaux n'existent pas …) »³⁰ Pour un \(n\)-groupoïde \(C\), on dispose bien d'un nerf, et la cohomologie de \(C\) à coefficients dans un système local est celle de ce nerf.

46–47

App. 5 : une « algèbre topologique » (pages 46 et 47)

L'« algèbre homologique non commutative » qu'il suggère serait l'étude parallèle de quatre familles de notions et de leurs relations : a) espaces topologiques et topos ; b) ensembles et faisceaux simpliciaux ; c) \(n\)-catégories, notamment \(n\)-groupoïdes, et \(n\)-champs ; d) complexes de groupes et de faisceaux abéliens. C'est « de l'algèbre avec la présence constante de motivations provenant de l'intuition topologique ». Il lui propose le nom d'« algèbre topologique », l'usage courant de ce terme n'étant guère qu'un « bric à brac » d'anneaux, de corps et de groupes topologiques, et rappelle que Serre a bien donné un sens nouveau à « géométrie analytique » sans rencontrer de résistance.³¹ La lettre se termine par « Re-salut, et au plaisir de te lire. A.G. »

48–55

Deuxième lettre à Breen, Villecun, 17 février 1975 (pages 48 à 55)

La lettre, en français, est une copie dactylographiée par Breen, dont l'intitulé « Transcription d'une lettre manuscrite de A. Grothendieck » est barré ; les lettres cursives y sont tracées à la main. Elle commence : « Encore un “afterthought” à une lettre-fleuve sur le yoga homotopique ».

48–51

App. 6 : le \(n\)-groupoïde fondamental d'un topos (pages 48 à 51)

Le pro-type d'homotopie. À un topos \(X\) on associe canoniquement un pro-ensemble simplicial, donc un pro-type d'homotopie (Artin–Mazur, Etale homotopy, LNM 100, 1969). Si \(X\) est « localement homotopiquement trivial », ce pro-objet est essentiellement constant et \(X\) a un type d'homotopie ordinaire ; s'il l'est en dimension \(\leqslant n\), il a un type d'homotopie \(n\)-tronqué.³²

Trois critères, et leur décalage. Pour un morphisme de topos \(f : X \to Y\), il cite le critère cohomologique d'Artin–Mazur : \(f\) est une « équivalence d'homotopie en dim \(\leqslant n\) » si \(H^i(Y,F)\to H^i(X,f^*F)\) est bijectif pour \(i \leqslant n\) et tout faisceau de groupes localement constant \(F\), avec \(i \leqslant 1\) si \(F\) n'est pas commutatif. Il le traduit en termes de \(n\)-gerbes localement constantes, puis affirme qu'il équivaut encore à chacun des deux critères suivants :

(A) pour tout \(n\)-champ localement constant \(\mathcal{F}\) sur \(Y\), le \(n\)-foncteur \(\mathcal{F}(Y) \to (f^*\mathcal{F})(X)\) est une \(n\)-équivalence ; (B) le \(n\)-foncteur \(\mathcal{F}\mapsto f^*\mathcal{F}\), de la \(n\)-catégorie des \((n-1)\)-champs localement constants sur \(Y\) dans celle des \((n-1)\)-champs localement constants sur \(X\), est une \(n\)-équivalence.

Les trois énoncés sont justes chacun pour lui-même, mais ils ne sont pas équivalents : ils diffèrent d'un degré. Exactement, pour \(X\) et \(Y\) localement de forme constante et \(f\) bijectif sur \(\pi_0\) et \(\pi_1\) :³³

• le critère cohomologique sous la forme citée (bijection sur \(H^i\) pour \(i \leqslant n\)) caractérise les \(f\) \(n\)-connexes : bijection sur \(\pi_i\) pour \(i < n\), surjection sur \(\pi_n\) ;
• le critère par les \(n\)-gerbes, à condition d'y inclure les gerbes non neutres, et le critère (A) caractérisent tous deux les \(f\) \((n+1)\)-connexes : bijection sur \(\pi_i\) pour \(i \leqslant n\), surjection sur \(\pi_{n+1}\) ; cohomologiquement, bijection sur \(H^i\) pour \(i \leqslant n\) et injection sur \(H^{n+1}\) — c'est cette injectivité qu'exprime le fait qu'une \(n\)-gerbe sur \(Y\) dont l'image inverse a une section en a déjà une ;
• le critère (B) caractérise exactement les \(f\) qui induisent une bijection sur \(\pi_i\) pour \(i \leqslant n\), c'est-à-dire tels que \(\tau_{\leqslant n}f\) soit une équivalence : la pleine fidélité de \(f^*\) est la \(n\)-connexité, l'essentielle surjectivité ajoute l'injectivité sur \(\pi_n\).

On a donc (A) \(\Rightarrow\) (B) \(\Rightarrow\) critère cohomologique cité, et aucune réciproque. Deux exemples le montrent. L'inclusion d'un point dans un espace \(K(A,n+1)\), \(A \neq 0\), vérifie (B) mais non (A) : la fibration des chemins, de fibre \(K(A,n)\), est un \(n\)-champ localement constant qui a des sections sur le point et n'en a pas sur \(K(A,n+1)\). L'inclusion \(S^2\vee S^2 \to S^2\times S^2\) induit des bijections sur les \(H^i\), \(i \leqslant 3\), pour tout groupe de coefficients, mais non sur \(\pi_3\) (qui est \(\mathbb{Z}^3\) d'un côté, \(\mathbb{Z}^2\) de l'autre) : elle vérifie le critère cité pour \(n = 3\), mais ni (B) ni (A).

Ce que la lettre veut en tirer reste vrai, et c'est (B) qui le porte : les constructions qu'on peut faire sur \(X\) en termes de \((n-1)\)-champs localement constants ne dépendent que de son type d'homotopie \(n\)-tronqué, et le déterminent.

Le \(n\)-groupoïde fondamental. Lorsque \(X\) est localement homotopiquement trivial en dimension \(\leqslant n\), son type d'homotopie \(n\)-tronqué s'interprète comme un \(n\)-groupoïde, défini à \(n\)-équivalence près, qu'il propose d'appeler le \(n\)-groupoïde fondamental de \(X\) et de noter \(\Pi_n(X)\) ; et

(C) les \((n-1)\)-champs localement constants sur \(X\) s'identifient aux \(n\)-foncteurs de \(\Pi_n(X)\) dans la \(n\)-catégorie \(((n-1)\text{-}\mathrm{Cat})\) de toutes les \((n-1)\)-catégories.

Pour \(n = 1\) c'est la classification des revêtements par le groupoïde fondamental, « la théorie de Poincaré ». \(\Pi_n(X)\) détermine les \(\pi_i(X)\), \(i \leqslant n\), et les invariants de Postnikov jusqu'à celui qui vit dans \(H^{n+1}(\Pi_{n-1}(X),\pi_n)\). Pour un topos quelconque, il espère un pro-\(n\)-groupoïde ; c'est fait pour \(n = 1\) et \(X\) connexe, et traité « in extenso » dans SGA 3 pour le topos étale d'un schéma, à propos de la classification des tores.³⁴

Le \(n\)-topos classifiant. Pour \(n = 1\), on récupère le groupoïde \(\mathcal{C}_1 = \Pi_1(X)\) à partir du topos « multigaloisien » \(\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}_1,(\mathrm{Ens}))\) des systèmes locaux, qui est le topos classifiant de \(\mathcal{C}_1\), comme la catégorie de ses foncteurs fibres, c'est-à-dire de ses points.³⁵ Pour élucider (B), il faudrait de même récupérer \(\mathcal{C}_n\) à partir de la \(n\)-catégorie \[ \mathcal{T}_n = \underline{\mathrm{Hom}}_n\bigl(\mathcal{C}_n,((n-1)\text{-}\mathrm{Cat})\bigr) \] des \((n-1)\)-systèmes locaux : \(\mathcal{C}_n\) devrait être la \(n\)-catégorie des « \(n\)-foncteurs fibres » sur \(\mathcal{T}_n\), ayant des propriétés d'exactitude analogues à celles d'une image inverse de topos (commuter aux limites inductives quelconques et aux limites projectives finies). « C'est ici que se matérialise la peur […] qu'on finisse par tomber sur la notion de \(n\)-topos et morphismes de tels ! » — \(\mathcal{T}_n\) serait un \(n\)-topos, \(((n-1)\text{-}\mathrm{Cat})\) le \(n\)-topos ponctuel, et \(\mathcal{C}_n\) la \(n\)-catégorie des \(n\)-points de \(\mathcal{T}_n\). « Brr ! »³⁶

Peut-on se contenter d'un topos ordinaire ? Le seul problème universel qu'il voie est celui-ci : trouver un topos \(\mathcal{B}\) et un \(\varphi : \Pi_n(\mathcal{B}) \to \mathcal{C}_n\) tels que, pour tout topos \(T\), le foncteur \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{(\mathrm{Top})}(T,\mathcal{B}) \longrightarrow \tau_1\,\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\Pi_n(T),\mathcal{C}_n\bigr), \qquad u \longmapsto \varphi\circ\Pi_n(u), \] soit une équivalence. Pour \(n = 1\), le topos classifiant usuel convient ; pour \(n = 2\), il doute que le problème ait une solution.³⁷

Il rattache ce doute à un autre : le théorème de van Kampen, qui dit que \(T \mapsto \Pi_1(T)\) transforme sommes amalgamées en sommes amalgamées, ne serait « sans doute plus vrai » pour \(\Pi_2\). Si \(T\) est réunion de deux fermés \(T_1\) et \(T_2\), il ne serait plus vrai qu'un \(1\)-champ localement constant sur \(T\) équivaille à la donnée de tels champs sur \(T_1\) et \(T_2\) et d'une équivalence entre leurs restrictions à \(T_1\cap T_2\), alors que l'énoncé analogue pour les revêtements est correct.³⁸

51–54

App. 7 : la cohomologie comme intégration de champs (pages 51 à 54)

L'intégration. Si \(\mathcal{C}_n = \Pi_n(X)\), \(\mathcal{F}\) un \((n-1)\)-champ localement constant sur \(X\) et \(e^X_{n-1}\) le \((n-1)\)-champ final, on a \[ \Gamma_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F}(X) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(e^X_{n-1},\mathcal{F}), \] et, via (C), « l'intégration sur \(X\) » des champs localement constants, qui contient la cohomologie non commutative localement constante de \(X\) en dimension \(\leqslant n-1\), devient \(\underline{\mathrm{Hom}}(e^{\mathcal{C}_n}_{n-1},\mathcal{F})\), où \(\mathcal{F}\) est vu comme un \(n\)-foncteur \(\mathcal{C}_n \to ((n-1)\text{-}\mathrm{Cat})\) et \(e^{\mathcal{C}_n}_{n-1}\) est le \(n\)-foncteur constant de valeur la \((n-1)\)-catégorie finale. C'est, en termes d'aujourd'hui, la limite du diagramme \(\mathcal{F}\) indexé par \(\Pi_n(X)\).

Le cas de Picard. Soit \(\mathcal{F}\) un \(n\)-champ de Picard strict sur \(X\), défini par un complexe de cochaînes de faisceaux abéliens \(\mathcal{L}^\bullet\) concentré en degrés \(0\) à \(n\), à quasi-isomorphisme près. Alors \[ H^i(X,\mathcal{L}^\bullet) \simeq \pi_{n-i}\,\Gamma_X(\mathcal{F}), \qquad 0 \leqslant i \leqslant n, \] le premier membre étant l'hypercohomologie.³⁹ Pour atteindre les \(H^i\) avec \(i > n\), on regarde \(\mathcal{L}^\bullet\) comme concentré en degrés \(0\) à \(N\), ce qui remplace \(\mathcal{F}\) par \(B^{N-n}\mathcal{F}\), où \(B\) est le foncteur espace classifiant — sur une \(n\)-catégorie de Picard stricte, il décale les \(i\)-flèches en \((i+1)\)-flèches et ajoute un unique objet. D'où la définition, pour tout \(n\)-champ de Picard strict \(\mathcal{F}\), \[ \boxed{\;H^i(X,\mathcal{F}) = \pi_{N-i}\,\Gamma_X\bigl(B^{N-n}\mathcal{F}\bigr), \qquad N \geqslant \sup(i,n),\;} \] indépendante de \(N\) grâce au morphisme canonique \(B\,\Gamma_X(\mathcal{F}) \to \Gamma_X(B\mathcal{F})\), qui induit des isomorphismes sur les \(\pi_j\) pour \(1 \leqslant j \leqslant n+1\).⁴⁰

Sans structure de Picard. Pour un \(n\)-champ en groupoïdes quelconque, on peut encore poser \(H^i(X,\mathcal{F}) = \pi_{n-i}\Gamma_X(\mathcal{F})\) pour \(0 \leqslant i \leqslant n\), pourvu qu'on se donne une section globale comme point base pour \(i < n\) ; pour un \(n\)-Gr-champ, le champ classifiant \(B\mathcal{F}\) existe et donne en outre \[ H^{n+1}(X,\mathcal{F}) = \pi_0\Gamma_X(B\mathcal{F}) = \text{sections de } B\mathcal{F} \text{ à équivalence près}, \] généralisation directe du \(H^1\) non abélien de Giraud, classes de torseurs.⁴¹ Mais pour former \(B^2\mathcal{F}\) et \(H^{n+2}\), il faut que \(B\mathcal{F}\) soit lui-même un Gr-champ, « ce qui ne sera sans doute le cas que si \(\mathcal{F}\) est un \(n\)-champ de Picard strict ».⁴²

Le cas localement constant. Si \(\mathcal{F}\) est un \(n\)-champ localement constant, défini par un \((n+1)\)-foncteur \(\mathcal{C}_{n+1} \to (n\text{-catégories de Picard strictes})\), on pose \(H^i(\mathcal{C}_{n+1},\mathcal{F}) = \pi_{n-i}\, \underline{\mathrm{Hom}}(e^{\mathcal{C}_{n+1}}_n,\mathcal{F})\), et on a \(H^i(\mathcal{C}_{n+1},\mathcal{F}) \simeq H^i(X,\mathcal{F})\) pour \(0 \leqslant i \leqslant n\), sans structure de Picard. Plus généralement, pour un \(\infty\)-groupoïde \(\mathcal{C}\) et un tel foncteur, \[ H^i(\mathcal{C},\mathcal{F}) = \pi_{N-i}\,\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(e^{\mathcal{C}}_N, B^{N-n}\mathcal{F}\bigr), \qquad N \geqslant \sup(i,n), \] c'est-à-dire la cohomologie de \(\mathcal{C}\) à coefficients locaux dans un complexe ; et, pour une simple Gr-structure, \(H^{n+1}(\mathcal{C},\mathcal{F}) = \pi_0\,\underline{\mathrm{Hom}}(e^{\mathcal{C}}_{n+1},B\mathcal{F})\). Il pense que, pour \(\mathcal{C} = \Pi_{n+1}(X)\), cet ensemble doit être encore canoniquement isomorphe à \(H^{n+1}(X,\mathcal{F})\), le vérifie pour \(n = 0\), et demande de décrire la flèche.⁴³

(A\('\)) et (B\('\)). Pour un \((n+1)\)-foncteur \(f_{n+1} : \mathcal{C}_{n+1} \to \mathcal{D}_{n+1}\) entre \((n+1)\)-groupoïdes, de tronqué \(f_n : \mathcal{C}_n \to \mathcal{D}_n\), la traduction de (A) et (B) qu'il propose est :

(A\('\)) \(f_n\) est une \(n\)-équivalence si et seulement si \(f_n^* : \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{D}_n,((n-1)\text{-}\mathrm{Cat})) \to \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}_n,((n-1)\text{-}\mathrm{Cat}))\) est une \(n\)-équivalence ; (B\('\)) \(f_n\) est une \(n\)-équivalence si et seulement si, pour tout \(n\)-système local \(\mathcal{F} : \mathcal{D}_{n+1} \to (n\text{-}\mathrm{Cat})\), le \(n\)-foncteur \(\Gamma_{\mathcal{D}_{n+1}}(\mathcal{F}) \to \Gamma_{\mathcal{C}_{n+1}}(f_{n+1}^*\mathcal{F})\) est une \(n\)-équivalence.

(A\('\)) est exact ; c'est la forme combinatoire de (B), et de la théorie de Galois. (B\('\)) ne l'est que dans un sens : la condition sur les sections équivaut à ce que \(f_{n+1}\) soit \((n+1)\)-connexe, ce qui demande, en plus de l'équivalence \(f_n\), la surjectivité sur \(\pi_{n+1}\).⁴⁴

54–55

App. 8 : trois approches de la cohomologie d'un topos (pages 54 et 55)

La construction de la cohomologie par intégration de champs ne fait appel ni aux complexes de faisceaux ni aux résolutions injectives ; elle s'apparenterait plutôt aux calculs « čechistes » par hyperrecouvrements, lesquels demandent un peu d'algèbre simpliciale. Il ne sait si une théorie des champs pourra s'écrire sans algèbre simpliciale ; si oui, on aurait trois approches :

• a)complexes de faisceaux, résolutions injectives, catégories dérivées — l'algèbre homologique commutative : on résout les coefficients ;
• b)le point de vue čechiste ou simplicial — l'algèbre homotopique : on résout l'espace ;
• c)les \(n\)-champs — l'algèbre catégorique ou algèbre homologique non commutative : en apparence, on ne résout ni l'un ni l'autre.

La lettre se termine « Bien cordialement, Alexandre ».⁴⁵

56–77

Troisième lettre à Breen, Villecun, 17–19 juillet 1975 (pages 56 à 77)

La lettre, qu'on lit dans la traduction anglaise revue en 1983 (voir la page 37), répond à la réponse de Breen aux deux précédentes. Elle est datée de sa main « Villecun 17/19 July 1975 ».⁴⁶

56–58

App. 9 : une définition à trouver, et un Dold–Kan non abélien (pages 56 à 58)

La définition des \(n\)-catégories. Breen lui a proposé une construction des \(n\)-catégories non strictes et du foncteur nerf. Il lui reconnaît « the merit of existing » et d'être une première approche précise, mais la juge très technique, peu intuitive alors qu'aux niveaux \(1\) et \(2\) « you just follow your nose-tip », et surtout privée d'un foncteur des ensembles simpliciaux vers les \(n\)-groupoïdes, sans lequel une théorie lui paraît « kind of a joke ». D'où la méthode : écrire, « like a sort of list of Christmas presents », toutes les notions qu'on voudrait avoir et les relations qui doivent les lier, jusqu'à obtenir une description axiomatique assez complète pour soit suggérer une construction ad hoc, soit démontrer un théorème d'existence et d'unicité d'une théorie du type voulu.⁴⁷

Picard strict et non strict. De la définition, qu'il n'a pas comprise, des \(n\)-catégories de Picard proposée par Breen d'après Segal, il ne retient qu'une exigence pour les strictes : qu'elles forment une \((n+1)\)-catégorie \((n+1)\)-équivalente à celle des complexes de chaînes de longueur \(n\). Et il remercie Breen d'avoir rectifié « a big blunder » : il croyait que des H-espaces assez associatifs et commutatifs — disons équivalents à des \(\Omega^iX\) pour \(i\) arbitrairement grand — correspondaient à des groupes topologiques commutatifs.⁴⁸

Dold–Kan non abélien. Reste une question : y a-t-il un analogue de la théorie de Dold–Puppe pour les groupes simpliciaux non nécessairement commutatifs ? Il tient le yoga \[ \text{ensembles simpliciaux} \longleftrightarrow \infty\text{-groupoïdes} \] pour la version ultime « ensembliste » de Dold–Puppe, dont celle-ci se déduirait en explicitant que les groupes abéliens dans les \(\infty\)-catégories ne sont « rien d'autre » que les complexes de chaînes. Il faut donc d'abord savoir ce que sont les groupes dans les \(\infty\)-catégories. Dans les \(1\)-catégories, il le sait — ce sera discuté, pense-t-il, dans la thèse de Mme Sinh, au chapitre des Gr-catégories strictes —, et donne la description en termes de théorie des groupes : un quadruplet \((L_1,L_0,d,\theta)\), avec \(d : L_1 \to L_0\) un homomorphisme de groupes et \(\theta : L_0 \to \mathrm{Aut}(L_1)\) une action, soumis à⁴⁹ \[ \text{(a)}\quad d\bigl(\theta(x_0)\,x_1\bigr) = x_0\,d(x_1)\,x_0^{-1}, \qquad \text{(b)}\quad \theta\bigl(d(x_1)\bigr) = \mathrm{int}(x_1). \] C'est ce qu'on appelle un module croisé (J.H.C. Whitehead, 1949) ; (b) est l'identité de Peiffer. Il en tire que \(\mathrm{Im}\,d\) est distingué, que \(\pi_1 = \mathrm{Ker}\,d\) est central dans \(L_1\), que \(L_0\) opère sur \(\pi_1\) à travers \(\pi_0 = \mathrm{Coker}\,d\), et que l'invariant principal est l'invariant de « Postnikov–Sinh » \(\alpha \in H^3(\pi_0,\pi_1)\) — la classification des \(2\)-types connexes pointés par Mac Lane et Whitehead (1950).⁵⁰ Il a rencontré ces animaux à propos de la classification des groupes formels « ordinaires » sur un corps parfait, à travers des groupes algébriques affines et des groupes formels commutatifs reliés par des Gr-structures strictes de ce type, dans un topos arbitraire, pour expliciter un principe qu'il attribue à Dieudonné : « le caractère transcendant d'un groupe formel est concentré essentiellement dans les groupes formels commutatifs ».

La question est la généralisation aux groupes dans les \(n\)-catégories : il attend un « complexe de chaînes non commutatif » \[ L_n \to L_{n-1} \to \cdots \to L_1 \to L_0 \to 1 \] muni de structures supplémentaires du type de \(\theta\), qui exprime exactement le type d'homotopie tronqué en dimension \(\leqslant n\) d'un groupe topologique, ou, ce qui revient au même, le type d'homotopie en dimension \(\leqslant n+1\) d'un espace connexe pointé. « Have you candidates to propose? »⁵¹

58–60

App. 10 : les six opérations et l'homologie (pages 58 à 60)

Aux réflexions « naïves » de Breen sur la bidualité et l'homologie, il répond par une série de réminiscences, numérotées (A) à (F).⁵²

(A) Les six opérations. Le formalisme de \(Rf_!\) et \(Rf^!\), combiné à \(Rf_*\), \(Lf^*\), \(\otimes^{\mathbb{L}}\) et \(R\mathcal{H}om\) — « les six opérations » —, contient implicitement la définition de l'homologie et son identité essentielle avec la cohomologie. On l'a pour les faisceaux quasi cohérents (séminaire Hartshorne, LNM 20), pour les espaces localement compacts (Verdier, Bourbaki 300), pour la cohomologie étale à coefficients premiers aux caractéristiques (SGA 5), pour les faisceaux cohérents sur les espaces analytiques (Ramis, Ruget, Verdier). Il reste à le développer dans le cadre cristallin, en caractéristique \(0\) pour les modules stratifiés à singularités « à la Deligne », peut-être avec des structures de Hodge sur \(\mathbb{C}\), enfin pour les motifs ; il est convaincu qu'il existe « about anywhere … wherever there is a formalism of a cohomological nature ».⁵³

Pour \(f : X \to e = \mathrm{Spec}\,k\) séparé de type fini et un anneau de coefficients \(\Lambda\) de torsion première à la caractéristique, le complexe \(f^!\Lambda_e\) joue le rôle du complexe des chaînes singulières à coefficients dans \(\Lambda\), et \(Rf_!\,f^!\Lambda_e\) celui de l'homologie \(H_*(X/e)\) vis-à-vis des coefficients sur \(e\).⁵⁴ Il ajoute : il n'y a pas à tronquer ; c'est lié à la bidualité pour les coefficients constructibles, à valeurs dans un complexe dualisant \(K_X = f^!K_e\), qui est, pour \(\Lambda = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) autodualisant, le « complexe des chaînes singulières » — bidualité démontrée en admettant la résolution des singularités, ou sans elle si l'on en croit ce que Deligne lui a dit ; on peut traiter de même \(\mathbb{Z}_\ell\) (Jouanolou, thèse non publiée) ; et pour \(f : X \to S\) lisse, ou plus généralement « cohomologiquement localement trivial », on a \(H_*(X/S) = Rf_!f^!\Lambda_S\).⁵⁵

(B) L'autodualité des jacobiennes. Artin et Mazur ont étudié l'autodualité de la jacobienne d'une courbe relative \(X/S\) ; c'est acquis sur un anneau de valuation discrète à fibre générique lisse, la fibre spéciale pouvant être très sauvage. Il s'en est servi dans SGA 7 pour démontrer, dans le cas des jacobiennes, sa conjecture sur l'accouplement entre groupes de composantes des modèles de Néron de deux variétés abéliennes duales.⁵⁶

Puis un souvenir : vers la fin des années cinquante, au moment où « the grand cohomological stuff » sortait de l'ombre, le cours de Serre sur la théorie de Rosenlicht et Lang des jacobiennes généralisées et du corps de classes géométrique, et plus tard sa théorie « géométrique » du corps de classes local par les groupes proalgébriques, l'ont fait réfléchir à des formulations cohomologiques de ces résultats, de nature géométrique, dont les résultats arithmétiques sur un corps \(k\) quelconque se déduiraient par descente de \(\bar k\). Il en esquissa des projets dans des lettres à Serre, dans trois directions au moins, sans jamais réussir à « mobiliser quelqu'un » pour les développer.

60–61

App. 11 : le complexe des jacobiennes généralisées (pages 60 et 61)

(C) Pour \(X\) de type fini sur un corps \(k\), construire un complexe \(J_{*X/k}\) de jacobiennes généralisées, de longueur \(\dim X\), formé de groupes proalgébriques commutatifs affines sauf \(J_0\), dont la partie abélienne est celle de la jacobienne généralisée usuelle \(\mathrm{Alb}_{X/k}\). Sa construction, inspirée du complexe résiduel, passe par des jacobiennes généralisées (au sens cohomologique) des localisés \(\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{X,x}\). Son \(\underline{H}_0\) est la jacobienne généralisée de \(X\) : il existe un morphisme \(X \to \underline{H}_0\) universel pour les morphismes de \(X\) dans les groupes localement proalgébriques commutatifs ; pour \(X\) connexe, \(\underline{H}_0\) est une extension de \(\mathbb{Z}\) par un groupe proalgébrique.⁵⁷ Le rôle cohomologique de ce complexe est celui d'un complexe d'homologie : \[ (*) \qquad H^i(X,G_X) \simeq \mathbb{E}\mathrm{xt}^i\bigl(J_{*X/k},G\bigr), \] pour des coefficients \(G\) qu'il prenait alors parmi les groupes algébriques commutatifs, mais avec la topologie de Zariski (« malédiction ! »), ce qui donne des groupes « légèrement stupides ». Il faudrait reprendre la construction en cohomologie fppf, avec une formule \((*)\) sans limitation sur \(i\) — le complexe \(J_*\) s'arrêtant alors en dimension \(2\dim X\), ses composantes au-delà de \(\dim X\) pouvant être de dimension nulle — et dans une catégorie dérivée de groupes proalgébriques, notion que personne n'avait définie quand Serre développait le formalisme de ces groupes. La construction de \(J_*\) ne commuterait au changement de base qu'au sens dérivé.⁵⁸

62–65

App. 12 : le corps de classes géométrique global comme dualité (pages 62 à 65)

(D) Soit \(f : X \to \mathrm{Spec}\,k\) lisse, séparé, de type fini, de dimension relative \(d\), et \(n > 0\) premier à la caractéristique. Pour \(F\) annulé par \(n\), la dualité globale dit que \(Rf_!F\) et \(Rf_*R\mathcal{H}om(F,\mu_n^{\otimes d})\) sont duaux à valeurs dans \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_k\), avec un décalage de \(2d\) ; comme \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est injectif sur lui-même, cela donne des dualités parfaites⁵⁹ \[ R^if_!(F) \times R^{2d-i}f_*\bigl(R\mathcal{H}om(F,\mu_n^{\otimes d})\bigr) \longrightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. \] Si \(n\) est une puissance de \(p > 0\), tout s'effondre : on ne sait même plus, pour \(d > 1\), par quoi remplacer \(\mu_n^{\otimes d}\).⁶⁰

« The extraordinary miracle » est que pour \(d = 1\), une courbe lisse, tout continue de marcher, pourvu qu'on énonce avec soin : on le vérifie sur \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), \(\mu_p\), \(\alpha_p\) pour \(X\) complète, par l'autodualité de la jacobienne, puis pour des coefficients tordus et \(X\) non complète. Seulement, les \(R^if_*F\) et \(R^if_!F\) ont alors une structure « continue » : ce sont essentiellement des groupes proalgébriques, comme le \(\pi_1^{\mathrm{ab}}\) d'une courbe non complète, donc \(H^1(X,\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})\).⁶¹

La dualité de Serre. Serre avait proposé, sans l'écrire, une dualité pour les groupes algébriques unipotents commutatifs à isogénie radicielle près (« quasi-algébriques ») : sur \(k\) algébriquement clos, \(G' = \mathrm{Ext}^1(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\) porte une structure canonique de groupe quasi-algébrique, avec \(\mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_a,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{G}_a\), et \(\Delta G = G'\) vérifie \(G \simeq \Delta\Delta G\) — « an authentic autoduality », qu'il appelle dualité de Serre. Pour les groupes finis étales, c'est \(\mathrm{Ext}^0(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\), la dualité de Pontrjagin, qui est parfaite. On les recolle dans une catégorie dérivée convenable en posant \[ \Delta G = R\mathcal{H}om(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}), \] dualité « cohomologique » de Serre, autodualité parfaite sur les complexes dont les \(\underline{H}^i\) sont, à passage à la limite près, extensions de groupes étales par des groupes unipotents connexes — les seuls qu'on rencontre en intégrant des coefficients finis par \(Rf_!\) ou \(Rf_*\).⁶² Passant à la limite sur \(n\), avec \(f^!(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})_k = (\mu_\infty)_X[2]\), la formule de dualité pour une courbe devient \[ \Delta\bigl(Rf_!F\bigr) \simeq Rf_*\bigl(DF[2]\bigr), \] où \(D = R\mathcal{H}om(-,\mu_\infty)\) est la dualité de Cartier (ou \(R\mathcal{H}om(-,\mathbb{G}_m)\)) et \(\Delta\) la dualité de Serre : cohomologie à supports propres et cohomologie ordinaire s'échangent, « when one takes upstairs Cartier duality, and downstairs Serre duality ».⁶³

La validité de la formule « is not open to doubt » ; le travail est de décrire soigneusement les catégories de coefficients, sur \(X\) et sur \(k\), et les foncteurs \(D\) et \(\Delta\) ; la flèche étant immédiate, la formule résulterait des dévissages usuels vers \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), \(\mu_p\), \(\alpha_p\) sur \(X\) complète. Appliquée à \(R^1f_*(G_X)\) pour \(G\) fini étale sur \(k\), elle redonne la description de Serre du corps de classes géométrique en termes d'extensions par \(G\) d'une jacobienne généralisée : la formule de dualité est une version cohomologique, considérablement enrichie, du corps de classes géométrique.⁶⁴ Sur un corps fini, on retrouve la forme classique par « le truc de Lang » — l'isogénie de Lang identifie le \(\pi_1\) arithmétique d'un groupe algébrique commutatif lisse connexe \(J\) à \(J(k)\) —, sous la forme cohomologique \[ \Delta_0\,R\Gamma_k(J^*) \simeq R\Gamma_k\bigl(\Delta J^*[1]\bigr), \] où \(\Delta_0\) est la dualité de Pontrjagin des groupes topologiques totalement discontinus et \(J^*\) un complexe d'ind-progroupes algébriques ; en l'appliquant à la formule géométrique, on obtient la formule de dualité du corps de classes arithmétique⁶⁵ , \[ \Delta_0\bigl(H^*_!(X,F)\bigr) \simeq H^*\bigl(X,D(F)[3]\bigr). \]

Enfin, pour un \(F\) qui n'est pas étale mais a une structure continue, comme \(\alpha_p\), il faut définir \(Rf_!F\) avec soin à partir d'une compactification \(\tilde f : \tilde X \to \mathrm{Spec}\,k\), au moyen d'un triangle exact

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & R\hat{f}_*\bigl(\hat{\tilde F}\bigr) \arrow[dl, "{+1}"'] & \\
Rf_!(F) \arrow[rr] & & R\tilde{f}_*(\tilde{F}) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

où \(\hat{\tilde F}\) est le complété formel d'un prolongement « admissible » \(\tilde F\) de \(F\) le long des points à l'infini.⁶⁶ C'est là, dit-il, qu'apparaît le lien avec le corps de classes local.

65–66

App. 13 : le corps de classes local comme dualité (pages 65 et 66)

(E) Soit \(V\) un anneau de valuation discrète complet, de corps résiduel \(k\) et de corps des fractions \(K\) ; on suppose soit \(k\) relevé dans \(V\) (donc \(V \simeq k[[T]]\)), soit \(k\) parfait de caractéristique \(p>0\). Pour des coefficients \(F\) finis sur \(K\), le travail principal serait de définir une catégorie convenable de coefficients sur \(k\) et un foncteur \(F \mapsto R\underline{\Gamma}_K(F)\) à valeurs dans celle-ci, avec \[ R\Gamma_K(F) \simeq R\Gamma_k\bigl(R\underline{\Gamma}_K(F)\bigr), \] conformément à l'intuition que, pour \(k\) algébriquement clos, les \(H^i(K,F)\) portent une structure de groupe algébrique (ind-pro) sur \(k\) ; les vecteurs de Witt et le foncteur de Greenberg y joueraient un rôle essentiel. La formule de dualité s'énoncerait alors comme en (D), \[ \Delta\,R\underline{\Gamma}_K(F) \simeq R\underline{\Gamma}_K\bigl(DF[1]\bigr), \] et deviendrait, pour un corps résiduel fini, par le truc de Lang, \[ \Delta_0\,R\Gamma_K(F) \simeq R\Gamma_K\bigl(DF[2]\bigr), \] qui contient le corps de classes local géométrique de Serre et le corps de classes local arithmétique classique.⁶⁷

Remarques. (a) Pour \(F\) premier à la caractéristique résiduelle, c'est facile et connu : un cas particulier de la formule d'induction \(i^!\,D_S(F) \simeq D_s(i^*F)\) pour l'immersion fermée \(i : s = \mathrm{Spec}\,k \to S = \mathrm{Spec}\,V\) ; le travail porte donc sur les coefficients \(p\)-primaires, et le cas le plus subtil est l'inégale caractéristique.⁶⁸ (b) \(R\underline{\Gamma}_K\) s'obtiendrait en composant \(Rj_*\), pour \(j : \mathrm{Spec}\,K \to \mathrm{Spec}\,V\), avec une version cohomologique du foncteur de Greenberg. (c) Il ne parle que de coefficients finis, les seuls pour lesquels il est sûr de ce qu'il avance ; mais il se rappelle vaguement, sans garantie, une formule pour un schéma abélien \(F\) sur \(K\), de dual \(F'\), avec \(G'\) le groupe proalgébrique attaché « à la Greenberg » au modèle de Néron de \(F'\) (\(k\) algébriquement clos) : \[ H^1(K,F) \overset{?}{\simeq} \mathrm{Ext}^1_{k\text{-grp}}(G',\mathbb{Q}/\mathbb{Z}), \] et pense que la conjecture de SGA 7 sur les modèles de Néron devrait sortir de cette machine de dualité locale.⁶⁹ (d) « You may ask Deligne if he didn't dive into questions (D) and (E) lately. »

67–67

App. 14 : portée et limites de la topologie fppf (page 67)

(F) Depuis les tentatives de Serre pour trouver une cohomologie de Weil avec des coefficients continus (les vecteurs de Witt \(W_n\)), il a eu l'impression qu'une cohomologie de Weil \(p\)-adique correcte en caractéristique \(p\) devrait venir de la cohomologie fppf, à coefficients finis ou dans des groupes algébriques sur \(k\) ; la construction du complexe jacobien local était liée à cet espoir — « the homology might reveal what is hidden to us in cohomology! ».⁷⁰ Mais on a maintenant la cohomologie cristalline, qui a les bonnes propriétés pour \(X\) projective et lisse (Berthelot), et, prise pour étalon, elle montre que la partie de \(H^i_{\mathrm{cris}}(X)\) descriptible par la cohomologie fppf à coefficients dans des \(k\)-groupes algébriques n'en est qu'une petite part : celle des pentes \(\leqslant 1\) du Frobenius, alors que les pentes vont de \(0\) à \(i\). D'où un \(H^1\) correct, et l'échec pour \(H^2\). On conjecture que toute la partie de pentes \(\leqslant 1\) vient de fppf ; Mazur, Katz, Messing et Deligne en sauraient l'état.⁷¹

67–69

App. 15 : le type d'homotopie d'un topos (pages 67 à 69)

La question 7 de Breen trahit, dit-il, un malentendu sur le sens du « type d'homotopie » d'un topos \(X\) : on confond l'algèbre homotopique qu'on peut faire sur \(X\) — faisceaux simpliciaux, champs de toutes sortes — et le point de vue où \(X\), avec sa riche structure, disparaît pour ne plus être qu'un « pale element » d'une catégorie homotopique (ou pro-homotopique), obtenu par une localisation très poussée. Il ne reste alors à \(X\) que ses \(\pi_i\) et sa cohomologie à coefficients constants ou tordus ; et, à creuser ce qui reste, on tombe sur les \(n\)-champs localement constants — une équivalence d'homotopie \(f : X \to X'\) induisant une \((n+1)\)-équivalence entre les \((n+1)\)-catégories des \(n\)-champs localement constants — qui contiennent les complexes abéliens de longueur \(n\) à faisceaux de cohomologie localement constants. D'où un triangle d'objets qui se déterminent mutuellement, les deux sommets du bas étant pris à \(n\)-équivalence près, et le sommet du haut pouvant être aussi un ensemble simplicial :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
 & \text{topos (ou espace) à $n$-homotopie près} \arrow[dl, leftrightarrow] \arrow[dr, leftrightarrow] & \\
\text{$n$-groupoïdes} \arrow[rr, leftrightarrow] & & \text{$n$-catégories « spéciales »}
\end{tikzcd}

Une \(n\)-catégorie \(E_n\) est « spéciale », ou \(n\)-galoisienne, si elle est \(n\)-équivalente à celle des \((n-1)\)-champs localement constants sur un espace ou un topos, ou, ce qui doit revenir au même, à celle des \(n\)-foncteurs \(G_n \to ((n-1)\text{-}\mathrm{Cat})\) pour un \(n\)-groupoïde \(G_n\) ; \(G_n\) est alors le \(n\)-groupoïde fondamental, \(E_n\) la catégorie des \((n-1)\)-systèmes locaux, \(X\) la réalisation géométrique. Comme pour \(n=1\), \(G_n\) devrait se retrouver comme la sous-\(n\)-catégorie pleine de \(\underline{\mathrm{Hom}}_n(E_n,((n-1)\text{-}\mathrm{Cat}))\) formée des \(n\)-foncteurs ayant des propriétés d'exactitude — « which commute with finite \(\varprojlim\) and arbitrary \(\varinjlim\) » —, ce qui soulève « the disquieting vision of \(n\)-limits in \(n\)-categories ».⁷²

Il est prudent de supposer \(X\) localement homotopiquement trivial, ce qui assure que le pro-ensemble simplicial d'Artin–Mazur est essentiellement constant ; ce n'est sûrement pas le cas du topos étale d'un schéma, dont le \(n\)-groupoïde fondamental doit être un pro-\(n\)-groupoïde, et \(E_n\) une ind-\(n\)-catégorie, l'ind-structure traduisant la trivialité locale relative à des recouvrements de plus en plus fins.

69–72

App. 16 : stratifications et voisinages tubulaires (pages 69 à 72)

Il comprend pourtant la résistance de Breen à ce dépouillement d'un « beau topos », et pense qu'en allant à sa racine on arrive à approfondir la notion même de type d'homotopie.

Faisceaux \(P\)-constructibles. Sur le topos étale d'un schéma cohérent \(X\), les faisceaux constructibles sont ceux pour lesquels il existe une partition finie \(P\) de \(X\) en strates localement fermées constructibles \(X_i\) telle que la restriction à chaque \(X_i\) soit localement constante. Pour \(P\) fixée, les faisceaux (ou complexes, ou champs) \(P\)-constructibles ne forment une catégorie satisfaisante que si elle est stable par les opérations usuelles, \(R\mathcal{H}om\), \(Rj_*j^*\) pour une strate \(j\), etc. ; pour \(X\) excellent et avec la résolution des singularités, les faisceaux constructibles de torsion première aux caractéristiques sont stables, mais pas pour une partition fixée. Il faut pour cela des hypothèses très strictes d'« équisingularité » le long des strates, et il pense qu'un raffinement des techniques connues fournira des stratifications équisingulières arbitrairement fines.

Deux strates. Soit \(X_0\) fermé, \(X_1 = X \setminus X_0\), avec les inclusions \(X_0 \xrightarrow{i_0} X \xleftarrow{i_1} X_1\). Par le dévissage d'Artin (le recollement de SGA 4), un faisceau \(F\) sur \(X\) équivaut à la donnée de \(F_0 = i_0^*F\), de \(F_1 = i_1^*F\) et d'un morphisme \(F_0 \to \varphi(F_1)\), avec \(\varphi = i_0^*\,i_{1*}\) exact à gauche. \(F\) est \(P\)-constructible si et seulement si \(F_0\) et \(F_1\) sont localement constants ; par équisingularité, \(\varphi(F_1)\) l'est aussi, et tout s'exprime par les faisceaux localement constants sur \(X_0\) et \(X_1\) — leur seul type d'homotopie — et le foncteur \(\varphi\). Pour expliciter celui-ci, il propose un « voisinage tubulaire étale » de \(X_0\), topos intéressant mais non associé à un schéma, paraphrase technique d'une intuition topologique très simple.⁷³

L'intuition. Sur \(\mathbb{C}\), l'équisingularité dit qu'il existe un voisinage tubulaire \(T\) de \(X_0\) dans \(X\), rétracté sur \(X_0\), tel que \(T\setminus X_0\) soit localement trivial sur \(X_0\) ; si \(\partial T\) est son bord, \(T\) est le fibré en cônes \((\partial T \times [0,1]) \amalg_{\partial T} X_0\), et \(\mathring T = T \setminus X_0 \simeq \partial T \times [0,1[\) est \(X_0\)-homotope à \(\partial T\). Si les strates sont non singulières, \(\partial T \to X_0\) est une fibration topologiquement lisse ; avec \(\widetilde X_1 = X_1 \setminus \mathring T\), l'inclusion \(\widetilde X_1 \to X_1\) est une équivalence d'homotopie, et \(X\) se reconstitue à homéomorphisme près comme somme amalgamée du diagramme

\begin{tikzcd}
\partial T \arrow[r, "j"] \arrow[d, "p"'] & \widetilde{X}_1 \\
X_0 &
\end{tikzcd}

où \(p\) est une fibration et \(j\) l'inclusion du bord. Alors \(\varphi(F_1) \simeq p_*j^*\widetilde F_1\), et la donnée de \(F\) est celle de \[ F_0, \qquad \widetilde F_1, \qquad \tilde u : p^*F_0 \to j^*\widetilde F_1, \] avec \(F_0\), \(\widetilde F_1\) localement constants sur \(X_0\) et \(\widetilde X_1\).⁷⁴ Il propose aussi les diagrammes équivalents \(X_0 \leftarrow \mathring T \to X_1\), plus canonique, et \(T \hookleftarrow \mathring T \to X_1\), où l'inclusion \(\mathring T \to T\) est « morally » une fibration à fibres compactes non singulières de dimension finie — bien mieux que ce que donne le yoga de Cartan–Serre selon lequel toute application est équivalente à une fibration —, et qui a l'avantage de se construire algébriquement pour les schémas, une fois les voisinages tubulaires étales construits.⁷⁵

72–75

App. 17 : le type d'homotopie fin (pages 72 à 75)

Le point est que les faisceaux, complexes ou \(n\)-champs \(P\)-constructibles, pour une stratification équisingulière \(P\), se ramènent à la connaissance d'un diagramme de types d'homotopie ordinaires (des pro-types en topologie étale), en prenant des systèmes locaux sur les sommets reliés par des morphismes de compatibilité du type \(p^*F_0 \to j^*F_1\).⁷⁶ Ce serait un exercice amusant, qu'il n'a pas fait, de traduire les six opérations dans ce dictionnaire et d'y retrouver les formules connues, au moins pour des strates non singulières ; mais il faudrait sans doute considérer non un diagramme dans la catégorie homotopique, mais la catégorie homotopique des diagrammes d'ensembles simpliciaux.⁷⁷

La topologie modérée. En réfléchissant aux fondements d'une « tame topology », qui élimine d'emblée les phénomènes sauvages, il a récemment explicité comment une stratification équisingulière à strates non singulières d'un espace modéré compact donne canoniquement un diagramme fini de variétés à bord, reliées par des fibrations localement triviales de variétés à bord compactes et par les inclusions des bords — avec des bords munis d'une décomposition cellulaire élémentaire —, à partir duquel l'espace se reconstitue par recollement. Pour un morphisme modéré \(f : X \to Y\) et des stratifications adaptées, on obtiendrait un morphisme de diagrammes, et les quatre opérations \(Rf_*\), \(Rf_!\), \(Lg^*\), \(g^!\) entre faisceaux \(P_X\)- et \(P_Y\)-constructibles s'exprimeraient par des opérations standard entre types d'homotopie. Le tout devrait se transposer aux schémas excellents par les voisinages tubulaires étales.⁷⁸

Le type d'homotopie fin d'un espace modéré ou d'un schéma excellent se définit alors par passage à la limite sur les « \(P\)-types d'homotopie » associés à des stratifications équisingulières de plus en plus fines. Il contiendrait la connaissance non seulement des faisceaux localement constants, mais, à la limite inductive, de tous, et dépendrait fonctoriellement de \(X\). Pour un schéma de type fini sur un corps algébriquement clos, le théorème de finitude le plus fort s'exprimerait par ce type fin : ses constituants seraient des « polyèdres finis », voire des variétés compactes à bord, ou plus précisément leurs complétés profinis premiers à \(p\) seraient ceux de tels polyèdres. On voit comment commencer en caractéristique \(0\) ; en caractéristique \(p\), il prévoit un supplément d'amusement, voire de mystère, pour les variétés qui résistent à tout relèvement en caractéristique \(0\), même birationnel.⁷⁹

75–77

App. 18 : linéariser un type d'homotopie (pages 75 à 77)

De ces pensées géométriques il ne tire pas de programme précis, et se borne à des remarques. Il se demande depuis longtemps combien d'information cohomologique il faut pour reconstituer un type d'homotopie : le groupe fondamental, les foncteurs \(H^i(-,M)\) sur les \(\pi_1\)-modules avec leur structure de foncteurs cohomologiques, les cup-produits, d'autres opérations. Avec le langage des catégories dérivées, un meilleur candidat est la sous-catégorie de la catégorie dérivée des complexes abéliens sur \(X\) à faisceaux de cohomologie localement constants, avec sa structure triangulée et son produit \(\otimes^{\mathbb{L}}\), peut-être \(R\mathcal{H}om\) ; il ne sait pas si cela suffit. En revanche il ne doute pas qu'en poussant la linéarisation jusqu'au bout, c'est-à-dire jusqu'au cadre non abélien — les \((n+1)\)-catégories des \(n\)-champs localement constants, sans aucune structure supplémentaire —, on reconstitue le type d'homotopie par son \(\infty\)-groupoïde fondamental, ce qui signifie que toutes les opérations cohomologiques imaginables sont déjà dans ces données.⁸⁰

De même, les types d'homotopie plus élaborés attachés aux stratifications devraient correspondre aux \((n+1)\)-catégories des \(n\)-champs subordonnés à \(P\) ; et, si la description par la catégorie dérivée « localement constante » valait, on retrouverait le type d'homotopie mixte par la sous-catégorie dérivée des complexes à cohomologie localement constante sur chaque strate, avec \(\otimes^{\mathbb{L}}\), \(R\mathcal{H}om\) et les quatre opérations entre réunions localement fermées de strates. Le problème est qu'on ne sait même pas ce qu'est une catégorie triangulée, ni sa version non commutative, décrite sans doute plus simplement et plus fondamentalement comme une « catégorie homotopique » munie des opérations de prise de fibres et de cofibres.⁸¹

« It is surely time that I finish this “lettre-fleuve”, which is becoming more and more vague. » Une dernière question : quelle est cette « marvellous formula of Bloch–Quillen » à laquelle Breen fait allusion, dont il n'a jamais entendu parler, « and which makes my mouth water? »⁸² Signé : « Very cordially yours, Alexandre Grothendieck. »

78–80

Les notes au chapitre I et à l'appendice (pages 78 à 80)

Les pages 78 à 80 sont les trois premières pages du tapuscrit « NOTES to Chapter I and Appendix », notes (1) à (25), avec des corrections et ajouts de sa main, dont la note (11), « Added 23.2.83 ». Elles commentent les sections du chapitre I et, à partir de la note (22), les lettres à Breen. Ce texte appartient à Pursuing Stacks et il est imprimé dans G. Maltsiniotis (éd.), À la poursuite des champs, vol. I, SMF, Documents mathématiques 20, 2022 ; on y renvoie et on ne le restitue pas. La note (25) se poursuit au-delà de la page 80, dans la partie du dossier qui n'est pas transcrite.⁸³