Cote n° 134-1 · batch 1 · pages 1–6 · Transcription · Lettres Breen 75,76 [correspondance avec Larry Breen, Pierre Deligne et Daniel Quillen] : lettres et copies de lettre (1974-1976, 1984)
Datation de l’inventaire : 1974-1984
Édition de démonstration

A. Grothendieck à P. Deligne, de Lodève (pages 3 à 6)

3Les feuillets portent 60 à 64 au crayon de l'archiviste : c'est la numérotation de la cote 134 prise entière, dont 134-1 est la première partie. Les numéros employés ici, 1 à 6, sont ceux que compte l'inventaire pour cette partie.

Cher Breen, j'imagine que tu sais ce que le maître demande, mais n'ai pu néanmoins lui répondre. Qu'en penses-tu. Bien à toi, P. Deligne

Cette note court verticalement dans la marge de gauche, d'une autre main que celle de la lettre, et elle est signée. Le dossier est donc l'exemplaire de Breen, que Deligne lui a fait suivre.

Lodève le 27.[…]

Cher Deligne,

Étant peut-être empêché […] […] faute d'assurer un cours de 1er cycle au 1er trimestre, je vais peut-être […] faire un petit séminaire d'algèbre, et envisage de le faire sur les fourbis de Mme Sinh, éventuellement transposés dans le contexte des « champs ». À ce propos, je tombe sur le truc suivant, qui pour l'instant reste heuristique. Si \(M\), \(N\) sont deux faisceaux abéliens sur un topos \(X\), et si

\[ \tau_{\leq 2} \, R\underline{\mathrm{Hom}}(M, N) = E(M, N) \]

est le complexe ayant les invariants

\[ \begin{cases} \underline{H}^i = \underline{\mathrm{Ext}}^i(M, N) & \text{pour } 0 \leq i \leq 2 \\ \underline{H}^i = 0 & \text{si } i \notin [0, 2] \end{cases} \]

il doit y avoir un triangle distingué canonique

\begin{tikzcd}
& \underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2 N)[-2] \arrow[dl] & \\
E(M, N) \arrow[rr] & & E'(M, N) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

\[ (T) \]

4donc \(E'(M,N)\) est un complexe dont les invariants \(\underline{H}^i\) sont ceux de \(E(M,N)\) en degré \(i+2\), et qui en degré 2 donne lieu à une suite exacte

\[ (S) \qquad 0 \longrightarrow \underline{\mathrm{Ext}}^2(M, N) \longrightarrow \underbrace{\underline{H}^2(E'(M,N))}_{P(M,N)} \xrightarrow{\ \sigma\ } \underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2 N) \longrightarrow 0 \]

Heuristiquement, \(E'(M,N)\) est le complexe qui exprime le « 2-champ de Picard "strict" » formé des 1-champs de Picard (pas nécessairement stricts) « épinglés » par \(M\), \(N\), sur des objets variables de \(X\), en admettant que la théorie pour les 1-champs de Picard stricts s'étend aux 2-champs de Picard stricts (ce qui pour moi ne fait guère de doute) ; de même \(E(M,N)\) correspond aux champs de Picard stricts épinglés par \(M\), \(N\).

La suite exacte \((S)\) se construit en tout cas canoniquement « à la main », où le terme médian est le faisceau des données à « équivalence » près des

5catégories champs de Picard épinglés par \(M\), \(N\), \(\sigma\) étant l'invariant qui s'obtient en […] associé à toute section \(L\) d'un champ de Picard, la symétrie de […] \(L \otimes L\), interprétée comme section de \({}_2 N\). Je sais prouver (sauf erreur) que tout hom. \(M \to {}_2 N\) provient d'un champ de Picard convenable (épinglé par \(M\), \(N\)) (a priori l'obstruction est dans \(\mathrm{Ext}^3(X; M, N)\), mais un argument « universel » prouve qu'elle est nulle). Cela prouve que l'extension \((S)\) est bien proche d'être splittée : toute section du troisième faisceau, sur un objet quelconque de \(X\), se relève — en d'autres […] termes l'extension a une section « ensembliste ». Bien sûr, il y a mieux en fait : toute section sur un \(U \in \mathrm{Ob}\, X\) « provient » d'un élément de \(\mathbb{H}^2(U, E'(M,N))\) (hypercohomologie, i.e. \(\mathbb{H}^2\)).

6[…] soit \(A\) un anneau sur \(X\), soient \(M\), \(N\) respectivement les faisceaux \(K^0\) et \(K^1\) associés au champ additif des \(A\)-Modules projectifs […] (p. ex.). Alors le raisonnement de Mme Sinh nous fournit un champ de Picard épinglé par \(M\), \(N\), d'où une section canonique du terme médian \(P(M,N)\) de \((S)\).

NB Tout ce qui précède a les fonctorialités évidentes en \(M\), \(N\), \(X\) …

Question : Le triangle exact \((T)\) et la suite exacte \((S)\) sont-ils connus par les compétents (Quillen, Breen, Illusie…) ? Connaissent-ils des variantes « supérieures » ? (Un principe « géométrique » pour les obtenir pourrait être via des \(n\)-champs de Picard non néc. stricts…)