Cote n° 134-1 · pages 1–6 · Lecture modernisée · Lettres Breen 75,76 [correspondance avec Larry Breen, Pierre Deligne et Daniel Quillen] : lettres et copies de lettre (1974-1976, 1984) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1974-1984
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

3–3

La lettre et son occasion (page 3)

La lettre est datée « Lodève le 27 », le mois et l'année ayant été surchargés puis perdus à la photocopie.¹

Son occasion est un contretemps d'enseignement : n'ayant peut-être pas de cours de premier cycle à assurer, Grothendieck envisage de faire à la place un petit séminaire d'algèbre sur « les fourbis de Mme Sinh », c'est-à-dire sur la thèse de Hoàng Xuân Sính, éventuellement transposés dans le langage des champs.² C'est en la transposant qu'il rencontre ce que la lettre expose, et qu'il présente d'emblée comme heuristique.

La marge gauche de cette même page porte, à la verticale et d'une autre main, un mot de Pierre Deligne à Larry Breen : il fait suivre la lettre, dit imaginer que Breen sait ce que « le maître » demande, et avoue n'avoir pu lui répondre. Le dossier est donc l'exemplaire de Breen.

3–5

Champs de Picard épinglés par deux faisceaux (pages 3 à 5)

Fixons un topos \(X\). Un champ de Picard sur \(X\) est un champ en groupoïdes \(P\) muni d'une loi \(\otimes : P \times P \to P\), d'une contrainte d'associativité et d'une contrainte de commutativité \(c_{x,y} : x \otimes y \xrightarrow{\ \sim\ } y \otimes x\) vérifiant les axiomes de cohérence, tel que \(P\) soit localement non vide et que \(x \mapsto x \otimes y\) soit une équivalence pour tout \(y\).³

Un tel champ a deux invariants immédiats : \[ \pi_0(P) = \text{faisceau des classes d'objets}, \qquad \pi_1(P) = \underline{\mathrm{Aut}}(0). \] Pour tout objet \(y\), la translation par \(y\) identifie canoniquement \(\underline{\mathrm{Aut}}(y)\) à \(\pi_1(P)\), de sorte que \(\pi_1(P)\) mesure les automorphismes de n'importe quel objet.

Soient maintenant \(M\) et \(N\) deux faisceaux abéliens sur \(X\). Dire qu'un champ de Picard \(P\) est épinglé par \(M\) et \(N\), c'est le donner avec deux isomorphismes \(\pi_0(P) \simeq M\) et \(\pi_1(P) \simeq N\) ; les équivalences entre tels objets sont celles qui respectent les épinglages.⁴

L'invariant de symétrie

Soit \(P\) un champ de Picard et \(L\) une section de \(P\) au-dessus d'un objet \(U\) de \(X\). La contrainte de commutativité prise en \(y = x = L\) donne un automorphisme \[ c_{L,L} \in \underline{\mathrm{Aut}}(L \otimes L) \simeq \pi_1(P) . \] L'axiome de symétrie donne \(c_{L,L}^{\,2} = \mathrm{id}\), et l'axiome d'associativité (l'hexagone) donne \(c_{L \otimes L', L \otimes L'} = c_{L,L} \cdot c_{L',L'}\), puisque les deux termes croisés \(c_{L,L'}\) et \(c_{L',L}\) sont inverses l'un de l'autre. Cet invariant ne dépend donc que de la classe de \(L\) dans \(\pi_0(P)\), il est additif, et il est tué par \(2\) : c'est un homomorphisme \[ \sigma(P) \,:\, M \longrightarrow {}_2 N , \] où \({}_2 N\) désigne le sous-faisceau des sections de \(N\) tuées par \(2\).⁵

Un champ de Picard est dit strict lorsque \(c_{x,x} = \mathrm{id}\) pour tout \(x\). Vu ce qui précède, cela équivaut à \(\sigma(P) = 0\). Le signe est donc le défaut de stricte commutativité, et c'est le seul.

Les deux classifications

Le cas strict est le cas connu. Le théorème de Deligne identifie la \(2\)-catégorie des champs de Picard stricts sur \(X\) à la catégorie dérivée \(D^{[-1,0]}(X)\), un champ \(P\) correspondant à un complexe \(K\) avec \(H^{-1}(K) = \pi_1(P)\) et \(H^{0}(K) = \pi_0(P)\).⁶ Un tel complexe épinglé par \(M\) et \(N\) est un dévissage \(N[1] \to K \to M \xrightarrow{\,k\,} N[2]\), entièrement déterminé par sa classe \(k\), d'où la classification par \[ \underline{\mathrm{Ext}}^2(M,N) . \]

Le cas général est celui que la lettre veut atteindre. Grothendieck introduit d'abord le complexe qui porte le cas strict, \[ E(M,N) \;=\; \tau_{\leq 2} \, R\underline{\mathrm{Hom}}(M,N) , \qquad \underline{H}^i\bigl(E(M,N)\bigr) = \begin{cases} \underline{\mathrm{Ext}}^i(M,N) & 0 \leq i \leq 2, \\ 0 & \text{sinon,} \end{cases} \] puis pose l'existence d'un second complexe \(E'(M,N)\) dont le \(\underline{H}^2\), noté \(P(M,N)\), est le faisceau des classes d'équivalence de champs de Picard non nécessairement stricts épinglés par \(M\) et \(N\).⁷

La lettre ne définit pas \(E'(M,N)\) : elle dit seulement ce qu'il doit exprimer, à savoir le \(2\)-champ de Picard strict formé des \(1\)-champs de Picard non nécessairement stricts, « en admettant que la théorie pour les \(1\)-champs de Picard stricts s'étend aux \(2\)-champs de Picard stricts (ce qui pour moi ne fait guère de doute) ». Cette lecture en donne une définition, qui est la nôtre, et sous laquelle tout ce que la lettre affirme devient démontrable : \[ E'(M,N) \;=\; \tau_{\leq 2} \, R\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathbb{S}}(HM, HN), \] le complexe de morphismes calculé dans les faisceaux de spectres sur \(X\), c'est-à-dire au-dessus de la sphère \(\mathbb{S}\) et non plus au-dessus de \(\mathbb{Z}\).⁸

3–4

Le triangle \((T)\) (pages 3 et 4)

Le morphisme d'oubli, qui à un champ de Picard strict associe le champ de Picard sous-jacent — ou, dans le langage ci-dessus, qui à une application \(H\mathbb{Z}\)-linéaire associe l'application \(\mathbb{S}\)-linéaire sous-jacente — fournit une flèche \(E(M,N) \to E'(M,N)\). La lettre affirme qu'elle s'insère dans un triangle distingué canonique

\begin{tikzcd}
& \underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2 N)[-2] \arrow[dl, "{[1]}"] & \\
E(M, N) \arrow[rr] & & E'(M, N) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

Le sens des flèches n'est pas indifférent, et il est ici celui de la page : la flèche part de \(E\) et non de \(E'\).⁹

Pourquoi il est vrai

Le calcul, dans le langage de la définition adoptée, tient en trois lignes. Comme \(HN\) est un module sur \(H\mathbb{Z}\), l'adjonction donne \[ R\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathbb{S}}(HM, HN) \;=\; R\underline{\mathrm{Hom}}_{H\mathbb{Z}}(H\mathbb{Z} \wedge HM, HN), \] et la flèche \(E \to E'\) est la restriction le long du morphisme d'action \(\mu : H\mathbb{Z} \wedge HM \to HM\), qui est bien \(H\mathbb{Z}\)-linéaire. Il suffit donc de connaître la fibre de \(\mu\). Les groupes d'homotopie de \(H\mathbb{Z} \wedge HM\) se calculent à partir de l'homologie entière du spectre d'Eilenberg–MacLane, \(H_*(H\mathbb{Z};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}, 0, \mathbb{Z}/2, \ldots\) en degrés \(0, 1, 2\) : on trouve \[ \pi_0 = M, \qquad \pi_1 = 0, \qquad \pi_2 = M/2M , \] de sorte que la fibre de \(\mu\) est, en degrés \(\leq 2\), le spectre \(\Sigma^2 H(M/2M)\). En appliquant \(R\underline{\mathrm{Hom}}_{H\mathbb{Z}}(-, HN)\) et en tronquant, le troisième terme du triangle devient \[ \tau_{\leq 2} \, R\underline{\mathrm{Hom}}(M/2M, N)[-2] \;=\; \underline{\mathrm{Hom}}(M/2M, N)[-2] \;=\; \underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2 N)[-2] . \] C'est \((T)\).¹⁰

4–4

La suite exacte \((S)\) (page 4)

Écrivons la suite exacte longue de cohomologie de \((T)\). Le troisième terme n'a de cohomologie qu'en degré \(2\), où elle vaut \(\underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2N)\). Il vient donc, pour \(i \leq 1\), \[ \underline{H}^0(E') = \underline{\mathrm{Hom}}(M,N), \qquad \underline{H}^1(E') = \underline{\mathrm{Ext}}^1(M,N), \] et en degré \(2\) la suite exacte \[ (S) \qquad 0 \longrightarrow \underline{\mathrm{Ext}}^2(M,N) \longrightarrow \underbrace{\underline{H}^2\bigl(E'(M,N)\bigr)}_{P(M,N)} \xrightarrow{\ \sigma\ } \underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2 N) \longrightarrow 0 . \] L'exactitude à droite est gratuite, et c'est la troncature qui la donne : \(\underline{H}^3(E) = 0\) parce que \(E\) est tronqué en degré \(2\).¹¹

La lecture est celle-ci, et c'est tout le contenu de la lettre : classer un champ de Picard épinglé par \(M\) et \(N\), c'est classer un champ strict — une classe dans \(\underline{\mathrm{Ext}}^2(M,N)\) — et choisir un signe. Rien d'autre ne se cache entre les deux.

Grothendieck ajoute que \((S)\) « se construit en tout cas canoniquement à la main », indépendamment de \((T)\) : le terme médian est le faisceau des champs de Picard épinglés à équivalence près, la flèche \(\sigma\) est l'invariant de symétrie construit plus haut, l'injectivité à gauche est la caractérisation des champs stricts par \(\sigma = 0\), et la surjectivité à droite est l'énoncé de la section suivante. Cette construction directe ne suppose rien de la théorie des \(2\)-champs ; c'est ce qui rend la lettre solide là même où elle se dit heuristique.¹²

5–5

Tout signe se réalise, et l'obstruction (page 5)

L'exactitude de \((S)\) comme suite de faisceaux ne dit pas que ses sections se relèvent : une suite exacte courte de faisceaux abéliens n'est pas exacte sur les sections. Grothendieck énonce le relèvement séparément, et sous sa forme la plus forte :

Énoncé (page 5). Tout homomorphisme \(M \to {}_2N\) provient d'un champ de Picard épinglé par \(M\) et \(N\). Par fonctorialité en \(X\), il en va de même au-dessus de tout objet \(U\) de \(X\) : toute section de \(\underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2N)\) sur \(U\) se relève en une section de \(P(M,N)\) sur \(U\), et même en un élément de l'hypercohomologie \(\mathbb{H}^2\bigl(U, E'(M,N)\bigr)\).

La dernière précision est la bonne, et c'est celle qu'il appelle « il y a mieux en fait » : un élément de \(\mathbb{H}^2(U, E')\) est un champ de Picard véritable sur \(U\), alors qu'une section de \(P(M,N)\) n'est qu'une donnée locale recollée à équivalence près.

L'obstruction se lit sur la suite exacte longue d'hypercohomologie de \((T)\) : \[ \mathbb{H}^2\bigl(U, E'(M,N)\bigr) \longrightarrow \mathrm{Hom}_U(M, {}_2N) \xrightarrow{\ \partial\ } \mathbb{H}^3\bigl(U, E(M,N)\bigr), \] et \(\mathbb{H}^3(U, E(M,N))\) s'injecte dans \(\mathrm{Ext}^3(U; M, N)\).¹³ L'énoncé revient donc à la nullité de \(\partial\), que Grothendieck attribue à « un argument universel » sans le donner.¹⁴

Il en tire enfin la formulation qu'il retient, et qui est notablement plus prudente que celle qu'il avait commencé à écrire : la suite \((S)\) est « bien proche d'être scindée » — l'extension admet une section ensembliste, au sens où toute section du troisième terme se relève — sans qu'il soit affirmé qu'elle se scinde comme suite de faisceaux abéliens.¹⁵

6–6

L'exemple : \(K^0\) et \(K^1\) (page 6)

Soit \(A\) un anneau sur \(X\), et soit considéré le champ additif des \(A\)-modules projectifs, muni de la somme directe. Prenons pour \(M\) et \(N\) les faisceaux \(K^0\) et \(K^1\) qui lui sont associés. Alors « le raisonnement de Mme Sinh » fournit un champ de Picard épinglé par \(M\) et \(N\), d'où une section canonique du terme médian \(P(M,N)\) de \((S)\).¹⁶

L'invariant de symétrie de ce champ se calcule, et il vaut la peine de l'écrire parce qu'il est complètement explicite. Pour \(L\) un module projectif, \(c_{L,L}\) est l'automorphisme d'échange de \(L \oplus L\), c'est-à-dire la matrice de permutation \(\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right)\) par blocs. Sa classe dans \(K^1\) est celle de \(-1\) : pour \(L\) de rang \(r\), l'échange est un produit de \(r\) transpositions, donc de déterminant \((-1)^r\). Autrement dit \[ \sigma \,:\, K^0 \longrightarrow {}_2 K^1, \qquad x \longmapsto \{-1\} \cdot x . \] Dans le langage des spectres, c'est la multiplication par l'élément \(\eta\) de \(\pi_1(\mathbb{S})\), dont l'image dans \(K^1\) est précisément \(\{-1\}\). La K-théorie ne fournit donc pas seulement une section de \((S)\) : elle fournit la section universelle, celle que porte la sphère.¹⁷

Grothendieck note enfin que tout ce qui précède a « les fonctorialités évidentes en \(M\), \(N\), \(X\) ».

6–6

La question, et ce qu'on en sait aujourd'hui (page 6)

La lettre s'achève sur ce pour quoi elle est écrite :

Le triangle exact \((T)\) et la suite exacte \((S)\) sont-ils connus par les compétents (Quillen, Breen, Illusie…) ? Connaissent-ils des variantes « supérieures » ? Un principe « géométrique » pour les obtenir pourrait être via des \(n\)-champs de Picard non nécessairement stricts.

Le vocabulaire d'aujourd'hui permet de dire où se rangent ces deux questions, sans rien dire de qui savait quoi et quand.¹⁸

Un champ de Picard sur \(X\) est un faisceau de spectres connectifs tronqué en degré \(1\) ; ses invariants sont \(\pi_0 = M\), \(\pi_1 = N\), et sa classification est celle des tours de Postnikov à deux étages, le premier invariant vivant dans le groupe des opérations stables de degré \(2\) de \(M\) vers \(N\). Ce groupe est exactement le \(\underline{H}^2(E')\) de la lettre. Les champs stricts sont ceux qui sont des modules sur \(H\mathbb{Z}\), et leur classification par \(\underline{\mathrm{Ext}}^2\) est le théorème de Deligne. Le triangle \((T)\) est alors la comparaison entre les deux linéarités, \(\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{S}\) ; l'écart, en degré \(2\), est le dual du carré de Steenrod \(Sq^{2}\), et c'est la multiplication par \(\eta\).

Quant aux « variantes supérieures », la réponse de principe est oui, et elle est celle que Grothendieck devine en écrivant « via des \(n\)-champs de Picard non nécessairement stricts » : un \(n\)-champ de Picard est un faisceau de spectres connectifs tronqué en degré \(n\), les stricts sont les \(H\mathbb{Z}\)-modules, et la comparaison générale entre \(R\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathbb{S}}\) et \(R\underline{\mathrm{Hom}}_{H\mathbb{Z}}\) est gouvernée par l'homologie entière de \(H\mathbb{Z}\) tout entière. Le triangle \((T)\) est le premier étage de cette tour — celui que produit \(H_2(H\mathbb{Z};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2\) — et il y en a un par degré au-dessus. C'est la tour de Postnikov de la sphère qui organise l'ensemble, et le « principe géométrique » demandé est là.¹⁹