Cote n° 133 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Groupes de Witt et formes quadratiques, groupes formels] : notes manuscrites (s.d.), tirés à part (1974).
Datation de l’inventaire : 1974-[à partir de 1975]
Édition de démonstration

[Les opérations \(T^n\) et \(\tau^i\), suite]

titre de l'éditeur, entre crochets : le feuillet 21 n'en porte aucun et commence au milieu d'un développement (« On définit aussi »), dont les notations \(k_n(G)\), \(\mathrm{cl}_n\), \(\tau^i\), \(I_n\) ont été posées sur les feuillets précédents, au lot 1.

21On définit aussi \[ T^n(E) = \mathrm{cl}_n\bigl(\mathrm{Hom}(I_n, E)\bigr) \in k_n(G) \qquad (E \in \uncertain{\mathrm{Ob}\,\mathrm{Ens}(G)}) \] \[ T^*(E) = \sum_n T^n(E) \in 1 + \widehat{k_*(G)}^{+} ; \] on a donc évidemment \(T^*(E \sqcup F) = T^*(E)\,T^*(F)\), d'où \[ T^* : k_0(G) \to 1 + \widehat{k_*(G)}^{+} \] défini de façon unique par \(T^*(\mathrm{cl}_0(E)) = T^*(E)\). On va donner une relation entre \(T^*\) et \(\tau^*\), permettant de calculer \(T^*\) en termes de \(\tau^*\). \[ \mathrm{Hom}(I_n, E) \simeq \coprod_{Q \text{ quotient de } I_n} \mathrm{Mon}(Q, E) \simeq \coprod_{\substack{\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbf{N}^n \\ \sum i\alpha_i = n}} \struck{\ill{}} \underbrace{\coprod_{Q \text{ quotient de } I_n \text{ de type } \alpha} \mathrm{Mon}(Q, E)}_{\varphi_{\alpha}(\tau^{i}(E))} \] l'indice de \(\varphi\) sous l'accolade est surchargé ; « \(\alpha\) » est une lecture douteuse.

d'où \[ T^n(E) = \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \varphi_{n,i}\bigl(\tau^i(E)\bigr), \] où \(\varphi_{n,i} : k_i(G) \to k_n(G)\) défini par \(\varphi_{n,i}(\mathrm{cl}_i(E)) = \mathrm{cl}_n(E \times^{\mathfrak{S}_i} \mathfrak{S}_n)\) ; \[ T^*(E) = \sum_{n \geqslant 0} T^n(E) = 1 + \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \varphi_{n,i}\,\tau^i(E) = 1 + \sum_{i \geqslant 1} \varphi_{*i}\,\tau^i(E) \] tout ce bloc, depuis « d'où », est encadré et annulé par deux grandes croix ; on le transcrit sans le biffer ligne à ligne. Il se prolonge en haut du feuillet 22.

22où on pose \(\varphi_{*i} : k_i(G) \to \widehat{k_*(G)}^{\geqslant i}\), \(\varphi_{*i}(x) = \sum_{n \geqslant i} \varphi_{ni}(x)\) suite du bloc annulé du feuillet 21, encadré et biffé de même ; une lettre en exposant sur le premier \(\varphi\) ne se lit pas.

Le reste du feuillet est une page de calculs épars, sans phrase suivie ; on en donne les éléments dans l'ordre de la page.

\(I_n\) ; \(1\cdot\alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + n\alpha_n = n\), \(\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\), \(\alpha_i \in \mathbf{N}\) (\(1 \leqslant i \leqslant n\)) ; \(E\) un \(\mathfrak{S}_i\)-ens. fini.

\[ \begin{array}{ll} \alpha_1 \text{ classes de 1 él.} & \alpha_1! \\ \alpha_2 \text{ — 2 él.} & \alpha_2!\,2^{\alpha_2} \\ \alpha_i \text{ — } i \text{ él.} & \alpha_i!\,(i!)^{\alpha_i} \\ \alpha_n \text{ — } n \text{ él.} & \alpha_n!\,(n!)^{\alpha_n} \end{array} \]

\(\sum \alpha_i = m\) ; \(\dfrac{n!}{\prod_{1 \leqslant i \leqslant n} \alpha_i!\,(i!)^{\alpha_i}}\) ; \(\sum_{Q \text{ quotient de type } \alpha \text{ de } I} E^{\widetilde{Q}}\) ;

\[ \sum_{\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots) \in \mathbf{N}^{(\mathbf{N}^*)}} \varphi_{\nu(\alpha), \mu(\alpha)}\bigl(\tau^{\mu(\alpha)}(x)\bigr) \] sous le signe somme, une première indexation \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) est biffée ; le premier indice de \(\varphi\) est surchargé et un indice sous \(\tau\) est biffé.

[…]\({}^{\alpha_1 \ldots \alpha_i \ldots}(E)\) ; \(\mathbf{Z}[\tau^n(e_i),\ 1 \leqslant i \leqslant d] / \struck{\ill{}}\, \mathbf{Z}\) ; \(\tau^1(e_1)\) ; un tableau à trois colonnes \(e_i \mid \tau^2(e_i) \mid \tau^3(e_i)\), laissé vide.

[Foncteurs de la catégorie des ensembles finis et injections]

23Soit \(\mathcal{E}\) la catégorie des ensembles finis, avec comme morphismes les applications injectives. On considère des foncteurs \(\mathcal{E} \xrightarrow{F} (\mathrm{Ens})\) tels que \(\forall E \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{E}\), \(\mathrm{card}(F(E))\) soit fini, i.e. des foncteurs \(\mathcal{E} \to (\mathrm{Ensf})\). Ils forment une catégorie \(\overbrace{\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{E}, (\mathrm{Ensf}))}^{\mathcal{H}}\), qui est un prétopos.

Parmi ces objets, on en distingue deux sortes particulières :

a) Les foncteurs représentables \(\mathcal{E} \to (\mathrm{Ens})\), de la forme \[ h_I : E \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathcal{E}}(I, E) = \mathrm{Mon}(I, E) \] où \(I\) est un ensemble fini. Le foncteur \[ I \mapsto h_I \qquad \mathcal{E}^{\circ} \to \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{E}, (\mathrm{Ensf})) \] est pleinement fidèle, et identifie \(\mathcal{E}^{\circ}\) à une sous-catégorie pleine de \(\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{E}, (\mathrm{Ensf}))\).

b) Les foncteurs de la forme \[ H_I : E \mapsto \mathrm{Hom}_{(\mathrm{Ens})}(I, E) = E^I = H(I, E) \] (restrictions à \(\mathcal{E} \subset (\mathrm{Ensf})\) des foncteurs correspondants sur \((\mathrm{Ensf})\)).

Prop. Les \(h_I \in \mathrm{Ob}\,\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{E}, (\mathrm{Ensf}))\) sont des objets connexes (non vides) de \(\mathcal{H}\). À isomorphisme

24près, ce sont les composantes connexes des foncteurs de la forme \(H_J\).

Foncteurs spéciaux \(\mathcal{E} \to (\mathrm{Ensf})\) : ce sont les foncteurs qui sont sommes isom. à des sommes directes finies de foncteurs de la forme \(h_I\) — ou encore qui sont des sommandes directs (pour \(I\) de cardinal assez grand) de foncteurs de la forme \(H_I\).

Stabilités. Toute somme finie, […] produit fini (plus gén. lim. finies) de foncteurs spéciaux est spécial. Tout foncteur spécial \(\mathcal{E} \to (\mathrm{Ensf})\) prend ses valeurs dans la sous-catégorie \(\mathcal{E}\) de \((\mathrm{Ensf})\), i.e. définit un dans \(\in \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{E}, \mathcal{E})\) (et on identifiera par abus de langage les foncteurs spéciaux \(\mathcal{E} \to (\mathrm{Ensf})\) avec des foncteurs \(\mathcal{E} \to \mathcal{E}\)). Avec cette convention, le composé de deux foncteurs spéciaux est spécial.

25Foncteurs distingués : sommes directes finies de quotient d'un foncteur spécial par \(h_I\) par un groupe d'automorphismes, i.e. foncteurs isomorphes à des sommes finies de foncteurs de la forme \[ E \mapsto \mathrm{Mon}(I, E) / H \] où \(H \subset \mathfrak{S}_I\). Ce sont aussi les sommes finies de composantes connexes de foncteurs de la forme \[ H(I, E)/H = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Ens}}(I, E)/H . \] Ces foncteurs ont les mêmes propriétés de permanence que celles vues pour les foncteurs spéciaux. Les deux insertions « sommes directes finies de » et « sommes finies de » sont de sa main, en interligne, rattachées au texte par une accolade.

Tout foncteur distingué spécial est isom. à un foncteur de la forme \[ E \mapsto \coprod_{n \geqslant 0} \mathrm{Mon}(I_n, E) \wedge^{\mathfrak{S}_n} X_n \] où \(\forall n\), \(X_n\) est un \(\mathfrak{S}_n\)-ens. fini (i.e. […]). ajout à l'encre bleue, en regard de la phrase précédente, séparé d'elle par un trait oblique ; la fin de la parenthèse, en bout de ligne, est recouverte par une insertion à l'encre noire.

Un hom. \(u : F \to G\)« \(u : F \to G\) » en interligne. de foncteurs \(F, G : \mathcal{E} \to (\mathrm{Ens})\) est dit une équivalence s'il satisfait la condition suivante :

(\(\alpha\)) \(\exists\, n \in \mathbf{N}\) tel que pour deux tout ensemble fini \(E\) […] de cardinal \(\geqslant n\), et tt appl. […] \(E' \hookrightarrow E\) […] \(E\), on ait \(u(E) : F(E) \xrightarrow{\sim} G(E)\). le passage biffé, sur une ligne et demie, ne se lit qu'en partie.

On a

a) Si \(F \xrightarrow{u} G \xrightarrow{v} H\) et si deux parmi les trois \(u, v, vu\) sont des équivalences, aussi la 3e.

b) L[…]es équivalences sont stables par chgt de base

26\[ \underline{\Omega} = \underline{\mathrm{End}}(\mathcal{E}, \mathcal{E}) \subset \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{E}, \mathrm{Ens}) = \widehat{\mathcal{E}^{\circ}} \]

\(\underline{\Omega}\) est la sous-catégorie (pas pleine !) de \(\widehat{\mathcal{E}^{\circ}}\) formée :

a) comme objets, des foncteurs \(F : \mathcal{E} \to (\mathrm{Ens})\) qui se factorisent par la sous-catégorie \(\mathcal{E}\) de \(\mathrm{Ens}\), i.e. tels que

1°) \(F(E)\) est fini pour tt \(E \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{E}\)

2°) \(F(u)\) est injectif \(\forall\, (u : E \to F) \in \mathrm{Fl}(\mathcal{E})\)

b) comme morphismes \(F \xrightarrow{u} G\), des seuls homomorphismes tels que \(u(E) : F(E) \to G(E)\) soit injectif pour tt \(E \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{E}\).

\(\underline{\Omega}\) a des opérations \(+\), \(\times\), \(\circ\) : \[ \begin{cases} (F + G)(E) = F(E) \sqcup G(E) \\ (F \times G)(E) = F(E) \times G(E) \\ (F \circ G)(E) = F(G(E)) \end{cases} \] le feuillet s'arrête là ; le bas est vierge.

[Opérations \(\lambda\) et représentations des groupes symétriques]

27Sur Topos loc. annelé (commutativement) \(X\), on a \[ K(X, *) = \sum_{n \geqslant 0} K(B_{\mathfrak{S}_n X}) \] On a pour \(\xi \in K(X)\) \[ \tau^*(\xi) = \sum \tau^n(\xi) \in 1 + K(X, *)^{\wedge +} = 1 + \xi + \tau^2\xi + \cdots \] Pour \(\xi = \mathrm{cl}_{K(X)}(E)\), on a \(\tau^n(\xi) = \mathrm{cl}_{K(B_{\mathfrak{S}_n X})} \bigl(\widetilde{\otimes}^{n} E\bigr)\). le signe de produit tensoriel porte un tilde et un exposant peu net ; « \(\widetilde{\otimes}^{n}\) » est une lecture proposée.

Ceci posé, on a la relation \[ \tau^n(\xi) = \sum_{\substack{(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbf{N}^n \\ 1\alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + n\alpha_n = n}} \Sigma_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n}(\lambda^1\xi, \ldots, \lambda^n\xi)\, \rho_1^{\alpha_1} \cdots \rho_n^{\alpha_n} \] Si \(\xi\) est effectif, s'agit-il d'une somme directe ? (Relation avec le th. de commutation de H. Weyl (\(\longrightarrow\) […] ?)) note marginale écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de la formule. où \(\rho_i \in K(B_{\mathfrak{S}_i}) = R_{\mathbf{Z}}(\mathfrak{S}_i)\) est l'élément unité de \(K(B_{\mathfrak{S}_i})\), regardé comme él. de degré \(i\) dans \[ R(1, *) = K(e, *) = \sum_{i \geqslant 0} R(\mathfrak{S}_i) \] sous \(e\), une flèche et les mots « topos ponctuel ». (de sorte que \(\rho_1^{\alpha_1} \cdots \rho_n^{\alpha_n}\) est un élément de \(R(1, n) = R(\mathfrak{S}_n)\)), et \(\Sigma_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n}(\) \[ \Sigma_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} \in \mathbf{Z}[S_1, \ldots, S_n] \] est le polynôme isobare de poids \(n\) (\(S_i\) étant de poids \(i\)) qui exprime la fonction symétrique à \(n\) variables \[ \sum (x_1 \cdots x_{\alpha_1})(x_{\alpha_1 + 1} \cdots x_{\alpha_1 + \alpha_2})^2 \cdots (x_{\alpha_1 + \cdots + \alpha_{n-1} + 1} \cdots x_{\alpha_1 + \cdots + \alpha_n})^n = \sum x_1^{\nu_1} \cdots x_m^{\nu_m} \] (avec \(\alpha_i\) = nb des \(\nu_j\) égaux à \(i\)) comme polynôme en les fonctions sym. élémentaires \(S_1, S_2, \ldots, S_n\) en l'insertion « isobare de poids \(n\) … » est de sa main, en interligne ; la phrase s'interrompt au bas du feuillet sur « en », et le feuillet 28 ne la reprend pas.

28Corollaire. On a \(\lambda^n(\xi)\) apparaît comme coefficient de \(\rho_1^n\) dans \(\tau^n\) ; \(S^n(\xi)\) (opération de Adams) comme coefficient de \(\rho_n\).

[NB Il est facile sans doute de vérifier que les \(1_{K(X)} \cdot \rho_1^{\alpha_1} \cdots \rho_n^{\alpha_n}\) sont lin. indép. sur \(K(X)\) dans \(K(X, *)\) …]

Question. Pour quels anneaux \(k\) est-il vrai que \[ R_k(1, *) = \sum_{i \in \mathbf{Z}} R_k(\mathfrak{S}_i) \] est l'anneau de polynômes engendré par les \(\rho_i\) (\(i \geqslant 1\)) ? Est-ce vrai si \(k\) est un anneau local (plus gén., tel que \(K(k) \xleftarrow{\sim} \mathbf{Z}\)) ? l'indice de sommation sous \(R_k(\mathfrak{S}_i)\) se lit « \(i \in \mathbf{Z}\) » ; on attendrait \(i \geqslant 0\).

[Le jeu de go]

29jeu de go complet (sur go-ban \(\nu \times \nu\))

noir joue \(N\) coups

blanc joue \(N'\) coups, \(N' = N\) ou \(N - 1\) le « \(-\) » de « \(N - 1\) » est surchargé ; il se lit aussi « \(+\) ».

\[ \boxed{N = P + Q} \quad \boxed{N' = P' + Q'} \quad \text{i.e.} \quad \boxed{\varepsilon \overset{\text{déf}}{=} N - N' = 0 \text{ ou } 1} \] sous le 0, une flèche : « si blanc joue dernier ».

\(P\) nb de pierres noires sur go-ban en fin de partie

\(P'\) ——— blanc ———

\(Q\) nb de prisonniers noirs

\(Q'\) nb de prisonniers blancs

\(T\) territoire noir

\(T'\) territoire blanc \[ \boxed{P + P' + T + T' = \nu^2} \] pts de noir \(Q' + T = S\)

pts de blanc \(Q + T' = S'\) devant \(S\) et \(S'\), une lettre noircie, biffée.

différence \[\begin{align*} D \ (= S - S') &= (Q' + T) - (Q + T') = (Q' - Q) + (T - T') \\ &= (P - P') + (T - T') - \varepsilon \end{align*}\] \[ D + \nu^2 = 2(P + T) - \varepsilon \qquad \text{ou} \qquad \nu^2 - D' = 2(P' + T') + \varepsilon \quad (D' \overset{\text{déf}}{=} -D = S' - S) \] le signe devant \(\varepsilon\), dans ces lignes, est un gros trait noirci ; on le lit « \(-\) », ce que le calcul demande. Dans la deuxième formule, « \(\nu^2 - D'\) » est bien ce qui est écrit ; c'est \(\nu^2 - D\) qui vaut \(2(P' + T') + \varepsilon\). \[ \boxed{D = 2(P + T) - \nu^2 - \varepsilon} \] \[ (D' = 2(P' + T') - \nu^2 + \varepsilon) \]

30Supposons qu'il y a des territoires constitués de blanc et noirs considérés inattaquables, blanc a joué dernier (donc c'est à noir de jouer) — .

pour \(n\) coups \[ n = p + q \qquad n' = p' + q' \qquad n = n' \] \(p\) nb des pierres noires sur goban

\(q'\) nb […] prisonniers virtuels

\(q\) nb de prisonniers virtuels

\(t\) territoires noir (une fois enlevés les pris. bl.)

\(t'\) — blanc ( ——— noirs)

\(p + p' + t + t' = \nu^2\)

\(s = t + q'\) pts de noir conventionnels

\(s' = t' + q\) ——— blanc ——— \[ d = s - s' = (t - t') + (q' - q) = (t - t') + (p - p') \] \[ \nu^2 + d = 2(p + t) \quad \text{i.e.} \quad \boxed{d = 2(p + t) - \nu^2} \] \[ D = d - \varepsilon \qquad \varepsilon = 0, 1 \qquad (\text{NB } p + t = P + T) \]

! (Comme on ne peut prévoir la valeur de \(\varepsilon\) (est-elle indépendante de la suite du jeu ?) il est raisonnable de compenser l'avantage du noir (du commencement) en posant \(\varepsilon = 1\) (i.e. en admettant que noir joue dernier)).

31Une pierre ne peut se placer en position de “prise”, i.e. sur une intersection libre telle qu'il n'ait plus de aucune liberté (i.e. que le groupe qui la contient n'ait plus de liberté) sauf dans les deux cas suivants :

1°) Cas du “Ko” cf. plus bas

2°) Cas de “remplissage d'un trou” : disons que \(A\) joue, sur une case intersection \(i\) qui est la seule liberté restante d'un ensemble \(E\) réunion de groupes de \(B\) (groupement de \(B\)), de façon que toutes les libertés des groupes \(G\) de \(A\) contenant \(i\) soient prises par des pierres de \(E\). (\(E\) est entouré par les pierres de \(A\) sauf en \(i\), et \(E\) entoure le groupe \(G\) de \(A\) contenant \(i\)) en interligne, de sa main : « aucune » (au-dessus de « de », biffé), « intersection \(i\) » (au-dessus de « case »), « \(E\) réunion » et « (groupement de \(B\)) ». Plus bas, de même : « Les » au-dessus de « Chaque », « un des », « intersections \(c\) » au-dessus de « cases », et le mot douteux « isolées ».

Comprenant les Chaque Les joueurs jouent à tour de rôle, et ils ne peuvent sauter leur tour (obligation de jouer). L'obligation de jouer tombe dans le seul cas suivant :

(Fin de partie) Le joueur \(A\) n'a plus de case libre où il soit légitime de se mettre (i.e. il n'y soit pas en état de prise, sauf l'exception un des 1° et 2° plus haut), sauf des cases intersections \(c\) du type suivant : il y a un groupement \(E\) de \(A\) n'ayant plus que deux libertés intérieures isolées […]

32entourées de pierres de \(B\). (toutes les autres libertés étant prises par des pierres de \(B\)) et alors […] serait nécessairement entouré de pierres de \(A\) (et \(c\) est une de ces deux-là). [NB Si \(A\) s'y mettait, dans un prochain coup \(B\) en […] plaçant dans la dernière liberté \(c'\) disponible du groupement \(E' = E \cup \{c\}\), capturerait \(E'\) — et de proche en proche il capturerait toutes les pierres de \(A\) !], même si \(A\) avait un avantage considérable sur \(B\) par les territoires conquis !] On exige de plus, cependant, que le groupement \(E\) soit “inattaquable”, i.e. que si c'était le tour de \(B\) de jouer au lieu de \(A\), il ne pourrait se placer ni en \(c\), ni en \(c'\) (i.e. que l'on ne peut trouver un sous-groupement \(E_c\) de \(E\) entourant \(c\) dont \(c\) soit la seule liberté intérieure restante,« entourant \(c\) » et la parenthèse qui suit sont en interligne. (ni un sous-groupement \(E_{c'}\) de \(E\) entourant \(c'\) dont \(c'\) soit la seule liberté restante), ni que \(B\) puisse jouer en \(c'\) par la règle du Ko.

33En fin de partie

noir a \(\rho\) groupements solidaires (où chacun \(G_i\) a \(y_i \geqslant 2\) yeux)

blanc : \(\rho'\) groupements solidaires ( … \(y'_j \geqslant 2\))

① si blanc joue dernier (\(\varepsilon = 0\)) alors les \(\rho'\) groupements ont chacun exactement 2 yeux, donc \(T' = 2\rho'\) passage encadré et barré de traits obliques.

si \(t - 2\rho \leqslant t' - 2\rho'\)

alors c'est blanc qui joue le dernier (i.e. \(\varepsilon = 0\), i.e. \(D = d\))

si \(t' - 2\rho' < t - 2\rho\),

c'est noir qui joue le dernier (i.e. \(\varepsilon = 1\), i.e. \(D = d - 1\)) le texte occupe la moitié droite d'un feuillet double ; la moitié gauche est vierge.

Groupes formels

les mots du titre sont de sa main, seuls, en haut à droite du feuillet 34, qui ne reçoit pas de numéro de page ; le feuillet 35 les répète en tête.

35Groupes formels

(I) Extension d'un \(p\)-divisible par un lisse (ou unipotent) est triviale

Cor. Extension d'un \(p\)-divisible a-torique par un lisse (ou unipotent) est […] un produit direct au-dessus de la fin de la ligne, trois mots dont les derniers sont biffés et surchargés à l'encre plus foncée.

[Tout sous-groupe \(p\)-divisible a-torique est central.

Tout groupe quotient a-toriques \(p\)-div. l'est […] […] avec le plus grand sous-groupe \(p\)-divisible a-torique — quand ce dernier est central …

[…] […] sont des plus grands sous-groupes \(p\)-divisibles a-toriques : \[ \left\{\begin{array}{l} \text{existe} \\ \text{stabilité par ext.\ corps de base} \\ \text{indépendance vis-à-vis sous-groupes} \\ \text{sur groupes quotients} \end{array}\right. \]

NB Pour certains groupes formels sur a-\(p\)-div. toriques il faut).] en interligne, de sa main : « \(p\)-div. » (deux fois, au-dessus de « a-toriques » et de « a- », biffés), « sur groupes quotients » ; plus bas, « a-torique », « on a » et « isogène ». il suffit aussi de le faire pour \((G/R)_{0s}\) et \(G/Z\) linéaire. Mieux : \(\mathrm{Cent}\,(G/\mathrm{Cent}\,G)\) est quasi-unipotent note écrite verticalement dans la marge gauche, montant le long du crochet ; une flèche la relie à la ligne « Rem. » qui suit. Lecture très incertaine au-delà des formules.

Rem. \((G_{0s})/I_{\ill{}}\ \ill{} = \pi_0\) […] par des produits a-toriques i.e. est linéaire

(II) Extension d'un groupe formel [lisse] par un \(p\)-divisible est [i.e. \(G\) conn.] triviale un produit […] — à isogénie près des […] …

Cor. \(DG \cap \mathfrak{Z}(G)\) est […] quasi-unip., i.e. primaire au \(p\). [Mieux, […] \(\mathrm{Cent}(\mathrm{Dér}\,G)\) est quasi-unip.] […] \(\mathrm{Dér}\,G\), […] \(\mathfrak{Z}(G)\), […]

[Dém. Soit […] \(T\) le plus grand sous-groupe \(p\)-divisible a-torique de \(G\), on a \(G \simeq T \times G/T\), donc \(DG \cap T = \{e\}\)]

Cor. \(G\) (lisse) est isogène […] à un produit de la […] produits a-toriques par un facteur … ?

Question. \(DG \cap \mathfrak{Z}(G)\) est-il \(\simeq\) unipotent, i.e. ne contient pas de \(\mu_p\) (base […]) ?

Solution

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & L_1 \arrow[r, "d"] & L_0 \arrow[dr] & \\
1 \arrow[r] & \Pi_1 \arrow[u] \arrow[d] & & \Pi_0 \arrow[r] & 1 \\
 & D_1 \arrow[r, "\int"'] & D_0 \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

le schéma est redessiné : \(1 \to \Pi_1\) se sépare en deux flèches obliques vers \(L_1\) et \(D_1\), qui convergent de même, à droite, de \(L_0\) et \(D_0\) vers \(\Pi_0 \to 1\) ; sous \(D_0\), entre crochets, une flèche \(\downarrow \theta\) vers \(\mathrm{Aut}\,D_1\).

\[ \begin{bmatrix} L_1 = \mathfrak{Z}(G) \\ D_1 = D(G) \\ L_0 = G/\mathfrak{Z}(G) \\ D_0 = G/D(G) \end{bmatrix} \qquad \begin{cases} D_1^{D_0} = \Pi_1 \\ D_{1\,D_0} = \{e\} \end{cases} \qquad \begin{array}{l} \Pi_1 = L_1 \cap D_1 \\ \Pi_0 = G/L_1 D_1 \end{array} \]

\(p^{\infty}\Pi_1 = e\)

\(\mathrm{at}(\Pi_0) = \{e\}\)

+ extension […] à quasi-iso […] \[ \underbrace{\Pi_1, \ \mathrm{Ind} \times \mathrm{Ind}\,\delta, \ \Pi_0} \qquad D' = D_1 \amalg_{\Pi_1} L_1 \qquad L' = L_0 \times_{\Pi_0} D_0 \] NB \(\mathrm{Im}\,\delta \simeq \hat{H}\), \(H\) grp alg. canonique, […] [obstruction nulle dans \(H^3(\Pi_0, \Pi_1)\)

indétermination dans \(H^2(\Pi_0, \Pi_1)\)]

Traiter cas \(\Pi_0\) \(p\)-divisible (plus gén. des extensions des sous-groupes de \(G\) images inverses de \(p^{\infty}\Pi_0\)

Dire quels sont les \(L_1 \xrightarrow{d} L_0\) possibles \((D_1 \xrightarrow{\int} D_0, \theta)\) — (conditions sur \(\Pi_1\), \(\Pi_0\) […])

Conditions pour que \(G\) soit linéaire \(DG\) soit linéaire can. + algébrisable … au bas à droite, un griffonnage de formules surchargées où se lisent « \(= \Pi_1\) » et « \(D_0 = \{e\}\) » ; en bas à gauche, « TSVP ». Le feuillet 36 fait suite.

36Dans la situation générale des ext. par \(G\) correspond à une situation \[ 1 \to \Pi_1 \to G_1 \xrightarrow{d} G_0 \to \Pi_0 \to 1, \qquad G_0 \overset{\theta}{\dashrightarrow} \mathrm{Aut}(G_1, \Pi_1) \] on a (pour la \(G\) donnée) un hom \[ (\mathrm{Cent}\,G_0) \cap \mathrm{Ker}\,\theta \xrightarrow{\varphi_G} Z^1(\Pi_0, \Pi_1) \] dont le noyau est l'image de \(Z(G)\) dans \(G_0\). \(G \leftrightsquigarrow (\Pi_0, \mathrm{Ind}, \Pi_1)\), \(G^{\bullet}\) dans la marge de droite, deux accolades obliques relient \(G\) et \(G^{\bullet}\) au triplet ; la flèche est de l'éditeur.

Dans le cas qui nous intéresse \[ [\,G_1 = D' = L_1 . D_1 = \mathrm{Cent}\,G . \mathrm{Dér}\,G, \quad G_0 = L' = G / L_1 \cap D_1 = G/\mathrm{Cent}\,G \cap \mathrm{Dér}\,G \ \text{--}\,] \] cela […] s'exprime par \[ \mathrm{Cent}(D_0) \cap \mathrm{Ker}\,\theta \xrightarrow{\varphi_G} \mathrm{Hom}(\Pi_0, \Pi_1) \] (ce qui exprime que \(L_0 \hookrightarrow \mathrm{Cent}\,G\) est iso), dont le noyau est nul ; ceci montre donc qu'on doit avoir (compte tenu que \(\Pi_1\) est quasi-unipot.) \[ \boxed{\mathrm{Cent}\,D_0 \cap \mathrm{Ker}\,\theta \text{ est quasi-unipotent !}} \] \(\sqrt[2]{\,[\mathrm{Cent}(\mathrm{Dér}(G)) / \mathrm{Cent}(G)]} \cap \mathrm{Cent}\,D_0\)

En fait, on doit avoir \(G\) unipotent, comme \(D_0 \simeq G/(G, G)\), \(\mathrm{Cent}(D_0)\) unipotent.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & L_1 \arrow[dr, "\mathcal{H}"] & & \\
1 \arrow[r] & \Pi_1 = L_1 \cap D_1 \arrow[ur, hook, "\mathcal{A}"] \arrow[dr, hook', "\mathcal{H}"'] \arrow[rr, "\mathcal{A} * \mathcal{H}"] & & D' \arrow[r, hook] & G \\
 & & D_1 \arrow[ur, "\mathcal{A}"'] & &
\end{tikzcd}

les étiquettes \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{H}\) des flèches sont accompagnées d'un trait ondulé ; un arc relie \(L_1\) à \(D_0\), un autre \(D_1\) à \(L_0\), au-delà de \(D'\). À gauche de \(1\), un mot biffé.

37Feuillet de brouillon ; on en donne les éléments dans l'ordre de la page.

\(G/\mathbf{Z}\) \(p^{\infty}\,\mathrm{Cent}(G/\mathbf{Z})\) \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(T, \mathbf{Z}) \uparrow G\) […] \(\underbrace{\mathbf{Z} \times' T}\)

\(\mathrm{Cent}(G/\mathbf{Z})\) \(\mathrm{Cent}(G/\mathrm{Cent}\)

\[ \left\{ \begin{array}{l} \boxed{\mathrm{Cent}(\mathrm{Dér}\,G) \text{ unipotent}} \\ \boxed{\struck{\ill{}}\ (G/\mathbf{Z})_{\mathrm{ab}} \ \struck{\text{a-tori}\ill{}} \ \uncertain{\text{linéaire}}} \\ \boxed{\mathrm{Cent}(G/\mathbf{Z}) \text{ unipotent}} \end{array} \right. \] \[ (\mathrm{Dér}\,G)_{\mathrm{ab}} \text{ unipotent ?} \longrightarrow \text{voir fin} \] \(\mathrm{Dér}\,G_{\mathrm{ab}} = \ill{}\) la dernière question est entourée ; la flèche vers « voir fin » en part. Le \(\mathbf{Z}\) est ici le gros Z au trait double, peut-être le centre.

38Feuillet de brouillon ; une ligne coupée en haut du feuillet ne se lit pas.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \mathfrak{Z} \arrow[dr, no head] & & & \\
Z \cap DG \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & & \mathfrak{Z}.DG \arrow[r, no head] & G \arrow[r, no head] & \mathcal{G} \\
 & DG \arrow[ur, no head] & & &
\end{tikzcd}

\(H\) est écrit à gauche de \(DG\) ; les traits du losange sont sans pointe.

\[ \underbrace{Z \cap DG \to DG \to Z.DG} \to G \]

\(DG\) \(G/\mathbf{Z}\) \(DG / Z \cap DG\)

\[ 1 \to \mathfrak{z} \to D \to \hat{H} \to 1 \] \(H\) groupe alg. linéaire connexe (lisse)

\(\mathfrak{z}\) groupe formel […] (lisse)

\(D\) extension centrale de \(\hat{H}\) par \(\mathfrak{z}\) […] groupe formel commutatif

\(\mathfrak{z} \to \mathfrak{Z}\) hom. de groupes formels commutatifs […] la note marginale est rattachée à \(\hat{H}\) par une accolade ; une flèche part du passage biffé vers elle.

39Feuillet de brouillon à l'italienne, couvert de schémas ; on en donne les éléments dans l'ordre de la page, sans les relier.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
H \arrow[d, hook'] & H_T \arrow[l] \arrow[d, hook'] \\
G \arrow[d] & G_T \arrow[l] \arrow[d] \\
I & T \arrow[l]
\end{tikzcd}

à droite de ce carré : \(H_T^i\), \(W \supset W_i\), \(W\) ; sous \(T\) : \(\check{T}_{a_i}\) ; un trait l'enferme et le relie à la suite \(H \to E \to G \to 1\).

\(H \to E \to G \to 1\) \(\varphi(x, y)\) \(\psi(x + y) - \psi(x) - \psi(y) = \varphi(x, y)\)

\(\varphi(x, y)\) \((\varphi(x, y))^{-1} = \varphi(x, y)\) lecture très incertaine.

\(1 \to \hat{G}_a \to E \to \hat{G}_a \to 1\) \(Z(E) = D(E)\)

\[ \begin{array}{c} [Z \to A] \\ \wr\!\wr \\ {[D \to L]} \end{array} \qquad \begin{array}{c} [\mathfrak{Z} \to A] \\ \wr \\ {[\hat{D} \to \hat{L}]} \end{array} \qquad \begin{array}{c} \mathfrak{Z} \to A \\ \wr\ \ \ \wr \\ \hat{D} \to \hat{L} \\ \mathfrak{Z} \to A \\ D \to L \end{array} \] sous les deux premiers crochets, un chapeau commun ; plus bas, deux schémas en losange : \(\Pi_1 \to (Z \to A,\ D \to L) \to \Pi_0\) et \(\Pi_1 \to (\mathfrak{Z} \to A,\ \hat{D} \to \hat{L}) \to \Pi_0\).

\(\Phi(x, y) =\) \[ \Phi(x, y) = \underbrace{\varphi(x, y)}_{\ill{}} + \underbrace{\psi(x + y) - \psi(x) - \psi(y)} \] \(H^2(\hat{G}_a, \hat{G}_a)\)