Fonds Grothendieck, cote n° 133, pages 1–20

Groupes Witt et formes quadratiques

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 1, une chemise de carton rose par ailleurs vierge qui ne reçoit pas de numéro de page ; le dernier mot est abrégé, « qu.dr.tiques », et lu quadratiques

brouillon, sans phrase ; en tête du feuillet, deux relations isolées : q' + q'' \;\uncertain{+}\; q''' = -1 \qquad\qquad q''' = q'q''\,\ill{} le signe entre q'' et q''' est surchargé ; après q'q'', une lettre ou un indice illisible

deux lignes biffées de grands traits obliques, dont la seconde se termine par « (x \otimes y) \otimes z \simeq x \otimes (y \otimes z) », lisible sous la rature

~~L_{\bullet} \otimes L_{\bullet} \otimes L_{\bullet}~~

\begin{tikzcd} (L_{\bullet} \otimes L_{\bullet}) \otimes L_{\bullet} \arrow[rr, "a"] \arrow[d, "p \otimes L_{\bullet}"'] & & L_{\bullet} \otimes (L_{\bullet} \otimes L_{\bullet}) \arrow[d, "L_{\bullet} \otimes p"] \\ L_{\bullet} \otimes L_{\bullet} \arrow[dr, "p"'] & & L_{\bullet} \otimes L_{\bullet} \arrow[dl, "p"] \\ & L & \end{tikzcd}

entre les deux L_{\bullet} \otimes L_{\bullet}, une flèche courbe marquée \alpha, biffée

\mathrm{Ext}^{1}(\pi_0, \pi_0, \pi_0 ; \pi_1) \xleftarrow{\ \delta^{(1)}\ } \mathrm{Ext}(\pi_0, \pi_0 ; \pi_1) après \pi_1, dans le premier \mathrm{Ext}, une suite biffée où se lit « L_{\bullet} \otimes L_{\bullet} » ; l'exposant du second \mathrm{Ext}, s'il y en a un, ne se lit pas

\begin{tikzcd}[column sep=small] ((x \otimes y) \otimes z) \otimes t \arrow[r] \arrow[d] & (x \otimes y) \otimes (z \otimes t) \arrow[dd, leftrightarrow] \\ (x \otimes (y \otimes z)) \otimes t \arrow[d] & \\ x \otimes ((y \otimes z) \otimes t) \arrow[r] & x \otimes (y \otimes (z \otimes t)) \end{tikzcd}

P' = W^{*}(L^{\otimes 2}) \qquad L_{P'}^{\otimes 2} \simeq \mathcal{O}_{P'} la lettre W porte un astérisque en exposant, au-dessus de la parenthèse

\eta \in H^{1}(P', \mathbb{F}_2) écrit sous une accolade qui embrasse les deux formules précédentes

\eta^{2} + w_1 \eta + w_2 = 0

Je dis que w_1 = \alpha \overset{\mathrm{df}}{=} \partial(-1), \qquad w_2 \equiv c_1 \bmod 2 \partial : H^{0}(S, \mathbb{G}_m) \to H^{1}(S, \mu_2)

E = L + L^{-1} \qquad Q(x, x') = \struck{\ill{}}\ x x'

\prod_i (1 + \alpha + \xi_i)

(1 + y)(1 + y + \alpha) = 1 + \alpha + \underbrace{y(y + \alpha)}_{\overset{\shortparallel}{c_1\,?}}

A \to B, \quad M, \ N \qquad E_2^{p,q} = \mathrm{Ext}_B^{p}(\mathrm{Tor}_q^{A}(M, B), N) les indices p et q sont écrits par-dessus un B et un A d'abord posés à leur place ; à côté, un petit croquis de quadrant avec quelques points

Groupes de Witt et variantes

titre de sa main, en tête du feuillet 5

S topos loc. annelé

WG(S) = groupe enveloppant du monoïde commutatif des classes d'isomorphie des modules quadratiques sur S [loc. libres de t.f.] strictement non dégénérés (i.e. la forme bil. ass. est non dégénérée)

NB WG(S) est un pré-\lambda-anneau (sans unité en général…) augmenté vers “l'anneau binomial” H^{0}(S, \mathbb{Z}) (\simeq \mathbb{Z} si S connexe). Si S connexe et 2 non inversible dans \mathcal{O}_S, alors WG(S) \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z} prend ses valeurs dans 2\mathbb{Z} (les modules quadratiques str. non dég. sont de rang pair). Si 2 est inversible dans \mathcal{O}_S, alors WG(S) est un anneau avec unité. Même dans ce cas j'ignore si c'est un \lambda-anneau (et pas seulement un pré-\lambda-anneau), donc si on a les formules universelles \lambda^{i}(xy) = P_i(x, \struck{\ill{}}, \ldots, \lambda^{i-1}x ; y, \struck{\ill{}}, \ldots, \lambda^{i-1}y) \qquad (i \geqslant 2) \lambda^{i}(\lambda^{j} x) = Q_{i,j}(x, \lambda^{2}x, \ldots, \lambda^{ij}(x)) \qquad (i, j \geqslant 2) (P_i, Q_{ij} pol. univ. à coeff. dans \mathbb{Z}…) dans la première formule, le deuxième argument de chaque liste est noyé sous l'encre ; le dernier se lit \lambda^{i-1}, non \lambda^{i}, ce qui est ainsi transcrit

NB Pour la première formule p. ex., il suffit de se placer sur le topos classifiant d'un groupe O(m) \times O(n), en prenant pour x et y les classes des images inverses sur B_{O(m) \times O(n)} des modules quadratiques universels de rang m resp. n sur B_{O(m)} resp. B_{O(n)}. Cela nous amène donc à étudier WG(B_{O(m) \times O(n)}). De même la deuxième formule à ~~vérifier~~ tester dans un B_{O(m)}, d'où la tâche de déterminer WG(B_{O(m)}).

On a un hom. de groupes K_s(S) \xrightarrow{\ \alpha\ } WG(S) en associant à la classe des Modules loc. libres de t.f. E le module quadratique E \oplus \check{E}, avec la forme q(x, x') = \langle x, x' \rangle ; ici K_s(S) désigne le groupe K “spécial”, groupe enveloppant du monoïde des classes d'isomorphie de modules loc. lib. de t.f. sur S ; il n'est pas clair que l'hom. précédent se factorise par K(S) (déduit de K_s(S) en tenant compte des suites exactes courtes…)

(Donc si E est ext. non splittée de E' par E'', il n'est pas clair si on a \varphi(E) = \varphi(E') + \varphi(E'') dans WG(S) ….) « non splittée » est ajouté au-dessus de la ligne ; il écrit ici \varphi pour l'homomorphisme qu'il vient d'appeler \alpha

Par définition, W(S) (groupe de Witt) est le conoyau de l'hom. précédent K_s(S) \xrightarrow{\ \alpha\ } WG(S) \longrightarrow W(S) \longrightarrow 0

NB Si 2 inv. dans \mathcal{O}_S, alors pour tout module quadratique (M, q), la somme F = (M, q) \oplus (M, -q) définit l'élément nul de W(S), i.e. est \simeq à un E \oplus \check{E} comme dessus : il suffit de prendre E = M, immergé dans F diagonalement et antidiagonalement [en fait, les mod. quad. F de la forme (M, q) \oplus (M, -q) sont, si on veut, de la forme E \oplus \check{E}…, mais où E est un Mod. loc. lib. de t.f. qui admet (au moins une) forme quadratique (str.) non dégénérée. le crochet ouvert ici n'est pas refermé sur la page

De même, si S est un schéma affine, il

paraît (Laborde dixit) que (sans condition que 2 soit inversible) les modules (M, q) \oplus (M, -q) sont de la forme E \oplus \check{E}. au-dessus de « les », en petit, « \alpha(E) = », ajout interlinéaire qui se rapporte vraisemblablement à « E \oplus \check{E} » : de la forme \alpha(E) = E \oplus \check{E} (Mais ce n'est pas vrai dans les cas d'un topos loc. annelé, p. ex. ce n'est pas vrai pour le topos classifiant B_{O(n)}, si n \geqslant 1) au-dessus de la ligne, un « Donc » biffé

à vérifier en marge gauche, avec un trait vertical qui tient tout le paragraphe suivant

Dans l'un et l'autre cas, W(S) peut dès lors se construire directement comme quotient de l'ens. des classes d'isom. de modules quadratiques, avec (M, q) \sim (M', q') ssi ~~(M, q) \oplus (M', -q') est isom. à un E \oplus \check{E} = \alpha(E)~~ \exists mod. loc. lib. de t.f. E, F avec (M, q) \oplus (M', -q') + \alpha(F) \simeq \alpha(E)

[NB Si F est isomorphe à un facteur direct de E, et si on dispose d'un “th. de Witt” — ce qui est toujours le cas si S est le spectre d'un corps — alors cette condition signifie aussi que \exists\, G loc. lib. de t.f. tel que (M, q) \oplus (M', -q') \simeq \alpha(G) \ ]

On voit que \alpha(K(S)) est un idéal dans WG(S) : donc W(S) est encore un anneau. Mais il n'est plus augmenté vers H^{0}(S, \mathbb{Z}), seulement vers H^{0}(S, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} souscrit \mathbb{F}_2) (donc vers \mathbb{F}_2 si S connexe \neq \emptyset). Mais que peut-on dire de la pré-\lambda-structure de WG(S) — passerait-elle au quotient ? il écrit ici \alpha(K(S)), non \alpha(K_s(S))

On suppose maintenant pour simplifier que l'Anneau \mathcal{O}_S est strict. local (p. ex. anneau structural d'un topos ét.). On suppose de plus 2 inv. dans \mathcal{O}_S. On définit alors la parenthèse et la seconde phrase sont des ajouts, la seconde dans la marge gauche, renvoyée à sa place par un signe WG(S) \xrightarrow{\ w\ } H^{*}(S, \mathbb{F}_2) (classe de Stiefel-Whitney), caractérisée (lorsque S variable) par

a)fonctorialité en S b)w(M, q) dans le cas où M de rang 1 (normalisation) c)w(x + y) = w(x)\, w(y), w(x) \in 1 + H^{+}(S, \mathbb{F}_2) i.e. w^{0}(x) = 1.

~~Un calcul facile montre que w \circ \alpha = 1, donc w se factorise en~~ ~~W(S) \xrightarrow{\ w\ } 1 + \hat{H}^{*+}(S, \mathbb{F}_2)~~ passage barré de grands zigzags ; dans la marge gauche, biffée avec lui, une note oblique dont se lisent seulement « w(\alpha(E)) = » et un « \mathcal{O}^{2} »

~~NB w(M, q)~~

NB Les arguments habituels de splitting montrent que w(M \otimes N) et w(\lambda^{i} M) se calculent par les formules ~~habituelles~~ universelles en termes de w(M), w(N) et r(M), r(N) (rangs des Modules M, N). Donc on a un \lambda-hom. WG(S) \longrightarrow H^{0}(S, \mathbb{Z}) \times (1 + \hat{H}^{*+}(S, \mathbb{F}_2)) devant la parenthèse, un H biffé ; « \lambda- » est ajouté au-dessus de « un »

[Anneau des G-ensembles finis virtuels et opérations \lambda]

titre entre crochets, de l'éditeur : les feuillets 17 à 20, au feutre noir, ne portent pas de titre. Entre le feuillet 8 et celui-ci, les feuillets 10 à 16 sont les tirés à part de deux notes d'O. Laborde aux Comptes rendus, non annotés et non transcrits : « Théorème de Skolem-Nother pour les algèbres d'Azumaya graduées sur un anneau semi-local », C. R. Acad. Sc. Paris, t. 279 (16 septembre 1974), Série A, p. 447-449 ; « Formes quadratiques, algèbres de Clifford et signatures », C. R. Acad. Sc. Paris, t. 278 (24 juin 1974), Série A, p. 1599-1602. sic : « Skolem-Nother », pour Skolem-Noether, est la graphie imprimée du premier tiré à part, au titre comme au résumé (feuillet 10).

K_n(G) = K(G \times \mathfrak{S}_n) seule écriture de sa main sur le feuillet, en haut à droite

\lambda_t(E) = \sum \lambda^{i}(E)\, t^{i} \qquad \lambda^{i}(E) = \mathrm{cl}(\mathfrak{P}_i(E)) \sigma_t(E) = \sum \sigma^{i}(E)\, t^{i} \qquad \sigma^{i}(E) = \mathrm{cl}(\mathrm{Sym}^{i}(E)) le signe transcrit \mathfrak{P}_i est un F à barre fermée ; la page 20 l'emploie pour l'ensemble des parties à i éléments, J \in \mathfrak{P}_i(I_n)

\struck{\sigma_t(E) = \lambda_{\frac{t}{1-t}}(E)} \qquad \boxed{\sigma_{-t}(E)\, \lambda_t(E) = 1} la formule biffée est lue sous la rature, sans certitude

\sigma^{i}(E) = \struck{\ill{}}\ Q_i(\lambda^{j}(E), 1 \leqslant j \leqslant i)

au milieu du feuillet, isolés : « G E » et, à côté, E au-dessus de X relié par un trait vertical, avec G devant

\sigma_t(L) = \sum L^{i} t^{i} = (1 - tL)^{-1} = \lambda_{-t}(L)^{-1} \lambda_t(L) = 1 + tL

\boxed{\mathcal{E}(G) \hookrightarrow R(G)} \longrightarrow R_{\uncertain{\mathbb{Q}}}(G) sous R(G), un \mathbb{Z} biffé ; l'indice du dernier R est douteux ; de l'encadré descend un double trait vers la ligne suivante

\sigma_t = [1 - (tE - t^{2}\lambda^{2}(E) + \ldots)]^{-1} \struck{1 + tE}\quad 1 + tE - t^{2}\lambda^{2}E, \ \ldots \ + t^{2}E^{2} 1 + tE + t^{2}(E^{2} - \lambda^{2}(E)) \ \ldots

\sigma^{2}(E) = E^{2} - \lambda^{2}(E) E \times E \simeq \sigma^{2}(E) + \underline{\lambda^{2}(E)} \sigma^{2}(E) = \lambda^{2}(E) + E les trois lignes sont réunies à gauche par un chevron

\boxed{2\lambda^{2}(E) + E = E^{2}} \qquad 2\,\tfrac{d(d-1)}{2} + d \quad d^{2} les dimensions sont écrites sous les termes de la formule encadrée

\lambda^{i}(xy) = \ ? \mathfrak{P}_{\alpha, \beta}(E) \qquad (\alpha_i)_{i \in I} ces deux formules, en colonne à droite du feuillet, la première isolée par une accolade

G groupe

k_0(G) anneau ~~des~~ des G-ens. finis virtuels

k_n(G) \struck{\ill{}} = k(\underbrace{G \times \mathfrak{S}_n}_{G(n)}) (n \geqslant 0 ; on pose \mathfrak{S}_0 = \{1\}) on la considère comme k_0(G)-module k_*(G) \struck{\ill{}} = \bigoplus_{n \geqslant 0} k_n(G) (somme de ~~groupes abéliens~~ k_0(G)-modules) les parenthèses \struck{\ill{}} après k_n(G) et k_*(G) sont biffées

On définit dessus une structure de k_0(G)-algèbre (graduée), en définissant la multiplication * par \mathrm{cl}_m(E) * \mathrm{cl}_n(F) = \mathrm{cl}_{m+n}\big((E \times F) \wedge^{\mathfrak{S}_m \times \mathfrak{S}_n} \mathfrak{S}_{m+n}\big) où E est un G(m) ens. fini, F un G(n) ens. fini, E \times F est un G \times G \times \mathfrak{S}_m \times \mathfrak{S}_n ens. fini, \mathfrak{S}_m \times \mathfrak{S}_n \to \mathfrak{S}_{m+n} l'hom. bien connu, où (E \times F) \wedge^{\mathfrak{S}_m \times \mathfrak{S}_n} \mathfrak{S}_{m+n} est un G \times G \times \mathfrak{S}_{m+n} ensemble, qu'on considère comme un G \times \mathfrak{S}_{m+n} ensemble grâce à l'application diagonale, ce qui donne un sens à la formule.

Si E est un G-ens. fini, considérons ~~\tau_t(E) = \sum \ldots~~ \tau^{n}(E) = \mathrm{cl}_n(\mathrm{Mon}(I_n, E)) \in k_n(G) \qquad (n \geqslant 0) où I_n = [1, n], et \tau^{*}(E) = \sum_{n \geqslant 0} \tau^{n}(E) \in 1 + \widehat{k_*(G)^{+}} un indice t sous l'astérisque de \tau^{*} et une ou deux lettres après \tau^{n}(E) sont biffés

(NB \tau^{0}(E) = 1, \tau^{1}(E) = \mathrm{cl}_0(E))

Prop On a \tau^{*}(E \sqcup F) = \tau^{*}(E) . \tau^{*}(F) i.e. \tau^{n}(E \sqcup F) = \sum_{i+j=n} \tau^{i}(E)\, \tau^{j}(F)

Dém \mathrm{Mon}(I_n, E \sqcup F) = \coprod_{H \subset I_n} \mathrm{Mon}(H, E) \times \mathrm{Mon}(\complement_{I_n} H, F) = \struck{\ill{}} \coprod_{0 \leqslant i \leqslant n} \ \underbrace{\coprod_{J \in \mathfrak{P}_i(I_n)} \mathrm{Mon}(J, E) \times \mathrm{Mon}(\complement_{I_n} J, F)}_{\text{st.\ par } \mathfrak{S}_n} Il suffit de voir que \mathrm{cl}_n\Big(\coprod_{J \in \mathfrak{P}_i(I_n)} \mathrm{Mon}(J, E) \times \mathrm{Mon}(\complement_{I_n} J, F)\Big) = \tau^{i}(E) * \tau^{j}(F)

Cor \exists ! k_0(G) \xrightarrow{\ \tau^{*}\ } 1 + \widehat{k_*(G)}^{+} (hom. de groupes) tel que l'on ait, \forall\, E G-ens. fini, \tau^{*}(\mathrm{cl}_0(E)) = \tau^{*}(E)

Soit H \subset \mathfrak{S}_n (s-groupe), on définit un hom. q_H : k_n(G) \longrightarrow k_0(G) par la condition q_H(\mathrm{cl}_n(E)) = \mathrm{cl}_0({}^{H}\!E) le H est écrit en surcharge devant E ; lu comme les invariants {}^{H}\!E, sans certitude et on définit une ~~hom.~~ application (polynômiale homogène de degré n) q^{n}_H : k_0(G) \longrightarrow k_0(G) par q^{n}_H(x) = q_H\, \tau^{n}(x)