Cote n° 133 · pages 1–53 · Lecture modernisée · [Groupes de Witt et formes quadratiques, groupes formels] : notes manuscrites (s.d.), tirés à part (1974) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1974-[à partir de 1975]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–53

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

L'inventaire date le dossier « 1974-[à partir de 1975] » et lui donne un titre entre crochets, qui est le leur¹ . Les pages transcrites se répartissent en sept suites.

1. Pages 1 à 3. La chemise « groupes Witt et formes quadratiques », puis deux brouillons : l'associativité d'un produit sur un complexe, une obstruction et le pentagone de Mac Lane (page 2) ; les classes de Stiefel–Whitney du plan hyperbolique sur un fibré en droites, et la suite spectrale de changement d'anneaux (page 3).
2. Pages 5 à 8, « Groupes de Witt et variantes » : le groupe \(WG(S)\) des modules quadratiques sur un topos localement annelé, la question de sa structure de \(\lambda\)-anneau, l'application hyperbolique et le groupe de Witt \(W(S)\), la classe de Stiefel–Whitney totale. Les pages 10 à 16 sont deux tirés à part d'O. Laborde, que la page 7 cite.
3. Pages 17 à 28, sans titre : l'anneau \(k_{*}(G)\) des \(G \times \mathfrak{S}_n\)-ensembles finis virtuels, les opérations \(\tau^{n}\) et \(T^{n}\), les foncteurs sur la catégorie des ensembles finis et injections, puis les puissances tensorielles sur un topos annelé et les représentations des groupes symétriques.
4. Pages 29 à 33, le jeu de go : décompte des points, règles de prise, fin de l'obligation de jouer.
5. Pages 34 à 39, « Groupes formels » : énoncés sur les groupes formels \(p\)-divisibles et unipotents, et la « Solution » qui voit un groupe à travers son centre et son groupe dérivé ; brouillons.
6. Pages 41 à 43, sans titre : groupes algébriques lisses connexes admettant une décomposition de Chevalley, et leurs extensions centrales.
7. Pages 44 à 53, « Fourbis auxiliaires cohomologiques pour groupes formels », paginées par lui de 1 à 7 : réaliser deux modules croisés de mêmes invariants par un seul groupe, puis imposer que ce groupe ait le centre et le groupe dérivé voulus.

Les pages 4, 9 et 40 sont blanches. La page 17 est un feuillet de listing d'ordinateur qui ne porte de sa main qu'une formule. Les pages 47 et 49 sont deux avis de soutenance dactylographiés de l'administration de l'université, datés du 19 juin 1975 et du 5 juin 1975, qui lui sont adressés ; sa pagination, 2, 3 et 4 aux pages 46, 48 et 50, les saute² .

Sept suites, gardées distinctes

Les suites ne se citent pas : aucune page ne renvoie à une autre, et les pages 41 à 43, sur les groupes algébriques, sont rangées entre les deux suites sur les groupes formels sans qu'aucune ne les mentionne. Les liens signalés plus bas sont donc tous de nous. Deux d'entre eux s'appuient cependant sur ce que les pages montrent : la page 3 calcule la classe de Stiefel–Whitney d'un plan hyperbolique, et c'est l'affirmation qu'une telle classe est triviale qui est barrée page 8 ; la « Solution » de la page 35 et les « Fourbis » des pages 45 à 53 donnent à la même application le même nom, \(\varphi_G\).

Conventions

• Extensions. « Extension de \(A\) par \(B\) » a le sens de Grothendieck : une suite exacte \(1 \to B \to E \to A \to 1\).
• Formes quadratiques. Un module quadratique \((M, q)\) est un module localement libre de type fini muni d'une forme quadratique, de forme polaire \(b(x, y) = q(x+y) - q(x) - q(y)\) ; il est strictement non dégénéré (le mot de la page ; on dit aujourd'hui non singulier) si \(b\) identifie \(M\) à son dual \(\check{M}\). Le plan hyperbolique sur \(E\) est \(H(E) = E \oplus \check{E}\), \(q(x + \xi) = \langle x, \xi \rangle\), et l'application hyperbolique est \(\alpha(E) = H(E)\). La classe de \(-1\) dans \(H^{1}(S, \mu_2)\) est notée \([-1]\) ; la page 3 l'appelle \(\alpha\), lettre que les pages 6 et 7 réservent à l'application hyperbolique.
• Ensembles finis. \(I_n = \{1, \dots, n\}\) ; \(\mathrm{Mon}(I, E)\) est l'ensemble des injections, \(E^{I} = \mathrm{Hom}(I, E)\) celui de toutes les applications. \(\tau^{n}(E)\) est la classe de \(\mathrm{Mon}(I_n, E)\) (page 19), \(T^{n}(E)\) celle de \(E^{I_n}\) (page 21). Aux pages 27 et 28, la puissance tensorielle \(n\)-ième d'un module, que la page appelle \(\tau^{n}\), est notée ici \(T^{n}\) : elle linéarise \(E^{I_n}\) et non \(\mathrm{Mon}(I_n, E)\), puisque l'algèbre d'un produit est le produit tensoriel des algèbres.
• Groupes. \(\mathrm{Cent}(G)\) est le centre, \(D(G)\) le groupe dérivé (la page écrit aussi \(\mathfrak{Z}(G)\), \(\mathrm{Dér}\,G\), \(DG\)). Un module croisé est un quadruplet \((N, M, d, \Theta)\), d'invariants \(\pi_1 = \operatorname{Ker} d\) et \(\pi_0 = \operatorname{Coker} d\). Le sous-groupe de \(M\) des pages 46 à 51 est noté \(\mathfrak{Z}\) ; le groupe \(L \cap Z\) des pages 41 à 43 est noté \(\mathfrak{z}\), et \(Z\) n'y désigne que le sous-groupe anti-affine. À la page 45, \(N \cap N'\) est noté \(\pi_1\) seulement³ .

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Six liens, qu'aucune page n'écrit, et qui sont de nous.

Le brouillon de la page 3 donne, pour le plan hyperbolique sur un fibré en droites \(L\), \(w_1 = [-1]\) et \(w_2 = c_1(L) \bmod 2\). C'est exactement \(w(\alpha(L))\), et cela montre que la phrase de la page 8 selon laquelle \(w \circ \alpha = 1\) est fausse : c'est celle que Grothendieck a barrée.

Le brouillon de la page 2 (des invariants \(\pi_0\), \(\pi_1\), une contrainte d'associativité, une obstruction un degré plus haut modulo l'image d'un degré plus bas) et les pages 45 à 53 (deux modules croisés d'invariants \(\pi_0\), \(\pi_1\), une obstruction dans \(H^{3}\), une indétermination dans \(H^{2}\)) relèvent du même schéma : celui des Gr-catégories du dossier 135, que l'inventaire date « [vers 1974] ».

La décomposition \(\mathrm{Hom}(I_n, E) = \coprod_{Q} \mathrm{Mon}(Q, E)\), sur les quotients \(Q\) de \(I_n\), qui ouvre la page 21, est la décomposition \(H_J = \coprod_Q h_Q\) de la page 24, vue ensemble par ensemble ; c'est elle qui fait des \(T^{n}\) des polynômes en les \(\tau^{m}\).

Les pages 27 et 28 sont la contrepartie linéaire des pages 21 et 22 : les deux sommes y sont indexées par les types \(\alpha\) de partitions de \(n\). Et elles reprennent le cadre du dossier 2 (pages 15 à 18), où le produit d'induction sur les groupes symétriques et les puissances tensorielles d'un module sur un topos annelé sont aussi posés.

La « Solution » de la page 35 et les « Fourbis » des pages 45 à 53 sont un même problème : \(\mathrm{Cent}(G)\) et \(D(G)\) fournissent deux modules croisés de mêmes invariants, et il s'agit de dire quand deux tels modules croisés proviennent d'un groupe. Le point d'exclamation de la page 36 (« est quasi-unipotent ! ») est l'injectivité de \(\Psi_G\) que la page 46 caractérise.

Les pages 41 à 43 donnent, pour les groupes algébriques, le modèle de ce que le brouillon de la page 38 esquisse pour les groupes formels : une extension centrale d'un groupe linéaire (ou de son complété formel) par un groupe commutatif.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

Le sens de l'obstruction de la page 2. L'égalité \(w_2 = c_1 \bmod 2\) de la page 3, marquée d'un « ? ». La question de la page 5 (est-ce un \(\lambda\)-anneau ?) et la tâche de déterminer \(WG(B_{O(m)})\). Le contre-exemple de la page 7 sur \(B_{O(n)}\). L'existence de la classe \(w\) de la page 8. Les formules de \(\lambda^{i}(xy)\) pour les \(G\)-ensembles (page 18). Tout usage des applications \(q^{n}_H\) (page 20). La relation entre \(T^{*}\) et \(\tau^{*}\) annoncée page 21, dont la formule est annulée. Les propriétés de permanence des foncteurs distingués (page 25). Ce à quoi doit servir \(\Omega\) (page 26). La description du ko, « cf. plus bas » (page 31), jamais écrite. La question de la page 30 : la valeur de \(\varepsilon\) dépend-elle de la suite du jeu ? Tous les énoncés de la page 35 et sa « Question ». Le « \(G\) unipotent » de la page 36. Le « voir fin » de la page 37, qu'aucune fin ne reprend. Le « bien connu » de la page 42 et le NB de la page 43. L'obstruction et l'indétermination de la page 45. Le « on doit trouver » de la page 48. La phrase inachevée de la page 51. La détermination des extensions \(E\) qui satisfont les conditions c) (pages 51 et 53). Et tout retour aux groupes formels : le dossier s'arrête sur la page 53 sans y revenir.

1–3

I. « Groupes Witt et formes quadratiques » : la chemise et deux brouillons (pages 1 à 3)

La page 1 est une chemise de carton rose qui ne porte que ces mots, en haut à droite⁴ . Les deux feuillets qui suivent sont des brouillons, sans phrase suivie.

2–2

Associativité et pentagone (page 2)

Le feuillet, à en-tête de l'Institut de mathématiques de Montpellier, part d'un complexe \(L_{\bullet}\) muni d'un produit \(p \colon L_{\bullet} \otimes L_{\bullet} \to L_{\bullet}\), et dessine le carré qui exprime l'associativité de \(p\) : les deux composés \[ p \circ (p \otimes L_{\bullet}) \quad \text{et} \quad p \circ (L_{\bullet} \otimes p) \circ a, \qquad (L_{\bullet} \otimes L_{\bullet}) \otimes L_{\bullet} \longrightarrow L_{\bullet}, \] où \(a\) est l'isomorphisme d'associativité du produit tensoriel des complexes⁵ . Sous le carré, une flèche \[ \mathrm{Ext}(\pi_0, \pi_0 ; \pi_1) \xrightarrow{\ \delta^{(1)}\ } \mathrm{Ext}^{1}(\pi_0, \pi_0, \pi_0 ; \pi_1). \] La page ne définit aucun de ces groupes. Notre lecture est la suivante, et elle n'est qu'une lecture : si \(\pi_0\) et \(\pi_1\) sont les deux groupes d'homologie d'un complexe à deux termes et si \(p\) n'est associatif qu'à homotopie près, le défaut d'associativité définit une classe dans un groupe d'extensions « trilinéaires » de \(\pi_0\) par \(\pi_1\), et changer \(p\) la modifie par l'image, sous une différentielle \(\delta^{(1)}\), d'un groupe d'extensions « bilinéaires ». Seule la classe dans le conoyau de \(\delta^{(1)}\) mesure l'obstruction⁶ .

Le feuillet se termine sur le pentagone : pour quatre objets \(x, y, z, t\), les deux chemins de \(((x \otimes y) \otimes z) \otimes t\) à \(x \otimes (y \otimes (z \otimes t))\), l'un par \((x \otimes y) \otimes (z \otimes t)\), l'autre par \((x \otimes (y \otimes z)) \otimes t\) et \(x \otimes ((y \otimes z) \otimes t)\), doivent coïncider : \[ a_{x, y, z \otimes t} \circ a_{x \otimes y, z, t} = (x \otimes a_{y, z, t}) \circ a_{x, y \otimes z, t} \circ (a_{x, y, z} \otimes t). \] C'est l'axiome de cohérence de Mac Lane (1963), qui garantit que toutes les manières de réassocier un produit de \(n\) facteurs s'accordent⁷ . Le même schéma — deux invariants, une contrainte, une classe un degré plus haut — est celui des Gr-catégories du dossier 135 (pages 40 et 41), et on le retrouvera aux pages 45 à 53.

3–3

Une classe de Stiefel–Whitney, une suite spectrale (page 3)

On suppose \(2\) inversible⁸ . Soit \(L\) un fibré en droites sur \(S\) et \(E = L \oplus L^{-1}\), muni de la forme quadratique \(Q(x, x') = x x'\) : c'est le plan hyperbolique \(H(L)\) des pages 6 et 7. La page affirme (« Je dis que ») : \[ w_1(E) = [-1] := \partial(-1), \qquad w_2(E) \equiv c_1(L) \bmod 2, \] où \(\partial \colon H^{0}(S, \mathbb{G}_m) \to H^{1}(S, \mu_2)\) et \(H^{1}(S, \mathbb{G}_m) \to H^{2}(S, \mu_2)\) sont les cobords de Kummer. La première égalité est juste : localement, \(H(L)\) est la forme \(\langle 1, -1 \rangle\), de discriminant \(-1\). La seconde est vérifiée formellement : si \(y\) est une « racine » de \(E\), l'autre est \(y + [-1]\), et \[ (1 + y)(1 + y + [-1]) = 1 + [-1] + y(y + [-1]), \] la page inscrivant sous \(y(y + [-1])\) « \(c_1\) ? ». Nous ne l'établissons pas ici⁹ .

En tête du feuillet, une classe \(\eta \in H^{1}(P', \mathbb{F}_2)\) sur un \(P' = W^{*}(L^{\otimes 2})\) au-dessus duquel \(L^{\otimes 2}\) devient trivial, soumise à \[ \eta^{2} + w_1 \eta + w_2 = 0 . \] La page ne dit pas ce qu'est \(W^{*}\). La relation a la forme de celle par laquelle son article de 1958 définit les classes de Chern sur le fibré projectif, réduite modulo \(2\) et en rang \(2\)¹⁰ .

Le bas du feuillet note, pour un homomorphisme d'anneaux \(A \to B\), un \(A\)-module \(M\) et un \(B\)-module \(N\), la suite spectrale de changement d'anneaux \[ E_2^{p,q} = \mathrm{Ext}_B^{p}\bigl(\mathrm{Tor}_q^{A}(M, B), N\bigr) \Longrightarrow \mathrm{Ext}_A^{p+q}(M, N), \] issue de l'adjonction \(\mathrm{Hom}_A(M, N) = \mathrm{Hom}_B(M \otimes_A B, N)\)¹¹ .

5–16

II. Groupes de Witt et variantes (pages 5 à 16)

5–5

Le groupe \(WG(S)\) et la question du \(\lambda\)-anneau (page 5)

Soit \(S\) un topos localement annelé. On note \(WG(S)\) le groupe de Grothendieck du monoïde, pour la somme orthogonale, des classes d'isomorphie de modules quadratiques strictement non dégénérés sur \(S\). C'est ce qu'on appelle aujourd'hui le groupe de Grothendieck–Witt de \(S\)¹² .

Structure. Le produit tensoriel et les puissances extérieures font de \(WG(S)\) un pré-\(\lambda\)-anneau, augmenté par le rang vers l'anneau binomial \(H^{0}(S, \mathbb{Z})\) des fonctions localement constantes à valeurs entières. En général, il n'a pas d'unité : l'unité naturelle serait la forme \(\langle 1 \rangle\), \(q(x) = x^{2}\), dont la forme polaire \(2xy\) n'est non dégénérée que si \(2\) est inversible¹³ . Si \(S\) est connexe et que \(2\) n'est pas inversible, les rangs sont pairs : en un point de caractéristique résiduelle \(2\), la forme polaire est alternée (\(b(x, x) = 2q(x) = 0\)) et non dégénérée¹⁴ . Si \(2\) est inversible, \(WG(S)\) est un anneau unitaire.

La question. Même alors, Grothendieck ignore si \(WG(S)\) est un \(\lambda\)-anneau, c'est-à-dire si l'on a les identités universelles \[ \lambda^{i}(xy) = P_i\bigl(\lambda^{1}x, \dots, \lambda^{i}x ; \lambda^{1}y, \dots, \lambda^{i}y\bigr), \qquad \lambda^{i}(\lambda^{j}x) = Q_{i,j}\bigl(\lambda^{1}x, \dots, \lambda^{ij}x\bigr), \] à coefficients entiers¹⁵ . Il réduit la question à un cas universel. Pour la première identité, il suffit de la vérifier sur le topos classifiant \(B_{O(m) \times O(n)}\), pour les images inverses des modules quadratiques universels de rangs \(m\) et \(n\) : toute paire de modules quadratiques de rangs \(m\) et \(n\) en provient par image inverse, et les deux membres, biadditifs au sens des \(\lambda\)-anneaux, se déterminent sur les classes effectives. De même la seconde se teste sur \(B_{O(m)}\). « D'où la tâche de déterminer \(WG(B_{O(m)})\) », que le dossier n'entreprend pas¹⁶ .

6–7

L'application hyperbolique et le groupe de Witt (pages 6 et 7)

Soit \(K_s(S)\) le groupe de Grothendieck « spécial » des modules localement libres de type fini, construit sur les seules classes d'isomorphie, et \(K(S)\) son quotient par les relations issues des suites exactes courtes. L'application \(E \mapsto H(E)\) définit un homomorphisme \[ \alpha \colon K_s(S) \longrightarrow WG(S). \] La page note qu'il n'est pas clair qu'il se factorise par \(K(S)\), c'est-à-dire que \(H(E) = H(E') + H(E'')\) dans \(WG(S)\) pour une extension non scindée de \(E''\) par \(E'\). Il ne se factorise pas en général¹⁷ .

Par définition, le groupe de Witt \(W(S)\) est le conoyau de \(\alpha\) : \[ K_s(S) \xrightarrow{\ \alpha\ } WG(S) \longrightarrow W(S) \longrightarrow 0 . \]

Les formes \(q \perp -q\). Si \(2\) est inversible, \(F = (M, q) \perp (M, -q)\) est hyperbolique, isomorphe à \(H(M)\) : la diagonale \(\Delta\) et l'antidiagonale \(\nabla\) de \(M \oplus M\) sont totalement isotropes, supplémentaires, et la forme polaire les met en dualité par \(\bigl((x, x), (y, -y)\bigr) \mapsto 2b(x, y)\). La page 7 ajoute que, sur un schéma affine, « il paraît (Laborde dixit) » que c'est vrai sans condition sur \(2\), et que ce n'est pas vrai sur tout topos localement annelé, par exemple sur \(B_{O(n)}\), \(n \geqslant 1\).

L'énoncé attribué à Laborde est juste, et se démontre ainsi. Supposons qu'il existe une forme bilinéaire \(\beta\) sur \(M\), non nécessairement symétrique, telle que \(\beta(y, y) = q(y)\) ; c'est le cas si \(M\) est projectif, donc sur un schéma affine. La diagonale \(\Delta\) est un lagrangien sur lequel la forme quadratique \(q \perp -q\) s'annule. Définissons \(g \colon M \to M\) par \(b(x, g(y)) = -\beta(y, x)\) ; alors le sous-module \(\Lambda = \{(y + g(y), g(y))\}\) est un supplémentaire de \(\Delta\), et \((q \perp -q)(y + g(y), g(y)) = q(y) + b(y, g(y)) = 0\). Deux lagrangiens supplémentaires sur lesquels la forme s'annule font de \(F\) le plan hyperbolique \(H(\Delta) \simeq H(M)\)¹⁸ .

Le groupe de Witt, directement. Dans l'un et l'autre cas — \(2\) inversible, ou \(S\) affine — toute classe de \(W(S)\) est celle d'un module, puisque \([M] - [M'] = [M \perp (M', -q')] - \alpha(M')\), et deux modules ont même classe si et seulement s'il existe des modules localement libres \(E\), \(F\) avec \[ (M, q) \perp (M', -q') \perp H(F) \simeq H(E), \] ce que la page marque « à vérifier » en marge et qui se vérifie ainsi : une égalité dans le groupe de Grothendieck est un isomorphisme après addition d'un module \(X\), et \(X \perp (X, -q_X) \simeq H(X)\) se range dans les termes hyperboliques. Sur un corps, où vaut le théorème de simplification de Witt, la condition devient : \((M, q) \perp (M', -q') \simeq H(G)\) pour un \(G\)¹⁹ .

Structure de \(W(S)\). L'image \(\alpha(K_s(S))\) est un idéal de \(WG(S)\), puisque \((N, q_N) \otimes H(E) \simeq H(N \otimes E)\) ; \(W(S)\) est donc un anneau²⁰ . Mais il n'est plus augmenté vers \(H^{0}(S, \mathbb{Z})\), seulement vers \(H^{0}(S, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\), par le rang modulo \(2\), puisque les plans hyperboliques sont de rang pair. La page demande si la pré-\(\lambda\)-structure passe au quotient. Elle n'y passe pas : \(\lambda^{2}\bigl(H(\mathcal{O}_S)\bigr) = \lambda^{2}\langle 1, -1 \rangle = \langle -1 \rangle\) est de rang \(1\), donc non nul dans \(W(S)\) dès que \(S\) est non vide et que \(2\) y est inversible, alors que \(H(\mathcal{O}_S)\) y est nul²¹ .

8–8

La classe de Stiefel–Whitney totale (page 8)

On suppose maintenant l'anneau \(\mathcal{O}_S\) strictement local (c'est le cas de l'anneau structural d'un topos étale) et \(2\) inversible²² . On définit alors la classe de Stiefel–Whitney totale \[ w \colon WG(S) \longrightarrow 1 + \widehat{H}^{+}(S, \mathbb{F}_2), \] caractérisée, \(S\) variant, par : a) sa fonctorialité en \(S\) ; b) sa valeur en rang \(1\), \(w(M, q) = 1 + \mathrm{cl}(M, q)\), où \(\mathrm{cl}(M, q) \in H^{1}(S, \mu_2) = H^{1}(S, \mathbb{F}_2)\) est la classe du torseur \(\mathrm{Isom}(\langle 1 \rangle, (M, q))\) ; c) la formule \(w(x + y) = w(x)\,w(y)\)²³ .

Un passage barré affirmait qu'« un calcul facile » donne \(w \circ \alpha = 1\), de sorte que \(w\) se factoriserait par \(W(S)\). C'est faux, et Grothendieck l'a barré : \(w\bigl(H(\mathcal{O}_S)\bigr) = w\langle 1, -1 \rangle = 1 + [-1]\), et la classe \([-1]\) n'est pas nulle en général — sur le topos étale de \(\operatorname{Spec} \mathbb{R}\), par exemple. Le brouillon de la page 3 porte précisément sur \(w(H(L))\), qu'il donne égal à \(1 + [-1] + c_1(L) \bmod 2\)²⁴ .

Les arguments de scindage montrent en revanche que \(w(M \otimes N)\) et \(w(\lambda^{i} M)\) s'expriment par des formules universelles en \(w(M)\), \(w(N)\) et les rangs. Le rang et \(w\) définissent donc un homomorphisme de \(\lambda\)-anneaux \[ WG(S) \longrightarrow H^{0}(S, \mathbb{Z}) \times \bigl(1 + \widehat{H}^{+}(S, \mathbb{F}_2)\bigr), \] où le but porte la structure de \(\lambda\)-anneau définie par ces formules universelles. C'est l'anneau \(\widetilde{A}\) que le dossier 2 construit pour les classes de Chern (pages 20 à 29), pris ici modulo \(2\)²⁵ .

10–16

Les tirés à part (pages 10 à 16)

Entre la page 8 et la suite, deux notes d'O. Laborde aux Comptes rendus de 1974, sans annotation de sa main : « Théorème de Skolem-Nother pour les algèbres d'Azumaya graduées sur un anneau semi-local » (pages 10 à 12) et « Formes quadratiques, algèbres de Clifford et signatures » (pages 13 à 16). La page 7 cite Laborde ; ces tirés à part n'étant pas transcrits, on ne sait pas si l'énoncé qu'elle lui attribue s'y trouve. Ils sont la seule date antérieure à 1975 que porte le dossier²⁶ .

17–28

III. Ensembles finis, groupes symétriques et opérations \(\lambda\) (pages 17 à 28)

Cette suite, au feutre noir puis à l'encre, n'a pas de titre. Elle part d'un groupe \(G\) et de ses ensembles finis, et aboutit aux représentations des groupes symétriques.

17–18

Un brouillon : \(\lambda\) et \(\sigma\) sur les \(G\)-ensembles (pages 17 et 18)

La page 17, un feuillet de listing, ne porte que \(K_n(G) = K(G \times \mathfrak{S}_n)\). La page 18 essaie sur un \(G\)-ensemble fini \(E\) les opérations des \(\lambda\)-anneaux : \(\lambda^{i}(E)\) est la classe de l'ensemble \(\mathfrak{P}_i(E)\) des parties à \(i\) éléments, \(\sigma^{i}(E)\) celle de \(\mathrm{Sym}^{i}(E) = E^{i}/\mathfrak{S}_i\), et la page encadre \(\sigma_{-t}(E)\,\lambda_t(E) = 1\), puis, en degré \(2\), \[ E \times E = \sigma^{2}(E) + \lambda^{2}(E), \qquad \sigma^{2}(E) = \lambda^{2}(E) + E, \qquad 2\lambda^{2}(E) + E = E^{2}, \] en vérifiant la dernière sur les cardinaux : \(2 \cdot \frac{d(d-1)}{2} + d = d^{2}\).

Ces identités sont vraies pour les cardinaux, c'est-à-dire pour \(G\) trivial. Dans l'anneau des \(G\)-ensembles virtuels, seule la deuxième subsiste, car \(\mathrm{Sym}^{2}(E)\) est la réunion de la diagonale et de \(\mathfrak{P}_2(E)\). Les deux autres tombent déjà pour \(G = \mathbb{Z}/2\) agissant sur lui-même : \(E \times E\) est formé de deux orbites libres, alors que \(2\lambda^{2}(E) + E\) est formé de deux points fixes et d'une orbite libre ; et le coefficient de \(t^{2}\) dans \(\sigma_{-t}\lambda_t\) vaut \(2 - [G] \neq 0\)²⁷ . Ce qui se perd est l'action de \(\mathfrak{S}_n\) sur les \(n\)-uplets d'éléments distincts, et c'est précisément ce que les pages suivantes conservent.

La page esquisse aussi le modèle linéaire, pour un élément \(L\) « de rang \(1\) » : \(\lambda_t(L) = 1 + tL\) et \(\sigma_t(L) = (1 - tL)^{-1}\). Elle encadre une flèche \(\mathcal{E}(G) \hookrightarrow R(G) \to R_{\mathbb{Q}}(G)\) de l'anneau des \(G\)-ensembles vers l'anneau des représentations, qui, pour \(G\) fini, n'est injective que si \(G\) est cyclique²⁸ . Elle se termine sur la question « \(\lambda^{i}(xy) = \) ? », sans réponse.

19–20

L'anneau \(k_{*}(G)\) et les opérations \(\tau^{n}\) (pages 19 et 20)

Soit \(G\) un groupe, \(k_0(G)\) l'anneau des \(G\)-ensembles finis virtuels — l'anneau de Burnside de \(G\) — et, pour \(n \geqslant 0\), \[ k_n(G) = k(G \times \mathfrak{S}_n), \qquad k_{*}(G) = \bigoplus_{n \geqslant 0} k_n(G), \] avec \(\mathfrak{S}_0 = \{1\}\) ; on note \(\mathrm{cl}_n(E) \in k_n(G)\) la classe d'un \(G \times \mathfrak{S}_n\)-ensemble fini. Le produit d'induction \[ \mathrm{cl}_m(E) * \mathrm{cl}_n(F) = \mathrm{cl}_{m+n}\bigl((E \times F) \times^{\mathfrak{S}_m \times \mathfrak{S}_n} \mathfrak{S}_{m+n}\bigr), \] où \(G\) agit diagonalement, fait de \(k_{*}(G)\) une \(k_0(G)\)-algèbre graduée, commutative²⁹ . Pour \(G\) trivial, c'est la somme des anneaux de Burnside des groupes symétriques, munie du produit qui fait de \(\bigoplus_n R(\mathfrak{S}_n)\) l'anneau des fonctions symétriques.

Pour un \(G\)-ensemble fini \(E\), on pose, avec \(I_n = \{1, \dots, n\}\) et \(\mathfrak{S}_n\) agissant par la source, \[ \tau^{n}(E) = \mathrm{cl}_n\bigl(\mathrm{Mon}(I_n, E)\bigr) \in k_n(G), \qquad \tau^{*}(E) = \sum_{n \geqslant 0} \tau^{n}(E) \in 1 + \widehat{k_{*}(G)}^{+}, \] où \(\widehat{k_{*}(G)}^{+} = \prod_{n \geqslant 1} k_n(G)\) ; on a \(\tau^{0}(E) = 1\) et \(\tau^{1}(E) = \mathrm{cl}_0(E)\), et la somme est finie puisque \(\mathrm{Mon}(I_n, E)\) est vide pour \(n > \mathrm{card}\,E\).

Proposition (page 19). On a \(\tau^{*}(E \sqcup F) = \tau^{*}(E)\,\tau^{*}(F)\), c'est-à-dire \(\tau^{n}(E \sqcup F) = \sum_{i+j=n} \tau^{i}(E) * \tau^{j}(F)\).

Une injection de \(I_n\) dans \(E \sqcup F\) est la donnée de la partie \(J\) de \(I_n\) qui va dans \(E\) et de deux injections \(J \to E\), \(I_n \smallsetminus J \to F\) : \[ \mathrm{Mon}(I_n, E \sqcup F) = \coprod_{i = 0}^{n} \coprod_{J \in \mathfrak{P}_i(I_n)} \mathrm{Mon}(J, E) \times \mathrm{Mon}(I_n \smallsetminus J, F), \] et chaque terme d'indice \(i\) est stable par \(\mathfrak{S}_n\). La page s'arrête à « il suffit de voir que » la classe de ce terme est \(\tau^{i}(E) * \tau^{j}(F)\). C'est le cas : \(\mathfrak{S}_n\) agit transitivement sur \(\mathfrak{P}_i(I_n)\), le stabilisateur de \(I_i\) est \(\mathfrak{S}_i \times \mathfrak{S}_j\), et le terme est l'induit de \(\mathrm{Mon}(I_i, E) \times \mathrm{Mon}(I_j, F)\) de \(\mathfrak{S}_i \times \mathfrak{S}_j\) à \(\mathfrak{S}_n\)³⁰ .

Corollaire (page 20). Il existe un unique homomorphisme du groupe additif \(k_0(G)\) dans le groupe multiplicatif \(1 + \widehat{k_{*}(G)}^{+}\) tel que \(\tau^{*}(\mathrm{cl}_0(E)) = \tau^{*}(E)\) pour tout \(G\)-ensemble fini \(E\). C'est la propriété universelle du groupe de Grothendieck, puisque \(1 + \widehat{k_{*}(G)}^{+}\) est un groupe pour la multiplication.

La page définit enfin, pour un sous-groupe \(H \subset \mathfrak{S}_n\), l'application additive \(q_H \colon k_n(G) \to k_0(G)\), \(\mathrm{cl}_n(E) \mapsto \mathrm{cl}_0(E^{H})\), et l'application polynomiale de degré \(n\) \[ q^{n}_H = q_H \circ \tau^{n} \colon k_0(G) \longrightarrow k_0(G). \] Le dossier n'en fait rien³¹ .

21–22

Les puissances \(T^{n}\), et ce qui les relie aux \(\tau^{n}\) (pages 21 et 22)

La page 21 définit de même, avec toutes les applications, \[ T^{n}(E) = \mathrm{cl}_n\bigl(E^{I_n}\bigr) \in k_n(G), \qquad T^{*}(E) = \sum_n T^{n}(E), \] multiplicatif sur les réunions disjointes par le même argument, et prolongé à \(k_0(G)\) comme au corollaire. C'est l'opération de puissance de l'anneau de Burnside, restreinte au sous-groupe diagonal \(G \times \mathfrak{S}_n\) du produit en couronne \(G \wr \mathfrak{S}_n\)³² . La page annonce une relation entre \(T^{*}\) et \(\tau^{*}\). Elle part de la décomposition d'une application \(I_n \to E\) en la partition de \(I_n\) par ses fibres et une injection du quotient : \[ E^{I_n} = \coprod_{Q \text{ quotient de } I_n} \mathrm{Mon}(Q, E) = \coprod_{\alpha} \ \coprod_{Q \text{ de type } \alpha} \mathrm{Mon}(Q, E), \] où le type \(\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)\) d'une partition compte ses \(\alpha_i\) classes à \(i\) éléments, avec \(\sum_i i\alpha_i = n\).

La formule encadrée qui suit, \(T^{n}(E) = \sum_i \varphi_{n,i}(\tau^{i}(E))\) avec \(\varphi_{n,i}(\mathrm{cl}_i(E)) = \mathrm{cl}_n(E \times^{\mathfrak{S}_i} \mathfrak{S}_n)\), est annulée par deux grandes croix, et à raison : l'induction de \(\mathfrak{S}_i\) à \(\mathfrak{S}_n\) ne décrit pas l'action de \(\mathfrak{S}_n\) sur les partitions. Voici la formule juste³³ . Soit \(Q_\alpha\) une partition de type \(\alpha\) à \(m = \sum_i \alpha_i\) classes. Son stabilisateur dans \(\mathfrak{S}_n\) est le produit de couronnes \(W_\alpha = \prod_i \mathfrak{S}_i \wr \mathfrak{S}_{\alpha_i}\), qui agit sur l'ensemble des \(m\) classes à travers \(\pi_\alpha \colon W_\alpha \to \prod_i \mathfrak{S}_{\alpha_i} \subset \mathfrak{S}_m\). Alors \[ T^{n}(E) = \sum_{\sum i\alpha_i = n} \mathrm{Ind}_{G \times W_\alpha}^{G \times \mathfrak{S}_n}\, \pi_\alpha^{*}\, \mathrm{Res}^{G \times \mathfrak{S}_m}_{G \times \prod_i \mathfrak{S}_{\alpha_i}}\, \tau^{m}(E). \] Le reste de la page 22 compte les partitions de type \(\alpha\) : \[ \frac{n!}{\prod_{i} \alpha_i!\,(i!)^{\alpha_i}}, \] ce qui est juste. Sur les cardinaux, la formule redonne \(d^{n} = \sum_m S(n, m)\, d(d-1)\cdots(d-m+1)\), avec les nombres de Stirling de seconde espèce. Un tableau de valeurs de \(\tau^{2}(e_i)\) et \(\tau^{3}(e_i)\) est préparé et laissé vide.

23–26

Foncteurs sur la catégorie des ensembles finis et injections (pages 23 à 26)

Soit \(\mathcal{E}\) la catégorie des ensembles finis, les morphismes étant les applications injectives, et \(\mathcal{H}\) celle des foncteurs \(\mathcal{E} \to (\mathrm{Ensf})\) à valeurs dans les ensembles finis. C'est un prétopos³⁴ . On y distingue :

• les foncteurs représentables \(h_I = \mathrm{Mon}(I, -)\) ; par Yoneda, \(I \mapsto h_I\) identifie \(\mathcal{E}^{\circ}\) à une sous-catégorie pleine de \(\mathcal{H}\) ;
• les foncteurs \(H_I = (-)^{I} = \mathrm{Hom}_{(\mathrm{Ens})}(I, -)\), restrictions à \(\mathcal{E}\) des foncteurs correspondants sur \((\mathrm{Ensf})\).

Proposition (pages 23 et 24). Les \(h_I\) sont des objets connexes non vides de \(\mathcal{H}\) ; à isomorphisme près, ce sont les composantes connexes des \(H_J\). En effet \(H_J = \coprod_Q h_Q\), la somme portant sur les quotients \(Q\) de \(J\) : c'est, fonctorialisée, la décomposition de la page 21³⁵ .

Foncteurs spéciaux : les sommes finies de \(h_I\) ; ce sont aussi les facteurs directs des sommes finies de \(H_I\)³⁶ . Ils sont stables par sommes, produits et plus généralement limites finies : un produit \(h_I \times h_J\) se décompose selon les configurations d'images³⁷ . Un foncteur spécial envoie les injections sur des injections, donc s'identifie à un foncteur \(\mathcal{E} \to \mathcal{E}\), et le composé de deux foncteurs spéciaux est spécial.

Foncteurs distingués : les sommes finies de foncteurs \(E \mapsto \mathrm{Mon}(I, E)/H\), pour \(H \subset \mathfrak{S}_I\) ; ce sont aussi les sommes finies de composantes connexes des \(E \mapsto E^{I}/H\). La page affirme, sans le détailler, qu'ils ont les mêmes propriétés de permanence que les foncteurs spéciaux. Une addition en marge les décrit tous d'un coup : \[ E \longmapsto \coprod_{n \geqslant 0} \mathrm{Mon}(I_n, E) \times^{\mathfrak{S}_n} X_n, \] où \((X_n)\) est une suite de \(\mathfrak{S}_n\)-ensembles finis, presque tous vides. C'est l'extension de Kan à gauche, le long de l'inclusion des bijections dans les injections, de la suite \((X_n)\) — de ce qu'on appelle depuis Joyal (1981) une espèce finie. Dans le langage linéaire de Church, Ellenberg et Farb (2015), les \(\mathcal{E}\)-ensembles sont des « FI-ensembles », et les foncteurs distingués sont l'analogue ensembliste des FI-modules induits, qu'on appelle aussi FI\(\sharp\)-modules³⁸ .

Un morphisme \(u \colon F \to G\) de foncteurs \(\mathcal{E} \to (\mathrm{Ens})\) est une équivalence s'il existe \(n\) tel que \(u(E)\) soit bijectif pour tout \(E\) de cardinal au moins \(n\). Les équivalences vérifient la propriété « deux sur trois » et sont stables par changement de base, comme l'énonce la page ; ce sont les isomorphismes « en rang assez grand », le point de vue qui est aujourd'hui celui de la stabilité des représentations de Church et Farb³⁹ .

La page 26 pose enfin \[ \Omega = \mathrm{End}(\mathcal{E}, \mathcal{E}) \subset \mathrm{Hom}(\mathcal{E}, (\mathrm{Ens})) = \widehat{\mathcal{E}^{\circ}} , \] la catégorie des foncteurs \(\mathcal{E} \to \mathcal{E}\) — à valeurs finies, envoyant les injections sur des injections — avec pour morphismes les transformations naturelles à composantes injectives. C'est une sous-catégorie non pleine, comme la page le souligne, du topos des préfaisceaux sur \(\mathcal{E}^{\circ}\). Elle porte trois opérations, \[ (F + G)(E) = F(E) \sqcup G(E), \qquad (F \times G)(E) = F(E) \times G(E), \qquad (F \circ G)(E) = F(G(E)), \] et le feuillet s'arrête là, le bas restant blanc. Une somme, un produit et une composition qui se distribuent sont la structure d'un anneau de composition, celle des opérations sur les \(\lambda\)-anneaux ; mais la page ne passe pas au groupe de Grothendieck et ne dit pas où elle va⁴⁰ .

27–28

Puissances tensorielles et représentations des groupes symétriques (pages 27 et 28)

Soit \(X\) un topos annelé commutatif, et \[ K(X, *) = \bigoplus_{n \geqslant 0} K(B_{\mathfrak{S}_n X}), \] où \(K(B_{\mathfrak{S}_n X})\) est le groupe de Grothendieck des modules localement libres de type fini sur \(X\) munis d'une action de \(\mathfrak{S}_n\), avec le produit d'induction. Pour \(\xi = \mathrm{cl}(E)\) dans \(K(X)\), on note \(T^{n}(\xi)\) la classe de la puissance tensorielle \(E^{\otimes n}\), \(\mathfrak{S}_n\) permutant les facteurs, et \(T^{*}(\xi) = \sum_n T^{n}(\xi) \in 1 + K(X, *)^{\wedge +}\)⁴¹ . C'est le cadre du dossier 2, pages 15 à 18, où le produit d'induction et les puissances tensorielles d'un module sur un topos annelé sont aussi posés⁴² .

Soit \(\rho_i\) l'élément unité de \(K(B_{\mathfrak{S}_i}) = R_{\mathbb{Z}} (\mathfrak{S}_i)\), regardé comme élément de degré \(i\) de \(R(1, *) = K(e, *) = \bigoplus_i R(\mathfrak{S}_i)\), \(e\) étant le topos ponctuel ; le monôme \(\rho^{\alpha} = \rho_1^{\alpha_1} \cdots \rho_n^{\alpha_n}\) est la représentation de permutation de \(\mathfrak{S}_n\) sur les classes du sous-groupe de Young \(\prod_i \mathfrak{S}_i^{\alpha_i}\). La page énonce : \[ T^{n}(\xi) = \sum_{\sum i\alpha_i = n} m_\alpha\bigl(\lambda^{1}\xi, \dots, \lambda^{n}\xi\bigr)\, \rho^{\alpha}, \] où \(m_\alpha \in \mathbb{Z}[S_1, \dots, S_n]\) est le polynôme isobare de poids \(n\) qui exprime la fonction symétrique monomiale \(\sum x_1^{\nu_1} \cdots x_m^{\nu_m}\) (avec \(\alpha_i\) exposants égaux à \(i\)) en les fonctions symétriques élémentaires \(S_1, \dots, S_n\)⁴³ .

La formule est juste, pour \(E\) localement libre de type fini. Pour une somme de fibrés en droites, \(E^{\otimes n}\) se décompose selon les orbites de \(\mathfrak{S}_n\) sur les applications \(I_n \to \{1, \dots, d\}\), et une permutation des facteurs d'une puissance tensorielle d'une droite agit trivialement ; le cas général s'en déduit par le principe de scindage, que nous admettons pour \(K(X, *)\). En degré \(2\), elle donne \(T^{2}(\xi) = \lambda^{2}\xi\,\rho_1^{2} + (\xi^{2} - 2\lambda^{2}\xi)\,\rho_2\), c'est-à-dire, si \(2\) est inversible, \(\rho_1^{2}\) étant alors la représentation régulière \(1 + \varepsilon\) de \(\mathfrak{S}_2\), \(T^{2}(\xi) = \sigma^{2}\xi \cdot 1 + \lambda^{2}\xi \cdot \varepsilon\) : la suite exacte \(0 \to \Lambda^{2}E \otimes \varepsilon \to E^{\otimes 2} \to \mathrm{Sym}^{2}E \to 0\)⁴⁴ . Par la caractéristique de Frobenius, qui envoie \(\rho_i\) sur la fonction symétrique complète \(h_i\), c'est l'identité de Cauchy \(\sum_\alpha m_\alpha(x)\,h_\alpha(y) = \prod_{i,j}(1 - x_i y_j)^{-1}\).

En marge, la page demande si, pour \(\xi\) effectif, la formule est une somme directe, et renvoie au théorème de commutation de H. Weyl. Pas dans cette base : \(m_{(2)}(\xi) = \xi^{2} - 2\lambda^{2}\xi\) n'est pas effectif. La somme directe existe dans l'autre base, celle des représentations irréductibles : c'est la dualité de Schur–Weyl, \(E^{\otimes n} = \bigoplus_\mu S_\mu(E) \otimes V_\mu\), là où \(n!\) est inversible⁴⁵ .

Corollaire (page 28). \(\lambda^{n}(\xi)\) est le coefficient de \(\rho_1^{n}\) dans \(T^{n}(\xi)\), et l'opération d'Adams \(\psi^{n}(\xi)\) celui de \(\rho_n\). En effet \(m_{(1, \dots, 1)} = S_n\) et \(m_{(n)} = \sum x_j^{n}\) est la somme de Newton. C'est la démarche d'Atiyah (1966), qui tire \(\lambda^{n}\) et \(\psi^{n}\) de l'opération de puissance⁴⁶ .

Un « coefficient » suppose que les \(1_{K(X)} \cdot \rho^{\alpha}\) soient linéairement indépendants sur \(K(X)\), ce que la page croit « facile sans doute ». C'est vrai si \(X\) est au-dessus de \(\mathbb{Q}\), et faux en caractéristique \(p\) : sur \(\mathbb{F}_2\), la représentation régulière de \(\mathfrak{S}_2\) est extension de la triviale par la triviale, de sorte que \(\rho_1^{2} = 2\rho_2\)⁴⁷ .

Question (page 28) : pour quels anneaux \(k\) l'anneau \(R_k(1, *) = \bigoplus_{i \geqslant 0} R_k(\mathfrak{S}_i)\) est-il l'anneau de polynômes en les \(\rho_i\) ? Est-ce vrai pour un anneau local, ou pour un anneau tel que \(\mathbb{Z} \to K(k)\) soit un isomorphisme ? Pour un corps de caractéristique nulle, oui : par Frobenius, \(\bigoplus_i R(\mathfrak{S}_i)\) est l'anneau des fonctions symétriques, polynomial en les \(h_i\). Pour un corps de caractéristique \(p\), non : la relation \(\rho_1^{2} = 2\rho_2\) sur \(\mathbb{F}_2\), et en général le rang de \(R_{\mathbb{F}_p}(\mathfrak{S}_n)\), qui est le nombre de partitions \(p\)-régulières de \(n\), l'interdisent. Un corps fini étant local, la réponse à la seconde question est négative⁴⁸ .

29–33

IV. Le jeu de go (pages 29 à 33)

Ces cinq pages, au feutre, n'ont de rapport avec rien d'autre dans le dossier. Ce sont des mathématiques d'un jeu : une identité de comptabilité entre deux façons de compter les points, et un essai de règles assez précises pour qu'une partie finisse d'elle-même.

29–29

Deux décomptes, et le dernier coup (page 29)

On joue une partie « complète » sur un goban de \(\nu \times \nu\) intersections ; noir commence et joue \(N\) coups, blanc en joue \(N'\), avec \(\varepsilon = N - N' \in \{0, 1\}\), et \(\varepsilon = 0\) si blanc joue le dernier⁴⁹ . En fin de partie, \(P\) et \(P'\) sont les nombres de pierres noires et blanches sur le goban, \(Q\) et \(Q'\) les nombres de pierres noires et blanches capturées, \(T\) et \(T'\) les territoires noir et blanc. Ainsi \(N = P + Q\) et \(N' = P' + Q'\)⁵⁰ . On suppose que toute intersection est, à la fin, une pierre ou un point de territoire : \[ P + P' + T + T' = \nu^{2}, \] ce qui exclut les points neutres et les seki, et demande que toutes les pierres mortes aient été effectivement capturées — c'est le sens de « complète »⁵¹ .

Au décompte par territoire, noir marque \(S = Q' + T\) et blanc \(S' = Q + T'\). Comme \(Q' - Q = (N' - P') - (N - P) = (P - P') - \varepsilon\), l'écart vaut \[ D = S - S' = (P - P') + (T - T') - \varepsilon, \qquad \text{soit} \qquad D = 2(P + T) - \nu^{2} - \varepsilon , \] et symétriquement \(D' = -D = 2(P' + T') - \nu^{2} + \varepsilon\)⁵² . Or \((P + T) - (P' + T') = 2(P + T) - \nu^{2}\) est l'écart au décompte par zone, qui compte les pierres posées et le territoire. L'identité dit donc que les deux décomptes, par territoire (règles japonaises) et par zone (règles chinoises), diffèrent exactement de \(\varepsilon\) : d'un point si noir a joué le dernier, de rien sinon⁵³ .

30–30

La position réglée (page 30)

Supposons atteinte une position où les territoires des deux camps sont « inattaquables », blanc ayant joué le dernier, de sorte que les deux camps ont joué le même nombre \(n = n'\) de coups et que noir a le trait. Avec les mêmes lettres en minuscules — les prisonniers étant cette fois « virtuels », les pierres mortes restées sur le goban étant comptées comme prises — on trouve de même, puisque \(n = n'\), \[ d = s - s' = 2(p + t) - \nu^{2} . \] Si chacun ne joue plus que dans son propre territoire, y compris pour y capturer effectivement les pierres mortes, chaque coup ajoute une pierre et ôte un point de territoire, et une capture rend au territoire des points qu'il comptait déjà : \(p + t = P + T\) est invariant, d'où \(D = d - \varepsilon\). La page ajoute que, faute de pouvoir prévoir \(\varepsilon\) — « est-elle indépendante de la suite du jeu ? » —, il est raisonnable de compenser l'avantage du trait en posant \(\varepsilon = 1\), c'est-à-dire en comptant comme si noir jouait le dernier : une compensation d'un point au décompte par zone. La compensation qu'on pratique aujourd'hui, le komi, est de six à sept points⁵⁴ .

31–32

Règles de prise, et fin de l'obligation de jouer (pages 31 et 32)

Prise. Une pierre ne peut être posée sur une intersection libre où le groupe qui la contiendrait n'aurait aucune liberté — le suicide est interdit —, sauf dans deux cas : le ko, renvoyé « plus bas » et jamais décrit ; et le « remplissage d'un trou » : \(A\) joue sur une intersection \(i\) qui est la dernière liberté d'un groupement \(E\) de groupes de \(B\), \(E\) entourant le groupe de \(A\) qui contient \(i\). C'est la règle actuelle : un coup qui prend est légal, les pierres prises étant retirées avant qu'on examine les libertés de la pierre posée⁵⁵ .

Fin de partie. Les joueurs jouent à tour de rôle et ne peuvent pas passer. L'obligation de jouer ne tombe que dans un cas : le joueur \(A\) n'a plus d'intersection libre où il puisse légalement jouer, sinon des intersections \(c\) de la forme suivante : un groupement \(E\) de \(A\) n'a plus que deux libertés isolées, toutes ses autres libertés étant prises par \(B\), et \(c\) est l'une d'elles. Autrement dit, les seuls coups restants de \(A\) bouchent l'un des deux yeux d'un de ses groupes. La page explique pourquoi l'obligation doit alors tomber : si \(A\) bouchait un œil, \(B\) prendrait le groupe en jouant dans l'autre, et, l'obligation persistant, \(A\) perdrait de proche en proche toutes ses pierres, « même si \(A\) avait un avantage considérable ».

Elle exige de plus que le groupement soit « inattaquable » : si c'était à \(B\) de jouer, il ne pourrait se placer ni en \(c\) ni en \(c'\), faute d'un sous-groupement de \(E\) entourant l'un d'eux et n'ayant plus que lui pour liberté, et le ko ne le lui permettrait pas non plus. C'est la distinction entre un vrai œil et un faux œil⁵⁶ .

33–33

Qui joue le dernier (page 33)

En fin de partie, noir a \(\rho\) groupements vivants, chacun avec au moins deux yeux, et blanc \(\rho'\). Partant de la position réglée de la page 30, où noir a le trait, la page énonce : si \(t - 2\rho \leqslant t' - 2\rho'\), blanc joue le dernier (\(\varepsilon = 0\), \(D = d\)) ; si \(t' - 2\rho' < t - 2\rho\), noir joue le dernier (\(\varepsilon = 1\), \(D = d - 1\)).

La règle est juste sous une hypothèse qu'elle ne dit pas : que chacun, à partir de la position réglée, ne fasse que remplir son propre territoire jusqu'à ne laisser que deux yeux d'un point à chaque groupe. Noir dispose alors de \(t - 2\rho\) coups et blanc de \(t' - 2\rho'\) ; noir ayant le trait, celui qui s'épuise le premier est noir si \(t - 2\rho \leqslant t' - 2\rho'\), et c'est alors blanc qui a joué le dernier⁵⁷ . La question de la page 30 reçoit ainsi une réponse partielle : \(\varepsilon\) se lit sur la position réglée, pourvu qu'on joue comme on vient de dire.

34–39

V. Groupes formels (pages 34 à 39)

La page 34 est une chemise qui ne porte que ces mots ; la page 35 les répète en tête. La suite est à l'encre bleue, et c'est la plus difficile à lire du dossier : au-delà des formules, la page 35 est pour l'essentiel une suite de lectures douteuses⁵⁸ . La page ne précise ni le corps de base, ni si les groupes formels sont commutatifs ; les énoncés ne prennent leur sens qu'en caractéristique \(p > 0\), pour des groupes formels non nécessairement commutatifs, où « \(p\)-divisible » désigne les groupes de Barsotti–Tate connexes⁵⁹ .

35–35

Les énoncés de départ (page 35)

La page énonce, sans démonstration :

• (I) une extension d'un groupe \(p\)-divisible par un groupe lisse, ou unipotent, est triviale ; d'où, pour un \(p\)-divisible a-torique, un produit direct⁶⁰ ;
• tout sous-groupe \(p\)-divisible a-torique est central ; suit, en accolade, la liste de ce qu'il faudrait établir pour le plus grand sous-groupe \(p\)-divisible a-torique : son existence, sa stabilité par extension du corps de base, son comportement vis-à-vis des sous-groupes et des quotients ;
• (II) une extension d'un groupe formel lisse par un \(p\)-divisible est un produit « à isogénie près » ; d'où \(D(G) \cap \mathrm{Cent}(G)\) quasi-unipotent, « primaire au \(p\) », et mieux, \(\mathrm{Cent}(D(G))\) quasi-unipotent.

La démonstration esquissée du corollaire de (II) prend le plus grand sous-groupe \(p\)-divisible a-torique \(T\) de \(G\) : on aurait \(G \simeq T \times G/T\), donc \(D(G) \cap T = \{e\}\). Un dernier corollaire voudrait \(G\) lisse isogène à un produit d'un facteur a-torique et d'un autre facteur, et s'achève sur « … ? » ; une remarque, un NB et une note en marge, qui disent qu'un certain quotient est « linéaire », ne se lisent que par fragments⁶¹ . La page pose alors la Question : \(D(G) \cap \mathrm{Cent}(G)\) est-il unipotent, c'est-à-dire ne contient-il pas de \(\mu_p\) ? Une note en marge ajoute qu'il suffirait de le vérifier pour un quotient linéaire, et que \(\mathrm{Cent}(G/\mathrm{Cent}\,G)\) est « mieux » quasi-unipotent.

35–36

La « Solution » : un groupe vu par son centre et son groupe dérivé (pages 35 et 36)

Sous le mot « Solution », la page introduit six groupes : \[ L_1 = \mathrm{Cent}(G), \quad D_1 = D(G), \quad \Pi_1 = L_1 \cap D_1, \quad \Pi_0 = G / L_1 D_1, \] et les deux quotients \(G/\mathrm{Cent}(G)\) et \(G/D(G)\). Ils forment deux suites exactes, qui ont les mêmes extrémités : \[ 1 \to \Pi_1 \to \mathrm{Cent}(G) \longrightarrow G/D(G) \to \Pi_0 \to 1, \qquad 1 \to \Pi_1 \to D(G) \longrightarrow G/\mathrm{Cent}(G) \to \Pi_0 \to 1 . \] La seconde flèche du milieu est un module croisé : \(G/\mathrm{Cent}(G)\) agit sur \(D(G)\) par conjugaison, et c'est l'action \(\theta\) que la page dessine. La première l'est aussi, pour l'action triviale⁶² . La page note deux contraintes, qu'elle tire vraisemblablement des énoncés de départ : \(\Pi_1\) n'a pas de partie \(p\)-divisible, et \(\Pi_0\) pas de partie a-torique.

La « Solution » est donc un programme : reconstituer \(G\) à partir des deux modules croisés, qui partagent leurs invariants \(\pi_1 = \Pi_1\) et \(\pi_0 = \Pi_0\). La page en donne la forme : les deux données se recollent en \[ D' = D(G) \sqcup_{\Pi_1} \mathrm{Cent}(G) = \mathrm{Cent}(G) \cdot D(G), \qquad L' = G/\mathrm{Cent}(G) \times_{\Pi_0} G/D(G) = G/\Pi_1, \] avec « obstruction nulle dans \(H^{3}(\Pi_0, \Pi_1)\), indétermination dans \(H^{2}(\Pi_0, \Pi_1)\) »⁶³ . Elle se donne trois tâches : traiter le cas où \(\Pi_0\) est \(p\)-divisible ; dire quels couples de modules croisés sont possibles ; donner des conditions pour que \(G\) soit linéaire et \(D(G)\) algébrisable. Seule la deuxième est reprise, aux pages 45 à 53, sous une forme générale⁶⁴ .

La page 36 amorce le calcul. Dans la situation générale \(1 \to \Pi_1 \to G_1 \to G_0 \to \Pi_0 \to 1\), avec \(G_1 = \mathrm{Cent}(G) \cdot D(G)\) et \(G_0 = G/\Pi_1\), il y a un homomorphisme \(\varphi_G\) de \(\mathrm{Cent}(G_0) \cap \operatorname{Ker}\theta\) vers \(Z^{1}(\Pi_0, \Pi_1)\) — ici vers \(\mathrm{Hom}(\Pi_0, \Pi_1)\) —, de noyau l'image de \(\mathrm{Cent}(G)\) dans \(G_0\). Dans le cas qui l'intéresse, la page écrit cette application sur les éléments centraux de \(G/\mathrm{Cent}(G)\) qui agissent trivialement sur \(D(G)\), à valeurs dans \(\mathrm{Hom}(\Pi_0, \Pi_1)\), et de noyau nul. D'où, \(\Pi_1\) étant quasi-unipotent, la conclusion encadrée : ce groupe d'éléments centraux est quasi-unipotent. C'est, sous une forme encore floue, l'injectivité de l'application \(\Psi_G\) de la page 46, qui porte le même nom \(\varphi_G\)⁶⁵ .

37–39

Brouillons (pages 37 à 39)

La page 37 aligne trois énoncés encadrés — \(\mathrm{Cent}(D(G))\) unipotent, \((G/\mathrm{Cent}\,G)_{\mathrm{ab}}\) linéaire, \(\mathrm{Cent}(G/\mathrm{Cent} \,G)\) unipotent — et une question entourée, « \((D(G))_{\mathrm{ab}}\) unipotent ? », avec une flèche vers « voir fin ». Aucune fin du dossier ne la reprend.

La page 38 pose une extension centrale \[ 1 \to \mathfrak{z} \to D \to \widehat{H} \to 1, \] où \(H\) est un groupe algébrique linéaire connexe lisse, \(\widehat{H}\) son complété formel et \(\mathfrak{z}\) un groupe formel commutatif lisse : le pendant formel de la structure que les pages 41 à 43 étudient pour les groupes algébriques.

La page 39, couverte de schémas, calcule les extensions de \(\widehat{\mathbb{G}}_a\) par \(\widehat{\mathbb{G}}_a\) par cocycles : \(\varphi(x, y)\), modifié par \(\psi(x + y) - \psi(x) - \psi(y)\), dans \(H^{2}(\widehat{\mathbb{G}}_a, \widehat{\mathbb{G}}_a)\), et note, pour une telle extension \(E\), \(\mathrm{Cent}(E) = D(E)\). Une telle extension non commutative n'existe qu'en caractéristique \(p\) : en caractéristique nulle, un groupe formel est déterminé par son algèbre de Lie, et une extension centrale de \(k\) par \(k\) est abélienne. En caractéristique \(p\), la loi \((x, z)(x', z') = (x + x', z + z' + x x'^{p})\) en donne une, de commutateur \(x x'^{p} - x' x^{p}\)⁶⁶ .

41–43

VI. Groupes algébriques lisses connexes et décomposition de Chevalley (pages 41 à 43)

Trois pages sans titre, à l'encre bleue, sur des groupes algébriques et non formels. Aucune page ne dit à quoi elles servent ; elles sont rangées entre les deux suites sur les groupes formels.

41–41

La structure (page 41)

Soit \(G\) un groupe algébrique lisse connexe sur un corps \(k\), admettant une décomposition de Chevalley \[ 1 \to L \to G \to A \to 1, \] \(A\) variété abélienne, \(L\) affine lisse connexe — c'est le cas si \(k\) est parfait (théorème de Chevalley)⁶⁷ . Soit \(M = G_{\mathrm{aff}}\) le plus grand quotient affine de \(G\) et \[ 1 \to Z \to G \to M \to 1 . \] On sait que \(Z\) est caractérisé par \(M\) affine et \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\), que \(Z\) est central et que \(Z \to A\) est surjectif, donc \(G = Z \cdot L\) et \(L \to M\) surjectif⁶⁸ . Posons \(\mathfrak{z} = L \cap Z\), groupe affine commutatif. Alors \(G \to M \times A\) est surjectif de noyau \(\mathfrak{z}\) central, et \[ G = L \times^{\mathfrak{z}} Z = (L \times Z)/\mathfrak{z} \] est déterminé, avec le diagramme de ses sous-groupes, par les deux extensions centrales : \(L\) de \(M\) par \(\mathfrak{z}\), et \(Z\) de \(A\) par \(\mathfrak{z}\). La donnée de \(G\) équivaut ainsi à celle de \(M\), \(A\), \(\mathfrak{z}\) et de deux extensions centrales, \(L\) lisse connexe et \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\) ; ou encore, en partant de \(L\), à celle d'un groupe affine lisse connexe \(L\), d'une variété abélienne \(A\), d'un sous-groupe \(\mathfrak{z} \subset \mathrm{Cent}(L)\) et d'une extension \(Z\) de \(A\) par \(\mathfrak{z}\) avec \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\)⁶⁹ .

41–42

Extensions d'une variété abélienne par un groupe affine (pages 41 et 42)

Une extension centrale de \(A\) par \(\mathfrak{z}\) commutatif est commutative, puisque son commutateur définirait une application bimultiplicative de \(A \times A\) dans le groupe affine \(\mathfrak{z}\), qui est constante. Ces extensions sont données par la formule de Barsotti–Weil généralisée : \[ \mathrm{Ext}^{1}(A, \mathfrak{z}) = \mathrm{Hom}\bigl(D(\mathfrak{z}), \mathrm{Pic}^{0}_{A/k}\bigr), \] où \(D(\mathfrak{z})\) est le dual de Cartier de \(\mathfrak{z}\) et \(\mathrm{Pic}^{0}_{A/k} = A^{*}\) la variété abélienne duale ; la catégorie de ces extensions est rigide, puisque \(\mathrm{Hom}(A, \mathfrak{z}) = 0\)⁷⁰ . L'extension \(Z\) est donc une flèche \(\varphi \colon D(\mathfrak{z}) \to A^{*}\), et il reste à exprimer \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\).

\(Z_{\mathrm{aff}}\) en termes de \(\varphi\). Le groupe \(\mathfrak{z}\) se surjecte sur \(Z_{\mathrm{aff}}\), puisque \(A\) n'a pas de quotient affine non trivial ; \(Z_{\mathrm{aff}}\) est le plus grand quotient \(\mathfrak{z}_1\) de \(\mathfrak{z}\) tel que l'extension poussée de \(A\) par \(\mathfrak{z}_1\) soit triviale. Par dualité de Cartier, qui échange quotients de \(\mathfrak{z}\) et sous-groupes de \(D(\mathfrak{z})\), c'est \(\mathfrak{z}_1 = D(\operatorname{Ker}\varphi)\). Donc \[ Z_{\mathrm{aff}} = 1 \iff \varphi \text{ est un monomorphisme.} \] Décomposons \(\mathfrak{z} = \mathfrak{z}_u \times \mathfrak{z}_m\) en ses parties unipotente et de type multiplicatif, et soit \(\Gamma = D(\mathfrak{z}_m)\), groupe constant tordu de type fini ; \(\varphi\) a deux composantes \(\varphi_0\) sur \(D(\mathfrak{z}_u)\) et \(\varphi_1\) sur \(\Gamma\). Leurs images, l'une connexe et l'autre étale, se coupent trivialement, de sorte que \(\varphi\) est un monomorphisme si et seulement si \(\varphi_0\) et \(\varphi_1\) en sont.

Caractéristique nulle. \(\mathfrak{z}_u = W(t)\) est le groupe vectoriel de son espace tangent \(t\), et \(\varphi_0\) est une application linéaire \(t^{\vee} \to H^{1}(A, \mathcal{O}_A)\), l'espace tangent de \(A^{*}\)⁷¹ . La donnée de \(\mathfrak{z}\) et de \(Z\) avec \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\) équivaut donc à celle d'un sous-espace vectoriel de \(H^{1}(A, \mathcal{O}_A)\) et d'un sous-groupe constant tordu de type fini de \(A^{*}\).

Caractéristique \(p\). La page donne pour « bien connu » que la partie unipotente de \(Z_{\mathrm{aff}}\) est isogène à \(\mathfrak{z}_u\), de sorte que \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\) force \(\mathfrak{z}_u\) fini ; son dual \(D(\mathfrak{z}_u)\) est alors fini radiciel, et \(\varphi_0\) se factorise par le complété formel \(\widehat{A^{*}}\)⁷² . La donnée de \(\mathfrak{z}\) et de \(Z\) équivaut à celle d'un couple \((\tau, \Gamma)\) formé d'un sous-groupe radiciel \(\tau\) et d'un sous-groupe constant tordu \(\Gamma\) de \(A^{*}\), avec \(D(\mathfrak{z}) = \tau \times \Gamma \hookrightarrow A^{*}\).

43–43

Quels groupes \(\mathfrak{z}\), et un défaut de constructibilité (page 43)

NB. Pour \(k\) algébriquement clos, un groupe affine commutatif \(\mathfrak{z}\) intervient pour un \(G\) convenable si et seulement s'il se plonge centralement dans un groupe affine lisse connexe — ce qui, dit la page, est toujours possible, et même dans un groupe commutatif — et si \(D(\mathfrak{z})\) se plonge dans une variété abélienne duale. D'après la page, la seconde condition est toujours remplie en caractéristique nulle, et l'est en caractéristique \(p\) si et seulement si \(\mathfrak{z}_u\) est fini. Il faut ajouter, en caractéristique \(p\), que \(k\) ne soit pas une clôture algébrique d'un corps fini : sur \(\overline{\mathbb{F}}_p\), tout point d'une variété abélienne est de torsion, et \(\Gamma\) doit être fini, c'est-à-dire \(\mathfrak{z}_m\) fini⁷³ .

NB. La formation de \(G_{\mathrm{aff}}\), pour un schéma en groupes lisse à fibres connexes sur une base \(S\), n'est pas « constructible » en général. Exemple de la page : \(G\) extension d'un schéma abélien \(A\) par \(\mathbb{G}_a\), non triviale au point générique \(y\), de caractéristique nulle, et triviale en une spécialisation \(s\) de caractéristique \(p\) ; alors \((G_y)_{\mathrm{aff}} = 1\) et \((G_s)_{\mathrm{aff}} \simeq \mathbb{G}_a\). Le phénomène est plus fort que l'exemple : par l'étude de la page 42, une extension de \(A\) par \(\mathbb{G}_a\) n'a jamais \(G_{\mathrm{aff}} = 1\) en caractéristique \(p\), puisque \(\mathfrak{z}_u = \mathbb{G}_a\) n'est pas fini. Sur une base dominant \(\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\), le lieu où \(G_{\mathrm{aff}}\) est trivial est donc contenu dans la fibre de caractéristique nulle, qui n'est pas constructible. En caractéristique résiduelle fixée, la page affirme au contraire que la construction est constructible⁷⁴ .

Reformulation. Il est « maladroit », dit la page, de se donner \(\mathfrak{z} \subset \mathrm{Cent}(L)\) et un monomorphisme \(D(\mathfrak{z}) \hookrightarrow A^{*}\) ; mieux vaut se donner \(L\), \(A\) et une extension de \(A\) par \(\mathrm{Cent}(L)\) tout entier, c'est-à-dire un homomorphisme \(D(\mathrm{Cent}\,L) \to A^{*}\) : en poussant l'extension \(Z\) le long de \(\mathfrak{z} \subset \mathrm{Cent}(L)\), on retrouve \(G = L \times^{\mathrm{Cent}(L)} Z'\) sans condition d'injectivité. La présentation précédente n'a d'avantage, conclut-il, que d'expliciter la donnée sans faire intervenir des choses « à la Cantor » trop « dégueulasses » — et la page s'arrête sur un tiret⁷⁵ .

44–53

VII. Fourbis auxiliaires cohomologiques pour groupes formels (pages 44 à 53)

La page 44 est une chemise qui porte ce titre. Les pages 45 à 53 sont paginées par lui de 1 à 7 ; les pages 47 et 49, deux avis administratifs dactylographiés, ne sont pas de sa main. Malgré le titre, rien n'y est propre aux groupes formels : les groupes sont des faisceaux en groupes sur un topos \(X\), et la cohomologie celle du topos classifiant \(B_{\pi_0}\) au-dessus de \(X\) — pour des groupes abstraits, la cohomologie des groupes. On y traite en général le problème posé par la « Solution » de la page 35.

45–45

Le problème : deux modules croisés, un groupe (page 45)

Un module croisé \(\mathcal{C} = (N, M, d, \Theta)\) est un homomorphisme \(d \colon N \to M\) avec une action \(\Theta\) de \(M\) sur \(N\) telle que \(d\) soit équivariant pour l'action de \(M\) sur lui-même par conjugaison et que \(d(n)\) agisse sur \(N\) comme la conjugaison par \(n\). Son noyau \(\pi_1\) est central dans \(N\), son image est distinguée, et \(M\) agit sur \(\pi_1\) à travers \(\pi_0 = \operatorname{Coker} d\)⁷⁶ .

Si \(G\) est un groupe et \(N\), \(N'\) deux sous-groupes distingués qui commutent entre eux, on obtient deux modules croisés, \[ \mathcal{C} = \bigl(N \to M = G/N'\bigr), \qquad \mathcal{C}' = \bigl(N' \to M' = G/N\bigr), \] les actions étant induites par la conjugaison ; ils ont les mêmes invariants, \(\pi_1 = N \cap N'\) et \(\pi_0 = G/NN'\), avec la même action de \(\pi_0\) sur \(\pi_1\)⁷⁷ . Le problème de la page est l'inverse : étant donnés deux modules croisés \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{C}'\) (données I et II) et des isomorphismes \(\pi_i(\mathcal{C}) \simeq \pi_i(\mathcal{C}')\) compatibles aux actions (donnée III), trouver \(G\).

Les données déterminent deux groupes : le sous-groupe \(H = NN'\) de \(G\) et le quotient \(K = G/\pi_1\), \[ H = (N \times N')/\pi_1, \qquad K = M \times_{\pi_0} M', \] \(\pi_1\) étant plongé antidiagonalement : un carré cocartésien et un carré cartésien, que la page dessine. Les lignes \((\alpha, \alpha') \cdot (\lambda, -\lambda) = (\alpha \cdot \lambda, -\alpha' \cdot \lambda)\) vérifient que l'action de \(K\) préserve l'antidiagonale, ce qui est la compatibilité III⁷⁸ . Et \(H \to K\) est un nouveau module croisé, d'invariants \(\pi_0\), \(\pi_1\). Trouver \(G\), c'est trouver une extension de \(K\) par \(\pi_1\) contenant \(H\) de façon compatible. La page énonce : \[ \text{obstruction dans } H^{3}(B_{\pi_0}/X, \pi_1), \qquad \text{indétermination dans } H^{2}(B_{\pi_0}/X, \pi_1) = \mathrm{Extop}(\pi_0, \pi_1), \] c'est-à-dire : il existe une solution si et seulement si une classe de degré \(3\) s'annule, et les solutions forment alors un torseur sous le groupe des classes d'extensions de \(\pi_0\) par \(\pi_1\) avec l'action donnée⁷⁹ .

La page isole ensuite les deux conditions qui intéressent la « Solution » : \(N'\) est central si et seulement si l'action \(\Theta'\) de \(M'\) sur \(N'\) est triviale, et \(N\) contient \(D(G)\) si et seulement si \(M' = G/N\) est commutatif. La première réduit \(\mathcal{C}'\) à un homomorphisme \(d' \colon N' \to M'\) de noyau central, avec \(N'\) commutatif et \(d'(N')\) central dans \(M'\), sans autre structure, et elle force l'action de \(\pi_0\) sur \(\pi_1\) à être triviale — condition à vérifier sur \(\mathcal{C}\). La seconde rend \(M'\), donc \(\pi_0\), commutatif⁸⁰ .

46–46

Que \(N'\) soit exactement le centre (page 46)

Supposons \(N'\) central. L'image du centre de \(G\) dans \(M\) est contenue dans le sous-groupe \[ \mathfrak{Z} = \bigl[\mathrm{Cent}(K)/(N'/\pi_1)\bigr] \cap \operatorname{Ker}\bigl(\Theta \colon M \to \mathrm{Aut}(N)\bigr), \] qui ne dépend que des données, et l'on a \(N' \subset \mathrm{Cent}(G) \subset \overline{N'}\), où \(\overline{N'}\) est l'image inverse de \(\mathfrak{Z}\) dans \(G\). Pour \(g \in G\) et \(z \in \overline{N'}\), le commutateur \([g, z]\) tombe dans \(\pi_1\) ; il est additif en \(z\), additif en \(g\), nul pour \(g \in N'\) et pour \(g \in N\), puisque l'image de \(z\) agit trivialement sur \(N\). Il définit donc un accouplement \(\pi_0 \times \mathfrak{Z} \to \pi_1\), c'est-à-dire \[ \Psi_G \colon \mathfrak{Z} \longrightarrow \mathrm{Hom}(\pi_0, \pi_1), \] et \(\mathrm{Cent}(G)\) est exactement l'image inverse de \(\operatorname{Ker}\Psi_G\). D'où : \[ N' = \mathrm{Cent}(G) \iff \Psi_G \text{ est injectif.} \] La page passe par \(\varphi_G \colon \pi_0 \to \mathrm{Hom}(\mathfrak{Z}, \pi_1)\), le même accouplement curryfié de l'autre côté⁸¹ .

48–51

Changer de solution : l'accouplement \(c_E\) (pages 48 à 51)

Une autre solution \(G_1\) se déduit de \(G\) par une extension \(E\) de \(\pi_0\) par \(\pi_1\), ici centrale puisque l'action est triviale : \(G_1 = (G \times_{\pi_0} E)/\pi_1\). Le commutateur de deux relèvements dans \(E\) définit une forme alternée \[ c_E \colon \pi_0 \times \pi_0 \longrightarrow \pi_1, \] bilinéaire parce que \(\pi_0\) est commutatif, et nulle si et seulement si \(E\) est commutative⁸² . La page annonce, « au signe près », \[ \Psi_{G_1} = \Psi_G + \tilde{c}_E \circ \alpha, \] où \(\alpha \colon \mathfrak{Z} \to M \to \pi_0\) est la projection et \(\tilde{c}_E \colon \pi_0 \to \mathrm{Hom}(\pi_0, \pi_1)\) la curryfication de \(c_E\). C'est juste : dans \(G_1\), un commutateur est le produit des commutateurs dans \(G\) et dans \(E\)⁸³ . Il faut donc choisir \(E\) de sorte que \(\Psi_G + \tilde{c}_E \alpha\) soit injectif.

Diviser la condition. Soit \(\mathfrak{Z}_0 = \operatorname{Ker}(\mathfrak{Z} \to \pi_0)\), l'ensemble des éléments de \(\mathfrak{Z}\) qui proviennent de \(H\). Sur \(\mathfrak{Z}_0\), le terme correctif s'annule, et \(\Psi_0 = \Psi_G|_{\mathfrak{Z}_0}\) ne dépend ni de \(G\) ni de \(E\) : il se calcule dans \(H\), sur lequel \(G\) agit à travers \(K\)⁸⁴ . On obtient :

• b)une condition préliminaire, indépendante de \(E\) : \(\Psi_0\) est injectif, c'est-à-dire \(N' = H \cap \mathrm{Cent}(G)\), le sous-groupe des éléments de \(H\) fixés par l'action de \(K\)⁸⁵ ;
• c)une condition qui dépend de \(E\) : l'application \(\overline{\Psi}_{G_1} \colon \mathfrak{Z}/\mathfrak{Z}_0 = \pi_0^{*} \to \mathrm{Hom}(\pi_0, \pi_1)/\Psi_0(\mathfrak{Z}_0)\) déduite de \(\Psi_{G_1}\) est injective, \(\pi_0^{*}\) désignant l'image de \(\mathfrak{Z}\) dans \(\pi_0\).

Les deux ensemble équivalent à l'injectivité de \(\Psi_{G_1}\). La phrase qui devait dire ce que c) impose à la classe de \(E\) reste inachevée⁸⁶ .

51–53

Que \(N\) soit exactement le groupe dérivé (pages 51 à 53)

On veut maintenant \(N = D(G)\). D'abord a) \(N \supset D(G)\), c'est-à-dire \(M'\) commutatif, d'où \(\pi_0\) commutatif. Soit \(\mathcal{D} = (N_{\mathrm{ab}})_M\) le groupe des coïnvariants sous \(M\) de l'abélianisé de \(N\), et \(N_0\) le noyau de \(N \to \mathcal{D}\) ; tout quotient \(N/N_1\) sur lequel \(G\) agit trivialement est un quotient de \(\mathcal{D}\). Dans \(G/N_0\), extension centrale de \(M'\) par \(\mathcal{D}\), le commutateur de deux relèvements définit une forme bilinéaire alternée, qui s'annule dès qu'un des arguments est dans \(d'(N')\) puisque \(N'\) est central : \[ \lambda_G \colon \pi_0 \otimes \pi_0 \longrightarrow \mathcal{D}, \qquad N/D(G) \simeq \mathcal{D}/\lambda_G(\pi_0 \otimes \pi_0) . \] La condition cherchée est donc que \(\lambda_G\) soit surjectif⁸⁷ . Quand on change \(G\) en \(G_1\) par l'extension \(E\), \[ \lambda_{G_1} = \lambda_G + \beta \circ c_E, \] où \(\beta \colon \pi_1 \to \mathcal{D}\) est le passage au quotient.

La page divise encore. Soit \(\mathcal{D}_0 = \operatorname{Coker}(\pi_1 \to \mathcal{D})\) et \(\lambda_0 \colon \pi_0 \otimes \pi_0 \to \mathcal{D}_0\) déduit de \(\lambda_G\) : il ne dépend pas de \(G\), puisqu'il se construit dans \(K = G/\pi_1\). Soit \(P = \operatorname{Ker}\lambda_0\) et \(\pi_{1*} = \operatorname{Im}(\pi_1 \to \mathcal{D})\) ; \(\lambda_G\) induit \(\overline{\lambda}_G \colon P \to \pi_{1*}\). Alors \(\lambda_G\) est surjectif si et seulement si

• b)\(\lambda_0\) est surjectif — condition indépendante de \(G\), qui signifie que \(N/\pi_1 = D(K)\), ou encore que \(d(N) = D(M)\) ;
• c)\(\overline{\lambda}_G \colon P \to \pi_{1*}\) est surjectif — condition qui dépend de \(G\), par la formule \(\overline{\lambda}_{G_1} = \overline{\lambda}_G + p\,c_E\,i\), où \(i\) est l'inclusion \(P \subset \pi_0 \otimes \pi_0\) et \(p\) la projection \(\pi_1 \to \pi_{1*}\).

L'équivalence de \(N/\pi_1 = D(K)\) et de \(d(N) = D(M)\), que la page marque « vérifier », est exacte⁸⁸ .

Le dossier s'arrête là. Ce qu'il a obtenu tient en peu de mots : une fois levée l'obstruction de la page 45, le groupe cherché est déterminé par le choix d'une extension centrale \(E\) de \(\pi_0\) par \(\pi_1\), et les deux conditions c) ne dépendent de \(E\) qu'à travers sa forme alternée \(c_E\), de façon affine. Pour des groupes abstraits, toute forme bilinéaire alternée \(\pi_0 \times \pi_0 \to \pi_1\) est la forme d'une extension centrale, et le problème devient un problème d'algèbre linéaire : trouver une forme alternée \(c\) qui rende \(\overline{\Psi}_G + \overline{\tilde{c}\alpha}\) injectif et \(\overline{\lambda}_G + p\,c\,i\) surjectif⁸⁹ . Le dossier ne le résout pas, et ne revient pas aux groupes formels.