Fonds Grothendieck, cote n° 132, pages 21–31

suite du paragraphe (B') de la page 20

\pi_1 G = \operatorname{Ker}\bigl(\pi_1(H) \longrightarrow \pi_0 N\bigr) au-dessus de cette flèche, « (connu) », avec un petit trait qui la désigne ; la formule est complétée en diagramme :

\begin{tikzcd} \pi_1(H) \arrow[r] \arrow[dd] & \pi_0 N \arrow[d, no head, "\parallel" description] \\ & N \\ \pi_0(\pi) = \pi \arrow[r, "\varphi"'] & \mathfrak{z}(N) \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

un double trait oblique part de \pi vers l'inclusion \mathfrak{z}(N) \subset N ; une flèche courbe renvoie de « car \pi discret » à l'égalité \pi_0(\pi) = \pi

car \pi discret

[Démonstr. : suite exacte d'homotopie pour ext. 1 \to \pi \to \widetilde{H} \to H \to 1] entre crochets, à gauche, relié par un trait à la flèche verticale \pi_1(H) \to \pi_0(\pi)

et on a

\begin{tikzcd} \pi_1 H \arrow[r] \arrow[d, "\partial"'] & N \arrow[r] & \pi_0 G \arrow[r] & \pi_0 H \arrow[r] & 1 \\ \pi \arrow[r, "\varphi"] & \mathfrak{z}(N) \arrow[u, hook] & & & \end{tikzcd}

au-dessus de la flèche \pi_1 H \to N, un mot désigné par un petit trait, connu

i.e. \pi_0 G est une extension de \pi_0 H par \operatorname{Coker}(\pi_1 H \to N)]. Or on a une extension G_0 de \mathfrak{G} par N (définie car \pi \subset \widetilde{H}_0) d'où, grâce à H \to \mathfrak{G} (i.e. \pi_0 H \to \mathfrak{G} (= \pi_0 \mathfrak{G}) car \mathfrak{G} discret) une extension G_1 de \pi_0 H par N ; « (définie car \pi \subset \widetilde{H}_0) » est ajouté sous la ligne ; le crochet fermant après N n'a pas d'ouvrant sur la page

faux mot en marge gauche, suivi d'une croix, avec un grand trait vertical qui embrasse la phrase suivante et sa formule

on vérifie alors que \pi_0 G \simeq \operatorname{Coker}\bigl(\pi_1 H \longrightarrow G_1\bigr)

\begin{tikzcd} \pi_1 H \arrow[r] \arrow[dd, "\partial"'] & G_1 \\ & N \arrow[u, hook] \\ \pi \arrow[r, "\varphi"] & \mathfrak{z}(N) \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

~~(D)~~ (C) Soit, sous les conditions de (A), H' \xrightarrow{\;u\;} H un hom. de groupes topologiques. On en déduit par images inverses une extension

\begin{tikzcd} (b') & 1 \arrow[r] & \pi \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \widetilde{H}' \arrow[r] \arrow[d] & H' \arrow[r] \arrow[d, "u"] & 1 \\ (b) & 1 \arrow[r] & \pi \arrow[r] & \widetilde{H} \arrow[r] & H \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

et désignant par \widetilde{H}'_0 l'image inverse de \widetilde{H}_0 par \widetilde{H}' \to \widetilde{H}, on trouve, posant \mathfrak{G}' = \widetilde{H}' / \widetilde{H}'_0 \hookrightarrow \mathfrak{G}, une suite exacte

\begin{tikzcd} (a') & 1 \arrow[r] & \widetilde{H}'_0 \arrow[r] \arrow[d] & \widetilde{H}' \arrow[r] \arrow[d] & \mathfrak{G}' \arrow[r] \arrow[d, hook] & 1 \\ (c) & 1 \arrow[r] & \widetilde{H}_0 \arrow[r] & \widetilde{H} \arrow[r] & \mathfrak{G} \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

dans la ligne (a'), un symbole biffé avant \widetilde{H}'_0 ; l'étiquette de la seconde ligne se lit « (c) », non « (a) » comme l'appariement avec (a') le ferait attendre

Considérons maintenant l'extension G' de H' par N image inverse de G par H' \to H

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & N \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & G' \arrow[r] \arrow[d] & H' \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\ 1 \arrow[r] & N \arrow[r] & G \arrow[r] & H \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

les deux lignes portent à gauche une étiquette entre parenthèses (la première accentuée), dont la lettre, réduite à un petit trait, est illisible :

son image inverse par \widetilde{H}'_0 \to H' est munie

\begin{tikzcd} \widetilde{H}'_0 \arrow[r] \arrow[d, dashed] & H' \arrow[d, dashed] \\ \widetilde{H}_0 \arrow[r] & H \end{tikzcd}

les deux flèches verticales sont pointillées ; la flèche \widetilde{H}_0 \to H est ondulée

de façon évidente d'une trivialisation stricte, (grâce à celle de l'image inverse de G par \widetilde{H}_0 \to H) donc elle est déterminée par

1°) une ext. \widetilde{G}'_0 de de \mathfrak{G}' par N 1 \longrightarrow N \longrightarrow \widetilde{G}''_0 \longrightarrow \mathfrak{G}' \longrightarrow 1 dans la suite exacte, l'objet du milieu porte deux accents, là où la ligne précédente n'en porte qu'un

2°) un hom. \pi \xrightarrow{\;\varphi'\;} \widetilde{G}'_0 qui centralise N et relevant \pi \to \mathfrak{G}' [donc, si \pi \subset \widetilde{H}'_0 d'où ~~\pi \to~~ \pi \to \mathfrak{G}' \subset \mathfrak{G} trivial, un hom. \pi \xrightarrow{\;\varphi'\;} \mathfrak{z}(N) \qquad ]

Ceci posé, on vérifie immédiatement que l'extension \widetilde{G}'_0 est l'image inverse de \widetilde{G}_0 par \mathfrak{G}' \to \mathfrak{G}, ~~et que~~ (donc \widetilde{G}'_0 \subset \widetilde{G}_0), et que \varphi' est induit par \varphi [donc, si \pi \subset \widetilde{H}_0, \varphi = \varphi' en tant que hom. \pi \to \mathfrak{z}(N)]

Si les conditions \beta) \gamma) sont vérifiées pour les données b), c), il en est de même pour les données. a'), b'), c') (\pi, N, \mathfrak{G}' discret, \pi \subset \widetilde{H}'_0) mais la condition \alpha (\widetilde{H}'_0 connexe et simplement connexe impliquée par , que \widetilde{H}'_0 soit connexe …) Mais comme \mathfrak{G}' est discret, il en est de même de \mathfrak{G}'_0, donc G'_0 comme un quotient de \pi_0 \widetilde{G}' les trois dernières lignes, depuis « Mais comme », sont barrées de quatre longs traits obliques ; l'accent de \widetilde{H}'_0 dans la condition \alpha ressemble à un astérisque

Les tirés à part

première page d'un tiré à part imprimé : Yves Ladegaillerie, « Classification topologique des plongements des 1-complexes compacts dans les surfaces », Note présentée par M. Henri Cartan, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 279 (22 juillet 1974), Série A, p. 129 — la seconde des deux Notes : §§ 7 (voisinages tubulaires, théorème 7.1, catégories TUB et TUBO), 8 (1-complexes circularisés, théorème 8.3) et début du § 9. Rien de sa main

p. 130 de la même Note : fin du § 9 (proposition 9.3), § 10 (\mathbf{Z}_2-1-complexes circularisés, théorème et corollaire), § 11 (cocircularisations, théorème 11.4, terminologie des circuits et des boucles). Rien de sa main

p. 131 de la même Note : fin du § 11, § 12 (classification des plongements, proposition 12.4) et § 13 (plongements minimaux, genre de K, théorème 13.5). Rien de sa main

p. 132 de la même Note : les trois références et l'adresse de l'auteur (USTL, Montpellier) ; le reste de la page est vide. Rien de sa main qui touche au texte

première page d'un second tiré à part : Yves Ladegaillerie, même titre, Note présentée par M. Henri Cartan, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 278 (27 mai 1974), Série A, p. 1401 — la première des deux Notes : § 1 (catégorie des 1-complexes à isotopie près, théorème 1.4) et § 2 (préliminaires topologiques, 2.1-2.4). Rien de sa main

p. 1402 de la même Note : proposition 2.5, § 3 (voisinage tubulaire standard d'un 1-complexe circularisé), § 4 (voisinage tubulaire d'un plongement, théorème 4.1, corollaire 4.2) et début du § 5. Rien de sa main

p. 1403 de la même Note : fin du § 5, théorème de classification 5.2, les quatre références et l'adresse de l'auteur. Rien de sa main