Cote n° 132 · pages 1–31 · Lecture modernisée · Plongements dans surfaces (Ladegaillerie) : notes manuscrites (s.d.), tirés à part (1974) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1974
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–31

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier compte trente et une pages : vingt de sa main, quatre blanches (4, 9, 12, 24), et sept pages imprimées (25 à 31), les tirés à part qui donnent au dossier son titre. Les pages manuscrites ne sont pas datées ; la date de l'inventaire, 1974, est celle des tirés à part.¹ Il n'y a pas un argument suivi, mais trois chantiers et un dépôt :

• Produits fibrés et groupoïdes — pages 1 à 3. Il porte sa propre pagination, (1) à (3), et va au bout.
• Les surfaces à trous comme groupoïdes — pages 5 à 11. Une 2-catégorie de « modèles » de surfaces à bord, le calcul de ses automorphismes, deux groupes de Teichmüller et une suite exacte (pages 5 à 8) ; puis la donnée combinatoire d'un 1-complexe sur une surface et le foncteur qui en fait un tel modèle (pages 10 et 11), qui s'interrompt.
• Extensions de groupes topologiques — pages 13 à 23. Une question (page 13), une réduction (pages 14 et 15), puis ses paragraphes cerclés (A) page 16, (B) page 19, (B') pages 20 et 21, (C) pages 22 et 23.² La page 18, intercalée au milieu, appartient en réalité au deuxième chantier : c'est un programme de classification des plongements de 1-complexes dans les surfaces.
• Les tirés à part — pages 25 à 31 : deux Notes d'Yves Ladegaillerie, rangées dans l'ordre inverse de leur parution.

Ce que les trois chantiers ont en commun : chacun remplace un objet topologique par sa donnée homotopique en basse dimension (un groupoïde, un groupe et ses lacets, un groupe discret de composantes) et cherche ce que ce remplacement perd.

Les conventions

Les trois chantiers emploient les mêmes lettres pour des choses différentes ; on les sépare ainsi.

Pages 1 à 3. \(f : X \to S\), \(g : Y \to S\), \(Z = X \times_S Y\) ; \(\Gamma = \pi_1(X, x_0)\), \(\Delta = \pi_1(Y, y_0)\), \(\Sigma = \pi_1(S, s_0)\), et \(f_* : \Gamma \to \Sigma\), \(g_* : \Delta \to \Sigma\) les morphismes induits.³ \(\Pi_1(X)\) est le groupoïde fondamental, \(\mathrm{B}\Gamma\) le groupoïde à un objet de groupe \(\Gamma\).⁴

Pages 5 à 11 et 18. \(G\) est le groupe fondamental d'une surface à bord, \((\ell_i)_{i \in I}\) ses lacets de bord, \(\varphi : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) le foncteur « bord » ; \(T\) et \(TS\) ses deux groupes de Teichmüller ; \(\mathfrak{S}_I\) le groupe symétrique.

Pages 13 à 23. \(1 \to N \to G \to H \to 1\) est une extension de groupes topologiques ; \(\pi\), \(\widetilde{H}\), \(\widetilde{H}_0\), \(\mathfrak{G}\) sont les données du paragraphe (A) ; \(\mathfrak{z}(N)\) est le centre de \(N\) ; \(\varphi\) est l'homomorphisme \(\pi \to \mathfrak{z}(N)\) qui classe l'extension. Pour \(K\) un groupe topologique, \(K^0\) est la composante neutre.

Hypothèses générales du troisième chantier. Les pages ne les disent pas ; elles sont nécessaires à presque chaque phrase. Les groupes topologiques sont supposés localement connexes par arcs et semi-localement simplement connexes — les groupes de Lie le sont —, et les projections \(K \to K/L\) sur un quotient par un sous-groupe fermé distingué sont des fibrations de Serre ; \(\pi_0\) désigne les composantes connexes par arcs.⁵

Ce que le dossier annonce et n'établit pas

• la catégorie des 1-complexes topologiques de la page 11 et le foncteur de la page 10 sont posés, ni l'un ni l'autre n'est étudié ;
• le programme de la page 18 — classer les plongements d'un 1-complexe dans une surface et en calculer les groupes de symétries — s'arrête sur une flèche encadrée « à déterminer » ;
• l'affirmation de la page 21 sur \(\pi_0(G)\) est marquée en marge d'un mot lu « faux », et elle l'est en général ;
• le paragraphe (C) des pages 22 et 23 établit le changement de base, mais la phrase qui devait en tirer \(\pi_0\) du groupe obtenu est barrée ; le problème posé page 13 n'est donc pas résolu sur la page, bien que toutes les pièces y soient (on dit lesquelles à la fin).

1–2

Produit fibré d'espaces et produit fibré de groupoïdes (pages 1 à 3)

L'énoncé

Soient \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\) deux applications continues, et \(Z = X \times_S Y\). Les deux projections et la commutativité du carré donnent un foncteur \[ \theta : \Pi_1(Z) \longrightarrow \Pi_1(X) \overset{2}{\times}_{\Pi_1(S)} \Pi_1(Y) \] vers le produit fibré 2-catégorique des groupoïdes : ses objets sont les triplets \((x, y, \sigma)\) avec \(\sigma\) une flèche de \(f(x)\) vers \(g(y)\) dans \(\Pi_1(S)\), ses flèches les couples de flèches compatibles avec les \(\sigma\).⁶

Proposition (page 1). Si \(f\) est une fibration de Serre, \(\theta\) est essentiellement surjectif et plein : il induit une bijection sur les \(\pi_0\) et, en chaque point, une surjection sur les groupes fondamentaux.

On peut supposer \(X\), \(Y\), \(S\) connexes par arcs et non vides : chaque composante connexe par arcs de \(X\) se projette par une fibration de Serre sur une composante de \(S\), puisqu'un chemin de \(S\) se relève dès que son origine est atteinte.⁷ Choisissons \(y_0 \in Y\), \(s_0 = g(y_0)\), \(x_0 \in X\) au-dessus de \(s_0\), et posons \(\Gamma\), \(\Delta\), \(\Sigma\) comme dans les conventions.

Le modèle algébrique

À équivalence près, le produit fibré des groupoïdes est \(P = \mathrm{B}\Gamma \overset{2}{\times}_{\mathrm{B}\Sigma} \mathrm{B}\Delta\), qui se décrit explicitement : ses objets sont les éléments \(\sigma \in \Sigma\), et une flèche \(\sigma \to \sigma'\) est un couple \((a, b) \in \Gamma \times \Delta\) tel que \[ \sigma' = g_*(b)\, \sigma\, f_*(a)^{-1} . \] Autrement dit, \(\Gamma \times \Delta\) opère sur l'ensemble \(\Sigma\) par \((a, b) \cdot \sigma = g_*(b)\, \sigma\, f_*(a)^{-1}\), et \(P\) est le groupoïde de cette action. Ses classes d'isomorphie sont donc les doubles classes \(g_*(\Delta) \backslash \Sigma / f_*(\Gamma)\), et le groupe d'automorphismes de \(\sigma\) est son stabilisateur dans \(\Gamma \times \Delta\).⁸

Les composantes

La projection \(Z \to Y\) est une fibration de Serre (image inverse de \(f\)), de fibre \(F = f^{-1}(s_0)\). Sa suite exacte d'homotopie donne \(\pi_0(Z) = \pi_0(F) / \pi_1(Y)\), l'ensemble des orbites de l'action de \(\pi_1(Y)\) sur \(\pi_0(F)\) (puisque \(Y\) est connexe par arcs).⁹ De même, la fibration \(F \subset X \to S\) donne \(\pi_0(F) \simeq \Sigma / f_*(\Gamma)\). D'où \[ \pi_0(Z) \simeq \Delta \backslash \Sigma / \Gamma , \] qui est l'ensemble des classes de \(P\) : \(\theta\) est bijectif sur les \(\pi_0\).¹⁰

3–3

Les groupes fondamentaux : l'écart exact

Le groupoïde \(\Phi\) des objets \(\sigma \in \Sigma\), avec pour flèches \(\sigma \to \sigma'\) les \(a \in \Gamma\) tels que \(\sigma = \sigma' f_*(a)\), est la fibre homotopique de \(\mathrm{B}\Gamma \to \mathrm{B}\Sigma\) : son \(\pi_0\) est \(\Sigma / \Gamma\) et tous ses groupes d'automorphismes sont isomorphes à \(\operatorname{Ker} f_*\). Le foncteur \(\Pi_1(F) \to \Phi\) est bijectif sur les \(\pi_0\) et surjectif sur les \(\pi_1\), de noyau l'image de \(\pi_2(S)\) dans \(\pi_1(F)\), c'est-à-dire \(\operatorname{Coker}(\pi_2(X) \to \pi_2(S))\) : c'est la suite exacte d'homotopie de \(F \subset X \to S\).

Au point \(\sigma = 1\), le groupe d'automorphismes de \(P\) est \[ \pi_1(P, 1) = \{ (a, b) \in \Gamma \times \Delta \mid f_*(a) = g_*(b) \} , \] extension de \(g_*^{-1}(f_*\Gamma)\) par \(\operatorname{Ker} f_*\). Le groupe \(\pi_1(Z, z_0)\), \(z_0 = (x_0, y_0)\), est extension du même groupe \(g_*^{-1}(f_*\Gamma)\) — l'image de \(\pi_1(Z) \to \pi_1(Y)\) — par \(\operatorname{Coker}(\pi_2(Y) \to \pi_1(F))\). En comparant les deux :

Proposition (page 3). Le morphisme \(\pi_1(Z, z_0) \to \pi_1(P, 1)\) est surjectif, de noyau \[ \operatorname{Coker}\bigl(\pi_2(X, x_0) \times \pi_2(Y, y_0) \longrightarrow \pi_2(S, s_0)\bigr) , \] le quotient de \(\pi_2(S)\) par la somme des images de \(\pi_2(X)\) et de \(\pi_2(Y)\). C'est un isomorphisme si et seulement si \(\pi_2(X) \times \pi_2(Y) \to \pi_2(S)\) est surjectif.¹¹

C'est, en termes d'aujourd'hui, la suite exacte de Mayer–Vietoris d'un produit fibré homotopique — \(Z\) en est un, puisque \(f\) est une fibration — comparée à celle du produit fibré des groupoïdes, qui s'arrête en degré 1.¹²

Enfin, si \(X\), \(Y\), \(S\) n'ont pas de \(\pi_i\) pour \(i \geqslant 2\), il en est de même de \(F\) (par \(\pi_{i+1}(S) \to \pi_i(F) \to \pi_i(X)\)), donc de \(Z\) ; la condition sur \(\pi_2\) est alors vide, et \(\theta\) est une équivalence : pour des espaces de type \(K(\pi, 1)\), le groupoïde du produit fibré est le produit fibré des groupoïdes.¹³

5–5

Les surfaces à trous comme groupoïdes (pages 5 à 8)

La 2-catégorie des modèles

Un modèle est un triplet \((\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi)\) : \(\mathcal{D}\) un groupoïde dont chaque composante a un groupe fondamental infini cyclique muni d'un générateur (une orientation), \(\mathcal{C}\) un groupoïde, \(\varphi : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un foncteur. Le modèle à avoir en tête est \(\mathcal{C} = \Pi_1(\Sigma)\), \(\mathcal{D} = \Pi_1(\partial\Sigma)\) pour une surface compacte orientée \(\Sigma\), les composantes du bord orientées comme bord, et \(\varphi\) induit par l'inclusion.¹⁴

Une 1-flèche \((\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi) \to (\mathcal{C}', \mathcal{D}', \varphi')\) est un triplet \((u, v, \alpha)\) : une équivalence \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) compatible aux orientations, une équivalence \(v : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\), et un isomorphisme naturel \(\alpha : \varphi' u \Rightarrow v \varphi\). Une 2-flèche \((u_1, v_1, \alpha_1) \Rightarrow (u_2, v_2, \alpha_2)\) est un couple \((\lambda, \mu)\) d'isomorphismes naturels \(\lambda : u_1 \Rightarrow u_2\), \(\mu : v_1 \Rightarrow v_2\), tel que le carré \[ \begin{array}{ccc} \varphi' u_1 & \xrightarrow{\ \varphi' \ast \lambda\ } & \varphi' u_2 \\ {\scriptstyle \alpha_1} \big\downarrow & & \big\downarrow {\scriptstyle \alpha_2} \\ v_1 \varphi & \xrightarrow{\ \mu \ast \varphi\ } & v_2 \varphi \end{array} \] commute.

La forme normale

Si \(\mathcal{C}\) est connexe et \(\mathcal{D}\) non vide, le modèle est équivalent à un modèle où \(\mathcal{C} = \mathrm{B}G\) et \(\mathcal{D} = \coprod_{i \in I} \mathrm{B}\mathbb{Z}\) ; \(\varphi\) est alors donné par des éléments \(\ell_i = \varphi_i(1) \in G\), les lacets de bord. Pour une surface de genre \(g\) à \(n = \operatorname{card} I \geqslant 1\) trous, \(G\) est libre de rang \(2g + n - 1\), présenté par \(\langle a_1, b_1, \dots, a_g, b_g, \ell_1, \dots, \ell_n \mid [a_1, b_1] \cdots [a_g, b_g]\, \ell_1 \cdots \ell_n = 1 \rangle\).

Dans cette forme, et pour un second modèle \((G', (\ell'_{i'})_{i' \in I'})\), une 1-flèche est la donnée

• d'une bijection \(u : I \to I'\),
• d'un isomorphisme \(v : G \to G'\),¹⁵
• d'éléments \(\alpha(i) \in G'\) tels que \(v(\ell_i) = \alpha(i)\, \ell'_{u(i)}\, \alpha(i)^{-1}\) ;

et une 2-flèche \((u, v_1, \alpha_1) \Rightarrow (u, v_2, \alpha_2)\) (il n'y en a pas si \(u_1 \neq u_2\)) est un couple \((\lambda, \mu) \in \mathbb{Z}^I \times G'\) tel que \[ v_2 = \operatorname{int}(\mu) \circ v_1 , \qquad \alpha_2(i)^{-1}\, \mu\, \alpha_1(i) = {\ell'_{u(i)}}^{\lambda_i} \quad (i \in I). \]

6–6

Les composantes du groupe des automorphismes

Prenons les deux modèles égaux. Les auto-équivalences forment un groupe monoïdal (une Gr-catégorie) \(\underline{\mathrm{End}}\), dont on calcule le \(\pi_0\) et le \(\pi_1\).

Si \((u_1, v_1, \alpha_1)\) et \((u_2, v_2, \alpha_2)\) sont isomorphes, alors \(u_1 = u_2 = u\) et \(v_2 = \operatorname{int}(\mu) v_1\) pour un \(\mu \in G\) ; en écrivant \(v_2(\ell_i)\) de deux façons, on trouve que \(\alpha_2(i)^{-1} \mu\, \alpha_1(i)\) centralise \(\ell_{u(i)}\). Or, sauf pour le disque, chaque lacet de bord engendre un sous-groupe infini cyclique qui est son propre centralisateur.¹⁶ L'élément cherché est donc une puissance \(\ell_{u(i)}^{\lambda_i}\), et l'isomorphisme existe. D'où :

Proposition (page 6). \(\pi_0(\underline{\mathrm{End}})\) s'identifie au sous-groupe de \(\operatorname{Out}(G)\) formé des classes \(\overline{v}\) telles que, pour tout \(i\), \(\overline{v}(\ell_i)\) soit conjugué à l'un des \(\ell_j\).

La permutation \(u\) est en effet déterminée par \(\overline{v}\), car deux lacets de bord distincts ne sont jamais conjugués : leurs images dans l'abélianisé \(G_{\mathrm{ab}}\) sont déjà distinctes.¹⁷ Ce groupe est ce que la page appelle le groupe de Teichmüller à trous \(T(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi)\). On y reconnaît le groupe des classes d'isotopie d'homéomorphismes de la surface préservant l'orientation, les composantes du bord pouvant être permutées et l'isotopie n'étant pas astreinte à les fixer : c'est le théorème de Dehn–Nielsen–Baer pour les surfaces à bord.¹⁸

7–7

Le groupe fondamental

\(\pi_1(\underline{\mathrm{End}})\) est le groupe des automorphismes de l'identité \((\mathrm{id}, \mathrm{id}, 1)\) : les \((\lambda, \mu)\) avec \(\mu \in Z(G)\), le centre, et \(\mu = \ell_i^{\lambda_i}\) pour tout \(i\).

• Hors du disque et du cylindre, \(G\) est libre de rang au moins 2, de centre trivial, et les \(\ell_i\) sont d'ordre infini : \(\mu = 1\), \(\lambda = 0\), et \(\pi_1(\underline{\mathrm{End}}) = 0\).
• Pour le cylindre (sphère à deux trous), \(G \simeq \mathbb{Z}\), \(\ell_1 = 1\), \(\ell_2 = -1\) en notation additive, \(G\) est son propre centre, et \(\mu\) détermine \(\lambda = (\mu, -\mu)\) : \(\pi_1(\underline{\mathrm{End}}) = G \simeq \mathbb{Z}\), l'isomorphisme dépendant du choix d'un générateur.¹⁹
• Pour le disque (sphère à un trou), \(G = 1\) et \(\lambda \in \mathbb{Z}\) est libre : \(\pi_1(\underline{\mathrm{End}}) \simeq \mathbb{Z}\), canoniquement.

Les deux exceptions sont les deux surfaces dont le groupe d'homéomorphismes a des composantes non simplement connexes : le disque et le cylindre tournent sur eux-mêmes.

Le bord fixé : le groupe de Teichmüller spécial

Fixons maintenant \(\mathcal{D}\) : on ne garde que les 1-flèches avec \(u = \mathrm{id}\) et les 2-flèches avec \(\lambda = 0\). On obtient une Gr-catégorie \(\underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{D}}\) dont les objets sont les couples \((v, \alpha)\), \(v \in \operatorname{Aut} G\), \(\alpha \in G^I\), avec \(v(\ell_i) = \alpha(i)\, \ell_i\, \alpha(i)^{-1}\), et dont les flèches \((v_1, \alpha_1) \to (v_2, \alpha_2)\) sont les \(\mu \in G\) tels que \(v_2 = \operatorname{int}(\mu) \circ v_1\) et \(\alpha_2(i) = \mu\, \alpha_1(i)\). Deux objets isomorphes ont même classe \(\overline{v}\) dans \(\operatorname{Out}(G)\), et si \(v_2 = \operatorname{int}(\mu_0) v_1\), alors \(\alpha_2(i)^{-1} \mu_0\, \alpha_1(i)\) centralise \(\ell_i\).²⁰ On appelle \(TS\), groupe de Teichmüller spécial, le groupe \(\pi_0(\underline{\mathrm{End}}_{ \mathcal{D}})\). Son \(\pi_1\) est trivial dans tous les cas : un automorphisme de \((\mathrm{id}, 1)\) est un \(\mu\) avec \(\mu \cdot 1 = 1\).

8–8

La suite exacte (page 8)

Proposition (page 8). Il y a une suite \[ 0 \longrightarrow \mathbb{Z}^I \longrightarrow TS \xrightarrow{\ \Psi\ } T \longrightarrow \mathfrak{S}_I \longrightarrow 1 , \] où \(\Psi(v, \alpha) = \overline{v}\), \(T \to \mathfrak{S}_I\) envoie \(\overline{v}\) sur la permutation \(u\) qu'il induit sur les lacets de bord, et \(\mathbb{Z}^I \to TS\) envoie \(\lambda\) sur la classe de \((\mathrm{id}, (\ell_i^{\lambda_i})_i)\). Elle est exacte, sauf en \(\mathbb{Z}^I\) pour le disque et le cylindre :

• pour le cylindre, \(\operatorname{Ker} \Psi \simeq \mathbb{Z}\), quotient de \(\mathbb{Z}^2\) par l'antidiagonale, via la somme ;
• pour le disque, \(TS = 0\).

}

L'exactitude en \(T\) est immédiate : \(\overline{v}\) fixe chaque classe de conjugaison \([\ell_i]\) si et seulement si on peut choisir les \(\alpha(i)\). La surjectivité sur \(\mathfrak{S}_I\) ne découle pas des calculs de la page ; elle est vraie parce que toute permutation des composantes du bord d'une surface connexe orientable se réalise par un homéomorphisme préservant l'orientation.²¹ Pour le noyau de \(\Psi\) : un \((v, \alpha)\) avec \(\overline{v} = 1\) est isomorphe à un \((\mathrm{id}, \alpha)\), et alors \(\alpha(i)\) centralise \(\ell_i\), donc \(\alpha(i) = \ell_i^{\lambda_i}\) avec \(\lambda_i\) bien déterminé (hors du disque). Deux tels objets \((\mathrm{id}, (\ell_i^{\lambda_i}))\) et \((\mathrm{id}, (\ell_i^{\lambda'_i}))\) sont isomorphes si et seulement s'il existe \(\mu \in Z(G)\) avec \(\ell_i^{\lambda'_i} = \mu\, \ell_i^{\lambda_i}\) pour tout \(i\). Hors du cylindre, \(Z(G) = 1\) et \(\operatorname{Ker} \Psi \simeq \mathbb{Z}^I\). Pour le cylindre, la condition s'écrit \(\lambda'_1 = \lambda_1 + \mu\), \(\lambda'_2 = \lambda_2 - \mu\) : on identifie \(\lambda\) et \(\lambda'\) quand leur différence est dans l'antidiagonale, et \(\operatorname{Ker} \Psi \simeq \mathbb{Z}\) par la somme.²²

En termes d'aujourd'hui, \(TS\) est le groupe des classes d'applications de la surface relatif au bord (les homéomorphismes et les isotopies fixent le bord point par point), \(T\) celui où le bord est libre, et \(\mathbb{Z}^I\) est engendré par les twists de Dehn le long des composantes du bord ; la suite est la suite bien connue qui relie le groupe relatif au bord à celui de la surface où chaque bord est remplacé par une pointe, avec ses deux exceptions classiques : sur le cylindre, les deux twists de bord coïncident ; sur le disque, le twist de bord est isotope à l'identité relativement au bord (lemme d'Alexander).²³

10–10

Le modèle d'un 1-complexe sur une surface (pages 10 et 11)

La page 10 décrit les données combinatoires dont on fabrique un modèle. En marge, de bas en haut le long de toute la moitié supérieure : « catégorie \dots{} topologique des surfaces orientées ».²⁴ Les données sont :

• (a)un 1-complexe combinatoire \((\Sigma, \omega)\) muni d'une « circulation » ordinaire, c'est-à-dire d'un ordre cyclique des arêtes en chaque sommet — ce qu'on appelle aujourd'hui un graphe rubané —, sans points isolés ni « bandes » isolées ;
• (b)un groupoïde \(\Pi_b\) à nombre fini de composantes, de groupes fondamentaux infinis cycliques : les cercles isolés ;
• (c)un tel groupoïde \(\Pi_d\), orienté.

À ces données il associe :

• (a\('\))le 1-complexe orienté \(\partial_t(\Sigma, \omega)\) des « co-circuits » de \(\Sigma\), et le foncteur \(\varphi_0 : \Pi_1(\partial_t\Sigma) \to \Pi_1(\Sigma)\) ;
• (b\('\))pour chaque composante \(\Pi_b(i)\), de groupe \(\Lambda(i) \simeq \mathbb{Z}\), le groupoïde \(\widetilde{\Pi}_b(i) = \coprod_{\mathrm{Isom}(\mathbb{Z}, \Lambda(i))} \Pi_b(i)\) à deux composantes orientées, et \(\varphi_b : \widetilde{\Pi}_b \to \Pi_b\) ;
• (c\('\))\(\varphi_d : \Pi_d \to \mathrm{B}\,\pi_0(\Pi_d)\), qui écrase chaque composante sur un point ;

et le modèle \[ T\bigl((\Sigma, \omega), \Pi_d, \Pi_b\bigr) = \bigl(\Pi_1(\Sigma) \amalg \Pi_b \amalg \mathrm{B}\,\pi_0(\Pi_d),\ \Pi_1(\partial_t\Sigma) \amalg \widetilde{\Pi}_b \amalg \Pi_d,\ \varphi_0 \amalg \varphi_b \amalg \varphi_d\bigr) . \] Géométriquement, et c'est ainsi qu'on lit la page : le graphe rubané s'épaissit en une surface à bord dont les composantes du bord sont ses circuits de faces (les co-circuits) ; un cercle isolé s'épaissit en un cylindre, dont les deux bords sont le cercle parcouru dans ses deux orientations (d'où les deux composantes de \(\widetilde{\Pi}_b(i)\), et le cylindre de la page 7 avec \(\ell_1 = 1\), \(\ell_2 = -1\)) ; un point isolé s'épaissit en un disque, de groupoïde trivial, bordé par un cercle orienté. \(T\) associe ainsi à un 1-complexe le modèle de son voisinage tubulaire.²⁵

Sous un trait horizontal, la page commence la donnée d'un plongement : (d) un groupoïde \(\mathcal{C}'\), (e) un foncteur « bordant » \(\varphi' : \mathcal{D} \to \mathcal{C}'\), où \(\mathcal{D}\) est celui de \(T\). C'est, on le comprendra page 18, le modèle du complémentaire, recollé au voisinage tubulaire le long du bord.

11–11La page 11 ouvre la catégorie, « non strictifiée », des 1-complexes topologiques compacts « divisés » : des couples \((K_1, \Pi_b)\), \(K_1\) un 1-complexe sans cercles isolés et \(\Pi_b\) comme en (b), avec \[ \underline{\mathrm{Hom}}\bigl((K_1, \Pi_b), (K'_1, \Pi'_b)\bigr) \simeq \mathrm{Cat}\bigl(\mathrm{Isom}(K_1, K'_1)\bigr) \times \underline{\mathrm{Equ}}(\Pi_b, \Pi'_b) , \] la catégorie discrète des isomorphismes combinatoires, fois le groupoïde des équivalences. La formule court au bord de la feuille et le reste de la page est blanc.²⁶

13–13

Extensions de groupes topologiques : la question (page 13)

Soit une extension de groupes topologiques \[ (E) \qquad 1 \to N \to G \to H \to 1 \] et un morphisme \(u : H' \to H\) ; soit \(G' = G \times_H H'\) l'extension de \(H'\) par \(N\) obtenue par image inverse. La suite exacte d'homotopie de la fibration \(G \to H\) se termine par \[ (S) \qquad \pi_1 H \longrightarrow \pi_0 N \longrightarrow \pi_0 G \longrightarrow \pi_0 H \longrightarrow 1 , \] de même \((S')\) pour \(G'\), et \(u\) induit un morphisme \((S') \to (S)\). Le carré de droite donne \[ c : \pi_0 G' \longrightarrow \pi_0 G \times_{\pi_0 H} \pi_0 H' , \] toujours surjectif (on relève dans \(G\) un chemin de \(H\) joignant deux points de même composante), mais pas toujours injectif : la seule connaissance de \((S)\) et de \(u\) en degrés \(0\) et \(1\) ne détermine pas \(\pi_0 G'\).

Le problème : trouver des données algébriques simples attachées à \((E)\) qui, jointes à \(\pi_0 u\) et \(\pi_1 u\), déterminent \(\pi_0 G'\) à isomorphisme près.²⁷

14–14

Réduction, et le cas d'une base connexe (pages 14 et 15)

\(\alpha\)) Réduction au cas \(N\) discret

La composante neutre \(N^0\) est caractéristique dans \(N\), donc distinguée dans \(G\) et dans \(G'\). Remplaçons \(G\) par \(G/N^0\), extension de \(H\) par \(N/N^0 = \pi_0 N\) ; l'image inverse de \(G/N^0\) par \(u\) est \(G'/N^0\), et la base \(H\), \(H'\), \(u\) ne change pas. Comme \(N^0\) est connexe, \(\pi_0 G \to \pi_0(G/N^0)\) et \(\pi_0 G' \to \pi_0(G'/N^0)\) sont bijectifs, et \(\pi_1 G \to \pi_1(G/N^0)\) est surjectif.²⁸ Le problème ne change pas : on peut supposer \(N\) discret.

Alors \(G \to H\) est un revêtement, \((S)\) se lit \[ \pi_i G \simeq \pi_i H \ (i \geqslant 2), \qquad \pi_1 G = \operatorname{Ker}(\varphi), \qquad 1 \to \operatorname{Coker}(\varphi) \to \pi_0 G \to \pi_0 H \to 1 , \] où \(\varphi : \pi_1 H \to N\) est le bord de la suite d'homotopie. Son image est contenue dans le centre \(\mathfrak{z}(N)\) : si \((g_t)\) est un chemin de \(G\) issu de \(1\), la conjugaison par \(g_t\) sur le groupe discret \(N\) est constante, donc l'extrémité d'un relèvement de lacet commute à \(N\).²⁹ Pour \(G'\), le bord est \(\varphi' = \varphi \circ \pi_1 u\), connu dès que \(\varphi\) et \(\pi_1 u\) le sont. Il reste à déterminer l'extension \(\pi_0 G'\) de \(\pi_0 H'\) par \(R' = \operatorname{Coker}(\varphi')\).

15–15

Le noyau de \(c\)

L'image inverse de l'extension \(\pi_0 G\) par \(\pi_0 H' \to \pi_0 H\) est \(\pi_0 G \times_{\pi_0 H} \pi_0 H'\), extension de \(\pi_0 H'\) par \(R = \operatorname{Coker}(\varphi)\) — et non par \(R'\). Or \(R\) est le quotient de \(R'\) par \(\operatorname{Im} \varphi / \operatorname{Im} \varphi'\), d'où la suite exacte \[ 1 \longrightarrow \frac{\pi_1 H}{\operatorname{Ker} \varphi + \operatorname{Im} \pi_1(u)} \longrightarrow \pi_0 G' \xrightarrow{\ c\ } \pi_0 G \times_{\pi_0 H} \pi_0 H' \longrightarrow 1 . \] Elle dit exactement comment le défaut d'injectivité de \(c\) dépend de \(\pi_1 H\) et de \(\pi_1 u\) : c'est un quotient de \(\operatorname{Coker} \pi_1(u)\).³⁰

\(\beta\)) Cas \(H\) connexe

Soit \(\pi = \pi_1(H)\) et \(\widetilde{H}\) le revêtement universel de \(H\), extension de \(H\) par \(\pi\) ; \(\pi\) est discret et distingué dans le groupe connexe \(\widetilde{H}\), donc central. Alors :

Proposition (page 15). Si \(H\) est connexe et \(N\) discret, les extensions de \(H\) par \(N\) sont classées par les morphismes \(\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N)\), et chacune n'a que l'identité pour automorphisme d'extension. L'extension associée à \(\varphi\) est l'image directe \(\widetilde{H} \times^{\pi} N = (\widetilde{H} \times N) / \{ (\gamma, \varphi(\gamma)^{-1}) \}\).

En effet, l'application \(\widetilde{H} \to H\) se relève en un morphisme \(\widetilde{H} \to G\), dont l'image, connexe, centralise \(N\) ; d'où \(\widetilde{H} \times N \to G\), surjectif, de noyau le graphe de \(\varphi^{-1}\) sur \(\pi\). Un automorphisme d'extension est donné par une application continue de \(H\) connexe dans \(N\) discret, donc triviale.³¹ Pour \(u : H' \to H\) quelconque — et c'est la remarque utile, car \(H'\) n'a pas à être connexe —, \(G'\) s'obtient en tirant d'abord \(\widetilde{H}\) en \(H' \times_H \widetilde{H}\), extension de \(H'\) par \(\pi\), puis en poussant par \(\pi \to \mathfrak{z}(N) \subset N\).³²

16–16

(A) Le cadre général : base non connexe (pages 16 et 17)

Quand \(H\) n'est pas connexe, il n'a pas de revêtement universel au sens habituel. On se donne donc à la place :

• (a)l'extension \(1 \to N \to G \to H \to 1\), \(N\) discret ;
• (b)une extension de groupes topologiques \(1 \to \pi \to \widetilde{H} \to H \to 1\), \(\pi\) discret ;
• (c)un sous-groupe distingué \(\widetilde{H}_0\) de \(\widetilde{H}\) de quotient discret \(\mathfrak{G}\) : \(1 \to \widetilde{H}_0 \to \widetilde{H} \to \mathfrak{G} \to 1\).

On étudie, (b) et (c) fixés, les extensions \(G\) de \(H\) par \(N\) munies d'une trivialisation stricte de leur image inverse sur \(\widetilde{H}_0\), c'est-à-dire d'un morphisme \(\widetilde{H}_0 \to G\) qui relève \(\widetilde{H}_0 \to H\) et centralise \(N\).³³ Si \(\widetilde{H}_0\) est connexe et simplement connexe, une telle trivialisation existe et est unique : c'est la structure de revêtement.

Soit \(\widetilde{G} = G \times_H \widetilde{H}\), extension de \(\widetilde{H}\) par \(N\) ; elle contient \(\pi\) comme sous-groupe distingué centralisant \(N\), et \(G = \widetilde{G}/\pi\). Se donner \(G\) revient donc à se donner \(\widetilde{G}\) muni d'une trivialisation stricte sur \(\pi\) ; la structure supplémentaire de \(G\) revient à une trivialisation stricte de \(\widetilde{G}\) sur \(\widetilde{H}_0\). Or une extension de \(\widetilde{H}\) par \(N\) strictement trivialisée sur \(\widetilde{H}_0\) est la même chose qu'une extension \[ 1 \longrightarrow N \longrightarrow \widetilde{G}_0 \longrightarrow \mathfrak{G} \longrightarrow 1 \] (on retrouve \(\widetilde{G} = \widetilde{H} \times_{\mathfrak{G}} \widetilde{G}_0\), et \(\widetilde{G}_0 = \widetilde{G} / \widetilde{H}_0\)).

17–17Il reste la trivialisation sur \(\pi\). Dans ces termes, c'est un morphisme \(\varphi : \pi \to \widetilde{G}_0\) qui relève le composé \(\pi \subset \widetilde{H} \to \mathfrak{G}\), centralise \(N\), et est équivariant pour les actions de conjugaison.³⁴ Cas particulier : si \(\pi \subset \widetilde{H}_0\), le composé \(\pi \to \mathfrak{G}\) est trivial, et \(\varphi\) est un morphisme \[ \varphi : \pi \longrightarrow \mathfrak{z}(N) , \] équivariant pour l'action de \(\mathfrak{G}\) — sur \(\pi\) par conjugaison dans \(\widetilde{H}\), sur \(\mathfrak{z}(N)\) par conjugaison dans \(\widetilde{G}_0\). D'où, dans ce cas, la classification : \[ \bigl\{ G \text{ muni de sa trivialisation sur } \widetilde{H}_0 \bigr\} \ \simeq\ \bigl\{ (\widetilde{G}_0, \varphi) \bigr\} , \] les couples formés d'une extension \(\widetilde{G}_0\) de \(\mathfrak{G}\) par \(N\) et d'un \(\mathfrak{G}\)-morphisme \(\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N)\).³⁵

Suivent, sous un trait, des brouillons barrés de longues obliques (les suites de \(\widetilde{H}\) et d'un \(\widetilde{H}'\) au-dessus de \(H'\), une grille de sous-groupes), puis trois lignes que la même oblique traverse sans qu'il soit sûr qu'elle les annule : l'ensemble des extensions est un « espace homogène sous \(H^2(H, \mathfrak{z}(N))\) », avec le morphisme \(H^2(\mathfrak{G}, \mathfrak{z}N) \to H^2(H, \mathfrak{z}N)\) induit par \(H \to \mathfrak{G}\). C'est la théorie des extensions non abéliennes : à action extérieure fixée, les extensions d'un groupe par \(N\), s'il en existe, forment un espace principal homogène sous le \(H^2\) à coefficients dans le centre, et l'obstruction à leur existence est dans le \(H^3\).³⁶

18–18

Un programme : plonger un 1-complexe dans une surface (page 18)

Intercalée entre (A) et (B), la page 18 revient aux surfaces. Elle est organisée autour d'un schéma de sigles :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \mathrm{SO} & & & \\
& & \mathrm{PLO} \arrow[ul] \arrow[dl] \arrow[drr] & & \\
& \mathrm{TUBO} \arrow[dl] \arrow[r] & \mathrm{SOB} \arrow[dr, "\partial"] & & \mathrm{SOB} \arrow[dl, "-\partial"'] \\
\mathrm{Kc} & & & \mathrm{CO} &
\end{tikzcd}

Les sigles ne sont pas développés.³⁷ On les lit ainsi : PLO, les plongements d'un 1-complexe \(K\) dans une surface orientée ; SO, les surfaces orientées ; TUBO, les voisinages tubulaires orientés ; Kc, les 1-complexes circularisés (graphes rubanés) ; SOB, les surfaces orientées à bord ; CO, les collections finies de cercles orientés. Le schéma dit alors qu'un plongement, c'est la surface ambiante, le voisinage tubulaire du complexe (qui détermine le graphe rubané, et réciproquement à équivalence près), et le complémentaire du voisinage, recollés le long du bord où les deux orientations s'opposent : le \(\partial\) et le \(-\partial\) du schéma. C'est le complément, en termes de modèles, de la page 10.

Autour du schéma, les annotations décomposent le problème des symétries :

• les complexes hypercirculaires : un complexe circularisé \(K\) avec une partition de l'ensemble \(\mathrm{Circ}(K)\) de ses circuits et un genre \(g \in \mathbb{N}\) par bloc — chaque bloc de circuits borde une composante du complémentaire, de genre \(g_i\) à \(n_i\) trous ;
• le groupe des symétries d'un plongement est une extension du groupe des symétries du complexe hypercirculaire par les groupes de Teichmüller des composantes du complémentaire, et cette extension est connue dès qu'on connaît ces groupes séparément, les morphismes canoniques \(\mathbb{Z}^{n_i} \to\) (centre), et les extensions \(1 \to T_{g_i, n_i} \to L_{g_i, n_i} \to \mathfrak{S}_{n_i} \to 1\) ;³⁸
• tout se ramène aux groupes de Teichmüller « à trous » ordinaires \(T_{g,n}\) et aux groupes de symétries des 1-complexes circularisés connexes.

« Le calcul des \(g_i n_i\) est donné par Yves » : le genre et le nombre de trous des morceaux.³⁹ La page se termine sur ce qu'il reste à déterminer, encadré : \[ \operatorname{Aut}_{\mathrm{Circ}}(K) \longrightarrow \operatorname{Aut}\bigl(T_{?}(K)\bigr) \simeq T_{g,n} , \] l'action des symétries d'un complexe circularisé sur le groupe de Teichmüller de son épaississement.⁴⁰ Le dossier ne le détermine pas.

19–19

(B) Le cas du revêtement universel (pages 19 et 20)

Supposons à la fois

• \(\alpha\))\(\widetilde{H}_0\) connexe et simplement connexe ;
• \(\beta\))\(\pi \subset \widetilde{H}_0\) ;
• \(\gamma\))\(\pi\), \(N\), \(\mathfrak{G}\) discrets.

Comme \(\mathfrak{G}\) est discret, \(\widetilde{H}_0\) est ouvert ; connexe, il est la composante neutre \(\widetilde{H}^0\), et \(\mathfrak{G} = \pi_0 \widetilde{H}\). Comme \(\pi \subset \widetilde{H}_0\), \(H = \widetilde{H}/\pi\) est extension de \(\mathfrak{G} = \pi_0(H)\) par \(H^0 = \widetilde{H}_0/\pi\) ; et comme \(\pi\) est discret et \(\widetilde{H}_0\) simplement connexe, \(\widetilde{H}_0\) est le revêtement universel de \(H^0\), avec \(\pi = \pi_1(H^0) = \pi_1(H)\). La situation équivaut donc à la donnée de :

• 1°)un groupe topologique \(H\), extension du groupe discret \(\mathfrak{G} = \pi_0(H)\) par le groupe connexe \(H^0\), de revêtement universel \(\widetilde{H^0}\), extension de \(H^0\) par \(\pi = \pi_1(H^0)\) ;
• 2°)une extension \(\widetilde{H}\) de \(H\) par \(\pi\) qui prolonge \(\widetilde{H^0}\) — un « revêtement universel » du groupe non connexe \(H\) ;
• 3°)le groupe discret \(N\).

Une telle extension \(\widetilde{H}\) n'existe pas toujours et n'est pas unique. Si elle existe, les autres s'en déduisent par l'action de \(H^2(\mathfrak{G}, \pi)\), et l'obstruction à son existence est dans \(H^3(\mathfrak{G}, \pi)\) — « sauf erreur », dit la page. Elle existe si \(H\) est un produit semi-direct \(\mathfrak{G} \ltimes H^0\) : on prend \(\widetilde{H} = \mathfrak{G} \ltimes \widetilde{H^0}\), l'action de \(\mathfrak{G}\) se relevant au revêtement universel.⁴¹

Proposition (page 19). Sous \(\alpha\)), \(\beta\)), \(\gamma\)), la catégorie des extensions de \(H\) par \(N\) est équivalente à celle des couples \((\widetilde{G}_0, \varphi)\), où \(\widetilde{G}_0\) est une extension de \(\mathfrak{G}\) par \(N\) et \(\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N)\) un \(\mathfrak{G}\)-morphisme.

C'est le cas particulier de (A), puisque sous \(\alpha\)) la trivialisation sur \(\widetilde{H}_0\) existe et est unique. On a \(\widetilde{G}_0 = \pi_0 \widetilde{G}\), la composante neutre de \(\widetilde{G}\) s'envoyant isomorphiquement sur \(\widetilde{H}^0\).⁴² Pour \(H\) connexe, on retrouve la proposition de la page 15.

20–20

La construction explicite, et \(\pi_0(G)\)

Réciproquement, \(G\) se construit ainsi à partir de \((\widetilde{G}_0, \varphi)\). Soit \(G_!\) l'image inverse de \(\widetilde{G}_0\) par \(H \to \mathfrak{G}\), extension de \(H\) par \(N\). Le \(\mathfrak{G}\)-morphisme \(\varphi\) pousse l'extension \(\widetilde{H}\) de \(H\) par \(\pi\) en une extension \(\widetilde{H}^{\varphi}\) de \(H\) par \(\mathfrak{z}(N)\), où \(H\) opère sur \(\mathfrak{z}(N)\) à travers \(\mathfrak{G}\) comme il le fait par l'intermédiaire de \(G_!\).⁴³ Le produit contracté de \(G_!\) et de \(\widetilde{H}^{\varphi}\) — le quotient de \(G_! \times_H \widetilde{H}^{\varphi}\) par l'antidiagonale de \(\mathfrak{z}(N)\) — est le \(G\) cherché : c'est l'action de \(H^2(H, \mathfrak{z}(N))\) sur les extensions de lien fixé de la page 17.

Comme \(G\) est un revêtement de \(H\), \(\pi_i(G) \simeq \pi_i(H)\) pour \(i \geqslant 2\) et \(\pi_1(G) = \operatorname{Ker}(\pi_1 H \to N)\), où le bord \(\pi_1(H) = \pi \to N\) est \(\varphi\) suivi de \(\mathfrak{z}(N) \subset N\). Donc \(\pi_0 G\) est extension de \(\mathfrak{G}\) par \(\operatorname{Coker}(\varphi)\), et plus précisément \[ \pi_0(G) \simeq \operatorname{Coker}(\pi \to \widetilde{G}_0) = \widetilde{G}_0 / \varphi(\pi) , \] \(\varphi(\pi)\) étant distingué dans \(\widetilde{G}_0\) par équivariance.⁴⁴ C'est la réponse à la question de la page 13 pour un tel \(G\).

20–21

(B\('\)) Sans l'hypothèse \(\alpha\)) (pages 20 et 21)

Supposons seulement \(\beta\)) et \(\gamma\)) : \(\pi\), \(N\), \(\mathfrak{G}\) discrets, \(\pi \subset \widetilde{H}_0\), mais \(\widetilde{H}_0\) pas nécessairement connexe ni simplement connexe.⁴⁵ Ce cas compte, parce que c'est celui qu'on obtient par changement de base, au paragraphe (C). \(N\) étant discret, on a encore \(\pi_i(G) \simeq \pi_i(H)\) pour \(i \geqslant 2\), et \[ \pi_1(G) = \operatorname{Ker}\bigl(\pi_1(H) \to N\bigr) , \] où le bord se factorise par \(\pi_1(H) \xrightarrow{\partial} \pi_0(\pi) = \pi \xrightarrow{\varphi} \mathfrak{z}(N) \subset N\), \(\partial\) étant le bord de la suite d'homotopie de \(1 \to \pi \to \widetilde{H} \to H \to 1\). La suite \(\pi_1 H \to N \to \pi_0 G \to \pi_0 H \to 1\) fait de \(\pi_0 G\) une extension de \(\pi_0 H\) par \(\operatorname{Coker}(\varphi \partial)\).

L'image de \(\partial\) est \(\pi \cap \widetilde{H}^0\) (suite exacte \(\pi_1(H) \to \pi \to \pi_0(\widetilde{H})\)). L'extension \(\widetilde{G}_0\) de \(\mathfrak{G}\) par \(N\) est encore définie, puisque \(\pi \subset \widetilde{H}_0\) ; par \(\pi_0 H \to \mathfrak{G}\) elle donne une extension \(G_1 = \pi_0 H \times_{\mathfrak{G}} \widetilde{G}_0\) de \(\pi_0 H\) par \(N\). La page affirme ensuite \(\pi_0 G \simeq \operatorname{Coker}(\pi_1 H \to G_1)\), et marque la phrase en marge d'un mot lu « faux », suivi d'une croix. Ce qui tient est ceci :

Proposition (lecture, page 21). Le morphisme \(G \to \widetilde{G}_0/\varphi(\pi)\) induit une suite exacte \[ 1 \longrightarrow \varphi(\pi) / \varphi(\pi \cap \widetilde{H}^0) \longrightarrow \pi_0 G \longrightarrow G_1 / \varphi(\pi) \longrightarrow 1 . \] En particulier \(\pi_0 G \simeq G_1 / \varphi(\pi)\) si et seulement si \(\varphi(\pi) = \varphi(\pi \cap \widetilde{H}^0)\), ce qui a lieu sous \(\alpha\)).

En effet, \(G = \widetilde{G}/\pi\) et \(\widetilde{G} \to \widetilde{G}_0\) envoie \(\pi\) sur \(\varphi(\pi)\) ; d'où \(G \to \widetilde{G}_0/\varphi(\pi)\), compatible à \(G \to H \to \mathfrak{G}\), qui se factorise par \(\pi_0 G\) et donne \(\pi_0 G \to \pi_0 H \times_{\mathfrak{G}} (\widetilde{G}_0/\varphi(\pi)) = G_1/\varphi(\pi)\), surjectif ; et les noyaux sur \(\pi_0 H\) sont \(N/\varphi(\pi \cap \widetilde{H}^0)\) et \(N/\varphi(\pi)\).⁴⁶

22–23

(C) Le changement de base (pages 22 et 23)

Plaçons-nous sous les données (A), et soit \(u : H' \to H\) un morphisme de groupes topologiques. Par image inverse on obtient \(\widetilde{H}' = \widetilde{H} \times_H H'\), extension \((b')\) de \(H'\) par le même \(\pi\) ; on note \(\widetilde{H}'_0\) l'image inverse de \(\widetilde{H}_0\) et \(\mathfrak{G}' = \widetilde{H}'/\widetilde{H}'_0\), qui s'injecte dans \(\mathfrak{G}\) ; c'est la suite \((a')\).⁴⁷ L'extension \(G' = G \times_H H'\) hérite d'une trivialisation stricte sur \(\widetilde{H}'_0\), image inverse de celle de \(G\) sur \(\widetilde{H}_0\). Par (A), \(G'\) est donc déterminée par

• 1°)une extension \(\widetilde{G}'_0\) de \(\mathfrak{G}'\) par \(N\) ;
• 2°)un morphisme \(\varphi' : \pi \to \widetilde{G}'_0\) centralisant \(N\) et relevant \(\pi \to \mathfrak{G}'\) — donc, si \(\pi \subset \widetilde{H}'_0\), un morphisme \(\pi \to \mathfrak{z}(N)\).⁴⁸

Proposition (page 23). \(\widetilde{G}'_0\) est l'image inverse de \(\widetilde{G}_0\) par \(\mathfrak{G}' \hookrightarrow \mathfrak{G}\) (c'est donc un sous-groupe de \(\widetilde{G}_0\)), et \(\varphi'\) est induit par \(\varphi\) ; si \(\pi \subset \widetilde{H}_0\), \(\varphi' = \varphi\) comme morphisme \(\pi \to \mathfrak{z}(N)\).

En effet \(\widetilde{G}' = \widetilde{H}' \times_{\mathfrak{G}} \widetilde{G}_0\), et son quotient par \(\widetilde{H}'_0\) est \(\mathfrak{G}' \times_{\mathfrak{G}} \widetilde{G}_0\). Les conditions \(\beta\)) et \(\gamma\)) passent aux données \((a')\), \((b')\), \((c')\) — \(\pi \subset \widetilde{H}'_0\) équivaut à \(\pi \subset \widetilde{H}_0\) —, mais pas \(\alpha\)) : \(\widetilde{H}'_0\) n'a aucune raison d'être connexe. D'où le paragraphe (B\('\)). La phrase suivante, qui commençait à en tirer \(\pi_0\), est barrée de quatre longs traits.⁴⁹

Ce que les pièces donnent

Le dossier ne l'écrit pas, mais les pièces suffisent à répondre à la question de la page 13, sous \(\alpha\)), \(\beta\)), \(\gamma\)) pour \(H\). Par (C), \(G'\) correspond au couple \((\widetilde{G}_0 \times_{\mathfrak{G}} \mathfrak{G}', \varphi)\) ; par la proposition de la page 21 appliquée à \(G'\), avec \(G'_1 = \pi_0 H' \times_{\mathfrak{G}} \widetilde{G}_0\), \[ 1 \longrightarrow \varphi(\pi) / \varphi(\pi \cap \widetilde{H}'^{\,0}) \longrightarrow \pi_0 G' \longrightarrow G'_1 / \varphi(\pi) \longrightarrow 1 , \] et \(\pi \cap \widetilde{H}'^{\,0}\) est l'image de \(\pi_1(H') \to \pi_1(H) = \pi\). Les données sont donc : l'extension \(\widetilde{G}_0\) de \(\mathfrak{G}\) par \(N\), le \(\mathfrak{G}\)-morphisme \(\varphi\), et \(u\) en degrés \(0\) et \(1\) — ce que la page 13 demandait. Le noyau de gauche est un quotient de \(\operatorname{Coker} \pi_1(u)\), comme à la page 15.⁵⁰

25–31

Les tirés à part (pages 25 à 31)

Le dossier se termine par deux Notes imprimées d'Yves Ladegaillerie, « Classification topologique des plongements des 1-complexes compacts dans les surfaces », présentées par Henri Cartan aux Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, série A. Les pages 25 à 28 sont la seconde Note (t. 279, 22 juillet 1974, p. 129-132, §§ 7 à 13 : voisinages tubulaires et catégories TUB et TUBO, 1-complexes circularisés, cocircularisations, classification des plongements, plongements minimaux et genre de \(K\)) ; les pages 29 à 31 la première (t. 278, 27 mai 1974, p. 1401-1403, §§ 1 à 5 : catégorie des 1-complexes à isotopie près, préliminaires, voisinage tubulaire d'un 1-complexe circularisé et d'un plongement, théorème de classification). Elles sont rangées dans l'ordre inverse de leur parution. On n'y trouve rien de sa main.⁵¹ Le vocabulaire des pages 10 et 18 — complexes circularisés, voisinages tubulaires orientés, circuits — est celui de ces Notes ; les pages manuscrites ne disent pas si elles les précèdent ou les suivent.