Cote n° 131 · pages 1–41 · Lecture modernisée · Foncteurs représentables par schéma quasi fini : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1971]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–41

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier compte quarante et une pages, dont vingt-quatre de sa main ; les autres sont blanches ou sont des feuillets de tapuscrits étrangers au sujet (des rédactions numérotées « n° 371 » et « n° 392 »), au dos desquels il a parfois écrit.¹ Il est ordonné à l'envers de sa logique, et il faut le savoir avant d'y entrer.

• Le théorème et sa démonstration — pages 1 à 5 : une première liste de huit conditions sur un foncteur \(F\), puis la démonstration, par récurrence sur la dimension de la base, qu'elles suffisent pour que \(F\) soit représentable par un schéma localement quasi fini et séparé.
• Des reformulations — pages 6 et 8 (la page 6 reformule la page 8, et lui est donc postérieure), puis leur preuve à la page 19 : les conditions de modularité réécrites avec des épaississements nilpotents et des immersions ouvertes.
• Le cas non ramifié — page 11 : une seconde liste, qui est le brouillon du Corollaire 2 de la page 15.
• L'énoncé au net — pages 13 à 16 : le Théorème, deux corollaires (le cas étale, le cas non ramifié), deux remarques, des exemples et des « applications en vue ».
• Les outils — pages 22 à 40 : la Proposition 1 et ses deux corollaires (un foncteur est représentable dès qu'il l'est sur les anneaux locaux, puis sur les anneaux artiniens), la Proposition 2 (recoller le point fermé d'une base locale complète au reste), la Proposition 3 (passer des anneaux locaux de la base à la base entière), et la notion de paire modulaire.

Que les pages 22 à 40 soient les « notes précédentes » que citent les pages 3 à 5, les numéros le disent : la démonstration de la page 3 renvoie au « cor 2 à prop. 1 », qui est le Corollaire 2 de la page 28 ; à la « prop. 2 des notes », qui est la Proposition 2 des pages 30 à 32 ; à la « prop. 3 des notes préc. » et à sa « condition de constructibilité », qui sont la Prop. 3 de la page 32.² Et les deux programmes notés en marge de la page 32 — « transformer 4°) en une condition plus facile à vérifier », avec une condition de dimension 1, et « transformer en une condition de modularité générique » — sont réalisés par le « critère de modularité a) locale » et « b) générique » de la page 1. Les conditions (2) et (4) du Théorème de la page 13 sont, de même, écrites pour nourrir le Corollaire 1 de la page 24 : elles ne sont demandées que pour \(B \to \widehat{B}\) et \(\widehat{B} = \varprojlim B_n\), qui sont les deux flèches de ce corollaire.

La datation est celle de l'inventaire, « vers 1971 » ; le dossier est rangé dans le groupe « Descentes », que l'inventaire date « avant 1970 ». Les deux ne s'accordent pas, et rien dans les pages ne tranche.

Les conventions

Schémas et foncteurs. Le manuscrit dit « préschéma » ; on écrit « schéma ». \(S\) est un schéma localement noethérien, \(\mathbf{Sch}_{/S}\) la catégorie des \(S\)-schémas, et \(F : \mathbf{Sch}_{/S}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Ens}\) un foncteur. Pour un \(S\)-schéma \(S'\), \(F_{S'}\) est la restriction de \(F\) aux \(S'\)-schémas. Pour \(a \in S\), on pose \(S_a = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S,a}\) et \(F_a = F_{S_a}\). On identifie un anneau \(A\) au-dessus de \(S\) à \(\operatorname{Spec} A\), et l'on écrit \(F(A)\).

Les numéros des conditions. Les conditions du Théorème sont numérotées (1) à (8) comme à la page 13. La liste de la page 1 est numérotée autrement ; la concordance est la suivante :

• page 1, 1° a) et b) : conditions (1) et (2) ;
• page 1, 2° et 3° : conditions (3) et (4) ;
• page 1, 4° : sans équivalent à la page 13 ; on l'appelle (E) ;
• page 1, 5° à 8° : conditions (5) à (8).

Aux pages 22 à 40, les conditions portent d'autres noms, qu'on garde : (L1) à (L4), (R\(_{\mathrm{loc}}\)), (R\(_0\)).³

Modulaire. C'est la notion centrale du dossier ; elle n'est définie qu'à la page 34, mais elle est employée dès la page 1, et on la fixe ici. Soit \(T\) un \(S\)-schéma local, de point fermé \(t\) au-dessus de \(s \in S\), et \(\eta \in F(T)\). On dit que \((T, \eta)\) est modulaire si, en gros, \(\eta\) est l'élément universel de \(F\) au voisinage du point qu'il définit : tout élément de \(F\) sur un schéma local qui « passe par le même point » provient de \(\eta\) par un unique morphisme local (définition exacte à la page 34, plus bas). Pour \(\xi \in F(Z)\) et \(z \in Z\), on dit que \(\xi\) est modulaire en \(z\) si \((\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{Z,z}, \xi_z)\) l'est. Lorsque \(F_a\) est représentable par un schéma \(X_a\) localement de type fini, \(\xi\) définit \(u : Z \to X_a\) près de \(z\), et \(\xi\) est modulaire en \(z\) si et seulement si \(\mathcal{O}_{X_a, u(z)} \to \mathcal{O}_{Z,z}\) est un isomorphisme : \(u\) est un isomorphisme local en \(z\). C'est plus fort qu'« étale en \(z\) », qu'il écrit souvent entre crochets comme forme affaiblie (« modulaire [ou tout au moins, étale] »).⁴ Pro-modulaire, qu'il emploie aux pages 4, 8 et 13 sans le définir, est lu ici comme la même condition restreinte aux \(T'\) artiniens : le complété de \(\mathcal{O}_{Z,z}\) pro-représente \(F\) au point considéré. Enfin « étale », pour \(\xi : Z \to F\) lorsque \(F\) n'est pas représentable, s'entend au sens de le relèvement infinitésimal (formellement étale et localement de présentation finie).

Ce que le dossier annonce et n'établit pas

• la suffisance des conditions du Théorème repose sur la démonstration des pages 3 à 5, dont la dernière étape s'arrête sur « on est ramené à vérifier la condition de constructibilité » : la déduction de cette condition à partir de (8) n'est pas écrite ;
• à la même démonstration, l'effectivité de la donnée de descente de l'étape (3) est affirmée sans argument ;
• le Lemme de la page 38 est énoncé sans démonstration, et la « proposition formelle » qui recolle les \(X^{(x)}\) à la page 40 est nommée, pas écrite ;
• la page 14 (« Immersion ouverte »), la Remarque 4 de la page 16, la condition (D) de la page 6 et la page 17 s'interrompent ;
• l'« exemple type » réclamé en marge de la page 13, qui montrerait que (8) ne découle pas des autres conditions, n'est pas donné ;
• les deux « applications en vue » de la page 16 sont annoncées, et la première est fausse telle qu'elle est écrite.

1–2

Une première liste de conditions (pages 1 et 2)

La page 1, marquée d'un « A » cerclé, pose huit conditions sur \(F\). On les donne dans la forme où la suite les emploie.

1. 1°\(F\) est un faisceau pour la topologie fpqc, c'est-à-dire : a) \(F\) est de nature locale pour la topologie de Zariski, et b) \(F\) satisfait la descente pour les morphismes fidèlement plats quasi compacts affines.
2. 2°\(F\) commute aux limites inductives filtrantes d'anneaux (propriété relative à \(S\)) : \(F\) est localement de présentation finie.
3. 3°\(F\) commute aux limites projectives adiques d'anneaux artiniens : pour \(B\) local noethérien complet, \(F(B) \to \varprojlim F(B/\mathfrak{m}^n)\) est bijective.
4. 4°Exactitude (E) : pour tout anneau local artinien \(A\) au-dessus de \(S\) et toute \(A\)-algèbre finie locale \(A' \supset A\) de même corps résiduel, avec \(A'/A\) de longueur 1 comme \(A\)-module, la suite \(F(A) \to F(A') \rightrightarrows F(A' \otimes_A A')\) est exacte.
5. 5°Pour tout corps \(k\) au-dessus de \(S\) et tout \(\xi \in F(k)\), \(F_k\) est pro-représentable en \(\xi\), et l'anneau qui le pro-représente est fini sur \(k\).
6. 6°\(F\) est séparé sur \(S\), au sens du critère valuatif.
7. 7°Critère de modularité local : pour tout \(S\)-schéma local noethérien complet \(S'\), tout \(S'\)-schéma local fini \(Z\) de point fermé \(t\), et tout \(\xi \in F(Z)\) modulaire pour \(F_{S'}\) en \(t\), \(\xi\) est modulaire (ou au moins étale) en tout point de \(Z\).
8. 8°Critère de modularité générique : pour tout \(S\)-schéma noethérien irréductible \(S'\), tout \(S'\)-schéma fini \(Z\) et tout \(\xi \in F(Z)\) modulaire pour \(F_{S'}\) en un point \(z\) au-dessus du point générique de \(S'\), il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(z\) dans \(Z\) en tout point duquel \(\xi\) est modulaire (ou au moins étale).

Les quatre premières sont réunies sur la page par une accolade et une mention au crayon, « conditions d'exactitude » ; deux notes marginales qualifient 5° de condition de « finitude ou discrétion » et 6° de « séparation ». Ce sont toutes des conditions nécessaires : un foncteur représentable par un schéma localement quasi fini et séparé les satisfait.⁵ Pour 5°, le mot « corps » est une correction au-dessus d'un premier « anneau local » biffé. Pour 7°, une note marginale ajoute qu'on peut se borner à \(S'\) irréductible de dimension 1, et un petit diagramme place \(\xi\) au-dessus de \(F_{S'} \to F\) :

\begin{tikzcd}
F \arrow[d] & F_{S'} \arrow[l] \arrow[d] & \\
S & S' \arrow[l, no head] & Z \arrow[l] \arrow[ul, "\xi"']
\end{tikzcd}

Une note au crayon, en travers de la ligne de 5°, sur \(F(k) \to F(X)\), est presque entièrement illisible et n'est pas lue ici.

La page 2, au crayon, indique ce qui change pour les foncteurs non ramifiés : remplacer 5° par la non-ramification de \(F\), et simplifier 4° et 5° en conséquence. C'est ce que fera le Corollaire 2 de la page 15.

3–5

La démonstration par récurrence sur la dimension (pages 3 à 5)

Les conditions sont stables par changement de base, et toutes, sauf (3), (5) et (6), sont de nature locale sur \(F\).⁶ La démonstration traite d'abord le cas \(\dim S < +\infty\), par récurrence, en quatre étapes.

(1) \(\dim S = 0\). On se ramène à \(S\) local artinien. Grâce à (E) et (5), on construit un schéma \(X\) localement quasi fini sur \(S\) — une somme de spectres d'anneaux artiniens finis sur \(S\) — et, grâce à (1) à (4), il représente \(F\). C'est le Corollaire 2 de la page 28, qui est cité (« cf. notes précédentes, cor 2 à prop. 1 »). Seules les conditions (1) à (5) et (E) ont servi.

(2) \(\dim S = n > 0\), \(S\) local complet. Soit \(s\) le point fermé et \(U = S \smallsetminus \{s\}\). Par l'hypothèse de récurrence, \(F_U\) est représentable par un \(X_U\).⁷ Grâce à (3) et (5), et parce que \(S\) est complet, on construit une famille de \(S\)-schémas finis \(X_i = \operatorname{Spec} B_i\), un par point de \(F_s\) ; grâce à (4), des morphismes \(u_i : X_i \to F\). La Proposition 2 des pages 30 à 32 ramène alors à vérifier que les restrictions \(u_i|_U : X_{i,U} \to X_U\) sont des immersions ouvertes, d'images deux à deux disjointes.

C'est là qu'interviennent (6) et (7). Par (7), il suffit que \(u_i\) soit modulaire au point fermé \(x_i\) de \(X_i\). Sa restriction à la fibre fermée l'est, de sorte que le corps \(k(x_i)\) est un corps de définition du point qu'il définit, et il reste la condition de modularité proprement dite. Il la contourne en démontrant d'abord le théorème sous une forme renforcée de (7), où l'on suppose seulement \(\xi\) pro-modulaire en \(z\) : c'est le cas de \(u_i\) par construction, puisque \(B_i\) pro-représente \(F\).⁸ Le reste de l'étape — que les \(u_i|_U\) soient des monomorphismes d'images disjointes, d'où des immersions ouvertes puisqu'ils sont étales — se fait par l'argument de la page 19 (plus bas) : le produit fibré \(X_i \times_F X_j\) est un sous-schéma fermé de \(X_i \times_S X_j\), fini sur le complet \(S\), qui coïncide formellement avec la diagonale si \(i = j\) et est formellement vide si \(i \neq j\) ; il est donc égal à la diagonale, ou vide.⁹ Enfin \(X\) est localement quasi fini sur \(S\) par construction, et séparé par (6).

(3) \(\dim S = n\), \(S\) local. Par l'étape (2), \(F_{\widehat{S}}\) est représentable par un \(X_{\widehat{S}}\) localement quasi fini et séparé sur le complété \(\widehat{S}\). La donnée de descente canonique relative à \(\widehat{S} \to S\) est effective, d'où un \(X\) sur \(S\), localement quasi fini et séparé ; par (2), il représente \(F\).¹⁰

(4) \(S\) quelconque. On utilise le

Lemme. Si \(F_{S_a}\) est représentable pour tout \(a \in S\), alors \(F\) est représentable.

La page 4 renvoie pour cela à la Proposition 3 de la page 32, et la page 5, une seule ligne au crayon, conclut : compte tenu de (1) et (3), on est ramené à vérifier la condition de constructibilité de cette proposition. Le dossier s'arrête là. La condition (8), le critère de modularité générique, est faite pour fournir cette constructibilité — la note marginale de la page 32 le dit en toutes lettres —, mais la déduction n'est écrite nulle part.¹¹

6–8

Épaississements et immersions ouvertes (pages 6 et 8)

Les deux pages reformulent les critères de modularité. La page 8 est la première : la page 6 renvoie à ses axiomes (A) et (B).

Les axiomes (A), (B), (C) (page 8)

Il garde les conditions (1) à (6) et remplace (7) et (8) par :

(A) Si \(S'\) est local noethérien complet (de dimension 1 si l'on veut), \(X\) fini sur \(S'\), et \(\xi : X \to F_{S'}\) pro-modulaire en un point \(z\) au-dessus du point fermé \(s'\) de \(S'\), alors \(\xi\) est une immersion ouverte — pourvu que \(F\) soit représentable au-dessus de \(S' \smallsetminus \{s'\}\).

(B) Si \(S'\) est noethérien sur \(S\), \(\xi : X \to F_{S'}\) et \(x \in X\) tels que \(\xi\) soit modulaire en \(x\), il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(\xi|_U : U \to F_{S'}\) soit une immersion ouverte.¹²

Pour \(F \to S\) un monomorphisme, (A) et (B) contiennent la condition (C) : pour tout \(S'\) noethérien sur \(S\) et tout \(\xi : X \to F_{S'}\), l'ensemble des points de \(X\) où \(\xi\) est étale est ouvert.¹³ Un lemme permet de supposer, dans (A) et (B), que \(X \to S'\) est une immersion fermée, définie si l'on veut par un idéal de carré nul. Si \(F \to S\) est non ramifié, (A) et (B) se réduisent donc à :

(C) Pour tout \(S'\) noethérien sur \(S\), toute immersion fermée \(S'_0 \to S'\) et tout \(\xi : S'_0 \to F_{S'}\), l'ensemble \(U\) des points où \(\xi\) est étale (et injectif) est ouvert ; c'est-à-dire :

• (C\(_1\))\(U\) est stable par générisation (condition équivalente à (A), dit-il) ;
• (C\(_2\))pour tout \(x \in U\), \(U \cap \overline{\{x\}}\) est un voisinage de \(x\) dans \(\overline{\{x\}}\).

L'équivalence est exacte dans un espace noethérien.¹⁴ La condition (C) est automatique si \(F \to S\) est étale.

La reformulation de la page 6

La page 6 réécrit (C\(_1\)) comme un critère d'extension, sous la forme d'une nouvelle condition 7° :

Pour tout \(S\)-schéma \(S'\) local noethérien complet irréductible de dimension 1, d'ouvert \(U = S' \smallsetminus \{\text{point fermé}\}\) schématiquement dense dans \(S'\), pour tout sous-schéma \(S'_0\) défini par un idéal nilpotent (de carré nul), et tout \(S'\)-morphisme \(\xi_0 : S'_0 \to F_{S'}\) : si \(\xi_0|_{U_0}\) se prolonge en \(\xi_U : U \to F_{S'}\), alors \(\xi_0\) se prolonge en \(\xi : S' \to F_{S'}\).

Elle est vide si \(F \to S\) est étale : le relèvement le long d'un épaississement nilpotent existe alors toujours. Et (C\(_2\)) se met sous la forme d'une nouvelle 8° : si \(S'\) est noethérien irréductible de point générique \(x\), \(S'_0\) un sous-schéma fermé contenant \(x\) et \(\xi : S'_0 \to F_{S'}\) modulaire — c'est-à-dire ici étale — en \(x\), alors \(\xi\) est modulaire sur un voisinage de \(x\).¹⁵

Suit, « revenant au cas général (pas nécessairement non ramifié) », une condition (D) qui devait remplacer (A) et (B) : pour \(S'\) noethérien sur \(S\), \(X\) fini sur \(S'\) et \(\xi : X \to F_{S'}\), l'ensemble des points où \(\xi\) est étale est ouvert, et de même pour \(X \times_{F_{S'}} X\) sur \(S'\), via la diagonale \(F \to F \times_S F\). Le bas de la page est un palimpseste où seuls quelques mots se lisent, et la condition n'est pas achevée.

11–11

Le cas non ramifié : une seconde liste (page 11)

La page 11 est le brouillon du Corollaire 2 de la page 15. Elle reprend (1) à (6) (la nature locale, la descente fidèlement plate quasi compacte, la commutation aux limites inductives, aux limites projectives d'anneaux artiniens, la pro-représentabilité universelle, la séparation), remplace (7) par « \(F\) non ramifié », et (8) par une condition d'extension sur les anneaux locaux de dimension 1, qu'on retrouvera sous sa forme juste à la page 15. Une condition (6°) sur les points à valeurs dans une extension \(K\), qui devaient provenir d'une sous-extension finie, est biffée.

Elle ajoute une condition nouvelle, numérotée (9°) :

(RG) Pour tout \(T\) noethérien irréductible sur \(S\), il existe un ouvert non vide \(U \subset T\) tel que \(F_U\) soit représentable.

C'est la condition de représentabilité générique que la page 16 nommera (RG). Une note marginale indique qu'elle peut se formuler plus faiblement, par une impossibilité de prolongement. Deux colonnes de notes verticales, dans la marge gauche, ne se lisent pas.

13–13

Le théorème (pages 13 à 16)

L'énoncé

Théorème. Soient \(S\) un schéma localement noethérien et \(F : \mathbf{Sch}_{/S}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Ens}\). Pour que \(F\) soit représentable par un \(S\)-schéma \(X\) localement quasi fini et séparé sur \(S\), il faut et il suffit que \(F\) satisfasse les conditions suivantes :

1. (1)\(F\) est de nature locale (un faisceau Zariski) ;
2. (2)\(F\) est compatible à la descente fidèlement plate quasi compacte ; il suffit de le demander pour \(B \to \widehat{B}\), où \(B\) est un anneau local noethérien au-dessus de \(S\) ;
3. (3)\(F\) commute aux limites inductives filtrantes d'anneaux ;
4. (4)\(F\) commute aux limites projectives d'anneaux artiniens de la forme \(\widehat{B} = \varprojlim B_n\), \(B\) comme dans (2) ;
5. (5)au-dessus de tout anneau artinien \(A\) sur \(S\), \(F\) est pro-représentable, et les anneaux qui le pro-représentent sont finis sur \(A\) ;
6. (6)\(F\) est séparé (critère valuatif) ;
7. (7)pour tout anneau local noethérien complet \(A\) sur \(S\), tout homomorphisme local fini \(A \to B\) et tout \(\xi \in F(B)\) modulaire au point fermé, \(\xi_{\mathfrak{p}} \in F(B_{\mathfrak{p}})\) est modulaire pour tout \(\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} B\) ;
8. (8)pour tout \(S\)-schéma noethérien irréductible \(S'\), tout \(S'\)-schéma fini \(Z\), tout \(\xi \in F(Z)\) et tout point \(z \in Z\) au-dessus du point générique de \(S'\) en lequel \(\xi\) est modulaire, il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(z\) dans \(Z\) tel que \(\xi\) soit modulaire (ou simplement étale) en tout point de \(U\).

Sur la page, les trois premières conditions viennent dans l'ordre 1°, 3°, 2° ; la dernière commence à la page 13 et s'achève en tête de la page 15.¹⁶ La nécessité se vérifie condition par condition.¹⁷ La suffisance est ce que démontrent les pages 3 à 5, avec les lacunes dites plus haut.

Il ajoute trois remarques. D'abord, dans (7), l'hypothèse porte sur \(\xi\) modulaire, « et l'on verra que cela implique pro-modulaire » ; en marge : « en fait, cela suffit, et cela signifie que \(\xi : \operatorname{Spec} B \to F\) est étale ». Ensuite, qu'on pourrait montrer que (1) à (6) et (7) impliquent l'analogue de (7) sans l'hypothèse de dimension 1 — ce qui confirme que (7) était pensée d'abord sur une base de dimension 1, comme le disait la marge de la page 1. Enfin, une question : « Donner l'exemple type [\(S\) de dim 1] montrant que (8°) n'est pas conséquence des autres. Est-ce que 6° et 7° [suffisent] ? Non ». L'exemple n'est pas donné.¹⁸

14–14

Immersion ouverte (page 14)

Sur un feuillet isolé, le début d'un corollaire pour les immersions ouvertes : sous (1) à (4), et si de plus \(F \to S\) est un monomorphisme étale pour les arguments artiniens, \(F\) devrait être représentable par un ouvert de \(S\). La conclusion n'est pas écrite.

15–16

Les deux corollaires (page 15)

Corollaire 1. Pour que \(F\) soit représentable par un \(S\)-schéma étale et séparé, il faut et il suffit qu'il satisfasse (1), (2), (3), (4), (6), et :

(Ét) \(F\) est étale (ou seulement étale pour les arguments artiniens).

La liste omet (5), (7) et (8) : qu'elles découlent alors des autres, la page ne le démontre pas, et une note marginale dit seulement que ce cas est « plus direct et plus facile ».

Corollaire 2. Pour que \(F\) soit représentable par un \(S\)-schéma non ramifié et séparé, il faut et il suffit que \(F\) satisfasse (1) à (6), et la forme simplifiée suivante de (7) :

• a)\(F\) est non ramifié (les anneaux qui le pro-représentent dans (5) sont non ramifiés sur \(A\)) ;
• b)pour tout anneau local noethérien \(A\) de dimension 1 sur \(S\), de spectre irréductible, d'idéal premier minimal \(\mathfrak{p}\), tel que \(A \to A_{\mathfrak{p}}\) soit injectif, pour tout idéal nilpotent \(I\) de \(A\) et tout \(\eta \in F(A/I)\) : si l'image \(\eta_{\mathfrak{p}}\) de \(\eta\) dans \(F(A_{\mathfrak{p}}/I_{\mathfrak{p}})\) provient de \(F(A_{\mathfrak{p}})\), alors \(\eta\) provient de \(F(A)\).

La condition b) est corrigée ici.¹⁹ Une note marginale veut qu'on explique ici la condition (8) par une impossibilité de prolongement ; c'est ce que fait b).

Deux remarques (pages 15 et 16)

Remarque 3. La condition (8) est conséquence des autres, pour autant que \(F\) satisfasse :

(RG) pour tout sous-schéma fermé irréductible réduit \(S'\) de \(S\), il existe un ouvert non vide \(U \subset S'\) tel que \(F_U\) soit représentable par un schéma localement de type fini sur \(U\).²⁰

Remarque 4. Il faudrait limiter les anneaux \(A\), \(B\) et les schémas \(S'\) qui doivent être envisagés dans les conditions (2), (4), (5), (7), (8). La remarque s'arrête sur un tiret.

16–17

Exemples et applications en vue (page 16)

Il dresse la liste des foncteurs non ramifiés auxquels le Corollaire 2 doit s'appliquer :

• les quotients \(G/H\) d'un schéma en groupes par un sous-groupe fermé \(H\), sous une hypothèse qui les rende non ramifiés ;²¹
• les classes de correspondances divisorielles, sous une hypothèse de platitude ;
• les foncteurs \(\operatorname{Hom}\) à valeurs dans un groupe commutatif, et en particulier les \(\operatorname{Hom}\) de schémas abéliens, non ramifiés par rigidité ;
• les immersions, qui s'introduisent dans les problèmes de modules par exemple via les isogénies, et en particulier la diagonale \(F \to F \times_S F\) ;
• les sous-schémas en groupes d'un schéma en groupes ;
• la décomposition des fibres d'un morphisme en composantes connexes (ou irréductibles), qui donne même des foncteurs étales ;
• la factorisation d'un morphisme fini.

Puis deux « applications en vue ». La première : un schéma abélien sur une base localement noethérienne connexe serait projectif, en utilisant le schéma des correspondances divisorielles sur \(X \times_S X\). Sous cette forme, l'énoncé est faux.²² La seconde : l'existence du schéma de Picard d'un schéma propre sur un corps, attribuée entre crochets à « Chevalley-Seshadri-Grothendieck-Murre », et plus généralement, sur une base \(S\), son existence au-dessus d'un ouvert non vide. La phrase s'arrête sur un tiret.²³

La page 17 ne porte que « Façon d'exprimer », et rien ne dit ce qui devait suivre.

19–19

La preuve de (A) et (B) (page 19)

La page 19 démontre les axiomes de la page 8. On étudie d'abord la diagonale \(F \to F \times_S F\) : elle est représentable, et, grâce à (6), c'est une immersion fermée.²⁴ Alors, dans (A), \(X \times_{F_{S'}} X\) est un sous-schéma fermé de \(X \times_{S'} X\), fini sur \(X\), qui coïncide formellement avec la diagonale \(X \to X \times_{S'} X\) — c'est ce que dit la pro-modularité — et lui est donc égal, puisque tout est fini sur la base locale complète \(S'\) et qu'un schéma fini sur un anneau local complet est la somme de ses complétés en ses points fermés. Donc \(X \to F\) est un monomorphisme ; il est d'autre part étale ; c'est une immersion ouverte.²⁵

Pour (B), on prouve de façon analogue qu'il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(\xi|_U\) soit un monomorphisme ; la fin de la phrase, qui devait conclure par « étale », est illisible.

22–24

Les notes précédentes : critères formels (pages 22 à 40)

Ces pages sont logiquement les premières du dossier. Elles établissent, sans hypothèse de finitude sur \(X\), qu'un morphisme \(\xi : X \to F\) est un isomorphisme dès qu'il l'est sur des arguments de plus en plus petits : les schémas locaux, puis les schémas artiniens.

Proposition 1 : des arguments locaux au cas général (pages 22 et 24)

Proposition 1. Soient \(S\) un schéma, \(F : \mathbf{Sch}_{/S}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Ens}\), \(X\) un \(S\)-schéma localement de présentation finie et \(\xi \in F(X)\). On suppose :

• (L1)\(F\) est de nature locale ;
• (L2)\(F\) commute aux limites inductives filtrantes d'anneaux ;
• (R\(_{\mathrm{loc}}\))\((X, \xi)\) représente \(F\) sur les \(S\)-schémas locaux essentiellement de type fini sur \(S\) dont le point fermé a une extension résiduelle finie sur \(S\).

Alors \((X, \xi)\) représente \(F\) : \(\xi : h_X \to F\) est un isomorphisme.

Démonstration. Par (L1), on peut supposer \(S\) affine ; par (L2), et parce que \(h_X\) commute aussi aux limites filtrantes (\(X\) étant localement de présentation finie), il suffit de montrer que \(\operatorname{Hom}_S(T, X) \to F(T)\) est bijective pour \(T\) de présentation finie sur \(S\). Appelons admissibles les points \(t \in T\) dont l'extension résiduelle est finie sur \(S\) ; tout fermé non vide de \(T\) en contient un (un point fermé de sa fibre), de sorte qu'un ouvert contenant tous les points admissibles est \(T\) tout entier.

Injectivité. Si \(u, v : T \to X\) ont même image dans \(F(T)\), ils ont par (R\(_{\mathrm{loc}}\)) même restriction à \(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{T,t}\) pour tout \(t\) admissible, donc — \(X\) étant localement de présentation finie — coïncident sur un voisinage de chaque tel \(t\), donc partout.²⁶

Surjectivité. Soit \(\eta \in F(T)\). Pour \(t\) admissible, il existe par (R\(_{\mathrm{loc}}\)) un \(u_t : \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{T,t} \to X\), unique par ce qui précède, qui induit \(\eta_t\). Comme \(X\) est localement de présentation finie, \(u_t\) s'étend en \(v_t : U_t \to X\) sur un voisinage ouvert \(U_t\) de \(t\), et, par (L2), quitte à rétrécir \(U_t\), on a \(F(v_t)(\xi) = \eta|_{U_t}\). Par l'injectivité, \(v_t\) et \(v_{t'}\) coïncident sur \(U_t \cap U_{t'}\) ; les \(U_t\) recouvrent \(T\) ; les \(v_t\) se recollent en \(v : T \to X\), et par (L1), \(F(v)(\xi) = \eta\).²⁷

24–28

Corollaire 1 : des arguments artiniens aux arguments locaux (pages 24 à 28)

Corollaire 1. Sous les hypothèses préliminaires de la Proposition 1, supposons de plus \(S\) localement noethérien, et, pour tout anneau local \(B\) essentiellement de type fini sur \(S\) à extension résiduelle finie, de complété \(\widehat{B} = \varprojlim B_n\) :

• (L3)\(F(B) \to F(\widehat{B})\) est injective ;
• (L4)\(F(\widehat{B}) \to \varprojlim F(B_n)\) est injective ;
• (R\(_0\))\((X, \xi)\) représente \(F\) sur les arguments artiniens essentiellement de type fini sur \(S\), à extension résiduelle finie.

Si (L1), (L2), (L3), (L4) et (R\(_0\)) sont satisfaites, \((X, \xi)\) représente \(F\).²⁸

Démonstration. Il suffit de vérifier (R\(_{\mathrm{loc}}\)). Soit \(T = \operatorname{Spec} B\) comme ci-dessus, \(T_n = \operatorname{Spec} B_n\), \(T' = \operatorname{Spec} \widehat{B}\), \(f : T' \to T\), et \(\eta' = F(f)(\eta)\).

Injectivité. Si \(F(u)(\xi) = F(v)(\xi)\), les restrictions \(u_n, v_n\) à \(T_n\) ont même image, donc sont égales par (R\(_0\)) ; donc \(u = v\), car \(B\) est noethérien et \(B \subset \widehat{B}\).

Surjectivité. Par (R\(_0\)), il existe des \(u_n : T_n \to X\) induisant les \(\eta_n\), uniques, donc compatibles, d'où \(u' : T' \to X\) qui les induit, et, par (L4), \(F(u')(\xi) = \eta'\).²⁹ Soient \(p_1, p_2 : T' \times_T T' \rightrightarrows T'\) les deux projections : \[ T' \times_T T' \;\rightrightarrows\; T' \xrightarrow{\ f\ } T, \qquad u' : T' \to X . \] On a \(F(u' p_1)(\xi) = F(p_1)(\eta') = F(p_2)(\eta') = F(u' p_2)(\xi)\), puisque \(f p_1 = f p_2\). Il en conclut \(u' p_1 = u' p_2\) « en vertu de 1°) », c'est-à-dire de l'injectivité.³⁰ Comme \(f\) est fidèlement plat, \(u'\) descend : il existe \(u : T \to X\) avec \(u' = u f\). Enfin \(\eta = F(u)(\xi)\), car par (L3) il suffit de le vérifier après \(F(f)\), où cela s'écrit \(\eta' = F(u')(\xi)\).

N.B. Il note qu'il serait plus naturel d'énoncer ces deux résultats pour un morphisme de foncteurs \(G \to F\) satisfaisant les conditions envisagées pour \(F\), et de conclure que c'est un isomorphisme.

28–30

Corollaire 2 : une base artinienne (pages 28 et 30)

Corollaire 2. Soit \(S\) un schéma artinien. Pour que \(F\) soit représentable par un \(X\) localement quasi fini sur \(S\), il faut et il suffit que :

• 1°)\(F\) soit pro-représentable, et que les anneaux locaux qui interviennent dans la pro-représentation soient artiniens, c'est-à-dire finis sur \(S\) ;
• 2°)\(F\) satisfasse (L1), (L2), (L3), (L4).

En effet, par 1°) et (L1), les anneaux de la pro-représentation donnent un \(X = \coprod_i \operatorname{Spec} B_i\) et un \(\xi \in F(X)\) qui vérifient (R\(_0\)) ; le Corollaire 1 conclut.³¹ C'est l'étape (1) de la démonstration de la page 3.

30–32

Proposition 2 : recoller le point fermé (pages 30 et 32)

Proposition 2. Soient \(A\) un anneau local noethérien complet, \(S = \operatorname{Spec} A\), \(S' = S \smallsetminus \{\text{point fermé}\}\) et \(F : \mathbf{Sch}_{/S}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Ens}\). On suppose :

• 1°)\(F_{S'}\) est représentable par un schéma \(X'\) localement de type fini sur \(S'\) ;
• 2°)la restriction de \(F\) aux \(A\)-algèbres artiniennes finies est pro-représentable, par des anneaux locaux finis sur \(A\) ;
• 3°)\(F\) satisfait (L1), (L2), (L3), et (L4) sous la forme forte : \(F(\widehat{B}) \to \varprojlim F(B_n)\) est bijective.

Grâce à 2°) et 3°), on construit \(X_1 = \coprod_i \operatorname{Spec} B_i\), où les \(B_i\) sont les anneaux de la pro-représentation, et \(\xi_1 \in F(X_1)\).³² Soient \(X'_1 = X_1 \times_S S'\) et \(\xi'_1\) la restriction de \(\xi_1\) ; par 1°), \(\xi'_1 = F(u)(\xi')\) pour un unique morphisme \(u : X'_1 \to X'\). On suppose enfin :

• 4°)\(u\) est une immersion ouverte.

Alors \(F\) est représentable. En effet, on recolle \(X_1\) et \(X'\) le long de \(u\) ; on obtient \(X\), et, par (L1), un \(\xi \in F(X)\) qui induit \(\xi_1\) et \(\xi'\). Le Corollaire 1 s'applique : un argument artinien d'extension résiduelle finie est au-dessus du point fermé, où \(X\) se réduit à \(X_1\), ou au-dessus de \(S'\), où il se réduit à \(X'\) ; (R\(_0\)) est donc satisfaite, et \((X, \xi)\) représente \(F\).

Deux notes marginales accompagnent la proposition. L'une, d'une autre plume, la reformule : sont donnés \(X_U \simeq F_U\) sur l'ouvert \(U\) et \(Z \to F\) sur \(S\), avec \(Z_U \to X_U\) une immersion ouverte et \(Z_0 \to F_0\) un isomorphisme sur la fibre fermée. L'autre est un programme : « transformer 4°) en une condition plus facile à vérifier », avec une condition de dimension 1. C'est le critère de modularité local (7).

32–36

Proposition 3 et les paires modulaires (pages 32 à 36)

Proposition 3. Soit \(F : \mathbf{Sch}_{/S}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Ens}\). On suppose :

• 1°)pour tout \(a \in S\), \(F_a\) est représentable par un schéma \(X_a\) localement de type fini sur \(S_a\) ;
• 2°)pour tout \(S\)-schéma \(T\) localement de type fini et tout \(\eta \in F(T)\), l'ensemble \(M(T, \eta)\) des \(t \in T\) en lesquels \(\eta\) est modulaire est une partie constructible de \(T\) ;
• 3°)\(F\) satisfait (L1) et (L2).

Alors \(F\) est représentable.

En marge de 2°) : « Transformer en une condition de modularité générique ». C'est le critère (8).

Définition (page 34). Soit \(T\) un \(S\)-schéma local, de point fermé \(t\) au-dessus de \(s \in S\), \(k = k(s)\), et \(\eta \in F(T)\), de valeur \(\beta = \eta(t) \in F(k(t))\) au point fermé. On dit que \((T, \eta)\) est modulaire si :

• 1°)pour tout \(S\)-schéma local \(T'\), de point fermé \(t'\), l'application \(\operatorname{Hom}_{\mathrm{loc}, S}(T', T) \to F(T')\) définie par \(\eta\) est une bijection sur l'ensemble des \(\eta' \in F(T')\) dont la valeur \(\eta'(t') \in F(k(t'))\) est dans l'image de \[ \operatorname{Hom}_k\bigl(k(t), k(t')\bigr) \longrightarrow F(k(t')), \] l'application étant définie par \(\beta\) ;³³
• 2°)\(L = k(t)\) est un corps de définition de \(\beta\) : pour tout diagramme commutatif de corps

\begin{tikzcd}
L \arrow[r, "j"] \arrow[dr, dashed, "\lambda"] & M \\
k \arrow[u, "i"] \arrow[r, "i'"'] & L' \arrow[u, "j'"']
\end{tikzcd}

où \(i\), \(i'\) sont les homomorphismes canoniques, et tout \(\beta' \in F(L')\) tel que \(F(j')(\beta') = F(j)(\beta)\), on a \(j'(L') \supset j(L)\) — d'où \(\lambda : L \to L'\) avec \(j' \lambda = j\) — et \(\beta' = F(\lambda)(\beta)\).

Ce diagramme est le (Q) de la page. La définition dit, sans supposer \(F\) représentable, que \(\eta\) est l'élément universel au voisinage d'un point dont le corps résiduel est exactement \(k(t)\). Elle se lit au mieux quand \(F_a\) est représentable par \(X_a\) (\(a\) le point de \(S\) sous \(t\)) : \(\eta\) définit \(u : T \to X_a\), et, \(x = u(t)\), \((T, \eta)\) est modulaire si et seulement si \(\mathcal{O}_{X_a, x} \to \mathcal{O}_{T,t}\) est un isomorphisme (page 36). Un croquis, dans la marge de la page 34, dispose \(A \to B\), \(A \to B'\), \(k\), \(L\), \(L'\) autour d'une courbe séparant \(t \in T\) de \(t' \in T'\) ; plusieurs lettres y sont biffées, et on ne le reproduit pas.

N.B. Si \(\eta \in F(T)\) et \(\eta' \in F(T')\) sont modulaires et qu'il existe un diagramme (Q) avec \(F(j)(\eta(t)) = F(j')(\eta'(t'))\), alors (et seulement alors) il existe un unique \(\varphi : T \to T'\) tel que \(\eta = F(\varphi)(\eta')\) : deux paires modulaires qui passent par le même point sont isomorphes.³⁴

36–40

La démonstration de la Proposition 3 (pages 36 à 40)

On peut supposer \(S\) noethérien. Par 1°), \(M(T, \eta)\) est stable par générisation : si \(\eta\) est modulaire en \(t\), l'anneau local en une générisation de \(t\) est un localisé de \(\mathcal{O}_{T,t} \simeq \mathcal{O}_{X_a,x}\). Étant constructible par 2°), il est donc ouvert. Par (L2), pour \(a \in S\) et \(x \in X_a\) au-dessus de \(a\), il existe un \(S\)-schéma \(X^{(x)}\) de type fini et un \(\eta^{(x)} \in F(X^{(x)})\) modulaire en tous les points de \(X^{(x)}\).³⁵ Un premier essai pour recoller les \(X^{(x)}\) — par les ensembles \(X^{(a,b)}\) des points de \(X^{(a)}\) « apparentés » à un point de \(X^{(b)}\) — est encadré et barré. Il passe par un lemme :

Lemme. Soient \(Z\) un \(S\)-schéma localement de type fini et \(\eta \in F(Z)\) modulaire en tout point de \(Z\). Considérons \(\eta : h_Z \to F\). Alors \(h_Z \times_F h_Z \subset h_{Z \times_S Z}\) est représentable par un sous-schéma \(Z'\) de \(Z \times_S Z\), et les deux projections \(Z' \rightrightarrows Z\) sont des isomorphismes locaux, qui font de \(Z'\) un graphe d'équivalence dans \(Z\).³⁶

Prenons \(Z = X^{(x)}\). Au-dessus de \(S_a\), la relation \(Z'_a \rightrightarrows Z_a\) est la relation d'équivalence triviale ; elle l'est donc aussi au-dessus d'un voisinage ouvert convenable \(U\) de \(a\).³⁷ Autrement dit, quitte à prendre \(X^{(x)}\) assez petit, \((X^{(x)}, \eta^{(x)})\) est « presque modulaire » : \(h_{X^{(x)}} \to F\) est une immersion ouverte. Alors « une autre proposition formelle » permet de recoller les \(X^{(x)}\) en un \((X, \xi)\) qui représente \(F\), grâce à (L2). Cette proposition n'est pas dans le dossier.

C'est sur cette phrase que finit la main de Grothendieck dans le dossier ; la page 41, qui le clôt, est un feuillet de tapuscrit étranger. Et c'est sur cette proposition que s'appuie, par le Lemme de la page 4, la dernière étape de la démonstration du Théorème : les deux bouts du dossier se rejoignent là, sur ce qui n'est pas écrit.