Fonds Grothendieck, cote n° 130, pages 41–49 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-23) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-25

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 130 Hauteurs et symboles locaux : notes manuscrites (s.d.). Pages 41 à 49 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 3 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [vers 1971]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/130.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \add devient supplied ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Première passe de transcription. Export TEI depuis la source LaTeX.
[Quasi-fonctions et diviseurs]

titre de l'éditeur, entre crochets : les feuillets n'en portent aucun. Dans ce lot, les crochets droits à l'intérieur de son texte signalent ses propres additions interlinéaires.

à vérifier et contenues dans une réunion d'images de parties M_K-bornées des U_i(\bar K) \times M_{\bar K}. la page commence au milieu d'une phrase, suite de la p. 40 ; ces deux lignes sont soulignées, et « à vérifier », souligné, est écrit en oblique dans la marge gauche.

Admettons ce point. On aura, par l'exemple précédent, un homomorphisme de faisceaux \underline{\mathcal{O}}^*_X \xrightarrow{\ f \mapsto \varphi_f\ } \underline{\Phi}_X au-dessus de la flèche, entre « f \mapsto » et \varphi_f, un mot est biffé, illisible. \underline{\Phi}_X rend un \Phi souligné deux fois, sa notation tout au long du lot.

d'autre part, on a un hom. de faisceaux \underline{\mathcal{O}}^*_X \hookrightarrow \underline{R}^*_X le \mathcal{O} surcharge une autre lettre ; l'étiquette de la flèche, elle aussi surchargée, ne se lit pas (peut-être f \mapsto f).

où \underline{R}^*_X est le faisceau des fonctions rationnelles sur X [N.B. nous supposons X réduit ou même séparable/K, pour fixer les idées]. Nous voulons « une généralisation commune des fonctions admissibles et des fonctions rationnelles », et définissons pour cela le faisceau des quasi-fonctions comme le faisceau \underline{QF}_X = \underline{\Phi}_X \amalg_{\underline{\mathcal{O}}^*_X} \underline{R}^*_X \quad \text{(somme amalgamée)} \simeq \underline{\Phi}_X \times \underline{R}^*_X / \theta(\underline{\mathcal{O}}^*_X) le signe de somme amalgamée est surchargé (un premier signe biffé) ; on le rend par \amalg.

où \theta : \underline{\mathcal{O}}^*_X \longrightarrow \underline{\Phi}_X \times \underline{R}^*_X est défini par \theta(f) = (-\varphi_f, f^{\ill{}}) l'exposant de f est un pâté d'encre, illisible.

On a donc deux suites exactes \underline{\Phi}_X \longrightarrow \underline{QF}_X \xrightarrow{\ \mathrm{div}\ } \underline{\mathrm{Div}}_X \longrightarrow 0 \qquad \bigl(\underline{\mathrm{Div}}_X \simeq \underline{R}^*_X / \underline{\mathcal{O}}^*_X \text{, diviseurs de Cartier}\bigr) \underline{R}^*_X \xrightarrow{\ f \mapsto \{f\}\ } \underline{QF}_X \longrightarrow \underline{\Phi}_X / \mathrm{Im}\, \underline{\mathcal{O}}^*_X \longrightarrow 0 « \simeq \underline{R}^*_X/\underline{\mathcal{O}}^*_X » est écrit au-dessus de \underline{\mathrm{Div}}_X, « diviseurs de Cartier » à droite de la ligne. L'étiquette f \mapsto \{f\} de la seconde suite est une lecture incertaine. Dans la première suite, le Q de \underline{QF}_X surcharge une autre lettre.

Les [sections sur X du] noyau de \underline{\Phi}_X \to \underline{QF}_X est formé des fonctions admissibles \varphi telles qu'il existe f \in \Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}^*_X) avec (1, \varphi) = (f, -\varphi_f), ce qui exige f = 1 et -\varphi_f(P, v) = v(f(P)) = 0, d'où \varphi = 0, donc \underline{\Phi}_X \to \underline{QF}_X est injectif : les quasi-fonctions de diviseur nul sont les fonctions admissibles sur X. dans (1, \varphi), le 1 surcharge un autre signe ; l'ordre des composantes n'est pas celui de la définition de \theta ci-dessus, et la page est transcrite telle quelle.

Les [sections sur X du] noyau de \underline{R}^*_X \to \underline{QF}_X est formé des f \in \Gamma(\underline{R}^*_X) telles qu'il existe g \in \Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}^*_X), t.q. (f, 0) = (g, -\varphi_g). On doit avoir

\varphi_g = 0 i.e. v(g(P)) = 0 pour tt P \in X(\bar K), v \in M_{\bar K}, donc g(P) doit être une M_{\bar K}-unité pour tout P \in X(\bar K).

Si g n'est pas constante sur les composantes [irréd.] connexes géom. de X, alors aurait g(X(\bar K)) = \bar K - un fini, donc on aurait pour v \in M_{\bar K} comme v [\in M_{\bar K}] prend une infinité de valeurs, ce serait pas vérifié. Ainsi g est algébrique sur K, et de plus qui dit [la K-]algèbre séparable des sections de \underline{\mathcal{O}}^*_X alg. sur K, doit être une M_K-unité. la prose de ce paragraphe, entre les formules, est d'une écriture très rapide ; seuls les termes mathématiques se lisent sûrement.

Dans le cas particulier où X est géom. intègre, on voit donc que le noyau de \underline{R}^*_X \to \underline{QF}_X est le faisceau constant U_X défini par le groupe U des M_K-unités de K. On a donc les suites exactes can. le second terme de « \underline{R}^*_X \to \underline{QF}_X » est tracé comme un \Phi souligné muni d'un astérisque ; le contexte de la p. 42 le fait lire \underline{QF}_X, sans certitude.

0 \to \underline{\Phi}_X \longrightarrow \underline{QF}_X \longrightarrow \underline{\mathrm{Div}}_X \longrightarrow 0 0 \to \underline{R}^*_X / \underline{U}_X \longrightarrow \underline{QF}_X \longrightarrow \underline{\Phi}_X / \mathrm{Im}\, \underline{\mathcal{O}}^*_X \longrightarrow 0

Qu'on a diagramme commutatif.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & 0 & & \\ 0 \arrow[r, dashed] & \underline{\Phi}_X / \mathrm{Im}\, \underline{\mathcal{O}}^*_X \arrow[r, dashed, "\simeq"] & \underline{\Phi}_X / \mathrm{Im}\, \underline{\mathcal{O}}^*_X \arrow[u] \arrow[r, dashed] & 0 & \\ 0 \arrow[r] & \underline{\Phi}_X \arrow[r] \arrow[u, dashed] & \underline{QF}_X \arrow[r] \arrow[u] & \underline{\mathrm{Div}}_X \arrow[u, dashed, "\wr"] & \\ 0 \arrow[r] & \underline{\mathcal{O}}^*_X / \underline{U}_X \arrow[r] \arrow[u] & \underline{R}^*_X / \underline{U}_X \arrow[r, dashed] \arrow[u] & \underline{\mathrm{Div}}_X \arrow[r, dashed] \arrow[u, dashed, "\wr"] & 0 \\ & 0 \arrow[u] & 0 \arrow[u] & 0 \arrow[u, dashed, "\wr"] & \end{tikzcd}

diagramme redessiné sur une grille : les flèches pointillées sont en pointillé sur la page, les autres pleines. Sur la ligne du haut, les deux tirets extérieurs portent eux aussi une marque ondulée semblable à celle de \simeq, et leurs pointes ne se voient pas nettement.

Passant aux sections globales, on trouve (pour X géom. intègre [ce qui implique que \underline{R}^*_X / \underline{U}_X est constant, donc flasque]), on obtient le diagramme commutatif ; lignes et colonnes exactes la phrase se poursuit en tête de la p. 46, par le diagramme des sections globales ; la p. 45, barrée, s'intercale dans l'ordre des archivistes.

page entière barrée de longs traits obliques, et lisible en partie seulement. Sa dernière phrase se poursuit en tête de la p. 47, barrée de même. \varphi : X(K) \times M_K \longrightarrow \mathbb{R} est dite loc. M_K-bornée [ou admissible] (si elle est [M_K-]bornée sur les parties M_K-bornées, Notons [i.e. si pour tt E ] [bornée] , P \in X(K) X(\bar K) \times X(\bar K), [\mathbb{R}] \times M_K M_K-bornée), donc si \varphi est loc. M_K-bornée, pour P \in X(K), \varphi(P, \cdot) : M_K \to \mathbb{R} est un M_{\bar K} – M_{\bar K}-diviseur M_K-diviseur. Donc une \varphi admissible s'interprète aussi comme une application \tilde\varphi : X(K) \longrightarrow \mathrm{Div}(M_K) qui a [tout au moins] la propriété suivante : si F est une partie M_K-bornée de X(K) [i.e. telle que F \times M_K soit M_K-bornée], alors l'ensemble des \tilde\varphi(P) (P \in F) est borné dans l'ensemble des diviseurs de M_K [considéré comme ens. ordonné]. le haut de la page est très surchargé : additions interlinéaires, mots biffés, et un cadre tracé à droite autour de « tt E … bornée ». Dans X(K) et M_K de la première ligne, le K est repassé sur une autre lettre, peut-être \bar K.

Cette condition est-elle suffisante ?? ?

Une fonction \varphi : X(K) \times M_K \to \mathbb{R} est M_K-bornée est aussi dite [] telle est loc. admissible), dernière ligne écrite serrée au bord du feuillet, avec une addition interlinéaire illisible.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \arrow[r] & \Phi(X) / (\mathbf{G}_m(X)/U) \arrow[r] \arrow[u] & \Gamma(X, \underline{\Phi}_X / (\underline{\mathcal{O}}^*_X / \underline{U}_X)) \arrow[r] \arrow[u] & \mathrm{Pic}(X) \arrow[r] \arrow[u] & H^1(X, \underline{\Phi}_X) \arrow[u] \\ 0 \arrow[r] & \Phi(X) \arrow[r] \arrow[u] & QF(X) \arrow[r] \arrow[u] & \mathrm{Div}(X) \arrow[r] \arrow[u] & H^1(X, \underline{\Phi}_X) \arrow[u, no head, "\Vert" description] \\ 0 \arrow[r] & \mathbf{G}_m(X)/U \arrow[r] \arrow[u] & R(X)^*/U \arrow[r] \arrow[u] & \mathrm{Div}_{\ell}(X) \arrow[r] \arrow[u] & 0 \arrow[u] \\ & 0 \arrow[u] & 0 \arrow[u] & 0 \arrow[u] & \end{tikzcd}

sur la ligne du haut, une première flèche de \mathrm{Pic}(X) vers H^1 est biffée et récrite. L'indice de \mathrm{Div}_{\ell}(X) est lu \ell sans certitude.

(utilisant que H^1(X, \underline{\mathcal{O}}^*_X) \simeq H^1(X, \underline{\mathcal{O}}^*_X / U) [= \mathrm{Pic}(X)] grâce au fait que U est flasque).

Je dis que si X est quasi-projective, alors dans le diagramme commutatif précédent on peut remplacer H^1(X, \underline{\Phi}_X) par 0 (deux fois), en d'autres termes que \Gamma(X, \underline{\Phi}_X / (\underline{\mathcal{O}}^*_X / \underline{U}_X)) \longrightarrow \mathrm{Pic}(X) est surjectif. Comme tt \xi \in \mathrm{Pic}(X) est la différence de deux éléments très amples, on est ramené à prouver que tt élément très ample est dans l'image, et « = \mathrm{Pic}(X) » est écrit sous H^1(X, \underline{\mathcal{O}}^*_X). La phrase se poursuit en tête de la p. 48 ; la p. 47, barrée, s'intercale.

page barrée de trois longs traits obliques ; elle poursuit la dernière phrase de la p. 45. cela signifie aussi que \tilde\varphi(X(K)) est une partie bornée de \mathrm{Div}\, M_K.

Si K' est une ext. finie de K, alors on a M_{K'}, et M_{K'} \to M_K. Toute fonction \varphi : X(K') \times M_{K'} \longrightarrow \mathbb{R} définit une fonction \varphi : X(K) \times M_K \longrightarrow \mathbb{R} dans la première formule, l'argument de X est surchargé : K' ou \bar K, lecture incertaine. La page s'arrête là.

par fonctorialité ceci nous ramène au cas où X = \mathbb{P}^r_K, \xi = \underline{\mathcal{O}}_X(1). suite de la dernière phrase de la p. 46 ; le feuillet ne porte rien d'autre de sa main.