Cote n° 130 · batch 3 · pages 41–49 · Transcription · Hauteurs et symboles locaux : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1971]
Édition de démonstration

[Quasi-fonctions et diviseurs]

titre de l'éditeur, entre crochets : les feuillets n'en portent aucun. Dans ce lot, les crochets droits à l'intérieur de son texte signalent ses propres additions interlinéaires.

41à vérifier et contenues dans une réunion […] d'images de parties \(M_K\)-bornées des \(U_i(\bar K) \times M_{\bar K}\). la page commence au milieu d'une phrase, suite de la p. 40 ; ces deux lignes sont soulignées, et « à vérifier », souligné, est écrit en oblique dans la marge gauche.

Admettons ce point. On aura, par l'exemple précédent, un homomorphisme de faisceaux \[ \underline{\mathcal{O}}^*_X \xrightarrow{\ f \mapsto \varphi_f\ } \underline{\Phi}_X \] au-dessus de la flèche, entre « \(f \mapsto\) » et \(\varphi_f\), un mot est biffé, illisible. \(\underline{\Phi}_X\) rend un \(\Phi\) souligné deux fois, sa notation tout au long du lot.

d'autre part, on a un hom. de faisceaux \[ \underline{\mathcal{O}}^*_X \hookrightarrow \underline{R}^*_X \] le \(\mathcal{O}\) surcharge une autre lettre ; l'étiquette de la flèche, elle aussi surchargée, ne se lit pas (peut-être \(f \mapsto f\)).

où \(\underline{R}^*_X\) est le faisceau des fonctions rationnelles sur \(X\) [N.B. nous supposons \(X\) réduit ou même séparable\(/K\), pour fixer les idées]. Nous voulons « une généralisation commune des fonctions admissibles et des fonctions rationnelles », et définissons pour cela le faisceau des quasi-fonctions comme le faisceau \[ \underline{QF}_X = \underline{\Phi}_X \amalg_{\underline{\mathcal{O}}^*_X} \underline{R}^*_X \quad \text{(somme amalgamée)} \] \[ \simeq \underline{\Phi}_X \times \underline{R}^*_X / \theta(\underline{\mathcal{O}}^*_X) \] le signe de somme amalgamée est surchargé (un premier signe biffé) ; on le rend par \(\amalg\).

42où \[ \theta : \underline{\mathcal{O}}^*_X \longrightarrow \underline{\Phi}_X \times \underline{R}^*_X \] est défini par \[ \theta(f) = (-\varphi_f, f^{\ill{}}) \] l'exposant de \(f\) est un pâté d'encre, illisible.

On a donc deux suites exactes \[ \underline{\Phi}_X \longrightarrow \underline{QF}_X \xrightarrow{\ \mathrm{div}\ } \underline{\mathrm{Div}}_X \longrightarrow 0 \qquad \bigl(\underline{\mathrm{Div}}_X \simeq \underline{R}^*_X / \underline{\mathcal{O}}^*_X \text{, diviseurs de Cartier}\bigr) \] \[ \underline{R}^*_X \xrightarrow{\ f \mapsto \{f\}\ } \underline{QF}_X \longrightarrow \underline{\Phi}_X / \mathrm{Im}\, \underline{\mathcal{O}}^*_X \longrightarrow 0 \] « \(\simeq \underline{R}^*_X/\underline{\mathcal{O}}^*_X\) » est écrit au-dessus de \(\underline{\mathrm{Div}}_X\), « diviseurs de Cartier » à droite de la ligne. L'étiquette \(f \mapsto \{f\}\) de la seconde suite est une lecture incertaine. Dans la première suite, le \(Q\) de \(\underline{QF}_X\) surcharge une autre lettre.

Les [sections sur \(X\) du] noyau de \(\underline{\Phi}_X \to \underline{QF}_X\) est formé des fonctions admissibles \(\varphi\) telles qu'il existe \(f \in \Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}^*_X)\) avec \((1, \varphi) = (f, -\varphi_f)\), ce qui exige \(f = 1\) et \(-\varphi_f(P, v) = v(f(P)) = 0\), d'où \(\varphi = 0\), donc \(\underline{\Phi}_X \to \underline{QF}_X\) est injectif : les quasi-fonctions de diviseur nul sont les fonctions admissibles sur \(X\). dans \((1, \varphi)\), le \(1\) surcharge un autre signe ; l'ordre des composantes n'est pas celui de la définition de \(\theta\) ci-dessus, et la page est transcrite telle quelle.

Les [sections sur \(X\) du] noyau de \(\underline{R}^*_X \to \underline{QF}_X\) est formé des \(f \in \Gamma(\underline{R}^*_X)\) telles qu'il existe \(g \in \Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}^*_X)\), t.q. \((f, 0) = (g, -\varphi_g)\). On doit avoir

43\(\varphi_g = 0\) i.e. \(v(g(P)) = 0\) pour tt \(P \in X(\bar K)\), \(v \in M_{\bar K}\), donc \(g(P)\) doit être une \(M_{\bar K}\)-unité pour tout \(P \in X(\bar K)\).

Si \(g\) n'est pas constante sur les composantes [irréd.] connexes géom. de \(X\), alors […] aurait \(g(X(\bar K)) = \bar K -\) un fini, donc on aurait pour \(v \in M_{\bar K}\) comme \(v\) [\(\in M_{\bar K}\)] prend une infinité de valeurs, ce […] […] […] […] serait pas vérifié. Ainsi \(g\) est algébrique sur \(K\), et de plus […] […] qui dit [la \(K\)-]algèbre séparable des sections […] de \(\underline{\mathcal{O}}^*_X\) alg. sur \(K\), […] doit être une \(M_K\)-unité. la prose de ce paragraphe, entre les formules, est d'une écriture très rapide ; seuls les termes mathématiques se lisent sûrement.

Dans le cas particulier où \(X\) est géom. intègre, on voit donc que le noyau de \(\underline{R}^*_X \to \underline{QF}_X\) est le faisceau […] constant \(U_X\) défini par le groupe \(U\) des \(M_K\)-unités de \(K\). On a donc les suites exactes can. le second terme de « \(\underline{R}^*_X \to \underline{QF}_X\) » est tracé comme un \(\Phi\) souligné muni d'un astérisque ; le contexte de la p. 42 le fait lire \(\underline{QF}_X\), sans certitude.

44\[ 0 \to \underline{\Phi}_X \longrightarrow \underline{QF}_X \longrightarrow \underline{\mathrm{Div}}_X \longrightarrow 0 \] \[ 0 \to \underline{R}^*_X / \underline{U}_X \longrightarrow \underline{QF}_X \longrightarrow \underline{\Phi}_X / \mathrm{Im}\, \underline{\mathcal{O}}^*_X \longrightarrow 0 \]

Qu'on a […] […] […] […] diagramme commutatif.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & 0 & & \\
0 \arrow[r, dashed] & \underline{\Phi}_X / \mathrm{Im}\, \underline{\mathcal{O}}^*_X \arrow[r, dashed, "\simeq"] & \underline{\Phi}_X / \mathrm{Im}\, \underline{\mathcal{O}}^*_X \arrow[u] \arrow[r, dashed] & 0 & \\
0 \arrow[r] & \underline{\Phi}_X \arrow[r] \arrow[u, dashed] & \underline{QF}_X \arrow[r] \arrow[u] & \underline{\mathrm{Div}}_X \arrow[u, dashed, "\wr"] & \\
0 \arrow[r] & \underline{\mathcal{O}}^*_X / \underline{U}_X \arrow[r] \arrow[u] & \underline{R}^*_X / \underline{U}_X \arrow[r, dashed] \arrow[u] & \underline{\mathrm{Div}}_X \arrow[r, dashed] \arrow[u, dashed, "\wr"] & 0 \\
 & 0 \arrow[u] & 0 \arrow[u] & 0 \arrow[u, dashed, "\wr"] &
\end{tikzcd}

diagramme redessiné sur une grille : les flèches pointillées sont en pointillé sur la page, les autres pleines. Sur la ligne du haut, les deux tirets extérieurs portent eux aussi une marque ondulée semblable à celle de \(\simeq\), et leurs pointes ne se voient pas nettement.

Passant aux sections globales, on trouve (pour \(X\) géom. intègre [ce qui implique que \(\underline{R}^*_X / \underline{U}_X\) est constant, donc flasque]), on obtient le diagramme commutatif ; lignes et colonnes exactes la phrase se poursuit en tête de la p. 46, par le diagramme des sections globales ; la p. 45, barrée, s'intercale dans l'ordre des archivistes.

45page entière barrée de longs traits obliques, et lisible en partie seulement. Sa dernière phrase se poursuit en tête de la p. 47, barrée de même. \[ \varphi : X(K) \times M_K \longrightarrow \mathbb{R} \] est dite loc. \(M_K\)-bornée [ou admissible] (si elle est [\(M_K\)-]bornée sur les parties \(M_K\)-bornées, Notons [i.e. si pour tt \(E\) […]] […] [bornée] […] […], \(P \in X(K)\) […] \(X(\bar K) \times X(\bar K)\), [\(\mathbb{R}\)] \(\times M_K\) […] \(M_K\)-bornée), donc si \(\varphi\) est loc. \(M_K\)-bornée, pour \(P \in X(K)\), […] \(\varphi(P, \cdot) : M_K \to \mathbb{R}\) est un \(M_{\bar K}\) – \(M_{\bar K}\)-diviseur \(M_K\)-diviseur. Donc une \(\varphi\) admissible s'interprète aussi comme une application \[ \tilde\varphi : X(K) \longrightarrow \mathrm{Div}(M_K) \] qui a [tout au moins] la propriété suivante : si \(F\) est une partie \(M_K\)-bornée de \(X(K)\) [i.e. telle que \(F \times M_K\) soit \(M_K\)-bornée], alors l'ensemble des \(\tilde\varphi(P)\) (\(P \in F\)) est borné dans l'ensemble des diviseurs de \(M_K\) [considéré comme ens. ordonné]. le haut de la page est très surchargé : additions interlinéaires, mots biffés, et un cadre tracé à droite autour de « tt \(E\) … bornée ». Dans \(X(K)\) et \(M_K\) de la première ligne, le \(K\) est repassé sur une autre lettre, peut-être \(\bar K\).

Cette condition est-elle suffisante ?? ?

Une fonction \(\varphi : X(K) \times M_K \to \mathbb{R}\) […] est \(M_K\)-bornée est aussi dite […] [[…]] […] […] telle est loc. admissible), dernière ligne écrite serrée au bord du feuillet, avec une addition interlinéaire illisible.

46

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 \arrow[r] & \Phi(X) / (\mathbf{G}_m(X)/U) \arrow[r] \arrow[u] & \Gamma(X, \underline{\Phi}_X / (\underline{\mathcal{O}}^*_X / \underline{U}_X)) \arrow[r] \arrow[u] & \mathrm{Pic}(X) \arrow[r] \arrow[u] & H^1(X, \underline{\Phi}_X) \arrow[u] \\
0 \arrow[r] & \Phi(X) \arrow[r] \arrow[u] & QF(X) \arrow[r] \arrow[u] & \mathrm{Div}(X) \arrow[r] \arrow[u] & H^1(X, \underline{\Phi}_X) \arrow[u, no head, "\Vert" description] \\
0 \arrow[r] & \mathbf{G}_m(X)/U \arrow[r] \arrow[u] & R(X)^*/U \arrow[r] \arrow[u] & \mathrm{Div}_{\ell}(X) \arrow[r] \arrow[u] & 0 \arrow[u] \\
 & 0 \arrow[u] & 0 \arrow[u] & 0 \arrow[u] &
\end{tikzcd}

sur la ligne du haut, une première flèche de \(\mathrm{Pic}(X)\) vers \(H^1\) est biffée et récrite. L'indice de \(\mathrm{Div}_{\ell}(X)\) est lu \(\ell\) sans certitude.

(utilisant que \(H^1(X, \underline{\mathcal{O}}^*_X) \simeq H^1(X, \underline{\mathcal{O}}^*_X / U)\) [\(= \mathrm{Pic}(X)\)] grâce au fait que \(U\) est flasque).

Je dis que si \(X\) est quasi-projective, alors dans le diagramme commutatif précédent on peut remplacer \(H^1(X, \underline{\Phi}_X)\) par \(0\) (deux fois), en d'autres termes que \[ \Gamma(X, \underline{\Phi}_X / (\underline{\mathcal{O}}^*_X / \underline{U}_X)) \longrightarrow \mathrm{Pic}(X) \] est surjectif. Comme tt \(\xi \in \mathrm{Pic}(X)\) est la différence de deux éléments très amples, on est ramené à prouver que tt élément très ample est dans l'image, et « \(= \mathrm{Pic}(X)\) » est écrit sous \(H^1(X, \underline{\mathcal{O}}^*_X)\). La phrase se poursuit en tête de la p. 48 ; la p. 47, barrée, s'intercale.

47page barrée de trois longs traits obliques ; elle poursuit la dernière phrase de la p. 45. cela signifie aussi que \(\tilde\varphi(X(K))\) est une partie bornée de \(\mathrm{Div}\, M_K\).

Si \(K'\) est une ext. finie de \(K\), alors on a \(M_{K'}\), et \(M_{K'} \to M_K\). Toute fonction \[ \varphi : X(K') \times M_{K'} \longrightarrow \mathbb{R} \] définit une fonction \[ \varphi : X(K) \times M_K \longrightarrow \mathbb{R} \] dans la première formule, l'argument de \(X\) est surchargé : \(K'\) ou \(\bar K\), lecture incertaine. La page s'arrête là.

48par fonctorialité ceci nous ramène au cas où \(X = \mathbb{P}^r_K\), \(\xi = \underline{\mathcal{O}}_X(1)\). suite de la dernière phrase de la p. 46 ; le feuillet ne porte rien d'autre de sa main.