Fonds Grothendieck, cote n° 130, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-23)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)130
Hauteurs et symboles locaux : notes manuscrites (s.d.).
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1971]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/130.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Formules de Néron
titre de sa main, en haut à droite du feuillet 1, par ailleurs
vierge, qui ne reçoit pas de numéro de page ; les mêmes mots, soulignés,
ouvrent le feuillet 3
Formules de Néron
A_K V.A. sur K corps des fonctions de V, anneau de v.d.
discrète (corps résiduel fini ?)
On définit une fonction v(X, \underline{a}) [à valeurs dans
\mathbb{Q}] sur la partie de
D_a(A_K) \times Z_0^{*}(A)_K
formée des couples X, \underline{a} tels que
\mathrm{Supp}\, X \cap \mathrm{Supp}\, \underline{a} = \emptyset,
uniquement déterminée par les propriétés suivantes :
« à valeurs dans \mathbb{Q} » est écrit au-dessus de la ligne,
avec un trait qui le rattache à v(X, \underline{a}) ; le Z est ici
une lettre bouclée ; l'exposant, lu *, est douteux, et l'indice K est
écrit par-dessus un signe biffé
(i) Bilinéaire.
(ii) Invariant par translation par les a \in A(K).
(iii) Si X \sim_{\ell} 0, AusetX = \mathrm{div}(f),
on av(X, \underline{a}) = \sum_{x_0 \in A_0} i(\mathrm{div}_{g}(\bar{f}), \bar{\underline{a}} ; x_0)au-dessus de « div », un mot biffé, illisible ; l'indice de
« div », lu g, est douteux, et c'est le même signe deux lignes plus bas
\mathcal{A} est le modèle de Néron de A,
A_0 = \mathcal{A} \otimes_V k, \bar{f} \to f considéré comme fonction
sur \mathcal{A}, et \mathrm{div}_{g} \bar{f} \to la composante
verticale de \mathrm{div}(\bar{f}), \bar{\underline{a}} \to
l'« adhérence » de \underline{a} dans \mathcal{A}.
ces trois lignes se ferment sur une accolade ; le modèle de Néron
est écrit d'un A à peine plus grand que celui de la variété abélienne,
et noté ici \mathcal{A}
Si m = 1 i.e. A_0 connexe, alors v(X, \underline{a}) = 0
si X \underset{\mathrm{alg}}{\sim} 0 et pour ; vraimentv(X, \underline{a}) = 0\forall\, X, \underline{a}note oblique dans la marge de gauche, à la hauteur de (iii), reliée
par un trait à « (iii) » ; « connexe » est coupé au bord
(iv) Pour X \in D_a(A_K) fixé, 0 \notin \mathrm{Supp}\, X, et
x \in A(K), x \notin \mathrm{Supp}\, X variable, v(X, (x) - (0)) est
borné.
De plus, on a les propriétés suivantes :
(iv bis) v(X, (x) - (a)) ne dépend (pour X \in D_a(A_K)fixé
et a \in A(K), a \notin \mathrm{Supp}\, X fixés) x variable
que de la classe de x mod A(K)^{0} = Image inverse de A_0^{0},
donc ne prend qu'un nb fini de valeurs.
après A_0^{0}, un indice coupé au bord du feuillet
en haut à gauche, dans la marge, un griffonnage biffé où se lit
X
(v) Si X \in D_{\ell}(A_K) ou \underline{a} \in Z_{\ell}^{*}(A_K), on a
v(X, \underline{a}) \in \mathbb{Z}.
(vi) Si m = degré de A_0 / A_0^{0}, alors on a toujours
m\, v(X, \underline{a}) \in \mathbb{Z}.
[N.B. On obtient donc [par (v) et (vi)] un accouplement remarquable
À examiner : cas d'une pol.principale,
jacobienne d'une VA et *note entourée, oblique, dans la marge de gauche ; l'astérisque
renvoie à la ligne marquée *
La relation avec le symbole local (X, \underline{a})_v est donnée par
(vii)
\boxed{(X, \underline{a})_v = v(X, \underline{a}) + \sum_{x_0 \in A_0} i(\bar{X}, \bar{\underline{a}}, x_0)}un petit signe, illisible, en exposant de A_0 sous le \Sigma
Ceci montre que (X, \underline{a})_v \in \frac{1}{m}\mathbb{Z} pour tt
X, \underline{a}, donc à fortiori il est rationnel, et il
est entier si X \in D_{\ell}(A_K) [On le savait déjà, car on a toujours,
si X = \mathrm{div} f, (X, \underline{a})_v = v(f(\underline{a}))] ou
si \underline{a} \in Z_{\ell}^{*}(A_K). On trouve donc
Se généraliseaussitôt aux variétés
quelconques —-dans la marge de gauche, reliée par une accolade aux trois lignes
« Ceci montre que » à « ou si »
une autre [expression de l'] accouplement * en termes de
(X, \underline{a})_v.
Dans le cas global [où on a une famille de valuations discrètes
satisfaisant à la formule du produit] on obtient un accouplement
D_a^{*}(A_K) \times Z_0^{*}(A_K) \longrightarrow \mathbb{R}l'exposant de D_a, lu *, est douteux ; le Z est surchargé
par produit produit des symboles locaux
(X, \underline{a}) = \sum_v (X, \underline{a})_v
qui ne dépend plus que des classes de mod D_{\ell}(A_K) resp.
mod Z_{\ell}^{*}(A_K), et définit donc un accouplement
A^{*}(K) \times A^{*}(K) \longrightarrow \mathbb{R} .les deux astérisques sont surchargés, le second plus lourdement ;
on attend A^{*}(K) \times A(K), comme à la p. 4
On obtient donc : cet accouplement est à valeurs dans
\frac{1}{m}\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}, où m est un entier > 0
convenable.
La forme en question est la forme de Néron-Tate.
Elle multipliée
X \xrightarrow{f} S morphisme régulier propre
X régulier
S régulier irréductible, pt. gén. \eta
On suppose que \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} existe, et
est une V.A.l'exposant de \underline{\mathrm{Pic}} est biffé
Pour que l'adhérence schématique \mathcal{A} de
A_\eta = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X_\eta/k(\eta)}, est un
sous-schéma en groupesplat de X, en quoilisse sur S — ce qui est automatiquement le cas si
\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} est lisse sur S le long de la
section unité, p.ex. si S régulier de dim 1 et les
\underline{\mathrm{Pic}}_{X_s/k(s)} sont lisses (s \in S).
« schématique \mathcal{A} » est écrit au-dessus de la ligne, sous
une accolade ; l'exposant de \underline{\mathrm{Pic}}_{X_\eta/k(\eta)},
un 0 surmonté de deux points, est lu 0
Alors Pic\mathcal{A} est un modèle de Néron :
en effet, si S'/S est lisse, alors X' = X \times_S S' est lisse sur
X régulier, donc est régulier, donc ttsectionélément de \mathrm{Pic}(X'_{\eta'}) provient d'un
élément de \mathrm{Pic}(X').
Attention s'il n'y a pas de section locale (ét.) de
X sur Sdans la marge de gauche, à la hauteur de « en effet »
feuillet dactylographié, non transcrit : sommaire d'une rédaction
Bourbaki, n° 383, chapitre III, « Systèmes de racines (État 3) ». Seules
les cinq lignes au crayon de la marge de gauche sont transcrites ; rien
ne permet d'assurer qu'elles sont de sa main
Matrices de Coxeter ; Matrices de Cartan ; Systèmes de racines ;
groupes engendrés par des réflexions ; diagrammes de Dynkincinq lignes superposées, séparées ici par des points-virgules
[Groupe de Néron-Severi d'une surface et pinceau de sections hyperplanes]
titre entre crochets, de l'éditeur : les feuillets 9 à 14 ne portent
pas de titre
X surface algébrique projective non singulière conn. sur k alg. clos.
n'est pas une restriction essentielle ! \dim X \geqslant 2note entourée, en tête du feuillet, reliée par un trait à
« surface »
Y_0 section hyperplane non singulière, dans un « pencil » défini par
L^{n-2} \subset \mathbb{P}^{n} coupant X transversalement en Z
sous X, un trait vertical ondulé, sans pointe ni but ; sous
\tilde{Y}_{\bar{t}}, un crochet qui revient vers la gauche, sans
aboutir ; l'indice \bar{t} est douteux
Soit \mathrm{Pic}(X)' (\mathrm{Pic}(\tilde{X})') le sous-groupe des
diviseurs classes induisant sur \tilde{Y}_{\bar{\eta}} une classe
de degré 0. On a donc
l'exposant de X, lu *, est douteux et absent de la définition
qui précède ; en bas, il écrit \tilde{X}_{\bar{\eta}}, non
\tilde{Y}_{\bar{\eta}}, et de même aux pp. 10-11
croquis : une droite de base portant trois points, notés
t_1, y_0 et \bar{\eta} ; au-dessus de chacun
une fibre verticale — celle de t_1 se recoupe elle-même, celle de
\bar{\eta} est hachurée —, et une courbe transverse, marquée
\tilde{z}, qui les coupe toutes les trois
À déterminer a) les noyaux de
\begin{array}{l}
\mathrm{Pic}(X^{*})' \longrightarrow J^{0}(\tilde{X}_{\bar{\eta}}) \\
\mathrm{Pic}(\tilde{X})' \longrightarrow J^{0}(\tilde{X}_{\bar{\eta}})
\end{array}les deux flèches aboutissent au même but ; le J est écrit
par-dessus « Pic »
b) leur image
N.B.\mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\eta}) \to \mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\bar{\eta}})
est injectif, donc le noyau de
\mathrm{Pic}(\tilde{X})^{*} \to \mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\bar{\eta}}) (égal au noyau de
\mathrm{Pic}(\tilde{X})' \to J^{0}(\tilde{X}_{\bar{\eta}})) est aussi
celui de \mathrm{Pic}(\tilde{X}) \to \mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\eta}), i.e.
est formé des classes des diviseurs verticaux. Parmi
ceux-ci, Notons que les diviseurs verticaux \tilde{X}_y, pour
y \in \mathbb{P}^{1}(k), / \tilde{X}_y non sing sont
linéairement équivalents entre eux, donc à
\tilde{X}_{y_0} = \tilde{Y}_0 \simeq Y_0 .Donc Si les tous les X_y sont irréductiblesintègres, alors le noyau de
\mathrm{Pic}(\tilde{X})' \to J^{0}(\tilde{X}_{\bar{\eta}}) se réduit aux
classes des multiples de cl(\tilde{X}_y) la classe
de \tilde{Y}_0, notée\tilde{\xi}_0Notons que, qui est
« notée \tilde{\xi}_0 » est écrit au-dessus de « Notons que »
biffé
i.e. à
\varphi^{*}(\xi_0) - \sum_{z \in Z} \tilde{z} ,
où \xi_0 est la classe de Y_0 dans X. Par suite, sicommeZ \neq \emptyset, on a
n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \Rightarrow n\tilde{\xi}_0 \notin \mathrm{Pic}(X)'.
Donc dans le cas envisagé,
\mathrm{Pic}(X)' \longrightarrow \mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\bar{\eta}}) = \mathrm{Pic}(Y_{\bar{\eta}})
est injectif.
« comme » est écrit au-dessus de « si » biffé ; le prime de
\mathrm{Pic}(X)' est appuyé
L'image de \mathrm{Pic}^{0}(X) \simeq \mathrm{Pic}^{0}(\tilde{X}) dans
\mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\bar{\eta}})\mathrm{Pic}^{0}(Y_{\bar{\eta}}) = J(Y_{\bar{\eta}})(k) est la « partie
fixe » J(Y_{\bar{\eta}})^{\mathrm{fixe}}(k) et de façon précise on a des
isom.
le premier J est écrit par-dessus « Pic » ; après « (k », une
surcharge biffée
[N.B.k(\eta) est une extension pure de
k(\eta), donc pour tte V.A. A sur k,
A(k) \simeq A(k(\eta))]. On obtient donc
la lecture « de k(\eta) » est douteuse ; ce qui suit ferait
attendre « de k »
où J' = J / J^{\mathrm{fixe}}_{k(\eta)} est « la partie mobile » de
J = J(Y_\eta / k(\eta)). Notons que le noyau de
NS(\tilde{X})' \to J'(k(\eta)) est égal au groupe engendré par l'image
de \tilde{\xi}_0, car si \alpha est dans le noyau, alors \alpha
provient de \alpha_0 \in \mathrm{Pic}(\tilde{X})', et comme par hyp.
l'image de \alpha_0 dans J(Y_\eta) est dans
J(Y_\eta)^{\mathrm{fixe}} \simeq \mathrm{Pic}^{0}(\tilde{X}), il
s'ensuit que quitte à modifier \alpha_0 par un élément de
\mathrm{Pic}^{0}(\tilde{X}), on aura une image nulle — Donc sous
réserve que tous les Y_y soient intègres, le noyau de
NS(\tilde{X})' \to J'(k(\eta)) est de rang 1, et engendré par l'image
de \tilde{\xi}_0.
le J de « dans J(Y_\eta) » est surchargé
Enfin, je dis que l'image deNS(\tilde{X})' \to J'(k(\eta)) est
surjectif mod. groupe fini. En effet, un élément deJ'(k(\eta)) comme H^{1}(K, J'') est un groupe de torsion
[où K = k(\eta) = k(t), J'' = J^{\mathrm{fixe}}] — on voit que mod.
groupes finis, NS(\tilde{X})' \to J'(k(\eta)) estJ(k(\eta)) \to J'(k(\eta)) est surjectif), donc il suffit de prouver que
\mathrm{Pic}(\tilde{X})' \to J(k(\eta)) est surjectif mod« mod. groupe fini » est écrit au-dessus de la ligne, avec un trait
qui le rattache à « surjectif »
mod groupe fini. Or un élément de J(k(\eta))qui provient de t d'une classe
de diviseurs de degré 0 sur Y_\eta [N.B. le groupe de Brauer de
k(\eta) = k(t) est nul, par Tsen] et on gagne.
\boxed{\rho(\tilde{X}) - 2 =}\ \boxed{\rho(X) + z - 2 = \rho(J')}deux cadres accolés ; les deux « 2 » sont repassés, le second
lourdement, sans doute sur un autre chiffre
\rho(X) nb de Picard de X
z = nb des sections singulières du pinceau
\rho(J')= rang du groupe des pts rat. sur k(\eta), de
J' = J(Y_\eta) / J(Y_\eta)^{\mathrm{fixe}}les trois définitions sont réunies par une accolade ; « sections
singulières » est une lecture douteuse
Condition de validité de la formule : toutes les sections du pinceau sont
intègresirréductibles (intègre n'est pas absolument
néc., i.e. on admet des sections multiples ...).
Supposons X une surface.
Notons maintenant que J' a une polarisation canonique, héritée de celle
de J, [En effet, le dual deJ] propre dual, \hat{J}' le dual de J' s'envoie
canoniquement dans J, donc hérite une polarisation, d'où une
polarisationDonc on conclut [par Néron-Tate] une
forme quadratique canonique sur définie positive \mathbb{Q}
sur J'(k(\eta)).
le passage entre crochets est encadré et barré de quatre grands
traits obliques ; en tête du cadre, J suivi d'une flèche. « par
Néron-Tate » est écrit sous la ligne, avec une accolade ; « \mathbb{Q} »
est ajouté au-dessus, avec un signe d'insertion, entre « positive » et
« sur »
D'autre part, il y a aussi une forme quadratique définie
négative sur NS(X)', savoir la forme intersection.
i : NS(X)' \longrightarrow J'(k(\eta)). À prouver la
formule
\boxed{Q(i(\xi), i(\eta)) = -\, \xi \cdot \eta} \qquad (\xi, \eta \in NS(X)')?
valable si les Y_t sont tous intègres ?
[Symboles locaux et nombres d'intersection]
titre entre crochets, de l'éditeur : les feuillets 16 et 18 ne
portent pas de titre
1) \quad f : X \to S projectif, X régulier, S spectre d'anneau de
v.d. discrète, pt générique \eta, pt spécial s
X_\eta est lisse
X_s est géométriquement intègre
Soit\dim X_\eta = n \qquad \dim X = n + 1
C, D deux cycles sur X, de dimensions c et d avec
c + d = n + 1. On suppose
a) C_\eta et D_\eta sont alg. équiv. à 0
et \mathrm{Supp}\, C_\eta \cap \mathrm{Supp}\, D_\eta = \emptyset
b) C et D n'ont que des composantes horizontales, i.e.
C = \overline{C_\eta}, D = \overline{D_\eta}
c) C \cdot D est défini
[\Longrightarrow \mathrm{Supp}\, C_\eta \cap \mathrm{Supp}\, D_\eta = \emptyset]
Considérons i(C \cdot D), il ne dépend que de C_\eta et
D_\eta, cycles de X_\eta de codimensions c, d tels que
c + d = n + 1, de supports disjoints. On veut donc
donner une description de i(C \cdot D) en termes de C_\eta, D_\eta,
i.e. comme un
\langle C_\eta, D_\eta \rangle_vindépendant du modèle X [et de leur existence], (à valeurs dans
\mathbb{Q}) à priori« algébriquement » est écrit au-dessus de « codimensions » ; « de
supports » au-dessus d'un mot biffé ; « et de leur existence » au-dessus
de la ligne, sous une accolade ; « à priori » dans une bulle reliée à
« à valeurs dans \mathbb{Q} »
Le cas gl. peut se formuler pour un système de cycles
Z_1, \dots, Z_k de codim c_1, \dots, c_k\left\{
\begin{array}{l}
c_1 + \dots + c_k = n + 1 \\
\text{[deux parmi les termes]}\ Z_{i\eta}\ \text{alg. équiv. à } 0 \\
Z_1 \cdot \ldots \cdot Z_k \ \text{défini}
\end{array}
\right.au-dessus de Z_{i\eta}, un court mot entouré, illisible ;
« deux parmi les termes » est entouré aussi
On aurait ainsii(Z_1 \cdot \ldots \cdot Z_k) = (Z_{1\eta}, \dots, Z_{k\eta})_v
Propriétés du symbole local
(i) Bilinéarité (partielles ....), symétrie
(ii) Invariance par isomorphismes de X_\eta
(ii bis) Pour k = 2, formule de transposition pour un morphisme
X_\eta \to Y_\eta
(iii) Bilinéarité Normalisation : si
Z_{k\eta} = Z'_{k\eta} \cdot \mathrm{div} f_\eta, Ou où
Z_{1\eta} \cdot \ldots \cdot Z_{k\eta} \cdot Z'_{k\eta} est défini (i.e.
l'intersection des \mathrm{Supp}\, Z_{1\eta} ... \mathrm{Supp}\, Z_{k-1,\eta},
\mathrm{Supp}\, Z'_{k\eta} est discrète) on a
(Z_{1\eta}, \dots, Z_{k\eta}) = v(f_\eta(Z_{1\eta} \cdot \ldots \cdot Z_{k-1,\eta} \cdot Z'_{k\eta}))devant la parenthèse de gauche, deux lettres, peut-être « i.e. »
ou l'indice v du symbole, non lues ; le dernier indice est coupé au
bord du feuillet
(iv) Principe de continuité ....
(v) Extension du corps de base,écrit de bas en haut le long de la marge de gauche