Cote n° 130 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Hauteurs et symboles locaux : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1971]
Édition de démonstration

Formules de Néron

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 1, par ailleurs vierge, qui ne reçoit pas de numéro de page ; les mêmes mots, soulignés, ouvrent le feuillet 3

3Formules de Néron

\(A_K\) V.A. sur \(K\) corps des fonctions de \(V\), anneau de v.d. discrète (corps résiduel fini ?)

On définit une fonction \(v(X, \underline{a})\) [à valeurs dans \(\mathbb{Q}\)] sur la partie de \[ D_a(A_K) \times Z_0^{*}(A)_K \] formée des couples \(X, \underline{a}\) tels que \(\mathrm{Supp}\, X \cap \mathrm{Supp}\, \underline{a} = \emptyset\), uniquement déterminée par les propriétés suivantes : « à valeurs dans \(\mathbb{Q}\) » est écrit au-dessus de la ligne, avec un trait qui le rattache à \(v(X, \underline{a})\) ; le \(Z\) est ici une lettre bouclée ; l'exposant, lu \(*\), est douteux, et l'indice \(K\) est écrit par-dessus un signe biffé

(i) Bilinéaire.

(ii) Invariant par translation par les \(a \in A(K)\).

(iii) Si \(X \sim_{\ell} 0\), Aus et \(X = \mathrm{div}(f)\), on a \[ v(X, \underline{a}) = \sum_{x_0 \in A_0} i(\mathrm{div}_{g}(\bar{f}), \bar{\underline{a}} ; x_0) \] au-dessus de « div », un mot biffé, illisible ; l'indice de « div », lu \(g\), est douteux, et c'est le même signe deux lignes plus bas

\(\mathcal{A}\) est le modèle de Néron de \(A\), \(A_0 = \mathcal{A} \otimes_V k\), \(\bar{f} \to f\) considéré comme fonction sur \(\mathcal{A}\), et \(\mathrm{div}_{g} \bar{f} \to\) la composante verticale de \(\mathrm{div}(\bar{f})\), \(\bar{\underline{a}} \to\) l'« adhérence » de \(\underline{a}\) dans \(\mathcal{A}\). ces trois lignes se ferment sur une accolade ; le modèle de Néron est écrit d'un \(A\) à peine plus grand que celui de la variété abélienne, et noté ici \(\mathcal{A}\)

Si \(m = 1\) i.e. \(A_0\) connexe, alors \(v(X, \underline{a}) = 0\) si \(X \underset{\mathrm{alg}}{\sim} 0\) et pour […] ; vraiment \(v(X, \underline{a}) = 0\) \(\forall\, X, \underline{a}\) note oblique dans la marge de gauche, à la hauteur de (iii), reliée par un trait à « (iii) » ; « connexe » est coupé au bord

(iv) Pour \(X \in D_a(A_K)\) fixé, \(0 \notin \mathrm{Supp}\, X\), et \(x \in A(K)\), \(x \notin \mathrm{Supp}\, X\) variable, \(v(X, (x) - (0))\) est borné.

De plus, on a les propriétés suivantes :

(iv bis) \(v(X, (x) - (a))\) ne dépend (pour \(X \in D_a(A_K)\) fixé et \(a \in A(K)\), \(a \notin \mathrm{Supp}\, X\) fixés) \(x\) variable que de la classe de \(x\) mod \(A(K)^{0} =\) Image inverse de \(A_0^{0}\)[…], donc ne prend qu'un nb fini de valeurs. après \(A_0^{0}\), un indice coupé au bord du feuillet

4[…] en haut à gauche, dans la marge, un griffonnage biffé où se lit \(X\)

(v) Si \(X \in D_{\ell}(A_K)\) ou \(\underline{a} \in Z_{\ell}^{*}(A_K)\), on a \(v(X, \underline{a}) \in \mathbb{Z}\).

(vi) Si \(m =\) degré de \(A_0 / A_0^{0}\), alors on a toujours \(m\, v(X, \underline{a}) \in \mathbb{Z}\).

[N.B. On obtient donc [par (v) et (vi)] un accouplement remarquable

\begin{tikzcd}[column sep=small]
  D_a(A_K)/D_{\ell}(A_K) \times Z_0^{*}(A_K)/Z_{\ell}^{*}(A_K) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr" description] & \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \arrow[d, no head, "\wr" description] \\
  A^{*}(K) & {}_{m}(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})
\end{tikzcd}

le \(\wr\) de gauche est écrit sous \(D_a(A_K)/D_{\ell}(A_K)\) seul ; le \(K\) de \(A^{*}(K)\) est surchargé

pour […] unicité (?) pour […]

* \(\quad A^{*}(K) \times A(K) \longrightarrow \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) ]

À examiner : cas d'une pol. principale, jacobienne d'une VA et * note entourée, oblique, dans la marge de gauche ; l'astérisque renvoie à la ligne marquée *

La relation avec le symbole local \((X, \underline{a})_v\) est donnée par

(vii) \[ \boxed{(X, \underline{a})_v = v(X, \underline{a}) + \sum_{x_0 \in A_0} i(\bar{X}, \bar{\underline{a}}, x_0)} \] un petit signe, illisible, en exposant de \(A_0\) sous le \(\Sigma\)

Ceci montre que \((X, \underline{a})_v \in \frac{1}{m}\mathbb{Z}\) pour tt \(X, \underline{a}\), donc à fortiori il est rationnel, et il est entier si \(X \in D_{\ell}(A_K)\) [On le savait déjà, car on a toujours, si \(X = \mathrm{div} f\), \((X, \underline{a})_v = v(f(\underline{a}))\)] ou si \(\underline{a} \in Z_{\ell}^{*}(A_K)\). On trouve donc

Se généralise aussitôt aux variétés quelconques —- dans la marge de gauche, reliée par une accolade aux trois lignes « Ceci montre que » à « ou si »

5une autre [expression de l'] accouplement * en termes de \((X, \underline{a})_v\). […]

Cor \[ v(X_{\underline{a}}, \underline{b}) = v(X^{-}_{\underline{b}}, \underline{a}) \qquad (= v(X_{\underline{b}^{-}}, \underline{a}^{-})) \]

Dans le cas global [où on a une famille de valuations discrètes satisfaisant à la formule du produit] on obtient un accouplement […] \[ D_a^{*}(A_K) \times Z_0^{*}(A_K) \longrightarrow \mathbb{R} \] l'exposant de \(D_a\), lu \(*\), est douteux ; le \(Z\) est surchargé par produit produit des symboles locaux \[ (X, \underline{a}) = \sum_v (X, \underline{a})_v \] qui ne dépend plus que des classes de mod \(D_{\ell}(A_K)\) resp. mod \(Z_{\ell}^{*}(A_K)\), et définit donc un accouplement \[ A^{*}(K) \times A^{*}(K) \longrightarrow \mathbb{R} . \] les deux astérisques sont surchargés, le second plus lourdement ; on attend \(A^{*}(K) \times A(K)\), comme à la p. 4

On obtient donc : cet accouplement est à valeurs dans \(\frac{1}{m}\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\), où \(m\) est un entier \(> 0\) convenable.

La forme en question est la forme de Néron-Tate. Elle […] multipliée

6\(X \xrightarrow{f} S\) morphisme régulier propre

\(X\) régulier

\(S\) régulier irréductible, pt. gén. \(\eta\)

On suppose que \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) existe, et est une V.A. l'exposant de \(\underline{\mathrm{Pic}}\) est biffé

Pour que l'adhérence schématique \(\mathcal{A}\) de \(A_\eta = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X_\eta/k(\eta)}\), est un sous-schéma en groupes plat de \(X\), en quoi lisse sur \(S\) — ce qui est automatiquement le cas si \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}\) est lisse sur \(S\) le long de la section unité, p.ex. si \(S\) régulier de dim 1 et les \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_s/k(s)}\) sont lisses (\(s \in S\)). « schématique \(\mathcal{A}\) » est écrit au-dessus de la ligne, sous une accolade ; l'exposant de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_\eta/k(\eta)}\), un \(0\) surmonté de deux points, est lu \(0\)

Alors Pic \(\mathcal{A}\) est un modèle de Néron :

en effet, si \(S'/S\) est lisse, alors \(X' = X \times_S S'\) est lisse sur \(X\) régulier, donc est régulier, donc tt section élément de \(\mathrm{Pic}(X'_{\eta'})\) provient d'un élément de \(\mathrm{Pic}(X')\).

Attention s'il n'y a pas de section locale (ét.) de \(X\) sur \(S\) dans la marge de gauche, à la hauteur de « en effet »

7feuillet dactylographié, non transcrit : sommaire d'une rédaction Bourbaki, n° 383, chapitre III, « Systèmes de racines (État 3) ». Seules les cinq lignes au crayon de la marge de gauche sont transcrites ; rien ne permet d'assurer qu'elles sont de sa main

Matrices de Coxeter ; Matrices de Cartan ; Systèmes de racines ; groupes engendrés par des réflexions ; diagrammes de Dynkin cinq lignes superposées, séparées ici par des points-virgules

[Groupe de Néron-Severi d'une surface et pinceau de sections hyperplanes]

titre entre crochets, de l'éditeur : les feuillets 9 à 14 ne portent pas de titre

9\(X\) surface algébrique projective non singulière conn. sur \(k\) alg. clos. n'est pas une restriction essentielle ! […] \(\dim X \geqslant 2\) note entourée, en tête du feuillet, reliée par un trait à « surface »

\(Y_0\) section hyperplane non singulière, dans un « pencil » défini par \(L^{n-2} \subset \mathbb{P}^{n}\) coupant \(X\) transversalement en \(Z\)

\(\tilde{X}\) obtenu en faisant éclater \(Z\)

\begin{tikzcd}
  X & \tilde{X} \arrow[l, "\varphi"'] \arrow[d] & \tilde{Y}_{\bar{t}} \\
  & \mathbb{P}^{1} &
\end{tikzcd}

sous \(X\), un trait vertical ondulé, sans pointe ni but ; sous \(\tilde{Y}_{\bar{t}}\), un crochet qui revient vers la gauche, sans aboutir ; l'indice \(\bar{t}\) est douteux

\begin{tikzcd}
  \mathrm{Pic}(X) \arrow[r, hook] \arrow[dr] & \mathrm{Pic}(\tilde{X}) \arrow[d] \\
  & \mathrm{Pic}(\tilde{Y}_{\bar{\eta}})
\end{tikzcd}

Soit \(\mathrm{Pic}(X)'\) (\(\mathrm{Pic}(\tilde{X})'\)) le sous-groupe des diviseurs classes induisant sur \(\tilde{Y}_{\bar{\eta}}\) une classe de degré 0. On a donc

\begin{tikzcd}
  \mathrm{Pic}(X^{*})' \arrow[r, hook] \arrow[dr] & \mathrm{Pic}(\tilde{X})' \arrow[d] \\
  & \mathrm{Pic}^{0}(\tilde{X}_{\bar{\eta}}) = J^{0}(\tilde{X}_{\bar{\eta}})
\end{tikzcd}

l'exposant de \(X\), lu \(*\), est douteux et absent de la définition qui précède ; en bas, il écrit \(\tilde{X}_{\bar{\eta}}\), non \(\tilde{Y}_{\bar{\eta}}\), et de même aux pp. 10-11

10croquis : une droite de base portant trois points, notés \(t_1\), \(y_0\) et \(\bar{\eta}\) ; au-dessus de chacun une fibre verticale — celle de \(t_1\) se recoupe elle-même, celle de \(\bar{\eta}\) est hachurée —, et une courbe transverse, marquée \(\tilde{z}\), qui les coupe toutes les trois

À déterminer a) les noyaux de \[ \begin{array}{l} \mathrm{Pic}(X^{*})' \longrightarrow J^{0}(\tilde{X}_{\bar{\eta}}) \\ \mathrm{Pic}(\tilde{X})' \longrightarrow J^{0}(\tilde{X}_{\bar{\eta}}) \end{array} \] les deux flèches aboutissent au même but ; le \(J\) est écrit par-dessus « Pic »

b) leur image

N.B. \(\mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\eta}) \to \mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\bar{\eta}})\) est injectif, donc le noyau de \(\mathrm{Pic}(\tilde{X})^{*} \to \mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\bar{\eta}})\) […] (égal au noyau de \(\mathrm{Pic}(\tilde{X})' \to J^{0}(\tilde{X}_{\bar{\eta}})\)) est aussi celui de \(\mathrm{Pic}(\tilde{X}) \to \mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\eta})\), i.e. est formé des classes des diviseurs verticaux. Parmi ceux-ci, Notons que les diviseurs verticaux \(\tilde{X}_y\), pour \(y \in \mathbb{P}^{1}(k)\), / \(\tilde{X}_y\) non sing[…] sont linéairement équivalents entre eux, donc à \[ \tilde{X}_{y_0} = \tilde{Y}_0 \simeq Y_0 . \] Donc Si les tous les \(X_y\) sont irréductibles […] intègres, alors le noyau de \(\mathrm{Pic}(\tilde{X})' \to J^{0}(\tilde{X}_{\bar{\eta}})\) se réduit aux classes des multiples de cl(\(\tilde{X}_y\)) la classe […] de \(\tilde{Y}_0\), notée \(\tilde{\xi}_0\) Notons que, qui est « notée \(\tilde{\xi}_0\) » est écrit au-dessus de « Notons que » biffé

11i.e. à \[ \varphi^{*}(\xi_0) - \sum_{z \in Z} \tilde{z} , \] où \(\xi_0\) est la classe de \(Y_0\) dans \(X\). Par suite, si comme \(Z \neq \emptyset\), on a \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq 0 \Rightarrow n\tilde{\xi}_0 \notin \mathrm{Pic}(X)'\). Donc dans le cas envisagé, \[ \mathrm{Pic}(X)' \longrightarrow \mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\bar{\eta}}) = \mathrm{Pic}(Y_{\bar{\eta}}) \] est injectif. « comme » est écrit au-dessus de « si » biffé ; le prime de \(\mathrm{Pic}(X)'\) est appuyé

L'image de \(\mathrm{Pic}^{0}(X) \simeq \mathrm{Pic}^{0}(\tilde{X})\) dans \(\mathrm{Pic}(\tilde{X}_{\bar{\eta}})\) \(\mathrm{Pic}^{0}(Y_{\bar{\eta}}) = J(Y_{\bar{\eta}})(k)\) est la « partie fixe » \(J(Y_{\bar{\eta}})^{\mathrm{fixe}}(k)\) et de façon précise on a des isom.

\begin{tikzcd}
  \mathrm{Pic}^{0}(X) \arrow[r, "\sim"] & \mathrm{Pic}^{0}(\tilde{X}) \arrow[r, "\sim"] & J(Y_{\bar{\eta}})^{\mathrm{fixe}}(k) \arrow[d, no head, "\wr" description] \\
  & & J(Y_{\bar{\eta}})^{\mathrm{fixe}}(k(\eta))
\end{tikzcd}

le premier \(J\) est écrit par-dessus « Pic » ; après « \((k\) », une surcharge biffée

[N.B. […] \(k(\eta)\) est une extension pure de \(k(\eta)\), donc pour tte V.A. \(A\) sur \(k\), \(A(k) \simeq A(k(\eta))\)]. On obtient donc la lecture « de \(k(\eta)\) » est douteuse ; ce qui suit ferait attendre « de \(k\) »

\begin{tikzcd}
  NS(X)' \arrow[r, hook] & NS(\tilde{X})' \arrow[d] \\
  & J'(k(\eta))
\end{tikzcd}

où \(J' = J / J^{\mathrm{fixe}}_{k(\eta)}\) est « la partie mobile » de \(J = J(Y_\eta / k(\eta))\). Notons que le noyau de

12\(NS(\tilde{X})' \to J'(k(\eta))\) est égal au groupe engendré par l'image de \(\tilde{\xi}_0\), car si \(\alpha\) est dans le noyau, alors \(\alpha\) provient de \(\alpha_0 \in \mathrm{Pic}(\tilde{X})'\), et comme par hyp. l'image de \(\alpha_0\) dans \(J(Y_\eta)\) est dans \(J(Y_\eta)^{\mathrm{fixe}} \simeq \mathrm{Pic}^{0}(\tilde{X})\), il s'ensuit que quitte à modifier \(\alpha_0\) par un élément de \(\mathrm{Pic}^{0}(\tilde{X})\), on aura une image nulle — Donc sous réserve que tous les \(Y_y\) soient intègres, le noyau de \(NS(\tilde{X})' \to J'(k(\eta))\) est de rang 1, et engendré par l'image de \(\tilde{\xi}_0\). le \(J\) de « dans \(J(Y_\eta)\) » est surchargé

Enfin, je dis que l'image de \(NS(\tilde{X})' \to J'(k(\eta))\) est surjectif mod. groupe fini. En effet, un élément de \(J'(k(\eta))\) comme \(H^{1}(K, J'')\) est un groupe de torsion [où \(K = k(\eta) = k(t)\), \(J'' = J^{\mathrm{fixe}}\)] — on voit que mod. groupes finis, \(NS(\tilde{X})' \to J'(k(\eta))\) est \(J(k(\eta)) \to J'(k(\eta))\) est surjectif), donc il suffit de prouver que \(\mathrm{Pic}(\tilde{X})' \to J(k(\eta))\) est surjectif mod « mod. groupe fini » est écrit au-dessus de la ligne, avec un trait qui le rattache à « surjectif »

13[…] mod groupe fini. Or un élément de \(J(k(\eta))\) qui provient […] […] de \(t\) d'une classe de diviseurs de degré 0 sur \(Y_\eta\) [N.B. le groupe de Brauer de \(k(\eta) = k(t)\) est nul, par Tsen] et on gagne.

\[ \boxed{\rho(\tilde{X}) - 2 =}\ \boxed{\rho(X) + z - 2 = \rho(J')} \] deux cadres accolés ; les deux « 2 » sont repassés, le second lourdement, sans doute sur un autre chiffre

\(\rho(X)\) nb de Picard de \(X\)

\(z =\) nb des sections singulières du pinceau

\(\rho(J')\) = rang du groupe des pts rat. sur \(k(\eta)\), de \(J' = J(Y_\eta) / J(Y_\eta)^{\mathrm{fixe}}\) les trois définitions sont réunies par une accolade ; « sections singulières » est une lecture douteuse

Condition de validité de la formule : toutes les sections du pinceau sont intègres irréductibles (intègre n'est pas absolument néc., i.e. on admet des sections multiples ...).

14Supposons \(X\) une surface.

Notons maintenant que \(J'\) a une polarisation canonique, héritée de celle de \(J\), […] [En effet, le dual de \(J\) […]] propre dual[…], \(\hat{J}'\) le dual de \(J'\) s'envoie canoniquement dans \(J\), donc hérite une polarisation, d'où une polarisation Donc on conclut [par Néron-Tate] une forme quadratique canonique sur définie positive \(\mathbb{Q}\) sur \(J'(k(\eta))\). le passage entre crochets est encadré et barré de quatre grands traits obliques ; en tête du cadre, \(J\) suivi d'une flèche. « par Néron-Tate » est écrit sous la ligne, avec une accolade ; « \(\mathbb{Q}\) » est ajouté au-dessus, avec un signe d'insertion, entre « positive » et « sur »

D'autre part, il y a aussi une forme quadratique définie négative sur \(NS(X)'\), savoir la forme intersection.

\(i\) […] : \(NS(X)' \longrightarrow J'(k(\eta))\). À prouver la formule \[ \boxed{Q(i(\xi), i(\eta)) = -\, \xi \cdot \eta} \qquad (\xi, \eta \in NS(X)') \] ? valable si les \(Y_t\) sont tous intègres ?

[Symboles locaux et nombres d'intersection]

titre entre crochets, de l'éditeur : les feuillets 16 et 18 ne portent pas de titre

161) \(\quad f : X \to S\) projectif, \(X\) régulier, \(S\) spectre d'anneau de v.d. discrète, pt générique \(\eta\), pt spécial \(s\)

\(X_\eta\) est lisse

\(X_s\) est géométriquement intègre […]

Soit \(\dim X_\eta = n \qquad \dim X = n + 1\)

\(C\), \(D\) deux cycles sur \(X\), de dimensions \(c\) et \(d\) avec \(c + d = n + 1\). On suppose

a) […] \(C_\eta\) et \(D_\eta\) sont alg. équiv. à 0

[…] et \(\mathrm{Supp}\, C_\eta \cap \mathrm{Supp}\, D_\eta = \emptyset\)

b) \(C\) et \(D\) n'ont que des composantes horizontales, i.e. \(C = \overline{C_\eta}\), \(D = \overline{D_\eta}\)

c) \(C \cdot D\) est défini [\(\Longrightarrow \mathrm{Supp}\, C_\eta \cap \mathrm{Supp}\, D_\eta = \emptyset\)]

Considérons \(i(C \cdot D)\), il ne dépend que de […] \(C_\eta\) et \(D_\eta\), cycles de \(X_\eta\) de codimensions \(c, d\) tels que \(c + d = n + 1\), de supports […] disjoints. On veut donc donner une description de \(i(C \cdot D)\) en termes de \(C_\eta, D_\eta\), i.e. comme un \[ \langle C_\eta, D_\eta \rangle_v \] indépendant du modèle \(X\) [et de leur existence], (à valeurs dans \(\mathbb{Q}\)) à priori « algébriquement » est écrit au-dessus de « codimensions » ; « de supports » au-dessus d'un mot biffé ; « et de leur existence » au-dessus de la ligne, sous une accolade ; « à priori » dans une bulle reliée à « à valeurs dans \(\mathbb{Q}\) »

18Le cas gl. peut se formuler pour un système de cycles \(Z_1, \dots, Z_k\) de codim \(c_1, \dots, c_k\) \[ \left\{ \begin{array}{l} c_1 + \dots + c_k = n + 1 \\ \text{[deux parmi les termes]}\ Z_{i\eta}\ \text{alg. équiv. à } 0 \\ Z_1 \cdot \ldots \cdot Z_k \ \text{défini} \end{array} \right. \] au-dessus de \(Z_{i\eta}\), un court mot entouré, illisible ; « deux parmi les termes » est entouré aussi

On aurait ainsi \[ i(Z_1 \cdot \ldots \cdot Z_k) = (Z_{1\eta}, \dots, Z_{k\eta})_v \]

Propriétés du symbole local

(i) Bilinéarité (partielles ....), symétrie

(ii) Invariance par isomorphismes de \(X_\eta\)

(ii bis) Pour \(k = 2\), formule de transposition pour un morphisme \(X_\eta \to Y_\eta\)

(iii) Bilinéarité Normalisation : si \(Z_{k\eta} = Z'_{k\eta} \cdot \mathrm{div} f_\eta\), Ou où \(Z_{1\eta} \cdot \ldots \cdot Z_{k\eta} \cdot Z'_{k\eta}\) est défini (i.e. l'intersection des \(\mathrm{Supp}\, Z_{1\eta}\) ... \(\mathrm{Supp}\, Z_{k-1,\eta}\), \(\mathrm{Supp}\, Z'_{k\eta}\) est discrète) on a […] […] \[ (Z_{1\eta}, \dots, Z_{k\eta}) = v(f_\eta(Z_{1\eta} \cdot \ldots \cdot Z_{k-1,\eta} \cdot Z'_{k\eta})) \] devant la parenthèse de gauche, deux lettres, peut-être « i.e. » ou l'indice \(v\) du symbole, non lues ; le dernier indice est coupé au bord du feuillet

(iv) Principe de continuité ....

(v) Extension du corps de base, écrit de bas en haut le long de la marge de gauche