Cote n° 130, pages 1–49 — Lecture modernisée

Cote n° 130 · pages 1–49 · Lecture modernisée · Hauteurs et symboles locaux : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1971]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Ces feuillets cherchent à mesurer la « distance » entre deux objets géométriques définis sur un corps de nombres, ou sur un corps de fonctions, et à la décomposer en une somme de contributions locales, une par nombre premier.

Le modèle est élémentaire. La taille d'un nombre rationnel $a/b$ en écriture réduite se lit nombre premier par nombre premier : on regarde combien de fois chaque $p$ divise $a$ et $b$, et l'on additionne ces informations locales. Sur une courbe ou une variété, les points rationnels ont de même une « hauteur », qui mesure leur complexité arithmétique, et André Néron avait montré qu'elle se découpe en « symboles locaux », un par place du corps. Le problème que se posent ces pages est de comprendre ce que sont ces symboles locaux en géométrie : pour une place donnée, on regarde la variété « réduite modulo $p$ », c'est-à-dire un modèle sur l'anneau local, et l'on espère que le symbole local n'est autre qu'un nombre d'intersection sur ce modèle — le nombre de fois que deux objets se rencontrent quand on les réduit modulo $p$.

L'idée centrale est que cela est presque vrai. Sur une variété abélienne, Grothendieck sépare le symbole de Néron en deux parts : un nombre d'intersection sur le modèle de Néron, entier, et un terme correctif qui ne dépend que de la façon dont la réduction modulo $p$ se casse en plusieurs morceaux ; ce terme est une fraction de dénominateur le nombre de morceaux. D'où un accouplement à valeurs dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ qui ne voit que ces morceaux. Pour une variété quelconque, il ramène la question à la variété abélienne qui lui est attachée (son Albanese), par une fonctorialité. Entre deux, une suite sur les surfaces : on découpe une surface par un pinceau de courbes, et le nombre de classes de courbes indépendantes sur la surface se lit sur le nombre de points rationnels indépendants de la jacobienne de la courbe générique ; la question qui clôt la suite — l'intersection sur la surface est-elle, au signe près, la hauteur sur la jacobienne ? — est restée telle sur la page.

La dernière suite reprend tout depuis les fondations, à la manière de Néron et Weil : pour un corps muni d'une famille de valeurs absolues, une fonction « admissible » est une fonction de deux variables, un point et une place, qui reste bornée là où les coordonnées le sont ; une « quasi-fonction » est localement une fonction rationnelle corrigée par une fonction admissible. Grothendieck en fait un faisceau, et la théorie des hauteurs prend la forme d'une suite exacte de faisceaux : toute classe de diviseurs porte une fonction « hauteur locale », unique à une fonction bornée près. C'est le geste familier de ces années — remplacer une collection d'estimations par une structure — appliqué à l'arithmétique.

On a ici des notes de travail. Les questions sont écrites comme telles (« À examiner », « à vérifier », « Cette condition est-elle suffisante ?? »), les points admis sont dits admis, deux pages sont barrées et une suite s'arrête au milieu d'une phrase. Le titre du dossier est celui des archivistes ; la datation « [vers 1971] » est celle de l'inventaire. Des pages dactylographiées d'autres textes y sont mêlées ; elles ne sont pas lues ici.

Les noms sous lesquels chercher la suite : symbole local de Néron et fonctions de Néron, modèle de Néron et groupe des composantes, accouplement de Grothendieck sur les groupes de composantes, hauteur de Néron–Tate ; formule de Shioda–Tate et réseaux de Mordell–Weil ; accouplement de hauteur de Beilinson–Bloch ; fonctions de Weil, parties $M_K$-bornées et « machine des hauteurs » de Weil.

Keywords — Néron local symbol, Néron model, component group, Grothendieck pairing, Néron-Tate height pairing, Picard scheme, Lefschetz pencil, Néron-Severi group, Shioda-Tate formula, Mordell-Weil lattice, K/k-trace, Tsen's theorem, Beilinson-Bloch height pairing, arithmetic intersection, Albanese variety, proper set of absolute values, MK-bounded set, Weil function, quasi-function, Weil height machine

1–49

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier compte quarante-neuf feuillets, dont trente-quatre de sa main. Ils se rangent en quatre suites, sans date, que rien ne relie sur la page sinon le sujet¹ .

I.Formules de Néron (pages 1 à 7). Sur une variété abélienne $A$ définie sur le corps des fractions $K$ d'un anneau de valuation discrète, le symbole local de Néron est la somme d'un nombre d'intersection sur le modèle de Néron et d'un correctif $v(X,a)$ dont le dénominateur divise l'ordre $m$ du groupe des composantes ; d'où un accouplement $A^\vee(K) \times A(K) \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Puis (page 6) une construction du modèle de Néron d'une jacobienne comme adhérence dans le schéma de Picard.
II.Une surface et un pinceau (pages 9 à 14). Le rang du groupe de Néron–Severi d'une surface comparé au rang de Mordell–Weil de la jacobienne de la courbe générique d'un pinceau, et la question d'une formule de hauteur.
III.Symboles locaux et nombres d'intersection (pages 16 à 31). Le programme : le symbole local de deux cycles algébriquement équivalents à zéro devrait être un nombre d'intersection sur un modèle régulier. La réduction, pour un diviseur et un $0$-cycle, au cas abélien de la suite I par l'application d'Albanese. La suite s'arrête sur le cas non lisse.
IV.Quasi-fonctions de Néron–Weil (pages 34 à 48). Les fondations : parties $M_K$-bornées, fonctions admissibles, faisceau des quasi-fonctions et ses suites exactes, sections globales.

Les suites I et III se répondent : la page 4 annonce en marge que les formules « se généralise[nt] aussitôt aux variétés quelconques », et les pages 25 à 31 sont cette généralisation, qui revient au cas abélien. La suite II emprunte à la suite I la forme de Néron–Tate. La suite IV est d'un autre registre — elle ne suppose aucun modèle, seulement des valeurs absolues — et ne renvoie pas aux trois autres.

L'ordre des feuillets

Dans la suite IV, l'ordre des archivistes n'est pas celui de la lecture : la dernière phrase de la page 44 se poursuit en tête de la page 46, celle de la page 46 en tête de la page 48, tandis que les pages 45 et 47, barrées de longs traits, forment entre elles un fil distinct sur une autre formulation de l'admissibilité. On lit ici $44 \to 46 \to 48$, puis $45 \to 47$ à part ; rien sur la page ne dit lequel des deux fils a été écrit le premier.

Conventions

Les valuations sont écrites additivement : pour une valeur absolue $|\ |_v$, $v(x) = -\log|x|_v$ à une constante positive près ; pour une valuation discrète normalisée, $v(K^*) = \mathbb{Z}$. C'est la convention des pages (feuillet 34 : « qu'on écrit sous forme logarithmique $v(x)$ »).

$\mathcal{A}$ désigne le modèle de Néron de $A$, $\mathcal{A}_0$ sa fibre spéciale, $\mathcal{A}_0^0$ sa composante neutre, $\Phi_A = \mathcal{A}_0/\mathcal{A}_0^0$ le groupe des composantes et $m$ son ordre² .
$A^\vee$ est la variété abélienne duale, qu'il note $A^*$.
Les $0$-cycles sont notés $a, b$ (il les souligne). $D_a(A_K)$ et $D_\ell(A_K)$ sont les groupes de diviseurs algébriquement, linéairement équivalents à $0$ ; $Z_0^0(A_K)$ celui des $0$-cycles de degré $0$, et $Z_\ell(A_K)$ le noyau de l'application somme $Z_0^0(A_K) \to A(K)$.
Le symbole local de la suite III est noté $\langle C_\eta, D_\eta\rangle_v$, comme aux pages 16 et 21 ; celui de la suite I $(X, a)_v$, comme à la page 4. Le second est le cas particulier du premier où la variété est abélienne et $C_\eta$ un $0$-cycle.
Dans la suite IV, $\Phi_X$ est le faisceau des fonctions admissibles, $\mathcal{R}^*_X$ celui des fonctions rationnelles inversibles, $QF_X$ celui des quasi-fonctions, $\mathrm{Div}_X$ celui des diviseurs de Cartier, $U$ le groupe des $M_K$-unités de $K$³ .

Ce que le dossier annonce sans l'établir

Le corollaire de la page 5 est énoncé sans démonstration ; le « Lemme » de la page 29 n'a ni énoncé lisible ni preuve ; l'indépendance du symbole local vis-à-vis du modèle (page 16) est un programme, et les propriétés de continuité et d'extension du corps de base (page 18) sont seulement nommées. La formule de hauteur de la page 14 est posée comme question. Le cas général b) de la page 31 s'arrête après deux lignes. Dans la suite IV, le point de la page 41 est « admis », la condition de la page 45 reste une question, et le cas de l'espace projectif (page 48), auquel tout est ramené, n'est pas traité. Les notes de bas de page disent, cas par cas, ce qui est vrai et ce que la littérature en sait.

1–7

I. Formules de Néron (pages 1 à 7)

3–5

Le symbole de Néron sur une variété abélienne (pages 3 à 5)

Soit $V$ un anneau de valuation discrète, de corps des fractions $K$, de corps résiduel $k$, de valuation normalisée $v$⁴ . Soit $A$ une variété abélienne sur $K$, $\mathcal{A}$ son modèle de Néron sur $V$. On considère les couples $(X, a)$ formés d'un diviseur $X \in D_a(A_K)$ et d'un $0$-cycle $a \in Z_0^0(A_K)$, de supports disjoints⁵ .

Le feuillet 3 caractérise une fonction $v(X, a)$, à valeurs dans $\mathbb{Q}$, définie sur ces couples, par quatre propriétés :

(i)elle est bilinéaire ;
(ii)elle est invariante par les translations par les points de $A(K)$ ;
(iii)si $X = \mathrm{div}(f)$, alors \[ v(\mathrm{div}(f), a) = i\bigl(\mathrm{div}(\bar f)_{\mathrm{vert}},\ \bar a\bigr), \] où $\bar f$ est $f$ vue comme fonction rationnelle sur $\mathcal{A}$, $\mathrm{div}(\bar f)_{\mathrm{vert}}$ la partie verticale (portée par $\mathcal{A}_0$) de son diviseur, $\bar a$ l'adhérence de $a$ dans $\mathcal{A}$, et $i(\cdot,\cdot)$ la somme sur les points $x_0 \in \mathcal{A}_0$ des multiplicités d'intersection locales ;
(iv)pour $X$ fixé, avec $0 \notin \mathrm{Supp}\,X$, la fonction $x \mapsto v(X, (x) - (0))$, définie sur les $x \in A(K)$ hors de $\mathrm{Supp}\,X$, est bornée.

Le modèle de Néron est lisse sur $V$, donc régulier : ses diviseurs de Weil sont de Cartier, et les multiplicités d'intersection de (iii) ont un sens dès que $\bar a$ ne rencontre pas la partie horizontale de $\mathrm{div}(\bar f)$ hors de la fibre spéciale, ce qu'assure la disjonction des supports⁶ .

Il en tire, sans démonstration écrite, les propriétés suivantes.

(iv bis)Pour $X$ et $a \in A(K)$ fixés, $v(X, (x) - (a))$ ne dépend que de la classe de $x$ modulo le sous-groupe $A^0(K)$ des points dont la réduction tombe dans $\mathcal{A}_0^0$. Comme $A(K)/A^0(K)$ s'injecte dans le groupe fini $\Phi_A(k)$, elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs⁷ .
(v)Si $X \in D_\ell(A_K)$ ou $a \in Z_\ell(A_K)$, alors $v(X, a) \in \mathbb{Z}$.
(vi)En général, $m\, v(X, a) \in \mathbb{Z}$, où $m$ est l'ordre de $\Phi_A$⁸ .

Une marge précise le cas extrême : si $m = 1$, c'est-à-dire si $\mathcal{A}_0$ est connexe, alors $v$ est identiquement nulle⁹ .

Un accouplement à valeurs dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Par (v) et (vi), $v$ induit, modulo $\mathbb{Z}$, un accouplement \[ D_a(A_K)/D_\ell(A_K) \times Z_0^0(A_K)/Z_\ell(A_K) \longrightarrow \tfrac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, \] c'est-à-dire, puisque $D_a/D_\ell = \mathrm{Pic}^0(A_K) = A^\vee(K)$ et que l'application somme identifie $Z_0^0/Z_\ell$ à $A(K)$, \[ A^\vee(K) \times A(K) \longrightarrow \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}. \] Par (iv bis), il se factorise à droite par $A(K)/A^0(K) \subset \Phi_A(k)$. La page le dit « remarquable » et note en marge, entourée : « À examiner : cas d'une polarisation principale, jacobienne d'une variété abélienne »¹⁰ .

La relation avec le symbole de Néron. Soit $(X, a)_v$ le symbole local de Néron, normalisé par $(\mathrm{div}\,f, a)_v = v(f(a))$, où $f(a) = \prod f(x_i)^{n_i}$ pour $a = \sum n_i (x_i)$. La page encadre la formule \[ \boxed{\ (X, a)_v = v(X, a) + i(\bar X, \bar a)\ } \qquad \text{(vii)} \] où $\bar X$ est l'adhérence de $X$ dans $\mathcal{A}$ et $i(\bar X, \bar a)$ la somme des multiplicités d'intersection aux points de la fibre spéciale. Pour $X = \mathrm{div}(f)$ elle est compatible avec (iii) : $\mathrm{div}(\bar f) = \bar X + \mathrm{div}(\bar f)_{\mathrm{vert}}$, et $v(f(a)) = i(\mathrm{div}(\bar f), \bar a)$ est la somme des deux termes. Comme $i(\bar X, \bar a)$ est entier, (vi) donne $(X, a)_v \in \frac{1}{m}\mathbb{Z}$ ; en particulier le symbole de Néron est rationnel, et entier si $X \in D_\ell$ (on le savait : c'est $v(f(a))$) ou si $a \in Z_\ell$. On obtient ainsi une autre expression de l'accouplement de la page 4, en termes du seul symbole de Néron. La marge ajoute : « se généralise aussitôt aux variétés quelconques » ; c'est l'objet de la suite III.

Un corollaire de symétrie (page 5). Pour un diviseur $X$ et un $0$-cycle $a = \sum n_i(x_i)$, notons $X_a = \sum n_i\, \tau_{x_i}(X)$ la somme des translatés, $X^- = [-1]^* X$ et $a^- = [-1]_* a$¹¹ . La page énonce \[ v(X_a, b) = v(X^-_b, a) \qquad \bigl(= v(X_{b^-}, a^-)\bigr), \] sans démonstration. L'analogue global est vrai : l'homomorphisme $\varphi_X$ est symétrique et ne change pas quand on remplace $X$ par $X^-$, de sorte que la forme de Néron–Tate $\langle \varphi_X(x), y\rangle$ est symétrique en $x, y$. L'énoncé local n'est pas vérifié ici.

Le cas global (page 5). Supposons donnée sur $K$ une famille de valuations discrètes $v$ satisfaisant la formule du produit $\sum_v n_v\, v(x) = 0$ pour $x \in K^*$, avec des poids $n_v$ entiers — c'est le cas d'un corps de fonctions d'une courbe, et ce n'est pas celui d'un corps de nombres, qui a des places archimédiennes. La somme $\sum_v n_v (X, a)_v$ ne dépend plus que des classes de $X$ modulo $D_\ell$ et de $a$ modulo $Z_\ell$ — c'est la formule du produit pour $X = \mathrm{div}\,f$ — et définit un accouplement \[ A^\vee(K) \times A(K) \longrightarrow \mathbb{R} \] ¹² , qui est au signe près la forme de hauteur de Néron–Tate¹³ . Il est à valeurs dans $\frac{1}{m}\mathbb{Z}$, où $m$ est le plus petit commun multiple des ordres $m_v$ des groupes de composantes¹⁴ .

6–6

Le modèle de Néron d'une jacobienne comme adhérence (page 6)

Soit $f : X \to S$ un morphisme propre et plat, $X$ régulier, $S$ régulier de dimension $1$, de point générique $\eta$, tel que $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ existe. Soit $\mathcal{A}$ l'adhérence schématique de $A_\eta = \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_\eta/k(\eta)}$ dans $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$. Supposons que $\mathcal{A}$ soit un sous-schéma en groupes lisse sur $S$ — ce qui a lieu dès que $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ est lisse sur $S$ le long de la section unité, par exemple si les $\underline{\mathrm{Pic}}_{X_s/k(s)}$ sont lisses — et séparé, et que $X$ admette des sections étale-localement sur $S$. Alors $\mathcal{A}$ est le modèle de Néron de $A_\eta$¹⁵ .

La raison qu'il donne est la bonne : si $S' \to S$ est lisse, $X' = X \times_S S'$ est lisse sur $X$ régulier, donc régulier ; sur un schéma régulier tout diviseur de Weil est de Cartier, de sorte que tout faisceau inversible sur la fibre générique $X'_{\eta'}$ se prolonge à $X'$ (on prend l'adhérence d'un diviseur). Tout point de $A_\eta$ à valeurs dans la fibre générique de $S'$ se prolonge donc en un $S'$-point de $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$, qui tombe dans $\mathcal{A}$ parce que $S'$ est plat sur $S$ : c'est la propriété d'extension de Néron.

7–7

Une liste en marge (page 7)

Le feuillet 7 est le sommaire d'une rédaction dactylographiée de Bourbaki sur les systèmes de racines ; on n'en retient que cinq lignes au crayon dans sa marge : « Matrices de Coxeter ; Matrices de Cartan ; Systèmes de racines ; groupes engendrés par des réflexions ; diagrammes de Dynkin »¹⁶ .

9–14

II. Le groupe de Néron–Severi d'une surface et un pinceau (pages 9 à 14)

9–11

Le pinceau et l'éclaté (pages 9 à 11)

Soit $X$ une surface projective lisse et connexe sur un corps $k$ algébriquement clos¹⁷ , plongée dans $\mathbb{P}^n$. Un pinceau de sections hyperplanes, défini par un sous-espace linéaire $L \simeq \mathbb{P}^{n-2}$, coupe $X$ transversalement en un ensemble fini $Z$ ; soit $Y_0$ une section lisse du pinceau, et $z = \mathrm{card}\, Z = (Y_0 \cdot Y_0)$. Soit $\varphi : \tilde X \to X$ l'éclaté de $Z$ ; le pinceau devient un morphisme $\tilde X \to \mathbb{P}^1$, de fibres les $\tilde Y_t \simeq Y_t$, de fibre générique $Y_\eta$ sur $K = k(\eta) = k(t)$. Les courbes exceptionnelles $\tilde z$ ($z \in Z$) sont des sections.

Notons $\mathrm{Pic}(X)'$ et $\mathrm{Pic}(\tilde X)'$ les sous-groupes des classes dont la restriction à la fibre générique géométrique $Y_{\bar\eta}$ est de degré $0$¹⁸ ; pour $X$, ce sont les classes $\xi$ telles que $\xi \cdot Y_0 = 0$. Il s'agit de déterminer les noyaux et les images des restrictions \[ \mathrm{Pic}(X)' \hookrightarrow \mathrm{Pic}(\tilde X)' \longrightarrow \mathrm{Pic}^0(Y_{\bar\eta}) = J(Y_{\bar\eta}). \]

Les noyaux. La restriction $\mathrm{Pic}(Y_\eta) \to \mathrm{Pic}(Y_{\bar\eta})$ est injective (la courbe $Y_\eta$ a des points rationnels, les sections $\tilde z$). Le noyau de $\mathrm{Pic}(\tilde X)' \to J(Y_{\bar\eta})$ est donc celui de $\mathrm{Pic}(\tilde X) \to \mathrm{Pic}(Y_\eta)$ : les classes des diviseurs verticaux. Les fibres $\tilde X_y$, $y \in \mathbb{P}^1(k)$, sont linéairement équivalentes entre elles. Si toutes les fibres sont irréductibles, le noyau est donc engendré par la classe \[ \tilde\xi_0 = [\tilde Y_0] = \varphi^*(\xi_0) - \sum_{z \in Z} [\tilde z], \] où $\xi_0$ est la classe de $Y_0$ dans $X$¹⁹ . Comme $\mathrm{Pic}(\tilde X) = \varphi^*\mathrm{Pic}(X) \oplus \bigoplus_{z} \mathbb{Z}[\tilde z]$ et que $Z \neq \emptyset$, aucun multiple non nul de $\tilde\xi_0$ ne provient de $X$ : la restriction $\mathrm{Pic}(X)' \to \mathrm{Pic}(Y_{\bar\eta})$ est injective.

La partie fixe. L'image de $\mathrm{Pic}^0(X) = \mathrm{Pic}^0(\tilde X)$ dans $J(Y_{\bar\eta})$ est la « partie fixe » $J^{\mathrm{fixe}}$ de la jacobienne $J = J(Y_\eta)$ — la $K/k$-trace, dans le vocabulaire d'aujourd'hui —, et $J^{\mathrm{fixe}}(k) = J^{\mathrm{fixe}}(k(t))$ parce que $k(t)$ est une extension transcendante pure de $k$ : une application rationnelle de $\mathbb{P}^1$ dans une variété abélienne est constante²⁰ . Posons $J' = J / J^{\mathrm{fixe}}$, la « partie mobile ». On obtient \[ NS(X)' \hookrightarrow NS(\tilde X)' \longrightarrow J'(K), \] où $NS(\cdot)'$ désigne l'image de $\mathrm{Pic}(\cdot)'$ dans le groupe de Néron–Severi.

12–13

Le rang (pages 12 et 13)

Le noyau. Celui de $NS(\tilde X)' \to J'(K)$ est engendré par l'image de $\tilde\xi_0$ : si $\alpha$ est dans le noyau, il provient d'un $\alpha_0 \in \mathrm{Pic}(\tilde X)'$ dont l'image dans $J(K)$ est fixe, donc provient de $\mathrm{Pic}^0(\tilde X)$ ; quitte à modifier $\alpha_0$ par un élément de $\mathrm{Pic}^0(\tilde X)$, qui ne change pas sa classe dans $NS$, son image est nulle et $\alpha_0$ est vertical. Il est donc de rang $1$ (toujours sous l'hypothèse des fibres irréductibles).

L'image. $NS(\tilde X)' \to J'(K)$ est surjectif modulo un groupe fini. D'abord, $J(K) \to J'(K)$ l'est : son conoyau s'injecte dans $H^1(K, J^{\mathrm{fixe}})$, groupe de torsion, et $J'(K)$ est de type fini (théorème de Lang–Néron), d'où un conoyau fini. Ensuite $\mathrm{Pic}(\tilde X)' \to J(K)$ est surjectif : un point de $J(K)$ est la classe d'un diviseur de degré $0$ sur $Y_\eta$ — le groupe de Brauer de $k(t)$ est nul, par le théorème de Tsen — et un diviseur sur $Y_\eta$ se prolonge à $\tilde X$ par adhérence²¹ .

La formule. Comme $NS(\tilde X) \to \mathbb{Z}$, $\xi \mapsto \xi \cdot F$ ($F$ la classe d'une fibre) est surjective (une section $\tilde z$ est de degré $1$ sur les fibres), on a $\rho(\tilde X) = 1 + \mathrm{rg}\, NS(\tilde X)' = 2 + \mathrm{rg}\, J'(K)$, et $\rho(\tilde X) = \rho(X) + z$. La page encadre : \[ \boxed{\ \rho(\tilde X) - 2 = \rho(X) + z - 2 = \rho(J')\ } \] où $\rho$ est le nombre de Picard, $\rho(J')$ le rang de $J'(K)$, et $z$ le nombre de points base du pinceau²² , valable quand toutes les fibres sont irréductibles. C'est, pour ce pinceau, la forme que prend la formule dite aujourd'hui de Shioda–Tate, qui dans le cas général ajoute au second membre la contribution $\sum_t (r_t - 1)$ des fibres réductibles à $r_t$ composantes²³ .

14–14

Une formule de hauteur posée en question (page 14)

La jacobienne $J'$ hérite de $J$ une polarisation : la duale de $J'$ s'envoie dans la duale de $J$, qui est $J$ munie de sa polarisation principale, et l'on restreint²⁴ . Par la théorie de Néron–Tate, cette polarisation définit sur $J'(K)$ une forme quadratique $Q$, définie positive sur $J'(K) \otimes \mathbb{R}$ ($J'$ est de $K/k$-trace nulle). D'autre part, la forme d'intersection est définie négative sur $NS(X)' \otimes \mathbb{R}$, orthogonal de la classe ample $\xi_0$ : c'est le théorème de l'indice de Hodge. Soit $i : NS(X)' \to J'(K)$ l'application précédente. La page propose, avec un point d'interrogation : \[ \boxed{\ Q(i(\xi), i(\eta)) = -\,\xi \cdot \eta\ } \qquad (\xi, \eta \in NS(X)'), \] « valable si les $Y_t$ sont tous intègres ? ».

La réponse est oui, au choix près de la normalisation de $Q$ : c'est la formule de hauteur de Shioda²⁵ .

16–31

III. Symboles locaux et nombres d'intersection (pages 16 à 31)

16–18

Le programme (pages 16 et 18)

Soit $f : X \to S$ un morphisme projectif, $X$ régulier, $S$ le spectre d'un anneau de valuation discrète de point générique $\eta$ et de point spécial $s$ ; supposons $X_\eta$ lisse de dimension $n$ et $X_s$ géométriquement intègre. Soient $C$, $D$ deux cycles sur $X$, de codimensions $p$ et $q$ avec $p + q = n + 1$²⁶ . On suppose :

a)$C_\eta$ et $D_\eta$ sont algébriquement équivalents à $0$ sur $X_\eta$ ;
b)$C$ et $D$ n'ont que des composantes horizontales : $C = \overline{C_\eta}$, $D = \overline{D_\eta}$ ;
c)l'intersection $C \cdot D$ est propre, ce qui force $\mathrm{Supp}\,C_\eta \cap \mathrm{Supp}\,D_\eta = \emptyset$.

Alors $C \cdot D$ est un $0$-cycle porté par $X_s$, de degré $i(C \cdot D)$, et ce degré ne dépend que de $C_\eta$ et $D_\eta$. Le programme est de le décrire directement en termes de $C_\eta$ et $D_\eta$, comme un symbole \[ \langle C_\eta, D_\eta\rangle_v \in \mathbb{Q} \] indépendant du modèle $X$, et même de son existence²⁷ .

Plus généralement (page 18), pour des cycles $Z_1, \ldots, Z_k$ de codimensions $c_1 + \cdots + c_k = n + 1$, dont deux ont une fibre générique algébriquement équivalente à $0$, et dont l'intersection est propre, on aurait $i(Z_1 \cdots Z_k) = \langle Z_{1\eta}, \ldots, Z_{k\eta}\rangle_v$. Les propriétés attendues du symbole local sont :

(i)multilinéarité et symétrie ;
(ii)invariance par les isomorphismes de $X_\eta$ ;
(ii bis)pour $k = 2$, une formule de transposition pour un morphisme $g : X_\eta \to Y_\eta$, soit $\langle C, g^*D\rangle_v = \langle g_*C, D\rangle_v$ (formule de projection) ;
(iii)normalisation : si $Z_{k\eta} = Z'_{k\eta} \cdot \mathrm{div}(f_\eta)$ et que $Z_{1\eta} \cdots Z_{k-1,\eta} \cdot Z'_{k\eta}$ est un $0$-cycle bien défini, alors \[ \langle Z_{1\eta}, \ldots, Z_{k\eta}\rangle_v = v\bigl(f_\eta(Z_{1\eta} \cdots Z_{k-1,\eta} \cdot Z'_{k\eta})\bigr) ; \]
(iv)un principe de continuité ;
(v)la compatibilité à l'extension du corps de base.

Les deux dernières ne sont que nommées²⁸ .

21–21

L'énoncé (page 21)

Dans la situation globale — $f : X \to S$ projectif, à fibres géométriquement irréductibles, de fibre générique lisse, $X$ régulier, $S$ muni d'un ensemble $M$ de valuations discrètes satisfaisant la formule du produit —, la page écrit, pour $C_\eta$ et $D_\eta$ algébriquement équivalents à $0$, \[ -\langle D_\eta, C_\eta\rangle = \sum_{v \in M} \langle D_\eta, C_\eta\rangle_v = \sum_{v \in M} (D \cdot C)_v, \] où $\langle\ ,\ \rangle$ sans indice est l'accouplement de hauteur global. Le signe est celui qu'on attend avec des valuations additives (voir la page 5).

La situation locale est celle-ci : $S$ local complet, de corps résiduel algébriquement clos, $f$ projectif, $X_\eta$ lisse, $X_0$ lisse sauf en un nombre fini de points où $X$ est régulier ; $C$, $D$ sans composante verticale, se coupant proprement (leurs supports se rencontrent dans $X_0$) ; $C_\eta$, $D_\eta$ algébriquement équivalents à $0$. L'énoncé visé est \[ \boxed{\ \langle C_\eta, D_\eta\rangle_v = i(C \cdot D)\ } \] ²⁹

23–23

Un brouillon sur les modèles de Néron (page 23)

Le feuillet 23 n'a pas de phrase suivie. En tête, encadré : un anneau local noethérien réduit $A$ de dimension $2$, de profondeur $2$, et $f \in \mathfrak{m}_A$ tel que $A/fA$ soit régulier. C'est le critère usuel : si $f$ n'est pas diviseur de zéro, $A/fA$ régulier entraîne $A$ régulier ; appliqué à une uniformisante, il dit que $X$ est régulier là où la fibre spéciale l'est³⁰ . Le reste consiste en éléments épars : une variété abélienne produit $A_\eta = A_{1\eta} \times A_{2\eta}$ et les adhérences de ses facteurs dans le modèle de Néron $\mathcal{A}$ ; un tore $T$ et une variété abélienne $B$ ; des isogénies $B_\eta \xrightarrow{\alpha} A_\eta \xrightarrow{\beta} B_\eta$ de composé $N$, et leurs prolongements aux modèles de Néron ; une suite $0 \to A \to B \to C$. Aucun énoncé n'en est tiré, et l'on n'en reconstitue pas.

25–29

La réduction au cas abélien (pages 25 à 29)

La normalisation. Pour $D = \mathrm{div}(f)$ sans composante verticale, la propriété (iii) de la page 18 et le calcul direct donnent \[ \langle C_\eta, \mathrm{div}\,f_\eta\rangle_v = i(C \cdot \mathrm{div}\,f) = v\bigl(f_\eta(C_\eta)\bigr) ; \] la seconde égalité vaut pour tout $1$-cycle horizontal $C$, la longueur de $\mathcal{O}_C/(f)$ en la fibre spéciale étant la valuation de la norme de $f$ restreinte à $C$. Le feuillet 25 esquisse, pour une courbe plongée dans sa jacobienne $J$, comment représenter un point $x \in X_\eta(K)$ comme diviseur d'une section rationnelle d'un fibré en droites $L$ sur $X$, définie partout sauf au point critique $x_0$ et dont le diviseur n'a pas de composante verticale³¹ .

a) Le cas lisse (pages 27 et 29). Supposons $f$ lisse. Alors $X_\eta$ a une variété d'Albanese $A_\eta$ et une variété de Picard $A^\vee_\eta$ ; soit $\mathcal{A}$ le modèle de Néron de $A_\eta$. L'application d'Albanese $X_\eta \to A_\eta$ (définie par un point base) se prolonge en $\alpha : X \to \mathcal{A}$, par la propriété de Néron puisque $X$ est lisse sur $S$³² . Un diviseur $D_\eta$ algébriquement équivalent à $0$ est linéairement équivalent à $\alpha^*(D'_\eta)$ pour un diviseur $D'_\eta$ algébriquement équivalent à $0$ sur $A_\eta$.

Supposons d'abord $D = \alpha^*(D')$, où $D'$ est un diviseur sur $\mathcal{A}$ tel que $\alpha^*(D')$ soit défini. Posons $C' = \alpha_*(C)$, défini parce que $C$ est propre sur $S$. La formule de projection donne \[ C' \cdot D' = \alpha_*(C) \cdot D' = \alpha_*\bigl(C \cdot \alpha^*D'\bigr) = \alpha_*(C \cdot D), \qquad\text{d'où}\qquad i(C \cdot D) = i(C' \cdot D'), \] et, par (ii bis), $\langle C_\eta, D_\eta\rangle_v = \langle C'_\eta, D'_\eta\rangle_v$. La formule se réduit alors à \[ \boxed{\ i\bigl(\overline{C'_\eta} \cdot \overline{D'_\eta}\bigr) = \langle C'_\eta, D'_\eta\rangle_v\ } \] sur la variété abélienne, qui est la formule (vii) de la page 4 sans terme correctif³³ .

Dans le cas général, on choisit (« Lemme », illisible³⁴ ) $D'_\eta$ tel que $D_\eta \sim \alpha^*(D'_\eta)$, que $D'_\eta \not\supset \alpha_\eta(X_\eta)$ et que $\overline{D'_\eta} \not\supset \alpha_0(X_0)$. Alors \[ D = \alpha^*(D') + \mathrm{div}(f), \] où $\alpha^*(D')$ est défini et sans composante verticale et $f$ est une fonction rationnelle sur $X$. Comme $D$ et $\alpha^*(D')$ sont horizontaux, $\mathrm{div}(f)$ est sans composante verticale, et la normalisation conclut : \[ \boxed{\ \langle C_\eta, \mathrm{div}\,f_\eta\rangle_v = i(C \cdot \mathrm{div}\,f)\ } = v\bigl(f_\eta(C_\eta)\bigr) \qquad \text{si $\mathrm{div}(f)$ est sans composante verticale} \] ³⁵ .

31–31

b) Le cas général, interrompu (page 31)

Sans hypothèse de lissité, soit $\mathcal{A}$ le modèle de Néron de $\mathrm{Alb}(X_\eta)$. L'ouvert $X' = X - \{x_0\}$, complémentaire du point singulier de la fibre spéciale, est lisse sur $S$, et la propriété de Néron fournit $\alpha : X' \to \mathcal{A}$³⁶ . Le feuillet s'arrête là. La difficulté que la suite aurait eu à traiter est visible : $\alpha$ n'est pas définie en $x_0$, et le modèle de Néron n'a plus de raison d'avoir une fibre spéciale connexe, de sorte que le terme correctif $v(X, a)$ de la page 4 doit reparaître.

34–48

IV. Quasi-fonctions de Néron–Weil (pages 34 à 48)

Le titre est le sien³⁷ .

34–36

Fonctions sur $X(\bar K) \times M_{\bar K}$ (pages 34 à 36)

Soit $K$ un corps muni d'un ensemble « propre » $M_K$ de valeurs absolues (tout $x \in K^*$ est de valeur absolue $1$ pour presque toute $v \in M_K$), écrites additivement. Soit $\bar K$ une clôture algébrique, $M_{\bar K}$ l'ensemble des valeurs absolues de $\bar K$ prolongeant celles de $M_K$, et $\Gamma = \mathrm{Aut}(\bar K/K)$. Les prolongements d'une valeur absolue étant conjugués, \[ M_{\bar K}/\Gamma \xrightarrow{\ \sim\ } M_K. \qquad (*) \]

Soit $X$ un schéma localement de type fini sur $K$, et $\varphi : X(\bar K) \times M_{\bar K} \to \mathbb{R}$, $(P, v) \mapsto \varphi(P, v)$, une fonction invariante par $\Gamma$. Si $P$ est fixé par $\Gamma$, c'est-à-dire rationnel sur la clôture parfaite $K^{p^{-\infty}}$, $\varphi(P, v)$ ne dépend que de $v|K$, par $(*)$ ; $\varphi$ induit donc une fonction sur $X(K) \times M_K$. De même, pour toute extension finie $L$ de $K$ dans $\bar K$, elle induit $\varphi_L : X(L) \times M_L \to \mathbb{R}$, avec la transitivité $\varphi_L(P, v|L) = \varphi_{L'}(P, v)$ pour $L \subset L'$, $P \in X(L)$, $v \in M_{L'}$ ; et la donnée de $\varphi$ équivaut à celle d'un tel système compatible. On note $\widehat\Phi(X) = \widehat\Phi(X/K, M_K)$ l'ensemble de ces $\varphi$ ; il ne dépend pas, à isomorphisme unique près, du choix de $\bar K$. Pour $K'/K$ finie, on a $\widehat\Phi(X/K) \to \widehat\Phi(X_{K'}/K')$, bijective si $K'/K$ est radicielle, et identifiant $\widehat\Phi(X/K)$ aux invariants $\widehat\Phi(X_{K'}/K')^{\pi}$ si $K'/K$ est quasi-galoisienne de groupe $\pi$³⁸ .

36–38

Parties $M_K$-bornées et fonctions admissibles (pages 36 à 38)

Un $M_K$-diviseur est une fonction $c : M_K \to \mathbb{R}$ nulle hors d'un ensemble fini. Soit $E$ un ensemble muni de $\pi : E \to M_{\bar K}$ ; une fonction $\varphi$ sur $E$ est $M_K$-bornée s'il existe un $M_K$-diviseur $c$ avec $|\varphi(\xi)| \leqslant c(\pi(\xi)|K)$, c'est-à-dire si $\varphi$ est bornée et nulle hors de $\pi^{-1}$ d'un ensemble fini $S \subset M_K$.

Une partie $E$ de $X(\bar K) \times M_{\bar K}$ est $M_K$-bornée si elle est contenue dans une réunion finie d'ensembles \[ E(U; x_1, \ldots, x_n; c) = \Bigl\{(P, v) :\ P \in U(\bar K),\ \ \min_{1 \leqslant i \leqslant n} v(x_i(P)) \geqslant c(v|K)\Bigr\}, \] où $U$ est un ouvert affine de $X$, $x_1, \ldots, x_n$ des générateurs de sa $K$-algèbre et $c$ un $M_K$-diviseur. Concrètement : il existe $S \subset M_K$ fini et $M > 0$ tels que $P$ soit entier pour les $x_i$ en $v$ si $v|K \notin S$, et que $v(x_i(P)) \geqslant -M$ si $v|K \in S$. Une marge note que la notion est invariante par extension finie du corps de base, que sa fonctorialité en $X$ « n'est pas claire », et pose une question³⁹ .

Une fonction $\varphi$ est admissible si elle est $M_K$-bornée sur toute partie $M_K$-bornée. Les ensembles $\{P\} \times M_{\bar K}$ étant $M_K$-bornés, pour $P$ fixé, $\tilde\varphi(P) = (v \mapsto \varphi(P,v))$ est majoré en module par un $M_K$-diviseur positif ; si $P$ est rationnel sur une extension finie $K'$ et $\varphi$ invariante par $\Gamma$, $\tilde\varphi(P)$ se factorise par $M_{K'}$ et est un $M_{K'}$-diviseur. Avec $\mathrm{Div}(M_{\bar K}) = \varinjlim_{K'} \mathrm{Div}(M_{K'})$, on obtient \[ \tilde\varphi : X(\bar K) \longrightarrow \mathrm{Div}(M_{\bar K}), \] compatible à l'action de $\Gamma$, et qui envoie toute partie $F$ de $X(\bar K)$ telle que $F \times M_{\bar K}$ soit $M_K$-bornée sur une partie bornée (pour l'ordre) de $\mathrm{Div}(M_{\bar K})$.

39–41

L'exemple fondamental, et le faisceau des fonctions admissibles (pages 39 à 41)

Pour $f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X^*)$, la fonction \[ \varphi_f(P, v) = v\bigl(f(P)\bigr) \] est invariante par $\Gamma$ et admissible. Par fonctorialité ($f$ est un morphisme $X \to \mathbf{G}_{m,K}$), on se ramène à $X = \mathbf{G}_{m,K}$ et $f = x$ la coordonnée⁴⁰ . Une partie $M_K$-bornée de $\bar K^* \times M_{\bar K}$ est contenue dans un ensemble $\{(x, v) : v(x) = 0$ si $v|K \notin S$, $|v(x)| \leqslant M$ si $v|K \in S\}$, sur lequel $\varphi_x(x, v) = v(x)$ est évidemment $M_K$-bornée.

Pour $U$ ouvert de $X$, soit $\Phi_X(U)$ l'ensemble des fonctions admissibles $\Gamma$-invariantes sur $U(\bar K) \times M_{\bar K}$. C'est un préfaisceau séparé ; pour qu'il soit un faisceau, il faut voir qu'une $\varphi$ dont les restrictions aux $U_i$ d'un recouvrement ouvert sont admissibles l'est. On se ramène à $X$ affine, et il suffit que toute partie $M_K$-bornée de $X(\bar K) \times M_{\bar K}$ soit contenue dans une réunion finie d'images de parties $M_K$-bornées des $U_i(\bar K) \times M_{\bar K}$. La page écrit « à vérifier » et « Admettons ce point ». Il est vrai⁴¹ . On l'admet donc avec lui.

41–44

Le faisceau des quasi-fonctions (pages 41 à 44)

On a deux homomorphismes de faisceaux, $\mathcal{O}_X^* \to \Phi_X$, $f \mapsto \varphi_f$, et $\mathcal{O}_X^* \hookrightarrow \mathcal{R}^*_X$ (fonctions rationnelles inversibles ; $X$ réduit, voire séparable sur $K$, « pour fixer les idées »). Pour obtenir « une généralisation commune des fonctions admissibles et des fonctions rationnelles », on pose \[ QF_X = \Phi_X \amalg_{\mathcal{O}_X^*} \mathcal{R}^*_X = \bigl(\Phi_X \times \mathcal{R}^*_X\bigr)/\theta(\mathcal{O}_X^*), \qquad \theta(f) = (-\varphi_f,\ f), \] la somme amalgamée⁴² . Une quasi-fonction est donc, localement, une fonction admissible plus la valuation d'une fonction rationnelle : une fonction de Weil, dans le langage de Lang. On a deux suites exactes \[ \Phi_X \longrightarrow QF_X \xrightarrow{\ \mathrm{div}\ } \mathrm{Div}_X \longrightarrow 0, \qquad \mathcal{R}^*_X \longrightarrow QF_X \longrightarrow \Phi_X/\mathrm{Im}\,\mathcal{O}_X^* \longrightarrow 0, \] où $\mathrm{Div}_X = \mathcal{R}^*_X/\mathcal{O}_X^*$ est le faisceau des diviseurs de Cartier.

$\Phi_X \to QF_X$ est injectif. Si $(\varphi, 1) = (-\varphi_f, f)$, alors $f = 1$, donc $\varphi = 0$⁴³ . Autrement dit : les quasi-fonctions de diviseur nul sont les fonctions admissibles.

Le noyau de $\mathcal{R}^*_X \to QF_X$. Il est formé des $f$ pour lesquels $(0, f) = (-\varphi_g, g)$ avec $g$ inversible, soit $f = g \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X^*)$ et $v(g(P)) = 0$ pour tous $P$ et $v$. Si $g$ n'était pas constante sur une composante irréductible géométrique, $g(X(\bar K))$ contiendrait le complémentaire d'une partie finie de $\bar K^*$, et l'on trouverait des valeurs de valuation non nulle ; $g$ est donc localement constante sur les composantes géométriques, algébrique sur $K$, et partout une unité⁴⁴ . Lorsque $X$ est géométriquement intègre, ce noyau est le faisceau constant $U_X$ défini par le groupe $U$ des $M_K$-unités de $K$ (les $u \in K^*$ tels que $v(u) = 0$ pour toute $v \in M_K$)⁴⁵ . Le même groupe est le noyau de $\mathcal{O}_X^* \to \Phi_X$, de sorte que $\mathrm{Im}\,\mathcal{O}_X^* = \mathcal{O}_X^*/U_X$. On a donc les suites exactes \[ 0 \to \Phi_X \to QF_X \to \mathrm{Div}_X \to 0, \qquad 0 \to \mathcal{R}^*_X/U_X \to QF_X \to \Phi_X/(\mathcal{O}_X^*/U_X) \to 0, \] qui s'assemblent, avec $0 \to \mathcal{O}_X^*/U_X \to \mathcal{R}^*_X/U_X \to \mathrm{Div}_X \to 0$, en un diagramme commutatif à lignes et colonnes exactes : $\Phi_X/(\mathcal{O}_X^*/U_X)$ est à la fois le conoyau de $\mathcal{O}^*_X/U_X \to \Phi_X$ et celui de $\mathcal{R}^*_X/U_X \to QF_X$, et $\mathrm{Div}_X$ le conoyau des deux lignes⁴⁶ .

44–48

Sections globales, et la surjectivité sur $\mathrm{Pic}$ (pages 44, 46 et 48)

Soit $X$ géométriquement intègre. Alors $\mathcal{R}^*_X/U_X$ et $U_X$ sont des faisceaux constants sur un espace irréductible, donc flasques ; en particulier $H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \simeq H^1(X, \mathcal{O}_X^*/U_X) = \mathrm{Pic}(X)$. En passant aux sections globales, on obtient un diagramme commutatif à lignes et colonnes exactes, dont les trois lignes sont \[ \begin{array}{l} 0 \to \Phi(X)/(\mathbf{G}_m(X)/U) \to \Gamma\bigl(X, \Phi_X/(\mathcal{O}_X^*/U_X)\bigr) \to \mathrm{Pic}(X) \to H^1(X, \Phi_X), \\[2pt] 0 \to \Phi(X) \to QF(X) \to \mathrm{Div}(X) \to H^1(X, \Phi_X), \\[2pt] 0 \to \mathbf{G}_m(X)/U \to \mathcal{R}^*(X)/U \to \mathrm{Div}_\ell(X) \to 0, \end{array} \] où $\mathrm{Div}_\ell(X)$ est le groupe des diviseurs principaux⁴⁷ .

Il affirme : si $X$ est quasi-projectif, les flèches vers $H^1(X, \Phi_X)$ sont nulles ; autrement dit \[ \Gamma\bigl(X, \Phi_X/(\mathcal{O}_X^*/U_X)\bigr) \longrightarrow \mathrm{Pic}(X) \] est surjectif, et tout diviseur de Cartier est le diviseur d'une quasi-fonction globale⁴⁸ . C'est la forme faisceautique de l'existence des hauteurs locales : toute classe de faisceau inversible porte une fonction de Weil, unique à une fonction admissible près. Tout $\xi \in \mathrm{Pic}(X)$ étant différence de deux classes très amples, il suffit de traiter une classe très ample ; par fonctorialité, on se ramène à $X = \mathbf{P}^r_K$ et $\xi = \mathcal{O}(1)$ (page 48). Le feuillet s'arrête là⁴⁹ .

45–47

Un fil barré : l'admissibilité sur les points rationnels (pages 45 et 47)

Les pages 45 et 47 sont barrées de longs traits et se suivent entre elles. Elles reprennent la définition sur les seuls points rationnels : une fonction $\varphi : X(K) \times M_K \to \mathbb{R}$ est dite localement $M_K$-bornée, ou admissible, si elle est $M_K$-bornée sur les parties $M_K$-bornées. Alors, pour $P \in X(K)$, $\varphi(P, \cdot)$ est un $M_K$-diviseur, et $\varphi$ s'interprète comme une application $\tilde\varphi : X(K) \to \mathrm{Div}(M_K)$ qui envoie toute partie $F$ telle que $F \times M_K$ soit $M_K$-bornée sur une partie bornée de $\mathrm{Div}(M_K)$. La page demande : « Cette condition est-elle suffisante ?? »⁵⁰ . La page 47 ajoute que $\tilde\varphi(X(K))$ est alors bornée, et commence le passage à une extension finie $K'$ : une fonction sur $X(K') \times M_{K'}$ définit une fonction sur $X(K) \times M_K$. Elle s'arrête là⁵¹ .

Notes

Le titre, « Hauteurs et symboles locaux », est celui de l'inventaire, non le sien ; ses propres titres sont « Formules de Néron » (feuillets 1 et 3) et « Quasi-fonctions de Néron-Weil » (feuillet 34). L'inventaire range le dossier dans le groupe « Descentes », daté « [avant 1970] », alors que le dossier lui-même est daté « [vers 1971] » ; on le constate sans le trancher. ↩
Il écrit le modèle de Néron d'un $A$ à peine distinct de celui de la variété abélienne (page 3), puis d'un $A$ souligné (pages 23 et 31). La lettre $\Phi$ sert aussi, dans la suite IV, pour les fonctions admissibles ; le contexte les sépare, et l'on écrit $\Phi_A$ avec indice pour le groupe des composantes. ↩
Il souligne les faisceaux ($\underline{\Phi}_X$, $\underline{QF}_X$, $\underline{R}^*_X$) ; les soulignements sont omis ici. ↩
La page ajoute « corps résiduel fini ? », avec un point d'interrogation. Avec $v$ normalisée par $v(K^*) = \mathbb{Z}$, rien de ce qui suit n'en dépend ; la finitude du corps résiduel n'intervient que pour normaliser les valeurs absolues dans le cas global de la page 5. ↩
La page écrit $Z_0^{*}(A)_K$ (l'exposant est douteux) sans préciser le degré. Que les $0$-cycles soient de degré $0$ est notre lecture : elle est nécessaire pour que l'accouplement de la page 4 se factorise par $A(K)$, via l'application somme $Z_0^0(A_K) \to A(K)$, $\sum n_i (x_i) \mapsto \sum n_i x_i$. De même, nous lisons $Z_\ell^{*}$ comme le noyau de cette application, qui est la notion d'« équivalence linéaire » des $0$-cycles de degré $0$ sur une variété abélienne. ↩
Pour un $0$-cycle dont les points ne sont pas rationnels sur $K$, l'adhérence $\bar a$ est un $1$-cycle quasi-fini sur $V$, non nécessairement fini puisque $\mathcal{A}$ n'est pas propre ; les multiplicités locales aux points de $\mathcal{A}_0$ restent définies, et en nombre fini. La page n'en dit rien. ↩
Tout point de $A(K)$ se prolonge en une section de $\mathcal{A}$ (propriété de Néron), d'où l'application de réduction $A(K) \to \mathcal{A}_0(k) \to \Phi_A(k)$, de noyau $A^0(K)$. ↩
La page dit « $m =$ degré de $A_0/A_0^0$ », c'est-à-dire l'ordre du schéma en groupes fini étale $\Phi_A$, soit le cardinal de $\Phi_A(\bar k)$. ↩
La note marginale est en partie illisible ; ce qu'on en lit (« si $X \sim_{\mathrm{alg}} 0$ … vraiment $v(X,a) = 0$ pour tous $X, a$ ») est cohérent avec (iv bis) : si $\Phi_A = 0$, $v(X, (x)-(a))$ ne dépend pas de $x$, donc est nulle en prenant $x = a$, et ces cycles engendrent $Z_0^0(A_K)$. ↩
Lecture douteuse pour « polarisation principale » et « jacobienne ». Un accouplement entre groupes de composantes $\Phi_{A^\vee} \times \Phi_A \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ porte aujourd'hui son nom : c'est l'accouplement de Grothendieck de SGA 7, exposé IX, et son lien avec le symbole de Néron a été étudié ensuite (Bosch et Lorenzini, entre autres ; cité de mémoire). Ces feuillets ne citent pas SGA 7 et ne définissent l'accouplement que par la fonction $v$ ; que les deux coïncident, à un signe près, nous ne l'établissons pas ici. ↩
Ces notations ne sont pas définies sur la page ; c'est notre lecture de $X_{\underline a}$, $X^{-}$ et $\underline a^{-}$. Si $\deg a = 0$, le théorème du carré fait de $X_a$ un diviseur algébriquement équivalent à $0$, de classe $\varphi_X(\Sigma a)$ au signe près, où $\varphi_X : A \to A^\vee$ est l'homomorphisme attaché à $X$. ↩
La page écrit $A^{*}(K) \times A^{*}(K)$, les deux astérisques surchargés ; on attend $A^\vee(K) \times A(K)$, comme à la page 4. ↩
La page dit « la forme de Néron-Tate » sans signe. Avec des valuations additives, une hauteur est grande là où les coordonnées ont des pôles, c'est-à-dire où les valuations sont négatives : la somme des symboles locaux est l'opposée de la forme de Néron–Tate. C'est le signe qu'écrit la page 21 : $-\langle D_\eta, C_\eta\rangle = \sum_v \langle D_\eta, C_\eta\rangle_v$. ↩
La page dit « $m$ un entier $> 0$ convenable ». Cela demande que les poids $n_v$ soient entiers et que $m_v = 1$ pour presque tout $v$ (bonne réduction hors d'un ensemble fini), ce qui est le cas ; on prend alors $m = \mathrm{ppcm}_v\, m_v$. Pour un corps de nombres, l'énoncé est faux : les contributions archimédiennes sont des réels quelconques. ↩
Deux hypothèses sont ajoutées. La séparation : quand la fibre spéciale est réductible, $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ n'est pas séparé, l'adhérence de $A_\eta$ contient l'adhérence de la section unité, et un modèle de Néron doit être séparé ; il faut alors quotienter par cette adhérence. L'existence de sections étale-locales : sans elle, un point de $\underline{\mathrm{Pic}}_{X_\eta}$ n'est pas toujours la classe d'un faisceau inversible sur $X_\eta$ ; c'est l'avertissement de sa marge (« Attention s'il n'y a pas de section locale (ét.) de $X$ sur $S$ »). La page envisage $S$ régulier de dimension quelconque et ne restreint à la dimension $1$ que l'exemple ; nous énonçons en dimension $1$. Sous ces hypothèses, l'énoncé est aujourd'hui le théorème de Raynaud (« Spécialisation du foncteur de Picard », 1970 ; Bosch–Lütkebohmert–Raynaud, Néron Models, chap. 9 ; cité de mémoire). La page ne cite personne. ↩
La transcription note que rien n'assure que ces lignes soient de sa main. Elles n'ont pas de rapport avec le reste du dossier. Les feuillets 17 et 19 sont deux autres pages de la même rédaction, sans rien de sa main. ↩
Une note entourée ajoute : « n'est pas une restriction essentielle ! $\dim X \geqslant 2$ ». Tout ce qui suit est écrit pour une surface, et la formule de la page 13 en dépend ; on s'y tient. ↩
La page écrit par endroits $\mathrm{Pic}(X^*)'$, l'exposant douteux et absent de la définition, et $\tilde X_{\bar\eta}$ pour $\tilde Y_{\bar\eta}$ ; on lit $\mathrm{Pic}(X)'$ et $Y_{\bar\eta}$. ↩
La page demande d'abord les fibres « intègres », puis corrige page 13 : il suffit qu'elles soient irréductibles, « on admet des sections multiples ». En fait, un pinceau qui a des points base n'a pas de fibre multiple, puisque chaque fibre rencontre une section $\tilde z$ avec multiplicité $1$ ; « irréductible » et « intègre » reviennent donc ici au même. ↩
La page écrit « extension pure de $k(\eta)$ », lecture douteuse ; le sens exige « de $k$ ». Elle écrit aussi des isomorphismes $\mathrm{Pic}^0(X) \simeq \mathrm{Pic}^0(\tilde X) \simeq J^{\mathrm{fixe}}(k)$. Le premier est vrai ; le second n'est assuré en général qu'à isogénie près (le noyau de $\mathrm{Pic}^0(X) \to \mathrm{Pic}^0(Y)$ est fini, nul par exemple en caractéristique $0$). Seuls les rangs servent dans la suite, et l'énoncé à isogénie près suffit. ↩
La première de ces deux étapes est écrite sur la page, sans le théorème de Lang–Néron, qui n'est pas cité ; nous l'ajoutons, car « surjectif modulo un groupe de torsion » ne suffirait pas pour une égalité de rangs si $J'(K)$ n'était pas de type fini. Le point rationnel des sections $\tilde z$ dispense d'ailleurs de Tsen. ↩
La page définit $z$ comme le « nb des sections singulières du pinceau », lecture marquée douteuse. Avec ce sens la formule serait fausse : c'est l'éclatement des $z$ points base qui ajoute $z$ au nombre de Picard ; $z = \mathrm{card}\,Z = (Y_0 \cdot Y_0)$, le degré de $X$. Les deux « 2 » sont repassés sur la page. ↩
Shioda, « On the Mordell–Weil lattices », 1990, et Tate pour les surfaces elliptiques ; cité de mémoire. Les feuillets ne citent pas ces noms. ↩
Cette explication est biffée sur la page, sans être remplacée ; on la garde parce qu'elle est juste. ↩
Réponse nôtre. Dans la théorie des réseaux de Mordell–Weil, la hauteur d'un point $P$ est $-(\psi(P) \cdot \psi(P))$, où $\psi(P)$ est la projection de la classe de $\bar P - \bar O$ orthogonalement au réseau engendré par la section nulle, la fibre et les composantes des fibres ne rencontrant pas la section nulle. Ici, toutes les fibres étant irréductibles, ce réseau est engendré par une section $\tilde z_0$ et par $F$ ; or $\varphi^*\xi$ est orthogonal à $F$ (car $\xi \cdot Y_0 = 0$) et aux $\tilde z$, et ne diffère de la classe $\bar P - \bar O$ du point $P = i(\xi)$ que par un multiple de $F$ : on a donc $\psi(i(\xi)) = \varphi^*\xi$ et $\langle i\xi, i\eta\rangle = -\varphi^*\xi \cdot \varphi^*\eta = -\xi\cdot\eta$. La hauteur de Shioda est la forme de Néron–Tate de $J$ pour sa polarisation principale, à un facteur de normalisation près, et elle est nulle sur la partie fixe, donc se lit sur $J'(K)$ ; que la polarisation « héritée » de $J'$ donne exactement ce facteur, nous ne le vérifions pas. Sans l'hypothèse des fibres irréductibles, $\varphi^*\xi$ n'est plus orthogonal aux composantes des fibres et la formule demande une correction : la condition de la page est la bonne. ↩
La page écrit d'abord « de dimensions $c$ et $d$ avec $c + d = n + 1$ », puis « de codimensions $c, d$ tels que $c + d = n + 1$ » pour les fibres génériques. Les deux sommes valent $n + 1$ — pour des cycles horizontaux, codimension dans $X$ et codimension de la fibre générique dans $X_\eta$ coïncident —, mais les indices ne désignent pas la même chose ; on indexe par la codimension. ↩
« à priori », dans une bulle, se rattache à « à valeurs dans $\mathbb{Q}$ ». L'indépendance vis-à-vis du modèle est ce que le programme cherche, non un acquis. C'est aujourd'hui l'accouplement de hauteur locale de Beilinson et Bloch (années 1980 ; cité de mémoire) ; au-delà des diviseurs il demande en général de corriger $\overline{C_\eta}$ par un cycle vertical qui le rende orthogonal aux cycles portés par la fibre spéciale. Quand $X$ est lisse sur $S$, cette correction est inutile, la spécialisation d'un cycle homologiquement trivial l'étant encore. ↩
La page commence par « Le cas gl. », où « gl. » peut se lire « global » ou « général » ; le contexte (une seule valuation) fait lire « général ». La forme explicite de (ii bis) est nôtre : la page n'écrit que le nom. « (v) Extension du corps de base » est écrit en marge. ↩
Plusieurs mots sont illisibles dans les hypothèses (la nature des points singuliers de $X_0$, trois mots soulignés au bas du feuillet), et « régulier en ces points » est une lecture douteuse. Le reste de la suite ne traite que le cas où $D$ est un diviseur et $C$ un $0$-cycle sur la fibre générique, c'est-à-dire le symbole de Néron de la suite I étendu à une variété quelconque. ↩
L'usage de l'encadré n'est pas écrit ; le rapprochement avec les hypothèses de la page 21 est nôtre. ↩
Le feuillet est très lacunaire (plusieurs mots illisibles, deux croquis de fibres) ; on n'en retient que ce qui se lit. Les flèches $X' \hookrightarrow \widetilde{X''} \to X'' \hookrightarrow J$, avec $X''_0 = X_0$ et une flèche marquée « birat. », suggèrent une modification birationnelle du modèle ; la page ne dit pas laquelle. ↩
La page renvoie au « th. de Weil » : une application rationnelle d'un schéma lisse dans un schéma en groupes, définie en codimension $1$, l'est partout. C'est ce théorème qui fonde la propriété d'extension de Néron. ↩
Ce rapprochement est nôtre. $X$ étant lisse et propre sur $S$, à fibres géométriquement intègres, l'Albanese a bonne réduction — nous l'admettons, la page ne le discute pas —, de sorte que $\mathcal{A}_0$ est connexe, $m = 1$, et $v(X, a) = 0$ par la marge de la page 3. ↩
Le crochet « [Lemme : …] » de la page 29 n'a ni énoncé lisible ni démonstration. Que l'on puisse choisir $D'_\eta$ dans sa classe de façon que $D'_\eta$ ne contienne pas $\alpha_\eta(X_\eta)$ et que son adhérence ne contienne pas $\alpha_0(X_0)$ est un argument de position générale par translation ; nous ne le détaillons pas. ↩
La page écrit « valable si $\mathrm{div}(f)$ est sans composante horizontale ». C'est un lapsus : $\mathrm{div}(f_\eta) = D_\eta - \alpha^*(D'_\eta)$ est non nul en général, donc a des composantes horizontales, et la condition dont l'argument a besoin — celle que la page vient d'établir pour $\alpha^*(D')$ — est l'absence de composante verticale ; c'est elle qui fait de $\mathrm{div}(f)$ l'adhérence de $\mathrm{div}(f_\eta)$. ↩
La page écrit « le pt singulier de $X'$ », lecture douteuse ; le sens, et les hypothèses de la page 21, exigent « de $X_0$ ». S'il y en a plusieurs, on les retire tous. ↩
Le mot « quasi-fonction » est celui de Néron (« Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes », Ann. of Math., 1965 ; cité de mémoire). Le cadre des pages qui suivent — ensemble propre de valeurs absolues, $M_K$-diviseurs, parties $M_K$-bornées — est celui que Lang a exposé (Diophantine Geometry, 1962 ; Fundamentals of Diophantine Geometry, 1983, chap. 10), où les quasi-fonctions s'appellent « fonctions de Weil ». Les pages ne citent que les deux noms du titre. ↩
Les deux énoncés tiennent à ce que $\widehat\Phi(X_{K'}/K')$ est l'ensemble des fonctions invariantes par $\mathrm{Aut}(\bar K/K')$, qui est égal à $\Gamma$ si $K'/K$ est radicielle et distingué de quotient $\pi$ si $K'/K$ est quasi-galoisienne. ↩
« Dans le cas “global”, y a-t-il une notion “$M_K$-bornée” de $\mathbf{P}^r_K$, celles des hauteurs bornées ? » ; quelques mots illisibles. Pour un morphisme d'affines, l'image d'une partie $M_K$-bornée l'est encore — les $x_i$ du but sont des polynômes en ceux de la source —, ce qui donne la fonctorialité utilisée aux pages 39 et 48 ; remarque nôtre. Sur la question, notons seulement que $\mathbf{P}^r(\bar K) \times M_{\bar K}$ tout entier est $M_K$-borné (en chaque $(P, v)$, une coordonnée de valuation minimale fournit une carte où toutes les autres sont entières) : les parties de hauteur bornée relèvent d'une notion globale que celle-ci ne voit pas. La page laisse la question ouverte. ↩
Une première rédaction, directe sur un affine, est encadrée et barrée sur la page ; la fonctorialité invoquée est celle de la note précédente. ↩
Argument nôtre. On peut supposer les $U_i = D(g_i)$ principaux, en nombre fini, et écrire $1 = \sum h_i g_i$. Sur une partie bornée, $v(h_i(P)) \geqslant c(v)$ pour un $M_K$-diviseur $c$ ; comme $0 = v(1) \geqslant \min_i v(h_i g_i(P)) - c_0(v)$, où $c_0$ tient compte des places archimédiennes, il existe pour chaque $(P, v)$ un $i$ tel que $v(g_i(P)) \leqslant c_1(v)$, c'est-à-dire $v(1/g_i(P)) \geqslant -c_1(v)$ : $(P, v)$ est dans une partie bornée de $D(g_i)$ pour les générateurs $x_1, \ldots, x_n, 1/g_i$. C'est, sous une forme ou une autre, le lemme qui rend chez Lang la notion de partie bornée locale sur $X$. ↩
L'exposant de $f$ dans $\theta(f)$ est un pâté d'encre. Avec $\theta(f) = (-\varphi_f, f)$, la classe de $(\varphi, g)$ est la fonction $(P, v) \mapsto \varphi(P, v) + v(g(P))$, bien définie là où $g$ l'est : $(\varphi - \varphi_u, gu)$ donne la même fonction. Le choix $f^{-1}$ donnerait la convention de signe opposée ; c'est une convention, et nous prenons celle-ci. ↩
La page écrit l'égalité avec les composantes dans l'ordre inverse, $(1, \varphi) = (f, -\varphi_f)$ ; c'est sans conséquence. ↩
La prose de la page 43 est d'une écriture très rapide et en partie illisible ; seules les formules et la conclusion se lisent sûrement. L'argument suppose qu'au moins une $v \in M_K$ n'est pas triviale, ce que la page sous-entend. ↩
Pour un corps de nombres muni de toutes ses places, $U$ est le groupe des racines de l'unité ; pour un corps de fonctions muni de toutes ses places, le groupe multiplicatif du corps des constantes. Remarque nôtre. ↩
La page dessine ce diagramme $3 \times 3$, en partie en pointillés ; on en donne le contenu en prose. ↩
La phrase de la page 44 se poursuit en tête de la page 46 ; la page 45, barrée, s'intercale dans l'ordre des archivistes (voir plus bas). L'indice de $\mathrm{Div}_\ell$ est une lecture incertaine. ↩
La page dit qu'on peut « remplacer $H^1(X, \Phi_X)$ par $0$ (deux fois) » dans le diagramme, puis « en d'autres termes » énonce la surjectivité. Ce qui est équivalent à celle-ci est la nullité des flèches vers $H^1$, non celle de $H^1$ lui-même ; on garde la première lecture. ↩
Le cas de $\mathbf{P}^r$, que la page ne fait pas, se traite ainsi (argument nôtre). Sur $U_i = \{x_i \neq 0\}$, posons $\varphi_i(P, v) = \min_j v\bigl(x_j(P)/x_i(P)\bigr)$. Sur $U_i \cap U_j$, $\varphi_i - \varphi_j = v\bigl(x_j/x_i\bigr)(P)$, qui est $\varphi_g$ pour le cocycle $g = x_j/x_i$ de $\mathcal{O}(1)$ ; et $\varphi_i$ est admissible sur $U_i$, puisque $c(v) \leqslant \varphi_i \leqslant 0$ sur $E(U_i; (x_j/x_i)_j; c)$. Les $\varphi_i$ forment donc une section de $\Phi/(\mathcal{O}^*/U)$ d'image $\mathcal{O}(1)$. C'est la fonction de Weil standard, $\lambda(P, v) = \min_j v(x_j(P)) - v(x_i(P))$. La réduction par fonctorialité demande que l'image réciproque d'une fonction admissible par un morphisme le soit, ce que donne la remarque sur les images de parties bornées, page 37. ↩
La question reste sans réponse sur la page, et nous ne la tranchons pas. On remarque seulement que la condition ne porte que sur les parties « produits » $F \times M_K$, alors qu'une partie $M_K$-bornée n'a en général pas cette forme : pour un $X$ affine non propre, ses fibres au-dessus des places varient. ↩
Le haut de la page 45 est très surchargé et plusieurs mots en sont illisibles ; on n'en donne que la ligne d'argument qui se lit. La page 49, dernière du dossier, est une page dactylographiée d'un autre texte, barrée, sans rien de sa main. ↩