Lorsqu'on a fixé un point \xi_{0} \in S(\mathbb{C}), et qu'on prend T = T_{\xi_{0}}, alors la donnée des revêtements équivariants \overline{S}_{\mathbb{C}} et de \widetilde{P} équivalent à la donnée de

w : \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi_{0}) \longrightarrow G(\mathbb{Q}) \subset G(\mathbb{C})

Entre crochets, d'une écriture plus fine, il justifie ce morphisme : « intégrable de \widetilde{P}, qui \overline{S}_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}}, d'où \Gamma = \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi_{0}) \to G(\mathbb{C}), qu'il se factorise par G(\mathbb{Q}) ».

et à un point x_{0} de P_{\xi_{0}}, i.e. une trivialisation de P_{\xi_{0}}, qui définit alors un unique morphisme q du rev. universel \overline{S}_{\mathbb{C}} de S_{\mathbb{C}} dans P_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}} = P(\mathbb{C}), qui envoie le pt marqué \overline{\xi}_{0} en x_{0} ; il satisfait q(\overline{s}\,\sigma) = q(\overline{s}) \cdot w(\sigma) , \quad \overline{s} \in \overline{S}_{\mathbb{C}} , \ \sigma \in \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi_{0}) , et définit \widetilde{P}_{\mathbb{C}} = \overline{S}_{\mathbb{C}} \times^{\Gamma} G(\mathbb{Q}) \hookrightarrow P_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}} restriction du groupe structural de G(\mathbb{C}) à G(\mathbb{Q}).

Comme structure importante, il y a une application f : \widetilde{P}_{\mathbb{C}} \longrightarrow \Gamma_{G} où \Gamma_{G} = l'ens. des structures de Hodge sur G_{\mathbb{R}} (compatibles associées, i.e. liées avec un morphisme i : \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}} \to G_{\mathbb{R}} donné). Cette application f satisfait les conditions

Soit S un \mathbb{Q}-schéma régulier connexe muni d'un point géom. \xi : \operatorname{Spec}(\mathbb{C}) \longrightarrow S. Le foncteur \xi^{*} : \mathrm{Mot}(S) \to \mathrm{Mot}(\mathbb{C}), \mathrm{Mot}(S) désignant les motifs lisses sur S, est fidèle. On regarde le foncteur composé le foncteur composé

L'étiquette de la deuxième flèche est réécrite par-dessus une autre ; le H ajouté après le B est sûr, ce qui est dessous ne l'est pas.

Réseau et vectoriel filtré

(Via Hodge)

1) Supposons \xi localisé au pt. générique de S. a) À tout motif M sur S, on associe le triple \{\, T_{DR}(M_{y}),\ T_{B}(M_{\xi}),\ \varphi_{M} \,\} où \varphi_{M} est l'isom. can. \varphi_{M} : T_{B}(M_{\xi}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \ \simeq \ T_{DR}(M_{y}) \otimes_{k(y)} \mathbb{C} . On considère T_{DR}(M_{y}) comme filtré, la filtration étant telle que \varphi_{M} la transforme en une filtration déterminée des de T_{B}(M_{\xi}) [i.e. , avec conjugué, une bigraduation].

Le foncteur M \mapsto \ill{} ainsi obtenu est pleinement fidèle (moyennant conj. de Hodge simple).

Réseau et vectoriel bigradué

b) Même résultat si on considère \{\, T_{Hdg}(M),\ T_{B}(M_{\xi}),\ \psi_{M} \,\} T_{Hdg}(M) étant considéré comme bigradué, et \psi_{M} étant l'isomorphisme canonique \psi_{M} : T_{B}(M_{\xi}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \ \simeq \ T_{Hdg}(M) \otimes_{k(y)} \mathbb{C} .

Le foncteur n'est-il pl. fidèle si la donnée de la filtration T_{DR} ?? !! de T_{Hdg}

K \subset \mathbb{C} sous-corps, M motif sur K, d'où T_{DR}(M). Considérons T_{DR}(M) = \operatorname{Hom}(1, M) \otimes_{\mathbb{Q}} K ; on voit que un -module de T_{DR}(M), et qui :

A-t-on une réciproque ?

1°) Pas pour b) a) et b) simultanément pour 2 cat. de motifs M G .

[Car des motifs elliptiques donc car T_{DR}(M)^{00}_{\mathbb{C}} = T_{DR}(M)_{\mathbb{C}}, (d'autre part : b) mais ses l' galoisien de gpe G de \mathbb{Q} pour M \to tout vide M = \mathbb{Q}[\mathbb{C}], qui donne T_{DR}(M) = \bot …] ; donc dans ce cas on réciproque : a) et b) ).

En effet, si G est de poids 0 ], la condition a) est vide, donc réc. de a) vraie ssi G = (e) ; b) la réciproque (d'autre part galoisien de gpe G de \mathbb{Q} tout vide [i.e. avec le G-module dans ce cas on a) et b) )].

Il faut donc G connexe, on p. ex. K = \overline{\mathbb{Q}} . On peut de plus supposer la condition, immersions K \hookrightarrow \mathbb{C}.

2°) La réciproque a) \to (= pour \overline{\mathbb{Q}}), il s'agit de prendre gpe de Galois motivique G de dim. \geqslant 3. On note qu'en fixant la (K \hookrightarrow \mathbb{C}), que G = \operatorname{ad}(P), un G commut. (qui définirent) (la bigraduation, j_{1}, j_{2} : G_{K} \overset{\rho}{\rightrightarrows} G V_{\mathbb{C}} \ \simeq \ V' \otimes_{K} \mathbb{C} \qquad [\, V' = P \times^{G_{K}} V, \quad \rho = \struck{\underline{\operatorname{Isom}}^{\otimes}} \bigl( T_{B} \otimes k,\ T_{DR} \bigr) \,] Donc une représentation fidèle de gpe 0 de G donnera, T l'image de (j_{1}, j_{2}) : G_{K} \times G_{K} \to G', V' pour laquelle {V'}^{\,T} \ \bigl\{ = T_{DR} \cap (T_{DR})^{00}_{\mathbb{C}} \bigr\} \ \ill{} \ \neq \ {V'}^{\,G'} .

Le feuillet 50 est écrit par-dessus lui-même : la marge de gauche porte, au niveau de 2°), un bloc de trois ou quatre lignes entièrement recouvert de ratures, dont rien ne se lit.