Cote n° 13, pages 41–51

Cote n° 13 · batch 3 · pages 41–51 · Transcription · Groupe de Galois motivique : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965
Édition de démonstration

Le torseur des périodes, le revêtement équivariant et la donnée de Hodge

Le feuillet 41 reprend en cours de route l'énoncé commencé au feuillet 40 : les objets \(S\), \(G\), \(P\), \(\overline{S}_{\mathbb{C}}\), \(\widetilde{P}\) et \(\Gamma_{G}\) y sont posés et ne sont pas redits ici. Aucun titre ne figure en tête du feuillet ; celui-ci est de l'éditeur.

Lorsqu'on a fixé un point \(\xi_{0} \in S(\mathbb{C})\), [et qu'on prend \(T = T_{\xi_{0}}\)], alors la donnée des revêtements équivariants \(\overline{S}_{\mathbb{C}}\) et de \(\widetilde{P}\) équivalent à la donnée de

\[ w : \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi_{0}) \longrightarrow G(\mathbb{Q}) \subset G(\mathbb{C}) \]

Entre crochets, d'une écriture plus fine, il justifie ce morphisme : « […] intégrable de \(\widetilde{P}\), qui […] \(\overline{S}_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}}\), d'où \(\Gamma = \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi_{0}) \to G(\mathbb{C})\), […] qu'il se factorise par \(G(\mathbb{Q})\) ».

et à un […] point \(x_{0}\) de \(P_{\xi_{0}}\), i.e. une trivialisation de \(P_{\xi_{0}}\), qui définit alors un unique morphisme \(q\) du rev. universel \(\overline{S}_{\mathbb{C}}\) de \(S_{\mathbb{C}}\) dans \(P_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}} = P(\mathbb{C})\), qui envoie le pt marqué \(\overline{\xi}_{0}\) en \(x_{0}\) ; il satisfait \[ q(\overline{s}\,\sigma) = q(\overline{s}) \cdot w(\sigma) , \quad \overline{s} \in \overline{S}_{\mathbb{C}} , \ \sigma \in \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi_{0}) , \] et définit \[ \widetilde{P}_{\mathbb{C}} = \overline{S}_{\mathbb{C}} \times^{\Gamma} G(\mathbb{Q}) \hookrightarrow P_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}} \] [restriction du groupe structural […] de \(G(\mathbb{C})\) à \(G(\mathbb{Q})\)].

Comme structure importante, il y a une application \[ f : \widetilde{P}_{\mathbb{C}} \longrightarrow \Gamma_{G} \] où \(\Gamma_{G} = \) l'ens. des structures de Hodge sur \(G_{\mathbb{R}}\) (compatibles associées, i.e. […] liées avec un morphisme \(i : \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}} \to G_{\mathbb{R}}\) donné). Cette application \(f\) satisfait les conditions

a)\(f\) holomorphe ;
b)\(f(x \cdot g) = g^{-1} f(x)\) \(g \in G(\mathbb{Q})\), \(x \in \widetilde{P}_{\mathbb{C}}\) ;
c)\(\forall\, x \in \widetilde{P}_{\mathbb{C}}\) sur le point \(s\) de \(S\), la filtration structure de […] \(T_{\mathbb{C}}\) sur \(\operatorname{Rep}(\mathbb{C})\), définie par \(f(x) : S \to G_{\mathbb{R}}\), est compatible

avec le torseur \(P_{s}\) sous \(G_{k(s)}\) et la trivialisation \(p(x) \in P_{s}(\mathbb{C})\).

En termes de \(w\) et \(q : \overline{S}_{\mathbb{C}} \to P_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}}\), la donnée de \(f\) revient à [la] donnée de \[ f : \overline{S}_{\mathbb{C}} \longrightarrow \Gamma_{G} \] satisfaisant [a)] à les conditions

a)\(f\) holomorphe ;
b)\(f(x \cdot g) = w(g)^{-1} f(x)\), pour […] ;
c)\(f(\ill{})\) \(\forall\, \overline{s} \in \overline{S}_{\mathbb{C}}\), \(f(\overline{s}) : S \to G_{\mathbb{R}}\) est compatible avec le torseur \(P_{s}\) sous \(G_{k(s)}\) et la trivialisation \(q(x) \in P_{s}(\mathbb{C})\).

Enfin, pour tout \(k\), […] on se donne une « variation » en vue. \(\widetilde{P}_{\mathbb{C}} \times^{G(\mathbb{Q})} G(\mathbb{A})\) sur \(\overline{S}_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}}\), ou un revêtement […] de groupe \(G(\mathbb{Q}_{\ell})\) sur \(S\).

\(\mathbb{A} = \) adèles « finis » sur \(\mathbb{Q}\)

En termes de \(\xi_{0}\) et \(\Gamma = \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi_{0})\), on se donne une factorisation de \(\Gamma \to G(\mathbb{Q}) \longrightarrow G(\mathbb{A})\) par \[ \Gamma \longrightarrow \pi_{1}(S, \xi_{0}) \longrightarrow G(\mathbb{A}) , \] \(\pi_{1}\) désignant ici le groupe fondamental algébrique. Quant au revêtement \(\widetilde{P}_{\mathbb{C}} \times^{G(\mathbb{Q})} (G/G^{\circ})(\mathbb{A})\), il est […] \(\widetilde{P}_{\mathbb{C}} \times\) associé : \[ \widetilde{P}_{\mathbb{C}} / G^{\circ}(\mathbb{Q}) \ \struck{\simeq} \ (P/G^{\circ})_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}} , \] et il et il […] \(=\) […] à faire leur restriction à \(S\) […] et au […]. Les […] que ce sont celles données plus haut …

N.B. […]Le N.B. qui ferme le feuillet est biffé d'un trait et n'est plus lisible.

A)Groupe réductif \(E\) évidemment \(G\) sur \(\mathbb{Q}\).
B)Fibré principal à connexion intégrable \(P\) sur \(G_{S}\).
C)Restriction du groupe \(G_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}}\) à \(G(\mathbb{Q})\) dans \(P_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}}\), d'où rev. […] \(\widetilde{P} \overset{p}{\hookrightarrow} P_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}} \to P\).
D)Application holomorphe \[ f : \widetilde{P} \longrightarrow \Gamma_{G} \] satisfaisant \(f(xg) = g^{-1} f(x)\) (\(x \in \widetilde{P}\), \(g \in G(\mathbb{Q})\)) et compatible avec les données B) et \(p\) de C).
E)Restriction de \(\widetilde{P} \times^{G(\mathbb{Q})} G(\mathbb{A})\) à \(S\), avec compatibilité […] verticalement : \(G/G^{\circ}\).

où \(q\), \(f'\)Cette annotation marginale est reliée par une accolade aux items C), D) et E).

N.B. La connaissance de A) B) C) et de \(f(\xi_{0})\), i.e. \(\xi_{0} \in \widetilde{P}\) — au-dessus des points génériques de \(S\) [[…] peut-être simplement] — doit en principe permettre de reconstituer D) tout entier et les données provenant de E) [lorsqu'on sort […] […] que les données provenant d'une cat. de motifs \(\mathcal{M}\)].

Formule analytique de prolongement de \(f\) ?

Relations entre D) et E) ?? [Jugendtraum ?]Le mot est écrit entre crochets et suivi d'un point d'interrogation ; la lecture est offerte sous réserve, mais le contexte adélique de E) la rend plausible.

N.B. Quand \(f\) est […] sur le pt. génér. de \(S\), il […] de connaître la connexion de \(P\), et il suffit de connaître \(P_{\xi}\) ?

Foncteurs pleinement fidèles sur catégories des motifs, liés à théorie de Hodge

Le titre est celui qu'il inscrit, souligné et précédé d'un \(\otimes\) entouré, en tête du feuillet 45. Les six rubriques qui suivent sont numérotées de sa main 1) à 6) ; chacune est annoncée par une rubrique entre parenthèses — « Via Hodge », « Via Tate », « Double niveau ».

Soit \(S\) un \(\mathbb{Q}\)-schéma régulier [connexe] muni d'un point géom. \(\xi : \operatorname{Spec}(\mathbb{C}) \longrightarrow S\). Le foncteur \(\xi^{*} : \mathrm{Mot}(S) \to \mathrm{Mot}(\mathbb{C})\), \(\mathrm{Mot}(S)\) désignant les motifs lisses sur \(S\), est fidèle. On regarde le foncteur composé le foncteur composé

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{Mot}(S) \arrow[r, "\xi^{*}"] \arrow[rrr, bend right=25, "(T_{B})_{\xi}"'] & \mathrm{Mot}(\mathbb{C}) \arrow[r, "T_{B+H}"] & \mathrm{Hodge}(\mathbb{Q}, \mathbb{C}) \arrow[r] & \mathrm{Mod}_{f}(\mathbb{Q})
\end{tikzcd}

L'étiquette de la deuxième flèche est réécrite par-dessus une autre ; le \(H\) ajouté après le \(B\) est sûr, ce qui est dessous ne l'est pas.

Réseau et vectoriel filtré

(Via Hodge)

1) Supposons \(\xi\) localisé au pt. générique de \(S\). [a)] À tout motif \(M\) sur \(S\), on associe le triple \[ \{\, T_{DR}(M_{y}),\ T_{B}(M_{\xi}),\ \varphi_{M} \,\} \] où \(\varphi_{M}\) est l'isom. can. \[ \varphi_{M} : T_{B}(M_{\xi}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \ \simeq \ T_{DR}(M_{y}) \otimes_{k(y)} \mathbb{C} . \] On considère \(T_{DR}(M_{y})\) comme filtré, la filtration étant telle que \(\varphi_{M}\) la transforme en une filtration déterminée des […] de \(T_{B}(M_{\xi})\) [i.e. […], avec […] conjugué, une bigraduation].

Le foncteur \(M \mapsto \ill{}\) ainsi obtenu est pleinement fidèle (moyennant conj. de Hodge simple).

Réseau et vectoriel bigradué

b) Même résultat si on [considère] […] \[ \{\, T_{Hdg}(M),\ T_{B}(M_{\xi}),\ \psi_{M} \,\} \] \(T_{Hdg}(M)\) étant considéré comme bigradué, et \(\psi_{M}\) étant l'isomorphisme canonique \[ \psi_{M} : T_{B}(M_{\xi}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \ \simeq \ T_{Hdg}(M) \otimes_{k(y)} \mathbb{C} . \]

Le foncteur n'est-il […] pl. fidèle si […] la donnée de la filtration […] \(T_{DR}\) ?? […] !! de \(T_{Hdg}\)

(Via Tate)

2) Soit \(\pi = \pi_{1}(S, \xi)\), dont l'un les précédents. À tout \(M\), associons \[ \{\, T_{B}(M_{\xi}),\ \rho_{\ell, M} \,\} \]

Un « \(+H\) » a été écrit après le \(B\) de \(T_{B}\), puis biffé : il écarte ici la structure de Hodge, qu'il rétablira plus bas sous le nom \(T_{B-H}\). i.e. \(T_{D.H}(M_{\xi})\) est la structure de Hodge Hodge associée, i.e. \(M_{\xi} \mapsto T_{D,H}(M) = \{ T_{D}(M_{\xi}) + \text{bigraduation} \mapsto T_{D}(M_{y}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \}\), et où \[ \rho_{\ell, M} : \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}_{\ell}} \bigl( T_{B}(M_{\xi}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \bigr) . \]

\(\ell\)-Modules galoisiens — réseaux

Le foncteur ainsi obtenu est pl. fidèle si \(S\) un corps \(k\) (\(\subset \mathbb{C}\)) […] est de type fini sur \(\mathbb{Q}\), en admettant comme Hodge Tate les conj. de Hodge, et utilisant rés. de Griffiths.

Si \(S\) est loc. de t.f. sur \(\mathbb{C}\), on peut aussi prendre \(\pi' = \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi)\), et \(\rho_{M}\) [au lieu de \(\rho_{\ell}\)], \[ \rho_{M} : \pi' = \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi) \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}} \bigl( T_{D}(M_{\xi}) \bigr) , \] à condition de remplacer \(T_{B}\) par \(T_{B-H}\) (structure de Hodge !).

ici c'est conj. Hodge qu'on utilise !

Si \(S\) est p. ex. affine, […] mais pour une cat. de type fini sur un corps, on a un résultat analogue, avec \(\pi\) remplacé par un système projectif de gpes fondamentaux de schémas de t.f. sur \(\mathbb{Q}\) …

3) À tout \(M\), associons \[ \bigl( T_{DR}(M),\ \sigma,\ T_{B}(M_{y}),\ \varphi \bigr) \] où \(T_{DR}(M)\) est la coh. de D.R. de \(M\) sur \(S\), considérée comme vectoriel filtré (il suffit de donner la filtration de \(T_{DR}(M)(\xi)\) !), \(\sigma\) sa stratification (Gauss–Manin) relativement à […] [un corps de base fini alg. clos \(k = \overline{\mathbb{Q}}\)], \(T_{B}(M_{\xi})\) la coh. de Betti, et \(\varphi\) l'isomorphisme canonique \[ T_{DR}(M)(\xi) \ \simeq \ T_{B}(M_{y}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} . \] Si \(S\) est de […], on trouve ainsi un foncteur pl. fid. (moyennant conj. de Hodge, et utilisant Griffiths).

[…] si \(k = \mathbb{Q}\), […] n'est-il […] de vecteur la filtration sur \(T_{DR}(M)\) ? […] plus bas.

« Double niveau »

4) Supposons \(S = \operatorname{Spec} k\), \(k\) [une] extension algébrique de \(\mathbb{Q}\). Considérons le foncteur qui à \(M\) associe \[ (4.1) \qquad \{\, T_{DR}(M),\ T_{B}(M),\ \varphi \,\} \] où \(\varphi : T_{B}(M) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \simeq T_{DR}(M) \otimes_{k} \mathbb{C}\) ; ici, on ne considère pas \(T_{DR}(M)\) comme filtré, et ni \(T_{B}(M)\) muni d'une structure de Hodge. Ce foncteur est-il pl. fidèle ??

Il revient au même de […] Il est aussitôt ramené au cas où \(k = \overline{\mathbb{Q}}\). La question est alors équivalente à celle si le foncteur associant à \(M\) le système \[ (4.2) \qquad \{\, T_{B}(M),\ \sigma \,\} \] où \(\sigma\) est le […] canonique sur \(T_{B}(M) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\), est pleinement fidèle : en effet, \(\sigma\) et \(T_{DR}(M) \subset T_{B}(M) \otimes \mathbb{C}\) se déterminent mutuellement [\(T_{DR}(M)\) est l'ens. des éléments […] par \(\sigma\) …].

Une autre façon de définir [\(T_{DR} \subset T_{B} \otimes \mathbb{C}\),] cette donnée, quand on introduit le groupe de Galois \[ G = \underline{\operatorname{Aut}}^{\otimes}\bigl( T_{B}\struck{(M)} \ (M \mapsto \otimes\,\ill{}) \ \text{de la catégorie } \mathrm{Mot}(k) \bigr) \longrightarrow \] catégorie de type fini […], c'est la donnée de \(\dot{g} \in G(\mathbb{C})/G(\overline{\mathbb{Q}})\) ; si \(V\) est un \(G\)-module (correspondant à un motif \(M\)), alors \(T_{DR}(M)\) n'est autre que le \(\overline{\mathbb{Q}}\)-réseau \(g(V_{\overline{\mathbb{Q}}}) \subset V \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\).

Donc la question est simplement si pour […] \(V\), l'inclusion \[ V^{G} \ \subset \ V \cap g(\overline{V}) \] est une identité. [On peut se ramener […] que \(V\) est un module simple. [S'il est de dim. \(1\), c'est une puissance de Tate, et ça marche.]]

N.B. \(G\) connexe

regardons \(V\) irréductible (i.e. \(\overline{V} = V \otimes_{\mathbb{Q}} \overline{\mathbb{Q}}\))

\[ \struck{\overline{V}^{G} \ \subset \ \overline{V} \cap g(\overline{V})} \]

et une […] qui est une identité [car \(\overline{V}^{G} \cap V = V^{G}\)].

Or la relation \(x \in \overline{V} \cap g(\overline{V})\) équivaut à \[ x \in \overline{V}, \qquad g^{-1} x \in \overline{V} \] et implique évidemment, si \(\overline{T} \subset \overline{G}\) le lieu de \(g\) sur \(G_{\overline{\mathbb{Q}}}\) les dé[…], \[ x \in \overline{V} , \quad t\, s^{-1} \in G_{x}(\mathbb{C}) \ \text{ pour } t, s \in \overline{T}(\mathbb{C}) , \] et \(= \gamma\) équivalant. En d'autres termes, si \(G_{x}\) est le stabilisateur de \(x\), qui est un […] agissant dans \(G\), la relation \(x \in \overline{V} \cap g(\overline{V})\) équivaut à \(\overline{R} \in G_{x}\) […], i.e. \(\overline{R}\) est l'adhérence de \(\overline{T} \times \overline{T} \to \overline{G}\), \((s,t) \mapsto s^{-1} t\). Soit \(\overline{R}\) l'image de \(\overline{R}\) dans \(G\), \(H\) le sous-groupe […] \(H \subset G\), i.e. \(H\) […] \(x\).

[…]Suit, encadré, un long passage écrit par-dessus lui-même puis biffé en travers ; il porte sur le stabilisateur \(G_{x}\), sur les invariants de \(G\), sur \(\overline{R}\) et sur une condition « il suffit que … pour un voisinage de […] », et n'est pas récupérable.

i.e. […] que \(\overline{R}\) invariant de […], \(V^{G}\), i.e. \(G_{x} = G\) […], \(\overline{R} \subset \ill{}\), \(H\) de \(G\) (pour […] repr. de \(G\)) […] \(H = G\), mais cette condition n'est […] un \(k\)-gpe de Borel de \(G\) a […] (en […])

La propriété qui […] vraiment […] elle-ci :

N.B. \(G\) \(\overline{R}\), \(\overline{H}\) ne dépendent pas au choix de […] quand \(G(\overline{\mathbb{Q}})\), […]

Regardez notamment le cas des courbes elliptiques

5) Bien entendu, dans […] que \(k\) est alg. sur \(\mathbb{Q}\), on peut regarder le foncteur (4.1). Mais il n'est plus en général pl. fidèle, [\(\otimes\)-cat.] car si \(k\) est de t.f. sur \(\mathbb{Q}\), on peut prendre \(M\) fixé [de] type fini […] de \(\mathrm{Mot}(k)\), si la condition d'engendrer les \(k\), [on trouve que] \(T_{DR}(M)\) contient \(\underline{T_{B}(M)}\), [plus haut] […] […] […] simple […] \(T_{B}(M)\) : idiot !

Pour \(M\) fixé, on peut espérer tout au moins avoir quelque résultat de disproportion, de \(T_{B}\) et \(T_{DR}\) si \(k\) est \(\pm\) modéré (p. ex. avec les répartitions des degrés de transcendance minimum).

Par contre, sans hypothèse sur \(k\) sauf d'être alg. clos, il semble encore raisonnable d'espérer que (4.2) soit très pleinement fidèle. On est ramené pour cela au cas \(k = \mathbb{C}\). C'est une conséquence de \(2\) conjectures « du double niveau » de 4) \(+\) Tate ou Hodge, plus : 6)

réseau \(+\) connexion

6) Si \(S\) de type fini [[…] un corps de nbs], […] : le foncteur de 3), mais sans filtration sur \(T_{DR}(M)\). Il résulterait de la conj. du double niveau qu'elle [tout] génér[…] que ce foncteur est pl. fidèle.

[N.B. Si \(S\) est le spectre d'un corps de nbs, ceci se réduit : l'énoncé du double niveau …)

Remarques sur la caractérisation des classes de coh. D.R. essentiellement algébriques

Le titre est celui qu'il inscrit, souligné, en tête du feuillet 50 ; la seconde moitié en est « par bigraduation ou par vérité … », dont le dernier mot n'est pas assuré. Le mot « essentiellement » est une addition interlinéaire au-dessus d'un mot biffé.

\(K \subset \mathbb{C}\) sous-corps, \(M\) [motif sur \(K\)], d'où \(T_{DR}(M)\). Considérons \(T_{DR}(M)\) [\(= \operatorname{Hom}(1, M) \otimes_{\mathbb{Q}} K\)] ; on voit que […] un […]-module de \(T_{DR}(M)\), et qui […] :

a)contenu dans \(T_{DR}(M)^{00}_{\mathbb{C}}\) ;
b)contenu dans \(\operatorname{Hom}(1, M) \otimes_{\mathbb{Q}} (K \cap \mathbb{R}) \to\) contenu dans \(\bigl( T_{DR}(M)_{\mathbb{C}} \bigr)_{\mathbb{R}}\) [et \(=\)] \(\operatorname{Hom}(1, M) \otimes_{\mathbb{Q}} (K \cap \mathbb{R}) \to\) contenu dans \(\bigl( T_{DR}(M)_{\mathbb{C}} \bigr)_{\mathbb{R}}\).

A-t-on une réciproque ?

1°) Pas pour b) [a) et b) simultanément] […] [pour \(2\) cat. de motifs \(M\) […]] […] \(G\) […].

[Car des motifs elliptiques […] […] donc car \(T_{DR}(M)^{00}_{\mathbb{C}} = T_{DR}(M)_{\mathbb{C}}\), (d'autre part […] : b) […] mais ses l'[…] […] galoisien […] de gpe \(G\) de \(\mathbb{Q}\) […] pour \(M \to\) tout vide […] \(M = \mathbb{Q}[\mathbb{C}]\), qui donne \(T_{DR}(M) = \bot\) …] ; donc dans ce cas on […] réciproque : a) et b) ).

En effet, si \(G\) est […] […] de poids \(0\) ], la condition a) est vide, donc réc. de a) vraie ssi \(G = (e)\) ; b) la réciproque […] (d'autre part […] galoisien […] de gpe \(G\) de \(\mathbb{Q}\) […] tout vide [i.e. […] avec le \(G\)-module […] dans ce cas on […] a) et b) )].

Il faut donc […] […] \(G\) connexe, on […] p. ex. \(K = \overline{\mathbb{Q}}\) […] […]. On peut de plus supposer la condition, […] [immersions] \(K \hookrightarrow \mathbb{C}\).

2°) La réciproque […] a) \(\to\) […] […] […] (\(=\) pour \(\overline{\mathbb{Q}}\)), il s'agit de prendre […] […] gpe de Galois motivique \(G\) […] de dim. \(\geqslant 3\). On note qu'en […] fixant la \((K \hookrightarrow \mathbb{C})\), […] […] que \(G\) [\(= \operatorname{ad}(P)\), un \(G\) commut.] (qui définirent) (la bigraduation, \[ j_{1}, j_{2} : G_{K} \overset{\rho}{\rightrightarrows} G \] \[ V_{\mathbb{C}} \ \simeq \ V' \otimes_{K} \mathbb{C} \qquad [\, V' = P \times^{G_{K}} V, \quad \rho = \struck{\underline{\operatorname{Isom}}^{\otimes}} \bigl( T_{B} \otimes k,\ T_{DR} \bigr) \,] \] Donc une représentation fidèle de gpe […] \(0\) de \(G\) donnera, […] \(T\) l'image de [\((j_{1}, j_{2}) : G_{K} \times G_{K} \to G'\)], […] \(V'\) […] pour laquelle \[ {V'}^{\,T} \ \bigl\{ = T_{DR} \cap (T_{DR})^{00}_{\mathbb{C}} \bigr\} \ \ill{} \ \neq \ {V'}^{\,G'} . \]

Le feuillet 50 est écrit par-dessus lui-même : la marge de gauche porte, au niveau de 2°), un bloc de trois ou quatre lignes entièrement recouvert de ratures, dont rien ne se lit.

3°) Reste la question d'une réciproque à b) si \(K\) […], en prenant [au moins] (si \(K \neq \overline{\mathbb{Q}}\)) toutes les imm. \(K \to \mathbb{C}\), et en conjuguant aussi au besoin avec la condition a).

Le feuillet s'arrête sur ces trois lignes, et la question 3°) reste posée : le dossier n'a pas de suite.