Cote n° 13 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Groupe de Galois motivique : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965
Édition de démonstration

Descriptions transcendantes de motifs en car. \(0\) et de catégories de motifs en car. \(0\) — doubles réseaux etc.

Le titre est de sa main. Il est inscrit, seul, sur un feuillet par ailleurs blanc qui clôt le lot précédent (feuillet 20) et annonce la suite. Le feuillet 21 est blanc ; la rédaction commence au feuillet 22, sans rien reprendre de ce qui précède : tous les objets y sont posés à neuf.

22

Situation abstraite de la donnée d'une connexion intégrable sur un foncteur fibre.

[…]

Le haut du feuillet porte quatre lignes biffées d'un trait diagonal, où se lisent « Dans le cas général ([…] pas nécessairement constants) » et « la connaissance des opérations \(\Theta_{X}\) sur les \(V_{\mathbb{C}}\) (\(V \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}\)) » ; le reste ne se lit pas. La rédaction reprend en dessous.

Considérons une \(\otimes\)-catégorie \(\mathcal{M}\) sur corps \(k_{0}\), soit \(K\) une extension de \(k_{0}\). On suppose donné un foncteur fibre : valeurs dans \(k_{0}\), de \(\mathcal{M}\). Si ce foncteur fibre est donné par \(G\) sur \(k_{0}\), \(\mathcal{M}\) s'identifie aux \(G\)-\(k_{0}\)-modules […]. On veut déterminer les façons de mettre, sur chaque [vect. : \(K/k_{0}\)] \(V \otimes_{k_{0}} K\) une connexion intégrable fonctorielle en \(V\), [et « compatible avec \(\otimes\) »]. Or il y en a déjà une \((H)_{0}\), déduite des structures dont on […] dispose déjà sur chaque \(V \otimes_{k_{0}} K\). Une telle connexion intégrable sera donc de la forme

\[ \check{\Theta}_{X} = \check{\Theta}_{0X} + \check{\omega}(X) \]

Le signe qu'il porte au-dessus de \(\Theta\) et de \(\omega\) est un accent en forme de \(\vee\) ; il est rendu ici par \(\check{\ }\), et se retrouve sur \(\mathfrak{g}\) au feuillet 23.

\[ \check{\omega} : \text{Dér}(K/k_{0}) \longrightarrow \struck{\operatorname{End}_{K}(V_{K})} \ \ K\text{-dérivations} \]

« \(K\)-dérivations » est souligné sur le feuillet.

\[ \check{\Theta}_{X}(\varphi) = \check{\Theta}_{0X}(\varphi) + \check{\omega}(X)(\varphi) \]

Si on veut décrire les \(\check{\Theta}_{X}\) sur les \(V\), de façon compatible avec multiplication, on […] que \(\check{\omega}(X)\), pour \(V\) variable, [\(F_{K}\)] est une « dérivation » des foncteurs fibres donnés, donc définie par un élément de \(\mathfrak{g}_{K}\), où \(\mathfrak{g} = \operatorname{Lie} G\). Soit \(\omega(x) \in \mathfrak{g}_{K}\) ainsi défini.

23

on trouve donc \(x \mapsto \omega(x) : \text{Dér}(K/k_{0}) \to \mathfrak{g}_{K}\), […] \(K\)-linéaire :

\[ \omega : \text{Dér}(K/k_{0}) \longrightarrow \mathfrak{g}_{K} \]

Si on veut avoir une connexion intégrable, il faut écrire de plus la condition d'intégrabilité [dans \((X \wedge Y)\)]

\[ \Theta_{0X}\, \omega(Y) - \Theta_{0Y}\, \omega(X) \ \struck{\ill{}} \ = \ \omega([X,Y]) - [\omega(X), \omega(Y)] \]

où […] \(X, Y \in \text{Dér}(K/k_{0})\) et \(\Theta_{0X}\), \(\Theta_{0Y}\) [opèrent] sur \(\mathfrak{g}_{K} = \mathfrak{g} \otimes_{k_{0}} K\) via les […] sur \(K\) […].

Le plus souvent, on aura en fait

\[ \omega \in \Omega^{1}_{K/k_{0}} \otimes_{K} \mathfrak{g}_{K} \quad \bigl( = \Omega^{1}_{K/k_{0}} \otimes_{k_{0}} \mathfrak{g} \bigr) \]

du reste que \(\omega\) provient déjà d'un élément

\[ \omega \struck{_{K}} \in \Omega^{1}_{k/k_{0}} \otimes_{k} \mathfrak{g}_{k} \]

si \(k\) est une ext. de type fini de \(k_{0}\).

CAS. Si \(k\) est fini, elle est uniquement déterminé, si […] est en car. \(0\)). Le domaine de \(\omega\), c'est […] aussi : le domaine d'un […] hom. \(k_{0}\)-linéaire

\[ \Omega = \check{\mathfrak{g}} \longrightarrow \Omega^{1}_{k/k_{0}} \quad \bigl( \longrightarrow \Omega^{1}_{K/k_{0}} \bigr) \]

Nous allons examiner : quelles conditions, […] [de \(k_{0}\)-[…]] \(V, W \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}\) données, les pour pour \(u : V_{\struck{K}} \to W_{\struck{K}}\) […] […] pour que \(\Theta_{x}\) (\(x \in \text{Dér}(K/k_{0})\)) soit commutant : \(G\), en […] \(G\) commence (\(k_{0}\) de car. \(0\)). Il suffit

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d'écrire que \(u\) commute : \(\mathfrak{g}_{K}\), ou […] hyp. il commute avec \(\omega(x) \in \mathfrak{g}_{K}\) (\(x \in \text{Dér}(K/k_{0})\)).

Soit \(\mathfrak{n} \subset \mathfrak{g}\) le plus petit sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{g}\) tel que \(\mathfrak{n}_{K}\) contienne les \(\omega(x)\).

La lettre gothique de \(\mathfrak{n}\) n'est pas assurée : le tracé supporterait aussi bien un \(\mathfrak{m}\). Elle ne reparaît pas hors de ce feuillet.

Alors il est clair (ou, du moins, […]) que […] \(u\) commute : \(\mathfrak{n}\), donc il suffit […] que \(\mathfrak{n} = \mathfrak{g}\) pour pouvoir conclure (N.B. Il […] que l'opération de la […] sur \(\mathfrak{n}\) en \(\mathfrak{g}\) […] \(\mathfrak{g}\), mais en fait on le […] voit facilement que \(\mathfrak{n}\) est déjà une sous-algèbre de Lie […]). On peut […] remplacer \(\mathfrak{n}\) par l'algèbre de Lie algébrique qu'elle engendre.

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structure filtrée sur DR et comparaison avec Betti, Hdg […]

Soit \(k \subset \mathbb{C}\), considérons une catégorie de motifs […] [sur \(k\)], type fini […], \(\mathcal{M}\). Il y a deux foncteurs fibres naturels,

\[ (1) \qquad T_{DR} : \mathcal{M} \longrightarrow \text{Modf}(k) \] \[ (2) \qquad T_{B} : \mathcal{M} \longrightarrow \struck{\ill{}}\ \text{Str.\ Hodge} \longrightarrow \text{Modf}(\mathbb{Q}) , \]

le dernier dépendant de l'image \(k \subset \mathbb{C}\). Le premier a une structure de filtration. De plus, on a un isom. canonique

\[ (3) \qquad \varphi : T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \ \overset{\sim}{\longrightarrow}\ T_{DR} \otimes_{k} \mathbb{C} \]

compatible avec filtrations, les \(2\) […] de \(T_{B}\).

Soit \(G\) gpe des Aut. de \(T_{B}\).

Comparant \(T_{DR}\) à \(T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} k\), on trouve un torseur à droite

\[ (4) \qquad P = \operatorname{Isom}_{\otimes}(T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} k,\ T_{DR}) \]

sous \(G_{k}\), qui permet de retrouver le foncteur \(T_{DR}\) comme

\[ (5) \qquad T_{DR} = \struck{\ill{}}\ P \times^{G_{k}} (T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} k) . \]

De plus, […] l'isom. (3) définit un élément canonique

\[ \varphi \in P(\mathbb{C}) \]

La connaissance de \(G\), \(P\), \(\varphi\) permet de retrouver […] \(\mathcal{M}\) avec (1) (2) et (3).

Pour retrouver la structure filtrée sur \(T_{DR}\), et déduire la structure de Hodge sur \(T_{B}\), i.e. la bigraduation sur \(T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\), il convient d'introduire

\[ (6) \qquad T_{\mathrm{Hdg}} : \mathcal{M} \longrightarrow \text{Mod \struck{bi}gradué f}(k) , \qquad T_{\mathrm{Hdg}} = \operatorname{gr}^{*} T_{DR} . \]

[…]

\[ (7) \qquad G'_{k} = P \times^{G_{k}} G_{k} = \operatorname{ad}(P) \simeq \operatorname{Aut}_{\otimes}(T_{DR}) \]

Aussi \[ (8) \qquad H' \subset G'_{k} \]

est le groupe des Aut Aut de \(T_{DR}\) respectant la filtration et qui induisent l'identité sur le gradué associé.

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C'est un groupe unipotent, et on peut introduire

\[ (9) \qquad Q = \operatorname{Isom}_{\otimes,\ \text{ind.\ l'ident.\ sur } \operatorname{gr}^{*}}(T_{DR},\ T_{\mathrm{Hdg}}) , \]

et […] que \(Q\) est un torseur à droite sous \(H'\). Posons

\[ (10) \qquad H'' = Q \times^{H'} H = \operatorname{ad}(H') \simeq \struck{\operatorname{Aut}}\ \text{sous-groupe de} \]

\(H'' = \operatorname{Aut}_{\otimes}(T_{\mathrm{Hdg}})\) respectant la filtration associée à la bigraduation, et induisant l'identité sur gradué associé […]

\[ (11) \qquad G'' = Q \times^{H'} G' = \operatorname{Aut}_{\otimes}(T_{\mathrm{Hdg}}) . \]

Mais la bigraduation de \(T_{\mathrm{Hdg}}\) définit

\[ (12) \qquad i_{1}, i_{2} : \mathbb{G}_{m,k} \longrightarrow G' \]

Le but de (12) est écrit \(G'\) ; c'est \(G''\) qu'il vient d'identifier à \(\operatorname{Aut}_{\otimes}(T_{\mathrm{Hdg}})\) en (11).

[…] […]

\[ (13) \qquad \varepsilon\, i_{1}(\lambda) = \varepsilon\, i_{2}(\lambda) = \lambda , \qquad i_{1}(\lambda)\, i_{2}(\lambda) = i(\lambda) . \]

Ainsi, on obtient les données suivantes :

• a)Gpe algébrique \(G\) sur \(\mathbb{Q}\), avec \(\mathbb{G}_{m} \xrightarrow{\ i\ } G \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathbb{G}_{m}\) […]
• b)Groupe algébrique \(G''\) sur \(k\), avec \(\mathbb{G}_{m} \xrightarrow{\ i''\ } G'' \xrightarrow{\ \varepsilon''\ } \mathbb{G}_{m}\) […]
• c)hom. \(i_{1}\), \(i_{2}\) (12) satisfaisant les conditions (13)
• d)Torseur [à g.] \(Q\) sous le groupe [unipotent] \(H'' \subset G''\), […]

On considère alors

\[ \begin{cases} H' = H'' \times^{H''} Q = \operatorname{ad}_{H''}(Q) \\ \struck{\ill{}} \quad G'' \times^{H''} Q = P \quad (\text{tors.\ à d.\ sous } G'') \\ G' = G'' \times^{G''} Q = \operatorname{ad}_{G''}(Q) \end{cases} \]

N.B. \(Q\) est trivial, donc \(G' \simeq G''\) […] groupe canoniquement

puis

• e)Torseur à g. \(P\) sous \(G'\), […]
• f)Un […] Isom \(G \otimes_{\mathbb{Q}} k \simeq G' \times^{G'} P = \operatorname{ad}_{G'}(P)\)
• g)Un élément \(\varphi \in P(\mathbb{C})\), […]

compatible avec les structures \(i\), \(\varepsilon\)

28

[…]

Une ligne biffée ouvre le feuillet ; on y lit « Moyennant conjecture de Hodge » et rien de plus.

On récupère \(\mathcal{M}\) comme […] \(\operatorname{Rep}(G)\), \(T_{B}\) (comme le foncteur […]) (cf. […]) [avec structure de Hodge], \(T_{DR}\) comme \(T_{B}\) \(P \times^{G} (T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} k)\) (cf. e), f)), la structure de de sorte que \(G' \simeq \operatorname{Aut}_{\otimes}(T_{DR})\). […]

Alors on a \(H' \subset G'\), […] \((G', G'')\) (cf. b), c), d)), […] un torseur \(Q\) sous \((H', H'')\), […] et \(T_{\mathrm{Hdg}} \simeq T_{DR} \times^{H'} Q\), d'où \(G'' \simeq \operatorname{Aut}_{\otimes}(T_{\mathrm{Hdg}})\) et \(i_{1}, i_{2} : \mathbb{G}_{m,k} \to G''\) définissent une bigraduation sur \(T_{\mathrm{Hdg}}\). Les valeurs propres […] définissant \(H''\) […] un tenseur […] \(i_{1}\) indiquent que cette bigraduation correspond à une […] filtration de \(T_{DR}\). On en déduit une filtration sur \(T_{DR} \otimes_{k} \mathbb{C}\). Or \(\varphi\) définit un isom. de ce dernier avec \(T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\), qui se trouve donc muni d'une filtration […].

Conditions à imposer aux données a) b) c) d) e) f) g) :

1. 1)Pour t[ou]te repr. (ou une repr. fidèle) \(V\) de \(G\), la filtration [(condition annexe)] obtenue sur \(V_{\mathbb{C}}\) […] fait de \(V\) un modèle de Hodge.
2. 2)Ce dernier est intrinsèque.
3. 3)La restriction des scalaires de \(\mathbb{C}\) à \(k\) de \(V_{\mathbb{C}}\), déduite de \(\varphi : T_{DR} \otimes_{k} \mathbb{C} \simeq T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\), correspond à une restriction des scalaires du motif sur \(\mathbb{C}\) définissant la structure de Hodge, qui [[…]] : b).

N.B. On ne sait pas expliciter 2) et 3) […] directement en termes des données a) … !

On donne alors, si on admet les conjectures de Hodge, […]

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\[ \underbrace{\pi(\operatorname{Spec} k, \xi)}_{\text{Gpe fond.\ motivique}} \longrightarrow G \]

L'image […] de la composante […] doit être dans le sous-groupe rationnel sur \(\mathbb{Q}\) de \(G\) engendré par \(i_{1}, i_{2} : \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \to G_{\mathbb{C}}\) dérivé.

N.B. La seule condition 1) permet de définir un élément

\[ \psi \in Q(\mathbb{C}) \]

par la condition que la bigraduation correspondante sur \(T_{DR} \otimes_{k} \mathbb{C} \simeq T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\) satisfasse :

\[ \overline{\psi} = \psi^{-1} . \]

N.B. Si [a) à g)] proviennent d'une catégorie de motifs \(\mathcal{M}\) sur \(k\), alors on a […] dans

\[ P \times^{G} \mathbb{G}_{m} \ \simeq\ \mathbb{G}'_{m} \times^{G'} P \]

un isom. marqué \(\alpha\), qui dépend […] \(\alpha_{\mathbb{C}}\) de \(P_{\mathbb{C}} \times^{G_{\mathbb{C}}} \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}\). Bien dit, considérons \(\dot{\varphi} \in (P \times^{G} \mathbb{G}_{m})(\mathbb{C})\), on aura

\[ \dot{\varphi} = \frac{1}{2 i \pi}\, \alpha_{\mathbb{C}} \]

(à voir, que on a […]), ce qui est une restriction arithmétique sur les données a) à g), sachant que \(2 i \pi\, \dot{\varphi} \in\) […] rat\(/k'\) …

Remarquons que les données a) à g), avec conditions 1), [du type brut ; […]], sont […] des [\(\otimes\)-catégories] sur \(\mathbb{Q}\), (munies d'un […] et un \(\otimes\) foncteur [variables] comme […]) à chaque […] structure de Hodge \((V_{\mathbb{Q}},\ V_{\mathbb{C}} = \coprod V^{pq},\ V_{k})\), i.e. avec une définition [variables] sur \(k\) des […] \(V = V_{\mathbb{Q}} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} = \coprod_{pq} V^{pq}\) avec la filtration naturelle la filtration naturelle.

30

[…]

Le feuillet s'ouvre sur un paragraphe encadré et biffé d'une diagonale, où se lisent « Voyons […] les données a) à g) proviennent d'une cat. de motifs \(\mathcal{M}\) sur \(k\) » et « Admettons la conj. de Hodge, qui implique que si \(k\) est alg. clos … » ; le reste ne se lit pas.

Soit \(V_{\mathbb{Q}}\), \(V_{\mathbb{C}} = \sum_{pq} V^{pq}\) une structure de Hodge, et soit \(G\) le groupe de Mumford-Tate, donc \(G_{\mathbb{C}} \subset \operatorname{Aut}_{\mathbb{C}}(V)\). Soit \(V_{k} \subset V_{\mathbb{C}}\) une restriction des scalaires de \(\mathbb{C}\) à \(k \subset \mathbb{C}\), […] compatible avec la filtration naturelle de \(V_{\mathbb{C}}\). Supposons que \((V_{\mathbb{Q}},\ V_{\mathbb{C}} = \sum V^{pq},\ V_{k} \subset V_{\mathbb{C}})\) proviennent d'un motif sur \(k\). […]

[…] intrinsèque […] ce dernier, mais : \(T_{DR}\), […] conj. de Hodge, un certain \(G'\) déf. \(/k\), […] doit avoir […]. D'autres termes, il faut que \(G'_{\mathbb{C}}\) soit définissable sur \(k\) via \(V_{k} \subset V_{\mathbb{C}}\) ; c'est une condition […] ; faux non triviale ! Lorsque \(k\) est alg. clos, il faudra que \(G'_{\mathbb{C}} = G_{\mathbb{C}}\), ce qui […].

Pour exprimer ceci, il faut que [tt] invariant élément \(v\) de \(\bigotimes_{\mathbb{Q}}(V' \otimes_{\mathbb{Q}} V)\) invariant sous \(G\)

\(\simeq \bigotimes_{k}(V'_{k} \otimes_{k} V_{k})\)

(lieu de bidegré \(0\)) […] nécessaire dans \(\bigotimes_{k}(V'_{k} \otimes_{k} V_{k})\) ; si le premier, il suffit que \(\exists\) facteurs pour \(k' \subset k\), […] […] catégories […] la interprétation précédente. Ce sont […] des conditions, très restrictives sur la structure analogue. Elles ne sont certainement pas suffisantes (car pour \(k = \mathbb{Q}\), \(V_{k} = V_{\mathbb{Q}}\), ce n'est en général pas possible […]).

31

Il faut donc compléter les conditions néc. précédentes par des compatibilités [conditions] du type « arg. de transcendance », bien élucider le contre-exemple précédent.

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Situation abstraite des doubles réseaux

\(\mathcal{M}\) \(\otimes\)-catégorie sur corps \(k\),

\(T\) foncteur fibre \(/k\)

\(T'\) […] \(K\) extension de \(k\)

\[ \varphi : T \otimes_{k} L \ \simeq\ T' \otimes_{K} L \qquad \otimes\text{-isom.} \]

diagramme de corps

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& L \\
K \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & \\
& k \arrow[uu, no head]
\end{tikzcd}

Le diagramme des corps est tracé à la main, sans têtes de flèches ; il est reproduit tel quel.

Soit

\[ \begin{cases} G = \operatorname{Aut}_{\otimes}(T) & \text{gpe affine sur } k \\ P = \operatorname{Isom}_{\otimes}(T_{K}, T') & \text{torseur à droite sous } G_{K} \\ \varphi \in P(L) \end{cases} \]

Ces dernières permettant de reconstituer \(\mathcal{M}\), \(T\), \(T'\), \(\varphi\).

Supposons d'abord \(P\) trivial, et soit \(\xi \in P(K) \subset P(L)\). On a donc \(\varphi = \xi g\), \(g \in G(L)\). Si on remplace \(\xi\) par \(\xi'\), on aura \(\xi' = \xi a\), \(a \in G(K)\), donc \(g\) remplacé par \(g a\). Donc on définit canoniquement

\[ \dot{g} \in G(L)/G(K) \]

et on voit que […] maintenant les \((G, \dot{g})\) équivalent […] […] des \((G, P, \varphi)\). Soit alors \(V\) un \(G\)-module, alors le réseau \(T'(V) \subset V \otimes_{k} L\) n'est autre que \(g(V \otimes_{k} K)\). On a

\[ V \cap T'(V) = \{\, x \in V \ \mid\ g^{-1} x \in V \otimes_{k} K \,\} . \]

[…]

Soit \(s\) l'image de \(g\) dans \(G_{K}\) [(comme sous-variétés […])] soit \(y = g^{-1} x\), \(\overline{\{y\}} = T_{K} \subset G_{K}\), (alors […], donné par \(a \in G(K)\)), […] \(T_{K} \subset \operatorname{Transp}_{G_{K}}(x, \gamma)\), \(y \in \operatorname{Transp}_{G_{K}}(x, y)(L)\), on a […] \(s^{-1} x = g y\) […] on a \(s^{-1} a = t^{-1} x\), i.e. \(t s^{-1} x = a\), i.e. \(t s^{-1} \in (G_{K})_{x} = \struck{\ill{}}\).

Ce bas de feuillet est écrit par-dessus lui-même et biffé ligne à ligne ; les formules portent, les phrases qui les relient non.

Soit donc \(R\) […] l'adhérence de l'image de

\[ T_{k} \times T_{k} \longrightarrow G_{K} \qquad \text{par } (s,t) \mapsto t s^{-1} ; \]

il est immédiat qu'elle […] indépendant […] des choix de \(g\) [dans \(G(K)\)], […]

\[ R \subset G_{K} \]

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l'inclusion doit avoir, si \(a \in V \cap T'(W)\),

\[ R_{K} \subset G_{x,K} . \]

L'inverse est vrai, car comme \(T_{K}\) est fid. plat sur \(K\), on voit par descente que les pts […] ci-dessus […] dans des \(k\)-alg. (quelconques \(\Lambda\)) \(s \cdot x\) (\(s \in T_{K}(\Lambda)\)) forment […] un […] bien déterminé de \(V_{K}\). On sait […]

\[ S = p(R_{K}) , \qquad p : G_{K} \longrightarrow G , \]

et soit \(H\) le sous-groupe algébrique fermé de \(G\) engendré par \(S\). On a donc

\[ x \in V \cap T'(V) \quad \Longleftrightarrow \quad x \in V^{H}_{\struck{\ill{}}} \]

[…]

Par suite, voir que les invariants pour tout \(V\), on ait \(V \cap T'(V) = V^{G}\), i.e. que le foncteur \(\operatorname{Rep}(G) = \mathcal{M} \longrightarrow\) […] \(L(K/k)\) soit fid. plat, il f. et s. que pour tt \(V\), les invariants on ait

\[ V^{H} = V^{G} . \]

Supposons \(P\) quelconque. On a l'hom. canonique de bitorseurs

\[ P \otimes_{K} P \longrightarrow G_{K} , \qquad (s, u) \mapsto s^{-1} u \]

[…]

\[ \operatorname{Spec}(L) \times_{\operatorname{Spec} K} \operatorname{Spec}(L) \longrightarrow P \times_{\operatorname{Spec} k} P \longrightarrow G_{K} ; \]

l'image fermée \(R_{K}\) est donc définie intrinsèquement. On vérifie encore (par descente fid. plate) que pour […], pour le \(G\)-module \(V\)

\[ x \in V \cap T'(V) = \{\, x \in V \ \mid\ R_{K} \subset G_{x,K} \,\} . \]

Définissant \(H\) comme ci-dessus, on trouve donc

\[ V \cap T'(W) = V^{H} , \]

et la […] conclusion que plus haut …

Il écrit ici \(T'(W)\) là où l'argument porte sur \(T'(V)\) ; le \(W\) est sur le feuillet et se retrouve en tête de la page.

36

\(K \subset \mathbb{C}\), \(\overline{K}\) clôture alg. dans \(\mathbb{C}\), \(\pi_{1} = \pi_{1}(\operatorname{Spec} K, \overline{K}) = \operatorname{Gal}(\overline{K}/K)\), \(\mathbb{A} =\) anneau des adèles « finis » de \(\mathbb{Q}\). On considère une catégorie de motifs sur \(K\), de type fini, et le groupe de [\(G\)] Galois associé au foncteur de Betti. Cela donne […] [aux structures suivantes.]

Cette page est une récapitulation : il encadre sept blocs qu'il étiquette A) à G) et les fait suivre de neuf propriétés numérotées. L'ordre suivi ici est celui des encadrés, puis celui des numéros.

A) \(G\)

B) \(G''_{K} \supset H''_{K} \cdots Q \cdots H'_{K} \subset G'_{K} \cdots P \cdots G_{K}\), avec \(i_{1}, i_{2} : \mathbb{G}_{m} \rightrightarrows G''_{K}\)

D) avec connexion absolue intégrable […] invariante par \(G_{K}\) [A, B structures […] si \(K\) abs. alg.]

C) \(\pi_{1} \xrightarrow{\ u\ } G(\mathbb{A})\)

\((\pi_{1} \to G/G^{0}\) ; i.e. \(\pi_{1} \to (G/G^{0})(\mathbb{A}))\)

N.B. La donnée […] […] implique D) ; […] peut être remplacée par la « densité […] » E), soumise à la condition d'être « compatibles » avec A, B, C.

Du côté complexe :

\[ P_{\mathbb{C}} \qquad G_{\mathbb{C}} \qquad\qquad Q_{\mathbb{C}} \]

avec pt […] \(\alpha\) vect\(/\mathbb{C}\), de […] […] que le […] ; avec pt \(\xi_{1}\) vect\(/\mathbb{C}\),

• a)le connexion absolue définie \(\omega \in \Omega^{1}_{\mathbb{C}/\mathbb{Q}} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathfrak{g}_{\mathbb{Q}}\)
• b)\(G'_{\struck{\ill{}}} \otimes_{K} \mathbb{C} \simeq G_{\mathbb{C}}\), \(H' \otimes_{K} \mathbb{C}\) […] \(H'' \otimes_{K} \mathbb{C}\) […] \(G''_{\struck{1}} \otimes_{K} \mathbb{C} \simeq G_{\mathbb{C}}\)
• c)d'où deux hom. \(i^{\mathbb{C}}_{1}, \nu^{\mathbb{C}}_{2} : \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \longrightarrow G_{\mathbb{C}}\)
• d)[…] [e)], pour un modèle rigidifié convenable \(S\) de \(K\), de type fini sur […] […] (\(K\) de t.f. sur \(\mathbb{Q}\)) \[ \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi) \xrightarrow{\ w\ } G(\mathbb{C}) . \] [(Le pt […] identifié à l'inclusion \(K \subset \mathbb{C}\))] N.B. structure […] vide si \(K\) est […] alg.
• e)\(P/G^{0}\) est un torseur sur \(K\), de groupe \(G/G^{0}\), ponctué par \(\xi : K \hookrightarrow \mathbb{C}\), donc définit \(v : \pi_{1} \longrightarrow (G/G^{0})(\mathbb{Q})\), i.e. \(\pi_{1} \to (G/G^{0})_{\mathbb{Q}}\) […] on connaît \(\alpha\).

F) Il en résulte aussi que le diagramme … est commutatif.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi) \arrow[r, "u"] \arrow[d, "\mathrm{can.}"'] & G(\mathbb{Q}) \arrow[d] \\
\pi_{1}(S, \xi) \arrow[r, "v"] & G/G^{0}(\mathbb{Q})
\end{tikzcd}

G) \(\pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi) \xrightarrow{\ w\ } G(\mathbb{C})\)

Propriétés

1. 1)\(i^{\mathbb{C}}_{2} = i^{\mathbb{C}}_{1}\) (donc \(\alpha\) est connu quand on connaît […])
2. 2)\(\pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi) \longrightarrow G(\mathbb{C})\) se factorise par \(G(\mathbb{Q})\),
3. 3)\(\pi_{1} \longrightarrow G(\mathbb{A})\) se factorise par \(\pi_{1}(S, \xi) \to G(\mathbb{A})\) pour \(S\) convenable
4. 4)les diagr.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi) \arrow[r, "w"] \arrow[d, "\mathrm{can.}"'] & G(\mathbb{Q}) \arrow[d, "\mathrm{can.}"] \\
\pi_{1}(S, \xi) \arrow[r, "u"] & G(\mathbb{A})
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\pi_{1} \arrow[r, "v"] \arrow[d, "u"'] & (G/G^{0})(\mathbb{Q}) \arrow[d] \\
G(\mathbb{A}) \arrow[r] & (G/G^{0})(\mathbb{A})
\end{tikzcd}

sont commutatifs.

1. 5)Le composé \(\pi_{1}(S, \xi) \longrightarrow G(\mathbb{A}) \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathbb{A}^{*}\) est l'hom. défini par l'action de \(\pi_{1}(S, \xi)\) sur les racines de l'unité.
2. 6)\(v : (\pi_{1})_{\mathbb{Q}} \longrightarrow (G/G^{0})_{\mathbb{Q}}\) un épim., i.e. \(\pi_{1} \to (G/G^{0})(\mathbb{Q})\) un épi, et \(G/G^{0}\) […] \(\mathbb{Q}\) est ct.
3. 7)Pour tout point […] \(s\) de \(S\), l'élément de Frobenius \(f_{s}\) et […] de […] […] dans \(G(\mathbb{A})\), l'image de […] […] de \(G\) (redonne Weil …).
4. 8)\(G_{\mathbb{R}}\) muni de \(i^{\mathbb{C}}_{1}\), \(i^{\mathbb{C}}_{2}\) de c) est […] un groupe de Hodge.
5. 9)(Modules Tate) Pour tout \(\ell\), l'image de \(\pi_{1}\) dans \(G(\mathbb{Q}_{\ell})\) est un sous-groupe ouvert de […] […] […], avec […] fidèle), et […] est \(G_{\mathbb{Q}_{\ell}}\), […] \(V \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell}\) […] semi-simple […].

devra être précisé …

[…]

37

\[ G/Q \]

\[ G'_{K} \qquad P \qquad G_{K} \qquad G_{\mathbb{C}}/\mathbb{C} \]

Le feuillet ne porte que ces deux lignes, de sa main, sans phrase autour.

38

Nous allons devons introduire une autre structure de nature transcendante, en introduisant le rev. universel \(\overline{S}_{\mathbb{C}}\) de \(S(\mathbb{C})\) en \(\xi\) [sous-entendu, de la comp. connexe de \(\xi\) dans \(S(\mathbb{C})\)].

Soit \(\Gamma_{G}\) l'ensemble des hom. de \(\mathbb{S} = \prod_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}\) dans \(G_{\mathbb{R}}\), correspondant à l'hom. central donné \(i : \mathbb{G}_{m} \to G\) donné par les \(i(\lambda) = i_{1}(\lambda) i_{2}(\lambda)\). On considère \(\Gamma_{G}\) comme […] […] la […] homogène où […] \(G(\mathbb{R})\) et à fortiori \(G(\mathbb{Q})\) opère. Ceci posé, on a une application

\[ f : \overline{S}_{\mathbb{C}} \longrightarrow \Gamma_{G} \]

satisfaisant les conditions [(\(\overline{\xi}\) pt. […] de \(\overline{S}_{\mathbb{C}}\))]

1. 12) a)\(f(\overline{\xi}) = \) l'hom. \(\mathbb{S} \to G_{\mathbb{R}}\) défini par \(i^{\mathbb{C}}_{1}\), \(i^{\mathbb{C}}_{2}\) de c).
2. b)\(f(g \overline{s}) = w(g)\, f(\overline{s})\) si \(g \in \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi)\), \(\overline{s} \in \overline{S}_{\mathbb{C}}\)
3. c)\(f\) est holomorphe.

1. 13)(Moyennant Hodge) Pour tout \(\overline{s} \in \overline{S}_{\mathbb{C}}\), Le composé \(\overline{S}_{\mathbb{C}} \to \Gamma_{G} \to \Gamma_{\widetilde{G}}\), sous-groupe algébrique de \(G\) le plus grand […] qui soit \(\mathbb{R}\)-[…] \(f(\overline{s})(\mathbb{S}) \subset G_{\mathbb{R}}\), (qui à priori se factorise par \(S(\mathbb{C})^{\circ}\)) est une application constante.

Il numérote 13) deux énoncés de suite : celui qui précède et celui qui suit. La discordance est sur le feuillet.

1. 13)Si \(\overline{s} \in \overline{S}_{\mathbb{C}}\) se trouve au-dessus du point \(t\) de \(S\) [\(S\) ayant […] \(P\) […] peut-être que \(P\) […] de même […] soit défini sur \(S\)] de […] \((P_{t}, G_{k(t)})\) sur \(k(t)\), […] l'hom. \[ f(\overline{s})_{\mathbb{C}} : \struck{\ill{}}_{\mathbb{C}} \longrightarrow (G_{k(t)})_{\mathbb{C}} \simeq G_{\mathbb{C}} \] définissant une bigraduation (donc une filtration) de […] sur les \(G\)-modules […] \(T_{\mathbb{C}}\), \(T\) […] obtenu sur […] est compatible avec le torseur \(P_{t}\) sous \(G_{k(t)}\) et sa \(\mathbb{C}\)-trivialisation \(p(\overline{s})\) [[\(p : \overline{S}_{\mathbb{C}} \to (P_{s})_{\mathbb{C}}\) et […] le \(S(\mathbb{C})^{\circ}\)-[…], une connexion […] par la condition que \(p(\overline{\xi}) = \alpha\)]].

39

1. 10)(Moyennant conjecture de Hodge) \(G^{0}\) est engendré sur \(\mathbb{Q}\) par \(i^{\mathbb{C}}_{1}\).

[…]

N.B. Ce qui précède […] \(K\) est […] abst. alg.

Soit \(R \subset G\) le sous-groupe algébrique engendré par \(w(\pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi))\). Il est invariant moyennant 9) [car l'image fermée de […] un sous-gpe invariant \(\}\), le […] la clôture alg. de \(\pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi) \to \pi_{1}(S, \xi)\), […] […] étant \(\pi_{1}(\operatorname{Spec} K, \xi)\) […] de 4), l'hom. […] \(\mathbb{Q}\) dans \(K\)]. […] […] \(\widetilde{G} = G/R\), […] \(\pi_{1}(S_{\mathbb{C}}, \xi) \to G(\mathbb{A})\) […] \(\widetilde{G}(\mathbb{A})\) ; […] […]

\[ \widetilde{u} : \pi_{1}(\operatorname{Spec} k, \xi) \longrightarrow \widetilde{G}(\mathbb{A}) , \qquad \pi_{1}(\operatorname{Spec} k, \xi) = \pi_{1} . \]

D'autre part, on considère le torseur \(\widetilde{P} = P/R\) sous \(\widetilde{G}\), avec la connexion intégrable déduite de celle de \(P\). Cette connexion intégrable « se descend à \(k\) », donc (Moyennant Hodge))

1. 16)\((\widetilde{P}, \widetilde{G})\) avec sa connexion […] provient de \((\widetilde{P}_{0}, (\widetilde{G}_{k}))\) sur \(k\), et une isom. de torseurs \[ (*) \qquad \widetilde{P} = P/R \ \simeq\ \widetilde{P}_{0} \otimes_{k} K \]

De plus, […] posant […] \(\widetilde{G}' = G'/R'\), de sorte que \(R' \subset G'\) correspondant à \(R\), […]

\[ \widetilde{G}' = \widetilde{G}'_{0} \otimes_{k} K , \qquad \widetilde{G}' = \operatorname{Aut}_{(\widetilde{G}_{k})}(\widetilde{P}_{0}) , \] \[ \widetilde{H}' = H'/(H' \cap R') \ \simeq\ \operatorname{Im}(H' \to \widetilde{G}') , \]

[…] « défini sur \(k\) », i.e. le […] sous-groupe […] provient de \(\widetilde{H}'_{0} \subset \widetilde{G}'_{0}\). […] De plus, pour un \(\widetilde{G}\)-module \(M\), une structure de […] […] à \(k\), […] c'est celle définie par descente sur \(P \times^{G_{K}} M_{K}\)], donnée une […] la connexion intégrable de […] en filtration, i.e. donnée de descente […] v. faible, cette […] est horizontalement […], [[donc \(\widetilde{H}' = \operatorname{Im}(H' \to \widetilde{G}')\), donc \(\widetilde{H}'_{0} \subset \widetilde{G}'\) et \(\widetilde{Q}_{1} = Q \times^{H'} \widetilde{H}'\), se descend […] \(\widetilde{Q}_{0}\) ; […] \(\widetilde{H}'_{0}\), et (ainsi \(\widetilde{H}''_{0}\) et \(\widetilde{G}''_{0}\) quand […] descendent \(H''\) et \(\widetilde{G}''\)), et ainsi les composés \(\widetilde{i}_{1}, \widetilde{i}_{2} : \mathbb{G}_{m,K} \to \widetilde{G}'' \to \widetilde{G}''\) […] descendent en \((\widetilde{i}_{1})_{0}, (\widetilde{i}_{2})_{0} : \mathbb{G}_{m,k} \longrightarrow \widetilde{G}''_{0}\)]].

40

\(S\) schéma régulier connexe de t.f. sur \(\mathbb{Q}\)

\(k\) clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(\Gamma(S, \mathcal{O}_{S})\), de sorte que \(k/\mathbb{Q}\) pour \(S/k\) géom. conn.

\(k \hookrightarrow \mathbb{C}\) une immersion

\(\mathcal{M}\) catégorie de motifs (« iso », lisses \(\tfrac{1}{2}\) simples) sur \(S\), \(\mathcal{M}\) de type fini.

L'immersion \(k \hookrightarrow \mathbb{C}\) définit […] d'isomorphie de foncteurs fibres rel\(/\mathbb{Q}\) […] \(\mathcal{M}\), savoir les

\[ T_{\xi} : \mathcal{M} \longrightarrow T_{B}(M_{\xi}) , \qquad \xi \in S(\mathbb{C}) = \operatorname{Hom}_{k}(\operatorname{Spec} \mathbb{C}, S) \]

[…]

Soit \(G\) […] un foncteur fibre […] groupe alg. \(/\mathbb{Q}\) ([…]) \(\operatorname{Aut}_{\otimes}(T_{\xi})\) \(G = \operatorname{Aut}_{\otimes}(T)\), donc \(\mathcal{M} \simeq \operatorname{Rep}(G)\).

Alors

\[ P = \operatorname{Isom}_{\otimes}(T_{S}, T_{DR}) \]

est un torseur sous \(G_{S}\). Il est muni d'une connexion intégr. verticalement à \(k\) (ou \(\mathbb{Q}\), c'est kif-kif) compatible avec \(G\). De plus le foncteur \(T_{DR}\), isomorphe par construction de \(P\) :

\[ M \longmapsto P \times^{G_{S}} M_{S} \qquad \longrightarrow \operatorname{Rep}(G) \]

est muni d'une \(\otimes\)-filtration.

Soit \(\overline{S}_{\mathbb{C}}\) Considérons \(S(\mathbb{C})\), et le revêtement \(\overline{P}_{\mathbb{C}}\) de \(S(\mathbb{C})\) dans […] dessus […] \(\xi \in S(\mathbb{C})\) est formé des isom. \(T \to T_{\xi}\). Alors \(\overline{S}_{\mathbb{C}} \to\) un revêtement principal de \(S(\mathbb{C})\), de groupe \(G(\mathbb{Q})\), et […]

[…]

Tout le bas du feuillet — le morphisme \(p : \overline{S}_{\mathbb{C}} \to P_{\mathbb{C}}\), la relation \(p(\xi \times g) = p(\xi) \times g\), l'application \(f\) vers l'espace \(\Gamma_{G}\) et les conditions a) \(f\) holomorphe, b) \(f(x g) = g^{-1} f(x)\) pour \(g \in G(\mathbb{Q})\), c) — est barré d'une longue diagonale. Le texte se lit sous la rature et est donné ici comme biffé.

\(p : \overline{S}_{\mathbb{C}} \longrightarrow P_{\mathbb{C}}\) [[\(p(\xi \times g) = p(\xi) \times g\) ; \(p\) compatible aux connexions selon \(S\)-fibrés …]]

\(f : P_{\mathbb{C}} \to \Gamma_{G}\) […] l'espace des […] de Hodge sur […] \(\mathbb{R}\) […], avec un \(i : \mathbb{G}_{m} \to G\) fixé)

[…] conditions

Alors \(f\) satisfait aux conditions

1. a)\(f\) holomorphe
2. b)\(f(x g) = g^{-1} f(x)\) pour \(g \in G(\mathbb{Q})\)
3. c)[…] sur \(\Gamma_{G}\) par automorphismes intérieurs

N.B. \(G(\mathbb{R})\) dans \(G(\mathbb{Q})\) […]

Le feuillet s'arrête ici, en cours d'énoncé : les conditions imposées à \(f\) sont reprises et poursuivies en tête du feuillet 41, au lot suivant.