Groupe de Hodge
Le titre est le sien : il l'inscrit, souligné, sur le feuillet 1, qui ne
porte rien d'autre que ces mots et, en dessous, « lettre à Mumford ». Ce
feuillet sert de chemise à tout ce qui suit et ne reçoit pas de numéro de page.
La suite court sans interruption du feuillet 3 au feuillet 11 ; il ne la
pagine pas.
1) G groupe algébrique sur \mathbb{Q}.
\mathbb{S} = \prod_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} , \qquad \text{donc } \mathbb{S}(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{C}^{*} .
Soit \mathbb{U} \subset \mathbb{S} = \operatorname{Ker}(\text{Norme} : \mathbb{S} \to \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}})
\operatorname{Rep}(\mathbb{S}) \simeq catégorie des espaces vectoriels réels
V_{\mathbb{R}}, avec bigraduation sur
V_{\mathbb{C}} = V_{\mathbb{R}} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C},
V_{\mathbb{C}} \simeq \coprod_{p,q} V^{p,q}
satisfaisant les conditions
V^{p,q} = \overline{V^{q,p}} .
N.B. \lambda \in \mathbb{C}^{*} \simeq \mathbb{S}(\mathbb{R}) opère
sur V^{p,q} par \lambda^{p} \bar{\lambda}^{q}
Le signe qu'il trace pour la somme directe des V^{p,q} est un \coprod,
et il le garde d'un bout à l'autre du feuillet ; il est transcrit tel quel.
L'homomorphisme canonique \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}} \xrightarrow{\ i\ }
\mathbb{S} correspond à la graduation totale.
\operatorname{Rep}(G) \xrightarrow{\ \text{oubli}\ } \operatorname{Modf}(\mathbb{Q}) \xrightarrow{\ \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R}\ } \operatorname{Modf}(\mathbb{R}) \xrightarrow{\ \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}\ } \operatorname{Modf}(\mathbb{C})
La donnée sur le foncteur composé d'une bigraduation
V_{\mathbb{C}} \simeq \coprod_{p,q} V_{\mathbb{C}}^{p,q}
satisfaisant V^{p,q} = \overline{V^{q,p}}
i.e. d'une préstructure de Hodge, compatible avec la structure sur
\mathbb{Q} donnée, et fonctorielle en l'objet de \operatorname{Rep}(G)
équivaut à la donnée d'un hom.
\mathbb{S} \xrightarrow{\ j\ } G_{\mathbb{R}}
Si on se donne un hom. central
i : \mathbb{G}_{m} \longrightarrow G ,
i.e. une graduation V = \coprod_{n} V^{n} par le foncteur oubli \omega,
alors la condition
V^{n}_{\mathbb{C}} = \coprod_{p+q=n} V^{p,q}
équivaut à la condition
(\mathrm{a}) \qquad j \,|\, \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}} = i_{\mathbb{R}}
Pour la suite, i est supposé donné, j compatible avec
i au sens précédent, \mathbb{Q}(-1) objet
inversible (de \operatorname{Rep}(G)) à isom. près, i.e. un hom.
\varepsilon : G \longrightarrow \mathbb{G}_{m}
On a alors, pour un j donné, que \mathbb{Q}(1) est de bidegré (1,1) si et
seulement si on a les conditions
(*) \qquad \varepsilon j(\lambda) = \lambda^{2} \ \text{ si } \lambda \in \mathbb{R}^{*} , \qquad \varepsilon(j(u)) = 1 \ \text{ si } u \in \mathbb{U}
i.e.
(\mathrm{b}) \qquad \varepsilon j = \text{Norme} : \mathbb{S} \longrightarrow \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}}
On supposera fixé i et \varepsilon satisfaisant
Soit j donné.
(Cherchons, pour V \in \operatorname{Ob} \operatorname{Rep}(G) donné de
degré p, structure de Hodge sur V_{\mathbb{C}} (ou sur
V_{\mathbb{R}}), quelles sont les de R(G)
structures
V \times V \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathbb{Q}(-p)
de Hodge, polarisées qui définissent une polarisation des
structures de Hodge correspondantes. Ce sont celles qui satisfont à la
condition que
(**) \qquad \varphi_{\mathbb{R}}(x, Cy)
forme symétrique définie positive sur V_{\mathbb{R}} \times V_{\mathbb{R}}
Le mot qui précède « structure de Hodge sur V_{\mathbb{C}} » est d'un
seul jet et ne se laisse pas lire ; la parenthèse ouverte devant « Cherchons »
n'est jamais refermée sur le feuillet.
où C \in \mathbb{S}(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{C}^{*} correspond à l'élément
\sqrt{-1} de \mathbb{C}^{*}.
[Ceci implique que \varphi est alternée si n impair,
symétrique si n pair.]
N.B. Soit G' = \operatorname{Ker} \varepsilon,
Théorème. Pour j donné, vérifiant les conditions a) et b), les
conditions suivantes sont équivalentes et impliquent (iii) :
(i) Pour tout V \in \operatorname{Ob} \operatorname{Rep}(G) de degré
n, [il existe une forme
\varphi : V \otimes V \longrightarrow \mathbb{Q}(-n)
dans \operatorname{Rep}(G) qui définit une polarisation (pour la
structure de Hodge associée à j sur V), i.e. on a :
C = j(i)]
(i bis) Comme (i), mais seulement pour des V_{\alpha} donnés
seulement, que l'hom.
G \to \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}}(V_{\alpha}) soit injectif. De plus, on
suppose G' réductif i.e. G réductif.
(ii), (ii bis)
(iii) [Le
NB (iii) équivaut aux conditions (iii bis)
G'' = G/\text{centre} (iii ter) \exists G
j : \mathbb{S} \to G_{\mathbb{R}}
La marge gauche de ce feuillet est écrite dans le sens de la hauteur et
n'est lisible que par fragments ; seules les étiquettes (iii bis) et (iii ter)
et le quotient G/\text{centre} s'en dégagent.
Pour tout espace analytique S, soit F(S) l'ensemble des
données suivantes des foncteurs qui, à chaque
V \in \operatorname{Rep}(G), associe
Tout le haut du feuillet est un bloc encadré puis biffé en diagonale ;
il est repris immédiatement au-dessous, sous une forme qu'il garde.
Soit S un espace analytique rigidifié sur S. Une
G-subordination sur S est la donnée d'un \otimes-foncteur qui, à
tout V \in \operatorname{Ob} \operatorname{Rep}(G), associe une structure de
Hodge mod. isogénie sur
V_{\mathbb{C}} \times S = V_{S}
[i.e. une bigraduation à l'aide d'une forme \varphi : V \otimes V \to \mathbb{Q}(-n)
a) de poids total cohérent défini par i ;
b) \mathbb{Q}(-1) donne de bidegré (1,1), et
qui soit G-invariante (N.B. si S est connexe, il suffit d'exiger
cette condition en un point de S, car )
Traduisant les conditions la filtration, on trouve :
- a) Pour \forall\, V et \forall\, s \in S, on veut une façon
de faire fonctorielle de mettre une structure de Hodge
(mod. isogénie) polarisable sur les V \in \operatorname{Ob}
\operatorname{Rep}(G), i.e. donnée par un
j = J(s) : \mathbb{S} \to G_{\mathbb{R}} satisfaisant les conditions du
th., i.e. j' = J'(s) : \mathbb{U} \to G'_{\mathbb{R}} satisfaisant
j'(-1) = \eta, et tel que
\operatorname{Zentr}_{{G'}^{0}_{\mathbb{R}}}(j'(\omega)(C)) soit compact
maximal.
- b) Pour s variable, J'(s) dépend de s de façon analytique réelle.
La prose qui relie les deux blocs encadrés de ce feuillet est écrite très
vite, par-dessus une première rédaction biffée, et ne se laisse pas suivre ;
seules les deux conditions a) et b) sont sûres.
Enfin, pour exprimer la condition d'holomorphie de la fibration, il convient
d'introduire, sur sur l'ens. \mathcal{J} des j (ou j')
possibles, une structure de variété analytique complexe
naturelle, et la condition s'exprime par l'holomorphie de l'application
s \mapsto j(s) : S \longrightarrow \mathcal{J} .
En somme Donc l'ens. des G-subordinations sur
rigidifiées sur S s'identifie à l'ens. \operatorname{Mor}(S,
\mathcal{J}) [morph. d'espaces analytiques]. Donc pour S variable, on a un
foncteur représentable par \mathcal{J}.
N.B. G(\mathbb{R}) opère de façon évidente sur \mathcal{J} () ; les
orbites sont ouvertes.
Soit V_{0} \subset V un \mathbb{Z}-module de type fini engendrant
V. Alors \forall G-subordination sur S définissant une structure
de Hodge (par un \otimes \mathbb{Q}) sur V_{0} \times S, soit
\Gamma \subset G(\mathbb{Q}) le
Les composantes connexes de \mathcal{J} sont de la forme
G(\mathbb{R})^{\circ} / H(\mathbb{R}) \cap G(\mathbb{R})^{\circ} ,
où H est le centralisateur d'un j : \mathbb{S} \to G dans G ; ou encore
G'(\mathbb{R})^{\circ} / H'(\mathbb{R}) \cap G'(\mathbb{R})^{\circ} ,
H' le centralisateur d'un j' : \mathbb{U} \to G' dans
G'(\mathbb{R})^{\circ}.
Soit C = \operatorname{Rep} G la \otimes-catégorie définie par G, et S
un espace analytique connexe, s \in S. On veut classifier les
foncteurs \otimes-foncteurs (mod. isogénie)
F : C \longrightarrow \text{str. de Hodge}
sur S
[
a) degré total (relatif à i) = degrés partiels ;
b) \mathbb{Q}(-1) donne str. de Hodge de bidegré (1,1), et
de Hodge
munis d'une structure fibrée
C \longrightarrow \operatorname{Modf}(\mathbb{Q}) ,
on se donne un isomorphisme \varphi entre cette donnée et le foncteur
oubli.
Alors Soit \pi = \pi_{1}(S, \xi). Alors \pi opère à g. sur le
foncteur fbt « \mathbb{Q}-fibrés sur S » sur la catégorie des str.
de Hodge sur S, d'où sur le foncteur composé avec F, d'où une de
(F, \varphi) :
\alpha : \pi = \pi_{1}(S, \xi) \longrightarrow G(\mathbb{Q})
Soit d'autre part \widetilde{S} le revêtement universel de S pointé
au-dessus de s par \widetilde{s}. Alors la donnée de \varphi permet de
considérer le foncteur
V \longmapsto F(V) \longmapsto F(V)|_{\widetilde{S}}
comme une G-subordination sur \widetilde{S}. Donc on trouve un
Ce feuillet reprend, sans point-base d'abord puis avec, la construction du
feuillet 7 ; les deux encadrés de la marge gauche reprennent les conditions a)
et b) du feuillet 6.
deuxième élément de structure
f : \widetilde{S} \longrightarrow \mathcal{J}
Les deux éléments de structure sont reliés par la condition que f est
compatible avec les actions de \pi, quand on le fait opérer sur \mathcal{J}
via \alpha : \pi \to G(\mathbb{Q}) \subset G(\mathbb{R}) et l'action
à droite de G(\mathbb{R}) sur \mathcal{J} ( à l'intérieur
gauche).
La donnée d'un couple (F, \varphi) équivaut à celle d'un couple
(f, \alpha) satisfaisant les deux conditions précédentes.
Il faudrait fixer des réseaux, et des sous-groupes discrets
commensurables de G(\mathbb{Q}), du type G(\mathbb{Z})
Autre façon de présenter les choses, indépendante du choix d'un point-base de
S.
Notons que les foncteurs fibres \Phi_{s} sur str. de Hodge
\operatorname{Hodge}(S) définis par les divers points s \in S
\Phi_{s} \circ F. On dit que sur C =
\operatorname{Rep}(G) si les \Phi_{s} \circ F sont isomorphes
La moitié basse de ce feuillet est écrite par-dessus une première
rédaction et ne se laisse pas relever ; la phrase se poursuit sur le feuillet
10, où elle redevient lisible.
s \in S, P_{s} le torseur sous G(\mathbb{Q})
P_{s} = \operatorname{Isom}_{\otimes}(\omega, \Phi_{s} F)
Pour s variable, les P_{s} forment (à droite) un revêtement
principal P de S, de gr. \Gamma = G(\mathbb{Q}). On
fait ce qu'il fallait pour que le composé
C = \operatorname{Rep}(G) \xrightarrow{\ F\ } \operatorname{Hodge}(S) \xrightarrow{\ V \mapsto V \times_{S} P\ } \operatorname{Hodge}(P)
g : P \longrightarrow \mathcal{J}
Ceci posé, Ce dernier est compatible (opérant sur \mathcal{J}
à droite) avec l'action de \Gamma = G(\mathbb{Q}). [Et la catégorie des
G-foncteurs F G-subordinations F sur S compatible
avec le foncteur est équivalente à celle des couples (P, g), P un
rev. principal de S de gr. \Gamma, g : P \to \mathcal{J} un
\Gamma-morphisme.]
Soit \Gamma_{0} \subset \Gamma = G(\mathbb{Q}) un s-groupe [,
commensurable à un G(\mathbb{Z})]. On appelle G-subordination
\Gamma_{0}-rigidifiée sur S la donnée d'un rev. principal P_{0} de S
de
groupe \Gamma_{0}, et d'un \Gamma_{0}-morphisme de P_{0} \to \mathcal{J}.
Si \Gamma_{0} = \{e\}, on trouve la notion de G-subordination rigidifiée ;
si \Gamma_{0} = G(\mathbb{Q}), la notion de G-subordination
Pour cette structure, on a un espace modulaire, qui est
(\mathcal{J}, avec action de \Gamma_{0} à droite). la question
\mathcal{J} / \Gamma_{0}
[avoir une structure d'espace analytique quand \Gamma_{0} agit proprement
et discret] et pour cela d'une variété de modules
Le feuillet s'arrête là, et sa moitié basse est blanche : la suite de
l'argument ne passe pas dans la deuxième liasse.
Lettre à Mumford
Ces mots sont les siens, inscrits sous « Groupe de Hodge » sur le feuillet
1 qui sert de chemise. La lettre occupe les feuillets 13 et 14 ; son
post-scriptum, qui porte l'essentiel des mathématiques, court des feuillets 15
à 19. Elle est en anglais et le reste ici.
Algiers Nov. 1, 1965
Dear Mumford,
I have become aware that I have been a bit rash with the conjectures I told you
about Hodge structures, as in the form I stated them they contradict Tate's
conjecture, which implies the following: if X is a smooth, connected simply
connected scheme over \mathbb{C}, and V a polarized complex analytic family
of Hodge structures parametrized by X^{\mathrm{hol}}, then V is
« algebraic » only if it is a constant family. Now it is easy to get examples of
V's, with X say any homogeneous space under an affine group over
\mathbb{C})
which are non constant, therefore (one hopes!) not « algebraic » (as one would
like Tate's conjectures to hold).
However, one should try to test if one really cannot get an algebraic V that
way. To start, I wonder if a single Hodge-structure V with even partial
degrees (therefore giving rise to a « Hodge- » G s.th. G_{\mathbb{R}}
is compact) can be algebraic. (except when G is commut.)
For instance, do you know an algebraic smooth projective surface Y over
\mathbb{C}, such that H^{1,1}(Y, \mathbb{C}) is spanned by algebraic cycles,
and \dim H^{0,2}(Y, \mathbb{C}) \geqslant 2 ?? I would appreciate your
comments!
Yours
A Grothendieck
P.S. What about your \Theta-fns, are you going to write a book?
Le mot composé « Hodge-… » est recouvert par la parenthèse insérée
au-dessus de la ligne et n'est pas récupérable ; la parenthèse « G s.th.
G_{\mathbb{R}} is compact » est bien celle du feuillet, écrite un cran plus
bas que le reste de la phrase.
P.S. Here what are the modular varieties one gets from consideration of
motive-theoretic galois theory.
G = reductive connected alg. group defined over \mathbb{Q}.
L'indice \mathbb{R} de ce premier G est raturé ; il écrit ensuite
G_{\mathbb{R}} partout.
\mathbb{U}_{\mathbb{R}} = dimension one twisted real Torus, with
\mathbb{U}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}) identified with the group of complex nbs
of module 1
i_{0} : \mathbb{U}_{\mathbb{R}} \longrightarrow G_{\mathbb{R}} homomorphism of
algebraic groups over \mathbb{R}, s.th. i_{0}(-1) is central, and s.th.
the centralizer K_{\mathbb{R}} of i_{0}(\sqrt{-1}) is such that
K_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})^{\circ} is maximal compact in
G_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})^{\circ}. Moreover, for every \mathbb{R}-simple
component of G_{\mathbb{R}}, the corresponding component of i_{0} is not
trivial.
C_{\mathbb{R}} = \operatorname{Centr}_{G_{\mathbb{R}}}(i_{0}) \subset K_{\mathbb{R}}
Q = G_{\mathbb{R}} / C_{\mathbb{R}} \qquad \text{(a connected component)}
« Siegel-space » =
\mathcal{J} = G(\mathbb{R})^{\circ} / G(\mathbb{R})^{\circ} \cap C_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}) \subset Q(\mathbb{R})
Le Q de Q = G_{\mathbb{R}}/C_{\mathbb{R}} et de Q(\mathbb{R}) n'est
pas le corps des rationnels : c'est la variété de drapeaux. La distinction est
tenue partout dans ce post-scriptum.
N.B. \mathcal{J} has a natural complex structure (inherited from the one on
Q(\mathbb{R}) in fact) invariant by operation of G(\mathbb{R}). Every linear
representation (over \mathbb{Q}) of G into a vector space V (over
\mathbb{Q}), together with a lattice V_{0} of V, defines a « complex
analytic family of Hodge structures » on \mathcal{J}, at least when one fixes
a « total degree » n
(
and assumes that i_{0}(-1) operates on V as homothety (-1)^{n}. (It
is not hard to describe \mathcal{J} by universal properties, as
complex analytic,
expressing that every V as above should
Note that in general \mathcal{J} is not riemannian symm., but
is a fiber space over a R.S. space, with fibers which are projective complex
homogeneous spaces under K_{\mathbb{C}}. This implies at least that
\mathcal{J} is simply connected, hence is the univ. covering of
M = \mathcal{J}/\Gamma if \Gamma operates freely.
If \Gamma \subset G(\mathbb{Q}) is the group leaving V_{0} fixed, then
\Gamma operates on (V, \mathcal{J}). \mathcal{J} expects to carry
algebraic (and usually, \mathbb{Z}) structures.
The modular varieties one gets from consideration of Hodge-structures
over \mathbb{Q} are the varieties
\mathcal{J} / \Gamma ,
where \Gamma \subset G(\mathbb{Q}) \cap G(\mathbb{R}^{\circ}) is
commensurable with G(\mathbb{Z}) [for some no compact
factor). A typical case which fits in the general picture
description, but for which I have no evidence so far if \mathcal{J}/
\Gamma has
an algebro-geometric interpretation in terms of modular (motives, is the
following:
start with a vector space of finite dimension V over \mathbb{Q}, with
i_{0} : \mathbb{U}_{\mathbb{R}} \longrightarrow G_{\mathbb{R}}
s.th. i_{0}(-1) = \mathrm{id} (if \varphi symmetric), i_{0}(-1) =
-\mathrm{id} (if \varphi skew-symmetric), I will not write down.
Then \mathcal{J} is a direct generalization of Siegel's half-plane, and
classifies the Hodge-structures
(namely the V's considered above are induced from one's on such special types
of \mathcal{J}), if the « modular family » V such a of Hodge
structures on (\mathcal{J}/\Gamma was) « algebraic » i.e. came from a
relative complex analytic space over the corresponding \mathcal{J}/
\Gamma, (or even on some underlying structure of alg. var. over
\mathbb{C}), [the same would be true for every modular family on some
\mathcal{J}/\Gamma.]
Taking the case G(\mathbb{R}) G(\mathbb{R}) compact,
this and thus
\mathcal{J}/\Gamma = \mathcal{J} = \text{complex projective homogeneous space } X \text{ under } G_{\mathbb{C}} \text{ by Borel,}
we would get a polarized motive over the analytic space \mathcal{J}
corresponding to X. If we admit the yoga GAGA, (coming from
polarized (abelian varieties)) that such a family must also be a motive
over X, (or the above strengthening of the original assumption), [we
would get a contradiction with] Tate's conjectures \leftarrow
(because X is simply connected, as well known). So I really do not know what
to believe!
To come back to the general case, maybe I should add that a necessary
condition for \mathcal{J}/\Gamma to be algebraic and the Hodge-structure
V/\Gamma over \mathcal{J}/\Gamma algebraic too, is (granting Tate's
and Hodge's conjectures): for every g \in G(\mathbb{R})^{\circ}, and every
\Gamma_{0} of finite index in G(\mathbb{Z}), the smallest alg.
subgroup H of G such that H_{\mathbb{R}} contains
g\, i_{0}(\mathbb{U}_{\mathbb{R}})\, g^{-1} and \Gamma_{0} is G
itself.
I did not try to test directly this condition, even in the case of the
usual Siegel modular space; if it should be false in that case, we know
that \mathcal{J}/\Gamma is algebraic and that so are the V/\Gamma over it,
it would follow that either Hodge's or Tate's conjecture is wrong.
Ce bloc est annulé par un quadrillage de traits diagonaux ; il se lit
néanmoins presque entièrement et est transcrit. Le « not » de « I did not try »
est lui-même biffé à l'intérieur du bloc, d'un trait plus épais.
Question: If G_{\mathbb{R}} is semi-simple without compact factors, is
G(\mathbb{Z}) always Zariski-dense in G ??
By the way, did you make out if for the modular varieties \mathcal{J}/\Gamma
of your Boulder talk (which I just read), the image of \mathcal{J}/\Gamma in
the usual Siegel modular variety is an algebraic variety, or at least
constructible?
Le feuillet 20 ne porte rien d'autre que ces mots de sa main :
« Descriptions transcendantes de motifs en car. 0 et de catégories de motifs
en car. 0 » et, sous un trait, « doubles réseaux etc ». C'est la chemise de
la rédaction qui suit, laquelle ne commence pas dans cette liasse : elle ouvre
la deuxième, où ce titre est repris en tête de section.