Cote n° 13 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Groupe de Galois motivique : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965
Édition de démonstration

Groupe de Hodge

Le titre est le sien : il l'inscrit, souligné, sur le feuillet 1, qui ne porte rien d'autre que ces mots et, en dessous, « lettre à Mumford ». Ce feuillet sert de chemise à tout ce qui suit et ne reçoit pas de numéro de page. La suite court sans interruption du feuillet 3 au feuillet 11 ; il ne la pagine pas.

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1) \(G\) groupe algébrique sur \(\mathbb{Q}\).

\[ \mathbb{S} = \prod_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} , \qquad \text{donc } \mathbb{S}(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{C}^{*} . \]

Soit \(\mathbb{U} \subset \mathbb{S}\) [\(= \operatorname{Ker}(\text{Norme} : \mathbb{S} \to \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}})\)]

\(\operatorname{Rep}(\mathbb{S}) \simeq\) catégorie des espaces vectoriels réels \(V_{\mathbb{R}}\), avec bigraduation sur \(V_{\mathbb{C}} = V_{\mathbb{R}} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}\),

\[ V_{\mathbb{C}} \simeq \coprod_{p,q} V^{p,q} \]

satisfaisant les conditions

\[ V^{p,q} = \overline{V^{q,p}} . \]

N.B. \(\lambda \in \mathbb{C}^{*} \simeq \mathbb{S}(\mathbb{R})\) opère sur \(V^{p,q}\) par \(\lambda^{p} \bar{\lambda}^{q}\)

Le signe qu'il trace pour la somme directe des \(V^{p,q}\) est un \(\coprod\), et il le garde d'un bout à l'autre du feuillet ; il est transcrit tel quel.

L'homomorphisme canonique \(\mathbb{G}_{m,\mathbb{R}} \xrightarrow{\ i\ } \mathbb{S}\) correspond à la graduation totale.

\[ \operatorname{Rep}(G) \xrightarrow{\ \text{oubli}\ } \operatorname{Modf}(\mathbb{Q}) \xrightarrow{\ \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R}\ } \operatorname{Modf}(\mathbb{R}) \xrightarrow{\ \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}\ } \operatorname{Modf}(\mathbb{C}) \]

La donnée sur le foncteur composé d'une bigraduation

\[ V_{\mathbb{C}} \simeq \coprod_{p,q} V_{\mathbb{C}}^{p,q} \]

satisfaisant \(V^{p,q} = \overline{V^{q,p}}\)

i.e. d'une préstructure de Hodge, compatible avec la structure sur \(\mathbb{Q}\) donnée, et fonctorielle en l'objet de \(\operatorname{Rep}(G)\)

équivaut à la donnée d'un hom.

\[ \mathbb{S} \xrightarrow{\ j\ } G_{\mathbb{R}} \]

Si on se donne un hom. [central]

\[ i : \mathbb{G}_{m} \longrightarrow G , \]

i.e. une graduation \(V = \coprod_{n} V^{n}\) par le foncteur oubli \(\omega\), alors la condition

\[ V^{n}_{\mathbb{C}} = \coprod_{p+q=n} V^{p,q} \]

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équivaut à la condition

\[ (\mathrm{a}) \qquad j \,|\, \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}} = i_{\mathbb{R}} \]

Pour la suite, \(i\) est supposé donné, \(j\) compatible avec \(i\) […] au sens précédent, [\(\mathbb{Q}(-1)\)] objet inversible (de \(\operatorname{Rep}(G)\)) à isom. près, i.e. un hom.

\[ \varepsilon : G \longrightarrow \mathbb{G}_{m} \]

On a alors, pour un \(j\) donné, que \(\mathbb{Q}(1)\) est de bidegré \((1,1)\) si et seulement si on a les conditions

\[ (*) \qquad \varepsilon j(\lambda) = \lambda^{2} \ \text{ si } \lambda \in \mathbb{R}^{*} , \qquad \varepsilon(j(u)) = 1 \ \text{ si } u \in \mathbb{U} \]

i.e.

\[ (\mathrm{b}) \qquad \varepsilon j = \text{Norme} : \mathbb{S} \longrightarrow \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}} \]

On supposera fixé \(i\) et \(\varepsilon\) satisfaisant […] [\(\varepsilon i(\lambda) = \lambda^{2}\)], et on s'intéresse aux \(j\) satisfaisant a) et b).

Soit \(j\) donné.

(Cherchons, pour \(V \in \operatorname{Ob} \operatorname{Rep}(G)\) donné [de degré \(p\)], […] structure de Hodge sur \(V_{\mathbb{C}}\) (ou sur \(V_{\mathbb{R}}\)), quelles sont les […] de \(R(G)\) structures

\[ V \times V \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathbb{Q}(-p) \]

de Hodge, polarisées qui définissent une polarisation des structures de Hodge correspondantes. Ce sont celles qui satisfont à la condition que

\[ (**) \qquad \varphi_{\mathbb{R}}(x, Cy) \]

forme symétrique définie positive sur \(V_{\mathbb{R}} \times V_{\mathbb{R}}\)

Le mot qui précède « structure de Hodge sur \(V_{\mathbb{C}}\) » est d'un seul jet et ne se laisse pas lire ; la parenthèse ouverte devant « Cherchons » n'est jamais refermée sur le feuillet.

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où \(C \in \mathbb{S}(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{C}^{*}\) correspond à l'élément \(\sqrt{-1}\) de \(\mathbb{C}^{*}\).

[Ceci implique que \(\varphi\) est [alternée si \(n\) impair,] symétrique si \(n\) pair.]

N.B. Soit \(G' = \operatorname{Ker} \varepsilon\), […] alors \(G \simeq G' \times_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}\), où \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to G'\) est induit par \(i\). Donc \(G\) (avec \(i\), \(\varepsilon\)) se récupère en connaissant \(G'\) et son point d'ordre \(2\) \(i(-1) = \eta\). La donnée de \(i\) et \(\varepsilon\) […]

Théorème. Pour \(j\) donné, vérifiant les conditions a) et b), les conditions suivantes […] sont équivalentes et impliquent (iii) :

(i) Pour tout \(V \in \operatorname{Ob} \operatorname{Rep}(G)\) [de degré \(n\)], [il existe une forme

\[ \varphi : V \otimes V \longrightarrow \mathbb{Q}(-n) \]

dans \(\operatorname{Rep}(G)\) qui définit une polarisation (pour la structure de Hodge associée à \(j\) sur \(V\)), i.e. on a : \(C = j(i)\)]

(i bis) Comme (i), mais seulement pour des \(V_{\alpha}\) donnés [[…]] seulement, […] que l'hom. \(G \to \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}}(V_{\alpha})\) soit injectif. De plus, on suppose \(G'\) réductif i.e. \(G\) réductif.

(ii), (ii bis) […] Comme (i), (i bis), mais avec \(G\) remplacé par \(G_{\mathbb{R}}\), et \(\operatorname{Rep}(G)\) par \(\operatorname{Rep}(G_{\mathbb{R}})\). \(G'_{\mathbb{R}}\) est réductif, et si \(K(j)\) est […] le centralisateur de \(j(C)\) (intérieur — \(C\)) dans \(G_{\mathbb{R}}\),

(iii) [Le […] centralisateur de l'image de \(K(j)\) dans \(G^{0}_{\mathbb{R}} / i_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^{*+})\) est un sous-groupe compact maximal, i.e. le centralisateur de \(C\) dans \({G'}^{0}_{\mathbb{R}}\) est un s-groupe compact […] maximal.]

NB (iii) équivaut aux conditions […] (iii bis) […] \(G'' = G/\text{centre}\) […] (iii ter) \(\exists\) […] \(G\) […]

\(j : \mathbb{S} \to G_{\mathbb{R}}\) […] satisfaisant a) et b) équivaut à la donnée d'un hom. \(j' : \mathbb{U} \to G'_{\mathbb{R}}\) satisfaisant \(j'(-1) = \eta\)

La marge gauche de ce feuillet est écrite dans le sens de la hauteur et n'est lisible que par fragments ; seules les étiquettes (iii bis) et (iii ter) et le quotient \(G/\text{centre}\) s'en dégagent.

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Pour tout espace analytique \(S\), soit \(F(S)\) l'ensemble […] des données suivantes […] des foncteurs qui, à chaque \(V \in \operatorname{Rep}(G)\), associe […]

Tout le haut du feuillet est un bloc encadré puis biffé en diagonale ; il est repris immédiatement au-dessous, sous une forme qu'il garde.

Soit \(S\) un espace analytique [rigidifié] sur \(S\). Une \(G\)-subordination sur \(S\) est la donnée d'un \(\otimes\)-foncteur qui, à tout \(V \in \operatorname{Ob} \operatorname{Rep}(G)\), associe une structure de Hodge [mod. isogénie] sur

\[ V_{\mathbb{C}} \times S = V_{S} \]

[i.e. une bigraduation […] analytique réelle […] sur \(V_{S}\), \(V_{S}^{p,q} = \overline{V_{S}^{q,p}}\), telle que la \(p\)-filtration correspondante […] filtration analytique complexe] [\(V\) homogène de degré \(d\)] et telle que \(\forall\, s \in S\), la fibre en \(s\) soit polarisable : à l'aide d'une forme \(\varphi : V \otimes V \to \mathbb{Q}(-n)\) […] […]

a) […] de poids total cohérent défini par \(i\) ; b) \(\mathbb{Q}(-1)\) donne […] de bidegré \((1,1)\), et

qui soit \(G\)-invariante (N.B. si \(S\) est connexe, il suffit d'exiger cette condition en un point de \(S\), car […])

Traduisant […] les conditions […] la filtration, on trouve :

La prose qui relie les deux blocs encadrés de ce feuillet est écrite très vite, par-dessus une première rédaction biffée, et ne se laisse pas suivre ; seules les deux conditions a) et b) sont sûres.

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Enfin, pour exprimer la condition d'holomorphie de la fibration, il convient d'introduire, sur sur l'ens. \(\mathcal{J}\) [des] \(j\) (ou \(j'\)) possibles, une structure de variété analytique complexe naturelle, et la condition s'exprime par l'holomorphie de l'application

\[ s \mapsto j(s) : S \longrightarrow \mathcal{J} . \]

En somme Donc l'ens. des \(G\)-subordinations sur [rigidifiées] sur \(S\) s'identifie à l'ens. \(\operatorname{Mor}(S, \mathcal{J})\) [morph. d'espaces analytiques]. Donc pour \(S\) variable, on a un foncteur représentable par \(\mathcal{J}\).

N.B. \(G(\mathbb{R})\) opère de façon évidente sur \(\mathcal{J}\) ([…]) ; les orbites sont ouvertes.

Soit \(V_{0} \subset V\) un \(\mathbb{Z}\)-module de type fini engendrant \(V\). Alors \(\forall\) […] \(G\)-subordination sur \(S\) définissant une structure de Hodge (par un […] \(\otimes \mathbb{Q}\)) sur \(V_{0} \times S\), soit \(\Gamma \subset G(\mathbb{Q})\) le […]

Les composantes connexes de \(\mathcal{J}\) sont de la forme

\[ G(\mathbb{R})^{\circ} / H(\mathbb{R}) \cap G(\mathbb{R})^{\circ} , \]

où \(H\) est le centralisateur d'un \(j : \mathbb{S} \to G\) dans \(G\) ; ou encore

\[ G'(\mathbb{R})^{\circ} / H'(\mathbb{R}) \cap G'(\mathbb{R})^{\circ} , \]

[\(H'\) le centralisateur d'un \(j' : \mathbb{U} \to G'\) dans \(G'(\mathbb{R})^{\circ}\).]

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Soit \(C = \operatorname{Rep} G\) la \(\otimes\)-catégorie définie par \(G\), et \(S\) un espace analytique connexe, \(s \in S\). On veut classifier les foncteurs [\(\otimes\)-foncteurs] [(mod. isogénie)]

\[ F : C \longrightarrow \text{str. de Hodge} \]

[sur \(S\)]

[[…] \(\forall\, V \in \operatorname{Ob} C\), [\(V\) de degré \(n\), \(\exists\, \varphi : V \otimes V \to \mathbb{Q}(-n)\) telle que \(F(\varphi)\) soit une polarisation [fibre par fibre]] [[[…] une polarisation en un point […] de \(S\), c'est Kif–kif].]]

a) degré total (relatif à \(i\)) \(=\) […] degrés partiels ; b) \(\mathbb{Q}(-1)\) donne […] str. de Hodge de bidegré \((1,1)\), et

[…] de Hodge […] s'appellent \(G\)-subordinations sur \(S\) ([…])

[…] munis d'une structure fibrée

\[ C \longrightarrow \operatorname{Modf}(\mathbb{Q}) , \]

[…] on se donne un isomorphisme \(\varphi\) entre cette donnée et le foncteur oubli.

Alors Soit \(\pi = \pi_{1}(S, \xi)\). Alors \(\pi\) opère [à g.] sur le foncteur fbt « \(\mathbb{Q}\)-fibrés sur \(S\) » sur la catégorie des str. de Hodge sur \(S\), d'où sur le foncteur composé avec \(F\), d'où une […] de \((F, \varphi)\) :

\[ \alpha : \pi = \pi_{1}(S, \xi) \longrightarrow G(\mathbb{Q}) \]

Soit d'autre part \(\widetilde{S}\) le revêtement universel de \(S\) pointé au-dessus de \(s\) par \(\widetilde{s}\). Alors la donnée de \(\varphi\) permet de considérer le foncteur

\[ V \longmapsto F(V) \longmapsto F(V)|_{\widetilde{S}} \]

comme une \(G\)-subordination sur \(\widetilde{S}\). Donc on trouve un […]

Ce feuillet reprend, sans point-base d'abord puis avec, la construction du feuillet 7 ; les deux encadrés de la marge gauche reprennent les conditions a) et b) du feuillet 6.

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deuxième élément de structure

\[ f : \widetilde{S} \longrightarrow \mathcal{J} \]

Les deux éléments de structure sont reliés par la condition que \(f\) est compatible avec les actions de \(\pi\), quand on le fait opérer sur \(\mathcal{J}\) via \(\alpha : \pi \to G(\mathbb{Q}) \subset G(\mathbb{R})\) et l'action [à droite] de \(G(\mathbb{R})\) sur \(\mathcal{J}\) ([…] à l'intérieur gauche).

La donnée d'un couple \((F, \varphi)\) équivaut à celle d'un couple \((f, \alpha)\) satisfaisant les deux conditions précédentes.

Il faudrait fixer des réseaux, et des sous-groupes discrets commensurables de \(G(\mathbb{Q})\), du type \(G(\mathbb{Z})\) […]

Autre façon de présenter les choses, indépendante du choix d'un point-base de \(S\). […]

Notons que les foncteurs fibres [\(\Phi_{s}\)] sur str. de Hodge \(\operatorname{Hodge}(S)\) définis par les divers points \(s \in S\) […] [\(\Phi_{s} \circ F\)]. On dit […] que […] sur \(C = \operatorname{Rep}(G)\) si les \(\Phi_{s} \circ F\) sont isomorphes […] […]. Soit donc, pour

La moitié basse de ce feuillet est écrite par-dessus une première rédaction et ne se laisse pas relever ; la phrase se poursuit sur le feuillet 10, où elle redevient lisible.

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\(s \in S\), \(P_{s}\) le torseur sous \(G(\mathbb{Q})\)

\[ P_{s} = \operatorname{Isom}_{\otimes}(\omega, \Phi_{s} F) \]

Pour \(s\) variable, les \(P_{s}\) forment [(à droite)] […] un revêtement principal \(P\) de \(S\), de gr. \(\Gamma = G(\mathbb{Q})\). On […] fait ce qu'il fallait pour que le composé

\[ C = \operatorname{Rep}(G) \xrightarrow{\ F\ } \operatorname{Hodge}(S) \xrightarrow{\ V \mapsto V \times_{S} P\ } \operatorname{Hodge}(P) \]

[…] définisse sur \(P\) une \(G\)-subordination, d'où un morphisme

\[ g : P \longrightarrow \mathcal{J} \]

Ceci posé, Ce dernier est [compatible] (opérant sur \(\mathcal{J}\) à droite) avec l'action de \(\Gamma = G(\mathbb{Q})\). [Et la catégorie des \(G\)-foncteurs \(F\) \(G\)-subordinations \(F\) sur \(S\) compatible avec le foncteur […] est équivalente à celle des couples \((P, g)\), \(P\) un rev. principal de \(S\) de gr. \(\Gamma\), \(g : P \to \mathcal{J}\) un \(\Gamma\)-morphisme.]

Soit \(\Gamma_{0} \subset \Gamma = G(\mathbb{Q})\) un s-groupe [[…], commensurable à un \(G(\mathbb{Z})\)]. On appelle \(G\)-subordination \(\Gamma_{0}\)-rigidifiée sur \(S\) la donnée d'un rev. principal \(P_{0}\) de \(S\) de

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groupe \(\Gamma_{0}\), et d'un \(\Gamma_{0}\)-morphisme de \(P_{0} \to \mathcal{J}\).

Si \(\Gamma_{0} = \{e\}\), on trouve la notion de \(G\)-subordination rigidifiée ; si \(\Gamma_{0} = G(\mathbb{Q})\), la notion de \(G\)-subordination […] tout court. On peut expliciter la notion par la donnée d'un \(F\) [compatible avec \(\omega\),] et d'une […] \(\Gamma_{0}\)-rigidification de \(F\), i.e. une section de \(P_{0}\) […] pour la rigidification naturelle de \(\Gamma_{0}\) […]

Pour cette structure, on a un espace modulaire, qui est […] (\(\mathcal{J}\), avec action de \(\Gamma_{0}\) à droite). […] la question

\[ \mathcal{J} / \Gamma_{0} \]

[avoir une structure d'espace analytique quand \(\Gamma_{0}\) agit proprement […] et discret] et pour cela d'une variété de modules […] de niveau \(\Gamma_{0}\).

Le feuillet s'arrête là, et sa moitié basse est blanche : la suite de l'argument ne passe pas dans la deuxième liasse.

Lettre à Mumford

Ces mots sont les siens, inscrits sous « Groupe de Hodge » sur le feuillet 1 qui sert de chemise. La lettre occupe les feuillets 13 et 14 ; son post-scriptum, qui porte l'essentiel des mathématiques, court des feuillets 15 à 19. Elle est en anglais et le reste ici.

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Algiers Nov. 1, 1965

Dear Mumford,

I have become aware that I have been a bit rash with the conjectures I told you about Hodge structures, as in the form I stated them they contradict Tate's conjecture, which implies the following: if \(X\) is a smooth, connected simply connected scheme over \(\mathbb{C}\), and \(V\) a polarized complex analytic family of Hodge structures parametrized by \(X^{\mathrm{hol}}\), then \(V\) is « algebraic » only if it is a constant family. Now it is easy to get examples of \(V\)'s, with \(X\) say any homogeneous space under an affine group over \(\mathbb{C}\))

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which are non constant, therefore (one hopes!) not « algebraic » (as one would like Tate's conjectures to hold).

However, one should try to test if one really cannot get an algebraic \(V\) that way. To start, I wonder if a single Hodge-structure \(V\) with even partial degrees (therefore giving rise to a « Hodge-[…] » \(G\) s.th. \(G_{\mathbb{R}}\) is compact) can be algebraic. [(except when \(G\) is commut.)]

For instance, do you know an algebraic smooth projective surface \(Y\) over \(\mathbb{C}\), such that \(H^{1,1}(Y, \mathbb{C})\) is spanned by algebraic cycles, and \(\dim H^{0,2}(Y, \mathbb{C}) \geqslant 2\) ?? I would appreciate your comments!

Yours

A Grothendieck

P.S. What about your \(\Theta\)-fns, are you going to write a book?

Le mot composé « Hodge-… » est recouvert par la parenthèse insérée au-dessus de la ligne et n'est pas récupérable ; la parenthèse « \(G\) s.th. \(G_{\mathbb{R}}\) is compact » est bien celle du feuillet, écrite un cran plus bas que le reste de la phrase.

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P.S. Here what are the modular varieties one gets from consideration of motive-theoretic galois theory.

\(G\) \(=\) reductive connected alg. group defined over \(\mathbb{Q}\).

L'indice \(\mathbb{R}\) de ce premier \(G\) est raturé ; il écrit ensuite \(G_{\mathbb{R}}\) partout.

\(\mathbb{U}_{\mathbb{R}} =\) dimension one twisted real Torus, with \(\mathbb{U}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})\) identified with the group of complex nbs of module \(1\)

\(i_{0} : \mathbb{U}_{\mathbb{R}} \longrightarrow G_{\mathbb{R}}\) homomorphism of algebraic groups over \(\mathbb{R}\), s.th. \(i_{0}(-1)\) is central, and s.th. the centralizer \(K_{\mathbb{R}}\) of \(i_{0}(\sqrt{-1})\) is such that \(K_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})^{\circ}\) is maximal compact in \(G_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})^{\circ}\). Moreover, for every \(\mathbb{R}\)-simple component of \(G_{\mathbb{R}}\), the corresponding component of \(i_{0}\) is not trivial.

\[ C_{\mathbb{R}} = \operatorname{Centr}_{G_{\mathbb{R}}}(i_{0}) \subset K_{\mathbb{R}} \] \[ Q = G_{\mathbb{R}} / C_{\mathbb{R}} \qquad \text{(a connected component)} \]

« Siegel-space » \(=\)

\[ \mathcal{J} = G(\mathbb{R})^{\circ} / G(\mathbb{R})^{\circ} \cap C_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}) \subset Q(\mathbb{R}) \]

Le \(Q\) de \(Q = G_{\mathbb{R}}/C_{\mathbb{R}}\) et de \(Q(\mathbb{R})\) n'est pas le corps des rationnels : c'est la variété de drapeaux. La distinction est tenue partout dans ce post-scriptum.

N.B. \(\mathcal{J}\) has a natural complex structure (inherited from the one on \(Q(\mathbb{R})\) in fact) invariant by operation of \(G(\mathbb{R})\). Every linear representation (over \(\mathbb{Q}\)) of \(G\) into a vector space \(V\) (over \(\mathbb{Q}\)), together with a lattice \(V_{0}\) of \(V\), defines a « complex analytic family of Hodge structures » on \(\mathcal{J}\), at least when one fixes a « total degree » \(n\)

([…] [necessarily] globally polarizable — to get a polarization of the family, one picks a « form » of polarization on \(V\) invariant by \(G\)).

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and assumes that \(i_{0}(-1)\) operates on \(V\) as [homothety] \((-1)^{n}\). (It is not hard to describe \(\mathcal{J}\) by universal properties, as […] representing some functor \(F(X)\), \(X\) complex analytic, expressing that every \(V\) [as above] should […] define, in an additive and multiplicative way, for varying \(V\), a Hodge-structure \(V\) over \(X\)).

Note that in general \(\mathcal{J}\) is not riemannian symm., but is a fiber space over a R.S. space, with fibers which are projective complex homogeneous spaces under \(K_{\mathbb{C}}\). This implies at least that \(\mathcal{J}\) is simply connected, hence is the univ. covering of \(M = \mathcal{J}/\Gamma\) if \(\Gamma\) operates freely.

If \(\Gamma \subset G(\mathbb{Q})\) is the group leaving \(V_{0}\) fixed, then \(\Gamma\) operates on \((V, \mathcal{J})\). \(\mathcal{J}\) expects to carry algebraic (and usually, \(\mathbb{Z}\)) structures.

The modular varieties one gets from consideration of Hodge-structures over \(\mathbb{Q}\) are the varieties

\[ \mathcal{J} / \Gamma , \]

where \(\Gamma \subset G(\mathbb{Q}) \cap G(\mathbb{R}^{\circ})\) is commensurable with \(G(\mathbb{Z})\) [for some […] matrix representation of \(G\), […] giving a meaning to \(G(\mathbb{Z})\)]. However, it is possible that one will have to impose on the data some extra conditions, either arithmetic (involving existence of « Frobenius elements » in […] \(I(\mathbb{Q})\), \(I = G/\text{int.\ aut.}\)), or a geometric [(on \(G_{\mathbb{R}}\))] (much […] : \(G_{\mathbb{R}}\) has no compact factor). A typical case which fits in the general picture [description], but for which I have no evidence so far if \(\mathcal{J}/ \Gamma\) has

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an algebro-geometric interpretation in terms of [modular] (motives, is the following:

start with a vector space of finite dimension \(V\) over \(\mathbb{Q}\), with […] a fundamental bilinear form \(\varphi\) given, symmetric or alternating, take \(G = SO(\varphi)\), take any

\[ i_{0} : \mathbb{U}_{\mathbb{R}} \longrightarrow G_{\mathbb{R}} \]

s.th. \(i_{0}(-1) = \mathrm{id}\) (if \(\varphi\) symmetric), \(i_{0}(-1) = -\mathrm{id}\) (if \(\varphi\) skew-symmetric), […] [and a positivity] condition of \(\varphi\) relative to the bigrading of \(V_{\mathbb{C}}\) defined by \(i_{0}\), which I will not write down.

Then \(\mathcal{J}\) is a direct generalization of Siegel's half-plane, and classifies the Hodge-structures […] with underlying \(\mathbb{Q}\)-vector space \(V\), [i.e.] [M] bigradings of \(V_{\mathbb{C}}\), […] [satisfying] the usual symmetry condition for complex conjugation, which are compatible with \(\varphi\) (i.e. \(\varphi\) is a [polarized] polarization), and for which the \(\dim V_{\mathbb{C}}^{p,q}\) have given values (depending on the weights of […] question on \(V_{\mathbb{C}}\) […]). The thought is that, […] of these special types of \(\mathcal{J}\), \(\mathcal{J}/\Gamma\) are in a way « universal » for all others

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(namely the \(V\)'s considered above are induced from one's on such special types of \(\mathcal{J}\)), if the « modular family » \(V\) [such a] of Hodge structures on (\(\mathcal{J}/\Gamma\) was) « algebraic » i.e. came from a relative complex analytic space over the corresponding […] \(\mathcal{J}/ \Gamma\), [(or even on some underlying structure of alg. var. over \(\mathbb{C}\))], [the same would be true for every modular family on some \(\mathcal{J}/\Gamma\).]

Taking the case \(G(\mathbb{R})\) \(G(\mathbb{R})\) compact, this and thus

\[ \mathcal{J}/\Gamma = \mathcal{J} = \text{complex projective homogeneous space } X \text{ under } G_{\mathbb{C}} \text{ by Borel,} \]

we would get a [polarized] motive over the analytic space \(\mathcal{J}\) corresponding to \(X\). If we admit the yoga [GAGA,] (coming from [polarized] (abelian varieties)) that such a family must also be a motive over \(X\), [(or the above strengthening of the original assumption)], [we would get a contradiction with] Tate's conjectures \(\leftarrow\) (because \(X\) is simply connected, as well known). So I really do not know what to believe!

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To come back to the general case, maybe I should add that a necessary condition for \(\mathcal{J}/\Gamma\) to be algebraic and the Hodge-structure \(V/\Gamma\) over \(\mathcal{J}/\Gamma\) algebraic too, is (granting Tate's and Hodge's conjectures): for every \(g \in G(\mathbb{R})^{\circ}\), and every \(\Gamma_{0}\) of finite index in \(G(\mathbb{Z})\), the smallest [alg.] subgroup \(H\) of \(G\) such that \(H_{\mathbb{R}}\) contains \(g\, i_{0}(\mathbb{U}_{\mathbb{R}})\, g^{-1}\) and \(\Gamma_{0}\) is \(G\) itself.

I did not try to test directly this condition, even in the case of the usual Siegel modular space; if it should be false in that case, […] we know that \(\mathcal{J}/\Gamma\) is algebraic and that so are the \(V/\Gamma\) over it, it would follow that either Hodge's or Tate's conjecture is wrong.

Ce bloc est annulé par un quadrillage de traits diagonaux ; il se lit néanmoins presque entièrement et est transcrit. Le « not » de « I did not try » est lui-même biffé à l'intérieur du bloc, d'un trait plus épais.

Question: If \(G_{\mathbb{R}}\) is semi-simple without compact factors, is \(G(\mathbb{Z})\) always Zariski-dense in \(G\) ??

By the way, did you make out if for the modular varieties \(\mathcal{J}/\Gamma\) of your Boulder talk (which I just read), the image of \(\mathcal{J}/\Gamma\) in the usual Siegel modular variety is an algebraic variety, or at least constructible?

Le feuillet 20 ne porte rien d'autre que ces mots de sa main : « Descriptions transcendantes de motifs en car. 0 et de catégories de motifs en car. 0 » et, sous un trait, « doubles réseaux etc ». C'est la chemise de la rédaction qui suit, laquelle ne commence pas dans cette liasse : elle ouvre la deuxième, où ce titre est repris en tête de section.