Cote n° 13 · pages 1–51 · Lecture modernisée · Groupe de Galois motivique : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965). — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1965
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

3–3

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations.

1. Pages 3 à 11, « Groupe de Hodge » : se donner, de façon fonctorielle, une structure de Hodge sur toutes les représentations d'un groupe \(G\), c'est se donner un morphisme \(j : \mathbb{S} \to G_{\mathbb{R}}\). Un théorème caractérise ceux pour lesquels ces structures sont polarisables. L'espace \(\mathcal{J}\) de ces \(j\) représente un foncteur, et son quotient par un groupe arithmétique est une variété de modules.
2. Pages 13 à 19, « Lettre à Mumford » : la même construction, refaite en anglais et sans les démonstrations, suivie d'un argument qui bute sur les conjectures de Tate.
3. Pages 22 à 24 : la situation abstraite d'une connexion intégrable sur un foncteur fibre. C'est l'outil technique dont les pages 38 à 43 se serviront.
4. Pages 26 à 31 : le torseur des périodes, la donnée \(a)\) à \(g)\) qui code une catégorie de motifs, le facteur \(2i\pi\), et la question inverse.
5. Pages 33 et 34 : les « doubles réseaux », c'est-à-dire le critère abstrait de pleine fidélité \(V^{H} = V^{G}\).
6. Pages 36 et 37 : la récapitulation adélique, sept encadrés et neuf propriétés.
7. Pages 38 à 43 : la donnée transcendante, le revêtement équivariant, le groupe de monodromie et la descente à \(k\).
8. Pages 45 à 49 : six foncteurs de réalisation candidats, chacun interrogé sur sa pleine fidélité et sur la conjecture qu'elle coûte.
9. Pages 50 et 51 : les classes de De Rham essentiellement algébriques, et la question sur laquelle le dossier s'arrête.

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire. Trois liens, qu'aucun feuillet n'énonce.

Le premier : le morphisme \(i_{0} : \mathbb{U}_{\mathbb{R}} \to G_{\mathbb{R}}\) par lequel s'ouvre le post-scriptum de la lettre (page 15) est exactement le \(j'\) de la page 5. La lettre ne fait pas une digression ; elle refait la même construction, quatre feuillets plus loin, en anglais et sans la démonstration, pour quelqu'un d'autre.

Le deuxième : le critère abstrait \(V \cap T'(V) = V^{H}\) établi aux pages 33 et 34 est la forme même de la réponse que la page 47 cherche, où il reparaît sous les espèces de \(V^{G} = V \cap g(\overline{V})\). Les pages 33 et 34 démontrent dans l'abstrait ce que la page 47 demandera des motifs.

Le troisième : l'espace qu'il note \(\mathcal{J}\) aux pages 7 à 19 et \(\Gamma_{G}\) aux pages 38 à 43 est un seul objet sous deux noms, et l'application \(f\) de la page 38 est l'application des périodes des \(G\)-subordinations de la page 7. Le dossier construit deux fois le même objet, à onze feuillets de distance, sans le remarquer.

Les conventions. Quatre lettres servent chacune à deux choses dans le dossier, et sont séparées ici.

• \(G'\) désigne, aux pages 3 à 11, le noyau de \(\varepsilon\), et à partir de la page 26 le groupe tordu \(\operatorname{ad}(P) \simeq \operatorname{Aut}^{\otimes}(T_{DR})\). On écrit ici \(G^{1}\) pour le noyau de \(\varepsilon\), et l'on réserve \(G'\) au second.
• \(Q\) désigne, aux pages 15 à 19, la variété de drapeaux \(G_{\mathbb{R}}/C_{\mathbb{R}}\), et à partir de la page 27 le torseur \(\operatorname{Isom}^{\otimes}(T_{DR}, T_{\mathrm{Hdg}})\). On écrit ici la variété de drapeaux en toutes lettres, et l'on réserve \(Q\) au torseur.
• \(\Gamma\) vaut \(G(\mathbb{Q})\) à la page 10 et \(\pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi_{0})\) aux pages 38 à 43, cependant que \(\Gamma_{G}\) est un espace de structures de Hodge. On réserve ici \(\Gamma\) au groupe fondamental, on écrit \(G(\mathbb{Q})\) en toutes lettres, et l'espace des structures de Hodge s'appelle \(\mathcal{J}\) d'un bout à l'autre.
• \(P\) désigne à la page 10 le revêtement principal de \(S\) de groupe \(G(\mathbb{Q})\), et à partir de la page 26 le torseur des périodes. On écrit ici \(\mathcal{P}\) le revêtement et \(P\) le torseur.

Pour le reste, \(\mathbb{S} = \prod_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{G}_{m}\) est le tore de Weil des restrictions des scalaires¹ , \(\mathbb{U} \subset \mathbb{S}\) son sous-tore des éléments de norme \(1\), \(\mathbb{G}_{m}\) le groupe multiplicatif, \(\mathbb{A}\) l'anneau des adèles finis de \(\mathbb{Q}\), et \(\mathfrak{g} = \operatorname{Lie} G\). Les foncteurs fibres sont \(T_{B}\) (Betti), \(T_{DR}\) (De Rham), \(T_{\mathrm{Hdg}} = \operatorname{gr}^{*} T_{DR}\) et \(T_{B-H}\) (Betti muni de sa structure de Hodge).

Ce que le dossier suppose sans l'établir. Les conjectures standard, dont il a besoin partout où il écrit « moyennant Hodge » ou « moyennant Tate », c'est-à-dire presque partout ; la forme explicite des conditions \(2)\) et \(3)\) de la page 28, dont il note lui-même qu'on ne sait pas l'écrire ; la formule de prolongement analytique de \(f\) et la relation entre les données \(D)\) et \(E)\) de la page 43 ; et la réciproque de la condition \(b)\) de la page 50, qui est la question sur laquelle il s'arrête.

3–11

Le groupe de Hodge (pages 3 à 11)

Une bigraduation fonctorielle est un morphisme de tores

Soit \(\mathbb{S} = \prod_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}\), de sorte que \(\mathbb{S}(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{C}^{*}\), et soit \(\mathbb{U} = \operatorname{Ker}(\text{Norme} : \mathbb{S} \to \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}})\). La catégorie \(\operatorname{Rep}(\mathbb{S})\) s'identifie à celle des espaces vectoriels réels \(V_{\mathbb{R}}\) munis d'une bigraduation \[ V_{\mathbb{C}} \;=\; \bigoplus_{p,q} V^{p,q} , \qquad V^{p,q} = \overline{V^{q,p}} , \] l'élément \(\lambda \in \mathbb{C}^{*} \simeq \mathbb{S}(\mathbb{R})\) opérant sur \(V^{p,q}\) par \(\lambda^{p} \bar{\lambda}^{q}\). Le morphisme canonique \(i : \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}} \to \mathbb{S}\) correspond à la graduation totale.²

Soit maintenant \(G\) un groupe algébrique sur \(\mathbb{Q}\). Se donner, sur le foncteur composé \[ \operatorname{Rep}(G) \longrightarrow \operatorname{Mod}_{f}(\mathbb{Q}) \longrightarrow \operatorname{Mod}_{f}(\mathbb{R}) \longrightarrow \operatorname{Mod}_{f}(\mathbb{C}) , \] une bigraduation fonctorielle vérifiant \(V^{p,q} = \overline{V^{q,p}}\) — c'est-à-dire une préstructure de Hodge compatible avec la structure rationnelle et fonctorielle en l'objet — revient à se donner un morphisme \[ j : \mathbb{S} \longrightarrow G_{\mathbb{R}} . \]

On se donne de plus un morphisme central \(i : \mathbb{G}_{m} \to G\), c'est-à-dire une graduation \(V = \bigoplus_{n} V^{n}\) du foncteur oubli, et un objet inversible \(\mathbb{Q}(-1)\) de \(\operatorname{Rep}(G)\), c'est-à-dire un morphisme \(\varepsilon : G \to \mathbb{G}_{m}\) soumis à \(\varepsilon\, i(\lambda) = \lambda^{2}\). Deux conditions relient \(j\) à ces données : \[ (\mathrm{a}) \qquad j\big|\,\mathbb{G}_{m,\mathbb{R}} = i_{\mathbb{R}} , \] qui exprime que la graduation totale est bien celle donnée par \(i\), autrement dit que \(V^{n}_{\mathbb{C}} = \bigoplus_{p+q=n} V^{p,q}\) ; et \[ (\mathrm{b}) \qquad \varepsilon\, j = \text{Norme} : \mathbb{S} \longrightarrow \mathbb{G}_{m,\mathbb{R}} , \] qui exprime que \(\mathbb{Q}(1)\) est de bidegré \((-1,-1)\).³

Quand les structures obtenues sont-elles polarisables

Fixons \(i\) et \(\varepsilon\), et considérons les \(j\) vérifiant \((\mathrm{a})\) et \((\mathrm{b})\). Pour \(V\) homogène de degré \(n\), une forme \(\varphi : V \otimes V \to \mathbb{Q}(-n)\) de \(\operatorname{Rep}(G)\) polarise la structure de Hodge associée à \(j\) lorsque \[ (x,y) \longmapsto \varphi_{\mathbb{R}}(x, Cy) \] est définie positive sur \(V_{\mathbb{R}}\), où \(C = j(\sqrt{-1})\). Une telle forme est nécessairement symétrique si \(n\) est pair, alternée si \(n\) est impair.

Posons \(G^{1} = \operatorname{Ker} \varepsilon\). On a alors \(G \simeq G^{1} \times_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}\), où \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to G^{1}\) est induit par \(i\) : le triplet \((G, i, \varepsilon)\) se reconstitue donc à partir de \(G^{1}\) et de son point d'ordre \(2\), \(\eta = i(-1)\). De même, se donner \(j : \mathbb{S} \to G_{\mathbb{R}}\) vérifiant \((\mathrm{a})\) et \((\mathrm{b})\) équivaut à se donner \(j' : \mathbb{U} \to G^{1}_{\mathbb{R}}\) vérifiant \(j'(-1) = \eta\).

Théorème. Soient \(G\) réductif sur \(\mathbb{Q}\), \(i\) central et \(\varepsilon\) comme ci-dessus, et \(j : \mathbb{S} \to G_{\mathbb{R}}\) vérifiant \((\mathrm{a})\) et \((\mathrm{b})\). Les conditions suivantes sont équivalentes.⁴

1. (i)Pour tout \(V \in \operatorname{Rep}(G)\) homogène de degré \(n\), il existe dans \(\operatorname{Rep}(G)\) une forme \(\varphi : V \otimes V \to \mathbb{Q}(-n)\) qui polarise la structure de Hodge définie par \(j\).
2. (i bis)La même condition, restreinte à une famille \((V_{\alpha})\) telle que \(G \to \prod_{\alpha} \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}}(V_{\alpha})\) soit injectif.
3. (ii)Les mêmes conditions, avec \(G\) remplacé par \(G_{\mathbb{R}}\) et \(\operatorname{Rep}(G)\) par \(\operatorname{Rep}(G_{\mathbb{R}})\).
4. (iii)Le centralisateur de \(C = j(\sqrt{-1})\) dans \((G^{1})^{0}_{\mathbb{R}}\) est un sous-groupe compact maximal.

La condition \((\mathrm{iii})\) est la formulation, dans le langage des groupes, de ce que \(\operatorname{ad}(C)\) est une involution de Cartan de \(G^{\mathrm{ad}}_{\mathbb{R}}\) : c'est bien une involution, car \(C^{2} = j(-1) = i(-1)\) est central par \((\mathrm{a})\), et son groupe des points fixes est exactement le centralisateur de \(C\).⁵

\(G\)-subordinations, et l'espace qui les classe

Soit \(S\) un espace analytique. Une \(G\)-subordination sur \(S\) est la donnée d'un \(\otimes\)-foncteur qui, à tout \(V \in \operatorname{Rep}(G)\), associe une structure de Hodge sur le fibré \(V_{S}\) — c'est-à-dire une bigraduation analytique réelle \(V_{S}^{p,q} = \overline{V_{S}^{q,p}}\) dont la filtration associée est analytique complexe — de manière que le degré total soit celui défini par \(i\), que \(\mathbb{Q}(-1)\) soit de bidegré \((1,1)\), et que la fibre en chaque point soit polarisable par une forme \(G\)-invariante. Lorsque \(S\) est connexe, il suffit d'exiger la polarisabilité en un seul point.

Traduites, ces conditions disent exactement ceci : pour chaque \(s \in S\) on veut un \(j = J(s) : \mathbb{S} \to G_{\mathbb{R}}\) satisfaisant les conditions du théorème, c'est-à-dire un \(j' = J'(s) : \mathbb{U} \to G^{1}_{\mathbb{R}}\) avec \(j'(-1) = \eta\) et centralisateur de \(j'(\sqrt{-1})\) compact maximal dans \((G^{1})^{0}_{\mathbb{R}}\) ; et l'on veut que \(J'(s)\) dépende de \(s\) de façon analytique réelle.

Soit alors \(\mathcal{J}\) l'ensemble des \(j\) (ou, ce qui revient au même, des \(j'\)) possibles. Pour exprimer la condition d'holomorphie il convient de munir \(\mathcal{J}\) d'une structure de variété analytique complexe naturelle, et la condition devient l'holomorphie de \(s \mapsto j(s)\). On obtient ainsi :

L'ensemble des \(G\)-subordinations rigidifiées sur \(S\) s'identifie à \(\operatorname{Mor}(S, \mathcal{J})\). Le foncteur \(S \mapsto \{\, G\text{-subordinations rigidifiées sur } S \,\}\) est donc représentable, et \(\mathcal{J}\) le représente.

Le groupe \(G(\mathbb{R})\) opère sur \(\mathcal{J}\), avec des orbites ouvertes, et les composantes connexes de \(\mathcal{J}\) sont de la forme \[ G(\mathbb{R})^{\circ} \big/ H(\mathbb{R}) \cap G(\mathbb{R})^{\circ} \qquad\text{ou encore}\qquad G^{1}(\mathbb{R})^{\circ} \big/ H'(\mathbb{R}) \cap G^{1}(\mathbb{R})^{\circ} , \] où \(H\) est le centralisateur d'un \(j\) dans \(G\), et \(H'\) celui d'un \(j'\) dans \(G^{1}\).⁶

Sans point-base : le torseur et le revêtement

La présentation précédente choisit un point-base. En voici une qui n'en choisit pas. Soit \(S\) connexe, \(\mathcal{C} = \operatorname{Rep}(G)\), et \(F : \mathcal{C} \to \operatorname{Hodge}(S)\) un \(\otimes\)-foncteur muni d'un isomorphisme \(\varphi\) entre le foncteur sous-jacent et le foncteur oubli \(\omega\). Le groupe \(\pi = \pi_{1}(S, \xi)\) opère sur le foncteur « fibrés rationnels sur \(S\) », d'où sur le composé avec \(F\), d'où un morphisme \[ \alpha : \pi_{1}(S, \xi) \longrightarrow G(\mathbb{Q}) . \] D'autre part, si \(\widetilde{S}\) désigne le revêtement universel de \(S\) pointé au-dessus de \(s\), la donnée de \(\varphi\) permet de voir \(V \mapsto F(V)|_{\widetilde{S}}\) comme une \(G\)-subordination sur \(\widetilde{S}\), d'où un second élément de structure \[ f : \widetilde{S} \longrightarrow \mathcal{J} , \] les deux étant reliés par la compatibilité de \(f\) aux actions de \(\pi\), via \(\alpha\) et l'action de \(G(\mathbb{R})\) sur \(\mathcal{J}\). Se donner un couple \((F, \varphi)\) équivaut à se donner un couple \((f, \alpha)\) soumis à ces conditions.

Voici enfin la forme intrinsèque. Pour \(s \in S\), soit \(\Phi_{s}\) le foncteur fibre en \(s\) sur \(\operatorname{Hodge}(S)\), et \[ P_{s} \;=\; \operatorname{Isom}^{\otimes}(\omega,\ \Phi_{s} F) , \] torseur sous \(G(\mathbb{Q})\). Quand \(s\) varie, les \(P_{s}\) forment un revêtement principal \(\mathcal{P}\) de \(S\) de groupe \(G(\mathbb{Q})\), et le composé \[ \operatorname{Rep}(G) \xrightarrow{\ F\ } \operatorname{Hodge}(S) \xrightarrow{\ V\, \mapsto\, V \times_{S} \mathcal{P}\ } \operatorname{Hodge}(\mathcal{P}) \] définit sur \(\mathcal{P}\) une \(G\)-subordination, donc un morphisme \(g : \mathcal{P} \to \mathcal{J}\) compatible à l'action de \(G(\mathbb{Q})\). La catégorie des \(G\)-subordinations sur \(S\) est alors équivalente à celle des couples \((\mathcal{P}, g)\) formés d'un revêtement principal de groupe \(G(\mathbb{Q})\) et d'un morphisme équivariant vers \(\mathcal{J}\).

Soit enfin \(\Gamma_{0} \subset G(\mathbb{Q})\) un sous-groupe commensurable à un \(G(\mathbb{Z})\). Une \(G\)-subordination \(\Gamma_{0}\)-rigidifiée sur \(S\) est la donnée d'un revêtement principal \(\mathcal{P}_{0}\) de groupe \(\Gamma_{0}\) et d'un \(\Gamma_{0}\)-morphisme \(\mathcal{P}_{0} \to \mathcal{J}\) ; pour \(\Gamma_{0} = \{e\}\) on retrouve les subordinations rigidifiées, pour \(\Gamma_{0} = G(\mathbb{Q})\) les subordinations tout court. Cette structure admet un espace de modules, à savoir \[ \mathcal{J} / \Gamma_{0} , \] qui porte une structure d'espace analytique dès que \(\Gamma_{0}\) opère proprement et discontinûment : c'est la variété de modules de niveau \(\Gamma_{0}\).⁷

13–19

Lettre à Mumford (pages 13 à 19)

La lettre

Elle est datée d'Alger, le 1er novembre 1965, et elle est en anglais ; elle le reste dans la transcription et on n'en traduit ici que la teneur.

Il commence par retirer ce qu'il avait avancé. Les conjectures sur les structures de Hodge dont il avait parlé à Mumford contredisent, sous la forme où il les avait énoncées, celles de Tate. Celles-ci impliquent en effet ceci : si \(X\) est un schéma lisse, connexe et simplement connexe sur \(\mathbb{C}\), et \(V\) une famille analytique complexe polarisée de structures de Hodge paramétrée par \(X^{\mathrm{hol}}\), alors \(V\) n'est « algébrique » que si elle est constante. Or il est facile de produire des familles non constantes, en prenant pour \(X\) un espace homogène sous un groupe affine sur \(\mathbb{C}\) ; elles ne devraient donc pas être algébriques, si l'on veut que les conjectures de Tate tiennent.

Il propose alors un test : peut-on vraiment ne pas obtenir de \(V\) algébrique de cette manière ? Et il pose une question concrète, qui est la seule chose de toute la lettre qu'on puisse chercher à vérifier sur un exemple :

Connaît-on une surface projective lisse \(Y\) sur \(\mathbb{C}\) telle que \(H^{1,1}(Y, \mathbb{C})\) soit engendré par des cycles algébriques et que \(\dim H^{0,2}(Y, \mathbb{C}) \geqslant 2\) ?

Le post-scriptum : les variétés modulaires de la théorie de Galois motivique

Suivent cinq feuillets qui refont, en anglais et sans les démonstrations, la construction des pages 3 à 11.

Soit \(G\) un groupe algébrique réductif connexe sur \(\mathbb{Q}\), et \(\mathbb{U}_{\mathbb{R}}\) le tore réel tordu de dimension \(1\), dont le groupe des points réels est celui des nombres complexes de module \(1\). On se donne \[ i_{0} : \mathbb{U}_{\mathbb{R}} \longrightarrow G_{\mathbb{R}} \] tel que \(i_{0}(-1)\) soit central, que le centralisateur \(K_{\mathbb{R}}\) de \(i_{0}(\sqrt{-1})\) vérifie que \(K_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})^{\circ}\) est compact maximal dans \(G_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})^{\circ}\), et que la composante de \(i_{0}\) soit non triviale pour chaque facteur \(\mathbb{R}\)-simple de \(G_{\mathbb{R}}\). Ce \(i_{0}\) est exactement le \(j'\) de la page 5, et les deux premières conditions sont mot pour mot celles du théorème ; la troisième est nouvelle et écarte les facteurs sur lesquels rien ne varierait.

Posant \(C_{\mathbb{R}} = \operatorname{Centr}_{G_{\mathbb{R}}}(i_{0})\), et notant \(G_{\mathbb{R}}/C_{\mathbb{R}}\) la variété de drapeaux correspondante,⁸ il appelle « Siegel-space » \[ \mathcal{J} \;=\; G(\mathbb{R})^{\circ} \big/ G(\mathbb{R})^{\circ} \cap C_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}) \;\subset\; (G_{\mathbb{R}}/C_{\mathbb{R}})(\mathbb{R}) . \] C'est le même \(\mathcal{J}\) qu'à la page 7, et il hérite de la variété de drapeaux une structure complexe naturelle, invariante sous \(G(\mathbb{R})\). Toute représentation rationnelle de \(G\) dans un \(V\) sur \(\mathbb{Q}\), munie d'un réseau \(V_{0}\), définit alors sur \(\mathcal{J}\) une famille analytique complexe de structures de Hodge de degré total \(n\) fixé — nécessairement globalement polarisable, une polarisation s'obtenant en choisissant sur \(V\) une forme invariante sous \(G\) — pourvu que \(i_{0}(-1)\) opère sur \(V\) par l'homothétie \((-1)^{n}\).

Vient alors, en marge, l'observation qui décide de tout ce qui suit :

En général \(\mathcal{J}\) n'est pas riemannien symétrique, mais est un espace fibré au-dessus d'un espace riemannien symétrique, de fibres des espaces homogènes projectifs complexes sous \(K_{\mathbb{C}}\). Cela implique au moins que \(\mathcal{J}\) est simplement connexe, donc est le revêtement universel de \(M = \mathcal{J}/\Gamma\) lorsque \(\Gamma\) opère librement.

C'est là le point où le domaine cesse d'être un domaine hermitien symétrique et où les quotients cessent d'être automatiquement des variétés algébriques — c'est-à-dire, en termes d'aujourd'hui, le point où un domaine de Mumford–Tate cesse d'être une donnée de Shimura. Que \(\mathcal{J}\) reste simplement connexe est ce qui sauve le quotient comme espace analytique et ce qui fera marcher, à la page 18, l'argument de Borel.

Si \(\Gamma \subset G(\mathbb{Q})\) est le groupe laissant \(V_{0}\) fixe, il opère sur \((V, \mathcal{J})\), et les variétés modulaires que l'on obtient à partir des structures de Hodge sur \(\mathbb{Q}\) sont les \[ \mathcal{J} / \Gamma , \qquad \Gamma \subset G(\mathbb{Q}) \cap G(\mathbb{R})^{\circ} \text{ commensurable à } G(\mathbb{Z}) . \] Il se peut, note-t-il, qu'il faille imposer aux données des conditions supplémentaires : arithmétiques, mettant en jeu l'existence d'éléments de Frobenius dans \(I(\mathbb{Q})\) où \(I = G/\text{aut. int.}\) ; ou géométriques, demandant que \(G_{\mathbb{R}}\) n'ait pas de facteur compact.

Le cas typique est celui-ci : un \(\mathbb{Q}\)-espace vectoriel \(V\) de dimension finie muni d'une forme bilinéaire \(\varphi\) symétrique ou alternée, \(G = SO(\varphi)\), et \(i_{0} : \mathbb{U}_{\mathbb{R}} \to G_{\mathbb{R}}\) avec \(i_{0}(-1) = \mathrm{id}\) si \(\varphi\) est symétrique, \(-\mathrm{id}\) si elle est alternée, plus une condition de positivité de \(\varphi\) relativement à la bigraduation de \(V_{\mathbb{C}}\) définie par \(i_{0}\). Alors \(\mathcal{J}\) généralise directement le demi-plan de Siegel, et classe les structures de Hodge de \(V\) compatibles avec \(\varphi\) et de nombres de Hodge \(\dim V_{\mathbb{C}}^{p,q}\) donnés. L'idée est que ces \(\mathcal{J}\)-là sont « universels » pour tous les autres.

L'argument de Borel, et la contradiction apparente

Prenons \(G(\mathbb{R})\) compact. Alors \(\mathcal{J}/\Gamma = \mathcal{J}\) est un espace homogène projectif complexe \(X\) sous \(G_{\mathbb{C}}\), par un théorème de Borel. On obtiendrait ainsi un motif polarisé sur l'espace analytique \(\mathcal{J}\) correspondant à \(X\) ; et si l'on admet le yoga GAGA — venu du cas des variétés abéliennes polarisées — selon lequel une telle famille doit aussi être un motif sur \(X\), on obtient une contradiction avec les conjectures de Tate, puisque \(X\) est simplement connexe. D'où la phrase qui ferme le raisonnement :

So I really do not know what to believe!

La condition nécessaire, et la question laissée ouverte

Revenant au cas général, il ajoute une condition nécessaire. Pour que \(\mathcal{J}/\Gamma\) soit algébrique et que la structure de Hodge \(V/\Gamma\) au-dessus le soit aussi, en admettant les conjectures de Tate et de Hodge, il faut : pour tout \(g \in G(\mathbb{R})^{\circ}\) et tout \(\Gamma_{0}\) d'indice fini dans \(G(\mathbb{Z})\), le plus petit sous-groupe algébrique \(H\) de \(G\) tel que \(H_{\mathbb{R}}\) contienne \(g\, i_{0}(\mathbb{U}_{\mathbb{R}})\, g^{-1}\) et \(\Gamma_{0}\) est \(G\) tout entier.

Un bloc barré, mais lisible, tire la conséquence : si cette condition était fausse ne serait-ce que pour l'espace modulaire de Siegel usuel, alors — sachant que \(\mathcal{J}/\Gamma\) y est algébrique et les \(V/\Gamma\) aussi — il s'ensuivrait que la conjecture de Hodge ou celle de Tate est fausse.⁹

La lettre se clôt sur deux questions. La première :

Si \(G_{\mathbb{R}}\) est semi-simple sans facteur compact, \(G(\mathbb{Z})\) est-il toujours Zariski-dense dans \(G\) ?

La réponse est affirmative.¹⁰ La seconde porte sur l'exposé de Mumford à Boulder, qu'il dit venir de lire, et demande si l'image de \(\mathcal{J}/\Gamma\) dans la variété modulaire de Siegel usuelle est une variété algébrique, ou au moins un constructible.

22–24

Connexions intégrables sur un foncteur fibre (pages 22 à 24)

La liasse suivante s'ouvre sous une chemise de sa main — « Descriptions transcendantes de motifs en caractéristique \(0\) et de catégories de motifs en caractéristique \(0\) ; doubles réseaux etc. » — et repose tous ses objets à neuf. Ces trois feuillets isolent un outil dont les pages 38 à 43 se serviront.

Soit \(\mathcal{M}\) une \(\otimes\)-catégorie sur un corps \(k_{0}\), \(K\) une extension de \(k_{0}\), et supposons donné un foncteur fibre à valeurs dans \(k_{0}\), de groupe \(G\), de sorte que \(\mathcal{M} \simeq \operatorname{Rep}(G)\). On cherche toutes les façons de munir chaque \(V \otimes_{k_{0}} K\) d'une connexion intégrable, fonctorielle en \(V\) et compatible au produit tensoriel.

Il en existe déjà une, notée \(\Theta_{0}\), déduite des structures dont on dispose. Toute autre en diffère donc d'un terme : \[ \Theta_{X} \;=\; \Theta_{0X} + \omega(X) , \qquad X \in \operatorname{Der}(K/k_{0}) . \] Autrement dit les connexions forment un espace affine sous l'espace des \(\omega\). Or exiger la compatibilité au produit tensoriel, c'est exiger que \(\omega(X)\) soit une dérivation du foncteur fibre ; et une dérivation du foncteur fibre est donnée par un élément de \(\mathfrak{g}_{K} = \mathfrak{g} \otimes_{k_{0}} K\), où \(\mathfrak{g} = \operatorname{Lie} G\). On obtient donc une application \(K\)-linéaire \[ \omega : \operatorname{Der}(K/k_{0}) \longrightarrow \mathfrak{g}_{K} . \]

L'intégrabilité s'écrit alors, pour \(X, Y \in \operatorname{Der}(K/k_{0})\), \[ \Theta_{0X}\, \omega(Y) - \Theta_{0Y}\, \omega(X) \;=\; \omega([X,Y]) - [\omega(X), \omega(Y)] , \] où \(\Theta_{0X}\) et \(\Theta_{0Y}\) opèrent sur \(\mathfrak{g}_{K}\) par leur action sur le facteur \(K\). C'est l'identité de Maurer–Cartan, et le plus souvent \(\omega\) provient d'un élément de \(\Omega^{1}_{K/k_{0}} \otimes_{K} \mathfrak{g}_{K} = \Omega^{1}_{K/k_{0}} \otimes_{k_{0}} \mathfrak{g}\), voire déjà d'un \(\omega \in \Omega^{1}_{k/k_{0}} \otimes_{k} \mathfrak{g}_{k}\) si \(k\) est une extension de type fini de \(k_{0}\).

Voici l'usage qu'il veut en faire. Étant donnés \(V, W \in \mathcal{M}\) et \(u : V_{K} \to W_{K}\), à quelle condition \(u\) provient-il d'un morphisme de \(\mathcal{M}\) ? Il suffit que \(u\) commute aux \(\Theta_{X}\), donc — l'autre terme étant acquis — aux \(\omega(x)\), donc au plus petit sous-espace vectoriel \(\mathfrak{n} \subset \mathfrak{g}\) tel que \(\mathfrak{n}_{K}\) contienne les \(\omega(x)\).¹¹ Comme \(u\) commute à \(\mathfrak{n}\), il suffit donc que \[ \mathfrak{n} \;=\; \mathfrak{g} \] pour conclure. Il note au passage que \(\mathfrak{n}\) est déjà une sous-algèbre de Lie, et qu'on peut la remplacer par l'algèbre de Lie algébrique qu'elle engendre.

C'est, sous une forme tannakienne, la condition que le groupe de Galois différentiel de la connexion soit \(G\) tout entier : la connexion doit être « assez tordue » pour que rien ne commute avec elle qui ne soit déjà dans \(\mathcal{M}\). Le groupe \(R\) engendré par la monodromie, à la page 39, jouera le même rôle.

26–31

Le torseur des périodes (pages 26 à 31)

Tout ce qui suit emploie le formalisme tannakien : un groupe se lit sur les automorphismes d'un foncteur fibre, et une catégorie se reconstitue comme les représentations de ce groupe. Cela suppose que la catégorie de motifs en jeu soit tannakienne neutre — ce que les conjectures standard donneraient, et ce que le dossier ne fait nulle part. On le dit ici une fois et on ne le répète plus.¹²

La donnée

Soit \(k \subset \mathbb{C}\) et \(\mathcal{M}\) une catégorie de motifs sur \(k\), de type fini. Elle porte deux foncteurs fibres naturels : \[ T_{DR} : \mathcal{M} \longrightarrow \operatorname{Mod}_{f}(k) , \qquad T_{B} : \mathcal{M} \longrightarrow \operatorname{Mod}_{f}(\mathbb{Q}) , \] le second passant par les structures de Hodge et dépendant du plongement \(k \subset \mathbb{C}\). Le premier est filtré. Et il existe entre eux un isomorphisme canonique \[ \varphi : T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \ \overset{\sim}{\longrightarrow}\ T_{DR} \otimes_{k} \mathbb{C} . \]

Soit \(G = \operatorname{Aut}^{\otimes}(T_{B})\). En comparant \(T_{DR}\) à \(T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} k\) on obtient \[ P \;=\; \operatorname{Isom}^{\otimes}(T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} k,\ T_{DR}) , \] torseur à droite sous \(G_{k}\), qui permet de retrouver \(T_{DR} = P \times^{G_{k}} (T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} k)\) ; et l'isomorphisme \(\varphi\) définit un élément canonique \[ \varphi \in P(\mathbb{C}) . \] C'est la matrice des périodes, et c'est le point transcendant autour duquel tourne tout le dossier. La connaissance de \(G\), de \(P\) et de \(\varphi\) permet de retrouver \(\mathcal{M}\) avec ses deux foncteurs fibres et leur comparaison.

Le filtré, le gradué, et les deux cocaractères

Pour retrouver la filtration de \(T_{DR}\) et en déduire la structure de Hodge sur \(T_{B}\), il faut faire entrer le gradué. Posons \(T_{\mathrm{Hdg}} = \operatorname{gr}^{*} T_{DR}\), et \[ G' \;=\; P \times^{G_{k}} G_{k} \;=\; \operatorname{ad}(P) \;\simeq\; \operatorname{Aut}^{\otimes}(T_{DR}) . \] Soit \(H' \subset G'\) le groupe des automorphismes de \(T_{DR}\) qui respectent la filtration et induisent l'identité sur le gradué : il est unipotent. Soit \[ Q \;=\; \operatorname{Isom}^{\otimes}_{\ \mathrm{id}\ \mathrm{sur}\ \operatorname{gr}^{*}}(T_{DR},\ T_{\mathrm{Hdg}}) , \] torseur à droite sous \(H'\), et posons \(H'' = \operatorname{ad}(H')\) et \[ G'' \;=\; Q \times^{H'} G' \;\simeq\; \operatorname{Aut}^{\otimes}(T_{\mathrm{Hdg}}) . \] La bigraduation de \(T_{\mathrm{Hdg}}\) définit alors deux cocaractères \[ i_{1}, i_{2} : \mathbb{G}_{m,k} \longrightarrow G'' \] soumis à \[ \varepsilon\, i_{1}(\lambda) = \varepsilon\, i_{2}(\lambda) = \lambda , \qquad i_{1}(\lambda)\, i_{2}(\lambda) = i(\lambda) , \] les deux cocaractères étant les deux degrés \(p\) et \(q\) et leur produit le degré total.¹³

Les données \(a)\) à \(g)\), et ce qu'on ne sait pas en dire

Le tout se résume en une liste :

• \(a)\)un groupe algébrique \(G\) sur \(\mathbb{Q}\), avec \(\mathbb{G}_{m} \xrightarrow{\ i\ } G \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathbb{G}_{m}\) ;
• \(b)\)un groupe algébrique \(G''\) sur \(k\), avec \(\mathbb{G}_{m} \xrightarrow{\ i''\ } G'' \xrightarrow{\ \varepsilon''\ } \mathbb{G}_{m}\) ;
• \(c)\)les cocaractères \(i_{1}, i_{2}\) soumis aux relations ci-dessus ;
• \(d)\)un torseur \(Q\) sous le groupe unipotent \(H'' \subset G''\) ;
• \(e)\)un torseur \(P\) sous \(G'\) ;
• \(f)\)un isomorphisme \(G \otimes_{\mathbb{Q}} k \simeq \operatorname{ad}_{G'}(P)\) ;
• \(g)\)un élément \(\varphi \in P(\mathbb{C})\), compatible aux structures \(i\) et \(\varepsilon\).

Inversement, de ces données on récupère \(\mathcal{M}\) comme \(\operatorname{Rep}(G)\), le foncteur \(T_{B}\) avec sa structure de Hodge, \(T_{DR}\) comme \(P \times^{G} (T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} k)\), le gradué \(T_{\mathrm{Hdg}} \simeq T_{DR} \times^{H'} Q\), et la bigraduation par \(i_{1}\), \(i_{2}\) ; \(\varphi\) transporte enfin la filtration de \(T_{DR} \otimes_{k} \mathbb{C}\) sur \(T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\).

Trois conditions sont à imposer : \(1)\) que pour toute représentation fidèle \(V\) la filtration obtenue sur \(V_{\mathbb{C}}\) en fasse un modèle de Hodge ; \(2)\) que ce dernier soit intrinsèque ; \(3)\) que la restriction des scalaires de \(\mathbb{C}\) à \(k\) déduite de \(\varphi\) corresponde à une restriction des scalaires du motif. Et il écrit aussitôt ce qui est le vrai état des lieux :

On ne sait pas expliciter \(2)\) et \(3)\) directement en termes des données \(a)\) à \(g)\).

La seule condition \(1)\) permet en revanche de définir un élément \(\psi \in Q(\mathbb{C})\), par la condition que la bigraduation correspondante satisfasse \(\overline{\psi} = \psi^{-1}\) — c'est-à-dire la symétrie \(V^{p,q} = \overline{V^{q,p}}\), transportée dans le torseur.

Le facteur \(2i\pi\)

Si les données \(a)\) à \(g)\) proviennent effectivement d'une catégorie de motifs sur \(k\), il y a dans \(P \times^{G} \mathbb{G}_{m}\) un isomorphisme marqué \(\alpha\), et, considérant l'élément \(\dot{\varphi} \in (P \times^{G} \mathbb{G}_{m})(\mathbb{C})\) induit par \(\varphi\), on doit avoir \[ \dot{\varphi} \;=\; \frac{1}{2 i \pi}\, \alpha_{\mathbb{C}} . \] C'est la normalisation du motif de Tate : la composante de la matrice des périodes sur l'objet inversible \(\mathbb{Q}(1)\) vaut \(2i\pi\), et pas autre chose. Et c'est, dit-il, une restriction arithmétique sur les données \(a)\) à \(g)\) : toutes les configurations abstraites de groupe, torseur et point complexe ne proviennent pas de motifs, et la première obstruction est déjà visible sur le plus petit motif qui soit.

La question inverse

Partons cette fois d'une structure de Hodge \((V_{\mathbb{Q}}, V_{\mathbb{C}} = \bigoplus V^{p,q})\), soit \(G\) son groupe de Mumford–Tate,¹⁴ et soit \(V_{k} \subset V_{\mathbb{C}}\) une \(k\)-structure compatible avec la filtration naturelle. Quand ce triplet provient-il d'un motif sur \(k\) ?

Il faut, dit-il, que \(G'_{\mathbb{C}}\) soit définissable sur \(k\) via \(V_{k} \subset V_{\mathbb{C}}\) ; et lorsque \(k\) est algébriquement clos, que \(G'_{\mathbb{C}} = G_{\mathbb{C}}\). Concrètement : tout élément de \(\bigotimes_{\mathbb{Q}}(V^{\vee} \otimes_{\mathbb{Q}} V)\) invariant sous \(G\) et de bidegré \(0\) doit se retrouver dans \(\bigotimes_{k}(V^{\vee}_{k} \otimes_{k} V_{k})\). Ce sont des conditions très restrictives, et il ajoute qu'elles ne sont certainement pas suffisantes : pour \(k = \mathbb{Q}\) et \(V_{k} = V_{\mathbb{Q}}\) ce n'est en général pas possible. D'où la phrase du feuillet 31, qui est tout ce qu'il en dit :

Il faut donc compléter les conditions nécessaires précédentes par des conditions du type « argument de transcendance ».

C'est exactement l'endroit où l'on attend aujourd'hui la conjecture des périodes : les conditions algébriques ne suffisent pas, et ce qui manque est une minoration du degré de transcendance des périodes.¹⁵

33–34

La situation abstraite des doubles réseaux (pages 33 et 34)

Ces deux feuillets démontrent, dans l'abstrait, le critère dont les pages 45 à 49 auront besoin. La question est celle-ci : deux foncteurs fibres, l'un sur \(k\), l'autre sur une extension \(K\), deviennent isomorphes après extension à un corps \(L\) contenant les deux ; que reste-t-il, dans un objet, de commun aux deux structures rationnelles ?

Soient donc \(\mathcal{M}\) une \(\otimes\)-catégorie sur \(k\), \(T\) un foncteur fibre sur \(k\), \(T'\) un foncteur fibre sur \(K\), et \(\varphi : T \otimes_{k} L \simeq T' \otimes_{K} L\) un \(\otimes\)-isomorphisme. Posons \[ G = \operatorname{Aut}^{\otimes}(T) , \qquad P = \operatorname{Isom}^{\otimes}(T_{K}, T') , \qquad \varphi \in P(L) , \] \(P\) étant un torseur à droite sous \(G_{K}\). Ces données reconstituent \(\mathcal{M}\), \(T\), \(T'\) et \(\varphi\).

Supposons d'abord \(P\) trivial, et soit \(\xi \in P(K)\). On a \(\varphi = \xi g\) avec \(g \in G(L)\), et changer \(\xi\) en \(\xi a\) change \(g\) en \(ga\) : ce qui est canonique, c'est donc \[ \dot{g} \in G(L)/G(K) , \] et les couples \((G, \dot{g})\) équivalent aux triplets \((G, P, \varphi)\). Pour un \(G\)-module \(V\), le réseau \(T'(V) \subset V \otimes_{k} L\) n'est autre que \(g\,(V \otimes_{k} K)\), de sorte que \[ V \cap T'(V) \;=\; \{\, x \in V \ \mid\ g^{-1} x \in V \otimes_{k} K \,\} . \]

Soit \(T_{K} \subset G_{K}\) l'adhérence de l'orbite de \(g\), et soit \(R\) l'adhérence de l'image de \[ T_{K} \times T_{K} \longrightarrow G_{K} , \qquad (s,t) \longmapsto t s^{-1} , \] qui ne dépend pas du choix de \(g\) dans sa classe. On a alors, pour \(x \in V\), \[ x \in V \cap T'(V) \quad \Longleftrightarrow \quad R \subset G_{x,K} , \] où \(G_{x}\) est le stabilisateur de \(x\). Soit enfin \(S\) l'image de \(R\) dans \(G\) et \(H\) le sous-groupe algébrique de \(G\) engendré par \(S\) ; comme \(T_{K}\) est fidèlement plat sur \(K\), la descente donne \[ V \cap T'(V) \;=\; V^{H} . \]

Le cas d'un \(P\) quelconque se ramène au précédent sans point-base : le morphisme de bitorseurs \(P \times_{K} P \to G_{K}\), \((s,u) \mapsto s^{-1}u\), a une image fermée \(R\) définie intrinsèquement, et la même descente fidèlement plate donne la même égalité.¹⁶

Comme \(H \subset G\), on a toujours \(V^{G} \subset V^{H}\), et l'on obtient donc le critère, qui est ce que les deux feuillets cherchaient :

Le foncteur \(\operatorname{Rep}(G) = \mathcal{M} \to \{\text{doubles réseaux}\}\) est pleinement fidèle si et seulement si, pour tout \(V\), \[ V^{H} \;=\; V^{G} . \]

Autrement dit : la pleine fidélité échoue exactement dans la mesure où le groupe engendré par la position relative des deux réseaux est plus petit que le groupe de Galois tout entier. C'est la forme abstraite de la question que la page 47 posera des motifs.

36–37

La récapitulation adélique (pages 36 et 37)

Ce feuillet est une page de tableau : sept encadrés étiquetés \(A)\) à \(G)\), puis neuf propriétés numérotées. On le donne dans son ordre.

Soit \(K \subset \mathbb{C}\), \(\overline{K}\) la clôture algébrique de \(K\) dans \(\mathbb{C}\), \(\pi_{1} = \operatorname{Gal}(\overline{K}/K)\) et \(\mathbb{A}\) l'anneau des adèles finis de \(\mathbb{Q}\). On considère une catégorie de motifs de type fini sur \(K\) et le groupe \(G\) associé au foncteur de Betti. Les données sont :

• \(A)\)le groupe \(G\) ;
• \(B)\)la chaîne \(G''_{K} \supset H''_{K} \cdots Q \cdots H'_{K} \subset G'_{K} \cdots P \cdots G_{K}\), avec \(i_{1}, i_{2} : \mathbb{G}_{m} \rightrightarrows G''_{K}\) — c'est-à-dire toute la donnée des pages 26 et 27 ;
• \(C)\)un morphisme \(u : \pi_{1} \to G(\mathbb{A})\) ;
• \(D)\)une connexion absolue intégrable invariante sous \(G_{K}\) — celle des pages 22 à 24 ;
• \(E)\)une donnée de « densité », soumise à la compatibilité avec \(A)\), \(B)\), \(C)\) ;
• \(F)\)la commutativité du carré reliant \(u\) et \(v\) ;
• \(G)\)un morphisme \(w : \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi) \to G(\mathbb{C})\).

Du côté complexe on a la connexion absolue \(\omega \in \Omega^{1}_{\mathbb{C}/\mathbb{Q}} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathfrak{g}\), les isomorphismes \(G' \otimes_{K} \mathbb{C} \simeq G_{\mathbb{C}}\) et \(G'' \otimes_{K} \mathbb{C} \simeq G_{\mathbb{C}}\), d'où deux morphismes \(i^{\mathbb{C}}_{1}, i^{\mathbb{C}}_{2} : \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \to G_{\mathbb{C}}\) ; puis, pour un modèle rigidifié convenable \(S\) de \(K\), de type fini sur \(\mathbb{Q}\), le morphisme \(w : \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi) \to G(\mathbb{C})\) ; enfin \(P/G^{0}\), torseur sur \(K\) de groupe \(G/G^{0}\), ponctué par \(\xi : K \hookrightarrow \mathbb{C}\), d'où \(v : \pi_{1} \to (G/G^{0})(\mathbb{Q})\).

Les deux carrés dont il affirme la commutativité sont ceux-ci.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi) \arrow[r, "w"] \arrow[d, "\mathrm{can.}"'] & G(\mathbb{Q}) \arrow[d, "\mathrm{can.}"] \\
\pi_{1}(S, \xi) \arrow[r, "u"] & G(\mathbb{A})
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\pi_{1} \arrow[r, "v"] \arrow[d, "u"'] & (G/G^{0})(\mathbb{Q}) \arrow[d] \\
G(\mathbb{A}) \arrow[r] & (G/G^{0})(\mathbb{A})
\end{tikzcd}

Les propriétés, telles qu'il les numérote :

1. \(1)\)\(i^{\mathbb{C}}_{2} = i^{\mathbb{C}}_{1}\), de sorte que \(\alpha\) est connu dès qu'on connaît l'un des deux ;
2. \(2)\)\(\pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi) \to G(\mathbb{C})\) se factorise par \(G(\mathbb{Q})\) ;
3. \(3)\)\(\pi_{1} \to G(\mathbb{A})\) se factorise par \(\pi_{1}(S, \xi) \to G(\mathbb{A})\) pour \(S\) convenable ;
4. \(4)\)les deux carrés ci-dessus sont commutatifs ;
5. \(5)\)le composé \(\pi_{1}(S, \xi) \to G(\mathbb{A}) \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathbb{A}^{*}\) est le morphisme donné par l'action sur les racines de l'unité ;
6. \(6)\)\(v\) est un épimorphisme ;
7. \(7)\)pour tout point fermé \(s\) de \(S\), l'élément de Frobenius \(f_{s}\) a une image dans \(G(\mathbb{A})\) — « redonne Weil » ;
8. \(8)\)\(G_{\mathbb{R}}\), muni de \(i^{\mathbb{C}}_{1}\) et \(i^{\mathbb{C}}_{2}\), est un groupe de Hodge ;
9. \(9)\)pour tout \(\ell\), l'image de \(\pi_{1}\) dans \(G(\mathbb{Q}_{\ell})\) est un sous-groupe ouvert, et \(V \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell}\) est semi-simple.

Cette liste est le programme entier de la théorie de Galois motivique sur une base, écrit sur un feuillet. La propriété \(5)\) est le caractère cyclotomique ; \(7)\) est ce qui doit redonner les conjectures de Weil ; \(8)\) est le pont avec les pages 3 à 11, et dit que la théorie de Hodge du début du dossier est la composante archimédienne de ce tableau ; \(9)\) est l'ouverture de l'image \(\ell\)-adique jointe à la semi-simplicité. Il ferme sur deux mots : « devra être précisé ».¹⁷

38–43

La donnée transcendante et le revêtement équivariant (pages 38 à 43)

L'application des périodes

Il introduit alors ce qu'il appelle une structure « de nature transcendante ». Soit \(\overline{S}_{\mathbb{C}}\) le revêtement universel de \(S(\mathbb{C})\) en \(\xi\), et soit \(\mathcal{J}\) l'ensemble des morphismes \(\mathbb{S} \to G_{\mathbb{R}}\) correspondant au morphisme central donné \(i(\lambda) = i_{1}(\lambda) i_{2}(\lambda)\) — c'est-à-dire, exactement, l'espace des structures de Hodge sur \(G_{\mathbb{R}}\) construit à la page 7 et retrouvé à la page 15.¹⁸ On a alors une application \[ f : \overline{S}_{\mathbb{C}} \longrightarrow \mathcal{J} \] soumise à trois conditions :

1. \(a)\)\(f(\overline{\xi})\) est le morphisme \(\mathbb{S} \to G_{\mathbb{R}}\) défini par \(i^{\mathbb{C}}_{1}\) et \(i^{\mathbb{C}}_{2}\) ;
2. \(b)\)\(f(g \overline{s}) = w(g)\, f(\overline{s})\) pour \(g \in \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi)\) ;
3. \(c)\)\(f\) est holomorphe.

C'est l'application des périodes d'une variation de structures de Hodge : \(b)\) est l'équivariance sous la monodromie, \(c)\) l'holomorphie, et la compatibilité au torseur \(P\) énoncée plus bas tient lieu de la condition de transversalité.

Vient ensuite, moyennant la conjecture de Hodge, un énoncé de rigidité : le composé \(\overline{S}_{\mathbb{C}} \to \mathcal{J} \to \mathcal{J}_{\widetilde{G}}\) est une application constante, où \(\widetilde{G}\) est le quotient introduit ci-dessous.¹⁹

Le groupe de monodromie, et la descente à \(k\)

Soit \(R \subset G\) le sous-groupe algébrique engendré par \(w(\pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi))\) : c'est le groupe de monodromie. Il est invariant dans \(G\), et c'est cette normalité qui rend le quotient utilisable.²⁰ Posant \(\widetilde{G} = G/R\), on obtient \[ \widetilde{u} : \pi_{1}(\operatorname{Spec} k, \xi) \longrightarrow \widetilde{G}(\mathbb{A}) , \] et l'on considère le torseur \(\widetilde{P} = P/R\) sous \(\widetilde{G}\), muni de la connexion intégrable déduite de celle de \(P\). Cette connexion se descend à \(k\) ; donc, moyennant Hodge, le couple \((\widetilde{P}, \widetilde{G})\) avec sa connexion provient d'un couple \((\widetilde{P}_{0}, \widetilde{G}_{k})\) sur \(k\), avec un isomorphisme de torseurs \[ \widetilde{P} \;=\; P/R \ \simeq\ \widetilde{P}_{0} \otimes_{k} K . \] Il en va de même de \(\widetilde{G}' = G'/R'\), de \(\widetilde{H}'\), du torseur \(\widetilde{Q}\) et des cocaractères \(\widetilde{i}_{1}, \widetilde{i}_{2}\), qui descendent tous en des objets sur \(k\) : la donnée horizontale pour la connexion est exactement la donnée de descente.

Sur une base : ce que la donnée d'un point réduit

La page 40 pose le cadre définitif. Soit \(S\) un schéma régulier de type fini sur \(\mathbb{Q}\), \(k\) la clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) dans \(\Gamma(S, \mathcal{O}_{S})\) — de sorte que \(S\) est géométriquement connexe sur \(k\) — et \(k \hookrightarrow \mathbb{C}\) un plongement. Soit \(\mathcal{M}\) une catégorie de motifs lisses de type fini sur \(S\). Chaque point \(\xi \in S(\mathbb{C})\) donne un foncteur fibre \(T_{\xi} : M \mapsto T_{B}(M_{\xi})\) ; posant \(G = \operatorname{Aut}^{\otimes}(T)\), on a \(\mathcal{M} \simeq \operatorname{Rep}(G)\), et \[ P = \operatorname{Isom}^{\otimes}(T_{S},\ T_{DR}) \] est un torseur sous \(G_{S}\), muni d'une connexion intégrable relative à \(k\) et d'une \(\otimes\)-filtration sur \(T_{DR}\).

Fixons maintenant \(\xi_{0} \in S(\mathbb{C})\) et prenons \(T = T_{\xi_{0}}\). Alors la donnée des revêtements équivariants équivaut à celle de \[ w : \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi_{0}) \longrightarrow G(\mathbb{Q}) \subset G(\mathbb{C}) \] et d'un point \(x_{0}\) de \(P_{\xi_{0}}\), c'est-à-dire d'une trivialisation de \(P_{\xi_{0}}\). Ce point définit un unique morphisme \(q : \overline{S}_{\mathbb{C}} \to P(\mathbb{C})\) envoyant le point marqué sur \(x_{0}\), soumis à \[ q(\overline{s}\,\sigma) = q(\overline{s}) \cdot w(\sigma) , \] et l'on obtient \[ \widetilde{P}_{\mathbb{C}} \;=\; \overline{S}_{\mathbb{C}} \times^{\Gamma} G(\mathbb{Q}) \ \hookrightarrow\ P(\mathbb{C}) , \qquad \Gamma = \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi_{0}) , \] qui est la restriction du groupe structural de \(G(\mathbb{C})\) à \(G(\mathbb{Q})\). L'application des périodes se relit sur \(\widetilde{P}_{\mathbb{C}}\) : \[ f : \widetilde{P}_{\mathbb{C}} \longrightarrow \mathcal{J} , \qquad f(x \cdot g) = g^{-1} f(x) \ \ (g \in G(\mathbb{Q})) , \] holomorphe, et compatible en chaque point \(s\) au torseur \(P_{s}\) sous \(G_{k(s)}\) et à sa trivialisation. Se donner enfin la couche adélique, c'est se donner une factorisation de \(\Gamma \to G(\mathbb{Q}) \to G(\mathbb{A})\) par le groupe fondamental algébrique \(\pi_{1}(S, \xi_{0})\).

Le bilan, et les deux questions

La page 43 résume le tout en cinq données :

• \(A)\)un groupe réductif \(G\) sur \(\mathbb{Q}\) ;
• \(B)\)un fibré principal à connexion intégrable \(P\) sous \(G_{S}\) ;
• \(C)\)la restriction du groupe structural à \(G(\mathbb{Q})\), d'où \(\widetilde{P} \hookrightarrow P(\mathbb{C})\) ;
• \(D)\)l'application holomorphe équivariante \(f : \widetilde{P} \to \mathcal{J}\), compatible avec \(B)\) et \(C)\) ;
• \(E)\)la restriction de \(\widetilde{P} \times^{G(\mathbb{Q})} G(\mathbb{A})\) à \(S\), compatible verticalement à \(G/G^{0}\).

Et il note que la connaissance de \(A)\), \(B)\), \(C)\) et du seul point \(f(\xi_{0})\) — au-dessus des points génériques de \(S\) — doit en principe permettre de reconstituer \(D)\) tout entier, et les données venant de \(E)\). D'où les deux questions sur lesquelles la section s'arrête :

Formule analytique de prolongement de \(f\) ? \\ Relations entre \(D)\) et \(E)\) ?

La seconde porte, en marge, une glose entre crochets : « Jugendtraum ? ».²¹

45–49

Foncteurs pleinement fidèles (pages 45 à 49)

Ces cinq feuillets font la liste des foncteurs de réalisation candidats et demandent de chacun s'il est pleinement fidèle, et à quel prix. C'est la partie du dossier la plus près d'un programme.

Soit \(S\) un \(\mathbb{Q}\)-schéma régulier connexe muni d'un point géométrique \(\xi : \operatorname{Spec}(\mathbb{C}) \to S\). Le foncteur \(\xi^{*} : \operatorname{Mot}(S) \to \operatorname{Mot}(\mathbb{C})\) est fidèle, et l'on regarde le composé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\operatorname{Mot}(S) \arrow[r, "\xi^{*}"] \arrow[rrr, bend right=25, "(T_{B})_{\xi}"'] & \operatorname{Mot}(\mathbb{C}) \arrow[r, "T_{B+H}"] & \operatorname{Hodge}(\mathbb{Q}, \mathbb{C}) \arrow[r] & \operatorname{Mod}_{f}(\mathbb{Q})
\end{tikzcd}

Par Hodge

\(1)\) Soit \(\xi\) localisé au point générique \(y\) de \(S\). À tout motif \(M\) sur \(S\) on associe le triplet \[ \{\, T_{DR}(M_{y}),\ T_{B}(M_{\xi}),\ \varphi_{M} \,\} , \qquad \varphi_{M} : T_{B}(M_{\xi}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \ \simeq \ T_{DR}(M_{y}) \otimes_{k(y)} \mathbb{C} , \] en considérant \(T_{DR}(M_{y})\) comme filtré. Le foncteur ainsi obtenu est pleinement fidèle, moyennant la conjecture de Hodge simple. On a le même résultat, \(1\,b)\), en remplaçant le filtré par le bigradué \(T_{\mathrm{Hdg}}(M)\) et \(\varphi_{M}\) par l'isomorphisme \(\psi_{M}\) correspondant.

Par Tate

\(2)\) Soit \(\pi = \pi_{1}(S, \xi)\). À tout \(M\) on associe \[ \{\, T_{B}(M_{\xi}),\ \rho_{\ell, M} \,\} , \qquad \rho_{\ell, M} : \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}_{\ell}}\bigl( T_{B}(M_{\xi}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \bigr) , \] c'est-à-dire le réseau de Betti et la représentation galoisienne, sans structure de Hodge.²² Le foncteur est pleinement fidèle si \(S\) est de type fini sur \(\mathbb{Q}\), en admettant les conjectures de Tate et en utilisant un résultat de Griffiths.

Si \(S\) est localement de type fini sur \(\mathbb{C}\), on peut aussi prendre \(\pi' = \pi_{1}(S(\mathbb{C}), \xi)\) et la représentation \(\rho_{M}\) à valeurs dans \(\operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}}\), à condition de remplacer \(T_{B}\) par \(T_{B-H}\), c'est-à-dire de rétablir la structure de Hodge — et c'est alors la conjecture de Hodge qu'on utilise, non celle de Tate. Le couple de variantes est instructif : la même pleine fidélité s'achète, selon le corps de base, avec l'une ou l'autre des deux conjectures.

\(3)\) À tout \(M\) on associe \[ \bigl( T_{DR}(M),\ \sigma,\ T_{B}(M_{\xi}),\ \varphi \bigr) , \] où \(T_{DR}(M)\) est la cohomologie de De Rham de \(M\) sur \(S\) vue comme espace filtré, \(\sigma\) sa stratification de Gauss–Manin relativement à un corps de base algébriquement clos \(k = \overline{\mathbb{Q}}\), et \(\varphi\) l'isomorphisme canonique. Le foncteur est pleinement fidèle moyennant Hodge, en utilisant Griffiths.

Le « double niveau »

\(4)\) Supposons \(S = \operatorname{Spec} k\) avec \(k\) extension algébrique de \(\mathbb{Q}\), et considérons le foncteur \[ (4.1) \qquad M \longmapsto \{\, T_{DR}(M),\ T_{B}(M),\ \varphi \,\} , \] où l'on ne considère ni \(T_{DR}(M)\) comme filtré, ni \(T_{B}(M)\) comme muni d'une structure de Hodge. Ce foncteur est-il pleinement fidèle ? C'est la question centrale de la section, et elle est posée sans réponse.

Elle se ramène aussitôt au cas \(k = \overline{\mathbb{Q}}\), et devient alors équivalente à la pleine fidélité de \[ (4.2) \qquad M \longmapsto \{\, T_{B}(M),\ \sigma \,\} , \] \(\sigma\) étant la stratification canonique sur \(T_{B}(M) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\) — car \(\sigma\) et le réseau \(T_{DR}(M) \subset T_{B}(M) \otimes \mathbb{C}\) se déterminent mutuellement, \(T_{DR}(M)\) étant l'ensemble des éléments horizontaux pour \(\sigma\).

Voici la traduction dans le groupe. Soit \(G = \underline{\operatorname{Aut}}^{\otimes}(T_{B})\) le groupe de Galois de \(\operatorname{Mot}(k)\). La donnée revient à celle d'un \[ \dot{g} \in G(\mathbb{C})/G(\overline{\mathbb{Q}}) , \] et si \(V\) est le \(G\)-module correspondant à \(M\), alors \(T_{DR}(M)\) n'est autre que le \(\overline{\mathbb{Q}}\)-réseau \(g(V_{\overline{\mathbb{Q}}}) \subset V \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\). La question devient donc simplement : pour tout \(V\), l'inclusion \[ V^{G} \ \subset \ V \cap g(\overline{V}) \] est-elle une égalité ?²³ On peut se ramener à \(V\) simple ; et si \(V\) est de dimension \(1\), c'est une puissance de Tate et cela marche.

Le feuillet 48 pousse la réduction : la relation \(x \in \overline{V} \cap g(\overline{V})\) équivaut à \(\overline{R} \subset G_{x}\), où \(G_{x}\) est le stabilisateur de \(x\) et \(\overline{R}\) l'adhérence de l'image de \(\overline{T} \times \overline{T} \to \overline{G}\), \((s,t) \mapsto s^{-1}t\). On retrouve exactement le groupe \(H\) des pages 33 et 34, et la question est celle, déjà posée là, de savoir si \(V^{H} = V^{G}\).

\(5)\) Sans l'hypothèse que \(k\) est algébrique sur \(\mathbb{Q}\), le foncteur \((4.1)\) n'est plus pleinement fidèle en général : si \(k\) est de type fini sur \(\mathbb{Q}\) et \(M\) fixé, \(T_{DR}(M)\) finit par contenir \(T_{B}(M)\), ce dont il écrit en un mot : « idiot ! ». Tout au plus peut-on espérer, à \(M\) fixé, un résultat de disproportion entre \(T_{B}\) et \(T_{DR}\) si \(k\) est modéré — par exemple en termes de degré de transcendance minimum.

\(6)\) En revanche, sans hypothèse sur \(k\) sauf d'être algébriquement clos, il semble encore raisonnable d'espérer que \((4.2)\) soit pleinement fidèle, ce qui ramène au cas \(k = \mathbb{C}\). Et le foncteur de \(3)\) privé de la filtration sur \(T_{DR}(M)\) serait pleinement fidèle si la conjecture du double niveau l'était.

La section laisse donc une conjecture, sous le nom qu'il lui donne — le « double niveau » — et un critère exact pour elle, \(V^{H} = V^{G}\), démontré onze feuillets plus tôt dans l'abstrait. Ce qu'elle ne fait pas, c'est décider.

50–51

Les classes de De Rham essentiellement algébriques (pages 50 et 51)

Deux feuillets, et le dossier s'arrête.

Soit \(K \subset \mathbb{C}\) un sous-corps et \(M\) un motif sur \(K\), d'où \(T_{DR}(M) = \operatorname{Hom}(1, M) \otimes_{\mathbb{Q}} K\). Un sous-module de \(T_{DR}(M)\) provenant des classes algébriques satisfait deux conditions nécessaires :

1. \(a)\)être contenu dans la partie de poids \(0\), \(T_{DR}(M)^{00}_{\mathbb{C}}\) ;
2. \(b)\)être contenu dans \(\bigl( T_{DR}(M)_{\mathbb{C}} \bigr)_{\mathbb{R}}\).

A-t-on une réciproque ? Il examine trois cas.

\(1^{\circ}\) Pas pour \(a)\) et \(b)\) simultanément. Si \(G\) est de poids \(0\) la condition \(a)\) est vide, donc sa réciproque n'est vraie que si \(G\) est trivial ; et un exemple galoisien de groupe \(G\) sur \(\mathbb{Q}\) rend \(b)\) vide à son tour. Il faut donc supposer \(G\) connexe, et l'on peut se ramener à \(K = \overline{\mathbb{Q}}\).

\(2^{\circ}\) Pour la réciproque de \(a)\) seule, il faut un groupe de Galois motivique de dimension \(\geqslant 3\). Fixant le plongement \(K \hookrightarrow \mathbb{C}\), les deux cocaractères \(j_{1}, j_{2} : G_{K} \rightrightarrows G'\) définissent la bigraduation, et une représentation fidèle \(V'\) donnera \[ {V'}^{\,T} \;=\; T_{DR} \cap (T_{DR})^{00}_{\mathbb{C}} \ \neq\ {V'}^{\,G'} , \] où \(T\) est l'image de \((j_{1}, j_{2}) : G_{K} \times G_{K} \to G'\) : c'est-à-dire un contre-exemple, de la forme même du critère des pages 33 et 34, un groupe strictement plus petit ayant strictement plus d'invariants.²⁴

\(3^{\circ}\) Reste la réciproque de \(b)\). Il propose de la reprendre en prenant, si \(K \neq \overline{\mathbb{Q}}\), toutes les immersions \(K \to \mathbb{C}\) à la fois, et en conjuguant au besoin avec la condition \(a)\).

Ces trois lignes sont les dernières du dossier. La question \(3^{\circ}\) est posée et n'est pas reprise : le feuillet 51 s'arrête là, et il n'y a pas de suite.