notes manuscrites à l'encre, d'une écriture rapide ; le haut de la page commence en cours de démonstration, la page précédente de ce raisonnement n'est pas dans ce lot que c'est un isom.

u mono \Rightarrow \mathrm{gr}^0(u) mono, car \mathrm{gr}^0(u) \simeq (f^{n-1}A \to f^{n-1}B)

u épi \Rightarrow \mathrm{gr}^0(u) épi, car \mathrm{gr}^0(u) \simeq (A/fA \to B/fB)

\mathrm{gr}^0(u) mono ou épi \Rightarrow \mathrm{gr}^0(u) est un isom, car A/fA et B/fB de même rang.souligné par lui

\mathrm{gr}^0(u) un isom \Rightarrow \mathrm{gr}(u) un isom, car \mathrm{gr}^i(u) \simeq \lbrace \mathrm{gr}^0(u) \rbrace^{\ill{}}

\mathrm{gr}(u) un isom \Rightarrow u un isom bien connu. au-dessus de cette ligne, l'indication 0 \leq i \leq n-1

Cor« Cor » est écrit au-dessus d'un mot biffé, lu Scol Pour tout i, 0 \leq i \leq n, f^iA est le seul sous-objet de Tateun « B » est écrit en exposant après « Tate » de A, de hauteur n-i, et de rang \rho : en effet, un tel B est contenu dans f^iA = \mathrm{Ker}\, f^{n-i}, et d'après ce qui précède, il lui est égal.

Cor dual : A/f^{n-i}A est le seul objet quotient de A qui est de Tate, de hauteur n-i, de rang \rho.

G schéma en groupes commutatif, plat loc. de présentation finie sur S. Endom. f, et entier n tel que f^n = 0. Pour 1 \leq j \leq n-1 fixé,

Conditions équivalentes :

« T.A » pour « Tate » ; les crochets autour de « Ker f^j est plat, et » sont de lui

G' \subset G \subset G''ainsi en tête de page ; le G du milieu est repassé

à droite du diagramme, biffé d'un trait : « 0 \to \mathrm{Ker}\, G''_1 \to »

p : G_2 \to G_2 se factorise à travers G_1, et s'annule sur G_1, induit un isom G_2/G_1 \xrightarrow{\ \sim\ } G_1 .

p : G'_2 \to G'_2 se factorise : trouver G'_1 (sur ou OK fibre par fibre), et s'annule sur G'_1 (même raison) donc induit G'_2/G'_1 \xrightarrow{\ \sim\ } G'_1 . « OK » d'une autre encre, brune

\mathrm{Ker}\, \alpha'' \simeq \underbrace{(G'_2 \cap G_1)}_{\mathrm{Ker}\, p_{G'_2}}/G'_1 \simeq \mathrm{Ker}\,(G'_2/G'_1 \to G'_1)

G'_2 = \overline{G'_{2\eta}}, \qquad G'_1 = \overline{G'_{1\eta}} = \overline{G'_{2\eta} \cap G_{1\eta}} \subset \overline{G'_{2\eta}} \cap \overline{G_{1\eta}} = G'_2 \cap G_1 = \mathrm{Ker}(p_{G'_2}) au-dessus du G'_2 de l'avant-dernier membre, une surcharge illisible ; l'indice \eta y est corrigé

De \overline{G'_{2\eta} \cap G_{1\eta}} part un trait vers un encadré :

Les questions dans ce cas se ramènent à \mathrm{Ker}\, \alpha'', qui est nul .

sous G'_2/G'_1, un signe = vertical et \widetilde{G}'_1 ; sous G_2/G_1, un \simeq vertical et G_1 ; une flèche de G'_1 monte vers G_1, un trait relie G'_1 à \widetilde{G}'_1

0 \to N \to G \xrightarrow{u} H \to 0 \quad \not\Longrightarrow \quad \mathrm{Ker}\ \text{\uncertain{est}}\ \text{\uncertain{lisse}} au-dessus de la fin de ligne, entouré : « formellement »

G(\hat{S}) \to H(\hat{S})

G \to H \Phi(G) \to \Phi(H) surj.

G \xrightarrow{u} H homom. de gpes invariable sur le T.E.

Conditions équivalentes

une accolade réunit a) et b) à gauche

en haut à droite, encadré, de sa main : « Conférence à Nice » ; titre souligné

Groupes de Barsotti-Tate [p fixé]

1) \mathrm{fppf} sur S.

G groupe de B.T. si

Alors les {}_{p^n}G = G(n) le sont aussi : si G(1) de rang p^d, alors G(n) de rang p^{nd} ; on a G = \varinjlim_n G(n).

Exemple important : A schéma abélien, G(n) = {}_{p^n}A, \qquad G = {}_{p^\infty}A .

2) Th. de Serre-Tate S_0 \hookrightarrow S \qquad A \longmapsto (A_0, {}_{p^\infty}A, \varphi) une équivalence de catégories.sous S_0 \hookrightarrow S, en petit, lu défini de com. p

2) Groupe formel \widehat{G} associé à un groupe de B.T.

3) Cristaux. Puissances divisées sur un idéal I : x^{(n)} (n \geq 0) \left(\frac{x^n}{n!}\right), x^{(0)} = 1, x^{(1)} = x, x^{(n)} \in I, \left\lbrace \begin{array}{l} (x+y)^{(n)} = \sum_{i+j=n} x^{(i)} y^{(j)} \\ (\lambda x)^{(n)} = \lambda^n x^{(n)} \\ \dots \end{array}\right. I^{(n)} idéal engendré par les monômes de poids \geq n en les x^{(i)} (x \in I).

Site cristallin absolu

puiss. div. nilpotentes : I^{(n)} = 0 si n grand

—— quasi-nilpotentes : I^{(n)} de torsion pour n grand, i.e. (n-1)!\, I^{(n)} = 0.

exponentielle : \exp(x) = \sum_{n \geq 0} x^{(n)}, \log(1+x) = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} (n-1)!\, x^{(n)} ok si p.d. nilp. ; ok —— quasi-nilp.

Site cristallin (absolu) [relatif] : On exige que les p.d. soient compatibles aux habituelles… sous la ligne, deux mots lus nilpot. et « Berthelot », avec

début de Théorie cohomologique (cf. Illusie) développée par Berthelotécrit en oblique dans la marge inférieure gauche ; les mots « début de » sont lus avec doute