Cote n° 129 · batch 6 · pages 101–114 · Transcription · Notes séminaire Montréal (Delale, Labute, Hakim, Messing) : copies de tapuscrits annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [1970]
Édition de démonstration

Objets de Tate

101notes manuscrites à l'encre, d'une écriture rapide ; le haut de la page commence en cours de démonstration, la page précédente de ce raisonnement n'est pas dans ce lot […] que c'est un isom.

\(u\) mono \(\Rightarrow\) \(\mathrm{gr}^0(u)\) mono, car \(\mathrm{gr}^0(u) \simeq (f^{n-1}A \to f^{n-1}B)\)

\(u\) épi \(\Rightarrow\) \(\mathrm{gr}^0(u)\) épi, car \(\mathrm{gr}^0(u) \simeq (A/fA \to B/fB)\)

\(\mathrm{gr}^0(u)\) mono ou épi \(\Rightarrow\) \(\mathrm{gr}^0(u)\) est un isom, car \(A/fA\) et \(B/fB\) de même rang.souligné par lui

\(\mathrm{gr}^0(u)\) un isom \(\Rightarrow\) \(\mathrm{gr}(u)\) un isom, car \(\mathrm{gr}^i(u) \simeq \lbrace \mathrm{gr}^0(u) \rbrace^{\ill{}}\) […]

\(\mathrm{gr}(u)\) un isom \(\Rightarrow\) \(u\) un isom bien connu. au-dessus de cette ligne, l'indication \(0 \leq i \leq n-1\)

Cor« Cor » est écrit au-dessus d'un mot biffé, lu Scol Pour tout \(i\), \(0 \leq i \leq n\), \(f^iA\) est le seul sous-objet de Tateun « B » est écrit en exposant après « Tate » de \(A\), de hauteur \(n-i\), et de rang \(\rho\) : en effet, un tel \(B\) est contenu dans \(f^iA = \mathrm{Ker}\, f^{n-i}\), et d'après ce qui précède, il lui est égal.

Cor dual : \(A/f^{n-i}A\) est […] le seul objet quotient de \(A\) qui est de Tate, de hauteur \(n-i\), de rang \(\rho\).

\(G\) schéma en groupes commutatif, plat loc. de présentation finie sur \(S\). Endom. \(f\), et entier \(n\) tel que \(f^n = 0\). Pour \(1 \leq j \leq n-1\) fixé,

Conditions équivalentes :

  1. (i)[\(\mathrm{Ker}\, f^j\) est plat, et] […] \(f^{n-j} : G \to \mathrm{Ker}\, f^j\) est fid. plat.
  2. (ii)\(\forall s \in S\), \((G_s, f)\) est un objet de T.A de hauteur \(n\) (dans la catégorie des […] groupes algébriques commutatifs sur \(k\)).

« T.A » pour « Tate » ; les crochets autour de « Ker \(f^j\) est plat, et » sont de lui

103Dém. Car (i) \(\Rightarrow\) (ii), car (i) implique que \(\mathrm{Ker}\, f_s^j = \mathrm{Im}\, f_s^{n-j}\), et on conclut par le lemme préliminaire.

(ii) (ii) \(\Rightarrow\) (i), car soit \(H = \mathrm{Ker}\, f^j\), considérons \(G \xrightarrow{g} H\) induit par \(f^{n-j}\) (existe, car \(f^n = 0\) i.e. \(f^j(f^{n-j}) = 0\)). Par l'hyp. (ii), il est fid. plat fibre par fibre. Comme \(G\) est plat de prés. finie sur \(S\) et \(H\) de prés. finie sur \(S\), on en conclut que \(g\) est plat fid. plat et \(H\) est plat,

Cor Ceci ne dépend pas du choix de \(j\), et les \(\mathrm{Ker}\, f^j\) sont plats, indiqués par le \(\mathrm{Ker}\, f^{j}/\mathrm{Ker}\, f^{j}\) […] et […] pour \(j \geq j'\), \(\mathrm{Ker}\, f^j / \mathrm{Ker}\, f^{j'}\) est représentable, comme schéma en groupes de type fini, et \(f\) dans \(G\) faisant […] […] […] plat, de la catégorie de Tate de hauteur \(n\).« (loc. cit.) » est écrit sous « hauteur \(n\) », souligné et relié par un trait à la ligne suivante ; la ligne commencée par « \(f\) dans \(G\) faisant » est surchargée

Cor \(G\) fini sur \(S\) : rang de Tate en un pt. Il y a un seul sous-objet de Tate de hauteur donnée \(i \leq n\), de \(\equiv\) rang \(\rho\).

Kif-Kif pour quotients.

Suites exactes d'objets de Tate

105\(G' \subset G \subset G''\)ainsi en tête de page ; le \(G\) du milieu est repassé

LaTeX source
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & G'_2 \arrow[r, hook] \arrow[d, "\alpha'"] & G_2 \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & G''_2 \arrow[r] \arrow[d, "\alpha''"] & 0 \\
0 \arrow[r] & G'_1 \arrow[r, hook] & G_1 \arrow[r] & G''_1 \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

à droite du diagramme, biffé d'un trait : « \(0 \to \mathrm{Ker}\, G''_1 \to\) »

\(p : G_2 \to G_2\) se factorise à travers \(G_1\), et s'annule sur \(G_1\), induit un isom \[ G_2/G_1 \xrightarrow{\ \sim\ } G_1 . \]

\(p : G'_2 \to G'_2\) se factorise : trouver \(G'_1\) (sur ou OK fibre par fibre), et s'annule sur \(G'_1\) (même raison) donc induit \[ G'_2/G'_1 \xrightarrow{\ \sim\ } G'_1 . \] « OK » d'une autre encre, brune

LaTeX source
\begin{tikzcd}
G'_2 \arrow[r, hook] \arrow[d, no head] & G_2 \arrow[d] \\
G'_1 \arrow[r, hook] & G_1
\end{tikzcd}

\[ \mathrm{Ker}\, \alpha'' \simeq \underbrace{(G'_2 \cap G_1)}_{\mathrm{Ker}\, p_{G'_2}}/G'_1 \simeq \mathrm{Ker}\,(G'_2/G'_1 \to G'_1) \]

\[ G'_2 = \overline{G'_{2\eta}}, \qquad G'_1 = \overline{G'_{1\eta}} = \overline{G'_{2\eta} \cap G_{1\eta}} \subset \overline{G'_{2\eta}} \cap \overline{G_{1\eta}} = G'_2 \cap G_1 = \mathrm{Ker}(p_{G'_2}) \] au-dessus du \(G'_2\) de l'avant-dernier membre, une surcharge illisible ; l'indice \(\eta\) y est corrigé

De \(\overline{G'_{2\eta} \cap G_{1\eta}}\) part un trait vers un encadré :

égalité ssi \(G'_2 \cap G_1\) plat\(/S\)

Les questions dans ce cas se ramènent à \(\mathrm{Ker}\, \alpha''\), qui est nul […] […] […].

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 \arrow[r] & \mathrm{Ker}\, \alpha'' \arrow[r] & G'_2/G'_1 \arrow[r] & G_2/G_1 \arrow[r] & G''_2/\mathrm{Im}\, G''_1 \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

sous \(G'_2/G'_1\), un signe \(=\) vertical et \(\widetilde{G}'_1\) ; sous \(G_2/G_1\), un \(\simeq\) vertical et \(G_1\) ; une flèche de \(G'_1\) monte vers \(G_1\), un trait relie \(G'_1\) à \(\widetilde{G}'_1\)

106page de brouillon, écrite dans plusieurs sens ; on donne les formules dans l'ordre où elles se laissent lire. Les quatre premières lignes, en anglais et au crayon, sont d'une écriture plus arrondie que le reste ; on ne peut pas dire d'après le feuillet si elles sont de lui

? Proof of 1st conj. :

(1)chiffre entouré Given \(0 \to \Phi' \to \Phi(G) \to \Phi'' \to 0\) (Galois-devissage), then can define \(G'\), \(G''\) so \(\Phi' = \Phi(G')\), \(\Phi'' = \Phi(G'')\).

\(f^{j}x\) \(f^j x = 0\), \(x = fy\), \(f^{j+1}y = 0\), \(y = fz\), \(f^{j+1}z = 0\) ; \(x = f^{n-j+1}t\), \(f^{n-1}t = 0\).

\[ \mathrm{Ker}\, f^j = \mathrm{Im} \qquad \mathrm{Ker}\, f = \mathrm{Im}\, f^{n-1} \] \[ \mathrm{Ker}\, f^j = \mathrm{Im}\, f^{n-j} \quad\overset{?}{\Longleftarrow}\quad \mathrm{Ker}\, f^{j+1} = \mathrm{Im}\, f^{n-j-1} \] entre les deux lignes, « \(\supset\) […] » et « \(\subset\) […] », puis un « \(\Downarrow\) ? »

\(f^{j+1}x = 0\) \(\left\lbrace \begin{array}{l} fx \in \mathrm{Ker}\, f^j \\ fx = f^{n-j}y \end{array}\right.\)

\[ (f^j)^{-1}(f^{n-j-1}A) = f^{n-j-1}A \] le membre de gauche est surchargé

Écrits verticalement, dans la marge gauche et au milieu : \(f^{j-1}x = 0\), \(f^{\ill{}}x = 0\), \(x = f^{\ill{}}y\) ; \(A/f^{j}A \xrightarrow[\sim]{f} fA\), \(fA/f^2A \xrightarrow{\sim} f^2A\) ; \((f^j)^{-1}(f^{\ill{}}A) = fA\) ; \(\mathrm{Ker}\, f^{\ill{}}\) ; pour \(n = 3\), \(f^3 = 0\), \(\mathrm{Ker}\, f = \mathrm{Im}\, f^2\).

Dans la marge droite, verticalement : \(\mathrm{Ker}\, f = \mathrm{Im}\, f^{n-1} \Rightarrow \mathrm{Ker}\, f^{j} = \mathrm{Im}\, f^{n-j}\), avec \(f^{j}x = 0\), \(x = f^{n-j}y\), et « i.e. \(f^{n-j}\left[ f^{\ill{}} \ill{} \right] = 0\) » ; […]une ligne biffée à l'encre brune.

Deux schémas de filtration, dessinés comme des segments gradués : \(A \supset fA \supset f^2A \supset \cdots \supset f^{n-j}A \supset f^{n-j-1}A \supset \cdots \supset f^{n-1}A \supset f^nA = 0\), et \(f^{j}A \supset f^{j-1}A \supset \cdots \supset f^{n-1}A\), chacun avec une accolade regroupant une partie des crans. dessins redécrits, non reproduits

107Conditions équivalentes

« f*) » corrige une lettre surchargée ; sous la flèche de e*), un mot lu épim

sous un trait horizontal, un encadré à gauche contient les notes suivantes, dispersées

\[ (\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})_\eta \simeq G_{2\eta} \] \(G_{\eta s}\) pureme infinitésimal et unipotent.

\(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \alpha_p\), \(G'_\eta \xrightarrow{p} G'_\eta\), \(G'_s \xrightarrow{p} G'_s\), \(VF = p\).

\(C \xrightarrow{u} C\), \(u_s = F\) ; \(C \xrightarrow{F} C^{(p)} \xrightarrow{V} C\) ; \(C = C^{(p)}\) ? \(F\) \(FV = p\).

\[ V = uF, \qquad F = u^{-1}V, \qquad V^2 = up, \qquad F^2 = u^{-1}p \] sous \(F = u^{-1}V\), une ligne biffée : \(VF = u\) ; un triangle \(C \xrightarrow{F} C\), \(u \uparrow\), \(C \xrightarrow{V}\) ; en haut à gauche de l'encadré, un faisceau de droites concourantes

Morphismes formellement lisses

109\[ 0 \to N \to G \xrightarrow{u} H \to 0 \quad \not\Longrightarrow \quad \mathrm{Ker}\ \text{\uncertain{est}}\ \text{\uncertain{lisse}} \] au-dessus de la fin de ligne, entouré : « formellement »

\(G(\hat{S}) \to H(\hat{S})\)

\(G \to H\) \(\Phi(G) \to \Phi(H)\) surj.

\(G \xrightarrow{u} H\) homom. de gpes invariable […] sur le T.E.

Conditions équivalentes

une accolade réunit a) et b) à gauche

Conférence à Nice

112en haut à droite, encadré, de sa main : « Conférence à Nice » ; titre souligné

Groupes de Barsotti-Tate [\(p\) fixé]

1) \(\mathrm{fppf}\) sur \(S\).

\(G\) groupe de B.T. si

Alors les \({}_{p^n}G = G(n)\) le sont aussi : si \(G(1)\) de rang \(p^d\), alors \(G(n)\) de rang \(p^{nd}\) ; on a \(G = \varinjlim_n G(n)\).

Exemple important : \(A\) schéma abélien, \[ G(n) = {}_{p^n}A, \qquad G = {}_{p^\infty}A . \]

2) Th. de Serre-Tate \[ S_0 \hookrightarrow S \qquad A \longmapsto (A_0, {}_{p^\infty}A, \varphi) \] une équivalence de catégories.sous \(S_0 \hookrightarrow S\), en petit, lu défini de com. \(p\)

2) Groupe formel \(\widehat{G}\) associé à un groupe de B.T.

3) Cristaux. Puissances divisées sur un idéal \(I\) : \(x^{(n)}\) (\(n \geq 0\)) \(\left(\frac{x^n}{n!}\right)\), \(x^{(0)} = 1\), \(x^{(1)} = x\), \(x^{(n)} \in I\), \[ \left\lbrace \begin{array}{l} (x+y)^{(n)} = \sum_{i+j=n} x^{(i)} y^{(j)} \\ (\lambda x)^{(n)} = \lambda^n x^{(n)} \\ \dots \end{array}\right. \] \(I^{(n)}\) idéal […] engendré par les monômes de poids \(\geq n\) en les \(x^{(i)}\) (\(x \in I\)).

Site cristallin absolu […]

puiss. div. nilpotentes : \(I^{(n)} = 0\) si \(n\) grand

—— quasi-nilpotentes : \(I^{(n)}\) de torsion pour \(n\) grand, i.e. \((n-1)!\, I^{(n)} = 0\).

exponentielle : \(\exp(x) = \sum_{n \geq 0} x^{(n)}\), \(\log(1+x) = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} (n-1)!\, x^{(n)}\) ok si p.d. nilp. ; ok —— quasi-nilp.

Site cristallin (absolu) [relatif] : […] On exige que les p.d. soient compatibles aux habituelles… sous la ligne, deux mots lus nilpot. et « Berthelot », avec […]

début de Théorie cohomologique (cf. Illusie) développée par Berthelotécrit en oblique dans la marge inférieure gauche ; les mots « début de » sont lus avec doute

113Cristaux de Modules [loc. libres] = Modules loc. libres sur le site cristallin.

Ex. 1 \(S\) schéma \(= \mathrm{Spec}\, A_0\), \(A_0\) anneau parfait de car. \(p > 0\).

\(A = W(A_0)\), alors les cristaux sur \(A_0\) sont les Modules loc. libres sur \(A\).

Ex. 2 \(X_0\) lisse sur corps parfait \(k\), \(W = W(k)\), \(\mathcal{X}\) relevant \(X_0\) en schéma formel lisse sur \(W\), [et \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) relevant Frobenius […] \(\sigma_W\)-linéaire de \(\mathcal{X}\)]. Un cristal est un module loc. libre \(M\) sur \(\mathcal{X}\), avec connexion à courbure nulle rel\(/W\).

Ce sont des genres d'animaux étudiés rencontrés naturellement par Dwork, Katz, … […]

4)

I) \(S\) schéma avec \(p\) loc. nilpotent. On définit « foncteur de Dieudonné » \[ \mathrm{BT}(S)^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Cris\,Mod\,loc\,lib}(S), \qquad G \longmapsto \mathbb{D}(G) \] compatible avec chgt. de base.

II) […] \(S\) de car. \(p\), alors \(M = \mathbb{D}(G)\) est muni de \(F_M\), \(V_M\) avec \[ F_M V_M = p\,\mathrm{id}, \qquad V_M F_M = p\,\mathrm{id} \] i.e. \(\mathbb{D}(G)\) est un cristal de Dieudonné.

Il se pourrait que le foncteur \[ \mathrm{BT}(S)^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Cris\,Dieud}(S) \] soit pleinement fidèle, et j'ai une idée de ce que pourrait être l'image essentielle…

114III) Dans le cas où \(S = \mathrm{Spec}(k)\), \(k\) corps parfait de car. \(p > 0\), on retrouve le foncteur de Dieudonné habituel.

IV) (Définitions…) \(\mathbb{D}(G)_S\) est filtré par \[ 0 \to \omega_{G^{\ill{}}} \to \mathbb{D}(G)_S \to \check{\omega}_{G^*} \to 0 \] les exposants du premier \(\omega\) et de son indice sont surchargés

Soit \(S_0 \hookrightarrow S\) défini par […] idéal muni de p. div. ; supposons [que \(p\) soit loc. nilpotent sur \(S\), et] que les p. div. soient […] […].

Pour les groupes \(G_0\) tels que les fibres soient composées toroïdales, ou que les fibres de \(G_0\) soient connexes, prolonger \(G_0\) en \(G_0\) relevant, i.e. donner \(G\) qui prolonge \(G_0\), « la même chose » que de prolonger la filtration de \(\mathbb{D}(G_0)_S\).

V) Prenons les groupes de BT à isogénie près. Supposons \(A\) noethérien et complet pour la top. \((p\,A)\)-adique, \(A_0 = A/pA\). Alors foncteur \[ G \longmapsto (G_0,\ \text{filtration sur}\ \mathbb{D}(G_0)_A) \] de \(\mathrm{BTisog}(S) \longrightarrow \ill{}\) est pleinement fidèle.

Cas d'un anneau de val. discrète local complet (à corps résiduel parfait de car. \(p > 0\) ; anneau de val. discrète) : groupe de B.T. est connu quand on connaît \(G_0\) sur \(k\) (i.e. module de Dieud. \(M\) sur \(k\)) et une filtration sur \((M \otimes_W A)_p\). la parenthèse sur l'anneau local complet est une insertion interlinéaire, reliée par un trait au mot « anneau »