Fonds Grothendieck, cote n° 129, pages 81–100

feuillet manuscrit à l'encre bleue, qui commence en cours d'exposé ; « ceci » renvoie à ce qui précédait, qui ne se trouve pas dans le dossier

Si k est un corps parfait, ceci donne une décomposition canonique en somme directe G \simeq G_{\mathrm{et}} \times G_{\mathrm{mult}} \times G_{\mathrm{bi}} et la catégorie des G est donc équivalente au produit des trois catégories correspondantes.

G_{\mathrm{et}} et G_{\mathrm{mult}}, structure connue par théorie de Galois.

G_{\mathrm{bi}} ? Donné par théorie de Dieudonné. \left\lbrace \begin{array}{ll} F_G \text{ nilpotent} \Longleftrightarrow G_{\mathrm{et}} = 0 \text{ i.e.\ } G^{*} \text{ unipotent} & \quad F_G \text{ isom} \Longleftrightarrow G \text{ ét.} \\ V_G \text{ nilpotent} \Longleftrightarrow G_{\mathrm{mult}} = 0 \text{ i.e.\ } G \text{ unipotent} & \quad V_G \text{ isom} \Longleftrightarrow G \text{ de m.} \end{array} \right. préciser ce que ça veut dire, en introduisant Frob. et Versch. itérés. la note marginale, à gauche, est reliée par un trait aux deux mots « nilpotent », cerclés

4. Théorie de Dieudonné : le th. d'équivalence.

On donne k corps parfait de car. p > 0. La théorie de Dieudonné fournit une (anti)équivalence « anti » est ajouté au-dessus de « équivalence », dans l'interligne p\text{-}\mathrm{Grf}(k) \xrightarrow{\;\approx\;} \left\lbrace \begin{array}{l} \text{catégorie des modules de longueur} \\ \text{finie } M \text{ sur } W, \text{ munis de} \\ F_M, V_M : M \to M \text{ satisfaisant} \\ \quad F\lambda = \lambda^{\sigma} F,\ \lambda V = V \lambda^{\sigma} \\ \quad FV = p\cdot\mathrm{id},\ FV = p\cdot\mathrm{id} \end{array} \right. \qquad G \longmapsto D^{*}(G) « FV = p\cdot\mathrm{id} » est écrit deux fois ; la seconde est sans doute pour VF

Interprétation : M^{\sigma} \overset{F_M}{\underset{V_M}{\rightleftarrows}} M

De plus, compte tenu que D^{*} commute aux changements de base, donc D^{*}(G^{(p)}) \simeq D^{*}(G)^{(p)} : F_{D^{*}(G)} = D^{*}(F_G), \qquad V_{D^{*}G} = D^{*}(V_G) « compte tenu que D^{*} commute » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; dans D^{*}(F_G) la lettre F est tracée en ronde

d'où le dictionnaire : \left\lbrace \begin{array}{lcl} G \text{ unipotent} & \Longleftrightarrow & V_M \text{ nilpotent} \\ G^{*} \text{ unipotent} & \Longleftrightarrow & F_M \text{ nilpotent} \\ G \text{ étale} & \Longleftrightarrow & F_M \text{ isom} \\ G^{*} \text{ étale} & \Longleftrightarrow & V_M \text{ isom} \end{array} \right. i.e. G gr. de m. cette dernière ligne est écrite au ras du bord inférieur du feuillet, en partie coupée

feuillet de papier listing sans mathématiques ; seule une inscription au crayon, en haut à droite : « III Propriétés Générales des B.T. ». Comme celle de la page 76 (« I, II / Vecteurs de Witt et théorie de Dieudonné »), elle désigne le chapitre qui suit dans le plan du cours dactylographié de la page 77

tapuscrit original (ruban), de la même série que les pages 77 et 79–80 ; transcrit en entier dans ce lot, pour les raisons données dans l'en-tête du fichier. Les mots que la machine a surfrappés de « x » sont donnés comme biffés quand ils se lisent ; les interventions manuscrites sont signalées en note

Exemples de groupes de BT.

a) Soit G un schéma en groupes lisse sur S, ~~à fibres~~ extension d'un schéma abélien A par un tore T. Alors p.\mathrm{id}_G est un épimorphisme, et les G(n) = \mathrm{Ker}\, p^n \mathrm{id}_G sont des groupes finis localement libres (commencer par cas d'un schéma abélien). Donc G(\infty) = \lim G(n) est un groupe de BT. Cas important : \mu = \underline{G}_m(\infty). « A » et « T » sont ajoutés au crayon au-dessus de la ligne ; après « libres », une bulle au crayon reliée par un trait : « si A (T) de dim. relative a (m), G(\infty) de rang 2a+m. » ; une coche devant « Cas important » ; le \mu est retracé à la main sur un mot tapé et noirci

b) Supposons que S soit ~~à caractéristiques résiduelles égales à p~~ tel que p soit loc. nilpotent sur S, et soit G un groupe de Lie formel sur S (cette notion sera précisée plus tard, pour ceux qui ne la connaîtraient pas encore …). On a alors G = G(\infty) = \lim G(n). Supposons que p.\mathrm{id}_G soit un épimorphisme ; lorsque S est artinien local, comme unique point s \in S, l'hypothèse revient à dire que p.\mathrm{id}_{G_s} dans G_s est un épimorphisme, ou encore que G_{\bar s} ne contient pas de sous-groupe de Lie formel isomorphe à \underline{G}_a. (Mais si S n'est pas réduit à un point, p. ex. si S est un trait, la condition que p.\mathrm{id}_G soit un épimorphisme n'est pas une simple condition fibre par fibre. Prendre par exemple le groupe de Lie formel associé ~~au groupe~~ à la courbe elliptique modulaire, au voisinage d'un point de Hasse nul … (*)) Il devrait être vrai que ~~les~~ G(1) dont les G(n) sont finis localement libres (plus généralement, si on a un épimorphisme de groupes de Lie formels de même dimension relative, le noyau devrait être fini localement libre, et réciproquement …). C'est en tous cas le cas si S est artinien ; supposons cette condition supplémentaire vérifiée. On trouve alors que G est un groupe de BT ~~G(\infty)~~. De plus, les G(n) sont radiciels, et on prouvera par la suite que l'on trouve une équivalence entre la catégorie des groupes de BT G sur S tel que G(1) soit radiciel (ou ce qui revient au même, les G(n) le soient – on dit alors que G est à fibres connexes), et la catégorie des groupes de Lie formels G sur S tels que p.\mathrm{id}_G soit un épimorphisme et tel que G(1) soit fini localement libre (ces deux « de Lie » et « On a alors G=G(\infty)=\lim G(n). » sont tapés dans l'interligne ; les parenthèses qui encadrent cette dernière phrase et la phrase suivante sont tracées à la main. « que G est » est tapé dans l'interligne. « prouvera par la suite que l' » est écrit au crayon au-dessus de « trouve », relié par une parenthèse ; le « G » de « formels G sur S » est tapé au-dessus d'une barre d'insertion manuscrite. « dont les G(n) » est sans doute pour « donc les G(n) » (*) La condition suppl. à rajouter devrait être : fibres de « hauteur » localement constante. note au crayon, au pied du feuillet, appelée par le (*) cerclé à la main après « Hasse nul »

conditions supplémentaires étant sans doute équivalentes). Le rang de G comme groupe de BT s'appelle la hauteur du groupe formel. ajout à l'encre, en bout de ligne et dans l'interligne

c) Groupes de BT ind-étales : par G \mapsto T_p(G), la catégorie en question équivaut à celle des faisceaux p-adiques (étales) constants tordus sans torsion ; si S est connexe muni d'un point géométrique \bar s, cette catégorie équivaut à celle des représentations continues de \pi_1(S, \bar s) par des modules libres de type fini sur \underline{\mathbb{Z}}_p. la flèche de G \mapsto T_p(G) manque à la frappe

Groupes de BT de t.m. ou « toroïdaux » : si G(1), donc les G(n), sont de type multiplicatif. Associant à un tel G le système projectif des G(n)^{*}, on trouve une (anti)équivalence entre cette catégorie et la catégorie des faisceaux p-adiques constants tordus sans torsion. Composant avec le foncteur F \mapsto \check F, on trouve une équivalence au lieu d'une antiéquivalence, qui peut aussi s'expliciter comme ~~G \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\ldots, G)~~ G \longmapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mu, G) \overset{\mathrm{dfn}}{=} \bigl(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mu(n), G(n))\bigr)_{n \geq 1} \quad \text{(abus de notation)} . « anti » est tapé au-dessus de « équivalence », avec une barre d'insertion à la main ; une coche au-dessus de \check F ; les deux \mu sont retracés à la main ; au bout de la ligne biffée, une parenthèse manuscrite,

Noter que si les car. rés. sont p, alors les groupes de BT toroïdaux sont ~~infinitésimaux~~ à fibres connexes (et réciproquement). (s'il en est ainsi, car. rés. sont p) une croix au crayon dans la marge gauche ; la parenthèse manuscrite, glissée sous « groupes de BT toroïdaux », est reliée à « (et réciproquement) »

d) Groupes de BT comme extension d'un groupe ind-étale par un groupe de Lie formel.

Supposons d'abord S ~~artinien~~ réduit à un point s. Alors pour tout groupe fini H sur S, H^{\circ} est un sous-groupe, dépendant fonctoriellement de H. Si H est fini localement libre, de même H^{\circ}, et H/H^{\circ} est un groupe fini localement libre (cf. SGA 3 VI_A …), qui est étale. Ainsi H s'écrit canoniquement et fonctoriellement comme extension d'un groupe étale par un groupe infinitésimal (tout fini localement libre). Si k(s) est de car. p > 0, alors procédant par dualité, on trouve un sous-groupe G^{\mathrm{tm}} de G^{\circ} = G^{\mathrm{inf}}, qui est le plus grand sous-groupe de t.m. de G, d'où une filtration à trois crans (qu'on avait eu le tort de ne définir précédemment que sur un corps de base). Passant maintenant à la le « s » de « point s » est ajouté à la main au-dessus de la ligne

limite, on voit que tout groupe de BT G sur S ~~est extension d'un groupe de BT …~~ admet une filtration par des sous-groupes de BT G^{\circ} = \lim G(n)^{\circ} (plus grand sous-groupe de BT à fibres connexes) et (si car. k(s) = p) G^{\mathrm{tm}} = \lim G(n)^{\mathrm{tm}} (plus grand sous-groupe de BT ~~à fibres~~ toroïdal), canonique et fonctorielle en G. En particulier, il est extension d'un groupe de BT ind-étale G/G^{\circ} par le groupe de BT à fibres connexes G^{\circ}, qui peut s'interpréter (si k(s) de car. p et l'idéal maximal de \underline{O}_{S,s} nilpotent, p. ex. S noethérien) comme un groupe de Lie formel, et il pourra même s'interpréter comme extension triple d'une ind-étale par un connexe unipotent par un toroïdal. « pour les G(n) » est tapé dans l'interligne au-dessus de « limite », et « (si car. k(s)=p) par » au-dessus de « et » ; des traits à la main indiquent leur place

Sur une base non ponctuelle (p. ex. un trait de car. p) , il n'est plus vrai en général qu'un groupe de BT G ~~admette~~ soit extension d'un groupe de BT ind-étale par un groupe de BT à fibres connexes. Il suffit encore de prendre le groupe A(\infty), A courbe elliptique modulaire en car. p : l'ennui provient encore des points où A_s est d'invariant de Hasse nul. On a la

Proposition. Conditions équivalentes sur le groupe de BT G sur S :

(i)G est extension d'un groupe de BT ind-étale par un groupe de BT à fibres connexes. (ii)Pour tout n, G(n) est extension d'un groupe fini étale par un groupe fini radiciel. (iii)Kif-kif avec n = 1. (iv)La fonction s \mapsto \mathrm{rang\ sép}\, G_s = \mathrm{card}\, G(\bar s) est localement constante.

Résulte facilement du résultat suivant (qui figure dans EGA IV ?) :

Lemme. Si X \to S est un morphisme fini localement libre, alors X \to S se facto-

rise en un morphisme ~~radiciel~~ étale suivi d'un morphisme radiciel surjectif sss la fonction s \mapsto \mathrm{rang\ sép}\, G_s est localement constante. La factorisation obtenue est alors unique et fonctorielle en G, ~~et les facteurs qui y interviennent~~ (d'où résulte que si G est un schéma en groupes, la factorisation est une structure d'extension de groupes ; de plus G^{\text{ét}} et G^{\circ} sont alors foncteurs exacts en G pour suites exactes courtes). « surjecti[f] » est tapé en bout d'interligne, relié à la main à sa place ; le reste du feuillet est blanc

Proposition (i) Toute extension d'un groupe de BT par un autre est un groupe de BT.

(ii) Pour tout monomorphisme de groupes de BT, le conoyau est de BT.

~~(iii) Pour tout épimorphisme de groupes de BT, le noyau est de BT. En d'autres termes,~~ Si on a une suite exacte courte 0 \to G' \to G \to G'' \to 0 ~~avec deux des termes de BT, le troisième l'est.~~ On a une suite exacte 0 \to G'(1) \to G(1) \to G''(1) \to G'/pG' \to G/pG \to G''/pG'' \to 0 qui dans les deux cas envisagés montre qu'on a 0 \to G'(1) \to G(1) \to G''(1) \to 0 , d'où le fait que G(1) (resp. G''(1)) est fini loc. libre. D'autre part il est clair que G (resp. G'') est p-divisible et de p-torsion, cqfd. les trois derniers termes de la longue suite exacte sont encadrés d'un crochet au crayon

Rang ou hauteur d'un groupe de BT. Le rang de G(1) est de la forme p^r en chaque point (r une fonction localement constante sur S). On appelle r le rang ou la hauteur du groupe de BT. On notera que G(n) est de rang p^{rn}.

même série de tapuscrits ; la page 88 est blanche

2. Sur certains schémas en groupes finis loc. libres en car. p. (Applications aux BT) « Applications aux BT » est tapé au-dessus du titre, entouré d'une parenthèse et suivi d'une coche, à la main

Proposition 2.1. Cf. prop. 14 des Notes I

Proposition 2.2. Cf. prop. 1 des Notes I, en introduisant la notation G[i] = \mathrm{Ker}\, \underline{f}^i_G. Fixant i avec 1 \leq i \leq n-1, on a équivalence (si G = G[n]) :

(i)\underline{f}^i_G : G \to G[n-i]^{p^{n-i}} est plat (donc fid. plat). (i bis)L'homomorphisme précédent est couvrant. (ii)Gradué associé : point de vue faisceautique (ii bis)Gradué associé : point de vue schémas en groupes.

entre (i bis) et (ii), une ligne surfrappée : ~~(ii) Les groupes G[i] sont tous plats (donc les … libres) sur S,~~ ; les crochets de G[i] sont tracés à la main ; le F de « faisceautique » est repassé à l'encre bleue ; sous (ii bis), au crayon, « f » suivi de tirets : ligne laissée à compléter

NB Un tel groupe est lisse à l'ordre p^n - 1. Conjugant 2.1 et 2.2, on trouve donc :

Corollaire 2.3. Soit G un groupe de BT sur S de car. p. Alors pour tout entier n > 0, G(n) est lisse à l'ordre p^n - 1 sur S, et on a \mathrm{Inf}^k(G) \subset G[n] pour k \leq p^n - 1. G[n] \overset{\mathrm{dfn}}{=} G(n)[n] = G(i)[n] pour i \geq n note au crayon dans la marge gauche, reliée par un trait au « G[n] » du corollaire ; en dessous, un « G(n) » cerclé

3 Comme corollaire de 2.2 ~~et de 1.4~~, on trouve :

Proposition 2.4. La catégorie des groupes de Lie formels (comm) G sur S de car. p est équivalente à la catégorie des systèmes inductifs \underline{f}-coadiques de schémas en groupes finis localement libres G[n] sur S satisfaisant les conditions équivalentes de 2.2. « Proposition » est tapé au-dessus de « Corollaire » surfrappé ; le « 3 » tapé est surfrappé ; « et de 1.4 » est barré à la main ; le G inséré est écrit à la main et cerclé

Conjugant avec 2.3, on trouve :

Théorème 2.5. Soit G un groupe de BT sur S de car. p. Alors on a \overline{G} \overset{\mathrm{dfn}}{=} \mathrm{Inf}^{\infty}(G) = \varinjlim G(n)[n] est un groupe de Lie formel sur S tel que \overline{G}[n] = G(n)[n]. Pour k \leq p^n - 1, on a \mathrm{Inf}^k G = \mathrm{Inf}^k \overline{G} = \mathrm{Inf}^k G(n) \subset G(n)[n] \subset G(n) . « Théorème » est tapé au-dessus de « Proposition » surfrappé ; la flèche sous « lim » est tracée à la main. Sous G(n)[n], à l'encre bleue : « = G[n] = \overline{G}[n] » Donner relation d + d^{*} = h au crayon, en oblique, dans un cercle en marge gauche

4. ~~Théorie~~ Déformations de groupes de BT : énoncés.

Le résultat principal, qui sera essentiel pour la théorie de Dieudonné, est le suivant (cf lettre Illusie, 6.4) :

Théorème 4.1. Soit S_0 \hookrightarrow S une nilimmersion, avec S affine, G_0 un groupe de BT sur S_0. Alors :

a)Il existe un groupe de BT G sur S qui prolonge G_0. b)L'application (*) \qquad E(G_0, S) \longrightarrow E(G_0(n), S) est surjective. c)Si \mathcal{I} est nilpotente d'ordre k et si p^N 1_{S_0} = 0, alors l'application (*) est bijective pour n \geq kN. d)Si de plus k = 1, alors E(G_0, S) est un torseur sous \underline{t}_{G_0^{*}} \otimes \underline{t}_{G_0}.

Ce résultat s'obtient via un résultat de déformation pour les groupes de BT tronqués (je ne sais pas procéder directement !). le \mathcal{I} de c) est tapé « i » ; le premier facteur du torseur de d) est surchargé à la frappe

5. Rapport sur le complexe cotangent relatif. le reste du feuillet est blanc ; les pages manuscrites 91 et suivantes reprennent ce titre

Complexe cotangent relatif

titre souligné, de sa main, en tête de la page 91 ; les pages 91 à 100 sont manuscrites, au crayon ou à l'encre, et la page 90 annonçait au n° 5 un « Rapport sur le complexe cotangent relatif »

(A) Définition admise L^{X/Y}_{\bullet} « dérivé » du foncteur \Omega^1_{X/Y}. Fonctorialité. le A est cerclé ; L porte un point en indice, qu'on rend par L_{\bullet}

Calcul tronqué \tau_{\leq 1}(L^{X/Y}_{\bullet}) par immersion dans formt lisse.

Quasi-cohérence, cohérence. ces deux mots sont ajoutés serrés au-dessus de la ligne suivante

Cas intersection complète relative : \mathcal{H}_i(L^{X/Y}_{\bullet}) = 0 si i \geq 2.

Triangle exact de transitivité et suite exacte longue associée.

Changement de base \begin{array}{ccc} X & \longleftarrow & X' \\ {\scriptstyle f}\downarrow & & \downarrow \\ S & \xleftarrow{\;g\;} & S' \end{array} dans le cas \mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_S}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_{S'}) = 0 pour i > 0 (p. ex. f ou g plat). la condition sur les Tor est reliée par un long trait à « Changement de base » ; à gauche de la flèche verticale, une petite lettre illisible,

Application 2. Prolongement d' \begin{array}{ccc} X & \xleftarrow{\;f_0\;} & Y_0 \\ \big| & \overset{f\,?}{\nwarrow} & \big\uparrow \\ S & \longleftarrow & Y \end{array} \qquad Y_0 = V(\mathcal{J}),\ \mathcal{J}^2 = 0 la flèche Y \to X, marquée « f\,? », est tirée en pointillé : c'est le prolongement cherché ; la flèche de droite est l'immersion Y_0 \hookrightarrow Y

a)Obstruction dans \mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{Y_0}}(Lf_0^{*}(L^{X/S}_{\bullet}), \mathcal{J}) b)Indétermination dans \mathrm{Ext}^0_{\mathcal{O}_{Y_0}}(Lf_0^{*}(L^{X/S}_{\bullet}), \mathcal{J})

Application 1. \left\lbrace \begin{array}{l} \mathrm{Ext}_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{O}_X, \mathcal{J}) \simeq \mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(L^{X/S}_{\bullet}, \mathcal{J}) \\[2pt] \text{autom.\ d'une extension} \simeq \mathrm{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(L^{X/S}_{\bullet}, \mathcal{J}) = \mathrm{Hom}(\Omega^1_{X/S}, \mathcal{J}) \end{array} \right. les applications sont numérotées dans l'ordre 2, 1, 3 sur la page ; l'ordre de la page est gardé

Application 3. Déformations plates \begin{array}{ccc} X_0 & \longleftarrow & X\,? \\ \downarrow & & \downarrow \\ S_0 & \longleftarrow & S \end{array} \qquad S_0 = V(\mathcal{J}),\ \mathcal{J}^2 = 0 la flèche de droite est en pointillé ; « =V(\mathcal{J}), \mathcal{J}^2=0 » est écrit sous S_0

a)Obstruction à déformer \in \mathrm{Ext}^2_{\mathcal{O}_{X_0}}(L^{X_0/S_0}_{\bullet}, \mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} \mathcal{O}_{X_0}) b)Indétermination pour déformer \in \mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{X_0}}(L^{X_0/S_0}_{\bullet}, \mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} \mathcal{O}_{X_0}) c)Autom. d'une déformation \mathrm{Ext}^0_{\mathcal{O}_{X_0}}(L^{X_0/S_0}_{\bullet}, \mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} \mathcal{O}_{X_0})

Lier avec Ex. ? en bas à gauche, relié par une flèche à l'indétermination b)

(B) Cas des groupes (commutatifs pour fixer les idées) plats. le B est cerclé

introduit par Mazur-Roberts On pose \begin{array}{ll} \ell^{G/S}_{\bullet} = \mathbb{L}e^{*}(L^{G/S}_{\bullet}) & \quad \text{complexe de co-Lie} \\ \check{\ell}^{G/S}_{\bullet} = \mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(\ell^{G/S}_{\bullet}, \mathcal{O}_S) & \quad \text{— id. — Lie} \end{array} à droite des deux lignes, séparé par un trait vertical : « variances » ; le second « complexe de » est rendu par un trait qui répète la ligne du dessus

Si G est loc. de prés. finie sur S, il est d'inters. complète rel. et on a \left\lbrace \begin{array}{ll} \ell^{G/S}_{\bullet} \text{ parfait d'ampl.\ parfaite} & \subset [-1,0] \\ \check{\ell}^{G/S}_{\bullet} \quad \text{— id. —} & \subset [0,1] \end{array} \right.

Notation. \left\lbrace \begin{array}{l} \underline{\omega}_G = \underline{H}_0(\ell^{G/S}_{\bullet}) \\ \underline{n}_G = \underline{H}_1(\ell^{G/S}_{\bullet}) \\ \underline{t}_G = \underline{H}^0(\check{\ell}^{G/S}_{\bullet}) \\ \underline{\nu}_G = \underline{H}^1(\check{\ell}^{G/S}_{\bullet}) \end{array} \right. \qquad t_G = \check{\omega}_G, \quad \underline{n}_G = \check{\nu}_G au-dessus de l'accolade, un premier essai effacé (\underline{\omega}_G, \underline{n}_G) \mathrm{rg}\, \ell^{G}_{\bullet} = \dim G \qquad (= \mathrm{rg}\, \underline{\omega}_G - \mathrm{rg}\, n_G \text{ quand } \underline{\omega}_G, \underline{n}_G \text{ sont loc.\ libres}).

Suite exacte de transitivité : Une suite exacte 0 \to G' \to G \to G'' \to 0 de schémas en groupes plats implique une suite exacte \begin{array}{ccc} & \ell^{G'}_{\bullet} & \\ {\scriptstyle 1}\swarrow & & \nwarrow \\ \ell^{G''}_{\bullet} & \longrightarrow & \ell^{G}_{\bullet} \end{array} triangle distingué ; la flèche \ell^{G'} \to \ell^{G''} porte le degré 1 d'où, si G' loc. de prés. finie, suite exacte courte 0 \to n_{G''} \to n_{G} \to n_{G'} \to \omega_{G''} \to \omega_{G} \to \omega_{G'} \to 0 les deux premiers indices sont surchargés ; lecture n_{G''} \to n_G \to n_{G'} d'après l'ordre des \omega

Formule remarquable \boxed{\mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(\ell^{G}_{\bullet}, \mathcal{J}) \simeq \tau_{\leq 1}\, \mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(G^{*}, \mathcal{J})} Faisceau \mathcal{J} sur S, G \mapsto G^{*} ; \left\lbrace \begin{array}{l} \underline{\mathrm{Hom}}(G^{*}, \mathcal{O}_S) \simeq \underline{t}_{G^{*}} \\ \underline{\mathrm{Ext}}^1(G, \mathcal{O}_S) \simeq \underline{\nu}_G \end{array}\right. note écrite le long du bord gauche, en bas, dans un cadre ; la seconde ligne a pour argument G ou G^{*}, la lecture n'est pas sûre

Lien avec théorie de Dieudonné (sur corps parfait)

Si D^{*}(G) = M, on aurait \begin{array}{cccccccccccccc} 0 \to & ({}_F M)^{(p)} & \to & ({}_p M)^{(p)} & \xrightarrow{F} & {}_V M & \to & M_F & \xrightarrow{V} & (M_p)^{(p)} & \to & (M_V)^{(p)} & \to 0 \\ & \wr\| & & \wr\| & & \wr\| & & \wr\| & & \wr\| & & \wr\| & \\ 0 \to & \underline{n}_G & \to & D^{*}(G_p)^{\vee} & \to & t_{G^{*}} & \to & \omega_G & \to & D^{*}(G_p) & \to & \nu_{G^{*}} & \to 0 , \end{array} les deux indices p de D^{*}(G_p) sont ajoutés à l'encre bleue ; les isomorphismes verticaux sont notés \simeq couchés ; les deux premiers termes de la ligne du haut sont peu lisibles, lecture ({}_F M)^{(p)} et ({}_p M)^{(p)} incertaine

en fait on aurait \ell^{G}_{\bullet} \simeq \mathcal{D}/F\mathcal{D} \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathcal{D}} M, \qquad \mathcal{D}/F\mathcal{D} \simeq k_{\sigma}[V] « \simeq k_\sigma[V] » est écrit sous \mathcal{D}/F\mathcal{D} ; l'indice de k est lu \sigma sans certitude

et un isom. de triangles exacts \begin{array}{ccc} & \check{\ell}^{G^{*}}_{\bullet} & \\ {\scriptstyle ?}\swarrow & & \nwarrow \\ \ell^{G}_{\bullet}[-1] & \longrightarrow & \Delta^{*}(G) \end{array} \qquad \text{et} \qquad \begin{array}{ccc} & \mathcal{D}/V\mathcal{D} \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathcal{D}} M & \\ {\scriptstyle 1}\swarrow & & \nwarrow \\ \mathcal{D}/F\mathcal{D} \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathcal{D}} M & \longrightarrow & \mathcal{D}/p\mathcal{D} \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathcal{D}} M \end{array} le sommet du second triangle est lu \mathcal{D}/V\mathcal{D} sans certitude (la lettre est surchargée) ; la flèche de gauche du premier triangle porte « ? » au lieu du degré

Le triangle de gauche, avec un \Delta^{*}(G) d'ampl. parfaite \subset [0,1], devrait exister sur toute base.

(C) Application aux déformations de groupes comm. plats (Deligne-Illusie) le C est cerclé ; « comm. » est ajouté au-dessus de « plats », avec un signe d'insertion cf ma lettre à Illusie

(0) Déformations de torseurs sous groupes plats de prés. finie : \mathrm{Ext}^0(\ell^{G}_{\bullet}, \mathcal{J}), \mathrm{Ext}^1(\ell^{G}_{\bullet}, \mathcal{J}). cette ligne, numérotée d'un 0 cerclé, est ajoutée à l'encre bleue entre le titre et le (1) ; le premier argument du premier Ext est surchargé, lecture \ell^{G}_{\bullet} d'après le second

(1) Prolongement d'homomorphismes de groupes plats \begin{array}{ccc} G_0 & \xrightarrow{\;u_0\;} & H_0 \\ & \searrow \swarrow & \\ & S_0 & \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{ccc} G & \overset{u\,?}{\dashrightarrow} & H \\ & \searrow \swarrow & \\ & S & \end{array}

a)Obstruction dans \mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{S_0}}(G_0, \check{\ell}^{H_0}_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{J}) b)Indétermination dans \mathrm{Ext}^0_{\mathcal{O}_{S_0}}(G_0, \check{\ell}^{H_0}_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{J})

sous les deux Ext, l'indice de base est surchargé (un premier indice raturé)

(2) Déformations de groupes plats \begin{array}{ccc} G_0 & \longleftarrow & G\,? \\ \big| & & \big| \\ S_0 & \longleftarrow & S \end{array}

a)Obstruction dans \mathrm{Ext}^2_{\mathcal{O}_{S_0}}(G_0, \check{\ell}^{G_0}_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathcal{J}) b)Indétermination dans \mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{S_0}}(\ ,\ ) \bigl(\underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\omega}_{G_0}, \mathcal{J})\bigr) c)Autom. d'une solution : \mathrm{Ext}^0_{\mathcal{O}_{S_0}}(\ ,\ ) = \mathrm{Hom}(G_0, \ )

les arguments de b) et c) sont laissés en blanc ; « (\underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\omega}_{G_0}, \mathcal{J})) » est ajouté à droite de b), relié à c) par une accolade

Variante pour \mathcal{R}-modules la lettre est une ronde grasse, lue \mathcal{R}

(D) Cas des groupes de BT tronqués. (Lettre Illusie 5.3) le D est cerclé ; un premier « Cas » est effacé au-dessus de la ligne

Prop. G(n) B.T. tronqué, p^N \cdot 1_S = 0, avec n \geq N. \underline{\omega}_{G(n)} = \underline{H}_0(L^{G(n)}_{\bullet}) \quad\text{et}\quad \underline{n}_{G(n)} = \underline{H}_1(L^{G(n)}_{\bullet}) sont loc. libres de m. rang. Si n \geq n' \geq N, l'inclusion G(n') \hookrightarrow G(n) induit un isom \underline{\omega}_{G(n)} \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{\omega}_{G(n')} et si n' \leq n - N, l'hom. nul \underline{n}_{G(n)} \xrightarrow{\;0\;} \underline{n}_{G(n')} La projection G(n) \to G(n') induit \underline{n}_{G(n')} \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{n}_{G(n)} \qquad\text{et}\qquad \underline{\omega}_{G(n')} \xrightarrow{\;0\;} \underline{\omega}_{G(n)} On a, si n \geq 2N, \underline{\omega}_{G(n)} \simeq \underline{n}_{G(n)} la proposition est marquée d'un long trait vertical à gauche ; la projection ici est G(n) \to G(n') telle qu'écrite, les flèches induites vont en sens inverse

Th. Soit G = G(n) groupe de BT tronqué d'échelon n, M un module qu. coh. annulé par p^n. On a \left\lbrace \begin{array}{l} \underline{\mathrm{Ext}}^1_{\Lambda_n}(G, M) = 0 \\ \underline{\mathrm{Ext}}^2_{\Lambda_n}(G, M) \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{\mathrm{Ext}}^2_{\mathbb{Z}}(G, M) \end{array} \right. l'hypothèse est marquée d'un trait vertical à gauche ; \Lambda_n = \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}, notation des tapuscrits du dossier

(NB \underline{\mathrm{Ext}}^2_{\mathbb{Z}}(G, M) = 0 si 2 inv., pour tt G fini loc. libre ; cela simplifie la théorie des déformations pour les BT en car. p \neq 2 !). la parenthèse ouvrante manque ; « NB » est souligné

Sorites sur Groupes p-divisibles et groupes de B.T.

titre de sa main, à l'encre, en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 96) ; le G de « Groupes » est repassé sur une minuscule

écrit à l'encre sur le verso d'une feuille dactylographiée étrangère au sujet, dont le texte transparaît à l'envers

\mathcal{C} catégorie abélienne.

A objet de \mathcal{C}, muni d'un endomorphisme f, n \in \mathbb{N}^{*}, tel que f^n = 0. \mathrm{gr}^i_f(A) = f^i A / f^{i+1} A \theta : \mathrm{gr}^0_f(A)[t] \underset{\text{surj}}{\longrightarrow} \mathrm{gr}^{\bullet}_f(A) \qquad \theta^i : \mathrm{gr}^0_f(A) \underset{\text{surj}}{\xrightarrow{\;f^i\;}} \mathrm{gr}^i_f(A) la variable du premier membre est surchargée (lecture [t] incertaine) ; au-dessus de la flèche de \theta^i un signe raturé

Conditions équivalentes

(i)\theta est un isom. en degrés \leq n-1, i.e. \theta^i isom. si i \leq n-1 (i bis)\theta est injectif en degrés \leq n-1, i.e. \theta^i injectif pour i \leq n-1 (i ter)\theta^{n-1} est injectif (ii)(f^i)^{-1}(f^{i+1} A) = f A pour 0 \leq i \leq n-1 (ii bis)~~f^{n-1}~~ \boxed{\mathrm{Ker}\, f^{n-1} = f A} (iii)\mathrm{Ker}\, f^j = \mathrm{Im}\, f^{n-j} pour ~~tout~~ 0 \leq j \leq n (iv)\exists j, 1 \leq j \leq n-1, tel que \mathrm{Ker}\, f^j = \mathrm{Im}\, f^{n-j}

une double flèche descendante est tracée devant (iii) ; « (i ter) » est ajouté sous (i bis)

\begin{array}{ccc} \text{(ii)} & \Longrightarrow & \text{(ii bis)} \\ \Downarrow & & \Downarrow \\ \text{(i)} \Longleftrightarrow \text{(i bis)} & \Longrightarrow & \text{(ii bis)} \end{array} la flèche du bas à droite est surchargée, la cible lue (ii bis) sans certitude ; en dessous une ligne biffée : ~~(i) \Longleftrightarrow (ii) trivial~~ trivial (i ter) \Longrightarrow (i bis) car \theta^{n-1} = \theta^{n-1-i}\theta^{i}.

(ii) \Longrightarrow (iii) [Car f^{n-j} implique \mathrm{Im}\, f^{n-j} \subset \mathrm{Ker}\, f^j ; prouvons \mathrm{Ker}\, f^j \subset \mathrm{Im}\, f^{n-j}] pour 1 \leq j \leq n-1. On a ~~(iii) \Longrightarrow (ii bis)~~ \mathrm{Ker}\, f^j \subset \mathrm{Ker}\, f^{n-1} \subset \mathrm{Im}\, f \quad \text{donc} \quad \mathrm{Ker}\, f^j = f(\mathrm{Ker}\, f^{j+1}) ~~\mathrm{Ker}\, f^j = f^{n-j}(\mathrm{Ker}\, f~~ et de proche en proche \mathrm{Ker}\, f^j = f\, \mathrm{Ker}\, f^{j+1} = f^2\, \mathrm{Ker}\, f^{j+2} = \cdots = f^{n-j-1}\, \mathrm{Ker}\, f^{n-1} = f^{n-j-1+1} A OK

(iii) \Longrightarrow (ii bis) trivial (faire j = n-1)

\Downarrow trivial

(iv) la page s'arrête sur « (iv) » ; le début de la justification de (ii) \Rightarrow (iii), « Car f^{n-j} implique », est lu sans certitude, un mot au moins manque

suite directe de la page 97, sur le verso d'une autre feuille dactylographiée étrangère au sujet

(iv) \Longrightarrow (ii bis)

Soit S_j la condition \boxed{\mathrm{Ker}\, f^j \subset \mathrm{Im}\, f^{n-j}}

Prouvons que si 1 \leq j \leq n-1, alors \underline{S_j \Rightarrow S_{j-1}}.

~~Soit~~ Il suffit de prouver \mathrm{Ker}\, f^{j-1} \subset \mathrm{Im}\, f^{n-j+1}. \mathrm{Ker}\, f^{j-1} \subset \mathrm{Ker}\, f^{j} \subset \mathrm{Im}\, f^{n-j} \subset \mathrm{Im}\, f \quad \text{d'où} \mathrm{Ker}\, f^{j-1} = f\bigl(\mathrm{Ker}\, f^{j}\bigr) \subset f\bigl(\mathrm{Im}\, f^{n-j}\bigr) = \mathrm{Im}\, f^{n-j+1} la seconde ligne est très surchargée : entre f et (\mathrm{Ker}\, f^j) un exposant raturé, après la parenthèse un long passage biffé, ; en fin de ligne un calcul barré = f\bigl(f^{n-j}(\ldots)\bigr), avec l'accolade « \subset f^{n-j}(A) »

x \longmapsto x = f^{n-j}(y), \qquad f^{j-1}\bigl(f^{n-j} y\bigr) = 0, \qquad f^{n-1-j}\, y = f^{n-j} z calcul en marge droite, relié à la ligne précédente par un long trait courbe ; lecture partielle, les exposants sont surchargés OK. Donc on trouve de proche en proche S_j \Longrightarrow S_1 \quad \text{i.e.\ } \mathrm{Ker}\, f \subset \mathrm{Im}\, f^{n-1} la ligne se termine par un mot illisible, , devant f induit un hom. injectif donc bijectif A/f^{n-1}A \xrightarrow{\;f\;} fA . Comme sur les gradués associés c'est surjectif, c'est aussi bijectif sur les gradués associés, c'est essentiellement . à gauche, deux échelles de filtrations dessinées côte à côte : A \supset fA \supset f^2A \supset \cdots \supset f^{n-1}A \supset f^nA = 0 et A \supset f^{n-1}A \supset f^{2}A \supset \cdots \supset f^{n-1}A \supset f^nA = 0, la première accolée par une accolade, reliée par une flèche à la seconde ; les exposants de la seconde échelle ne sont pas tous sûrs

Terminologie : Objet de Tate, de ~~hauteur~~ degré n « degré » est écrit au-dessus de « hauteur », biffé ; une coche suit

Supposons que l'on ait sur \mathcal{C} une fonction \mathrm{rg}, à valeurs entières, additive pour les extensions, et nulle seulement sur l'objet nul. Alors

(iii) \Longleftrightarrow (i) \mathrm{rg}(A) = n\, \mathrm{rg}(A/fA).

Les conditions exigent que A de g, Si B est la condition analogue pour (g, m), et si u : A \to B est un hom. comp. avec f, g, tel qu'on ait \mathrm{rg}(A/fA) = \mathrm{rg}(B/gB), alors passage très raturé ; seules les formules sont sûres

Conditions équivalentes

(i)u est isomorphisme (ii) (ii bis)\mathrm{gr}^0(u) (iii) (iii bis)\mathrm{gr}^0 isom

la liste finale, en bas à gauche, est serrée en cinq lignes à peine lisibles, avec des numéros surchargés ; à droite, au crayon gris et d'une écriture plus lâche, un calcul étranger au reste de la page, dont se lisent seulement « R_{x}/e », « = \mathrm{rg}(A/fA) » et « \bigl[\tfrac{R_x}{e}\cdot x\bigr] » ; le reste