Fonds Grothendieck, cote n° 129, pages 61–80

tapuscrit, chapitre III « Groupes de Barsotti-Tate », suite du §3 commencé page 60 : n° 3.2 Définition (groupe de Barsotti-Tate tronqué d'échelon n sur S, avec pour n = 1 la condition (*) \mathrm{Ker}\, F_{G_0/S_0} = \mathrm{Im}\, V_{G_0}) et n° 3.3 (G(i), 1 \leq i \leq n, est tronqué d'échelon i ; diagramme cartésien). Texte d'autrui, non transcrit. Seule intervention manuscrite, d'une main qu'on ne peut pas identifier d'après le feuillet : le folio « III-6 », au crayon

même tapuscrit, §4 « Groupes de Barsotti-Tate » : terminologie (renvoi à Tate, p-divisible groups, Driebergen 1966), n° 4.1 Définition (p-divisible), systèmes co-p-adiques G_1 \hookrightarrow G_2 \hookrightarrow \dots, et n° 4.2 Définition (groupe de Barsotti-Tate ; renvoi à 2.4). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « III-7 », au crayon ; en marge une croix et « n+1 », devant le système inductif, dont l'indice n+1 de G_{n+1} est retouché à la main (le signe + repassé)

même tapuscrit, fin du §4 (réciproque sur un corps algébriquement clos) et §5, n° 5.1 (description par les systèmes co-p-adiques ; changement de base) et n° 5.2 Proposition (extensions et quotients de groupes de BT), début de la démonstration. Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « III-8 », au crayon ; en marge une croix, et dans le titre du §5 le mot « Suites » biffé d'un trait oblique, « Sorites » écrit au-dessus, ce qui donne « Sorites sur les groupes de Barsotti-Tate »

même tapuscrit, fin de la démonstration de 5.2 (renvoi à II, 1.6), Remarque (le noyau de G \to G n'est pas en général un groupe de BT), n° 5.3 « Rang (ou hauteur) d'un groupe de Barsotti-Tate » (\mathrm{rang}\,(G(n)_s) = p^{n r(s)}) et début du n° 5.4 (systèmes p-adiques). Seule intervention manuscrite : le folio « III-9 », au crayon

même tapuscrit, suite du n° 5.4 (T_p(G)), n° 5.5 « Dual d'un groupe de Barsotti-Tate » (G^* = \varinjlim G(n)^*, équivalence entre \mathrm{BT}(S) et son opposée) et début du n° 5.6 « Module de Dieudonné associé à un groupe de BT sur un corps parfait » (renvois à II, 4.1 et II, 5.3.1). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « III-10 », au crayon ; en marge une croix, et dans « correspondre G univoquement le système projectif » les mots « G univoquement » biffés d'un trait oblique, « biunivoquement » écrit au-dessus

même tapuscrit, suite du n° 5.6 : énoncé de l'équivalence D^* entre [\mathrm{BT}(k)]^{\circ} et les \mathcal{D}-modules libres de type fini sur W, compatibilités à F et V, modules M(n) = D^*(G(n)) et définition D^*(G) = \varprojlim M(n) (renvois à II, 4 et 2.2). Seule intervention manuscrite : le folio « III-11 », au crayon

même tapuscrit, fin du n° 5.6 (D^*(G) libre de type fini sur W, muni de F et V) et §6 « Exemples et types particuliers de groupes de Barsotti-Tate », n° 6.1 (schémas abéliens ; renvois à Lang, Abelian Varieties, et à EGA IV, 11.3.10 ; \mathrm{rang}\, A(1) = p^{2d}). Seule intervention manuscrite : le folio « III-12 », au crayon

même tapuscrit, suite du n° 6.1 (cas ind-étale, dualité des variétés abéliennes), n° 6.2 (groupes de BT ind-étales ; équivalence avec les faisceaux p-adiques constants tordus sans torsion, monodromie de \pi_1(S, \bar s)) et n° 6.3 Exemple (tores). Seule intervention manuscrite : le folio « III-13 », au crayon

même tapuscrit, suite du n° 6.3 (T(\infty), groupe \mu = \mathbb{G}_{m,S}(\infty) = \varinjlim \mu_{p^n,S}), n° 6.4 Exemple (extension d'un schéma abélien par un tore, rang 2d+r), n° 6.5 (groupes de BT toroïdaux ; anti-équivalence avec les faisceaux p-adiques constants tordus sans torsion). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « III-14 », au crayon ; en marge une croix et un \mu ajouré, devant la formule qui définit \mu, où le \mu de \varinjlim \mu_{p^n,S} est retracé à l'encre, ajouré lui aussi

même tapuscrit, fin du n° 6.5 (l'équivalence G \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mu, G)), n° 6.6 (groupes de BT à fibres connexes ; renvoi à II, 2.2) et n° 6.7 (variété de Lie formelle ponctuée sur S), Remarques, 1). Seule intervention manuscrite : le folio « III-15 », au crayon

même tapuscrit, fin des Remarques du n° 6.7, définition des groupes de Lie formels, et conditions 1) (G p-divisible) et 2) (G(1) représentable par un schéma fini localement libre) pour qu'un groupe de Lie formel soit de BT. Seule intervention manuscrite : le folio « III-16 », au crayon

même tapuscrit, conditions 3) et 4) sur la fibre géométrique dans le cas artinien local, conjecture sur les S-morphismes de variétés de Lie formelles (renvoi à SGA 3, VII, numéro laissé en blanc), exemple de la courbe elliptique modulaire et de l'invariant de Hasse, et seconde conjecture (rang des fibres localement constant). Seule intervention manuscrite : le folio « III-17 », au crayon

même tapuscrit, §7 « Suite de composition d'un groupe de Barsotti-Tate » : n° 7.1 (base réduite à un point, G^{\circ}, G^{\mathrm{et}}, suite exacte 0 \to G^{\circ} \to G \to G^{\mathrm{et}} \to 0) et n° 7.2 (G^{\mathrm{tor}}, filtration 0 \subset G^{\mathrm{tor}} \subset G^{\circ} \subset G). Seule intervention manuscrite : le folio « III-18 », au crayon

même tapuscrit, fin du n° 7.2 (isomorphismes (G/G^{\circ})^* \simeq (G^*)^{\mathrm{tor}}, (G/G^{\mathrm{tor}})^* \simeq (G^*)^{\circ}) et n° 7.3 (sur une base quelconque, pas d'extension en général ; argument par le rang séparable, exemple de la variété elliptique modulaire). Seule intervention manuscrite : le folio « III-19 », au crayon

même tapuscrit, fin du n° 7.3 et n° 7.4 Proposition (équivalence des conditions i), ii), ii)^{\mathrm{bis}}, iii), iii)^{\mathrm{bis}}), début de la démonstration et Lemme (factorisation d'un morphisme fini localement libre en un morphisme radiciel et surjectif suivi d'un morphisme étale ; renvoi à EGA IV, numéro laissé en blanc). Seule intervention manuscrite : le folio « III-20 », au crayon

feuillet de papier listing, sans texte dactylographié ni mathématiques ; seule une inscription au crayon, en haut à droite, d'une main qu'on ne peut pas identifier d'après le feuillet : « I, II » puis « Vecteurs de Witt et théorie de Dieudonné ». Elle semble désigner le texte qui suit (la page 79 porte « I et II » en tête)

feuillet dactylographié original (ruban), de la même machine que les pages 79–80 et 83–90 : le plan du cours. Transcrit en entier depuis la révision qui a suivi le lot 5, lequel établit que ce tapuscrit est de Grothendieck lui-même (voir l'en-tête du fichier). Les interventions manuscrites sont au crayon

I Rappels sur les vecteurs de Witt et II la théorie de Dieudonné. « les » est tapé en surfrappe, un « a » sous le « e ». Le chiffre « II » est écrit au crayon au-dessus de la ligne, entre « et » et « la », avec une parenthèse tracée à la main devant « la » : la théorie de Dieudonné devient le chapitre II

III Généralités sur les groupes de BT.

IV Généralités sur les puiss. div. et les cristaux. tapé « III » ; les deux derniers I sont surchargés au crayon d'un grand V, ce qui donne « IV »

V Foncteur de Dieudonné sur base \pm quelconque : programme préliminaire et problèmes le numéro tapé est noirci de hachures au crayon, illisible, et « V » est écrit au crayon à côté. Dans « programme », « pro » est retapé en surfrappe. « et problèmes » est écrit au crayon au-dessus du bout de la ligne, un trait courbe le rattachant à « préliminaire », dont la fin sort du feuillet

VI F-cristaux. Un théorème de spécialisation pour les groupes de BT. devant « V » tapé, un caractère est surchargé au crayon d'un trait épais (on dirait un « 4 »), et le « I » qui suit le V est ajouté au crayon, ce qui donne « VI ». Dans « théorème », le « m » est surfrappé sur un « p »

tapuscrit original (ruban), même machine qu'à la page 77, transcrit en entier (voir l'en-tête). La machine n'a ni flèches ni lettres grecques, et la plupart des flèches sont tracées à la main, à l'encre, sans qu'on le relève à chaque fois. Les lettres soulignées à la machine (\underline{W}, \underline{E}, \underline{O}, \underline{Z}) sont rendues par \underline{\ } en mode mathématique. Les interventions manuscrites sont à l'encre noire et bleue

I et II en haut à droite, à l'encre ; renvoie au plan de la page 77

Rappels sur ~~sur~~la théorie de Dieudonné (sur corps parfait k).

Serre, Corps Locaux ; Demazure-Gabriel. Schémas en Groupes deux références bibliographiques écrites en oblique dans la marge gauche, à l'encre, les noms d'auteurs et « Corps Locaux » soulignés ; « Schémas en Groupes » est écrit au-dessus du titre, relié par un trait

1. Rappels sur vecteurs de Witt. p nb premier fixé dans tout le cours note à l'encre, à droite du titre, rattachée à lui par un long trait

(n \geq 1)

\underline{W}_n, \underline{W} schémas en anneaux sur \underline{Z}, \underline{W} = \varprojlim \underline{W}_n, avec \underline{W}_n = \underline{E}^n (absolu) comme schéma, \underline{W} = \underline{E}^{\underline{N}} comme schéma, morphismes de transition R_n : \underline{W}_{n+1} \longrightarrow \underline{W}_n, \qquad R_n(x_1, \dots, x_{n+1}) = (x_1, \dots, x_n) le signe \geq de « (n \geq 1) » est écrit à l'encre bleue, et un trait prolonge la parenthèse jusqu'à \underline{W}_n ; la flèche sous « lim » est tracée à la main

Structures additive et multiplicative caractérisées par la condition que les ~~homo~~morphismes de schémas \Phi = (\phi_1, \dots, \phi_n) : \underline{W}_n \longrightarrow \underline{O}^n \qquad (= \underline{E}^n \text{ comme schéma}) « caractérisées » est suivi d'une lettre surfrappée et « la » est retapé. « homo » est surfrappé de « x » à la machine, on le lit sous les x. Au début de la ligne suivante un « W » tapé est surfrappé ; « \Phi = (\phi_1, \dots, » est écrit à l'encre, le \phi_n tapé est retouché, et l'exposant n de \underline{O}^n est écrit à l'encre bleue ; celui de \underline{E}^n est repassé

donnés par \phi_i(x_1, \dots, x_n) = \phi_i(x_1, \dots, x_i) = x_1^{p^{i-1}} + p x_2^{p^{i-2}} + \dots + p^{i-1} x_i soient ~~des~~ homomorphismes d'Anneaux. la machine écrit \phi par un zéro barré. Les corrections de « soient des homomorphismes d'anneaux » en « soit homomorphisme d'Anneaux » sont faites à l'encre bleue : « en », « des » et le « s » final noircis, le « A » majuscule écrit sur le « a »

~~Homo~~Morphismes remarquables : Morphisme additif « Homo » surfrappé de « x » à la machine ; le soulignement de « Morphismes remarquables » et l'ajout « Morphisme additif », « additif » souligné, sont à l'encre bleue V_n = V : \underline{W}_n \longrightarrow \underline{W}_n, \qquad V(x_1, \dots, x_n) = (0, x_1, \dots, x_{n-1}) au-dessus et au-dessous de la flèche, tracée à l'encre, deux lettres tapées sont surfrappées (on devine un « T » en haut). Après le second \underline{W}_n un signe très pâle, peut-être « +1 », qui n'est pas assuré ; la formule V(x) = (0, x_1, \dots, x_{n-1}) va avec \underline{W}_n au but

~~donnés par~~ d'où par passage à la limite V : \underline{W} \longrightarrow \underline{W}, « donnés par » est surfrappé de « x » à la machine ; devant « V : \underline{W} \to \underline{W} », un début de formule « F(x_1…) » est surfrappé de même

puis ~~morphi~~

morphisme d'Anneaux R_n \text{ ou } R : \underline{W}_{n+1} \longrightarrow \underline{W}_n, \qquad R(x_1, \dots, x_{n+1}) = (x_1, \dots, x_n) morphisme add. T_n \text{ ou } T : \underline{W}_n \longrightarrow \underline{W}_{n+1}, \qquad T(x_1, \dots, x_n) = (0, x_1, \dots, x_n) après « puis », le mot « morphi » est écrit à l'encre puis biffé. « morphisme d'Anneaux » et « morphisme add. » sont écrits à l'encre bleue devant les deux lignes. Les lettres R et T sont retapées sur d'autres (le T sur un D, semble-t-il) ; dans (0, x_1, \dots, x_n) le milieu est surfrappé, la machine donnant quelque chose comme « (0,x_1,,x,x_n) » ; virgules ajoutées à la main en bout de ligne

avec R_n T_n = V_n, \qquad T_n R_n = V_{n+1} .

Enf, on a « Enf » est suivi d'une suite de lettres surfrappées de « x », illisibles ; « Enfin » n'est pas assuré F \text{ ou } F_n : \underline{W}_n \longrightarrow \underline{W}_n, \qquad F(x_1, \dots, x_n) = (x_1^p, \dots, x_n^p), d'où par passage à la limite F : \underline{W} \longrightarrow \underline{W}

En caractéristique p F_{\underline{F}_p} : \underline{W}_{F_p} \longrightarrow \underline{W}_{F_p} \qquad (\text{et variante avec } \underline{W}_{n\,\underline{F}_p}) « caractéristique » est retapé sur ses premières lettres, et « limite » porte un « e » surfrappé. \underline{F}_p est l'écriture à la machine de \mathbb{F}_p ; l'indice est souligné à la première et à la dernière occurrence seulement. La phrase continue page 80

est un homomorphisme d'anneaux (c'est en effet le Frobenius habituel), ~~et V, D sont des morphismes additifs~~ (V est la Verschiebung habituelle) et on a FV = p.\mathrm{id}, \qquad VF = p.\mathrm{id} \qquad (\emph{en car.}\ p) . toute la phrase « et … V, D sont des morphismes additifs » est surfrappée de « x » à la machine, un mot illisible après « et ». Dans « p.id » de FV, le point est corrigé à la main

On introduit aussi le schéma en groupes en \underline{W}_{\to} = \varinjlim \underline{W}_n, \quad \text{morphismes de transition du type } D . Ainsi du point de vue schémas, on a \underline{W}_{\to} = \underline{E}^{(\underline{N})} . la flèche sous \underline{W} qui fait \underline{W}_{\to}, et celle sous « lim », sont tracées à la main, le W repassé ; sous cette dernière un petit signe manuscrit, non lu. « en groupes en » est tel quel. « D » désigne sans doute le T de la page 79, dont la lettre est retapée sur un D

En car. p, on a commutativité dans un « t » en trop, dans « commutattivité », est barré à la main

\begin{tikzcd} \underline{W}_n \arrow[r, "T"] & \underline{W}_{n+1} \\ \underline{W}_n \arrow[u, "F"] \arrow[r, "r"] & \underline{W}_{n+1} \arrow[u, "\mathrm{id}"'] \end{tikzcd}

les deux flèches verticales, montantes, et leurs étiquettes F et « id » sont manuscrites ; la lettre sur la flèche du bas est manuscrite aussi, lue r

~~d'où~~ et commutativité dans « d'où » surfrappé de « x », « et » tapé au-dessus

\begin{tikzcd} \underline{W}_n \arrow[r, "T"] \arrow[d, "F^{n-1}"'] & \underline{W}_{n+1} \arrow[d, "F^{n}"] \\ \underline{W}_n \arrow[r, "p"] & \underline{W}_{n+1} \end{tikzcd}

les flèches verticales sont tracées à l'encre bleue ; les exposants n-1 et n sont empâtés, celui de droite couvert d'une tache d'encre

d'où un homomorphisme canonique u : \underline{W}_{\to\,\mathbb{F}_p} \longrightarrow \varinjlim\, (\underline{W}_{n\,\mathbb{F}_p}, p), qui induit un isomorphisme sur les points à valeurs dans un ~~corps~~ anneau parfait. les deux indices \mathbb{F}_p sont ajoutés à la main ; un mot surfrappé de « x » après « qui », illisible ; « anneau » est tapé au-dessus de « corps », surfrappé

Soit maintenant k un corps parfait de car. p. Alors W = \underline{W}(k) = \varprojlim W_n \qquad (W_n = \underline{W}_n(k)) est un anneau de valuation discrète de corps résiduel ~~k, dit~~ W_1 = k, de'idéal maximal engendré par p, et de corps des fractions K = W[1/p] de caractéristique nulle. L'homomorphisme u précédent induit un isomorphisme de groupes u : \underline{W}_{\to}(k) \xrightarrow{\ \sim\ } K/W . On va introduire sur \underline{W}_{k} une structure de schéma en groupes avec la flèche sous « lim » et la flèche \simeq sont tracées à la main, comme celle qui fait \underline{W}_{\to}. Dans le dernier \underline{W}_k le W est repassé mais sans flèche dessous ; peut-être \underline{W}_{\to k}. « introduire » est retapé sur « introduite ». La page s'arrête en cours de phrase ; le feuillet suivant du numérisé, manuscrit, n'en est pas la suite, et la numérotation au crayon saute de 80 à 83 (voir le lot 5)