Cote n° 129 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Notes séminaire Montréal (Delale, Labute, Hakim, Messing) : copies de tapuscrits annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [1970]
Édition de démonstration

21seconde frappe du tapuscrit « Chapitre I. Préliminaires sur Witt » (attribué à Delale, cf. page 1), suite de la page 20 : fin du §3 (multiplication par \(p\) comme morphisme de transition, Remarque sur un anneau parfait) et §4 « L'anneau \(W\) », n° 4.1 (\(W(k)\) pour \(k\) parfait, renvoi à Serre, Corps locaux). Texte d'autrui, non transcrit ; aucune annotation manuscrite

22même tapuscrit, suite du n° 4.1 (isomorphismes \(\varepsilon_n : W/p^nW \simeq W_n\), diagramme commutatif, module dualisant \(K/W\)) et énoncé de la Proposition 4.2. Aucune annotation manuscrite

23même tapuscrit, démonstration de la Proposition 4.2. Aucune annotation manuscrite

24même tapuscrit, fin de la démonstration de 4.2, Remarque, et début du §5 « Les morphismes de Frobenius et de Verschiebung d'un schéma en groupes », n° 5.1 (Frobenius absolu). Aucune annotation manuscrite

25même tapuscrit, fin du n° 5.1 et n° 5.2 (Frobenius relatif \(X \to X^{(p/S)}\)). Aucune annotation manuscrite

26même tapuscrit, fin du n° 5.2 et n° 5.3 (Verschiebung d'un schéma en groupes commutatifs plat, renvoi à SGA 3, VII\(_{\mathrm{A}}\), 4.2–4.3). Aucune annotation manuscrite

27même tapuscrit, n° 5.4 (itérés du Frobenius relatif et de la Verschiebung) ; fin du chapitre I. Aucune annotation manuscrite

28page de titre dactylographiée : « Chapitre II. Groupes finis localement libres et théorie classique de Dieudonné ». Aucun nom d'auteur ; aucune intervention manuscrite

29tapuscrit, chapitre II, §1 « Rappels généraux sur les groupes finis localement libres », n° 1.1 (algèbre affine \(A\), morphismes \(\Delta\), \(I\), \(\varepsilon\), bigèbre, idéal d'augmentation) et début du n° 1.2 (rang). Texte d'autrui, non transcrit. Interventions manuscrites, d'une main qu'on ne peut pas identifier d'après le feuillet (rien ne permet de dire si c'est celle de Grothendieck) : en haut à droite, le folio « II.1 » ; une accolade à l'encre part d'après « muni de sa loi d'algèbre » et embrasse la formule détachée, dont le symbole dactylographié devant le deux-points est surchargé en \(\mu\), ce qui donne \(\mu : A \otimes A \to A\) ; en marge, une croix et une petite coche. Dans « Le noyau J de \(\varepsilon\) », le J dactylographié est biffé de deux traits, et la marge porte un \(\mathcal{J}\) cursif. Plus bas dans la marge, une inscription au crayon, gommée : […]

30même tapuscrit, fin du n° 1.2 (groupe de rang \(n\)) et n° 1.3 « Exemples de groupes finis localement libres », 1.3.1–1.3.3 (groupe constant \(G_S\), groupe multiplicatif et \(\mu_{n|S}\), groupe additif). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.2 » ; devant « Par définition, \(\mu_{n|S}\) », le symbole dactylographié est barré, et la marge porte une croix et \(\mu_{n|S}\), le \(\mu\) à hampe doublée comme une lettre ajourée ; devant la ligne « Si \(S\) est un schéma sur le corps premier \(\mathbb{F}_p\) », une croix et \(\mathbb{F}_p\) en marge, sans correction visible dans la ligne

31même tapuscrit, fin du n° 1.3.3 (\(F\), \(\alpha_{p|S}\)) et n° 1.4 « Dualité de Cartier » (\(G^* = \underline{\mathrm{Hom}}(G, \mathbb{G}_{m|S})\), bidualité, renvoi à SGA 3, VII\(_{\mathrm{A}}\), 3.3.1). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.3 » ; en marge, une croix et le signe \(\mapsto\), devant « foncteur contravariant \(G \mapsto G^*\) » ; en marge une croix, et dans la ligne « bi-algèbre » biffé, remplacé au-dessus par « bigèbre » ; en marge une croix, et dans « \(G \to (G^*)^*\) » l'astérisque de l'exposant ajouté à l'encre

32même tapuscrit, suite du n° 1.4 (échange du Frobenius relatif et de la Verschiebung, renvoi à SGA 3, VII\(_{\mathrm{A}}\), 4.3.3), n° 1.5 « Exemples » (\((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*_S \simeq \mu_{n|S}\), \((\alpha_{p|S})^* \simeq \alpha_{p|S}\)) et début du n° 1.6 « Quotients de groupes finis localement libres ». Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.4 » ; en marge une croix, et dans « qui résulte aussi diversement des définitions » le mot « diversement » biffé, remplacé au-dessus par « directement » ; en marge une croix et \(\alpha_{p|S}\), devant \((\alpha_{p|S})^* \simeq \alpha_{p|S}\) ; en marge \(\pi\), et dans la suite exacte \(0 \to G' \to G \to G'' \to 0\) le p au-dessus de la seconde flèche surchargé en \(\pi\)

33même tapuscrit, suite du n° 1.6 (représentabilité de \(G''\), renvoi à SGA 3, V, 4.1 ; multiplicativité du rang) et n° 1.7 (composante \(\ell\)-primaire, renvoi à SGA 3, VIII, 7.3). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.5 » ; en marge \(\pi\), et dans « et que p est fidèlement plat » le p biffé d'une croix, \(\pi\) écrit au-dessus ; deux fois, en marge, une croix et \(\ell\), devant « de \(\ell\)-torsion » et « un \(\ell\)-groupe », où le \(\ell\) est écrit à la main dans le blanc laissé par la frappe

34même tapuscrit, fin du n° 1.7 (groupes \(p\)-primaires, dual d'un \(p\)-groupe) et §2 « Types particuliers de groupes », n° 2.1, 2.1.1 (infinitésimal) et 2.1.2 (étale). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.6 » ; en marge une croix, et en bout de la ligne « (pour la topologie étale, ou f.p.p.f., ou » l'ajout « f.p.q.c.) »

35même tapuscrit, 2.1.3 (unipotent, renvoi à SGA 3, XVII), 2.1.4 (type multiplicatif), 2.1.5 (bi-infinitésimal), n° 2.2 (en caractéristique \(p\), un \(p\)-groupe de type multiplicatif est infinitésimal) et début du n° 2.3. Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.7 » ; une petite croix en marge devant 2.1.5, sans correction visible dans la ligne

36même tapuscrit, fin du n° 2.3 et n° 2.4 « Exemples de \(p\)-groupes en caractéristique \(p\) » (\((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})_S\), \(\mu_{p|S}\), \(\alpha_{p|S}\) ; suite de composition, renvoi à SGA 3, XVII, 1.7 et 4.2.1). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.8 » ; en marge une croix, et en bout de la suite de composition \(G \supset G_0 \supset \dots \supset G_n\) l'ajout « \(= 0\) »

37même tapuscrit, n° 2.5 (critères 2.5.1–2.5.5 par le Frobenius relatif et la Verschiebung) et démonstration de 2.5.1 (idéaux \(J_n\) et puissances \(J^{p^n}\)). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.9 » ; une croix en marge devant la ligne « lons caractériser le "noyau" de \(F^n_{G/S}\) pour tout S-schéma \(G\) muni d'une », sans correction visible dans la ligne

38même tapuscrit, fin de la démonstration de 2.5.1, démonstration de 2.5.4 (renvoi à SGA 5, XIV (Houzel)), §3 « Décomposition d'un \(p\)-groupe fini localement libre sur une base de caractéristique \(p\) réduite à un point », n° 3.1 (suite exacte \(0 \to G^0 \to G \to G^{\mathrm{et}} \to 0\), sous-groupe \(G^{\mathrm{mult}}\)). Seule intervention manuscrite : le folio « II.10 »

39même tapuscrit, suite du n° 3.1 et n° 3.2 (décomposition canonique \(G = G^{\mathrm{mult}} \times G^{\mathrm{bi}} \times G^{\mathrm{et}}\) sur un corps parfait, renvoi à SGA 3, XVII, 1.6). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.11 » ; en marge une croix, et dans « est bi-infinitésimal car c'est » une virgule ajoutée à l'encre après « bi-infinitésimal », avec un trait appuyé devant « car » (suppression d'un signe dactylographié)

40même tapuscrit, liste des équivalences (infinitésimal, étale, unipotent, bi-infinitésimal, multiplicatif), n° 3.3 (\(p\)-groupes étales et de type multiplicatif sur un corps parfait, \(\pi_1(k)\), dualité de Pontryagin) et début du §4 « Théorie de Dieudonné sur un corps parfait », n° 4.1 (catégorie \(p\)-Gr-fin\((k)\), anneau de Dieudonné \(W[F,V]\)) ; la page s'arrête en cours de phrase. Seule intervention manuscrite : le folio « II.12 »