Cote n° 129 · pages 1–114 · Lecture modernisée · Notes séminaire Montréal (Delale, Labute, Hakim, Messing) : copies de tapuscrits annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–114

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier a deux strates, qu'on garde distinctes. Les pages 1 à 75 sont des tapuscrits de séminaire dus à d'autres que lui ; les pages 76 à 114 sont de lui, en partie tapées à sa machine, en partie à la main. La lecture ne porte que sur la seconde strate ; la première est seulement identifiée¹ .

1. Pages 1 à 75. Trois chapitres d'un tapuscrit de séminaire : « Préliminaires sur Witt » (deux frappes), « Groupes finis localement libres et théorie classique de Dieudonné », « Groupes de Barsotti–Tate ».
2. Pages 76 et 77. Une étiquette, puis le plan du cours en six chapitres, tapé et renuméroté au crayon.
3. Pages 79 à 81. Chapitres I et II du cours dans sa rédaction : vecteurs de Witt, l'ind-schéma \(\underline{W}_{\to}\) et \(K/W\) ; la décomposition d'un \(p\)-groupe fini sur un corps parfait et le théorème de Dieudonné.
4. Pages 82 à 87. Chapitre III, « Propriétés générales des B.T. » : exemples, filtration connexe-étale et son échec sur un trait, une proposition et son lemme, extensions et conoyaux, hauteur.
5. Pages 89 et 90. Groupes à Frobenius nilpotent et groupe formel associé à un groupe de BT (théorème 2.5) ; énoncé du théorème de déformation (4.1).
6. Pages 91 à 95. « Complexe cotangent relatif », en quatre parties (A) à (D), et un théorème sur les \(\mathrm{Ext}\) au-dessus de \(\mathbb{Z}/p^{n}\).
7. Pages 96 à 107. « Sorites sur groupes \(p\)-divisibles et groupes de B.T. » : les objets de Tate, d'abord dans une catégorie abélienne, puis parmi les schémas en groupes commutatifs, puis dans une suite exacte.
8. Page 109. Morphismes formellement lisses et un foncteur \(\Phi\) que le dossier ne définit pas.
9. Pages 112 à 114. « Conférence à Nice » : le canevas d'un exposé, du groupe de Barsotti–Tate au foncteur de Dieudonné cristallin.

Les pages 14, 78, 88 et 111 sont blanches. Les pages 98, 100, 102, 104, 108 et 110 sont des copies au duplicateur d'un texte étranger au sujet, au dos desquelles il a écrit ; elles ne sont pas décrites. Les numéros au crayon des archivistes sautent de 80 à 83 entre les pages 80 et 81 de la numérisation : deux feuillets manquent peut-être, et la phrase sur laquelle s'arrête la page 80 n'a pas de suite dans le dossier.

Le plan, et ce qui le remplit

Le plan tapé de la page 77 donne la clé de l'ordre. Les étiquettes au crayon des pages 76 (« I, II / Vecteurs de Witt et théorie de Dieudonné ») et 82 (« III Propriétés Générales des B.T. ») annoncent les chapitres I–II et III de ce plan, et les pages qui les suivent les remplissent. Les pages 89 et suivantes, numérotées 2, 4, 5, relèvent vraisemblablement des chapitres IV–V (puissances divisées et cristaux, foncteur de Dieudonné : programme et problèmes), sans que le dossier le dise. Le chapitre VI, « \(F\)-cristaux. Un théorème de spécialisation », n'a aucune page.

Les trois chapitres de séminaire des pages 1 à 75 suivent ce même plan ; à en juger par les titres que relèvent les notes de la transcription, le chapitre III dactylographié reprend dans le même ordre les exemples, la suite de composition et la proposition des pages 83 à 86² . On lit donc côte à côte une mise au propre et les brouillons dont elle procède, ou qui la continuent.

Conventions

• \(p\) est un nombre premier fixé « dans tout le cours » (page 79). « Groupe de BT » abrège groupe de Barsotti–Tate, c'est-à-dire groupe \(p\)-divisible au sens de Tate.
• \(G(n) = \mathrm{Ker}(p^{n}\,\mathrm{id}_G)\), notation des pages, qu'on écrit aujourd'hui \(G[p^{n}]\). La notation \(G[i]\) est réservée, comme page 89, au noyau de la \(i\)-ième itérée du Frobenius relatif ; elle ne désigne jamais \(G(i)\).
• \(D^{*}\) est le foncteur de Dieudonné contravariant ; sur un module de Dieudonné \(M\), \(F_M\) est \(\sigma\)-semi-linéaire et \(V_M\) \(\sigma^{-1}\)-semi-linéaire, \(\sigma\) étant le Frobenius de \(W = W(k)\) ; \(F_M V_M = V_M F_M = p\). L'anneau de Dieudonné est \(\mathcal{D} = W_{\sigma}[F, V]\).
• Pour un groupe plat \(G\) sur \(S\), \(\ell^{G}\) est le complexe de co-Lie, en degrés homologiques \(0\) et \(1\) ; \(\omega_G = H_0(\ell^{G})\), \(n_G = H_1(\ell^{G})\), \(t_G = \mathrm{Lie}(G)\), \(\nu_G\).
• Un objet de Tate de degré \(n\) est un couple \((A, f)\), \(f\) endomorphisme avec \(f^{n} = 0\) et \(\mathrm{Ker}\, f^{j} = \mathrm{Im}\, f^{n-j}\) pour tout \(j\). Les pages disent tantôt « hauteur », tantôt « degré » pour cet \(n\)³ .

Ce que le dossier annonce sans l'établir

La suite de la page 80 ; les « Notes I » dont la page 89 cite deux propositions ; les conjectures de la page 83 sur les groupes de Lie formels ; les démonstrations des théorèmes 2.5 et 4.1 ; la « lettre à Illusie », citée deux fois et absente ; toute la page 93, écrite au conditionnel ; les conditions (ii) et (ii bis) de la proposition 2.2, laissées en blanc ; les démonstrations de la proposition (D) et du théorème de la page 95 ; la « 1st conj. » de la page 106 ; la liste duale de la page 107 ; le foncteur \(\Phi\) de la page 109 ; et, dans le programme de Nice, tout ce qui est introduit par « il se pourrait ».

1–75

I. Les tapuscrits du séminaire (pages 1 à 75)

1–27

Chapitre I, « Préliminaires sur Witt » (pages 1 à 27)

Deux frappes du même chapitre, sur deux machines : pages 1 à 13 et pages 15 à 27, la seconde avec de menues corrections de la première. La page de titre porte au crayon, en capitales, « DELALE », d'une main indéterminée⁴ . Selon les notes de la transcription, le chapitre traite des schémas de vecteurs de Witt, de leurs morphismes remarquables, des ind-schémas qu'on en tire, de l'anneau \(W(k)\) pour \(k\) parfait, puis du Frobenius et de la Verschiebung d'un schéma en groupes, avec ses propositions numérotées (2.3, 4.2) et une remarque. Aucune intervention manuscrite.

28–54

Chapitre II, « Groupes finis localement libres et théorie classique de Dieudonné » (pages 28 à 54)

Tapuscrit non signé, folioté à la main « II.1 » à « II.26 ». Les notes de la transcription y relèvent : rappels sur les groupes finis localement libres et la dualité de Cartier ; types particuliers de groupes et leurs critères par le Frobenius et la Verschiebung ; décomposition canonique sur un corps parfait ; théorie de Dieudonné sur un corps parfait (théorème 4.2 et ses corollaires 4.2.1, 4.3.3, le cas unipotent, le cas multiplicatif, un lemme de décomposition) ; corollaires 5.1 et 5.2 et remarques 5.3 ; une annexe construisant un quasi-inverse du foncteur de Dieudonné. Les marges portent des corrections d'épreuve — croix, symboles repassés, mots remplacés (« bigèbre », « directement », « bijectif ») — d'une main que le feuillet ne permet pas d'identifier⁵ .

55–75

Chapitre III, « Groupes de Barsotti–Tate » (pages 55 à 75)

Tapuscrit non signé, folioté au crayon « III-1 » à « III-20 ». D'après les notes : notations, platitude et critère de représentabilité (proposition 2.2, proposition 2.4) ; groupes de BT tronqués (définition 3.2) ; groupes de BT (définitions 4.1, 4.2) ; « Sorites » (proposition 5.2 et sa remarque, rang, systèmes \(p\)-adiques, dual, module de Dieudonné sur un corps parfait) ; exemples (§6) ; suite de composition (§7, proposition 7.4 et un lemme). Mêmes corrections d'épreuve, de la même main indéterminée, dont « Sorites » écrit sur « Suites »⁶ .

76–77

II. Le plan du cours (pages 76 et 77)

La page 76 est une feuille de listing qui ne porte qu'une étiquette au crayon : « I, II / Vecteurs de Witt et théorie de Dieudonné ». La page 77, tapée sur sa machine, donne le plan :

1. IRappels sur les vecteurs de Witt, et
2. IIla théorie de Dieudonné.
3. IIIGénéralités sur les groupes de BT.
4. IVGénéralités sur les puissances divisées et les cristaux.
5. VFoncteur de Dieudonné sur base à peu près quelconque : programme préliminaire et problèmes.
6. VI\(F\)-cristaux. Un théorème de spécialisation pour les groupes de BT.

C'est au crayon que la théorie de Dieudonné devient un chapitre à part (« II »), que les chapitres suivants sont renumérotés et que le chapitre V reçoit « et problèmes »⁷ . L'ajout dit l'état du travail : le foncteur sur une base générale est un programme, et l'auteur le sait.

Le théorème de spécialisation du chapitre VI est, selon toute vraisemblance, celui qu'on appelle aujourd'hui le théorème de spécialisation de Grothendieck : le polygone de Newton d'une famille de \(F\)-cristaux, ou de groupes de BT, ne peut que monter par spécialisation⁸ .

79–81

III. Vecteurs de Witt et théorie de Dieudonné (pages 79 à 81)

79–80

Les vecteurs de Witt (pages 79 et 80)

La page 79 s'intitule « Rappels sur la théorie de Dieudonné (sur corps parfait \(k\)) » et renvoie, en marge, à Serre, Corps locaux, et à Demazure–Gabriel, Groupes algébriques⁹ .

Pour \(n \geq 1\), \(\underline{W}_n\) et \(\underline{W} = \varprojlim \underline{W}_n\) sont les schémas en anneaux des vecteurs de Witt (\(p\)-typiques) sur \(\mathbb{Z}\) ; comme schémas, \(\underline{W}_n = \mathbb{A}^{n}\) et \(\underline{W} = \mathbb{A}^{\mathbb{N}}\). L'addition et la multiplication sont les seules pour lesquelles les composantes fantômes \[ \phi_i(x_1, \dots, x_n) = x_1^{p^{i-1}} + p\, x_2^{p^{i-2}} + \dots + p^{i-1} x_i \qquad (1 \leq i \leq n) \] définissent un homomorphisme d'anneaux \(\Phi = (\phi_1, \dots, \phi_n) \colon \underline{W}_n \to \mathbb{G}_a^{n}\)¹⁰ . On dispose de

• la restriction \(R \colon \underline{W}_{n+1} \to \underline{W}_n\), \((x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \dots, x_n)\), morphisme d'anneaux ;
• la Verschiebung \(V \colon \underline{W}_n \to \underline{W}_n\), \((x_1, \dots, x_n) \mapsto (0, x_1, \dots, x_{n-1})\), additive, et par passage à la limite \(V \colon \underline{W} \to \underline{W}\) ;
• le décalage \(T \colon \underline{W}_n \to \underline{W}_{n+1}\), \((x_1, \dots, x_n) \mapsto (0, x_1, \dots, x_n)\), additif,

reliés par \(R_n T_n = V_n\) et \(T_n R_n = V_{n+1}\). Enfin le morphisme de schémas \(F \colon (x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1^{p}, \dots, x_n^{p})\) est, en caractéristique \(p\), un endomorphisme d'anneaux de \(\underline{W}_{n,\mathbb{F}_p}\) et de \(\underline{W}_{\mathbb{F}_p}\) : c'est le Frobenius, et l'on a \[ FV = VF = p \cdot \mathrm{id} \qquad \text{en caractéristique } p \] ¹¹ .

On introduit l'ind-schéma \(\underline{W}_{\to} = \varinjlim (\underline{W}_n, T)\), limite inductive le long des décalages, qui comme ind-schéma est \(\mathbb{A}^{(\mathbb{N})}\)¹² . En caractéristique \(p\), le diagramme suivant commute :

\begin{tikzcd}
\underline{W}_n \arrow[r, "T"] \arrow[d, "F^{n-1}"'] & \underline{W}_{n+1} \arrow[d, "F^{n}"] \\
\underline{W}_n \arrow[r, "p"] & \underline{W}_{n+1}
\end{tikzcd}

où la flèche du bas est induite par la multiplication par \(p\), qui passe au quotient \(\underline{W}_n \to \underline{W}_{n+1}\) et vaut \(T \circ F\)¹³ . D'où un homomorphisme \[ u \colon \underline{W}_{\to,\mathbb{F}_p} \longrightarrow \varinjlim\, (\underline{W}_{n,\mathbb{F}_p}, p), \] égal à \(F^{n-1}\) sur le \(n\)-ième terme, qui est un isomorphisme sur les points à valeurs dans un anneau parfait, puisque \(F\) y est bijectif¹⁴ .

Soit \(k\) un corps parfait de caractéristique \(p\). Alors \(W = \underline{W}(k) = \varprojlim W_n(k)\) est un anneau de valuation discrète complet, de corps résiduel \(W_1(k) = k\), d'idéal maximal \(pW\), de corps des fractions \(K = W[1/p]\) de caractéristique nulle, et \(u\) induit un isomorphisme de groupes \[ u \colon \underline{W}_{\to}(k) \xrightarrow{\ \sim\ } K/W , \] le \(n\)-ième terme \(W_n(k) \simeq W/p^{n}W\) s'envoyant sur \(p^{-n}W/W\) par \(x \mapsto F^{n-1}(x)/p^{n}\). La page 80 s'arrête au milieu de la phrase suivante (« On va introduire sur \(\underline{W}_k\) une structure de schéma en groupes avec »), et la suite manque¹⁵ .

81–81

La décomposition sur un corps parfait et le théorème de Dieudonné (page 81)

La page 81, manuscrite, commence en cours d'exposé ; son « ceci » renvoie à une page qui n'est pas dans le dossier. Soit \(k\) un corps parfait de caractéristique \(p\) et \(G\) un \(p\)-groupe fini commutatif sur \(k\) (schéma en groupes fini, commutatif, d'ordre une puissance de \(p\)). Il se décompose canoniquement en \[ G \simeq G_{\mathrm{et}} \times G_{\mathrm{mult}} \times G_{\mathrm{bi}}, \] partie étale, partie de type multiplicatif et partie bi-infinitésimale (infinitésimale de dual infinitésimal), et la catégorie des \(p\)-groupes finis est équivalente au produit des trois catégories correspondantes¹⁶ . Les deux premières sont connues par la théorie de Galois (et la dualité de Cartier pour la seconde) ; la troisième demande la théorie de Dieudonné. Le Frobenius et la Verschiebung lisent la décomposition : \[ \begin{array}{lcl} F_G \text{ nilpotent} & \iff & G_{\mathrm{et}} = 0 \iff G^{*} \text{ unipotent}, \\ V_G \text{ nilpotent} & \iff & G_{\mathrm{mult}} = 0 \iff G \text{ unipotent}, \\ F_G \text{ isomorphisme} & \iff & G \text{ étale}, \\ V_G \text{ isomorphisme} & \iff & G \text{ de type multiplicatif}, \end{array} \] où « nilpotent » s'entend des itérés \(F^{n}_{G/k} \colon G \to G^{(p^{n})}\) et \(V^{n}_{G/k}\)¹⁷ .

Théorème de Dieudonné. Le foncteur \(G \mapsto D^{*}(G)\) est une anti-équivalence entre la catégorie des \(p\)-groupes finis commutatifs sur \(k\) et celle des modules de Dieudonné de longueur finie : \(W\)-modules \(M\) de longueur finie munis de \(F_M, V_M \colon M \to M\) tels que \[ F_M \lambda = \lambda^{\sigma} F_M, \qquad \lambda V_M = V_M \lambda^{\sigma}, \qquad F_M V_M = V_M F_M = p \cdot \mathrm{id} \qquad (\lambda \in W) \] ¹⁸ . Autrement dit \(F_M\) est une application linéaire \(M^{(\sigma)} = W \otimes_{\sigma, W} M \to M\) et \(V_M\) une application linéaire \(M \to M^{(\sigma)}\). Comme \(D^{*}\) commute au changement de base, \(D^{*}(G^{(p)}) \simeq D^{*}(G)^{(\sigma)}\), et le théorème précise \[ F_{D^{*}(G)} = D^{*}(F_G), \qquad V_{D^{*}(G)} = D^{*}(V_G), \] d'où le dictionnaire \[ \begin{array}{lcl} G \text{ unipotent} & \iff & V_M \text{ nilpotent}, \\ G^{*} \text{ unipotent (i.e. } G \text{ infinitésimal)} & \iff & F_M \text{ nilpotent}, \\ G \text{ étale} & \iff & F_M \text{ bijectif}, \\ G^{*} \text{ étale (i.e. } G \text{ de type multiplicatif)} & \iff & V_M \text{ bijectif}. \end{array} \] Sur les trois groupes d'ordre \(p\), on contrôle : pour \(\mathbb{Z}/p\), \(M = k\) avec \(F\) bijectif et \(V = 0\) ; pour \(\mu_p\), \(F = 0\) et \(V\) bijectif ; pour \(\alpha_p\), \(F = V = 0\)¹⁹ . Le chapitre de séminaire des pages 28 à 54 porte, d'après ses notes, le même théorème sous le numéro 4.2.

82–87

IV. Propriétés générales des groupes de BT (pages 82 à 87)

La page 82 est une étiquette au crayon, « III Propriétés Générales des B.T. » ; les pages 83 à 87 sont tapées, avec des ajouts à l'encre et au crayon. Un groupe de BT sur \(S\) est un faisceau fppf en groupes commutatifs \(G\), \(p\)-divisible (\(p\,\mathrm{id}_G\) épimorphique), de \(p\)-torsion (\(G = \varinjlim G(n)\)), avec \(G(1)\) fini localement libre ; c'est la définition qu'énonce la page 112, et celle des tapuscrits.

83–84

Exemples (pages 83 et 84)

a) Schémas abéliens et tores. Soit \(G\) un schéma en groupes lisse sur \(S\), extension d'un schéma abélien \(A\) par un tore \(T\). Alors \(p\,\mathrm{id}_G\) est un épimorphisme et les \(G(n)\) sont finis localement libres (on commence par le schéma abélien) ; donc \(G(\infty) = \varinjlim G(n)\) est un groupe de BT, de hauteur \(2a + m\) si \(A\) est de dimension relative \(a\) et \(T\) de dimension relative \(m\)²⁰ . Cas important : \(\mu = \mathbb{G}_m(\infty) = \varinjlim \mu_{p^{n}}\).

b) Groupes de Lie formels. Supposons \(p\) localement nilpotent sur \(S\) et soit \(G\) un groupe de Lie formel (commutatif) sur \(S\) ; alors \(G = \varinjlim G(n)\). Supposons \(p\,\mathrm{id}_G\) épimorphique. Lorsque \(S\) est le spectre d'un anneau local artinien de point fermé \(s\), cela revient à demander que \(p\,\mathrm{id}_{G_s}\) soit un épimorphisme, ou encore, selon la page, que \(G_{\bar s}\) ne contienne pas de sous-groupe formel isomorphe à \(\widehat{\mathbb{G}}_a\)²¹ . Sur une base qui n'est pas un point, un trait par exemple, être de BT n'est plus une condition fibre à fibre : le groupe formel associé à la courbe elliptique modulaire, au voisinage d'un point d'invariant de Hasse nul, a des fibres de hauteur \(1\) en général et de hauteur \(2\) en ce point, de sorte que \(G(1)\) ne peut y être fini localement libre, son rang sautant de \(p\) à \(p^{2}\)²² .

La page conjecture alors que, si \(p\,\mathrm{id}_G\) est un épimorphisme, \(G(1)\) et donc les \(G(n)\) sont finis localement libres — et plus généralement que le noyau d'un épimorphisme de groupes de Lie formels de même dimension relative est fini localement libre, avec la réciproque. C'est vrai si \(S\) est artinien, et on l'ajoute comme hypothèse dans le cas général²³ . Sous ces hypothèses \(G\) est un groupe de BT, et les \(G(n)\) sont radiciels. La page annonce, pour plus tard, une équivalence de catégories : \[ \left\{ \begin{array}{c} \text{groupes de BT sur } S \\ \text{à fibres connexes} \end{array} \right\} \simeq \left\{ \begin{array}{c} \text{groupes de Lie formels } G \text{ sur } S, \\ p\,\mathrm{id}_G \text{ épimorphique}, \ G(1) \text{ fini loc.\ libre} \end{array} \right\}, \] « à fibres connexes » signifiant que \(G(1)\), ou de façon équivalente chaque \(G(n)\), est radiciel²⁴ . Le rang du groupe de BT ainsi obtenu s'appelle la hauteur du groupe formel.

c) Groupes de BT ind-étales. Le foncteur \(G \mapsto T_p(G) = \varprojlim G(n)\) est une équivalence entre groupes de BT ind-étales et faisceaux \(p\)-adiques étales lisses sans torsion (« constants tordus ») ; si \(S\) est connexe et pointé par \(\bar s\), ceux-ci sont les représentations continues de \(\pi_1(S, \bar s)\) dans des \(\mathbb{Z}_p\)-modules libres de type fini.

Groupes de BT toroïdaux : ceux dont \(G(1)\), donc chaque \(G(n)\), est de type multiplicatif. Le système \((G(n)^{*})_n\) des duaux de Cartier donne une anti-équivalence avec les faisceaux \(p\)-adiques lisses sans torsion ; composée avec la dualité de ces faisceaux, elle devient une équivalence, qui s'écrit \[ G \longmapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mu, G) = \bigl( \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mu_{p^{n}}, G(n)) \bigr)_{n \geq 1} \] (abus de notation que la page signale). Si les caractéristiques résiduelles de \(S\) sont égales à \(p\), les groupes de BT toroïdaux sont à fibres connexes ; et réciproquement, s'ils le sont tous, les caractéristiques résiduelles valent \(p\)²⁵ .

84–86

La filtration connexe-étale, et quand elle existe (pages 84 à 86)

d) Groupes de BT comme extensions. Supposons d'abord \(S\) réduit à un point \(s\) (spectre d'un anneau local artinien, par exemple). Pour tout groupe fini \(H\) sur \(S\), la composante neutre \(H^{\circ}\) est un sous-groupe, fonctoriel en \(H\) ; si \(H\) est fini localement libre, \(H^{\circ}\) l'est aussi, et \(H/H^{\circ}\) est fini localement libre et étale. Ainsi \(H\) est, canoniquement, extension d'un groupe étale par un groupe infinitésimal. Si \(k(s)\) est de caractéristique \(p\), la dualité de Cartier fournit de même un plus grand sous-groupe de type multiplicatif \(H^{\mathrm{tm}} \subset H^{\circ}\), d'où une filtration à trois crans \(0 \subset H^{\mathrm{tm}} \subset H^{\circ} \subset H\), « qu'on avait eu le tort de ne définir précédemment que sur un corps de base ».

Par passage à la limite, tout groupe de BT \(G\) sur un tel \(S\) a une filtration canonique et fonctorielle par des sous-groupes de BT \[ 0 \subset G^{\mathrm{tm}} = \varinjlim G(n)^{\mathrm{tm}} \subset G^{\circ} = \varinjlim G(n)^{\circ} \subset G, \] \(G^{\circ}\) plus grand sous-groupe de BT à fibres connexes et (si \(\mathrm{car}\, k(s) = p\)) \(G^{\mathrm{tm}}\) plus grand sous-groupe de BT toroïdal. En particulier \(G\) est extension du groupe de BT ind-étale \(G/G^{\circ}\) par le groupe de BT connexe \(G^{\circ}\), lequel, si \(\mathrm{car}\, k(s) = p\) et que l'idéal maximal de \(\mathcal{O}_{S,s}\) est nilpotent, est un groupe de Lie formel (b) ; et \(G\) est une extension triple : ind-étale, par connexe à dual connexe, par toroïdal. C'est la suite connexe-étale d'aujourd'hui.

Sur une base qui n'est pas un point — un trait de caractéristique \(p\) —, un groupe de BT n'est plus en général extension d'un ind-étale par un connexe : \(A(\infty)\), pour la courbe elliptique modulaire, échoue encore aux points d'invariant de Hasse nul, où la partie étale disparaît.

Proposition. Pour un groupe de BT \(G\) sur \(S\), conditions équivalentes :

• (i)\(G\) est extension d'un groupe de BT ind-étale par un groupe de BT à fibres connexes ;
• (ii)pour tout \(n\), \(G(n)\) est extension d'un groupe fini étale par un groupe fini radiciel ;
• (iii)de même pour \(n = 1\) ;
• (iv)la fonction \(s \mapsto\) rang séparable de \(G(1)_s\), nombre de points géométriques \(\mathrm{card}\, G(1)(\bar s)\), est localement constante²⁶ .

Elle résulte, dit la page, du lemme suivant, « qui figure dans EGA IV ? ».

Lemme. Soit \(X \to S\) fini localement libre. Il se factorise en \(X \to Y \to S\), avec \(X \to Y\) radiciel surjectif (fini localement libre) et \(Y \to S\) fini étale, si et seulement si la fonction \(s \mapsto \mathrm{card}\, X(\bar s)\) est localement constante. La factorisation est alors unique et fonctorielle en \(X\) ; si \(X\) est un schéma en groupes, elle est une structure d'extension, et \(X \mapsto X^{\mathrm{et}}\), \(X \mapsto X^{\circ}\) sont exacts sur les suites exactes courtes²⁷ . Le reste de la page 86 est blanc.

87–87

Extensions, conoyaux, hauteur (page 87)

Proposition. (i) Toute extension d'un groupe de BT par un groupe de BT est un groupe de BT. (ii) Le conoyau de tout monomorphisme de groupes de BT est un groupe de BT.

La page barre un (iii) — « le noyau de tout épimorphisme est de BT » —, et à juste titre : le noyau de \(p\,\mathrm{id}_G\) est \(G(1)\), qui n'est pas de BT²⁸ .

Démonstration. Soit \(0 \to G' \to G \to G'' \to 0\) exacte. Le lemme du serpent pour la multiplication par \(p\) donne la suite exacte \[ 0 \to G'(1) \to G(1) \to G''(1) \to G'/pG' \to G/pG \to G''/pG'' \to 0 . \] Dans le cas (i), \(G'/pG' = G''/pG'' = 0\), donc \(G/pG = 0\) ; dans le cas (ii), \(G'/pG' = G/pG = 0\), donc \(G''/pG'' = 0\). Dans les deux cas \(0 \to G'(1) \to G(1) \to G''(1) \to 0\) est exacte, d'où \(G(1)\) (cas i, extension de deux groupes finis localement libres) ou \(G''(1)\) (cas ii, quotient d'un fini localement libre par un sous-groupe fini localement libre) est fini localement libre. Les autres conditions sont claires.

Hauteur. Le rang de \(G(1)\) est en chaque point de la forme \(p^{r}\), \(r\) fonction localement constante sur \(S\) ; \(r\) est le rang, ou hauteur, du groupe de BT, et \(G(n)\) est de rang \(p^{rn}\).

89–90

V. Frobenius nilpotent, groupe formel associé, déformations (pages 89 et 90)

89–89

Groupes à Frobenius nilpotent (page 89)

« 2. Sur certains schémas en groupes finis loc. libres en car. \(p\) (Applications aux BT) ». Ici \(S\) est de caractéristique \(p\), et la page note \(\underline{f}\) un endomorphisme qu'elle ne définit pas ; nous le lisons comme le Frobenius relatif \(F\), avec \(G[i] = \mathrm{Ker}(F^{i}_{G/S} \colon G \to G^{(p^{i})})\)²⁹ . On suppose \(G = G[n]\), et l'on fixe \(1 \leq i \leq n-1\).

Proposition 2.2. Conditions équivalentes : (i) \(F^{i}\), qui envoie \(G\) dans \(G^{(p^{i})}[n-i] = G[n-i]^{(p^{i})}\), est plat sur son but, donc fidèlement plat ; (i bis) il est couvrant ; (ii), (ii bis) deux formulations par le gradué associé, l'une faisceautique, l'autre en schémas en groupes, que la page laisse en blanc³⁰ . C'est, au Frobenius près, la notion d'objet de Tate des pages 97 à 107 (« \(f^{n-j} \colon G \to \mathrm{Ker}\, f^{j}\) fidèlement plat »), ici avec \(f = F\) et la torsion par \((p)\)³¹ .

Un tel groupe est lisse à l'ordre \(p^{n} - 1\). Combinant 2.1 et 2.2 :

Corollaire 2.3. Si \(G\) est un groupe de BT sur \(S\) de caractéristique \(p\), alors pour tout \(n > 0\), \(G(n)\) est lisse à l'ordre \(p^{n} - 1\) sur \(S\), et \(\mathrm{Inf}^{k}(G) \subset G[n]\) pour \(k \leq p^{n} - 1\), où \(G[n] = G(n)[n] = G(i)[n]\) pour \(i \geq n\)³² .

Proposition 2.4. La catégorie des groupes de Lie formels commutatifs sur \(S\) de caractéristique \(p\) est équivalente à celle des systèmes inductifs \(F\)-coadiques \((G[n])_n\) de schémas en groupes finis localement libres satisfaisant aux conditions de 2.2.

Théorème 2.5. Soit \(G\) un groupe de BT sur \(S\) de caractéristique \(p\). Alors \[ \overline{G} = \mathrm{Inf}^{\infty}(G) = \varinjlim_n G(n)[n] \] est un groupe de Lie formel sur \(S\), avec \(\overline{G}[n] = G(n)[n]\), et pour \(k \leq p^{n} - 1\), \[ \mathrm{Inf}^{k} G = \mathrm{Inf}^{k} \overline{G} = \mathrm{Inf}^{k} G(n) \subset G(n)[n] \subset G(n). \] C'est le groupe formel \(\widehat{G}\) associé à un groupe de BT. Une note en marge demande d'en « donner [la] relation \(d + d^{*} = h\) » : la dimension de \(\widehat{G}\) plus celle de \(\widehat{G^{*}}\) égale la hauteur³³ . Les démonstrations ne sont pas dans le dossier.

90–90

Le théorème de déformation (page 90)

« 4. Déformations de groupes de BT : énoncés. » Le résultat, « qui sera essentiel pour la théorie de Dieudonné », renvoie à la « lettre Illusie, 6.4 ».

Théorème 4.1. Soit \(S_0 \hookrightarrow S\) une immersion fermée définie par un idéal nilpotent \(\mathcal{I}\), \(S\) affine et \(p\) localement nilpotent sur \(S\), et \(G_0\) un groupe de BT sur \(S_0\)³⁴ . Notons \(E(G_0, S)\) l'ensemble des classes de groupes de BT sur \(S\) qui prolongent \(G_0\), et de même \(E(G_0(n), S)\) pour les groupes de BT tronqués d'échelon \(n\). Alors :

• a)il existe un groupe de BT \(G\) sur \(S\) prolongeant \(G_0\) ;
• b)l'application \(E(G_0, S) \to E(G_0(n), S)\), \(G \mapsto G(n)\), est surjective ;
• c)si \(\mathcal{I}^{k} = 0\) et \(p^{N} 1_{S_0} = 0\), elle est bijective pour \(n \geq kN\) ;
• d)si \(\mathcal{I}^{2} = 0\), \(E(G_0, S)\) est un torseur sous \(\Gamma(S_0, t_{G_0^{*}} \otimes t_{G_0} \otimes \mathcal{I})\)³⁵ .

Le résultat « s'obtient via un résultat de déformation pour les groupes de BT tronqués (je ne sais pas procéder directement !) ». Les pages 94 et 95 en donnent les ingrédients. Le n° 5 annoncé ensuite, « Rapport sur le complexe cotangent relatif », est la suite manuscrite.

91–95

VI. Le complexe cotangent relatif (pages 91 à 95)

Quatre parties, marquées (A) à (D), qui forment le « rapport » annoncé à la page 90 : d'abord les généralités, puis les groupes plats, puis les déformations, puis les groupes de BT tronqués.

91–91

(A) Généralités (page 91)

Pour \(X \to Y\), le complexe cotangent \(L^{X/Y}\) est le « dérivé » du foncteur \(\Omega^{1}_{X/Y}\), dont on admet la définition (Illusie) ; il est fonctoriel. On calcule son tronqué \(\tau_{\leq 1} L^{X/Y}\) par un plongement dans un schéma (formellement) lisse ; il est quasi-cohérent, cohérent sous des hypothèses de finitude ; si \(X \to Y\) est d'intersection complète relative, \(H_i(L^{X/Y}) = 0\) pour \(i \geq 2\). Il a un triangle distingué de transitivité, d'où une suite exacte longue, et commute au changement de base \(S' \to S\) lorsque \(\mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_S}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_{S'}) = 0\) pour \(i > 0\) (par exemple si \(X \to S\) ou \(S' \to S\) est plat).

Trois applications, qu'on donne dans l'ordre logique³⁶ .

1. Extensions d'algèbres. Les classes d'extensions de la \(\mathcal{O}_S\)-algèbre \(\mathcal{O}_X\) par un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{J}\) de carré nul forment \(\mathrm{Ext}^{1}_{\mathcal{O}_X}(L^{X/S}, \mathcal{J})\), et les automorphismes d'une extension \(\mathrm{Ext}^{0}_{\mathcal{O}_X}(L^{X/S}, \mathcal{J}) = \mathrm{Hom}(\Omega^{1}_{X/S}, \mathcal{J})\), les dérivations.

2. Prolongement de morphismes. Soit \(Y_0 = V(\mathcal{J}) \subset Y\) avec \(\mathcal{J}^{2} = 0\), au-dessus de \(S\), et \(f_0 \colon Y_0 \to X\) un \(S\)-morphisme. L'obstruction à prolonger \(f_0\) en \(f \colon Y \to X\) est dans \(\mathrm{Ext}^{1}_{\mathcal{O}_{Y_0}}(Lf_0^{*} L^{X/S}, \mathcal{J})\) ; si elle s'annule, les prolongements forment un torseur sous \(\mathrm{Ext}^{0}_{\mathcal{O}_{Y_0}}(Lf_0^{*} L^{X/S}, \mathcal{J})\).

3. Déformations plates. Soit \(S_0 = V(\mathcal{J}) \subset S\) avec \(\mathcal{J}^{2} = 0\) et \(X_0\) plat sur \(S_0\). Posons \(\mathcal{J}_{X_0} = \mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} \mathcal{O}_{X_0}\). L'obstruction à déformer \(X_0\) en un \(X\) plat sur \(S\) est dans \(\mathrm{Ext}^{2}_{\mathcal{O}_{X_0}}(L^{X_0/S_0}, \mathcal{J}_{X_0})\) ; les déformations forment, si elle s'annule, un torseur sous \(\mathrm{Ext}^{1}\), et les automorphismes d'une déformation sont \(\mathrm{Ext}^{0}\). C'est la théorie d'Illusie (Complexe cotangent et déformations I, 1971)³⁷ .

92–93

(B) Groupes plats : le complexe de co-Lie (pages 92 et 93)

Soit \(G\) un schéma en groupes commutatif plat sur \(S\), de section unité \(e\). On pose \[ \ell^{G} = Le^{*} L^{G/S} \quad \text{(complexe de co-Lie)}, \qquad \check{\ell}^{G} = R\underline{\mathrm{Hom}}(\ell^{G}, \mathcal{O}_S) \quad \text{(complexe de Lie)}, \] notion que la page attribue à Mazur et Roberts³⁸ . Si \(G\) est localement de présentation finie, il est d'intersection complète relative, et \(\ell^{G}\) est parfait d'amplitude parfaite dans \([-1, 0]\) (cohomologiquement), \(\check{\ell}^{G}\) dans \([0, 1]\). On note \[ \omega_G = H_0(\ell^{G}), \quad n_G = H_1(\ell^{G}), \quad t_G = H^{0}(\check{\ell}^{G}), \quad \nu_G = H^{1}(\check{\ell}^{G}), \] de sorte que \(t_G = \check{\omega}_G\) et \(n_G = \check{\nu}_G\), et le rang de \(\ell^{G}\), qui vaut \(\mathrm{rg}\,\omega_G - \mathrm{rg}\, n_G\) quand ces deux modules sont localement libres, est la dimension relative de \(G\).

Une suite exacte \(0 \to G' \to G \to G'' \to 0\) de groupes plats donne un triangle distingué \(\ell^{G''} \to \ell^{G} \to \ell^{G'} \to \ell^{G''}[1]\), d'où, si \(G'\) est localement de présentation finie, la suite exacte \[ 0 \to n_{G''} \to n_G \to n_{G'} \to \omega_{G''} \to \omega_G \to \omega_{G'} \to 0 \] ³⁹ .

Formule remarquable. Pour \(G\) fini localement libre, de dual de Cartier \(G^{*}\), et \(\mathcal{J}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent, \[ R\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_S}(\ell^{G}, \mathcal{J}) \simeq \tau_{\leq 1} R\underline{\mathrm{Hom}}(G^{*}, \mathcal{J}), \] le second \(R\underline{\mathrm{Hom}}\) étant pris entre faisceaux abéliens. En degré \(0\) : \(t_G \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(G^{*}, \mathbb{G}_a)\) ; en degré \(1\) : \(\nu_G \simeq \underline{\mathrm{Ext}}^{1}(G^{*}, \mathbb{G}_a)\)⁴⁰ .

Lien avec la théorie de Dieudonné (page 93). Sur un corps parfait, si \(M = D^{*}(G)\), la page conjecture — tout est au conditionnel — que la suite exacte « du serpent » de \(p = V F\) sur \(M\), \[ 0 \to ({}_F M)^{(p)} \to ({}_p M)^{(p)} \xrightarrow{F} {}_V M \to M_F \xrightarrow{V} (M_p)^{(p)} \to (M_V)^{(p)} \to 0, \] où \({}_F M = \mathrm{Ker}\, F\) et \(M_F = \mathrm{Coker}\, F\), s'identifie terme à terme à \[ 0 \to n_G \to D^{*}(G(1))^{\vee} \to t_{G^{*}} \to \omega_G \to D^{*}(G(1)) \to \nu_{G^{*}} \to 0 , \] et plus précisément que \(\ell^{G} \simeq \mathcal{D}/F\mathcal{D} \otimes^{L}_{\mathcal{D}} M\), avec \(\mathcal{D}/F\mathcal{D} \simeq k_{\sigma}[V]\). Quatre des identifications se contrôlent sur les groupes d'ordre \(p\) : \(\omega_G \simeq M/FM\), \(t_{G^{*}} \simeq \mathrm{Ker}\, V\), \(n_G \simeq \mathrm{Ker}\, F\) et \(\nu_{G^{*}} \simeq \mathrm{Coker}\, V\), à une torsion par \(\sigma\) près⁴¹ . Elle propose enfin un isomorphisme de triangles distingués entre \(\ell^{G}[-1] \to \Delta^{*}(G) \to \check{\ell}^{G^{*}}\) et le triangle \(\mathcal{D}/F\mathcal{D} \otimes^{L} M \to \mathcal{D}/p\mathcal{D} \otimes^{L} M \to \mathcal{D}/V\mathcal{D} \otimes^{L} M\) déduit de \(p = VF\), pour un objet \(\Delta^{*}(G)\) d'amplitude parfaite \([0, 1]\) qui « devrait exister sur toute base »⁴² . Cet objet hypothétique, avec \(\omega_G\) en sous-objet et \(t_{G^{*}}\) en quotient, est ce que deviendra la filtration de Hodge du cristal de Dieudonné évalué sur \(S\), que la page 114 écrit \(0 \to \omega_G \to \mathbb{D}(G)_S \to t_{G^{*}} \to 0\)⁴³ .

94–94

(C) Déformations de groupes commutatifs plats (page 94)

La page attribue cette partie à Deligne et Illusie et renvoie en marge à « ma lettre à Illusie ». Soit \(S_0 = V(\mathcal{J}) \subset S\), \(\mathcal{J}^{2} = 0\). Les \(\mathrm{Ext}\) qui suivent sont ceux de faisceaux abéliens sur \(S_0\), à valeurs dans des complexes de modules⁴⁴ .

• (0)Déformations des torseurs sous un groupe plat de présentation finie : gouvernées par \(\mathrm{Ext}^{0}\) et \(\mathrm{Ext}^{1}\) de \(\ell^{G}\) dans \(\mathcal{J}\).
• (1)Prolongement d'un homomorphisme \(u_0 \colon G_0 \to H_0\) de groupes plats en \(u \colon G \to H\), \(G\) et \(H\) relevant \(G_0\) et \(H_0\) : obstruction dans \(\mathrm{Ext}^{1}(G_0, \check{\ell}^{H_0} \otimes^{L} \mathcal{J})\), prolongements formant un torseur sous \(\mathrm{Ext}^{0}(G_0, \check{\ell}^{H_0} \otimes^{L} \mathcal{J})\).
• (2)Déformation d'un groupe plat \(G_0\) : obstruction dans \(\mathrm{Ext}^{2}(G_0, \check{\ell}^{G_0} \otimes^{L} \mathcal{J})\), classes de déformations formant un torseur sous \(\mathrm{Ext}^{1}\), automorphismes d'une déformation donnés par \(\mathrm{Ext}^{0} = \mathrm{Hom}(G_0, \check{\ell}^{G_0} \otimes^{L} \mathcal{J})\)⁴⁵ .

Une variante est annoncée pour les modules sur un anneau \(\mathcal{R}\)⁴⁶ .

94–95

(D) Groupes de BT tronqués (pages 94 et 95)

Renvoi : « Lettre Illusie 5.3 ».

Proposition. Soit \(G(n)\) un groupe de BT tronqué d'échelon \(n\) sur \(S\), avec \(p^{N} 1_S = 0\) et \(n \geq N\). Alors \(\omega_{G(n)}\) et \(n_{G(n)}\) sont localement libres de même rang. Pour \(n \geq n' \geq N\), l'inclusion \(G(n') \hookrightarrow G(n)\) induit un isomorphisme \(\omega_{G(n)} \xrightarrow{\sim} \omega_{G(n')}\), et, si \(n' \leq n - N\), l'homomorphisme nul \(n_{G(n)} \to n_{G(n')}\) ; la projection \(p^{n-n'} \colon G(n) \to G(n')\) induit un isomorphisme \(n_{G(n')} \xrightarrow{\sim} n_{G(n)}\) et l'homomorphisme nul \(\omega_{G(n')} \to \omega_{G(n)}\). Si \(n \geq 2N\), \(\omega_{G(n)} \simeq n_{G(n)}\)⁴⁷ .

Théorème (page 95). Soit \(G\) un groupe de BT tronqué d'échelon \(n\) et \(M\) un module quasi-cohérent annulé par \(p^{n}\). Alors, avec \(\Lambda_n = \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}\), \[ \underline{\mathrm{Ext}}^{1}_{\Lambda_n}(G, M) = 0, \qquad \underline{\mathrm{Ext}}^{2}_{\Lambda_n}(G, M) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Ext}}^{2}_{\mathbb{Z}}(G, M). \] La page ajoute que \(\underline{\mathrm{Ext}}^{2}_{\mathbb{Z}}(G, M) = 0\) pour tout \(G\) fini localement libre si \(2\) est inversible, « ce qui simplifie la théorie des déformations pour les BT en car. \(p \neq 2\) ! »⁴⁸ . Avec (C)(2), c'est la voie annoncée page 90 : les obstructions et les classes de déformations d'un tronqué se lisent dans des \(\mathrm{Ext}\) que ce théorème contrôle.

96–107

VII. Les objets de Tate (pages 96 à 107)

La page 96 est une chemise : « Sorites sur Groupes \(p\)-divisibles et groupes de B.T. ». Les pages qui suivent isolent une structure abstraite — un objet muni d'un endomorphisme nilpotent qui se comporte comme un module libre sur \(\mathbb{Z}/p^{n}\) — puis l'appliquent aux schémas en groupes.

97–101

Dans une catégorie abélienne (pages 97, 99 et 101)

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie abélienne, \(A\) un objet, \(f\) un endomorphisme de \(A\) et \(n \geq 1\) avec \(f^{n} = 0\). On pose \(\mathrm{gr}^{i}_f(A) = f^{i}A / f^{i+1}A\) ; \(f^{i}\) induit des épimorphismes \[ \theta^{i} \colon \mathrm{gr}^{0}_f(A) \twoheadrightarrow \mathrm{gr}^{i}_f(A), \qquad \text{d'où}\quad \theta \colon \mathrm{gr}^{0}_f(A)[t] \twoheadrightarrow \mathrm{gr}^{\bullet}_f(A). \]

Proposition. Les conditions suivantes sont équivalentes :

• (i)\(\theta^{i}\) est un isomorphisme pour \(i \leq n-1\) ;
• (i bis)\(\theta^{i}\) est un monomorphisme pour \(i \leq n-1\) ;
• (i ter)\(\theta^{n-1}\) est un monomorphisme ;
• (ii)\((f^{i})^{-1}(f^{i+1}A) = fA\) pour \(0 \leq i \leq n-1\) ;
• (ii bis)\(\mathrm{Ker}\, f^{n-1} = fA\) ;
• (iii)\(\mathrm{Ker}\, f^{j} = \mathrm{Im}\, f^{n-j}\) pour \(0 \leq j \leq n\) ;
• (iv)il existe \(j\), \(1 \leq j \leq n-1\), tel que \(\mathrm{Ker}\, f^{j} = \mathrm{Im}\, f^{n-j}\).

Un couple \((A, f)\) qui les satisfait est un objet de Tate de degré \(n\). Exemple : un \(\mathbb{Z}/p^{n}\)-module libre, avec \(f = p\).

Démonstration. (i) \(\Leftrightarrow\) (i bis) parce que les \(\theta^{i}\) sont épimorphiques. Le noyau de \(\theta^{i}\) est \((f^{i})^{-1}(f^{i+1}A)/fA\), d'où (i bis) \(\Leftrightarrow\) (ii), et pour \(i = n-1\), (i ter) \(\Leftrightarrow\) (ii bis). (i bis) \(\Rightarrow\) (i ter) est trivial, et (i ter) \(\Rightarrow\) (i bis) parce que \(\theta^{n-1}\) est le composé de \(\theta^{i}\) et de l'épimorphisme \(\mathrm{gr}^{i} \to \mathrm{gr}^{n-1}\) induit par \(f^{n-1-i}\)⁴⁹ .

(ii bis) \(\Rightarrow\) (iii). Toujours \(\mathrm{Im}\, f^{n-j} \subset \mathrm{Ker}\, f^{j}\). Pour l'inverse, soit \(1 \leq j \leq n-1\) : on a \(\mathrm{Ker}\, f^{j} \subset \mathrm{Ker}\, f^{n-1} = fA\), donc tout élément de \(\mathrm{Ker}\, f^{j}\) est \(fy\) avec \(f^{j+1}y = 0\), soit \(\mathrm{Ker}\, f^{j} = f(\mathrm{Ker}\, f^{j+1})\), et de proche en proche \[ \mathrm{Ker}\, f^{j} = f\,\mathrm{Ker}\, f^{j+1} = \dots = f^{n-1-j}\,\mathrm{Ker}\, f^{n-1} = f^{n-j}A \] ⁵⁰ . (iii) \(\Rightarrow\) (ii bis) : faire \(j = n-1\). (iii) \(\Rightarrow\) (iv) est trivial (\(n \geq 2\)).

(iv) \(\Rightarrow\) (ii bis). Notons \(S_j\) l'inclusion \(\mathrm{Ker}\, f^{j} \subset \mathrm{Im}\, f^{n-j}\). Si \(2 \leq j \leq n-1\), \(S_j\) entraîne \(S_{j-1}\) : \(\mathrm{Ker}\, f^{j-1} \subset \mathrm{Ker}\, f^{j} \subset \mathrm{Im}\, f^{n-j} \subset \mathrm{Im}\, f\), donc \(\mathrm{Ker}\, f^{j-1} = f(\mathrm{Ker}\, f^{j}) \subset f(\mathrm{Im}\, f^{n-j}) = \mathrm{Im}\, f^{n-j+1}\). De proche en proche, \(S_1\) : \(\mathrm{Ker}\, f \subset f^{n-1}A\), et comme l'inclusion inverse est toujours vraie, \(\mathrm{Ker}\, f = f^{n-1}A\). Alors \(f\) induit un isomorphisme \(A/f^{n-1}A \xrightarrow{\sim} fA\), qui envoie la filtration \((f^{i}A/f^{n-1}A)_i\) sur la filtration \((f^{i+1}A)_i\) ; c'est donc un isomorphisme sur les gradués, c'est-à-dire que \(f \colon \mathrm{gr}^{i} \to \mathrm{gr}^{i+1}\) est un isomorphisme pour \(i \leq n-2\), et les \(\theta^{i}\), qui en sont les composés, sont des isomorphismes : c'est (i)⁵¹ .

Rang. Supposons donnée sur \(\mathcal{C}\) une fonction \(\mathrm{rg}\) à valeurs entières positives, additive sur les extensions et nulle seulement sur l'objet nul⁵² . Comme \(\mathrm{rg}(A) = \sum_{i < n} \mathrm{rg}\, \mathrm{gr}^{i} \leq n\, \mathrm{rg}(A/fA)\), avec égalité si et seulement si chaque \(\theta^{i}\) est un isomorphisme, \[ (A, f) \text{ est de Tate de degré } n \iff \mathrm{rg}(A) = n\, \mathrm{rg}(A/fA). \]

Morphismes (pages 99 et 101). Soit \((B, g)\) un second objet de Tate, de même degré \(n\), et \(u \colon A \to B\) avec \(u f = g u\) et \(\mathrm{rg}(A/fA) = \mathrm{rg}(B/gB)\)⁵³ . Alors les conditions suivantes sont équivalentes : \(u\) est un isomorphisme ; \(u\) est un monomorphisme ; \(u\) est un épimorphisme ; \(\mathrm{gr}^{0}(u)\) est un monomorphisme ; \(\mathrm{gr}^{0}(u)\) est un épimorphisme. En effet, si \(u\) est mono, \(\mathrm{gr}^{0}(u)\) l'est, car \(\theta^{n-1}\) l'identifie à \(f^{n-1}A \to g^{n-1}B\) ; si \(u\) est épi, \(\mathrm{gr}^{0}(u) \colon A/fA \to B/gB\) l'est ; un mono ou un épi entre objets de même rang est un isomorphisme ; si \(\mathrm{gr}^{0}(u)\) est un isomorphisme, chaque \(\mathrm{gr}^{i}(u)\) l'est, puisque les \(\theta^{i}\) l'identifient à \(\mathrm{gr}^{0}(u)\) ; et un morphisme de filtrations finies qui est un isomorphisme sur les gradués est un isomorphisme.

Corollaire. Pour \(0 \leq i \leq n\), \(f^{i}A\) est le seul sous-objet de Tate de \(A\) stable par \(f\), de degré \(n - i\) et de rang \(\rho = \mathrm{rg}(A/fA)\) : un tel \(B\) est contenu dans \(\mathrm{Ker}\, f^{n-i} = f^{i}A\), qui est de Tate de degré \(n - i\) et de rang \(\rho\), et l'inclusion, mono entre objets de Tate de même degré et de même rang, est une égalité. Corollaire dual : \(A/f^{n-i}A\) est le seul quotient de Tate de \(A\) de degré \(n - i\) et de rang \(\rho\).

101–103

Parmi les schémas en groupes (pages 101 et 103)

Soit \(G\) un schéma en groupes commutatif, plat et de présentation finie sur \(S\)⁵⁴ , \(f\) un endomorphisme de \(G\) et \(n\) un entier avec \(f^{n} = 0\). Fixons \(1 \leq j \leq n-1\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

• (i)\(\mathrm{Ker}\, f^{j}\) est plat sur \(S\), et \(f^{n-j} \colon G \to \mathrm{Ker}\, f^{j}\) est fidèlement plat ;
• (ii)pour tout \(s \in S\), \((G_s, f_s)\) est un objet de Tate de degré \(n\) dans la catégorie abélienne des groupes algébriques commutatifs sur \(k(s)\).

Démonstration. (i) \(\Rightarrow\) (ii) : les noyaux commutent au changement de base, et (i) donne \(\mathrm{Ker}\, f_s^{j} = \mathrm{Im}\, f_s^{n-j}\) ; on conclut par (iv) ci-dessus. (ii) \(\Rightarrow\) (i) : soit \(H = \mathrm{Ker}\, f^{j}\), de présentation finie, et \(g \colon G \to H\) induit par \(f^{n-j}\) (il existe puisque \(f^{j}f^{n-j} = 0\)). Par (ii), \(g_s\) est fidèlement plat pour tout \(s\) ; comme \(G\) est plat de présentation finie et \(H\) de présentation finie, le critère de platitude par fibres (EGA IV, 11.3.10) montre que \(g\) est fidèlement plat et que \(H\) est plat.

Corollaires. La condition ne dépend pas de \(j\) ; tous les \(\mathrm{Ker}\, f^{j}\) sont alors plats, et pour \(j \geq j'\) les quotients \(\mathrm{Ker}\, f^{j}/\mathrm{Ker}\, f^{j'}\) sont représentables par des schémas en groupes de présentation finie⁵⁵ . Si \(G\) est fini sur \(S\), le rang de Tate se lit en un point, et il y a un seul sous-objet de Tate de degré donné \(i \leq n\) et de rang \(\rho\) donné ; « kif-kif pour quotients ».

Pour \(G\) fini localement libre, \(f = p\,\mathrm{id}_G\) et \(n \geq 2\), ce sont exactement les groupes de BT tronqués d'échelon \(n\) : un groupe fini localement libre annulé par \(p^{n}\) avec \(\mathrm{Ker}\, p^{j} = \mathrm{Im}\, p^{n-j}\)⁵⁶ . Les pages 97 à 103 donnent donc une théorie des groupes de BT tronqués qui ne sait d'eux que leur endomorphisme \(p\).

105–107

Un sous-groupe d'un objet de degré 2 (pages 105 à 107)

Le cadre, que la page ne dit pas, se reconstitue : \(S\) est un trait de point générique \(\eta\), \(G_2\) un groupe fini plat sur \(S\) qui est de Tate de degré \(2\) pour \(p\), \(G_1 = \mathrm{Ker}\, p\), de sorte que \(p\) induit \(G_2/G_1 \xrightarrow{\sim} G_1\) ; \(G'_2 \subset G_2\) est un sous-groupe fini plat, adhérence schématique de sa fibre générique, et \(G''_2 = G_2/G'_2\)⁵⁷ . On pose \(G'_1 = \overline{G'_{2\eta} \cap G_{1\eta}}\). Alors \[ G'_1 \subset \overline{G'_{2\eta}} \cap \overline{G_{1\eta}} = G'_2 \cap G_1 = \mathrm{Ker}(p|_{G'_2}), \] avec égalité si et seulement si \(G'_2 \cap G_1\) est plat sur \(S\). La multiplication par \(p\) envoie \(G'_2\) dans \(G'_1\) (fibre par fibre, puis par platitude) et tue \(G'_1\), d'où \(G'_2/G'_1 \to G'_1\), de noyau \((G'_2 \cap G_1)/G'_1\). C'est aussi le noyau de la flèche \(\alpha'' \colon G''_1 = G_1/G'_1 \to G''_2\) induite par les inclusions \(G'_1 \subset G'_2\), \(G_1 \subset G_2\), et la page l'inscrit dans la suite exacte \[ 0 \to \mathrm{Ker}\, \alpha'' \to G'_2/G'_1 \to G_2/G_1 \to G''_2/\mathrm{Im}\, G''_1 \to 0 \] ⁵⁸ .

Page 107, la liste de conditions équivalentes : a) \(G'_1 = G'_2 \cap G_1\) ; b) \(G'_2 \cap G_1\) est plat ; c) \(G'_2\) est de Tate de degré \(2\) ; d) \(G'_2/G'_1 \to G'_1\) est un monomorphisme ; e) c'en est un épimorphisme ; f) \(p \colon G'_2 \to G'_1\) est un épimorphisme. Les équivalences a) \(\Leftrightarrow\) b) \(\Leftrightarrow\) d) valent toujours. Celles qui font intervenir c), e), f) demandent que \(G'_{2\eta}\) soit elle-même de Tate de degré \(2\) — ce qui donne à \(G'_2/G'_1\) et \(G'_1\) le même rang —, et sous cette hypothèse les six conditions sont équivalentes⁵⁹ . La page commence une liste duale pour le quotient — f*) \(G''_1 \to G''_2\) mono, c*) \(G''_1\) de Tate de degré \(2\) — et la laisse inachevée.

Un encadré, en dessous, rassemble des essais d'exemples : un groupe dont la fibre générique est \((\mathbb{Z}/p^{2} \times \mathbb{Z}/p)_\eta\), \(\mathbb{Z}/p^{2} \to \alpha_p\), et un groupe \(C\) muni de \(u \colon C \to C\) relevant \(F\), avec les relations formelles \(V = uF\), \(F = u^{-1}V\), \(V^{2} = up\), \(F^{2} = u^{-1}p\) tirées de \(VF = p\)⁶⁰ .

La page 106, brouillon dans plusieurs sens, reprend les calculs de \(\mathrm{Ker}\, f^{j} = \mathrm{Im}\, f^{n-j}\) (« \(\mathrm{Ker}\, f = \mathrm{Im}\, f^{n-1} \Rightarrow \mathrm{Ker}\, f^{j} = \mathrm{Im}\, f^{n-j}\) », qui est l'étape \(S_1\) ci-dessus). Elle s'ouvre sur quatre lignes en anglais, d'une main que le feuillet ne permet pas d'attribuer : « ? Proof of 1st conj. : given \(0 \to \Phi' \to \Phi(G) \to \Phi'' \to 0\) (Galois-devissage), then can define \(G'\), \(G''\) so \(\Phi' = \Phi(G')\), \(\Phi'' = \Phi(G'')\) ». Ni la conjecture ni \(\Phi\) ne sont définis.

109–109

VIII. Épimorphismes formellement lisses (page 109)

Pour une suite exacte \(0 \to N \to G \xrightarrow{u} H \to 0\), la page note d'abord qu'elle n'entraîne pas que \(N\) soit formellement lisse. Elle cherche ensuite des conditions équivalentes pour qu'un homomorphisme \(u\) soit formellement lisse et épimorphique : (iii) \(u\) l'est ; (iii bis) \(u_s\) l'est sur la fibre spéciale ; (iv) \(G_k \to H_k\) est un épimorphisme (formellement lisse) et \(\Phi(G) \to \Phi(H)\) est surjectif ; (i) et (ii), sur les points à valeurs dans un objet que la page ne laisse pas lire, sont illisibles en partie, et (iv bis) est vide. Deux remarques : \(\Phi\) est « conservatif » — si \(\Phi(u)\) est un isomorphisme, \(u\) en est un — et, si \(u\) est formellement fidèlement plat sans être formellement lisse, \(\Phi(u)\) n'est pas surjectif⁶¹ .

112–114

IX. « Conférence à Nice » (pages 112 à 114)

Trois pages au propre, titrées de sa main, encadré : le canevas d'un exposé. Il est vraisemblable qu'il s'agisse de sa conférence au Congrès international des mathématiciens de Nice, en septembre 1970, publiée sous le titre « Groupes de Barsotti–Tate et cristaux »⁶² . Le plan va du groupe de BT au foncteur de Dieudonné cristallin, en quatre parties.

112–112

1) et 2) Groupes de Barsotti–Tate, groupe formel (page 112)

Topologie fppf sur \(S\), \(p\) fixé. \(G\) est un groupe de BT si a) \(pG = G\), b) \(G\) est de \(p\)-torsion, c) \(G(1)\) est fini localement libre. Alors chaque \(G(n)\) l'est, de rang \(p^{nh}\) si \(G(1)\) est de rang \(p^{h}\), et \(G = \varinjlim G(n)\)⁶³ . Exemple important : pour un schéma abélien \(A\), \(G = A(p^{\infty})\), \(G(n) = A(p^{n})\).

Théorème de Serre–Tate. Si \(p\) est localement nilpotent sur \(S\) et \(S_0 \hookrightarrow S\) défini par un idéal nilpotent, le foncteur \(A \mapsto (A_0, A(p^{\infty}), \varphi)\), où \(\varphi\) identifie \(A(p^{\infty})_{S_0}\) à \(A_0(p^{\infty})\), est une équivalence entre schémas abéliens sur \(S\) et triplets formés d'un schéma abélien \(A_0\) sur \(S_0\), d'un groupe de BT sur \(S\) et d'un tel isomorphisme⁶⁴ . Vient ensuite le groupe formel \(\widehat{G}\) associé à un groupe de BT (le théorème 2.5 de la page 89).

112–113

3) Cristaux (pages 112 et 113)

Puissances divisées. Sur un idéal \(I\), des opérations \(x \mapsto x^{[n]}\) (\(n \geq 0\)), qui miment \(x^{n}/n!\) : \(x^{[0]} = 1\), \(x^{[1]} = x\), \(x^{[n]} \in I\) pour \(n \geq 1\), \[ (x+y)^{[n]} = \sum_{i+j=n} x^{[i]} y^{[j]}, \qquad (\lambda x)^{[n]} = \lambda^{n} x^{[n]}, \] et les autres identités usuelles⁶⁵ . On note \(I^{[n]}\) l'idéal engendré par les monômes de poids \(\geq n\) en les \(x^{[i]}\). Les puissances divisées sont nilpotentes si \(I^{[n]} = 0\) pour \(n\) grand, et la page appelle quasi-nilpotentes celles pour lesquelles \((n-1)!\, I^{[n]} = 0\) pour \(n\) grand. L'exponentielle \(\exp(x) = \sum_{n \geq 0} x^{[n]}\) a un sens dans le premier cas, le logarithme \(\log(1+x) = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} (n-1)!\, x^{[n]}\) dans le second⁶⁶ .

Site cristallin (absolu, ou relatif) : ses objets sont des épaississements à puissances divisées, qu'on exige compatibles aux puissances divisées usuelles de \(p\)⁶⁷ . En marge : « début de théorie cohomologique (cf. Illusie) développée par Berthelot »⁶⁸ .

Les cristaux de modules localement libres sont les modules localement libres sur le site cristallin dont les morphismes de transition sont des isomorphismes. Deux exemples :

• si \(S = \mathrm{Spec}\, A_0\), \(A_0\) parfait de caractéristique \(p\), les cristaux sur \(A_0\) sont les modules localement libres sur \(A = W(A_0)\) ;
• si \(X_0\) est lisse sur un corps parfait \(k\), \(W = W(k)\), et \(\mathcal{X}\) un schéma formel lisse sur \(W\) relevant \(X_0\), un cristal est un module localement libre \(M\) sur \(\mathcal{X}\) muni d'une connexion intégrable (à courbure nulle) relativement à \(W\), et topologiquement quasi-nilpotente⁶⁹ .

« Ce sont des genres d'animaux rencontrés naturellement par Dwork, Katz, … »

113–114

4) Le programme (pages 113 et 114)

• I)Pour \(S\) un schéma où \(p\) est localement nilpotent, on définit un « foncteur de Dieudonné » \[ \mathrm{BT}(S)^{\circ} \longrightarrow \{\text{cristaux en modules localement libres sur } S\}, \qquad G \longmapsto \mathbb{D}(G), \] compatible au changement de base.
• II)Si \(S\) est de caractéristique \(p\), \(M = \mathbb{D}(G)\) est muni de \(F_M\), \(V_M\) avec \(F_M V_M = V_M F_M = p\,\mathrm{id}\) : c'est un cristal de Dieudonné. « Il se pourrait que le foncteur \(\mathrm{BT}(S)^{\circ} \to \{\text{cristaux de Dieudonné}\}\) soit pleinement fidèle, et j'ai une idée de ce que pourrait être l'image essentielle… »⁷⁰ .
• III)Pour \(S = \mathrm{Spec}\, k\), \(k\) parfait de caractéristique \(p\), on retrouve le foncteur de Dieudonné classique de la page 81.
• IV)\(\mathbb{D}(G)_S\) porte une filtration \[ 0 \to \omega_G \to \mathbb{D}(G)_S \to t_{G^{*}} \to 0 \] ⁷¹ ; c'est la filtration de Hodge. Soit \(S_0 \hookrightarrow S\) défini par un idéal muni de puissances divisées (nilpotentes), \(p\) localement nilpotent sur \(S\). Alors prolonger \(G_0\) en un groupe de BT sur \(S\) est « la même chose » que prolonger la filtration de \(\mathbb{D}(G_0)_S\), c'est-à-dire relever \(\omega_{G_0}\) en un sous-module localement facteur direct de \(\mathbb{D}(G_0)_S\). La page le restreint aux \(G_0\) dont les fibres sont toroïdales ou connexes⁷² .
• V)À isogénie près, sur un anneau \(A\) noethérien complet pour la topologie \(p\)-adique, \(A_0 = A/pA\), le foncteur \(G \mapsto (G_0, \text{filtration sur } \mathbb{D}(G_0)_A)\) serait pleinement fidèle. Pour un anneau de valuation discrète complet à corps résiduel parfait \(k\), un groupe de BT serait connu à isogénie près par le module de Dieudonné \(M\) de sa fibre spéciale et une filtration sur \(M \otimes_W A\), rendu rationnel⁷³ .

Le dossier s'arrête sur ce programme. Ce qu'il a mis en place tient en peu de mots : le groupe de BT et sa suite connexe-étale (pages 83 à 87), son groupe formel (page 89), la théorie des déformations par le complexe cotangent et l'annonce qu'un groupe de BT se déforme sans obstruction (pages 90 à 95), une théorie abstraite des groupes tronqués (pages 97 à 107) — et, page 114, l'énoncé qui fait de la déformation d'un groupe une affaire d'algèbre linéaire.