Fonds Grothendieck, cote n° 128, pages 1–20

Réductions via le conducteur

titre de sa main, en tête de la page 1, souligné et précédé d'un « 1 » cerclé

Proposition 1. A un anneau, I un idéal de A, B une A-algèbre ~~contenant A~~, telle que l'application \lambda \mapsto \lambda 1_B de I dans B soit injective, et que son image soit un idéal dans B [nécessairement égal à IB]. Pour tout entier n \geqslant 0 considérons l'anneau C^n = \bigotimes^{n+1}_A B, et l'application \lambda \mapsto \lambda 1_{C^n} de I dans C^n ; ~~Alors~~ cette application est injective, et son image est un idéal. « [nécessairement égal à IB] » est ajouté en interligne, à l'encre plus foncée, de même que « C^n = \bigotimes^{n+1}_A B » ; il écrit \otimes cerclé, l'exposant n+1 au-dessus et l'indice A au-dessous, et C en capitale grasse

De façon précise, soit A_0 = A/I, B_0 = B \otimes_A A_0 = B/IB = B/I1_B, alors l'application I \to \uncertain{C^n} précédente, et l'application C^n_0 = \bigotimes_{A_0} B_0, donnent lieu à une suite exacte 0 \leftarrow C^n_0 \leftarrow C^n = \bigotimes_A B \leftarrow I passage barré d'un trait horizontal et de plusieurs traits obliques ; la lettre lue C y ressemble à un K

En effet, \begin{aligned} \lambda (b_0 \otimes \cdots \otimes b_n) &= (\lambda b_0) \otimes b_1 \cdots \otimes b_n \\ &= (\lambda_0 \otimes 1) \otimes b_2 \cdots \otimes b_n && \text{pour } \lambda_0 \in I \text{ conv.} \\ &= 1_B \otimes \bigl[\lambda_1 (b_2 \otimes \cdots \otimes b_n)\bigr] = \\ &= 1_B \otimes \mu (1_B \otimes \cdots \otimes 1_B) && \mu \in I \text{ conv.} \\ &= \mu (1_B \otimes \cdots \otimes 1_B) \end{aligned} d'où le résultat par récurrence sur n (trivial pour n = 0). la seconde ligne est surchargée (un pâté d'encre entre \lambda et 1, un B sous le produit) et sa lecture n'est pas sûre ; « d'où le résultat par récurrence … » est écrit à gauche des deux dernières lignes, qui ont été ajoutées après ; au-dessus et au-dessous des deux derniers produits, des accolades comptent les facteurs : n, puis n+1

Pour l'injectivité, on remarque que I \to \bigotimes_A B \to B induit une injection i.e. par hyp., elle l'était .

Lemme 1. A anneau, I un idéal de A, B et C deux A-algèbres, telles que B/IB A et C/IC I A \to B injectif et IB = I, de même A \to C injectif et IC = I. Alors A \to B \otimes_A C = D est injectif et encadré et barré de traits obliques ; ce lemme 1 n'est pas celui des pages 19–20

Comme I \cdot 1_{C^n} = IC^n, et C^n/IC^n = C^n_0 \bigl(= \bigotimes_{A_0} B_0, où A_0 = A/I, B_0 = B/IB\bigr) on trouve :

Corollaire 1. On a une suite exacte (pour tout ens. fini d'indices E) 0 \to I \to \bigotimes^E_A B \to \bigotimes^E_{A_0} B_0 \to 0 . Si on a une application d'ens. finis \sigma : E \to F, on a correspondants dans le diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & I \arrow[r] \arrow[d, no head, "\mathrm{id}"'] & \bigotimes^E_A B \arrow[r] \arrow[d, "\sigma_{B/A}"] & \bigotimes^E_{A_0} B_0 \arrow[r] \arrow[d, "\sigma_{B_0/A_0}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & I \arrow[r] & \bigotimes^F_A B \arrow[r] & \bigotimes^F_{A_0} B_0 \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

« E \to F » est en interligne, au-dessus de « finis » ; la verticale de gauche est un double trait marqué « id »

où les flèches verticales sont les homs. simpliciaux déduits de \sigma, d'où une suite exacte de A-modules simpliciaux 0 \to C_I \to C(B/A) \to C(B_0/A_0) \to 0 où C_I est le A-module simplicial trivial défini par I (foncteur E \mapsto I). « A-modules » en interligne au-dessus d'un mot barré ; après C(B/A) un mot noirci la lettre lue C dans C(B/A), comme dans C^n à la page 1, est une capitale grasse qui tient du C et du K ; à la page 3 il écrit nettement K(B/A)

Corollaire 2. L'hom. K(B/A) \to K(B_0/A_0) définit un isomorphisme H^i(B/A) \xrightarrow{\ \sim\ } H^i(B_0/A_0) \qquad \text{pour } i \neq 0 et une suite exacte 0 \to I \to H^0(B/A) \to H^0(B_0/A_0) \to 0 d'où \mathrm{Coker}\bigl(A \to H^0(B/A)\bigr) \simeq \mathrm{Coker}\bigl(A_0 \to H^0(B_0/A_0)\bigr)écrit en travers, le long de la marge gauche, et appelé par un signe d'insertion placé après la suite exacte

Cor. 3 a) Pour que H^i(B/A) = 0 il f. et s. que H^i(B_0/A_0) = 0 (i \neq 0 donné) b) A \to H^0(B/A) inj (surj) ssi A_0 \to H^0(B_0/A_0) inj (surj). « Cor. 3 », souligné, et les lettres a), b) sont ajoutés dans la marge, devant deux lignes serrées sous la suite exacte

Plus généralement, remplaçons par un A-module M plat, on trouve :

Corollaire 4 Soit M un A-module plat. On a une suite exacte de A-modules simpliciaux ~~complexes~~ 0 \to C_{M \otimes_A I} \to K(B/A, M) \to K(B_0/A_0, M_0) \to 0 d'où des isomorphismes H^i(B/A, M) \simeq H^i(B_0/A_0, M_0) \qquad i \neq 0 et une suite exacte 0 \to M \otimes_A I \to H^0(B/A, M) \to H^0(B_0/A_0, M_0) \to 0 . le « 4 » est surchargé sur un chiffre (3 ?) et suivi d'un mot barré ; « plat » est souligné deux fois

Corollaire 5. Supposons B_0 fid. plat sur A_0. Alors pour tout A-module plat M, on a \begin{cases} H^i(B/A, M) = 0 & i \neq 0 \\ H^0(B/A, M) \xleftarrow{\ \sim\ } M \end{cases}

NB Ce résultat est équivalent au résultat correspondant dans le cas où M = A, i.e. à \begin{cases} H^i(B/A) = 0 & i \neq 0 \\ H^0(B, A) \xleftarrow{\ \sim\ } A \end{cases} il écrit bien H^0(B, A) dans la seconde accolade

Proposition 2. A, I, B = A' comme ci-dessus (tels que^{(*)} H^0(B/A) \xleftarrow{\ \sim\ } A, H^1(B/A) \simeq 0 (cf cor. 3)), E' un A'-module plat, muni d'une donnée de descente relative à A'/A [d'où E'', E''' … formant un complexe C^{*}_D(A'/A ; E')]. Supposons que la donnée de descente sur E'_0 relative à A'_0/A_0 déduite par changement de base A_0 \to A'_0 soit effective [pour la catégorie fibrée des Modules plats], i.e. \exists\, E_0 module plat sur A_0, et un isom. compatible aux descentes E_0 \otimes_{A_0} A'_0 \simeq E'_0. Alors effectivité et I nilpotentdans la marge gauche, devant « Proposition 2 », « et I nilpotent » (le dernier mot souligné deux fois), appelé par un signe d'insertion ; au-dessus, un mot encadré entièrement noirci de hachures. La parenthèse « tels que … » est en interligne et reliée par une accolade à « dessus » ; dans C^{*}_D l'indice D est ajouté

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & E' \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] \arrow[dd, no head] & E'' \arrow[r, bend left=12] \arrow[r] \arrow[r, bend right=12] & E''' \\ E_0 \arrow[r, dashed] \arrow[dd, dashed, no head] & E'_0 \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] & E''_0 \arrow[r, bend left=12] \arrow[r] \arrow[r, bend right=12] & E'''_0 \\ A \arrow[r] & A' \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] & A'' \arrow[r, bend left=12] \arrow[r] \arrow[r, bend right=12] & A''' \\ A_0 \arrow[r] & A'_0 \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] & A''_0 \arrow[r, bend left=12] \arrow[r] \arrow[r, bend right=12] & A'''_0 \end{tikzcd}

le dessin est en perspective : deux étages, E au-dessus de A, chacun avec sa réduction ({}_0) décalée en avant ; de petits traits obliques relient chaque terme à sa réduction et des traits verticaux chaque E à son A ; seuls ceux de E' et de E_0 sont redessinés ici. Le trait E_0 \to E'_0 et la verticale sous E_0 sont en pointillé ; les doubles et triples traits horizontaux sont rendus par des arcs

(*) Ces conditions signifient que \mathrm{Spec}\, B \to \mathrm{Spec}\, A est un morphisme de descente pour la cat. fib. des modules plats, et équivalent : la même cond. pour B_0/A_0 par cor. 3note de bas de page de sa main, sous un trait, appelée par l'astérisque cerclé de l'interligne

également pour la donnée de descente sur E' relative à A'/A, i.e. si E \subset E' est le sous-A-module des invariants de E', E = H^0_D(A'/A ; E'), alors E est plat sur A et E \otimes_A A' \to E' est un isomorphisme.

Dém. Supposons d'abord I^2 = 0en interligne, entouré, « Supposons » souligné On a d'abord grâce à une suite ~~longue de complexes~~ exacte de A-modules simpliciaux (sans hypothèse d'effectivité pour E'_0 rel. à A'_0/A') 0 \to I C^{*}_D(A'/A, E') \to C^{*}_D(A'/A, E') \to C^{*}_D(A'_0/A_0, E'_0) \to 0 il écrit bien A'_0/A' dans la parenthèse ~~C^{*}_D(A'~~ et pour tout n, en vertu de la platitude de E'/A' donc de E^{(n)}/A^{(n)}, et de I^2 = 0 : (*) \qquad I C^n_D(A'/A, E') \simeq E^{(n)}_0 \otimes_{A^{(n)}_0} \underset{\substack{\| \\ I}}{I A^{(n)}} \sim \bigl[où A^{(n)} = \bigotimes^{n+1}_A A', E^{(n)} = E \otimes_A A^{(n)} etc\bigr]. Grâce à l'effectivité pour E'_0 rel. A'_0/A_0, on peut écrire (*) sous la forme \bigl(E_0 \otimes_{A_0} A^{(n)}_0\bigr) \otimes_{A^{(n)}_0} I A^{(n)} \simeq E_0 \otimes_{A_0} \bigl(\underset{\substack{\| \\ I}}{I A^{(n)}}\bigr) \simeq E_0 \otimes_{A_0} I d'où la suite exacte de A-modules simpliciaux : 0 \to C^{*}_{E_0 \otimes_{A_0} I} \to C^{*}_D(A'/A, E') \to C^{*}_D(A'_0/A_0, E'_0) \to 0 sous E^{(n)}_0 et sous les deux derniers E_0 \otimes_{A_0} des accolades ; dans E^{(n)}_0 un astérisque est surchargé ; le mot lu « donc » est en interligne

On en conclut la suite exacte 0 \to E_0 \otimes_{A_0} I \to \underset{\substack{\| \\ E}}{H^0_D(A'/A, E')} \to \underset{\substack{\| \\ E_0}}{H^0_D(A'_0/A_0, E'_0)} \to 0 compte tenu que H^i\bigl(C_{E_0 \otimes_{A_0} I}\bigr) = \begin{cases} E_0 \otimes_{A_0} I & \text{pour } i = 0 \\ 0 & \text{pour } i = 1 \\ \end{cases} \quad (\text{et } \uncertain{\text{même}}\ i \neq 0) les indices D sous les deux H^0 sont ajoutés à l'encre plus foncée

Cela prouve d'abord que E \to E_0 est surjectif, ~~donc \mathrm{Im}(E \to E') engendre le A'-module E',~~ puis et de façon précise que

a) \mathrm{Ker}(E \to E_0) = IE, donc E \to E_0 induit un isomorphisme E/IE = E \otimes_A A_0 \xrightarrow{\ \sim\ } E_0

b) \underbracket{E/IE} \otimes_{A_0} I \to IE un isomorphisme, donc grâce à a) et E_0 plat sur A_0, E est plat sur A. « puis » est écrit dans un petit cadre, au-dessus d'un « donc » barré ; « plat » est souligné deux fois

Considérons maintenant ~~le diagramme~~ l'hom. E \otimes_A A' \to E' c'est un hom. de A'-modules plats qui ~~diagramme~~ sous « c'est un hom. », un petit carré barré, dont on lit E_0 \otimes_{A_0} A'_0 \xrightarrow{\ \sim\ } E'_0 en bas et une flèche verticale « surj » à gauche, relié par un trait au mot « diagramme »

~~le diagramme E \otimes_A A' \to E' \to E'_0 est surjectif, donc par Nakayama sur A' ( IA' nilpotent) .~~ deux lignes et demie barrées d'un trait et de traits obliques, remplacées par ce qui suit

E \otimes_A A' IA', donc est un isomorphisme.

Dans le cas général I^n = 0 on procède par récurrence sur n, en notant que c'est trivial pour n = 1, déjà fait pour n = 2, on peut supposer n > 2 et le dém. fait pour n - 1. Il Il suffit alors d'utiliser l'hyp. de récurrence et le

Lemme. Si I, J sont deux idéaux de A tels que \lambda \mapsto \lambda 1_B est une bijection de I (J) sur un idéal de B, alors il en est de même de IJ. Cela s'applique, donc, aux puissances I^{\nu} de I, avec \nu \geqslant 1. ~~Si de plus~~

(Lemme trivial)

Corollaire 1. Soient A, I, B = A' comme dessus [A \subset B, I \subset A un idéal nilpotent de A tel que IB = I]. ~~et tel que~~ Supposons B_0/A_0 ~~fid. plat~~ morphisme de descente effective pour la cat. fibrée des modules plats, p.ex. B_0/A_0 fid. plat. Alors \mathrm{Spec}\, B \to \mathrm{Spec}\, A est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des modules plats. « morphisme de » et « B_0/A_0 fid. plat » sont en interligne, le second au-dessus de « Alors », où il remplace un « fid. plat » barré placé entre « Spec » et « B »

On peut noter le corollaire immédiat

Corollaire 2. Soient X X un préschéma, I un Idéal quasi-cohérent nilpotent sur X, X' = \mathrm{Spec}(\mathcal{A}') un X-préschéma, affine sur X, tel que I \to \mathcal{A}' soit un isomorphisme de I sur un Idéal de \mathcal{A}', et tel que \mathcal{A}'/I\mathcal{A}' soit fid. plat sur \mathcal{O}_X/I [i.e. \mathrm{Spec}(\mathcal{A}'/I\mathcal{A}') = X'_0 fid. plat sur V(I) = X_0]. Alors X' \to X est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des Modules quasi-coh. plats. « fibrée » et « quasi-coh. » en interligne ; il écrit \mathcal{A}' et \mathcal{O}_X en lettres rondes, le second souligné

De Il suit

Corollaire 3. Sous les conditions précédentes, ~~Soit A~~ pour tout morphisme plat de préschémas Y \to X, posant Y' = X' \times_X Y, la projection Y' \to Y est un morphisme de descente eff. universelle pour la catégorie fibrée des Modules quasi-coh. plats. « Sous les conditions précédentes » en interligne au-dessus d'un début de phrase barré ; « plat » est écrit au crayon dans une bulle reliée à « morphisme » ; en marge droite, Y \to X puis Y \to X, barrés ; le Y de Y' est surchargé

Ce résultat s'applique en particulier lorsque X = \mathrm{Spec}\, A, X' = \mathrm{Spec}\, A', où A, A' satisfont les conditions du corollaire 1 (avec A'_0/A_0 fid. plat), quand Y est un A-préschéma quelconque, et Y' = Y \otimes_A A'. fin du paragraphe marquée d'un double trait

~~Proposition 3~~ Reprenons le diagramme commutatif du Cor. 1 de prop. 1, en prenant F réduit à un pt, on trouve un diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & I \arrow[r] \arrow[d, Rightarrow, no head] & \bigotimes^n_A B \arrow[r, "\mathrm{pr}"] \arrow[d] & \bigotimes^n_{A_0} B_0 \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\ 0 \arrow[r] & I \arrow[r] & B \arrow[r] & B_0 \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

il écrit l'exposant n comme une barre au-dessus du \otimes cerclé ; la verticale de gauche est un double trait terminé par une pointe

et donc ~~le diagramme des noyaux~~

Proposition 3. [A, I, B comme dans Prop. 1.] Soient \Delta^{(n)}_{B/A} = \mathrm{Ker}\bigl(\bigotimes^n_A B \to B\bigr), et définissons de même \Delta^{(n)}_{B_0/A_0}, alors l'hom. \bigotimes^n_A B \to \bigotimes^n_{A_0} B_0 induit un isom. \Delta^{(n)}_{B/A} \xrightarrow{\ \sim\ } \Delta^{(n)}_{B_0/A_0} « A, I, B comme dans Prop. 1. » est en interligne, entouré ; sous « Soient », un « 0 \to I \to 0 » (?) barré

Corollaire 1. Il y a correspondance biunivoque entre les idéaux J de \bigotimes^n_A B contenus dans l'idéal d'augmentation, et les idéaux J^0 de \bigotimes^n_{A_0} B_0 contenus dans l'idéal d'augmentation, donnée par \left\lbrace \begin{aligned} J &\mapsto p_n(J) \\ p_n^{-1}(J^0) \cap \Delta^{(n)}_{B/A} &\leftarrow J^0 \end{aligned} \right. Pour deux idéaux J, J^0 qui se correspondent, l'hom. naturel J \to J^0 est bijectif. « J, J^0 » en interligne ; la flèche de la seconde ligne est un \mapsto tourné vers la gauche

Notons que la correspondance précédente est compatible avec les relations d'ordre, et avec la formation de + et \cap. D'autre part, les ~~formations de ces~~ applications précédentes (pour n variable) commutent (cf Prop. 1, cor. 1) aux opérations simpliciales, dans un sens évident. On conclut de ce qui précède

Corollaire 2. (a) Il y a correspondance biunivoque (induite par celle du cor. 1 pour n = 2) entre relations d'équivalence dans « (cf Prop. 1, cor. 1) » est en interligne, relié par une accolade à la fin de la phrase ; le « (a) » est ajouté après coup

\mathrm{Spec}\, B sur \mathrm{Spec}\, A, et celles de \mathrm{Spec}\, B_0 sur \mathrm{Spec}\, A_0. (b) Cette correspondance est compatible avec les relations d'ordre, en particulier, la relation d'équivalence la plus (la moins) fine dans ~~plus fine. On en conclut :~~ \mathrm{Spec}\, B sur \mathrm{Spec}\, A, correspond à la relation d'équiv. la plus (la moins) fine de \mathrm{Spec}\, B_0 sur \mathrm{Spec}\, A_0. « en particulier, la relation » en interligne au-dessus d'un passage barré

[(c) Si J, J^0 sont des idéaux d'équivalence qui se correspondent, et ~~\Delta~~ C (C^0) les sous-anneaux de B (B_0) des invariants, alors C^0 \simeq C/IC \simeq C/I, [de façon plus précise, si \delta : B \to D = B \otimes_A B/J et \delta_0 : B_0 \to D_0 sont les homs. obvious, alors … \delta(b) \in ID ssi ~~b \in IB~~ \delta(b) = 0, i.e. \delta_0(b_0) = 0 ssi \delta(b) = 0 i.e. b_0 \in C_0 ssi b \in C], donc on C_0 aussi. Pour que J soit effectif, il f. et s. que J^0 le soit …] expliciter dans la marge gauche, en face de \delta_0, deux ou trois mots dont une ligne barrée les lettres (b) et (c) sont cerclées ; dans D = B \otimes_A B/J, le premier B est surchargé. La dernière ligne de crochet est repassée à l'encre foncée ; le reste de la page est blanc

Résultats auxiliaires sur les relations d'équivalence

titre de sa main, en tête de la page 12, précédé d'un « 2 » cerclé

Proposition 1. Soient A un anneau, \mathfrak{m} un idéal maximal de A, A' une A-algèbre, contenant A, tel que A'/A soit un A-module isomorphe à A/\mathfrak{m} = k. Sous ces conditions

(i) Il y a dans \mathrm{Spec}\, A' sur \mathrm{Spec}\, A exactement deux relations d'équivalence, la plus fine [correspondant à l'égalité dans \mathrm{Spec}\, A' sur \mathrm{Spec}\, A] et la moins fine [correspondant au produit fibré]

(ii) La suite 0 \to A \to A' \rightrightarrows A' \otimes_A A' est exacte, ~~plus précis~~ i.e. H^0(A'/A) \xleftarrow{\ \sim\ } A, et H^i(A'/A) = 0 pour i \neq 0

(iii) \mathrm{Spec}\, A' \to \mathrm{Spec}\, A est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des Modules quasi-coh. plats, et reste telle par toute extension de la base X \to \mathrm{Spec}(A).

Démonstration. A, A' et l'idéal \mathfrak{m} satisfont les conditions de prop. 1, de plus A_0 = A/\mathfrak{m} = k est un corps, et A'/\mathfrak{m}A' = A'/\mathfrak{m} \simeq A'_0 est un vectoriel de dim. 2 sur k, il est en particulier fid. plat sur k. Alors (ii) et (iii) résultent du No 1, Prop. 1, cor. 5, et prop. 2 (cor. 1 et cor. 3). Pour (i), utilisant No 1, Prop. 3, cor. 2, on est ramené au cas où A = k, donc A' est une algèbre de rang 2 sur k. On peut supposer k alg. clos. On doit distinguer deux cas « (cor. 1 et cor. 3) » et « On peut supposer k alg. clos. » sont en interligne ; « A_0 » porte en exposant un signe douteux ; dans A'/\mathfrak{m}A' le \mathfrak{m} est surchargé

(i) A' réduit, donc : A' \simeq k \times k, alors la question est purement ensembliste ; il y a exactement 2 relations d'équivalence dans un ens. à 2 éléments.

(ii) A' ~~\simeq k~~ non réduit, alors A' \simeq k[\varepsilon], avec \varepsilon^2 = 0. ( ). « A' réduit, donc : » est en interligne, entouré ; la page s'arrête là, sans la vérification du cas (ii)

Proposition 2. Soient A un anneau local artinien, A' une A-algèbre finie, A'' = (A' \otimes_A A')/J, où J est un idéal d'équivalence, \Delta = \mathrm{Ker}(A'' \to A'). ~~On suppose que~~ On suppose que ~~pour tout x \in A'~~ A \to A' \overset{p_1}{\underset{p_2}{\rightrightarrows}} A'' est une suite exacte, et que pour tout x' \in A' - A, l'élément \delta(x') = p_2(x') - p_1(x') est un générateur de l'idéal \Delta. [Sous ces conditions, \mathrm{long}\, A'/A \leqslant 1, et par suite (cf prop. 1, (i)) on a A'' \simeq A' \otimes_A A'. Supposons de plus les extensions résiduelles de A'/A trivialesdans la marge gauche, en oblique, appelé par un signe d'insertion placé devant « Sous ces conditions » Sans l'hypothèse \uparrow, il est vrai que \mathfrak{m}A' = \mathfrak{m}, donc on est ramené au cas A = kau-dessous, dans la marge, à l'encre bleue, entouré d'un trait et relié à la ligne « Soit \mathfrak{m}' = \mathfrak{r}(A') » ; la flèche montre la note précédente ; lecture douteuse

Soit \mathfrak{m}' = \mathfrak{r}(A'), distinguons deux cas

1o) A' n'est pas radiciel sur A, ~~. Alors~~ i.e. \mathrm{Ker}(A' \otimes_A A' \to A') ~~\Delta~~ n'est pas nilpotent. Comme J est nilpotent, il s'ensuit que \mathrm{Ker}(A'' \to A') = \Delta n'est pas nilpotent. Mais si x' \in \mathfrak{r}(A') = \mathfrak{m}', alors \delta(x') est nilpotent, donc \delta(x') A'' est nilpotent, d'où \delta(x') A'' \neq \Delta, d'où x' \in A par hyp., d'où \mathfrak{m}' \subset A et comme \mathfrak{m}' \cap A \subset \mathfrak{m} \subset \mathfrak{m}A' \subset \mathfrak{m}', on a donc \mathfrak{m}' = \mathfrak{m} = \mathfrak{m}A' « radiciel sur A » et « i.e. \mathrm{Ker}(A' \otimes_A A' \to A') » sont en interligne au-dessus d'une ligne barrée ; dans « \mathfrak{m}' \cap A \subset \ldots », en petit à droite, un \mathfrak{m}A est surchargé en \mathfrak{m}A' (?)

Donc on est dans les conditions du No 1, avec A_0 = A/\mathfrak{m} = k un corps. ~~Comme~~ Nous savons par No 1 prop. 3, cor. 2 qu'on aura

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] A \arrow[r] \arrow[d] & A' \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] \arrow[d] & A'' \arrow[d] \\ A_0 \arrow[r] & A'_0 \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] & A''_0 \end{tikzcd}

trois mots au crayon, en oblique dans la marge gauche, en face du diagramme, séparés du texte par un trait vertical

avec la deuxième ligne exacte ; notons qu'on aura A'_0 = A'/\mathfrak{m}A' = A'/\mathfrak{m}', A'_0 est réduit. De plus, posant \begin{aligned} \Delta_0 = \mathrm{Ker}(A''_0 \to A'_0) &\simeq \mathrm{Ker}\bigl(A''/\mathfrak{m}A'' \to A'/\mathfrak{m}A'\bigr) , \\ &\simeq \mathrm{Ker}\bigl(A''/\mathfrak{m}A'' \to A''/\Delta + \mathfrak{m}A''\bigr) \\ &\simeq (\Delta + \mathfrak{m}A'')/\mathfrak{m}A'' \simeq \Delta/\Delta \cap \mathfrak{m}A'' , \end{aligned} et notant que \Delta \simeq \mathrm{Ker}(A'' \to A') \to \Delta_0 \simeq \mathrm{Ker}(A''_0 \to A'_0) est surjectif, on voit que ~~\Delta~~ l'hypothèse faite sur A'/A implique que pour tout x'_0 \in A'_0 - A_0, alors \delta_0(x'_0) \in A'_0 est un générateur de \Delta_0. il écrit bien « \delta_0(x'_0) \in A'_0 » ; dans la dernière ligne de la chaîne d'isomorphismes le premier \Delta de \Delta/\Delta \cap \mathfrak{m}A'' est surchargé ; le dernier \Delta_0 l'est aussi

Utilisant le fait que les composantes locales de A'_0 et [qui sont des corps] sont des extensions triviales de k = A_0, et donc A'_0 \simeq \underbrace{k \times \cdots \times k}_{n} , \quad \text{avec } n \geqslant 2 , et prenant x'_0 = (1, 0, \ldots, 0) on trouve n = 2, OK. « de k = A_0 » est en interligne

2o) A' est radiciel sur A, i.e. \mathrm{Ker}(A' \otimes_A A' \to A') est nilpotent, donc \Delta est nilpotent. Alors posons \Omega = \Delta/\Delta^2 et distinguons deux cas

a) \Omega = 0 d'où \Delta = \Delta^2, ~~puisque~~ et \Delta = 0, puisque \Delta est nilpotent, donc A'' \simeq A' ; donc A \simeq \mathrm{Ker}(A' \rightrightarrows A'') = A', donc \mathrm{long}\, A'/A = 0.

b) \Omega \neq 0 ; Notons que dans tous les cas, posant pour x' \in A' d(x') = \delta(x') \bmod \Delta^2 \in \Omega = \varphi\bigl(d_{A'/A}(x')\bigr) bien où \varphi : \Omega^1_{A'/A} \to \Omega est l'application canonique, d est une A-dérivation de A' dans \Omega : d(x'y') = x'\,dy' + y'\,dx' d'où d(\mathfrak{m}'^2) \subset \mathfrak{m}'\Omega et comme \Omega \neq 0, ~~\mathfrak{m}'\Omega \neq \Omega par Naka~~ceci \mathfrak{m}'\Omega ne peut contenir un générateur de \Omega par Nakayama, d'où d'après ~~\mathfrak{m}~~ l'hypothèse sur A'/A (*) \qquad \mathfrak{m}'^2 \subset A \quad \text{d'où } \mathfrak{m}'^2 \subset \mathfrak{m} Or comme A' est local à ext. résiduelle le groupe ajouté en interligne au-dessus du passage barré n'est lu qu'en partie

triviale, ~~on en conclut~~ d'où A' = A + \mathfrak{m}' on aura \mathfrak{m}A' = \mathfrak{m}A + \mathfrak{m}\mathfrak{m}' \subset \mathfrak{m} + \mathfrak{m}'^2 et compte tenu de (*) on aura \mathfrak{m}A' = \mathfrak{m} , C'est à dire on est encore dans les conditions du No 1, prop. 3. On conclut comme dessus (avec les notations du No 1) que la suite \underset{\substack{\| \\ k}}{A_0} \to A'_0 \rightrightarrows A''_0 est encore exacte, et satisfait ~~encore~~ la condition que la suite ci-dessus : x'_0 \in A'_0 - A_0 implique que \delta(x'_0) engendre ~~\Delta~~ \Delta_0. vérifier les préliminairesdans la marge gauche, en oblique, séparé du texte par un trait vertical

On peut donc encore supposer que A est un corps k, et de plus A' est local à idéal maximal de carré nul, donc de la forme A' \simeq D_k(V) \simeq k + V où V est un vectoriel de dimension finie sur k.

[Il faut prouver que V est de dim. 1 [il ne peut être de dim. 0, car on aurait A' = A d'où \Delta = 0, contrairement à l'hypothèse]]. ~~Soit v \in~~ Notons que A' \otimes_k A' \simeq k\, 1 \otimes 1 + V \otimes 1 + 1 \otimes V + V \otimes V et que l'idéal engendré par \delta(v) = v \otimes 1 - 1 \otimes v est engendré additivement par les multiples de \delta(w) et les v \otimes w et w \otimes v. « engendré additivement par » en interligne au-dessus d'un mot barré ; le crochet ouvrant du début est surchargé. La moitié inférieure de la page est blanche

Le lemme 1

titre de l'éditeur ; c'est le « lemme 1 » auquel renvoient les corollaires 2 et 3 des pages 21–22

~~Proposition~~ Lemme 1 Soit A un anneau, A' une A-algèbre, I un idéal ~~nilpotent~~ de carré nul dans A, A_0 = A/I, A'_0 = A' \otimes_A A_0. On suppose que, ~~H^1(A'_0/A_0) = e, A_0 \xrightarrow{\ \sim\ } H^0(A'_0/A_0)~~ ~~H^1(A'_0/A_0, G_a) = 0, H^1(A'_0/A_0, G_m)~~ posant \begin{aligned} B &= H^0(A'/A) = \mathrm{Ker}(A' \rightrightarrows A'') \\ C_0 &= H^0(A'_0/A_0) = \mathrm{Ker}(A'_0 \rightrightarrows A''_0) \end{aligned} on ait C_0 = C_0^{*} + \mathrm{Im}(B \to C_0) [N.B. Cette condition est vérifiée si A est noeth. ½ local et A' fini sur A, car alors \mathrm{Spec}\, C_0 \to \mathrm{Spec}\, B_0 est radiciel surjectif, donc B_0 et C_0 sont semi locaux et l'hom. B_0 \to C_0 induit une bijection \mathrm{Max}\, C_0 \to \mathrm{Max}\, B_0, d'où facilement l'assertion faite]. Sous ces conditions, il y a un isomorphisme canonique (*) \quad \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, G_m) \to H^1(A'_0/A_0, G_m)\bigr) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, G_a) \to H^1(A'_0/A_0, G_a)\bigr) « Lemme 1 » est écrit au-dessus de « Proposition » barré. Après « On suppose que, » la première ligne de conditions est barrée d'un trait ; la seconde, encadrée, est barrée par une ligne ondulée. Le \simeq de (*) est surchargé

Démonstration. On a les suites exactes de complexes 0 \to I C^{\cdot}(A'/A) \to C^{\cdot}(A'/A) \to C^{\cdot}(A'_0/A_0) \to 0 et 0 \to I C^{\cdot}(A'/A) \to C^{\cdot}(A'/A ; G_m) \to C^{\cdot}(A'_0/A_0 ; G_m) \to 0 où la deuxième est définie grâce au fait que I^2 = 0. Par la suite exacte de cohomologie, on trouve donc que les deux membres de (*) il écrit ici un C double surmonté d'un point, qu'on rend par C^{\cdot} comme dans le lot 2 ; dans la seconde suite le premier terme est sans point. Le facteur I devant C^{\cdot}(A'/A) est net sur cette page

sont isomorphes respectivement à : \mathrm{Coker}\bigl(H^0(A'_0/A_0, G_m) \to H^1(I C^{\cdot}(A'/A))\bigr) et : \mathrm{Coker}\bigl(H^0(A'_0/A_0, G_a) \to H^1(I C^{\cdot}(A'/A))\bigr) Or on a un diagramme commutatif d'applications

\begin{tikzcd} B^{*} \arrow[r] \arrow[d, "i"] & C_0^{*} \arrow[r] \arrow[d, "j"] & H^1(I C^{\cdot}(A'/A)) \arrow[d, "\mathrm{id}"] \\ B \arrow[r] & C_0 \arrow[r] & H^1(I C^{\cdot}(A'/A)) \end{tikzcd}

où i, j sont les inclusions canoniques (celles-ci ne sont pas multiplicatives, mais cela est sans importance). Le résultat résulte de cela, et de l'hypothèse C_0 = C_0^{*} + \mathrm{Im}(B \to C_0) .

Corollaire 1. Supposons que H^1(A'_0/A_0, G_a) = 0 \qquad H^1(A'_0/A_0, G_m) = 0 ~~Pour qu'il existe~~ Alors il existe un ~~bijection~~ isomorphisme can. H^1(A'/A, G_m) \simeq H^1(A'/A, G_a) donc les relations H^1(A'/A, G_m) = 0 et H^1(A'/A, G_a) = 0 sont équivalentes. dans H^1(A'_0/A_0, G_a) l'exposant 1 est surchargé