Cote n° 128 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Descente non plate. Modules formels. Cf Notes Murre-Levelt : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration

Réductions via le conducteur

titre de sa main, en tête de la page 1, souligné et précédé d'un « 1 » cerclé

1

Proposition 1. \(A\) un anneau, \(I\) un idéal de \(A\), \(B\) une \(A\)-algèbre contenant \(A\), telle que l'application \(\lambda \mapsto \lambda 1_B\) de \(I\) dans \(B\) soit injective, et que son image soit […] un idéal dans \(B\) [nécessairement égal à \(IB\)]. Pour tout entier \(n \geqslant 0\) considérons l'anneau \(C^n = \bigotimes^{n+1}_A B\), et l'application \(\lambda \mapsto \lambda 1_{C^n}\) de \(I\) dans \(C^n\) ; Alors cette application est injective, et son image est un idéal. « [nécessairement égal à \(IB\)] » est ajouté en interligne, à l'encre plus foncée, de même que « \(C^n = \bigotimes^{n+1}_A B\) » ; il écrit \(\otimes\) cerclé, l'exposant \(n+1\) au-dessus et l'indice \(A\) au-dessous, et \(C\) en capitale grasse

De façon précise, soit \(A_0 = A/I\), \(B_0 = B \otimes_A A_0\) \(= B/IB = B/I1_B\), alors l'application \(I \to \uncertain{C^n}\) précédente, et l'application […] \(C^n_0 = \bigotimes_{A_0} B_0\), donnent lieu à une suite exacte […] \(0 \leftarrow C^n_0 \leftarrow C^n = \bigotimes_A B \leftarrow I\) […] passage barré d'un trait horizontal et de plusieurs traits obliques ; la lettre lue \(C\) y ressemble à un \(K\)

En effet, […] […] \[ \begin{aligned} \lambda (b_0 \otimes \cdots \otimes b_n) &= (\lambda b_0) \otimes b_1 \cdots \otimes b_n \\ &= (\lambda_0 \otimes 1) \otimes b_2 \cdots \otimes b_n && \text{pour } \lambda_0 \in I \text{ conv.} \\ &= 1_B \otimes \bigl[\lambda_1 (b_2 \otimes \cdots \otimes b_n)\bigr] = \\ &= 1_B \otimes \mu (1_B \otimes \cdots \otimes 1_B) && \mu \in I \text{ conv.} \\ &= \mu (1_B \otimes \cdots \otimes 1_B) \end{aligned} \] d'où le résultat par récurrence sur \(n\) (trivial pour \(n = 0\)). la seconde ligne est surchargée (un pâté d'encre entre \(\lambda\) et \(1\), un \(B\) sous le produit) et sa lecture n'est pas sûre ; « d'où le résultat par récurrence … » est écrit à gauche des deux dernières lignes, qui ont été ajoutées après ; au-dessus et au-dessous des deux derniers produits, des accolades comptent les facteurs : \(n\), puis \(n+1\)

Pour l'injectivité, on remarque que \[ I \to \bigotimes_A B \to B \] induit une injection i.e. par hyp., elle l'était […].

2

Lemme 1. \(A\) anneau, \(I\) un idéal de \(A\), \(B\) et \(C\) deux \(A\)-algèbres, telles que \(B/IB\) […] \(A\) et \(C/IC\) […] […] […] […] \(I\) \(A \to B\) injectif et \(IB = I\), de même \(A \to C\) injectif et \(IC = I\). Alors \(A \to B \otimes_A C = D\) est injectif et encadré et barré de traits obliques ; ce lemme 1 n'est pas celui des pages 19–20

Comme \(I \cdot 1_{C^n} = IC^n\), et \(C^n/IC^n = C^n_0\) \(\bigl(= \bigotimes_{A_0} B_0\), où \(A_0 = A/I\), \(B_0 = B/IB\bigr)\) on trouve :

Corollaire 1. On a une suite exacte (pour tout ens. fini d'indices \(E\)) \[ 0 \to I \to \bigotimes^E_A B \to \bigotimes^E_{A_0} B_0 \to 0 . \] Si on a une application d'ens. finis [\(\sigma : E \to F\)], on a […] correspondants dans le diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 \arrow[r] & I \arrow[r] \arrow[d, no head, "\mathrm{id}"'] & \bigotimes^E_A B \arrow[r] \arrow[d, "\sigma_{B/A}"] & \bigotimes^E_{A_0} B_0 \arrow[r] \arrow[d, "\sigma_{B_0/A_0}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & I \arrow[r] & \bigotimes^F_A B \arrow[r] & \bigotimes^F_{A_0} B_0 \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

« \(E \to F\) » est en interligne, au-dessus de « finis » ; la verticale de gauche est un double trait marqué « id »

où les flèches verticales sont les homs. simpliciaux déduits de \(\sigma\), d'où une suite exacte de [\(A\)-modules] […] simpliciaux \[ 0 \to C_I \to C(B/A) \to C(B_0/A_0) \to 0 \] où \(C_I\) est le \(A\)-module simplicial trivial défini par \(I\) (foncteur […] \(E \mapsto I\)). « \(A\)-modules » en interligne au-dessus d'un mot barré ; après \(C(B/A)\) un mot noirci la lettre lue \(C\) dans \(C(B/A)\), comme dans \(C^n\) à la page 1, est une capitale grasse qui tient du \(C\) et du \(K\) ; à la page 3 il écrit nettement \(K(B/A)\)

3

Corollaire 2. L'hom. \(K(B/A) \to K(B_0/A_0)\) définit un isomorphisme \[ H^i(B/A) \xrightarrow{\ \sim\ } H^i(B_0/A_0) \qquad \text{pour } i \neq 0 \] et une suite exacte \[ 0 \to I \to H^0(B/A) \to H^0(B_0/A_0) \to 0 \] d'où \(\mathrm{Coker}\bigl(A \to H^0(B/A)\bigr) \simeq \mathrm{Coker}\bigl(A_0 \to H^0(B_0/A_0)\bigr)\)écrit en travers, le long de la marge gauche, et appelé par un signe d'insertion placé après la suite exacte

Cor. 3 a) Pour que \(H^i(B/A) = 0\) il f. et s. que \(H^i(B_0/A_0) = 0\) (\(i \neq 0\) donné) \\ b) \(A \to H^0(B/A)\) inj (surj) ssi \(A_0 \to H^0(B_0/A_0)\) inj (surj). « Cor. 3 », souligné, et les lettres a), b) sont ajoutés dans la marge, devant deux lignes serrées sous la suite exacte

Plus généralement, remplaçons […] […] par un \(A\)-module \(M\) plat, on trouve :

Corollaire 4 […] Soit \(M\) un \(A\)-module plat. On a une suite exacte de [\(A\)-modules simpliciaux] complexes \[ 0 \to C_{M \otimes_A I} \to K(B/A, M) \to K(B_0/A_0, M_0) \to 0 \] d'où des isomorphismes \[ H^i(B/A, M) \simeq H^i(B_0/A_0, M_0) \qquad i \neq 0 \] et une suite exacte \[ 0 \to M \otimes_A I \to H^0(B/A, M) \to H^0(B_0/A_0, M_0) \to 0 . \] le « 4 » est surchargé sur un chiffre (3 ?) et suivi d'un mot barré ; « plat » est souligné deux fois

4

Corollaire 5. Supposons \(B_0\) fid. plat sur \(A_0\). Alors pour tout \(A\)-module plat [\(M\)], on a \[ \begin{cases} H^i(B/A, M) = 0 & i \neq 0 \\ H^0(B/A, M) \xleftarrow{\ \sim\ } M \end{cases} \]

NB Ce résultat est équivalent au résultat correspondant dans le cas où \(M = A\), i.e. à \[ \begin{cases} H^i(B/A) = 0 & i \neq 0 \\ H^0(B, A) \xleftarrow{\ \sim\ } A \end{cases} \] il écrit bien \(H^0(B, A)\) dans la seconde accolade

Proposition 2. \(A\), \(I\), \(B = A'\) comme ci-dessus [(tels que\(^{(*)}\) \(H^0(B/A) \xleftarrow{\ \sim\ } A\), \(H^1(B/A) \simeq 0\) (cf cor. 3))], \(E'\) un \(A'\)-module plat, muni d'une donnée de descente relative à \(A'/A\) [d'où \(E''\), \(E'''\) … formant un complexe \(C^{*}_D(A'/A ; E')\)]. Supposons que la donnée de descente sur \(E'_0\) relative à \(A'_0/A_0\) déduite par changement de base \(A_0 \to A'_0\) soit effective [pour la catégorie fibrée des Modules plats], i.e. \(\exists\, E_0\) module plat sur \(A_0\), et un isom. compatible aux descentes \(E_0 \otimes_{A_0} A'_0 \simeq E'_0\). Alors […] […] effectivité et \(I\) nilpotentdans la marge gauche, devant « Proposition 2 », « et \(I\) nilpotent » (le dernier mot souligné deux fois), appelé par un signe d'insertion ; au-dessus, un mot encadré entièrement noirci de hachures. La parenthèse « tels que … » est en interligne et reliée par une accolade à « dessus » ; dans \(C^{*}_D\) l'indice \(D\) est ajouté

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & E' \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] \arrow[dd, no head] & E'' \arrow[r, bend left=12] \arrow[r] \arrow[r, bend right=12] & E''' \\
E_0 \arrow[r, dashed] \arrow[dd, dashed, no head] & E'_0 \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] & E''_0 \arrow[r, bend left=12] \arrow[r] \arrow[r, bend right=12] & E'''_0 \\
A \arrow[r] & A' \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] & A'' \arrow[r, bend left=12] \arrow[r] \arrow[r, bend right=12] & A''' \\
A_0 \arrow[r] & A'_0 \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] & A''_0 \arrow[r, bend left=12] \arrow[r] \arrow[r, bend right=12] & A'''_0
\end{tikzcd}

le dessin est en perspective : deux étages, \(E\) au-dessus de \(A\), chacun avec sa réduction \(({}_0)\) décalée en avant ; de petits traits obliques relient chaque terme à sa réduction et des traits verticaux chaque \(E\) à son \(A\) ; seuls ceux de \(E'\) et de \(E_0\) sont redessinés ici. Le trait \(E_0 \to E'_0\) et la verticale sous \(E_0\) sont en pointillé ; les doubles et triples traits horizontaux sont rendus par des arcs

\((*)\) Ces conditions […] signifient que \(\mathrm{Spec}\, B \to \mathrm{Spec}\, A\) est un morphisme de descente pour la cat. fib. des modules plats, et équivalent : la même cond. pour \(B_0/A_0\) par cor. 3note de bas de page de sa main, sous un trait, appelée par l'astérisque cerclé de l'interligne

5

également pour la donnée de descente sur \(E'\) rel[a]t[ive à] \(A'/A\), i.e. si \(E \subset E'\) est le sous-\(A\)-module des invariants de \(E'\), \(E = H^0_D(A'/A ; E')\), alors \(E\) est plat sur \(A\) et \(E \otimes_A A' \to E'\) est un isomorphisme.

Dém. Supposons d'abord \(I^2 = 0\)en interligne, entouré, « Supposons » souligné On a d'abord grâce à une suite longue de complexes exacte de \(A\)-modules simpliciaux (sans hypothèse d'effectivité pour \(E'_0\) rel. à \(A'_0/A'\)) \[ 0 \to I C^{*}_D(A'/A, E') \to C^{*}_D(A'/A, E') \to C^{*}_D(A'_0/A_0, E'_0) \to 0 \] il écrit bien \(A'_0/A'\) dans la parenthèse \(C^{*}_D(A'\) et […] […] pour tout \(n\), en vertu de la platitude de \(E'/A'\) [donc] de \(E^{(n)}/A^{(n)}\), et de \(I^2 = 0\) : \[ (*) \qquad I C^n_D(A'/A, E') \simeq E^{(n)}_0 \otimes_{A^{(n)}_0} \underset{\substack{\| \\ I}}{I A^{(n)}} \sim \] \(\bigl[\)où \(A^{(n)} = \bigotimes^{n+1}_A A'\), \(E^{(n)} = E \otimes_A A^{(n)}\) etc\(\bigr]\). Grâce à l'effectivité pour \(E'_0\) rel. \(A'_0/A_0\), on peut écrire \((*)\) sous la forme \[ \bigl(E_0 \otimes_{A_0} A^{(n)}_0\bigr) \otimes_{A^{(n)}_0} I A^{(n)} \simeq E_0 \otimes_{A_0} \bigl(\underset{\substack{\| \\ I}}{I A^{(n)}}\bigr) \simeq E_0 \otimes_{A_0} I \] d'où la […] suite exacte de \(A\)-modules simpliciaux : \[ 0 \to C^{*}_{E_0 \otimes_{A_0} I} \to C^{*}_D(A'/A, E') \to C^{*}_D(A'_0/A_0, E'_0) \to 0 \] sous \(E^{(n)}_0\) et sous les deux derniers \(E_0 \otimes_{A_0}\) des accolades ; dans \(E^{(n)}_0\) un astérisque est surchargé ; le mot lu « donc » est en interligne

6

On en conclut la suite exacte \[ 0 \to E_0 \otimes_{A_0} I \to \underset{\substack{\| \\ E}}{H^0_D(A'/A, E')} \to \underset{\substack{\| \\ E_0}}{H^0_D(A'_0/A_0, E'_0)} \to 0 \] compte tenu que \[ H^i\bigl(C_{E_0 \otimes_{A_0} I}\bigr) = \begin{cases} E_0 \otimes_{A_0} I & \text{pour } i = 0 \\ 0 & \text{pour } i = 1 \\ \end{cases} \quad (\text{et } \uncertain{\text{même}}\ i \neq 0) \] les indices \(D\) sous les deux \(H^0\) sont ajoutés à l'encre plus foncée

Cela prouve d'abord que \(E \to E_0\) est surjectif, donc \(\mathrm{Im}(E \to E')\) engendre le \(A'\)-module \(E'\), [puis] et de façon précise que

a) \(\mathrm{Ker}(E \to E_0) = IE\), donc \(E \to E_0\) induit un isomorphisme \(E/IE = E \otimes_A A_0 \xrightarrow{\ \sim\ } E_0\)

b) \(\underbracket{E/IE} \otimes_{A_0} I \to IE\) un isomorphisme, donc grâce à a) et \(E_0\) plat sur \(A_0\), \(E\) est plat sur \(A\). « puis » est écrit dans un petit cadre, au-dessus d'un « donc » barré ; « plat » est souligné deux fois

Considérons maintenant le diagramme […] [l'hom.] \[ E \otimes_A A' \to E' \] c'est un hom. […] [de] \(A'\)-modules plats qui […] […] […] diagramme sous « c'est un hom. », un petit carré barré, dont on lit \(E_0 \otimes_{A_0} A'_0 \xrightarrow{\ \sim\ } E'_0\) en bas et une flèche verticale « surj » à gauche, relié par un trait au mot « diagramme »

[…] […] le diagramme […] […] \(E \otimes_A A' \to E' \to E'_0\) est surjectif, donc par Nakayama sur \(A'\) ([…] […] \(IA'\) nilpotent) […] […] […] […]. […] […] […] deux lignes et demie barrées d'un trait et de traits obliques, remplacées par ce qui suit

[…] […] […] […] […] […] […] […] \(E \otimes_A A'\) […] […] \(IA'\), donc est un isomorphisme.

7

Dans le cas général \[ I^n = 0 \] on procède par récurrence sur \(n\), en notant que c'est trivial pour \(n = 1\), déjà fait pour \(n = 2\), on peut supposer \(n > 2\) et le dém. fait pour \(n - 1\). Il Il suffit alors d'utiliser l'hyp. de récurrence et le

Lemme. Si \(I\), \(J\) sont deux idéaux de \(A\) tels que \(\lambda \mapsto \lambda 1_B\) est une bijection de \(I\) (\(J\)) sur un idéal de \(B\), alors il en est de même de \(IJ\). Cela s'applique, donc, aux puissances \(I^{\nu}\) de \(I\), avec \(\nu \geqslant 1\). Si de plus

(Lemme trivial)

\(+\)

Corollaire 1. Soient \(A\), \(I\), \(B = A'\) comme dessus [\(A \subset B\), \(I \subset A\) un idéal nilpotent de \(A\) tel que \(IB = I\)]. et tel que Supposons \(B_0/A_0\) fid. plat [morphisme de] descente effective pour la cat. fibrée des modules plats, p.ex. \(B_0/A_0\) fid. plat. Alors \(\mathrm{Spec}\, B \to \mathrm{Spec}\, A\) est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des modules plats. « morphisme de » et « \(B_0/A_0\) fid. plat » sont en interligne, le second au-dessus de « Alors », où il remplace un « fid. plat » barré placé entre « Spec » et « \(B\) »

8

On peut […] noter le corollaire immédiat

Corollaire 2. Soient \(X\) \(X\) un préschéma, \(I\) un Idéal quasi-cohérent nilpotent sur \(X\), \(X' = \mathrm{Spec}(\mathcal{A}')\) un \(X\)-préschéma, affine sur \(X\), tel que \(I \to \mathcal{A}'\) soit un isomorphisme de \(I\) sur un Idéal de \(\mathcal{A}'\), et tel que \(\mathcal{A}'/I\mathcal{A}'\) soit fid. plat sur \(\mathcal{O}_X/I\) [i.e. \(\mathrm{Spec}(\mathcal{A}'/I\mathcal{A}') = X'_0\) fid. plat sur \(V(I) = X_0\)]. Alors \(X' \to X\) est un morphisme de descente effective pour la catégorie [fibrée] des Modules [quasi-coh.] plats. « fibrée » et « quasi-coh. » en interligne ; il écrit \(\mathcal{A}'\) et \(\mathcal{O}_X\) en lettres rondes, le second souligné

De […] [Il suit]

Corollaire 3. [Sous les conditions précédentes,] Soit \(A\) […] pour tout morphisme [plat] de préschémas \(Y \to X\), posant \(Y' = X' \times_X Y\), la projection \(Y' \to Y\) est un morphisme de descente eff. universelle pour la catégorie fibrée des Modules quasi-coh. plats. « Sous les conditions précédentes » en interligne au-dessus d'un début de phrase barré ; « plat » est écrit au crayon dans une bulle reliée à « morphisme » ; en marge droite, \(Y \to X\) puis \(Y \to X\), barrés ; le \(Y\) de \(Y'\) est surchargé

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Ce résultat s'applique en particulier lorsque \(X = \mathrm{Spec}\, A\), \(X' = \mathrm{Spec}\, A'\), où \(A\), \(A'\) satisfont les conditions du corollaire 1 (avec \(A'_0/A_0\) fid. plat), quand \(Y\) est un \(A\)-préschéma quelconque, et \(Y' = Y \otimes_A A'\). fin du paragraphe marquée d'un double trait

Proposition 3 Reprenons le diagramme commutatif du Cor. 1 de prop. 1, en […] prenant \(F\) réduit à un pt, on trouve un diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 \arrow[r] & I \arrow[r] \arrow[d, Rightarrow, no head] & \bigotimes^n_A B \arrow[r, "\mathrm{pr}"] \arrow[d] & \bigotimes^n_{A_0} B_0 \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & I \arrow[r] & B \arrow[r] & B_0 \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

il écrit l'exposant \(n\) comme une barre au-dessus du \(\otimes\) cerclé ; la verticale de gauche est un double trait terminé par une pointe

et donc le diagramme des noyaux […]

Proposition 3. [[\(A\), \(I\), \(B\) comme dans Prop. 1.]] Soient \(\Delta^{(n)}_{B/A} = \mathrm{Ker}\bigl(\bigotimes^n_A B \to B\bigr)\), et définissons de même \(\Delta^{(n)}_{B_0/A_0}\), alors l'hom. \(\bigotimes^n_A B \to \bigotimes^n_{A_0} B_0\) induit un isom. \[ \Delta^{(n)}_{B/A} \xrightarrow{\ \sim\ } \Delta^{(n)}_{B_0/A_0} \] « \(A\), \(I\), \(B\) comme dans Prop. 1. » est en interligne, entouré ; sous « Soient », un « \(0 \to I \to 0\) » (?) barré

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Corollaire 1. Il y a correspondance biunivoque entre les idéaux \(J\) de \(\bigotimes^n_A B\) contenus dans l'idéal d'augmentation, et les idéaux \(J^0\) de \(\bigotimes^n_{A_0} B_0\) contenus dans l'idéal d'augmentation, donnée par \[ \left\lbrace \begin{aligned} J &\mapsto p_n(J) \\ p_n^{-1}(J^0) \cap \Delta^{(n)}_{B/A} &\leftarrow J^0 \end{aligned} \right. \] Pour deux idéaux [\(J\), \(J^0\)] qui se correspondent, l'hom. naturel \(J \to J^0\) est bijectif. « \(J\), \(J^0\) » en interligne ; la flèche de la seconde ligne est un \(\mapsto\) tourné vers la gauche

Notons que la correspondance précédente est compatible avec les relations d'ordre, et […] avec la formation de \(+\) et \(\cap\). D'autre part, les formations de ces [applications] précédentes (pour \(n\) variable) commutent [(cf Prop. 1, cor. 1)] aux opérations simpliciales, dans un sens évident. On conclut de […] [ce qui précède]

Corollaire 2. (a) Il y a correspondance biunivoque (induite par celle du cor. 1 pour \(n = 2\)) entre relations d'équivalence dans « (cf Prop. 1, cor. 1) » est en interligne, relié par une accolade à la fin de la phrase ; le « (a) » est ajouté après coup

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\(\mathrm{Spec}\, B\) sur \(\mathrm{Spec}\, A\), et celles de \(\mathrm{Spec}\, B_0\) sur \(\mathrm{Spec}\, A_0\). (b) Cette correspondance est compatible avec les relations d'ordre, […] […] […] [en particulier, la relation] d'équivalence la plus (la moins) fine dans plus fine. On en conclut : \(\mathrm{Spec}\, B\) sur \(\mathrm{Spec}\, A\), correspond à la relation d'équiv. la plus (la moins) fine de \(\mathrm{Spec}\, B_0\) sur \(\mathrm{Spec}\, A_0\). « en particulier, la relation » en interligne au-dessus d'un passage barré

[(c) Si \(J\), \(J^0\) sont des idéaux d'équivalence qui se correspondent, et \(\Delta\) \(C\) (\(C^0\)) les sous-anneaux de \(B\) (\(B_0\)) des invariants, alors \(C^0 \simeq C/IC \simeq C/I\), [de façon plus précise, si \(\delta : B \to D = B \otimes_A B/J\) et \(\delta_0 : B_0 \to D_0\) sont les homs. obvious, alors … \(\delta(b) \in ID\) ssi \(b \in IB\) \(\delta(b) = 0\), i.e. \(\delta_0(b_0) = 0\) ssi \(\delta(b) = 0\) i.e. \(b_0 \in C_0\) ssi \(b \in C\)], donc on […] […] \(C_0\) aussi. Pour que \(J\) soit effectif, il f. et s. que \(J^0\) le soit …] expliciter […] […]dans la marge gauche, en face de \(\delta_0\), deux ou trois mots dont une ligne barrée les lettres (b) et (c) sont cerclées ; dans \(D = B \otimes_A B/J\), le premier \(B\) est surchargé. La dernière ligne de crochet est repassée à l'encre foncée ; le reste de la page est blanc

Résultats auxiliaires sur les relations d'équivalence

titre de sa main, en tête de la page 12, précédé d'un « 2 » cerclé

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Proposition 1. Soient \(A\) un anneau, \(\mathfrak{m}\) un idéal maximal de \(A\), \(A'\) une \(A\)-algèbre, contenant \(A\), tel que \(A'/A\) soit un \(A\)-module isomorphe à \(A/\mathfrak{m} = k\). Sous ces conditions

(i) Il y a dans \(\mathrm{Spec}\, A'\) sur \(\mathrm{Spec}\, A\) exactement deux relations d'équivalence, la plus fine [correspondant à l'égalité dans \(\mathrm{Spec}\, A'\) sur \(\mathrm{Spec}\, A\)] et la moins fine [correspondant au produit fibré]

(ii) La suite \[ 0 \to A \to A' \rightrightarrows A' \otimes_A A' \] est exacte, plus précis i.e. \(H^0(A'/A) \xleftarrow{\ \sim\ } A\), et \(H^i(A'/A) = 0\) pour \(i \neq 0\)

(iii) \(\mathrm{Spec}\, A' \to \mathrm{Spec}\, A\) est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des Modules quasi-coh. plats, et reste tel[le] par toute extension de la base \(X \to \mathrm{Spec}(A)\).

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Démonstration. \(A\), \(A'\) et l'idéal \(\mathfrak{m}\) satisfont les conditions de prop. 1, de plus \(A_0 = A/\mathfrak{m} = k\) est un corps, et \(A'/\mathfrak{m}A' = A'/\mathfrak{m} \simeq A'_0\) est un vectoriel de dim. 2 sur \(k\), il est en particulier fid. plat sur \(k\). Alors (ii) et (iii) résultent du N^o 1, Prop. 1, cor. 5, et prop. 2 [(cor. 1 et cor. 3)]. Pour (i), utilisant N^o 1, Prop. 3, cor. 2, on est ramené au cas où \(A = k\), donc \(A'\) est une algèbre de rang 2 sur \(k\). [On peut supposer \(k\) alg. clos.] On doit distinguer deux cas « (cor. 1 et cor. 3) » et « On peut supposer \(k\) alg. clos. » sont en interligne ; « \(A_0\) » porte en exposant un signe douteux ; dans \(A'/\mathfrak{m}A'\) le \(\mathfrak{m}\) est surchargé

(i) [\(A'\) réduit, donc :] \(A' \simeq k \times k\), alors la question est purement ensembliste ; il y a exactement 2 relations d'équivalence dans un ens. à 2 éléments.

(ii) \(A'\) \(\simeq k\) non réduit, alors \(A' \simeq k[\varepsilon]\), avec \(\varepsilon^2 = 0\). ([…] […]). « \(A'\) réduit, donc : » est en interligne, entouré ; la page s'arrête là, sans la vérification du cas (ii)

14

Proposition 2. Soient \(A\) un anneau local artinien, \(A'\) une \(A\)-algèbre finie, \(A'' = (A' \otimes_A A')/J\), où \(J\) est un idéal d'équivalence, [\(\Delta = \mathrm{Ker}(A'' \to A')\).] On suppose que On suppose que pour tout \(x \in A'\) \[ A \to A' \overset{p_1}{\underset{p_2}{\rightrightarrows}} A'' \] est une suite exacte, et que pour tout \(x' \in A' - A\), l'élément \[ \delta(x') = p_2(x') - p_1(x') \] est un générateur de l'idéal \(\Delta\). [Sous ces conditions, \(\mathrm{long}\, A'/A \leqslant 1\), et par suite (cf prop. 1, (i)) on a \(A'' \simeq A' \otimes_A A'\). Supposons de plus les extensions résiduelles de \(A'/A\) trivialesdans la marge gauche, en oblique, appelé par un signe d'insertion placé devant « Sous ces conditions » Sans l'hypothèse \(\uparrow\), il est vrai que \(\mathfrak{m}A' = \mathfrak{m}\), donc on est ramené au cas \(A = k\)au-dessous, dans la marge, à l'encre bleue, entouré d'un trait et relié à la ligne « Soit \(\mathfrak{m}' = \mathfrak{r}(A')\) » ; la flèche montre la note précédente ; lecture douteuse

Soit \(\mathfrak{m}' = \mathfrak{r}(A')\), distinguons deux cas

1^o) \(A'\) n'est pas radiciel sur \(A\), […]. Alors i.e. \(\mathrm{Ker}(A' \otimes_A A' \to A')\) \(\Delta\) […] […] n'est pas nilpotent. Comme \(J\) est nilpotent, il s'ensuit que \(\mathrm{Ker}(A'' \to A') = \Delta\) n'est pas nilpotent. Mais si \(x' \in \mathfrak{r}(A') = \mathfrak{m}'\), […] alors \(\delta(x')\) est nilpotent, donc \(\delta(x') A''\) est nilpotent, d'où \(\delta(x') A'' \neq \Delta\), d'où \(x' \in A\) par hyp., d'où \[ \mathfrak{m}' \subset A \] et comme \(\mathfrak{m}' \cap A \subset \mathfrak{m} \subset \mathfrak{m}A' \subset \mathfrak{m}'\), on a donc \[ \mathfrak{m}' = \mathfrak{m} = \mathfrak{m}A' \] « radiciel sur \(A\) » et « i.e. \(\mathrm{Ker}(A' \otimes_A A' \to A')\) » sont en interligne au-dessus d'une ligne barrée ; dans « \(\mathfrak{m}' \cap A \subset \ldots\) », en petit à droite, un \(\mathfrak{m}A\) est surchargé en \(\mathfrak{m}A'\) (?)

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Donc on est dans les conditions du N^o 1, avec \(A_0 = A/\mathfrak{m} = k\) un corps. Comme Nous savons par N^o 1 prop. 3, cor. 2 qu'on aura

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
A \arrow[r] \arrow[d] & A' \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] \arrow[d] & A'' \arrow[d] \\
A_0 \arrow[r] & A'_0 \arrow[r, bend left=8] \arrow[r, bend right=8] & A''_0
\end{tikzcd}

[…] […] […]trois mots au crayon, en oblique dans la marge gauche, en face du diagramme, séparés du texte par un trait vertical

avec la deuxième ligne exacte ; notons qu'on aura \(A'_0 = A'/\mathfrak{m}A' = A'/\mathfrak{m}'\), \(A'_0\) est réduit. De plus, posant \[ \begin{aligned} \Delta_0 = \mathrm{Ker}(A''_0 \to A'_0) &\simeq \mathrm{Ker}\bigl(A''/\mathfrak{m}A'' \to A'/\mathfrak{m}A'\bigr) , \\ &\simeq \mathrm{Ker}\bigl(A''/\mathfrak{m}A'' \to A''/\Delta + \mathfrak{m}A''\bigr) \\ &\simeq (\Delta + \mathfrak{m}A'')/\mathfrak{m}A'' \simeq \Delta/\Delta \cap \mathfrak{m}A'' , \end{aligned} \] et notant que \(\Delta \simeq \mathrm{Ker}(A'' \to A') \to \Delta_0 \simeq \mathrm{Ker}(A''_0 \to A'_0)\) est surjectif, on voit que \(\Delta\) l'hypothèse faite sur \(A'/A\) implique que pour tout \(x'_0 \in A'_0 - A_0\), alors \(\delta_0(x'_0) \in A'_0\) est un générateur de \(\Delta_0\). il écrit bien « \(\delta_0(x'_0) \in A'_0\) » ; dans la dernière ligne de la chaîne d'isomorphismes le premier \(\Delta\) de \(\Delta/\Delta \cap \mathfrak{m}A''\) est surchargé ; le dernier \(\Delta_0\) l'est aussi

Utilisant le fait que les composantes locales de \(A'_0\) et [qui sont des corps] sont des extensions triviales [de \(k = A_0\)], et donc \[ A'_0 \simeq \underbrace{k \times \cdots \times k}_{n} , \quad \text{avec } n \geqslant 2 , \] et prenant \(x'_0 = (1, 0, \ldots, 0)\) on trouve \(n = 2\), OK. « de \(k = A_0\) » est en interligne

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2^o) \(A'\) est radiciel sur \(A\), i.e. \(\mathrm{Ker}(A' \otimes_A A' \to A')\) est nilpotent, donc \(\Delta\) est nilpotent. Alors posons \[ \Omega = \Delta/\Delta^2 \] et distinguons deux cas

a) \(\Omega = 0\) d'où \(\Delta = \Delta^2\), puisque et \(\Delta = 0\), puisque \(\Delta\) est nilpotent, donc \(A'' \simeq A'\) ; donc \(A \simeq \mathrm{Ker}(A' \rightrightarrows A'') = A'\), donc \(\mathrm{long}\, A'/A = 0\).

b) \(\Omega \neq 0\) ; Notons que dans tous les cas, posant pour \(x' \in A'\) \[ d(x') = \delta(x') \bmod \Delta^2 \in \Omega = \varphi\bigl(d_{A'/A}(x')\bigr) \] bien où \(\varphi : \Omega^1_{A'/A} \to \Omega\) est l'application canonique, \(d\) est une \(A\)-dérivation de \(A'\) dans \(\Omega\) : \[ d(x'y') = x'\,dy' + y'\,dx' \] d'où \[ d(\mathfrak{m}'^2) \subset \mathfrak{m}'\Omega \] et comme \(\Omega \neq 0\), […] \(\mathfrak{m}'\Omega \neq \Omega\) par Naka[ceci […] […] \(\mathfrak{m}'\Omega\) ne] peut contenir un générateur de \(\Omega\) par Nakayama, d'où d'après \(\mathfrak{m}\) l'hypothèse sur \(A'/A\) \[ (*) \qquad \mathfrak{m}'^2 \subset A \quad \text{d'où } \mathfrak{m}'^2 \subset \mathfrak{m} \] Or comme \(A'\) est local à ext. résiduelle le groupe ajouté en interligne au-dessus du passage barré n'est lu qu'en partie

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triviale, on en conclut d'où \[ A' = A + \mathfrak{m}' \] on aura \[ \mathfrak{m}A' = \mathfrak{m}A + \mathfrak{m}\mathfrak{m}' \subset \mathfrak{m} + \mathfrak{m}'^2 \] et compte tenu de \((*)\) on aura \[ \mathfrak{m}A' = \mathfrak{m} , \] C'est à dire on est encore dans les conditions du N^o 1, prop. 3. On conclut comme dessus (avec les notations du N^o 1) que la suite \[ \underset{\substack{\| \\ k}}{A_0} \to A'_0 \rightrightarrows A''_0 \] est encore exacte, et satisfait encore la condition que la suite ci-dessus : \(x'_0 \in A'_0 - A_0\) implique que \(\delta(x'_0)\) engendre \(\Delta\) \(\Delta_0\). vérifier les […] préliminairesdans la marge gauche, en oblique, séparé du texte par un trait vertical

On peut donc encore supposer que \(A\) est un corps \(k\), et de plus \(A'\) est local à idéal maximal de carré nul, donc de la forme \[ A' \simeq D_k(V) \simeq k + V \] où \(V\) est un vectoriel de dimension finie sur \(k\).

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[Il faut prouver que \(V\) est de dim. 1 [il ne peut être de dim. 0, car on aurait \(A' = A\) d'où \(\Delta = 0\), contrairement à l'hypothèse]]. Soit \(v \in\) Notons que \[ A' \otimes_k A' \simeq k\, 1 \otimes 1 + V \otimes 1 + 1 \otimes V + V \otimes V \] et que l'idéal engendré par \[ \delta(v) = v \otimes 1 - 1 \otimes v \] est […] [engendré additivement par] les multiples de \(\delta(w)\) et les \(v \otimes w\) et \(w \otimes v\). « engendré additivement par » en interligne au-dessus d'un mot barré ; le crochet ouvrant du début est surchargé. La moitié inférieure de la page est blanche

Le lemme 1

titre de l'éditeur ; c'est le « lemme 1 » auquel renvoient les corollaires 2 et 3 des pages 21–22

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Proposition [Lemme 1] Soit \(A\) un anneau, \(A'\) une \(A\)-algèbre, \(I\) un idéal nilpotent de carré nul dans \(A\), \(A_0 = A/I\), \(A'_0 = A' \otimes_A A_0\). On suppose que, \(H^1(A'_0/A_0) = e\), \(A_0 \xrightarrow{\ \sim\ } H^0(A'_0/A_0)\) […] \(H^1(A'_0/A_0, G_a) = 0\), \(H^1(A'_0/A_0, G_m)\) posant \[ \begin{aligned} B &= H^0(A'/A) = \mathrm{Ker}(A' \rightrightarrows A'') \\ C_0 &= H^0(A'_0/A_0) = \mathrm{Ker}(A'_0 \rightrightarrows A''_0) \end{aligned} \] on ait \[ C_0 = C_0^{*} + \mathrm{Im}(B \to C_0) \] [N.B. Cette condition est vérifiée si \(A\) est noeth. ½ local et \(A'\) fini sur \(A\), car alors \(\mathrm{Spec}\, C_0 \to \mathrm{Spec}\, B_0\) est radiciel surjectif, donc \(B_0\) et \(C_0\) sont semi locaux et l'hom. \(B_0 \to C_0\) induit une bijection \(\mathrm{Max}\, C_0 \to \mathrm{Max}\, B_0\), d'où facilement l'assertion faite]. Sous ces conditions, il y a un isomorphisme canonique \[ (*) \quad \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, G_m) \to H^1(A'_0/A_0, G_m)\bigr) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, G_a) \to H^1(A'_0/A_0, G_a)\bigr) \] « Lemme 1 » est écrit au-dessus de « Proposition » barré. Après « On suppose que, » la première ligne de conditions est barrée d'un trait ; la seconde, encadrée, est barrée par une ligne ondulée. Le \(\simeq\) de \((*)\) est surchargé

Démonstration. On a les suites exactes de complexes \[ 0 \to I C^{\cdot}(A'/A) \to C^{\cdot}(A'/A) \to C^{\cdot}(A'_0/A_0) \to 0 \] et \[ 0 \to I C^{\cdot}(A'/A) \to C^{\cdot}(A'/A ; G_m) \to C^{\cdot}(A'_0/A_0 ; G_m) \to 0 \] où la deuxième est définie grâce au fait que \(I^2 = 0\). Par la suite exacte de cohomologie, on trouve donc que les deux membres de \((*)\) il écrit ici un \(C\) double surmonté d'un point, qu'on rend par \(C^{\cdot}\) comme dans le lot 2 ; dans la seconde suite le premier terme est sans point. Le facteur \(I\) devant \(C^{\cdot}(A'/A)\) est net sur cette page

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sont isomorphes respectivement à : \[ \mathrm{Coker}\bigl(H^0(A'_0/A_0, G_m) \to H^1(I C^{\cdot}(A'/A))\bigr) \] et : \[ \mathrm{Coker}\bigl(H^0(A'_0/A_0, G_a) \to H^1(I C^{\cdot}(A'/A))\bigr) \] Or on a un diagramme commutatif d'applications

\begin{tikzcd}
B^{*} \arrow[r] \arrow[d, "i"] & C_0^{*} \arrow[r] \arrow[d, "j"] & H^1(I C^{\cdot}(A'/A)) \arrow[d, "\mathrm{id}"] \\
B \arrow[r] & C_0 \arrow[r] & H^1(I C^{\cdot}(A'/A))
\end{tikzcd}

où \(i\), \(j\) sont les inclusions canoniques (celles-ci ne sont pas multiplicatives, mais cela est sans importance). Le résultat résulte de cela, et de l'hypothèse \[ C_0 = C_0^{*} + \mathrm{Im}(B \to C_0) . \]

Corollaire 1. Supposons que \[ H^1(A'_0/A_0, G_a) = 0 \qquad H^1(A'_0/A_0, G_m) = 0 \] Pour qu'il existe [Alors il existe] un bijection isomorphisme can. \[ H^1(A'/A, G_m) \simeq H^1(A'/A, G_a) \] donc les relations \(H^1(A'/A, G_m) = 0\) et \(H^1(A'/A, G_a) = 0\) sont équivalentes. dans \(H^1(A'_0/A_0, G_a)\) l'exposant \(1\) est surchargé