Cote n° 128 · pages 1–31 · Lecture modernisée · Descente non plate. Modules formels. Cf Notes Murre-Levelt : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–31

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

L'inventaire range le dossier dans le groupe « Descentes » (cotes 126 à 133), daté « [avant 1970] » ; lui-même est « s.d. », et rien sur les feuillets ne le date. Trois suites, que Grothendieck numérote en partie lui-même :

• I.Pages 1 à 11, « Réductions via le conducteur » (titre de sa main, précédé d'un 1 cerclé ; il y renvoie plus loin comme au « N^o 1 »). Un idéal \(I\) de \(A\) contenu dans le conducteur de \(A\) dans \(A'\) ; la suite exacte qui compare le complexe d'Amitsur de \(A'/A\) à celui de sa réduction modulo \(I\) ; la descente effective des modules plats quand \(I\) est nilpotent ; le transport des relations d'équivalence.
• II.Pages 12 à 18, « Résultats auxiliaires sur les relations d'équivalence » (2 cerclé). Les extensions \(A \subset A'\) où \(A'/A\) est le corps résiduel ; un critère pour que \(A'/A\) soit de longueur au plus \(1\), dont la démonstration s'arrête au dernier cas.
• III.Pages 19 à 29, sans titre de sa main. Le lemme 1 et ses corollaires, qui comparent \(\mathbb{G}_m\) (puis \(\mathrm{Gl}_n\)) et \(\mathbb{G}_a\) (puis \(\mathbb{M}_n\)) à un idéal de carré nul près ; le lemme 2 ; le théorème sur un anneau semi-local noethérien et ses voisinages infinitésimaux, avec sa démonstration, inachevée.

La page 30 est une chemise vierge ; la page 31, d'une autre main, est décrite à la fin.

Les trois suites ont une méthode commune, qui fait l'unité du dossier : on compare le complexe d'Amitsur de \(A'/A\) à celui de sa réduction modulo un idéal nilpotent, par une suite exacte courte de complexes dont le noyau est simple à calculer. En I le noyau est un complexe constant, et c'est l'hypothèse du conducteur qui le rend tel ; en III il est seulement de carré nul, et la comparaison devient une comparaison entre un groupe multiplicatif et un groupe additif. La suite II sert la suite I : ses deux propositions sont démontrées en se ramenant au N^o 1 avec \(I = \mathfrak{m}\).

Conventions

• \(A'\) désigne toujours la \(A\)-algèbre qu'on veut descendre ; les pages 1 à 11 l'appellent \(B\)¹ . Pour un idéal \(I\) de \(A\) : \(A_0 = A/I\), \(A'_0 = A'/IA'\).
• \(C^n(A'/A) = A'^{\otimes_A (n+1)} = \bigotimes^{n+1}_A A'\) ; ces anneaux forment le complexe d'Amitsur \(C^{\bullet}(A'/A)\), et \(H^i(A'/A, M)\) désigne la cohomologie de \(C^{\bullet}(A'/A) \otimes_A M\) ; \(H^i(A'/A) = H^i(A'/A, A)\). Ainsi \(H^0(A'/A) = \mathrm{Ker}(A' \rightrightarrows A' \otimes_A A')\). On note \(B = H^0(A'/A)\) et \(\widetilde{B}_0 = H^0(A'_0/A_0)\)² .
• Pour un faisceau de groupes \(G\) (\(\mathbb{G}_a\), \(\mathbb{G}_m\), \(\mathrm{Gl}_n\), \(\mathbb{M}_n\)), \(H^1(A'/A, G)\) est la cohomologie d'Amitsur à coefficients dans \(G\) : pour \(G\) non commutatif, l'ensemble pointé des classes de cocycles \(g \in G(A' \otimes_A A')\), et pour \(\mathrm{Gl}_n\) l'ensemble des classes de données de descente sur \(A'^{\,n}\).
• Une donnée de descente sur un \(A'\)-module \(E'\) relativement à \(A'/A\) est un isomorphisme \(E' \otimes_{A', p_1} (A' \otimes_A A') \simeq E' \otimes_{A', p_2} (A' \otimes_A A')\) satisfaisant la condition de cocycle ; elle est effective s'il existe un \(A\)-module \(E\) et un isomorphisme \(E \otimes_A A' \simeq E'\) compatible aux données. Le morphisme \(\mathrm{Spec}\, A' \to \mathrm{Spec}\, A\) est de descente (pour une classe de modules) si le foncteur \(E \mapsto E \otimes_A A'\) est pleinement fidèle à valeurs dans les modules munis d'une donnée de descente, et de descente effective si c'est de plus une équivalence.
• \(\mathfrak{m}\) désigne l'idéal maximal (section II) ou le radical (section III) ; l'entier qu'il appelle \(m\) dans le théorème de la page 25 est noté \(r\)³ .

Ce que le dossier annonce sans l'établir

Le critère d'effectivité de la page 11 s'arrête sur des points de suspension ; le cas \(k[\varepsilon]\) de la page 13 n'est pas vérifié ; la page 18 s'arrête sur ce qu'« il faut prouver ». Ces trois points se démontrent sans peine et on le fait, en le disant. Plus sérieux : la démonstration du lemme 1 (page 20) repose sur un carré qui ne commute pas tel qu'il est dessiné, et ses corollaires (pages 21 et 22), puis les étapes du théorème qui les utilisent, héritent de cette lacune. La démonstration du lemme 2 et de sa variante est en grande partie illisible ; la troisième partie du théorème, c), n'est pas démontrée ; le lemme de passage à la limite de la page 29 n'est pas écrit.

1–11

I. Réductions via le conducteur (pages 1 à 11)

1–2

Le cadre : un idéal contenu dans le conducteur (pages 1 et 2)

Soient \(A\) un anneau, \(I\) un idéal de \(A\) et \(A'\) une \(A\)-algèbre. On suppose que l'application \(I \to A'\), \(\lambda \mapsto \lambda \cdot 1_{A'}\), est injective et que son image est un idéal de \(A'\) — nécessairement égal à \(IA'\)⁴ . Quand \(A \subset A'\), cela revient à dire que \(I\) est un idéal de \(A'\) contenu dans \(A\), c'est-à-dire que \(I\) est contenu dans le conducteur \(\mathfrak{f} = \mathrm{Ann}_A(A'/A)\) de \(A\) dans \(A'\) ; le carré

\begin{tikzcd}
A \arrow[r] \arrow[d] & A' \arrow[d] \\
A/I \arrow[r] & A'/I
\end{tikzcd}

est alors cartésien. C'est la situation qu'on appelle aujourd'hui un carré de Milnor, ou un pincement⁵ . L'exemple type est la normalisation d'une courbe à point double : \(A' = k[t]\), \(A = \{ f : f(0) = f(1) \}\), \(I = \mathfrak{f} = \{ f : f(0) = f(1) = 0 \}\).

Proposition 1. Sous ces hypothèses, pour tout \(n \geqslant 0\), l'application \(\lambda \mapsto \lambda \cdot 1\) de \(I\) dans \(C^n = \bigotimes^{n+1}_A A'\) est injective et son image est un idéal de \(C^n\).

En effet, pour \(\lambda \in I\) on a \(\lambda b_0 = \lambda_0 \cdot 1_{A'}\) avec \(\lambda_0 \in I\), d'où \[ \lambda (b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_n) = 1 \otimes \lambda_0 (b_1 \otimes \cdots \otimes b_n) = 1 \otimes \mu (1 \otimes \cdots \otimes 1) = \mu \cdot 1_{C^n} \] avec \(\mu \in I\), par récurrence sur \(n\)⁶ . L'injectivité vient de ce que le composé \(I \to C^n \to A'\) avec la multiplication est l'application donnée, injective par hypothèse⁷ .

Comme \(I \cdot 1_{C^n} = IC^n\) et \(C^n / IC^n = \bigotimes^{n+1}_{A_0} A'_0\), on obtient :

Corollaire 1. Pour tout ensemble fini \(E\), la suite \[ 0 \to I \to \bigotimes^E_A A' \to \bigotimes^E_{A_0} A'_0 \to 0 \] est exacte, et fonctorielle en \(E\), l'application induite sur \(I\) étant l'identité. On a donc une suite exacte de \(A\)-modules cosimpliciaux⁸ \[ 0 \to I_{\mathrm{cst}} \to C^{\bullet}(A'/A) \to C^{\bullet}(A'_0/A_0) \to 0 , \] où \(I_{\mathrm{cst}}\) est le module cosimplicial constant de valeur \(I\)⁹ .

3–4

Ce que la réduction ne change pas (pages 3 et 4)

Le complexe normalisé de \(I_{\mathrm{cst}}\) est \(I\) en degré \(0\) et nul ensuite ; sa cohomologie est \(I\) en degré \(0\) et \(0\) en degrés \(> 0\). La suite exacte longue donne donc :

Corollaire 2. On a \(H^i(A'/A) \simeq H^i(A'_0/A_0)\) pour \(i \neq 0\), et une suite exacte \(0 \to I \to H^0(A'/A) \to H^0(A'_0/A_0) \to 0\). Par le lemme du serpent appliqué à \(0 \to I \to A \to A_0 \to 0\), on a aussi \(\mathrm{Coker}(A \to H^0(A'/A)) \simeq \mathrm{Coker}(A_0 \to H^0(A'_0/A_0))\), et de même pour les noyaux¹⁰ .

Corollaire 3. a) Pour \(i \neq 0\), \(H^i(A'/A) = 0\) si et seulement si \(H^i(A'_0/A_0) = 0\). b) \(A \to H^0(A'/A)\) est injectif (resp. surjectif) si et seulement si \(A_0 \to H^0(A'_0/A_0)\) l'est¹¹ .

Corollaire 4. Si \(M\) est un \(A\)-module plat, on a une suite exacte de modules cosimpliciaux \(0 \to (M \otimes_A I)_{\mathrm{cst}} \to C^{\bullet}(A'/A) \otimes_A M \to C^{\bullet}(A'_0/A_0) \otimes_{A_0} M_0 \to 0\), d'où \(H^i(A'/A, M) \simeq H^i(A'_0/A_0, M_0)\) pour \(i \neq 0\) et une suite exacte \(0 \to M \otimes_A I \to H^0(A'/A, M) \to H^0(A'_0/A_0, M_0) \to 0\).

Corollaire 5. Si \(A'_0\) est fidèlement plat sur \(A_0\), alors pour tout \(A\)-module plat \(M\) on a \(H^i(A'/A, M) = 0\) pour \(i \neq 0\) et \(M \xrightarrow{\sim} H^0(A'/A, M)\).

C'est la descente fidèlement plate pour \(A'_0/A_0\), remontée par le corollaire 4 et le lemme des cinq. Le résultat équivaut au cas \(M = A\) — c'est-à-dire à l'exactitude du complexe augmenté \(0 \to A \to A' \to A' \otimes_A A' \to \cdots\) —, puisqu'un tel complexe reste exact après tensorisation par un module plat¹² .

4–9

Descente effective le long d'un conducteur nilpotent (pages 4 à 9)

Proposition 2. Soient \(A\), \(I\), \(A'\) comme ci-dessus, avec \(I\) nilpotent, et tels que \(A \xrightarrow{\sim} H^0(A'/A)\) et \(H^1(A'/A) = 0\)¹³ . Soit \(E'\) un \(A'\)-module plat muni d'une donnée de descente relativement à \(A'/A\), et supposons effective la donnée qu'elle induit sur \(E'_0 = E'/IE'\) relativement à \(A'_0/A_0\) : il existe un \(A_0\)-module plat \(E_0\) et un isomorphisme compatible aux données \(E_0 \otimes_{A_0} A'_0 \simeq E'_0\). Alors la donnée sur \(E'\) est effective : si \(E = H^0_D(A'/A, E')\) est le sous-\(A\)-module des invariants de \(E'\), \(E\) est plat sur \(A\) et \(E \otimes_A A' \to E'\) est un isomorphisme.

La page dessine les deux étages en perspective : en bas les complexes d'Amitsur de \(A'/A\) et de \(A'_0/A_0\), en haut les complexes de descente \(C^{\bullet}_D(A'/A, E')\), de termes \(E^{(n)} = E' \otimes_{A'} A^{(n)}\) où \(A^{(n)} = \bigotimes^{n+1}_A A'\), et leur réduction, avec \(E_0\) en pointillé au-dessus de \(A_0\)¹⁴ .

Démonstration, cas \(I^2 = 0\). On a une suite exacte de modules cosimpliciaux \[ 0 \to I\, C^{\bullet}_D(A'/A, E') \to C^{\bullet}_D(A'/A, E') \to C^{\bullet}_D(A'_0/A_0, E'_0) \to 0 , \] qui n'utilise pas l'effectivité¹⁵ . Comme \(E^{(n)}\) est plat sur \(A^{(n)}\) et \(I^2 = 0\), on a \(I E^{(n)} \simeq E^{(n)}_0 \otimes_{A^{(n)}_0} IA^{(n)}\), et \(IA^{(n)} \simeq I\) par la proposition 1. L'effectivité modulo \(I\) donne \(E^{(n)}_0 \simeq E_0 \otimes_{A_0} A^{(n)}_0\), d'où \(IE^{(n)} \simeq E_0 \otimes_{A_0} I\), et ces isomorphismes sont compatibles aux opérations cosimpliciales : le noyau est le module constant \((E_0 \otimes_{A_0} I)_{\mathrm{cst}}\). La suite exacte de cohomologie donne donc \[ 0 \to E_0 \otimes_{A_0} I \to E \to H^0_D(A'_0/A_0, E'_0) \to 0 , \] et \(H^0_D(A'_0/A_0, E'_0) = E_0 \otimes_{A_0} H^0(A'_0/A_0) = E_0\) puisque \(E_0\) est plat et \(H^0(A'_0/A_0) = A_0\). Ainsi \(E \to E_0\) est surjectif, son noyau est l'image de \(E_0 \otimes_{A_0} I\), qui est \(IE\), et :

a) \(E/IE \xrightarrow{\sim} E_0\) ;

b) \(E/IE \otimes_{A_0} I = E \otimes_A I \to IE\) est un isomorphisme.

Comme \(E/IE\) est plat sur \(A/I\) et \(I\) nilpotent, b) dit que \(\mathrm{Tor}^A_1(A/I, E) = 0\), et \(E\) est plat sur \(A\) par le critère local de platitude, sous sa forme pour un idéal nilpotent, qui ne demande aucune hypothèse noethérienne¹⁶ . Enfin \(E \otimes_A A' \to E'\) est un homomorphisme de \(A'\)-modules plats qui devient un isomorphisme modulo \(I\) ; il est surjectif par Nakayama (\(IA'\) est nilpotent), et son noyau \(K\) vérifie \(K/IK = 0\) parce que \(E'\) est plat, donc \(K = 0\)¹⁷ .

Cas général. Si \(I^n = 0\) avec \(n > 2\), on raisonne par récurrence sur \(n\), au moyen du lemme suivant, que la page dit « trivial » :

Lemme. Si \(I\) et \(J\) sont deux idéaux de \(A\) dont les images \(\lambda \mapsto \lambda \cdot 1\) dans \(A'\) sont injectives et sont des idéaux de \(A'\), il en est de même de \(IJ\) ; en particulier des puissances \(I^{\nu}\), \(\nu \geqslant 1\).

(Pour \(b \in A'\), \(\lambda \in I\), \(\mu \in J\) : \(b \lambda\mu = \lambda (\mu b) = \lambda \mu'\) avec \(\mu' \in J\).) On applique alors le cas de carré nul à l'idéal \(J = I^{n-1}\), de carré nul, au-dessus de \(A/J\), où le résultat est acquis par récurrence pour l'idéal \(I/J\), nilpotent d'ordre \(n-1\)¹⁸ .

Corollaire 1. Soient \(A \subset A'\) et \(I\) un idéal nilpotent de \(A\) tel que \(IA' = I\) (c'est-à-dire contenu dans le conducteur). Si \(\mathrm{Spec}\, A'_0 \to \mathrm{Spec}\, A_0\) est un morphisme de descente effective pour les modules plats — par exemple si \(A'_0\) est fidèlement plat sur \(A_0\) —, il en est de même de \(\mathrm{Spec}\, A' \to \mathrm{Spec}\, A\)¹⁹ .

Corollaire 2. Soient \(X\) un préschéma, \(\mathcal{I}\) un idéal quasi-cohérent nilpotent de \(\mathcal{O}_X\), et \(X' = \mathrm{Spec}(\mathcal{A}') \to X\) affine, tel que \(\mathcal{I} \to \mathcal{A}'\) soit un isomorphisme sur un idéal de \(\mathcal{A}'\) et que \(X'_0 = \mathrm{Spec}(\mathcal{A}'/\mathcal{I}\mathcal{A}')\) soit fidèlement plat sur \(X_0 = V(\mathcal{I})\). Alors \(X' \to X\) est un morphisme de descente effective pour les modules quasi-cohérents plats.

Corollaire 3. Sous les mêmes conditions, pour tout morphisme plat \(Y \to X\), la projection \(X' \times_X Y \to Y\) est encore un morphisme de descente effective pour les modules quasi-cohérents plats.

En effet les hypothèses du corollaire 2 sont stables par changement de base plat²⁰ . La page ajoute que cela s'applique « lorsque \(Y\) est un \(A\)-préschéma quelconque » ; il faut lire : un \(A\)-préschéma plat. Pour \(Y\) quelconque l'énoncé est faux, parce que le carré cartésien du conducteur ne le reste pas par un changement de base non plat²¹ .

9–11

Idéaux d'augmentation et relations d'équivalence (pages 9 à 11)

Revenons au diagramme du corollaire 1 de la proposition 1, avec pour \(F\) un point : la multiplication \(\bigotimes^n_A A' \to A'\) et sa réduction s'inscrivent dans un morphisme de suites exactes \(0 \to I \to \bigotimes^n_A A' \to \bigotimes^n_{A_0} A'_0 \to 0\) vers \(0 \to I \to A' \to A'_0 \to 0\), l'identité sur \(I\). Le lemme du serpent donne :

Proposition 3. Soit \(\Delta^{(n)}_{A'/A} = \mathrm{Ker}\bigl( \bigotimes^n_A A' \to A'\bigr)\) l'idéal d'augmentation. La réduction modulo \(I\) induit un isomorphisme \(\Delta^{(n)}_{A'/A} \xrightarrow{\sim} \Delta^{(n)}_{A'_0/A_0}\)²² .

Corollaire 1. Notons \(p\) la réduction. Les applications \(J \mapsto p(J)\) et \(J^0 \mapsto p^{-1}(J^0) \cap \Delta^{(n)}_{A'/A}\) sont des bijections réciproques entre idéaux de \(\bigotimes^n_A A'\) contenus dans l'idéal d'augmentation et idéaux de \(\bigotimes^n_{A_0} A'_0\) contenus dans le sien ; pour deux idéaux qui se correspondent, \(J \to J^0\) est bijectif. La correspondance respecte l'inclusion, les sommes et les intersections, et commute aux opérations cosimpliciales (pour \(n\) variable)²³ .

Une relation d'équivalence de \(\mathrm{Spec}\, A'\) au-dessus de \(\mathrm{Spec}\, A\) est un sous-schéma fermé de \(\mathrm{Spec}(A' \otimes_A A')\), défini par un idéal \(J \subset \Delta^{(2)}\) (réflexivité), stable par l'échange des facteurs (symétrie) et tel que \(p_{13}(J) \subset p_{12}(J) + p_{23}(J)\) dans \(A'^{\otimes 3}\) (transitivité) : un idéal d'équivalence. Ces conditions s'expriment par sommes, inclusions et opérations cosimpliciales ; d'où :

Corollaire 2. (a) La correspondance du corollaire 1 (pour \(n = 2\)) est une bijection entre relations d'équivalence de \(\mathrm{Spec}\, A'\) sur \(\mathrm{Spec}\, A\) et de \(\mathrm{Spec}\, A'_0\) sur \(\mathrm{Spec}\, A_0\). (b) Elle respecte l'ordre ; la plus fine (la diagonale, \(J = \Delta\)) et la moins fine (\(J = 0\), le produit fibré tout entier) se correspondent. (c) Si \(J\) et \(J^0\) se correspondent, et si \(A'^{J} = \{ b : p_1(b) \equiv p_2(b) \bmod J \}\) désigne l'anneau des invariants, alors \(A'^{J} \to A'^{J^0}_0\) est surjectif de noyau \(I\) : \(A'^{J^0}_0 \simeq A'^{J}/I\). En effet \(\delta(b) = p_2(b) - p_1(b)\) appartient à \(\Delta\), et \(\Delta/J \simeq \Delta_0/J^0\), de sorte que \(\delta(b) \in J\) si et seulement si \(\delta_0(b_0) \in J^0\). Enfin \(J\) est effectif si et seulement si \(J^0\) l'est²⁴ .

12–18

II. Résultats auxiliaires sur les relations d'équivalence (pages 12 à 18)

12–13

Les extensions où \(A'/A\) est le corps résiduel (pages 12 et 13)

Proposition 1. Soient \(A\) un anneau, \(\mathfrak{m}\) un idéal maximal, \(k = A/\mathfrak{m}\), et \(A \subset A'\) une \(A\)-algèbre telle que \(A'/A \simeq k\) comme \(A\)-modules. Alors :

(i) il y a exactement deux relations d'équivalence de \(\mathrm{Spec}\, A'\) sur \(\mathrm{Spec}\, A\), la plus fine et la moins fine ;

(ii) la suite \(0 \to A \to A' \rightrightarrows A' \otimes_A A'\) est exacte, et plus précisément \(H^0(A'/A) = A\), \(H^i(A'/A) = 0\) pour \(i \neq 0\) ;

(iii) si de plus \(\mathfrak{m}\) est nilpotent, \(\mathrm{Spec}\, A' \to \mathrm{Spec}\, A\) est un morphisme de descente effective pour les modules quasi-cohérents plats, et le reste après tout changement de base plat.

Comme \(\mathfrak{m}\) annule \(A'/A\), on a \(\mathfrak{m}A' \subset A\) ; c'est un idéal de \(A\) contenant \(\mathfrak{m}\), distinct de \(A\) (sinon \(A' = \mathfrak{m}A' \subset A\)), donc \(\mathfrak{m}A' = \mathfrak{m}\) : on est dans la situation du N^o 1 avec \(I = \mathfrak{m}\). De plus \(A'_0 = A'/\mathfrak{m}\) est de dimension \(2\) sur \(k\), donc fidèlement plat : (ii) résulte du corollaire 5 de la proposition 1, et (iii) du corollaire 1 de la proposition 2 et du corollaire 3²⁵ .

Pour (i), la proposition 3 et son corollaire 2 ramènent au cas \(A = k\), où \(A'\) est une \(k\)-algèbre de rang \(2\) ; on peut supposer \(k\) algébriquement clos²⁶ . Deux cas :

(1) \(A'\) réduit, donc \(A' \simeq k \times k\) : la question est ensembliste, et un ensemble à deux éléments a deux relations d'équivalence.

(2) \(A'\) non réduit, donc \(A' \simeq k[\varepsilon]\), \(\varepsilon^2 = 0\). La page s'arrête là ; la vérification est courte²⁷ . Dans \(A' \otimes_k A' = k[\varepsilon_1, \varepsilon_2]\), l'idéal d'augmentation est \(\Delta = k(\varepsilon_1 - \varepsilon_2) \oplus k\varepsilon_1\varepsilon_2\), et ses idéaux sont \(0\), \(k\varepsilon_1 \varepsilon_2\) et \(\Delta\) (tout élément de \(\Delta\) hors de \(k\varepsilon_1 \varepsilon_2\) engendre \(\Delta\)). L'idéal \(k\varepsilon_1\varepsilon_2\) n'est pas transitif : \(\varepsilon_1\varepsilon_3\) n'appartient pas à l'idéal engendré par \(\varepsilon_1\varepsilon_2\) et \(\varepsilon_2 \varepsilon_3\) dans \(k[\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3]\). Il reste \(0\) et \(\Delta\).

14–18

Un critère de colongueur au plus un (pages 14 à 18)

Proposition 2. Soient \(A\) un anneau local artinien d'idéal maximal \(\mathfrak{m}\), \(A'\) une \(A\)-algèbre finie dont les extensions résiduelles sont triviales, \(A'' = (A' \otimes_A A')/J\) avec \(J\) un idéal d'équivalence, et \(\Delta = \mathrm{Ker}(A'' \to A')\). On suppose que la suite \(A \to A' \rightrightarrows A''\) est exacte, et que pour tout \(x' \in A' \smallsetminus A\), l'élément \(\delta(x') = p_2(x') - p_1(x')\) engendre l'idéal \(\Delta\). Alors \(A'/A\) est de longueur au plus \(1\) ; si elle vaut \(1\), on a \(A'' \simeq A' \otimes_A A'\)²⁸ .

Notons \(\mathfrak{m}' = \mathfrak{r}(A')\), le radical, formé d'éléments nilpotents puisque \(A'\) est artinien. Deux cas.

1^o \(A'\) n'est pas radiciel sur \(A\), c'est-à-dire (les extensions résiduelles étant triviales) a au moins deux idéaux maximaux. Alors \(\mathrm{Ker}(A' \otimes_A A' \to A')\) n'est pas nilpotent. Comme \(J\) est nilpotent, \(\Delta\) ne l'est pas non plus²⁹ . Si \(x' \in \mathfrak{m}'\), \(\delta(x')\) est nilpotent, donc n'engendre pas \(\Delta\) ; par hypothèse \(x' \in A\). Ainsi \(\mathfrak{m}' \subset A\), donc \(\mathfrak{m}' \subset \mathfrak{m}\), et comme \(\mathfrak{m} \subset \mathfrak{m}A' \subset \mathfrak{m}'\), \[ \mathfrak{m}' = \mathfrak{m} = \mathfrak{m}A' . \] On est dans la situation du N^o 1 avec \(I = \mathfrak{m}\) et \(A_0 = k\). Par la proposition 3 (corollaire 2 (c)), la suite réduite \(k \to A'_0 \rightrightarrows A''_0\) est encore exacte ; \(A'_0 = A'/\mathfrak{m}'\) est réduit ; et comme \(\Delta \to \Delta_0 = \mathrm{Ker}(A''_0 \to A'_0) \simeq \Delta/(\Delta \cap \mathfrak{m}A'')\) est surjectif, \(\delta_0(x'_0)\) engendre \(\Delta_0\) pour tout \(x'_0 \in A'_0 \smallsetminus k\)³⁰ . Or \(A'_0 \simeq k^n\) avec \(n \geqslant 2\), l'exactitude impose \(A''_0 = k^{n^2}\) (une seule classe), et \(\Delta_0\), l'idéal des fonctions nulles sur la diagonale, est de dimension \(n^2 - n\). Pour \(x'_0 = (1, 0, \ldots, 0)\), \(\delta_0(x'_0)\) est non nul exactement aux \(2(n-1)\) couples \((i, j)\) dont une seule coordonnée vaut \(1\) ; il engendre \(\Delta_0\) si et seulement si \(2(n-1) = n^2 - n\), c'est-à-dire \(n = 2\). Alors \(A'/A \simeq A'_0/k \simeq k\), de longueur \(1\)³¹ .

2^o \(A'\) est radiciel sur \(A\) : \(\mathrm{Ker}(A' \otimes_A A' \to A')\) est nilpotent, donc \(\Delta\) l'est. Posons \(\Omega = \Delta/\Delta^2\).

a) Si \(\Omega = 0\), alors \(\Delta = \Delta^2\), donc \(\Delta = 0\) ; \(A'' = A'\), et l'exactitude donne \(A = A'\) : la longueur est nulle.

b) Si \(\Omega \neq 0\). L'application \(d : A' \to \Omega\), \(d(x') = \delta(x') \bmod \Delta^2\), est une \(A\)-dérivation — l'image de la différentielle universelle par l'application canonique \(\Omega^1_{A'/A} \to \Omega\) —, donc \(d(\mathfrak{m}'^2) \subset \mathfrak{m}'\Omega\). Par hypothèse, \(d(x')\) engendre le \(A'\)-module \(\Omega\) pour \(x' \notin A\) ; par Nakayama, un élément de \(\mathfrak{m}'\Omega\) n'engendre pas \(\Omega\). Donc \[ \mathfrak{m}'^2 \subset A , \quad \text{d'où} \quad \mathfrak{m}'^2 \subset \mathfrak{m} . \] Comme \(A'\) est local à extension résiduelle triviale, \(A' = A + \mathfrak{m}'\), d'où \(\mathfrak{m}A' \subset \mathfrak{m} + \mathfrak{m}'^2 \subset \mathfrak{m}\), soit \(\mathfrak{m}A' = \mathfrak{m}\) : on est de nouveau dans la situation du N^o 1, et l'on se ramène comme au 1^o au cas où \(A = k\) est un corps³² . Alors \(A'\) est local d'idéal maximal \(V\) de carré nul, \[ A' \simeq D_k(V) = k \oplus V , \quad V^2 = 0 , \] l'algèbre des nombres duaux sur un espace \(V\) de dimension finie, non nul puisque \(\Delta \neq 0\).

Il faut prouver que \(\dim V = 1\) ; la page s'arrête après en avoir préparé le calcul³³ . On a \(A' \otimes_k A' = k \oplus (V \otimes 1) \oplus (1 \otimes V) \oplus (V \otimes V)\), l'idéal d'augmentation est \(\Delta^{(2)} = \delta(V) \oplus (V \otimes V)\), et pour \(v \in V\) l'idéal engendré par \(\delta(v) = 1 \otimes v - v \otimes 1\) est \(k\,\delta(v) + V \otimes v + v \otimes V\). Soit \(W \subset V\) l'image de \(J\) dans \(\Delta^{(2)}/(V \otimes V) \simeq V\). L'hypothèse dit que pour tout \(v \neq 0\), \((\delta(v)) + J = \Delta^{(2)}\), donc \(V = kv + W\). Si \(W\) contenait un \(w \neq 0\), on aurait \(V = W\) ; alors pour tout \(w \in V\), \(J\) contiendrait un élément \(\delta(w) + t\) avec \(t \in V \otimes V\), et en le multipliant par \(u \otimes 1\) et \(1 \otimes u\), tous les \(u \otimes w\) et \(w \otimes u\) : \(V \otimes V \subset J\), puis \(\delta(V) \subset J\), ce qui contredit l'exactitude (\(\delta(v) \in J\) voudrait dire \(v \in k\)). Donc \(W = 0\), et \(V = kv\) pour tout \(v \neq 0\) : \(\dim V = 1\), et \(A'/A\) est de longueur \(1\).

19–29

III. Descente le long des voisinages infinitésimaux (pages 19 à 29)

19–20

Le lemme 1 : le groupe multiplicatif et le groupe additif (pages 19 et 20)

Le cadre change : \(I\) n'est plus supposé contenu dans le conducteur, mais de carré nul.

Lemme 1. Soient \(A\) un anneau, \(A'\) une \(A\)-algèbre, \(I\) un idéal de carré nul de \(A\), \(B = H^0(A'/A)\), \(\widetilde{B}_0 = H^0(A'_0/A_0)\), et \(\overline{B}\) l'image de \(B\) dans \(\widetilde{B}_0\). On suppose \[ \widetilde{B}_0 = \widetilde{B}_0^{\,*} + \overline{B} . \] Le manuscrit affirme qu'il existe alors un isomorphisme canonique \[ (*) \qquad \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \mathbb{G}_m) \to H^1(A'_0/A_0, \mathbb{G}_m)\bigr) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \mathbb{G}_a) \to H^1(A'_0/A_0, \mathbb{G}_a)\bigr) . \] C'est l'énoncé de la page 19, sur un « Proposition » rayé³⁴

N.B. La condition est remplie si \(A\) est noethérien semi-local et \(A'\) fini sur \(A\) : alors \(\mathrm{Spec}\, \widetilde{B}_0 \to \mathrm{Spec}\, \overline{B}\) est radiciel et surjectif, \(\widetilde{B}_0\) et \(\overline{B}\) sont semi-locaux, \(\mathrm{Max}\, \widetilde{B}_0 \to \mathrm{Max}\, \overline{B}\) est bijectif, et par le lemme chinois on trouve, pour \(c \in \widetilde{B}_0\), un \(b \in \overline{B}\) tel que \(c - b\) ne soit dans aucun idéal maximal³⁵ .

Ce que la démonstration établit. Le complexe d'Amitsur et sa réduction donnent deux suites exactes de modules cosimpliciaux \[ 0 \to I\,C^{\bullet}(A'/A) \to C^{\bullet}(A'/A) \to C^{\bullet}(A'_0/A_0) \to 0 , \] \[ 0 \to I\,C^{\bullet}(A'/A) \to C^{\bullet}(A'/A)^{*} \to C^{\bullet}(A'_0/A_0)^{*} \to 0 , \] la seconde par \(x \mapsto 1 + x\), qui est un morphisme de groupes parce que \(I^2 = 0\) ; la surjectivité vient de ce qu'une unité se relève modulo un idéal nilpotent. Posons \(H = H^1(I\,C^{\bullet}(A'/A))\). Les suites exactes de cohomologie identifient les deux membres de \((*)\) respectivement à \[ \mathrm{Coker}\bigl(\partial_m : \widetilde{B}_0^{\,*} \to H\bigr) \quad \text{et} \quad \mathrm{Coker}\bigl(\partial_a : \widetilde{B}_0 \to H\bigr) , \] où \(\partial_a(c)\) est la classe de \(p_2(\tilde{c}) - p_1(\tilde{c})\) pour un relèvement \(\tilde{c} \in A'\), et \(\partial_a\) s'annule sur \(\overline{B}\). Jusqu'ici tout est exact.

La lacune. Le manuscrit conclut par un carré commutatif où \(\widetilde{B}_0^{\,*} \to H\) et \(\widetilde{B}_0 \to H\) sont reliés par l'inclusion \(\widetilde{B}_0^{\,*} \subset \widetilde{B}_0\) et l'identité de \(H\) ; avec \(\widetilde{B}_0 = \widetilde{B}_0^{\,*} + \overline{B}\), les deux conoyaux seraient égaux. Mais ce carré ne commute pas : pour \(u \in \widetilde{B}_0^{\,*}\) relevé en \(\tilde{u}\), le cobord multiplicatif est \(p_2(\tilde{u})\, p_1(\tilde{u})^{-1} = 1 + (p_2(\tilde{u}) - p_1(\tilde{u}))\, p_1(\tilde{u})^{-1}\), de sorte que \[ \partial_m(u) = u^{-1} \cdot \partial_a(u) , \] où \(\widetilde{B}_0\) opère sur \(H\) par cup-produit en degré \(0\) : c'est la dérivée logarithmique, non la dérivée. Les deux images \(\partial_a( \widetilde{B}_0)\) et \(\partial_m(\widetilde{B}_0^{\,*})\) n'ont pas de raison générale de coïncider³⁶ . Le lemme 1 est donc, dans ce dossier, un énoncé annoncé et non démontré ; ce qui est acquis est la description des deux noyaux comme conoyaux de \(\partial_m\) et \(\partial_a\), reliés par \(\partial_m(u) = u^{-1}\partial_a(u)\).

Corollaire 1 (annoncé). Si \(H^1(A'_0/A_0, \mathbb{G}_a) = 0\) et \(H^1(A'_0/A_0, \mathbb{G}_m) = 0\), on aurait un isomorphisme canonique \(H^1(A'/A, \mathbb{G}_m) \simeq H^1(A'/A, \mathbb{G}_a)\), de sorte que \(H^1(A'/A, \mathbb{G}_m) = 0\) et \(H^1(A'/A, \mathbb{G}_a) = 0\) seraient équivalents³⁷ .

21–22

Matrices et automorphismes (pages 21 et 22)

Corollaire 2 (annoncé). Sous les conditions du lemme 1, soient \(n \geqslant 1\), \(\mathbb{M}_n\) le faisceau des matrices carrées d'ordre \(n\) et \(\mathrm{Gl}_n = \mathbb{M}_n^{*}\), et supposons de plus \[ \mathbb{M}_n(\widetilde{B}_0) = \mathbb{M}_n(\widetilde{B}_0)^{*} + \mathrm{Im}\bigl(\mathbb{M}_n(B) \to \mathbb{M}_n(\widetilde{B}_0)\bigr) \] (ce qui a lieu sous les conditions du N.B. du lemme 1, voir le lemme 2)³⁸ . Il y aurait une bijection respectant les éléments neutres \[ \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_n) \to H^1(A'_0/A_0, \mathrm{Gl}_n)\bigr) \to \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \mathbb{M}_n) \to H^1(A'_0/A_0, \mathbb{M}_n)\bigr) . \] Par suite, si \(H^1(A'_0/A_0, \mathrm{Gl}_n)\) est trivial et \(H^1(A'_0/A_0) = 0\), on aurait \(H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_n) \simeq H^1(A'/A, \mathbb{M}_n) = \mathbb{M}_n\bigl(H^1(A'/A)\bigr)\), et \(H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_n)\) serait trivial si et seulement si \(H^1(A'/A) = 0\).

La démonstration identifie les deux noyaux à \(H^1(I\,C^{\bullet}(A'/A, \mathbb{M}_n))\) modulo l'action de \(\mathrm{Gl}_n(\widetilde{B}_0)\), resp. de \(\mathbb{M}_n(\widetilde{B}_0)\)³⁹ . Cette identification est correcte : c'est la description classique de la fibre d'un \(H^1\) non abélien au-dessus de l'élément neutre, pour une extension à noyau commutatif. Mais l'action de \(\mathrm{Gl}_n(\widetilde{B}_0)\) est affine — une conjugaison suivie de la translation par un cobord, qui est une dérivée logarithmique —, et non « induite par celle de \(\mathbb{M}_n(\widetilde{B}_0)\) » comme l'écrit la page : c'est la lacune du lemme 1 en dimension \(n\), aggravée par la conjugaison. La phrase qui devait conclure s'interrompt sur la note de bas de page⁴⁰ .

Corollaire 3 (annoncé). Même énoncé pour un module libre \(E = A^{(N)}\) (\(N\) un ensemble d'indices quelconque), les faisceaux \(\underline{\mathrm{Aut}}(E)\) et \(\underline{\mathrm{End}}(E)\), sous l'hypothèse \(\mathrm{End}_{\widetilde{B}_0}(E_{\widetilde{B}_0}) = \mathrm{Aut}_{\widetilde{B}_0}(E_{\widetilde{B}_0}) + \mathrm{Im}\,\mathrm{End}_{B}(E_{B})\) ; le noyau du côté additif est \(\bigl[\mathrm{Ker}(H^1(A'/A) \to H^1(A'_0/A_0))^{(N)}\bigr]^N\), puisque \(\mathrm{End}(A^{(N)})\) est le module des matrices à colonnes finies et que la cohomologie commute aux sommes directes et aux produits⁴¹ . La démonstration est « le même principe », par les suites exactes de groupes cosimpliciaux \(e \to C^{\bullet}(\underline{\mathrm{Hom}}(E, IE)) \to C^{\bullet}(\underline{\mathrm{Aut}}(E)) \to C^{\bullet}_0(\underline{\mathrm{Aut}}(E)) \to e\) et son analogue additif, qui sont exactes (un endomorphisme qui relève un automorphisme modulo un idéal de carré nul est un automorphisme) ; elle hérite de la même lacune.

23–24

Le lemme 2 : rendre une matrice inversible (pages 23 et 24)

Lemme 2. Soient \(B\) un anneau semi-local et \(C\) une \(B\)-algèbre finie, semi-locale, dont les idéaux maximaux \(\mathfrak{n}\) induisent des idéaux maximaux \(\mathfrak{m}\) de \(B\). On suppose : (i) les corps \(k(\mathfrak{m})\) sont infinis ; (ii) deux idéaux maximaux distincts de \(C\) induisent des idéaux maximaux distincts de \(B\), et chaque extension \(k(\mathfrak{n})/k(\mathfrak{m})\) est radicielle (par exemple \(C\) fini et radiciel sur \(B\)). Alors pour tout \(n \geqslant 1\) et tout \(u \in \mathbb{M}_n(C)\), il existe \(v \in \mathbb{M}_n(B)\) tel que \(u + \varphi(v) \in \mathrm{Gl}_n(C)\), où \(\varphi : B \to C\).

L'inversibilité d'une matrice de \(\mathbb{M}_n(C)\) ne dépend que de son image modulo le radical, et par le lemme chinois on peut prescrire les images de \(v\) dans les \(\mathbb{M}_n(k(\mathfrak{m}_i))\) ; par (ii), on se ramène à \(B = k\) un corps et \(C = k(\mathfrak{n})\)⁴² . Le polynôme \(\det(u + X)\) en les coefficients de \(X\) n'est pas nul (il vaut \(1\) en \(X = 1 - u\)) ; si \(k\) est infini, il ne s'annule pas sur \(\mathbb{M}_n(k)\). On observe que l'hypothèse (i) est en fait superflue sous (ii) : si \(k(\mathfrak{m})\) est fini, il est parfait, l'extension radicielle \(k(\mathfrak{n})/k(\mathfrak{m})\) est triviale, et \(v = 1 - u\) convient⁴³ .

La page 24 énonce une variante pour un module \(E\) libre sur \(B\) : pour tout \(v \in \mathrm{End}_C(E_C)\), il existe \(u \in \mathrm{End}_B(E)\) tel que \(v + u_C\) soit inversible ; la démonstration, presque entièrement illisible, finit sur « \(u = \mathrm{id}_E - v\) ».

25–25

Le théorème (page 25)

Théorème. Soient \(A\) un anneau noethérien semi-local de radical \(\mathfrak{m}\) et \(A'\) une \(A\)-algèbre finie⁴⁴ . Posons \(A_n = A/\mathfrak{m}^{n+1}\), \(A'_n = A' \otimes_A A_n\) et \(B^{(n)} = H^0(A'_n/A_n)\).

a) Soit \(r \geqslant 1\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

• (i)pour tout \(n\), \(H^1(A'_n/A_n) = 0\) ;
• (ii\(_1\))pour tout \(n\), \(H^1(A'_n/A_n, \mathbb{G}_m)\) est trivial ;
• (ii\(_r\))pour tout \(n\), \(H^1(A'_n/A_n, \mathrm{Gl}_r)\) est trivial ;
• (iii)pour tout \(n\), \(\mathrm{Spec}\, A'_n \to \mathrm{Spec}\, B^{(n)}\) est un morphisme de descente effective pour les modules quasi-cohérents plats⁴⁵ .

b) Ces conditions entraînent, avec \(B = H^0(A'/A)\) : (i) \(H^1(A'/A) = 0\) ; (ii) \(H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_r)\) est trivial pour tout \(r\) ; (iii) \(\mathrm{Spec}\, A' \to \mathrm{Spec}\, B\) est un morphisme de descente effective pour les modules plats de type fini⁴⁶ .

c) Si \(A\) est artinien et que les conditions de a) sont remplies, pour tout \(B\)-préschéma \(X\) plat sur \(B\), le morphisme \(X' = X \otimes_B A' \to X\) est un morphisme de descente effective pour les modules quasi-cohérents plats⁴⁷ .

Le théorème dit, en somme, qu'un problème de descente le long de \(A'/A\) se décide sur les voisinages infinitésimaux \(A_n\), et que sur ceux-ci la descente des modules plats, celle des fibrés de rang \(r\) et l'annulation d'un \(H^1\) additif sont une seule et même condition. Pour \(A\) artinien, \(A_n = A\) dès que \(n\) est grand, et b), c) ne demandent pas de passage à la limite ; pour \(A\) complet, la partie b) est le passage aux « modules formels » du titre.

26–29

La démonstration (pages 26 à 29)

a). L'équivalence de (i) et (ii\(_r\)) est « immédiate par récurrence sur \(n\) » par les lemmes 1 et 2 et le corollaire 2 : pour \(n = 0\), \(A_0 = A/\mathfrak{m}\) est un produit de corps, \(A'_0\) est plat sur \(A_0\), et la descente fidèlement plate (sur le support de \(A'_0\)) donne \(H^1 = 0\) et \(H^1(\mathrm{Gl}_r)\) trivial ; on passe de \(n-1\) à \(n\) par l'idéal \(\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}\), de carré nul, l'hypothèse du lemme 1 étant remplie par son N.B. et celle du corollaire 2 par le lemme 2. La récurrence est correcte si les énoncés du lemme 1 et du corollaire 2 le sont, ce que, on l'a vu, le dossier ne démontre pas⁴⁸ .

Ensuite, (ii\(_r\)) dit que tout \(A'_n\)-module libre de rang \(r\) muni d'une donnée de descente relativement à \(A'_n/B^{(n)}\) est effectif, de module descendu libre : c'est la descente effective pour les modules libres de rang fini⁴⁹ . Donc (iii) entraîne (ii\(_r\)). Pour (i) \(\Rightarrow\) (iii) : (i) est stable par changement de base plat et (iii) est invariant par changement de base fidèlement plat, ce qui ramène au cas des extensions résiduelles triviales, puis à \(A = A_n = B^{(n)}\) local ; un \(A'_n\)-module plat est alors libre sur chaque composante locale, et l'effectivité résulte du corollaire 3 du lemme 1 et du lemme 2⁵⁰ .

b) (i). La formation de \(H^1(A'/A)\) commute au changement de base plat, et \(A \to \widehat{A}\) est fidèlement plat ; on peut supposer \(A\) complet. Alors \(C^{\bullet}(A'/A) = \varprojlim_n C^{\bullet}(A'_n/A_n)\), les termes étant des \(A\)-modules finis. Les systèmes de cochaînes ont des transitions surjectives, et le système des \(B^{(n)} = H^0(A'_n/A_n)\), modules de longueur finie, vérifie la condition de Mittag-Leffler ; donc \(\varprojlim^1 B^{(n)} = 0\) et \[ H^1(A'/A) = \varprojlim_n H^1(A'_n/A_n) = 0 , \] ce que la page résume par « en vertu de M.L. »⁵¹ .

b) (ii) résulte de (iii) « par le même argument que dans a) ».

b) (iii). On peut supposer \(A\) complet, \(A = B\) et \(A\) local. Soit \(E'\) un \(A'\)-module plat de type fini muni d'une donnée de descente, \(E = H^0_D(A'/A, E')\) ; il faut montrer que \(E\) est plat et que \(E \otimes_A A' \to E'\) est un isomorphisme. Comme \(\varprojlim\) est exact à gauche, \(E = \varprojlim_n E^{(n)}\) avec \(E^{(n)} = H^0_D(A'_n/A_n, E'_n)\), et par a) (iii), \(E^{(n)}\) est un \(B^{(n)}\)-module plat de type fini avec \(E^{(n)} \otimes_{B^{(n)}} A'_n \simeq E'_n\). La page conclut par « un lemme facile de passage à la limite » que \(E\) est plat sur \(A = \varprojlim B^{(n)}\), et que \(E \otimes_A A' \to E'\), limite des isomorphismes \(E^{(n)} \otimes A'_n \to E'_n\), est un isomorphisme⁵² .

c) est seulement entamé : il s'agit de montrer que \(X' \to X\) est de descente, puis de descente effective, en se ramenant à \(A = B\) et aux \(A_n\), avec l'hypothèse a) sous la forme (iii) ; la page s'arrête dans un crochet⁵³ .

30–31

IV. Les deux derniers feuillets (pages 30 et 31)

La page 30 est une feuille brune vierge, sans doute la chemise de dos de la liasse. La page 31 est d'une autre main, propre et en anglais, sans intervention repérée de Grothendieck. Elle porte sur les idéaux d'équivalence de \(A' \otimes_k A'\) pour l'algèbre \(A' = k \oplus V\) de carré nul, sous la condition de transitivité \(p_{13}(I) \subset p_{12}(I) + p_{23}(I)\) : c'est le cas que la page 18 laisse en suspens. Le titre de l'inventaire, « Cf Notes Murre-Levelt », invite à y voir une feuille de ces notes ; rien sur la feuille ne nomme son auteur, et l'on n'en dit pas davantage⁵⁴ .