Fonds Grothendieck, cote n° 127, pages 21–23 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-26

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 127 Descente non plate : notes manuscrites (s.d.) Pages 21 à 23 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 2 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/127.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \add devient supplied ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Première passe de transcription. Export TEI depuis la source LaTeX.
Foncteurs sur Morphismes non ramifiés, étales …

ces mots sont les siens, à l'encre brune, en haut à droite de la page 21, feuillet par ailleurs blanc qui sert de chemise aux pages suivantes ; le mot biffé après « Morphismes » est peu lisible, et la note en marge de la page 22 (« Avec morphismes non ramifiés ») appuie les lectures « non » et « ramifiés »

Avec morphismes non ramifiés en diagonale dans le coin supérieur gauche, à l'encre brune, séparé du texte par un trait

Lemme. Soit S un préschéma noeth., \mathcal{C} la catégorie des préschémas finis sur S, et F un foncteur contravariant de \mathcal{C} dans la catégorie des ensembles. On suppose (i) Si X \to Y induit un isomorphisme Pour tout X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}, F(X) \to F(X_{\mathrm{red}}) est injectif la condition (i) primitive est biffée ; « Pour tout X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}, F(X) \to F(X_{\mathrm{red}}) est injectif » est ajouté en interligne au-dessus, « injectif » à l'encre brune

(ii) Pour tout épimorphisme effectif X \to Y, on a une suite exacte F(Y) \to F(X) \rightrightarrows F(X \times_Y X) . devant (ii) un signe noirci ; « effectif » n'est pas souligné, mais écrit d'une autre encre

Alors pour tout épimorphisme X \to Y, on a une suite exacte F(Y) \to F(X) \rightrightarrows F(X \times_Y X) .

Démonstration. On utilise le fait que u : X \to Y peut se factoriser en produit d'épimorphismes stricts, on peut prouver déjà que F(Y) \to F(X) est injectif (grâce à (ii)). Pour l'exactitude totale, récurrence sur le nombre de facteurs nécessaires ; si n = 1, c'est (ii), supposons n > 1 et prouvé pour n' < n. On a donc X \xrightarrow{\ u'\ } X'_1 \xrightarrow{\ u''\ } Y , où u' est produit de n - 1 épim. effectifs, et u'' est un épim. effectif. Mais partons de \xi \in F(X) tel que ses deux images dans F(X \times_Y X) soient égales, les deux images dans F(X \times_{X'} X) sont a fortiori égales, donc par hyp. de récurrence \xi provient d'un \xi' \in F(X'), reste à prouver que d'un \xi \in F(X), on que ses deux images dans F(X' \times_Y X') sont les mêmes. Cela résulte du fait que F(X' \times_Y X') \to F(X \times_Y X) est injectif, lui-même conséquence ceci le texte écrit X'_1 dans la factorisation, puis X' dans la suite et dans le diagramme ; la dernière ligne, serrée sous la précédente au bas du feuillet, s'arrête là

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] F(Y) \arrow[r] & F(X') \arrow[r] \arrow[d] & F(X) \arrow[d] & \\ & F(X' \times_Y X') \arrow[r] & F(X \times_Y X) \arrow[r] & F(X \times_{X'} X) \end{tikzcd}

diagramme en marge gauche, à hauteur de l'argument ; \xi' est écrit au-dessus de F(X') et \xi au-dessus de F(X) ; les flèches verticales sont doubles sur la page (deux flèches parallèles), simplifiées ici

Corollaire. Les conditions (i) (ii) impliquent que si u : X \to Y est surjectif, alors F(Y) \to F(X) est injectif. En effet, grâce à (i) on peut supposer X, Y réduits, mais alors u est un épim., et nous avons déjà vu que alors F(Y) \to F(X) est injectif. OK. « Corollaire » et les soulignements de « surjectif » et « injectif » sont à l'encre brune

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] F(X) \arrow[d] & F(Y) \arrow[l] \arrow[d] \\ F(X_{\mathrm{red}}) & F(Y_{\mathrm{red}}) \arrow[l] \end{tikzcd}

carré en marge gauche, à l'encre brune ; la flèche verticale de droite porte une marque, inj, peu lisible

Cas particulier

Proposition. Soient A préschéma abélien sur S loc. noeth., et pour tout S' sur S, soit F(S') l'ens. des sous-préschémas abéliens de A' = A \times_S S'. Alors si S' est tel que S' \to S soit un épimorphisme, on a une suite exacte (où S'' = S' \times_S S') 0 \to F(S) \to F(S') \rightrightarrows F(S'')

En effet, la condition (i) du Lemme résulte de la rigidité, la condition (ii) résulte de la théorie de la descente.

Proposition Corollaire. ( ) Supposons que S soit Énoncé analogue pour les le spectre d'un abéliens. « Proposition », souligné, est biffé et remplacé au-dessus par « Corollaire » ; dans la parenthèse un nom biffé et un autre écrit au-dessus, illisibles tous deux ; « Énoncé analogue pour les … » est écrit au-dessus de la ligne biffée ; l'énoncé s'arrête là