Cote n° 127 · batch 2 · pages 21–23 · Transcription · Descente non plate : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration

Morphismes non ⌜foncteurs non⌝ ramifiés, étales …

ces mots sont les siens, à l'encre brune, en haut à droite de la page 21, feuillet par ailleurs blanc qui sert de chemise aux pages suivantes ; « Morphismes non » est biffé et « foncteurs non » écrit au-dessus, de sorte que le titre se lit « foncteurs non ramifiés, étales … » ; la note en marge de la page 22 (« Avec morphismes non ramifiés ») garde la formulation biffée

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Avec morphismes non ramifiés en diagonale dans le coin supérieur gauche, à l'encre brune, séparé du texte par un trait

Lemme. Soit \(S\) un préschéma […] noeth., \(\mathcal{C}\) la catégorie des préschémas finis sur \(S\), et \(F\) un foncteur contravariant de \(\mathcal{C}\) dans la catégorie des ensembles. On suppose (i) Si […] \(X \to Y\) induit un isomorphisme Pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}\), \(F(X) \to F(X_{\mathrm{red}})\) est injectif la condition (i) primitive est biffée ; « Pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}\), \(F(X) \to F(X_{\mathrm{red}})\) est injectif » est ajouté en interligne au-dessus, « injectif » à l'encre brune

(ii) Pour tout épimorphisme effectif \(X \to Y\), on a une suite exacte \[ F(Y) \to F(X) \rightrightarrows F(X \times_Y X) . \] devant (ii) un signe noirci ; « effectif » n'est pas souligné, mais écrit d'une autre encre

Alors pour tout épimorphisme \(X \to Y\), on a une suite exacte \[ F(Y) \to F(X) \rightrightarrows F(X \times_Y X) . \]

Démonstration. On utilise le fait que \(u : X \to Y\) peut se factoriser en produit d'épimorphismes stricts, on peut prouver déjà que \(F(Y) \to F(X)\) est injectif (grâce à (ii)). Pour l'exactitude totale, récurrence sur le nombre de facteurs nécessaires ; si \(n = 1\), c'est (ii), supposons \(n > 1\) et prouvé pour \(n' < n\). On a donc \[ X \xrightarrow{\ u'\ } X'_1 \xrightarrow{\ u''\ } Y , \] où \(u'\) est produit de \(n - 1\) épim. effectifs, et \(u''\) est un épim. effectif. Mais […] partons de \(\xi \in F(X)\) tel que ses deux images dans \(F(X \times_Y X)\) soient égales, les deux images dans \(F(X \times_{X'} X)\) sont a fortiori égales, donc par hyp. de récurrence \(\xi\) provient d'un \(\xi' \in F(X')\), reste à prouver que […] […] provient d'un \(\xi \in F(X)\), on […] que ses deux images dans \(F(X' \times_Y X')\) sont les mêmes. Cela résulte du fait que \(F(X' \times_Y X') \to F(X \times_Y X)\) est injectif, lui-même conséquence de ceci le texte écrit \(X'_1\) dans la factorisation, puis \(X'\) dans la suite et dans le diagramme ; la dernière ligne, serrée sous la précédente au bas du feuillet, s'arrête là

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
F(Y) \arrow[r] & F(X') \arrow[r] \arrow[d] & F(X) \arrow[d] & \\
 & F(X' \times_Y X') \arrow[r] & F(X \times_Y X) \arrow[r] & F(X \times_{X'} X)
\end{tikzcd}

diagramme en marge gauche, à hauteur de l'argument ; \(\xi'\) est écrit au-dessus de \(F(X')\) et \(\xi\) au-dessus de \(F(X)\) ; les flèches verticales sont doubles sur la page (deux flèches parallèles), simplifiées ici

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Corollaire. Les conditions (i) (ii) impliquent que si \(u : X \to Y\) est surjectif, alors \(F(Y) \to F(X)\) est injectif. En effet, grâce à (i) on peut supposer \(X\), \(Y\) réduits, mais alors \(u\) est un épim., et nous avons déjà vu que […] alors \(F(Y) \to F(X)\) est injectif. OK. « Corollaire » et les soulignements de « surjectif » et « injectif » sont à l'encre brune

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
F(X) \arrow[d] & F(Y) \arrow[l] \arrow[d] \\
F(X_{\mathrm{red}}) & F(Y_{\mathrm{red}}) \arrow[l]
\end{tikzcd}

carré en marge gauche, à l'encre brune ; la flèche verticale de droite porte « inj »

Cas particulier

Proposition. Soient \(A\) préschéma abélien sur \(S\) loc. noeth., et pour tout \(S'\) sur \(S\), soit \(F(S')\) l'ens. des sous-préschémas abéliens de \(A' = A \times_S S'\). Alors si \(S'\) est tel que \(S' \to S\) soit un épimorphisme, on a une suite exacte (où \(S'' = S' \times_S S'\)) \[ 0 \to F(S) \to F(S') \rightrightarrows F(S'') \]

En effet, la condition (i) du Lemme résulte de la rigidité, la condition (ii) résulte de la théorie de la descente.

Proposition Corollaire. ([…] […]) Supposons que \(S\) soit Énoncé analogue pour les […] le spectre d'un […] abéliens. « Proposition », souligné, est biffé et remplacé au-dessus par « Corollaire » ; dans la parenthèse un nom biffé et un autre écrit au-dessus, illisibles tous deux ; « Énoncé analogue pour les … » est écrit au-dessus de la ligne biffée ; l'énoncé s'arrête là