Cote n° 127 · batch 2 · pages 21–23 · Transcription · Descente non plate : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration

Foncteurs sur Morphismes non ramifiés, étales …

ces mots sont les siens, à l'encre brune, en haut à droite de la page 21, feuillet par ailleurs blanc qui sert de chemise aux pages suivantes ; le mot biffé après « Morphismes » est peu lisible, et la note en marge de la page 22 (« Avec morphismes non ramifiés ») appuie les lectures « non » et « ramifiés »

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Avec morphismes non ramifiés en diagonale dans le coin supérieur gauche, à l'encre brune, séparé du texte par un trait

Lemme. Soit \(S\) un préschéma […] noeth., \(\mathcal{C}\) la catégorie des préschémas finis sur \(S\), et \(F\) un foncteur contravariant de \(\mathcal{C}\) dans la catégorie des ensembles. On suppose (i) Si […] \(X \to Y\) induit un isomorphisme Pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}\), \(F(X) \to F(X_{\mathrm{red}})\) est injectif la condition (i) primitive est biffée ; « Pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}\), \(F(X) \to F(X_{\mathrm{red}})\) est injectif » est ajouté en interligne au-dessus, « injectif » à l'encre brune

(ii) Pour tout épimorphisme effectif \(X \to Y\), on a une suite exacte \[ F(Y) \to F(X) \rightrightarrows F(X \times_Y X) . \] devant (ii) un signe noirci ; « effectif » n'est pas souligné, mais écrit d'une autre encre

Alors pour tout épimorphisme \(X \to Y\), on a une suite exacte \[ F(Y) \to F(X) \rightrightarrows F(X \times_Y X) . \]

Démonstration. On utilise le fait que \(u : X \to Y\) peut se factoriser en produit d'épimorphismes stricts, on peut prouver déjà que \(F(Y) \to F(X)\) est injectif (grâce à (ii)). Pour l'exactitude totale, récurrence sur le nombre de facteurs nécessaires ; si \(n = 1\), c'est (ii), supposons \(n > 1\) et prouvé pour \(n' < n\). On a donc \[ X \xrightarrow{\ u'\ } X'_1 \xrightarrow{\ u''\ } Y , \] où \(u'\) est produit de \(n - 1\) épim. effectifs, et \(u''\) est un épim. effectif. Mais […] partons de \(\xi \in F(X)\) tel que ses deux images dans \(F(X \times_Y X)\) soient égales, les deux images dans \(F(X \times_{X'} X)\) sont a fortiori égales, donc par hyp. de récurrence \(\xi\) provient d'un \(\xi' \in F(X')\), reste à prouver que […] […] […] d'un \(\xi \in F(X)\), on […] que ses deux images dans \(F(X' \times_Y X')\) sont les mêmes. Cela résulte du fait que \(F(X' \times_Y X') \to F(X \times_Y X)\) est injectif, lui-même conséquence […] ceci le texte écrit \(X'_1\) dans la factorisation, puis \(X'\) dans la suite et dans le diagramme ; la dernière ligne, serrée sous la précédente au bas du feuillet, s'arrête là

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
F(Y) \arrow[r] & F(X') \arrow[r] \arrow[d] & F(X) \arrow[d] & \\
 & F(X' \times_Y X') \arrow[r] & F(X \times_Y X) \arrow[r] & F(X \times_{X'} X)
\end{tikzcd}

diagramme en marge gauche, à hauteur de l'argument ; \(\xi'\) est écrit au-dessus de \(F(X')\) et \(\xi\) au-dessus de \(F(X)\) ; les flèches verticales sont doubles sur la page (deux flèches parallèles), simplifiées ici

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Corollaire. Les conditions (i) (ii) impliquent que si \(u : X \to Y\) est surjectif, alors \(F(Y) \to F(X)\) est injectif. En effet, grâce à (i) on peut supposer \(X\), \(Y\) réduits, mais alors \(u\) est un épim., et nous avons déjà vu que […] alors \(F(Y) \to F(X)\) est injectif. OK. « Corollaire » et les soulignements de « surjectif » et « injectif » sont à l'encre brune

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
F(X) \arrow[d] & F(Y) \arrow[l] \arrow[d] \\
F(X_{\mathrm{red}}) & F(Y_{\mathrm{red}}) \arrow[l]
\end{tikzcd}

carré en marge gauche, à l'encre brune ; la flèche verticale de droite porte une marque, inj, peu lisible

Cas particulier

Proposition. Soient \(A\) préschéma abélien sur \(S\) loc. noeth., et pour tout \(S'\) sur \(S\), soit \(F(S')\) l'ens. des sous-préschémas abéliens de \(A' = A \times_S S'\). Alors si \(S'\) est tel que \(S' \to S\) soit un épimorphisme, on a une suite exacte (où \(S'' = S' \times_S S'\)) \[ 0 \to F(S) \to F(S') \rightrightarrows F(S'') \]

En effet, la condition (i) du Lemme résulte de la rigidité, la condition (ii) résulte de la théorie de la descente.

Proposition Corollaire. ([…] […]) Supposons que \(S\) soit Énoncé analogue pour les […] le spectre d'un […] abéliens. « Proposition », souligné, est biffé et remplacé au-dessus par « Corollaire » ; dans la parenthèse un nom biffé et un autre écrit au-dessus, illisibles tous deux ; « Énoncé analogue pour les … » est écrit au-dessus de la ligne biffée ; l'énoncé s'arrête là