Cote n° 127 · pages 1–23 · Lecture modernisée · Descente non plate : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–23

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier a deux chemises de sa main, pages 1 et 21, et se lit en cinq suites.

1. Pages 1 à 6, avec les brouillons des pages 14, 15, 18 et 19. La chemise « Application de la descente non plate : platitude d'une adhérence schématique, et lemme de Hironaka », puis le § 1 : le problème 1.1, sa nature locale (1.2), la descente non plate sur une base artinienne (1.3), le théorème 1.4 et l'esquisse de sa preuve, les corollaires 1.5 à 1.7. La page 16, d'une autre main, met au net l'énoncé 1.4.
2. Pages 7, 9, 10 et 12. Le théorème 1.8, application du lemme de Hironaka, sa démonstration esquissée, une remise au net de l'énoncé (page 10) et la suite de la preuve (page 12).
3. Page 8. Un feuillet du tapuscrit d'EGA IV, sans rapport avec le reste.
4. Pages 11, 13, 17 et 20. Le site des schémas finis, quasi-cohérence, faisceaux formels, suite exacte de \(\varprojlim^{1}\).
5. Pages 21 à 23. La chemise « Foncteurs sur morphismes non ramifiés, étales … », un lemme de descente pour les foncteurs sur les schémas finis, son corollaire, et le cas des sous-schémas abéliens.

Le lien entre la première et la dernière suite est de nous, mais il est étroit : le lemme 1.3 redescend un objet le long d'un épimorphisme non plat de schémas artiniens, et le lemme de la page 22 dit exactement quand un foncteur sur les schémas finis vérifie la condition de faisceau pour tous les épimorphismes. Le dossier ne relie pas lui-même les deux.

Les conventions

• La base s'appelle \(Y\) dans toute la première partie ; les pages 2 et 15 écrivent aussi \(S\) pour elle¹ . À partir de la page 11, \(S\) est une autre base (le spectre d'un corps, puis un préschéma localement noethérien).
• \(f \colon X \to Y\), \(U \subset X\) ouvert, \(i \colon U \to X\) l'inclusion ; pour un point \(y \in Y\), \(X_y\), \(U_y\) sont les fibres. Pour un module \(G\), \(G_y\) est sa restriction à la fibre \(X_y\) et \(\mathrm{Ass}\, G_y\) l'ensemble de ses points associés.
• On note toujours \(G := \mathrm{Im}\bigl(F \to i_*(G_U)\bigr)\) le candidat du problème 1.1, et l'on appelle solution une solution de ce problème.
• Un trait est le spectre d'un anneau de valuation discrète.
• Les deux catégories que la page note \(\mathcal{C}\) sont distinctes : à la page 11, un site de schémas finis sur un corps ; à la page 22, la catégorie des préschémas finis sur une base \(S\) localement noethérienne.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas

Le lemme 1.3 n'a pas de démonstration ; celle du théorème 1.4 n'est lisible qu'en partie ; les corollaires 1.5 à 1.7 et le « Vrai théorème » de la page 15 sont énoncés sans preuve ; le théorème 1.8 n'est démontré qu'en esquisse, avec un « Lemme à dégager » jamais dégagé ; la comparaison cohomologique de la page 13 est marquée « à vérifier » ; la page 20 s'arrête sur « Dans le cas qui nous occupe, il vient : » ; le corollaire biffé de la page 23 s'arrête sur son énoncé.

1–2

I. Platitude d'une adhérence schématique

La chemise porte, soulignés, les mots « Application de la descente non plate : platitude d'une adhérence schématique, et lemme de Hironaka »² . Ce que la page 2 ouvre est le § 1, que la page intitule « Platitude d'une adhérence schématique ».

Le problème 1.1 (page 2)

Soient \(f \colon X \to Y\) un morphisme de schémas, \(U\) un ouvert rétrocompact de \(X\)³ , \(F\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent et \(G_U\) un quotient quasi-cohérent de \(F|_U\), plat sur \(Y\).

Problème. Trouver un quotient quasi-cohérent \(G\) de \(F\) qui prolonge \(G_U\), qui soit plat sur \(Y\), et tel que le morphisme \(G \to i_*(G_U)\) soit universellement injectif relativement à \(Y\) : pour tout changement de base \(Y' \to Y\), de notations \(X' = X \times_Y Y'\), \(U' = U \times_Y Y'\), \(i' \colon U' \to X'\), le morphisme \(G_{Y'} \to i'_*(G_{U'})\) est injectif⁴ .

Unicité. Si le problème a une solution, c'est \[ G = \mathrm{Im}\bigl(F \to i_*(G_U)\bigr) , \] puisque \(F \to G\) est surjectif et \(G \to i_*(G_U)\) injectif. La question est donc seulement de savoir si ce candidat est plat sur \(Y\) et universellement injectif dans \(i_*(G_U)\) : c'est la platitude d'une adhérence schématique, d'où le titre.

Une remarque entre crochets donne le critère commode⁵ : si \(f\) est localement de présentation finie et \(G\) de présentation finie et plat sur \(Y\), la condition d'injectivité universelle équivaut à \[ \mathrm{Ass}\, G_y \subset U_y \qquad \text{pour tout } y \in Y . \] Une note de marge, barrée et en partie illisible, envisage de se ramener à \(X\) plat sur \(Y\) et à \(F\) de type fini⁶ .

Nature locale (lemme 1.2)

Le problème est local sur \(Y\) pour la topologie fpqc : il a une solution s'il en a une après un changement de base fidèlement plat et quasi-compact. Il en va de même de la variante où l'on demande en outre \(G\) localement de présentation finie. Plus généralement, on peut redescendre le long d'un morphisme fidèlement plat quasi-compact \(X' \to X\)⁷ .

2–3

La descente non plate sur une base artinienne (lemme 1.3, pages 2 et 3)

La phrase qui introduit le lemme dit ce qu'est la descente non plate : la descente « des quotients plats d'un faisceau déjà donné ».

Lemme 1.3. Supposons \(Y = \mathrm{Spec}\, A\) artinien, et soit \(Y' \to Y\) un épimorphisme de schémas tel que le problème ait une solution \(G'\) après le changement de base \(Y' \to Y\). Supposons de plus, ou bien \(Y' \to Y\) fini, ou bien \(f\) localement de présentation finie et \(G'\) de présentation finie. Alors le problème a une solution sur \(Y\) ; dans le second cas, elle est de présentation finie⁸ .

Le mot « épimorphisme » a ici toute sa force, et c'est ce qui rend l'énoncé non trivial : quand \(Y\) est local artinien, un morphisme \(Y' \to Y\) est un épimorphisme dès qu'il est surjectif et que \(A \to \Gamma(Y', \mathcal{O}_{Y'})\) est injectif⁹ . Ainsi la réunion disjointe de deux copies de \(\mathrm{Spec}\, k[\varepsilon]\), envoyées sur les deux axes de \(\mathrm{Spec}\, k[x,y]/(x,y)^2\), est un épimorphisme qui n'est pas plat.

3–4

II. Le théorème 1.4 (pages 3 et 4)

L'énoncé

Théorème 1.4. Supposons \(X\) et \(Y\) localement noethériens, \(F\) et \(G\) cohérents, et les anneaux locaux de \(X\) aux points de \(X - U\) à fibres formelles géométriquement normales¹⁰ . On fait les hypothèses suivantes.

• (a)Densité. Pour toute spécialisation \(y\) d'un point \(y'\) de \(Y\), et tout point \(x' \in \mathrm{Ass}\,(G_U)_{y'}\), d'adhérence \(T = \overline{\{x'\}}\), l'ouvert \(T_y \cap U\) est dense dans \(T_y\)¹¹ .
• (b)Solutions formelles. Pour tout \(y \in Y\), il existe une famille de morphismes locaux \(Y_i \to \mathrm{Spec}\, \widehat{\mathcal{O}}_{Y,y}\), les \(Y_i\) noethériens locaux, après chacun desquels le problème a une solution, et telle que \[ \bigcap_i \mathrm{Ker}\bigl(\widehat{\mathcal{O}}_{Y,y} \to \mathcal{O}_{Y_i, y_i}\bigr) = 0 . \] On peut prendre pour \(Y_i\) les \(\mathrm{Spec}\bigl( \widehat{\mathcal{O}}_{Y,y} / \widehat{\mathfrak{m}}_y^{\,i+1}\bigr)\), \(i \in \mathbb{N}\), par le théorème d'intersection de Krull.
• (c)Finitude. Ou bien \(f\) est localement de présentation finie, ou bien les \(Y_i \to \mathrm{Spec}\, \widehat{\mathcal{O}}_{Y,y}\) sont finis¹² .

Alors le problème a une solution, qui est un module cohérent plat sur \(Y\).

Nécessité. Si \(f\) est localement de type fini, (a) et (b) sont nécessaires à l'existence d'une solution. Pour (b), c'est immédiat : une solution reste une solution après tout changement de base, c'est le sens du mot « universellement » dans 1.1. Pour (a), la page renvoie à EGA IV, 12.1.1.5¹³ .

La démonstration (pages 3 et 4)

La page 4 est en grande partie illisible ; voici l'ossature qui porte¹⁴ .

1. Localisation. On se localise en un point maximal \(x\) de l'ensemble des points de \(X_y - U_y\) (\(y = f(x)\)) qui sont dans \(\mathrm{Ass}\, G_y\). On peut alors supposer \(X\) local de point fermé \(x\), et \(U = X - \{x\}\).
2. Hensélisation. Par descente fidèlement plate (lemme 1.2), on peut supposer \(X\) local hensélien ; les hypothèses se conservent, notamment celle sur les fibres formelles, qui est stable par hensélisation.
3. Complétion. Soit \(B = \mathcal{O}_{X,x}\). Le morphisme \(\mathrm{Spec}\, \widehat{B} \to \mathrm{Spec}\, B\) est fidèlement plat, et ses fibres sont géométriquement intègres¹⁵ . Les cycles associés \(Z'_\alpha\) de \(G' = G \otimes_B \widehat{B}\) sont donc exactement les images réciproques des cycles \(Z_\alpha\) de \(G\), et la condition (a), qui dit \(Z_\alpha \cap U \neq \emptyset\) là où il faut, passe de \((X, G, U)\) à \((X', G', U')\). La condition (b) se conserve aussi.
4. Passage à la limite. Sur la base complète, les solutions sur les \(Y_n\) donnent, à la limite, un module quotient \(H\) de \(G\), plat sur \(Y\), et tel que \(G \to H\) soit injectif sur \(U\) ; comme \(G \to i_*(G_U)\) est injectif, \(G \to H\) est un isomorphisme, donc \(G\) est plat, et \(x \notin \mathrm{Ass}\, G_y\).

Le rôle exact de (b) et (c) dans l'étape 4 n'est pas lisible à la page 4. Les pages 14 et 19 permettent de le reconstituer, et nous le faisons ci-dessous.

14–15

III. Les brouillons du théorème 1.4 (pages 14, 15, 16, 18 et 19)

Deux lemmes d'algèbre locale (page 14)

La page 14 est une page de notes au crayon. Deux énoncés s'y lisent.

D'abord, pour \(A\) noethérien complet pour la topologie \(\mathfrak{J}\)-adique, \(A = \varprojlim A/\mathfrak{J}^{\alpha+1}\), et \(M \to N\) un morphisme de \(A\)-modules de type fini qui induit des isomorphismes \(M_\alpha = M/\mathfrak{J}^{\alpha+1} M \simeq N_\alpha\) pour tout \(\alpha\) : alors \(M_{\mathfrak{p}} \simeq N_{\mathfrak{p}}\) pour tout premier \(\mathfrak{p}\) ne contenant pas \(\mathfrak{J}\). C'est vrai, et même faible : \(M\) et \(N\) étant séparés et complets, \(M \to N\) est un isomorphisme¹⁶ .

Ensuite, la nécessité de (a) et un contre-exemple. La page raisonne ainsi : si \(G\) est une solution, \(x_\alpha \in \mathrm{Ass}\, G_U\) et \(T_\alpha = \overline{\{x_\alpha\}}\), un point maximal \(x'\) de \((T_\alpha)_{y'}\) est associé à \(G_{y'}\) (« EGA IV 12.2 »), donc dans \(U_{y'}\). Le contre-exemple montre ce qui arrive quand (a) manque : \(X \to Y\) birationnel dont une fibre se relève en une composante verticale, \(G = \mathcal{O}_X\) ; la fibre de \(T = X\) y est de dimension \(1\) au lieu de \(0\)¹⁷ .

Les remarques et le « Vrai théorème » (page 15)

• 1.4.2, remarque 1. Les conditions (b) et (c) de 1.4 équivalent à : le problème a une solution après tout changement de base \(Y' \to Y\) avec \(Y'\) artinien.
• 1.4.3, remarque 2. La condition (a) résulte de l'existence d'une solution après tout changement de base \(Y' \to Y\) avec \(Y'\) un trait.

D'où ce que la page appelle le Vrai théorème, et, en marge, l'« Énoncé final » : sous les hypothèses préliminaires de 1.4, le problème a une solution si et seulement s'il en a une après tout changement de base \(Y' \to Y\) avec \(Y'\) artinien ou un trait. Le dossier ne le démontre pas¹⁸ .

La seconde moitié de la page, barrée, commence la démonstration du corollaire 1.5 : par le vrai théorème, on se ramène au cas où la base est un trait ; si \(x \in \mathrm{Ass}\, G_U\) est au-dessus du point générique \(y'\) et \(T = \overline{\{x\}}\) rencontre la fibre spéciale, les composantes de \(T_y\) sont de dimension \(\geqslant \dim T_{y'} = d\), donc sont des composantes de \(X_y\).

16–16

La mise au net d'une autre main (page 16)

La page 16 n'est pas de la main de Grothendieck. Elle met au net l'énoncé 1.4, sous le nom de « Lemme 1.4' », avec les notations de 1.1, \(X\) et \(Y\) localement noethériens, \(G\) cohérent, \(Z\) l'espace sous-jacent à \(X - U\) et \(y \in f(Z)\). La condition sur les fibres formelles y devient une condition (d) aux points de \(Z_y\) ; la condition (a) y est la forme par densité donnée plus haut, demandée aussi pour tout \(X'\) étale sur \(X\) ; (b) et (c) sont celles que nous avons écrites. Sa conclusion est locale en \(y\) : \(G\) est plat sur \(Y\) en tout point de \(X_y\), et \(U_y\) contient \(\mathrm{Ass}\, G_y\) ; si les conditions valent en tout point de \(f(Z)\), le problème a une solution cohérente¹⁹ .

18–19

L'ouvert universellement dense, et le rôle de (b) (pages 18 et 19)

La page 18 reprend la condition de 1.1 pour un sous-schéma fermé \(Z\) de \(X\), plat sur \(Y\), et \(Z_U = Z \cap U\) : \(Z_U\) doit être universellement schématiquement dense dans \(Z\) relativement à \(Y\) ; si \(Z\) est localement de présentation finie sur \(Y\), ou si \(Y\) et \(Z\) sont noethériens, cela équivaut à \(\mathrm{Ass}\, Z_y \subset U\) pour tout \(y\), avec un renvoi à « EGA IV 11.12 ? »²⁰ .

La page 19 donne la clef de l'étape 4 de la démonstration de 1.4. Posons \(A = \widehat{\mathcal{O}}_{Y,y}\). Pour tout \(n\), il existe une partie finie \(J\) de l'ensemble d'indices telle que \[ \mathfrak{A}_n := \mathrm{Ker}\Bigl(A \to \prod_{\alpha \in J} \mathcal{O}_{Y_\alpha, y_\alpha}\Bigr) \subset \widehat{\mathfrak{m}}_y^{\,n} , \] et l'on peut supposer les \(Y_i\) artiniens. La page n'en dit pas plus ; voici comment ces deux faits s'enchaînent²¹ .

• L'existence de \(J\) est le lemme de Chevalley : \(A\) est local noethérien complet, donc linéairement compact, et une famille filtrante décroissante d'idéaux fermés d'intersection nulle finit par entrer dans chaque \(\widehat{\mathfrak{m}}_y^{\,n}\).
• On peut supposer les \(Y_i\) artiniens en les remplaçant par leurs tronqués \(\mathrm{Spec}\bigl(\mathcal{O}_{Y_i}/\mathfrak{m}_i^{\,k}\bigr)\) : l'intersection des noyaux reste nulle (Krull dans chaque \(\mathcal{O}_{Y_i}\)), et la finitude de (c) se conserve.
• Alors \(A/\mathfrak{A}_n\) est artinien, et \(\coprod_{\alpha \in J} Y_\alpha \to \mathrm{Spec}(A/\mathfrak{A}_n)\) est surjectif et injectif sur les fonctions : c'est un épimorphisme, après lequel le problème a une solution. Le lemme 1.3, dont (c) fournit les hypothèses, donne une solution sur \(\mathrm{Spec}(A/\mathfrak{A}_n)\), donc sur \(\mathrm{Spec}(A/\widehat{\mathfrak{m}}_y^{\,n})\) par changement de base.

C'est la remarque 1.4.2 dans un sens : (b) et (c) donnent des solutions sur tous les voisinages infinitésimaux du point \(y\), et l'étape 4 passe à la limite sur ceux-là. La page porte aussi des croquis de la réduction (les schémas \(X \leftarrow X' \leftarrow X''\) au-dessus de \(Y \leftarrow Y' \leftarrow Y''\), le premier morphisme fpqc) et six croquis de surfaces et de courbes qui ne sont pas reproduits²² .

5–6

IV. Les corollaires 1.5 à 1.7 (pages 5 et 6)

Corollaire 1.5. Supposons \(f\) localement de type fini, \(F\) et \(G\) cohérents, et (a') les fibres \((G_U)_y\) vérifiant \((S_1)\) et équidimensionnelles d'une même dimension \(d\) ; supposons \(U_y\) dense dans \(X_y\) pour tout \(y\), et les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X,x}\), \(x \in X - U\), à fibres formelles géométriquement normales. Alors la condition (b) de 1.4 est nécessaire et suffisante pour l'existence d'une solution.

Toute cette moitié de page est barrée d'une grande croix au crayon²³ . Son idée est claire : sous (a') la condition (a) devient automatique (c'est la fin de la page 15), et il ne reste que (b).

Critère valuatif.

Corollaire 1.6. Plaçons-nous sous les hypothèses préliminaires de 1.4, y compris celle sur les fibres formelles. Supposons de plus que, pour tout \(x \in X - U\) et \(y = f(x)\), l'anneau \(\mathcal{O}_{Y,y}\) soit réduit, et que pour tout trait \(Y'\) fini sur \(\mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{Y,y}\) le problème ait une solution après le changement de base \(Y' \to Y\). Alors le problème a une solution²⁴ .

Corollaire 1.7. Soient \(Y\) localement noethérien, \(F\) et \(G_U\) cohérents. On suppose :

• a)pour tout \(x \in X - U\) et \(y = f(x)\), \(\mathcal{O}_{Y,y}\) est réduit, à fibres formelles géométriquement normales (c'est le cas, par exemple, s'il est essentiellement de type fini sur \(\mathbb{Z}\))²⁵ ;
• b)pour un tel \(y\) et tout trait \(Y'\) fini sur \(\mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{Y,y}\), le problème a une solution après \(Y' \to Y\).

Alors le problème posé a une solution (page 6). La page écrit « Explicitez » après b), et une troisième condition c) est barrée.

Une note de marge dit pourquoi le critère est maniable : dans la condition b), la platitude est automatique, et seule compte la question des points associés²⁶ . C'est l'analogue, pour le problème 1.1, du critère valuatif de platitude d'EGA IV, § 11.8, cité de mémoire.

La page 6 se termine sur : « Nous allons maintenant utiliser le lemme de Hironaka. »

7–7

V. Le théorème 1.8 et le lemme de Hironaka (pages 7, 9, 10 et 12)

L'énoncé de la page 7

Théorème 1.8. Soient \(f \colon X \to Y\) localement de présentation finie, \(x \in X\) et \(y = f(x)\). On suppose :

• a)\(Y\) réduit en \(y\) ;
• b)\(f\) universellement ouvert aux générisations maximales de \(x\) dans \(X_y\) ;
• c)pour toute générisation \(y'\) de \(y\) et toute générisation \(x'\) de \(x\) dans \(X_{y'}\), \(\dim_{x'} X_{y'} = \dim_x X_y\) ;
• d)\(X_y\) réduit aux générisations maximales de \(x\) dans \(X_y\) ;
• e)\((X_y)_{\mathrm{red}}\) géométriquement normal au voisinage de \(x\).

Les conditions d) et e) équivalent à l'existence d'un voisinage ouvert \(V\) de \(x\) dans \(X_y\) tel que \(V \otimes_{k(y)} \overline{k(y)}\) soit réduit aux points génériques et que sa partie réduite soit normale.

Alors il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(U_{\mathrm{red}} \to Y\) soit normal, c'est-à-dire plat à fibres géométriquement normales²⁷ .

Un « Cor (2) », entièrement encadré de traits obliques, cherche des conditions équivalentes en posant \(Y_0 = Y_{\mathrm{red}}\), \(X_0 = X \times_Y Y_0\) : (i bis) \(f\) universellement ouvert et équidimensionnel, à fibres géométriquement réduites et géométriquement normales ; (ii) un ouvert \(V\) de \(X_0\), dense dans chaque fibre, sur lequel \(V \to Y_0\) est séparable, les \((X_{0,y})_{\mathrm{red}}\) géométriquement normaux ; (iiii bis) un sous-schéma \(Z_0\) de \(X_0\), localement de présentation finie sur \(Y_0\), normal, coïncidant avec \(X_0\) sur un ouvert schématiquement dense²⁸ .

9–9

La démonstration esquissée (page 9)

La page 8 est le feuillet d'EGA IV dont il est question plus bas ; la démonstration est à la page 9²⁹ .

Reformulation. La conclusion (ii) du Cor (2) dit aussi : il existe un sous-schéma \(U_0\) de \(U\), de présentation finie sur \(Y_0\), tel que \(U_0 \to U\) soit surjectif et \(U_0 \to Y\) normal — ce qui force \(U_0\) réduit, donc \(U_0 = U_{\mathrm{red}}\) — et un ouvert \(V\) de \(U_0\), schématiquement dense relativement à \(Y\), tel que \(V \to X\) soit une immersion ouverte. Sous cette forme, les techniques de passage à la limite d'EGA IV ramènent au cas où \(Y\) est le spectre d'un anneau local essentiellement de type fini sur \(\mathbb{Z}\)³⁰ .

Réduction à la fibre. Par constructibilité, passage à la limite et le lemme de Hironaka, on se ramène à des hypothèses sur la fibre (EGA IV 16.1 est cité pour la dimension). La condition c) donne que \(f\) est universellement ouvert et équidimensionnel au voisinage de \(x\). On peut supposer \(X\) réduit, et il s'agit de prouver que \(X \to Y\) est normal.

L'ouvert séparable. Soit \(V\) l'ensemble des points où \(f\) est plat à fibres géométriquement réduites (« séparable »). Il est ouvert (EGA IV, § 12), il contient les points de \(X_y\) où \(X_y\) est géométriquement réduit (EGA IV 15.2.3, qui sert ici parce que \(Y\) est réduit et \(f\) universellement ouvert), et il est donc dense dans chaque fibre par d) et e). Le reste, au bas de la page, est encadré et barré, sauf deux mots : « (par morceaux !) … c'est le cas de Hironaka, OK »³¹ .

10–10

La remise au net (page 10)

La page 10 récrit l'énoncé pour \(f\) de type fini et \(Y\) noethérien : \(\mathcal{O}_{Y,y}\) et \(\mathcal{O}_{X,x}\) réduits, \(f\) universellement ouvert (« EGA IV 14, 15 »), les composantes irréductibles des fibres de même dimension \(d\) au voisinage de \(x\), \(X_y\) réduit aux générisations maximales de \(x\), \((X_y)_{\mathrm{red}}\) géométriquement normal sur \(k(y)\) ; alors \(x\) a un voisinage ouvert \(U\) tel que \(U \to Y\) soit plat à fibres géométriquement normales³² .

La démonstration est donnée lorsque \(\mathcal{O}_{Y,y}\) est excellent — il suffit, précise la page, qu'il soit à fibres formelles géométriquement normales, ce qui est l'hypothèse du § 1. a) Les hypothèses restent vraies au voisinage de \(x\) (renvoi « EGA IV 9 », avec un croquis de changement de base \(Y' \to Y\)). Puis : l'ensemble \(V\) des points où \(X/Y\) est plat à fibres séparables est ouvert (EGA IV, § 12), contient les points de \(X_y\) où \(X_y\) est réduit (EGA IV 15.2.3), donc est dense dans \(X_y\), et l'on conclut par équidimensionnalité qu'il est dense dans chaque fibre près de \(x\).

12–12

La fin de la preuve (page 12)

b) On suppose les hypothèses satisfaites en tout point de \(X\). Soit \(U\) l'ouvert où \(f\) est séparable : il est dense dans chaque fibre, et il reste à prouver que \(X = U\) et que \(X\) est plat sur \(Y\), autrement dit que \(X\) est l'adhérence schématique de \(U\) et qu'elle est plate.

Normalité des fibres. On se ramène à prouver \(X_y\) séparable sur \(k(y)\). Soit \(y'\) une générisation maximale de \(y\), et un trait \(Y' \to Y\) reliant \(y'\) à \(y\). Après ce changement de base, la fibre spéciale de l'adhérence schématique de la fibre générique est réduite ; le lemme de Hironaka s'applique, elle est normale, donc \(X_y\) aussi³³ .

Platitude. c) Pour prouver la platitude de \(X/Y\), on applique le « critère valuatif de platitude d'une adhérence schématique », c'est-à-dire les corollaires 1.6 et 1.7 avec \(F = \mathcal{O}_X\) et \(G_U = \mathcal{O}_U\) : c'est là que la première partie du dossier sert. Le reste du feuillet est blanc.

8–8

VI. Un feuillet d'EGA IV (page 8)

La page 8 est une page dactylographiée du tapuscrit d'EGA IV, § 21 : la fin d'une démonstration, puis le n° 21.10, « Factorialité des anneaux locaux réguliers », et le début de la preuve du théorème 21.10.1 (un anneau local régulier est factoriel). Le texte est publié et n'est pas restitué ici. Sa main y ajoute, en marge, « Créditer Kaplansky de la démonstration ici », et au-dessus du théorème « (Auslander-Buchsbaum) » ; il corrige un renvoi (« (5.11.6) » devient « I 9.4.5 »), biffe une proposition et numérote une résolution (21.10.1.1). Le feuillet n'est pas un brouillon de ce dossier ; sa présence est compatible avec la datation du groupe, mais ne date rien³⁴ .

11–11

VII. Le site des schémas finis et les faisceaux formels (pages 11, 13, 17 et 20)

Quasi-cohérence sur les schémas finis (page 11)

Soient \(k\) un corps algébriquement clos, \(S = X = \mathrm{Spec}\, k\). La page fixe trois classes : \(S_0\), les schémas étales de type fini sur \(X\) ; \(\mathfrak{S}\), les schémas de type fini sur \(S\) ; \(\mathfrak{M}\), les immersions ouvertes³⁵ .

La catégorie \(\mathcal{C}\) est celle des schémas finis sur \(k\), avec la topologie de Zariski. Un schéma fini est réunion disjointe de spectres d'anneaux locaux artiniens, et ses recouvrements de Zariski sont ses décompositions en parties ouvertes et fermées ; un faisceau sur \(\mathcal{C}\) est donc un foncteur \(\Lambda \mapsto F(\Lambda)\) sur les \(k\)-algèbres finies qui transforme produits finis en produits³⁶ . Les faisceaux quasi-cohérents sur \(\mathrm{Spec}\, \Lambda\) sont les \(\Lambda' \mapsto M \otimes_\Lambda \Lambda'\), pour \(M\) un \(\Lambda\)-module ; ceux de présentation finie correspondent aux \(M\) de type fini.

Mais le noyau d'un morphisme de faisceaux quasi-cohérents n'est pas quasi-cohérent. Pour \(u \colon \mathcal{O}_\Lambda^{\,n} \to \mathcal{O}_\Lambda\) défini par \(u_1, \ldots, u_n \in \Lambda\), le faisceau \(\Lambda' \mapsto \mathrm{Ker}\bigl(u_{\Lambda'} \colon \Lambda'^{\,n} \to \Lambda'\bigr)\) n'est pas en général \(\Lambda' \mapsto (\mathrm{Ker}\, u) \otimes_\Lambda \Lambda'\) : « manque de platitude ». Exemple, de nous : \(\Lambda = k[\varepsilon]\), \(n = 1\), \(u = \varepsilon\) ; \(\mathrm{Ker}\, u = \varepsilon \Lambda\), mais pour \(\Lambda' = k\) le noyau de \(u_k = 0\) est \(k\) tout entier, alors que \((\varepsilon\Lambda) \otimes_\Lambda k \to k\) est nul.

Le bas de la page porte des croquis au crayon qui reprennent les pages 3 et 4 (« \(U \cap T_y\) dense dans \(T_y\) »), sans rapport avec ce qui précède.

13–13

Faisceaux formels (pages 13 et 17)

Soit \(\mathcal{O}\) le faisceau d'anneaux standard sur \(\mathcal{C}\) et \(F\) un \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent. Alors \(F\) induit sur chaque \(\mathcal{M}_{/T}\) un faisceau quasi-cohérent, de façon cartésienne en l'objet variable \(T_0 \to T\)³⁷ . On obtient ainsi un « faisceau formel » sur le complété formel \(\widehat{Z}\) d'un schéma \(Z\) le long de \(X\), pour \(\delta \colon X \to Z\), et l'on annonce \[ H^*(\mathcal{C}_{/\delta}, F) \simeq H^*(\widehat{Z}, F|_{\widehat{Z}}) , \] le second membre étant calculé dans la catégorie des systèmes projectifs adiques sur \(\widehat{Z}\). La page marque la formule « à vérifier » ; le dossier ne la vérifie pas.

17–17

Les groupes explicités (page 17)

La page 17 explicite ces groupes. Si \(\delta\) est dans \(\mathcal{N}\), c'est-à-dire \(Z \in \mathrm{Ob}\, \mathfrak{S}\), la catégorie \(\mathcal{C}_{/\delta}\) des carrés cartésiens au-dessus de \(X \to Z\) est équivalente à \(\mathcal{M}_{/Z}\) munie de la topologie induite, et l'on trouve, pour les voisinages infinitésimaux \(X^{(i)}_n\) supposés dans \(\mathfrak{S}\), la suite exacte \[ 0 \to {\varprojlim_n}^{1} H^{q-1}(X^{(i)}_n, F) \to H^q(X^{(i)}, F) \to \varprojlim_n H^q(X^{(i)}_n, F) \to 0 \] (les groupes de droite étant pris pour la topologie de \(\mathcal{M}\) sur \(\mathcal{C}\))³⁸ .

20–20

La suite de Milnor (page 20)

La page 20 démontre cette suite dans un cadre général. Soient \(S_0 \subset S_1 \subset \cdots\) et \(S_\infty\) leur limite, \(F\) un faisceau, et \(C^{\cdot}(F)\) une résolution injective de \(F\) ; ses restrictions sont des résolutions injectives des \(F_{S_i}\), et \[ \Gamma\bigl(S_\infty, C^{\cdot}(F)\bigr) = \varprojlim_i \Gamma\bigl(S_i, C^{\cdot}(F)\bigr) , \] le système projectif étant strict, c'est-à-dire à flèches de transition surjectives. Il en résulte que \(H^n(S_\infty, F) \to \varprojlim H^n(S_i, F)\) est surjectif, et bijectif si le système des \(H^{n-1}(S_i, F)\) vérifie la condition de Mittag-Leffler. En général, on a une suite spectrale \(E_2^{pq} = {\varprojlim_i}^{(p)} H^q(S_i, F) \Rightarrow H^{p+q}(S_\infty, F)\), et comme \({\varprojlim}^{(p)} = 0\) pour \(p \geqslant 2\), des suites exactes \[ 0 \to {\varprojlim_i}^{1} H^{n-1}(S_i, F) \to H^n(S_\infty, F) \to \varprojlim_i H^n(S_i, F) \to 0 . \] C'est la suite exacte de Milnor³⁹ . La page s'arrête sur « Dans le cas qui nous occupe, il vient : ».

21–22

VIII. Foncteurs sur les schémas finis (pages 21 à 23)

La chemise de la page 21 porte « Foncteurs sur morphismes non ramifiés, étales … »⁴⁰ .

Le lemme (page 22)

Lemme. Soient \(S\) un préschéma localement noethérien, \(\mathcal{C}\) la catégorie des préschémas finis sur \(S\), et \(F\) un foncteur contravariant de \(\mathcal{C}\) dans les ensembles. On suppose :

• (i)pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{C}\), l'application \(F(X) \to F(X_{\mathrm{red}})\) est injective ;
• (ii)pour tout épimorphisme effectif \(X \to Y\) de \(\mathcal{C}\), la suite \(F(Y) \to F(X) \rightrightarrows F(X \times_Y X)\) est exacte.

Alors la suite \(F(Y) \to F(X) \rightrightarrows F(X \times_Y X)\) est exacte pour tout épimorphisme \(X \to Y\) de \(\mathcal{C}\)⁴¹ .

Démonstration. Elle repose sur le fait, que la page utilise sans le démontrer, que tout épimorphisme de \(\mathcal{C}\) est composé d'un nombre fini d'épimorphismes effectifs⁴² . Par (ii), chaque facteur induit une injection, donc \(F(Y) \to F(X)\) est injectif pour tout épimorphisme. On raisonne par récurrence sur le nombre \(n\) de facteurs ; pour \(n = 1\), c'est (ii). Si \(n > 1\), on écrit \[ X \xrightarrow{\ u'\ } X' \xrightarrow{\ u''\ } Y , \] \(u'\) composé de \(n - 1\) épimorphismes effectifs, \(u''\) effectif. Soit \(\xi \in F(X)\) dont les deux images dans \(F(X \times_Y X)\) sont égales. A fortiori ses deux images dans \(F(X \times_{X'} X)\) le sont, et par récurrence \(\xi\) provient d'un \(\xi' \in F(X')\). Il reste à voir que les deux images de \(\xi'\) dans \(F(X' \times_Y X')\) coïncident ; comme elles s'envoient sur les deux images de \(\xi\), il suffit que \[ F(X' \times_Y X') \to F(X \times_Y X) \] soit injectif. La page s'arrête là⁴³ . C'est le corollaire de la page 23 qui fournit ce qui manque : \(X \times_Y X \to X' \times_Y X'\) est surjectif, comme produit de deux morphismes surjectifs, et son argument n'utilise que l'injectivité déjà acquise, si bien qu'il n'y a pas de cercle⁴⁴ .

23–23

Le corollaire et les sous-schémas abéliens (page 23)

Corollaire. Sous (i) et (ii), si \(u \colon X \to Y\) est surjectif, alors \(F(Y) \to F(X)\) est injectif. En effet, par (i) et le carré \[ \begin{array}{ccc} F(Y) & \longrightarrow & F(X) \\ \downarrow & & \downarrow \\ F(Y_{\mathrm{red}}) & \longrightarrow & F(X_{\mathrm{red}}) \end{array} \] on se ramène à \(X\) et \(Y\) réduits ; alors \(u\) est un épimorphisme de \(\mathcal{C}\), et l'on a déjà vu que \(F(Y) \to F(X)\) est injectif⁴⁵ .

Proposition (cas particulier). Soient \(S\) localement noethérien, \(A\) un schéma abélien sur \(S\), et pour \(S'\) fini sur \(S\), \(F(S')\) l'ensemble des sous-schémas abéliens de \(A' = A \times_S S'\). Si \(S' \to S\) est un épimorphisme, la suite \[ F(S) \to F(S') \rightrightarrows F(S'') , \qquad S'' = S' \times_S S' , \] est exacte⁴⁶ . La condition (i) du lemme résulte de la rigidité : un sous-schéma abélien est déterminé par sa réduction ; la condition (ii) résulte de la théorie de la descente.

La page commence un « Corollaire » (d'abord « Proposition »), dont la parenthèse porte un nom biffé et un autre, illisibles, et annonce un « Énoncé analogue pour les … abéliens ». L'énoncé s'arrête là, et le dossier avec lui.