Cote n° 126 · pages 1–34 · Lecture modernisée · Descente fidèlement plate. Divers : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–34

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier compte trente-quatre pages. Les pages 16, 24, 25 et 30 sont blanches, ou ne portent qu'un en-tête imprimé ; la page 15 est une chemise qui ne porte que les mots « Descente fidèlement plate ». Les pages 17 à 23 sont écrites sur du papier à en-tête d'un dactylographe, qui n'a rien à voir avec leur contenu. Rien ne date les feuillets.

Il n'y a pas de fil unique, mais cinq pièces :

• Cohomologie de Čech fidèlement plate — pages 1 à 3 : le Théorème 1 (acyclicité du complexe de Čech d'un faisceau quasi-cohérent pour un recouvrement fpqc) et ses quatre corollaires.
• Déformation d'une relation d'équivalence plate — pages 4 à 7, avec la feuille de plan de la page 8.
• Topologies engendrées — pages 9 à 14 : une topologie engendrée par une prétopologie sur une catégorie et une autre sur une sous-catégorie pleine (Proposition 1, Corollaire 2), et le cas des schémas, qui donne la topologie fpqc (Proposition 2). La démonstration de la Proposition 1 est reprise page 13, après l'énoncé de la Proposition 2.
• La factorisation radicielle-étale — pages 17 à 23, sous la chemise de la page 15 : un morphisme fini universellement ouvert de degré séparable constant se factorise en un morphisme radiciel suivi d'un revêtement étale. Démonstrations esquissées seulement.
• Deux questions de descente — pages 26 à 29 : la descente « générique » ; pages 31 à 34 : la descente le long d'un morphisme fidèlement plat non fini.

Conventions. « Schéma » a le sens d'aujourd'hui. On appelle fpqc un morphisme fidèlement plat et quasi-compact. Pour un morphisme \(S' \to S\), on note \(S'^{(n)} = S' \times_S \cdots \times_S S'\) (\(n\) facteurs). Pour un faisceau quasi-cohérent \(F\) sur \(S\) et un \(S\)-schéma \(T\), \(F_T\) est l'image inverse de \(F\) sur \(T\) ; \(\check{H}^p(S'/S, G)\) désigne la cohomologie du complexe de Čech \(G(S') \to G(S'^{(2)}) \to G(S'^{(3)}) \to \cdots\) d'un préfaisceau \(G\), et \(\mathcal{H}^q(F)\) le préfaisceau \(T \mapsto H^q(T, F_T)\). L'indice \(0\) ne sert qu'aux pages 4 à 7, pour les réductions (\(X_0 \subset X\)) ; le revêtement étale des pages 17 à 23 est noté \(X^{\text{ét}}\) pour qu'on ne le confonde pas avec elles.¹

1–3

Cohomologie de Čech et descente fidèlement plate (pages 1 à 3)

Théorème 1. Soient \(S\) un schéma affine, \(f : X \to S\) un morphisme fidèlement plat, quasi-compact et quasi-séparé, et \(F\) un faisceau quasi-cohérent sur \(S\). Alors \[ \check{H}^i(X/S, F) \simeq \begin{cases} H^0(S, F) & \text{si } i = 0, \\ 0 & \text{si } i \neq 0 , \end{cases} \] où le complexe de Čech est celui des \(\Gamma(X^{(n)}, F_{X^{(n)}})\). ²

La démonstration n'est pas écrite, mais le Corollaire 1 en donne la marche : la formation des groupes \(\check{H}^i(X/S, F)\) commute à tout changement de base plat \(S_1 \to S\) avec \(S_1\) affine (c'est le changement de base plat en cohomologie des schémas quasi-compacts et quasi-séparés), et un changement de base fidèlement plat ne change pas l'exactitude d'un complexe. On choisit \(S_1\) égal à la somme d'un nombre fini d'ouverts affines recouvrant \(X\) ; \(S_1\) est affine, fidèlement plat sur \(S\), et \(X \times_S S_1 \to S_1\) a une section. Or pour un recouvrement qui a une section, le complexe de Čech augmenté est homotopiquement nul, « et c'est immédiat ».

Corollaire 1 (forme faisceautique). Sous les mêmes hypothèses, sans supposer \(S\) affine, les faisceaux \(\underline{H}^i(X/S, F)\) sur \(S\) — obtenus en faisant la construction précédente au-dessus des ouverts affines de \(S\) — sont quasi-cohérents, nuls pour \(i \neq 0\), et \(F \to \underline{H}^0(X/S, F)\) est un isomorphisme.³

Corollaire 2. Pour tout \(S\) et tout faisceau quasi-cohérent \(F\) sur \(S\), le foncteur \(S' \mapsto \Gamma(S', F_{S'})\) sur les \(S\)-schémas est un faisceau pour la topologie fpqc. En effet, on est ramené à deux vérifications, l'une pour les recouvrements de Zariski, l'autre pour un seul morphisme fpqc entre schémas affines, et celle-ci est le degré \(0\) du Théorème 1.⁴

Corollaire 3. Munissons la catégorie des schémas d'une topologie \(\tau\) comprise entre celle de Zariski et la topologie fpqc. Alors pour tout schéma \(X\) et tout faisceau quasi-cohérent \(F\) sur \(X\), notant \(F^{\tau}\) le faisceau \(T \mapsto \Gamma(T, F_T)\) sur le gros site de \(X\) (c'en est un par le Corollaire 2), on a \[ H^{*}(X_{\tau}, F^{\tau}) = H^{*}(X, F) . \] Démonstration. Par la suite spectrale de Leray du morphisme de sites \(X_{\tau} \to X_{\mathrm{Zar}}\), on est ramené à prouver que pour \(X\) affine, \(H^i(X_{\tau}, F^{\tau}) = 0\) pour \(i > 0\), l'égalité en degré \(0\) résultant de la définition de \(F^{\tau}\). Pour cela, le critère de Cartan : il suffit que la cohomologie de Čech de \(F^{\tau}\) soit nulle en degrés \(> 0\) pour un système cofinal de recouvrements des schémas affines, et les recouvrements finis par des affines fidèlement plats en forment un ; c'est le Théorème 1. ⁵

Corollaire 4. Soient \(S' \to S\) un recouvrement fpqc et \(F\) un faisceau quasi-cohérent sur \(S\). Il y a une suite spectrale (de Čech vers la cohomologie dérivée) \[ E_2^{p,q} = \check{H}^p\bigl(S'/S, \mathcal{H}^q(F)\bigr) \Longrightarrow H^{p+q}(S, F) , \] où, par le Corollaire 3, peu importe que la cohomologie \(H^q(T, F_T)\) soit prise pour la topologie de Zariski ou pour la topologie fpqc. On en tire la suite exacte des termes de bas degré : \[ 0 \to \check{H}^1(S'/S, F) \to H^1(S, F) \to \check{H}^0\bigl(S'/S, \mathcal{H}^1(F)\bigr) \to \check{H}^2(S'/S, F) \to H^2(S, F) , \] où l'isomorphisme \(H^0(S, F) \simeq \check{H}^0(S'/S, F)\) est déjà connu.

Remarques. 1) La première remarque est illisible.⁶

2) Si \(S\) est affine et \(S' \to S\) fpqc et quasi-séparé, la démonstration du Théorème 1 montre plus : pour tout \(q \neq 0\) et tout \(p\), \[ \check{H}^p\bigl(S'/S, \mathcal{H}^q(F)\bigr) = 0 ; \] en particulier \[ \check{H}^0\bigl(S'/S, \mathcal{H}^q(F)\bigr) = \mathrm{Ker}\bigl(H^q(S', F) \rightrightarrows H^q(S' \times_S S', F)\bigr) = 0 . \] C'est en effet le même argument : après le changement de base \(S_1 \to S\) utilisé plus haut, le complexe \(p \mapsto H^q(S'^{(p+1)}, F)\) devient homotopiquement nul, d'augmentation \(H^q(S_1, F_{S_1}) = 0\) puisque \(S_1\) est affine.⁷

4–8

Déformation d'une relation d'équivalence plate (pages 4 à 8)

Les hypothèses de cette application sont en grande partie illisibles, et l'on en donne une forme qui rend correct ce qui suit.⁸

Proposition. Soient \(X\) un schéma, \(X_0 \subset X\) un sous-schéma fermé défini par un idéal nilpotent \(\mathcal{J}_X\), et \(p_1, p_2 : R \rightrightarrows X\) une relation d'équivalence plate (les \(p_i\) plats) ; posons \(R_0 = R \times_X X_0\) (par l'une ou l'autre projection), de sorte que \(R_0 \rightrightarrows X_0\) est une relation d'équivalence. Supposons-la effective au sens fpqc : il existe \(Y_0\) et \(X_0 \to Y_0\) fpqc et quasi-séparé avec \(R_0 \simeq X_0 \times_{Y_0} X_0\). Alors \(R\) est effective : il existe un schéma \(Y\), épaississement nilpotent de \(Y_0\), et un morphisme \(X \to Y\) fidèlement plat prolongeant \(X_0 \to Y_0\), avec \(R \simeq X \times_Y X\).

On peut supposer \(\mathcal{J}_X^2 = 0\) : le cas général s'en déduit en remontant la filtration par les puissances de l'idéal. Alors \(\mathcal{J}_X\) est un \(\mathcal{O}_{X_0}\)-module quasi-cohérent ; notons \(\mathcal{J}_R\) l'idéal de \(R_0\) dans \(R\). Comme les \(p_i\) sont plats, \(p_i^{*}\mathcal{J}_X \simeq \mathcal{J}_R\), et ces deux isomorphismes forment une donnée de descente sur \(\mathcal{J}_X\) relativement à \(X_0 \to Y_0\). Par descente fidèlement plate des modules, \(\mathcal{J}_X \simeq \mathcal{J}_Y \otimes_{\mathcal{O}_{Y_0}} \mathcal{O}_{X_0}\) pour un \(\mathcal{O}_{Y_0}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{J}_Y\).⁹

Construction de \(Y\). Sur l'espace topologique de \(Y_0\) — qui est aussi, au-dessus de chaque ouvert, celui de \(X\) modulo \(R\) — on pose \[ \mathcal{A} = \mathrm{Ker}\bigl(\mathcal{O}_X \rightrightarrows \mathcal{O}_R\bigr) \] (images directes sur \(Y_0\) sous-entendues), et l'on veut montrer que la suite \[ 0 \to \mathcal{J}_Y \to \mathcal{A} \to \mathcal{O}_{Y_0} \to 0 \] est exacte. Le problème est local sur \(Y_0\), qu'on suppose affine. L'exactitude à gauche et au milieu est la descente des sections : le noyau de \(\mathcal{A} \to \mathcal{O}_{Y_0}\) est \(\mathrm{Ker}\bigl(H^0(X_0, \mathcal{J}_X) \rightrightarrows H^0(R_0, \mathcal{J}_R)\bigr) = H^0(Y_0, \mathcal{J}_Y)\) par le Théorème 1 en degré \(0\), et \(\mathrm{Ker}\bigl(H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \rightrightarrows H^0(R_0, \mathcal{O}_{R_0})\bigr) = H^0(Y_0, \mathcal{O}_{Y_0})\) de même. Reste la surjectivité de \(\mathcal{A} \to \mathcal{O}_{Y_0}\).

Surjectivité. Soit \(\varphi_0 \in H^0(Y_0, \mathcal{O}_{Y_0})\), et \(f_0 \in H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\) son image, qui vérifie \(p_1^{*}f_0 = p_2^{*}f_0\). La suite exacte \(0 \to \mathcal{J}_X \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X_0} \to 0\) donne une obstruction \(\xi \in H^1(X_0, \mathcal{J}_X)\) à relever \(f_0\) en une section de \(\mathcal{O}_X\). Ses deux images par \(p_1^{*}\) et \(p_2^{*}\) dans \(H^1(R_0, \mathcal{J}_R)\) sont les obstructions à relever \(p_1^{*}f_0\) et \(p_2^{*}f_0\) en sections de \(\mathcal{O}_R\) ; ces deux fonctions sont égales, donc \[ \xi \in \mathrm{Ker}\bigl(H^1(X_0, \mathcal{J}_X) \rightrightarrows H^1(R_0, \mathcal{J}_R)\bigr) = \check{H}^0\bigl(X_0/Y_0, \mathcal{H}^1(\mathcal{J}_Y)\bigr) , \] qui est nul par la Remarque 2 de la page 3 (\(Y_0\) affine, \(X_0 \to Y_0\) fpqc et quasi-séparé). Ainsi \(f_0\) se relève en \(f \in H^0(X, \mathcal{O}_X)\).

En général \(p_1^{*}f \neq p_2^{*}f\), mais leur différence \(y = p_2^{*}f - p_1^{*}f\) est dans \(H^0(R_0, \mathcal{J}_R) = H^0(X_0 \times_{Y_0} X_0, \mathcal{J}_Y)\) : c'est une \(1\)-cochaîne du complexe de Čech de \(X_0/Y_0\) à coefficients dans \(\mathcal{J}_Y\), et c'est un cocycle, \(dy = 0\), comme on le voit en calculant sur \(R \times_X R\), dont la réduction est \(X_0 \times_{Y_0} X_0 \times_{Y_0} X_0\). Par le Théorème 1 en degré \(1\), \(y = d\lambda\) avec \(\lambda \in H^0(X_0, \mathcal{J}_X)\), c'est-à-dire \(p_2^{*}\lambda - p_1^{*}\lambda = y\). Alors \(f - \lambda\) relève encore \(f_0\) (car \(\lambda \in \mathcal{J}_X\)) et vérifie \(p_1^{*}(f - \lambda) = p_2^{*}(f - \lambda)\) : c'est une section de \(\mathcal{A}\) qui relève \(\varphi_0\).¹⁰

Fin de la démonstration (page 7). L'espace annelé \(Y = (Y_0, \mathcal{A})\) est un épaississement de \(Y_0\) d'idéal quasi-cohérent de carré nul \(\mathcal{J}_Y\) ; c'est donc un schéma.¹¹ On a \(\mathcal{J}_Y \mathcal{O}_X = \mathcal{J}_X \simeq \mathcal{J}_Y \otimes_{\mathcal{O}_{Y_0}} \mathcal{O}_{X_0}\) et \(X_0\) est plat sur \(Y_0\) ; par le critère de platitude pour les épaississements nilpotents (le critère local de platitude), \(X\) est plat sur \(Y\). Alors \(R\) et \(P = X \times_Y X\) sont plats sur \(X\) (par la première projection), le morphisme \(R \to P\) se réduit en l'isomorphisme \(R_0 \simeq P_0 = X_0 \times_{Y_0} X_0\), donc est un isomorphisme.

\begin{tikzcd}
Y & X \arrow[l] & R \arrow[l, bend left=8] \arrow[l, bend right=8] \\
Y_0 \arrow[u, hook] & X_0 \arrow[l] \arrow[u, hook] & R_0 \arrow[l, bend left=8] \arrow[l, bend right=8] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

Le diagramme est celui de la page 7, où l'on a orienté les flèches verticales : ce sont les immersions fermées des réductions.¹²

La feuille de la page 8 ne porte que trois lignes de plan : « Généralités sur la topologie fidèlement plate. Les \(\check{H}^p(S'/S, \mathcal{H}^q(F))\) pour \(F\) quasi-cohérent. Applications aux relations d'équivalence… » — c'est le plan des pages 1 à 7.¹³

Aujourd'hui, la Proposition se range parmi les énoncés de déformation des quotients plats : une relation d'équivalence plate qui a un quotient fpqc le garde sous une déformation infinitésimale plate. La page ne cite rien.

9–14

Topologies engendrées (pages 9 à 14)

La topologie engendrée par deux prétopologies

Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie à produits fibrés munie d'une prétopologie \(T\), et \(\mathcal{C}'\) une sous-catégorie pleine munie d'une prétopologie \(T'\), avec les conditions :

(a) tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\) a une famille \(T\)-couvrante \((U_\alpha \to X)\) formée d'objets de \(\mathcal{C}'\) ;

(b) \(\mathcal{C}'\) est stable par isomorphismes et par produits fibrés dans \(\mathcal{C}\) ;

(c) si \(U \in \mathcal{C}'\), \((U_i \to U)\) est \(T'\)-couvrante et, pour chaque \(i\), \((U_{ij} \to U_i)\) est \(T\)-couvrante avec les \(U_{ij}\) dans \(\mathcal{C}'\), alors la famille composée \((U_{ij} \to U)\) a une sous-famille \(T'\)-couvrante.¹⁴

Soit \(\mathcal{T}\) la topologie sur \(\mathcal{C}\) engendrée par \(T\) et \(T'\).

Proposition 1. Une famille \((X_i \to X)\) de \(\mathcal{C}\) est \(\mathcal{T}\)-couvrante si et seulement s'il existe une famille \(T\)-couvrante \((U_\alpha \to X)\) avec les \(U_\alpha\) dans \(\mathcal{C}'\), pour chaque \(\alpha\) une famille \(T'\)-couvrante \((U_{\alpha\beta} \to U_\alpha)\), et pour chaque \((\alpha, \beta)\) un indice \(i = i(\alpha, \beta)\) et un \(X\)-morphisme \(U_{\alpha\beta} \to X_i\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] \\
X & U_\alpha \arrow[l]
\end{tikzcd}

Si \(X\) est dans \(\mathcal{C}'\), il faut et il suffit aussi qu'il existe une famille \(T'\)-couvrante \((U_\alpha \to X)\) et pour chaque \(\alpha\) un \(X\)-morphisme \(U_\alpha \to X_{i(\alpha)}\).

Démonstration. Si la condition est remplie, \((U_{\alpha\beta} \to X)\) est \(\mathcal{T}\)-couvrante par transitivité, donc \((X_i \to X)\) aussi par saturation. Réciproquement, il suffit de voir que les familles du type décrit forment une topologie : stabilité par isomorphisme, par changement de base et par composition.¹⁵

Pour un isomorphisme \(X' \to X\), on prend par (a) un recouvrement \((U_\alpha \to X)\) par des objets de \(\mathcal{C}'\), les \(U_{\alpha\beta}\) réduits à \(U_\alpha\) et les flèches \(U_\alpha \to X'\) déduites.

Changement de base par \(X' \to X\) (page 13) : les \(U'_\alpha = U_\alpha \times_X X'\) recouvrent \(X'\) pour \(T\) ; on recouvre chacun pour \(T\) par des \(U'_{\alpha\lambda}\) dans \(\mathcal{C}'\), ce que permet (a) ; les \(U'_{\alpha\lambda}\) recouvrent \(X'\) pour \(T\) par transitivité, et les \(U'_{\alpha\beta\lambda} = U_{\alpha\beta} \times_{U_\alpha} U'_{\alpha\lambda}\), qui sont dans \(\mathcal{C}'\) par (b), recouvrent \(U'_{\alpha\lambda}\) pour \(T'\) par changement de base.

Transitivité (pages 13 et 11) : soient \((X_i \to X)\) comme ci-dessus, avec \(U_\alpha\), \(U_{\alpha\beta}\), \(i(\alpha, \beta)\), et pour chaque \(i\) une famille \((X_{ij} \to X_i)\) du même type. Par changement de base, \((X_{ij} \times_{X_i} U_{\alpha\beta} \to U_{\alpha\beta})_j\) est du même type : il y a des \(U_{\alpha\beta\gamma} \to U_{\alpha\beta}\) \(T\)-couvrants dans \(\mathcal{C}'\), des \(U_{\alpha\beta\gamma\delta} \to U_{\alpha\beta\gamma}\) \(T'\)-couvrants, et des morphismes \(U_{\alpha\beta\gamma\delta} \to X_{ij}\). Par (c), on extrait de \((U_{\alpha\beta\gamma} \to U_\alpha)_{\beta, \gamma}\) une famille \(T'\)-couvrante \((V_{\alpha\lambda} \to U_\alpha)\) ; les \(U_{\alpha\beta\gamma\delta}\) correspondants forment, par composition dans \(T'\), une famille \(T'\)-couvrante de \(U_\alpha\), dont chaque membre s'envoie dans un \(X_{ij}\). C'est ce qu'il fallait.

Le second énoncé, pour \(X\) dans \(\mathcal{C}'\), résulte du premier et de (c).

Corollaire 2. Un préfaisceau \(F : \mathcal{C}^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) est un faisceau pour \(\mathcal{T}\) si et seulement si c'est un faisceau pour \(T\) et que sa restriction à \(\mathcal{C}'\) est un faisceau pour \(T'\).¹⁶

11–14

Le cas des schémas : la topologie fpqc

Proposition 2. Prenons pour \(\mathcal{C}\) la catégorie des schémas, avec la prétopologie \(T\) de Zariski, pour \(\mathcal{C}'\) celle des schémas affines, et pour \(T'\) la prétopologie dont les familles couvrantes \((U_i \to U)\) sont les familles finies de morphismes plats dont les images recouvrent \(U\). Les conditions (a), (b), (c) sont remplies.¹⁷ Soit \(\mathcal{T}\) la topologie engendrée. Alors :

(i) Une famille \((X_i \to X)\) est \(\mathcal{T}\)-couvrante si et seulement si \(X\) est réunion d'ouverts affines \(U_\alpha\) et que pour chaque \(\alpha\) il existe une famille finie de morphismes plats \(U_{\alpha\beta} \to U_\alpha\), les \(U_{\alpha\beta}\) affines, dont les images recouvrent \(U_\alpha\), et qui se factorisent chacun par un \(X_i\).

(ii) Un foncteur \(F : (\mathrm{Sch})^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) est un faisceau pour \(\mathcal{T}\) si et seulement si (a) \(F\) est un faisceau pour la topologie de Zariski — « \(F\) est de nature locale » — et (b) pour tout morphisme fidèlement plat \(S' \to S\) entre schémas affines, la suite \[ F(S) \to F(S') \rightrightarrows F(S' \times_S S') \] est exacte.

(iii) Un morphisme fidèlement plat et quasi-compact \(X' \to X\) est \(\mathcal{T}\)-couvrant ; de même un morphisme fidèlement plat localement de présentation finie ; plus généralement, une famille de morphismes plats et ouverts dont les images recouvrent \(X\) est \(\mathcal{T}\)-couvrante.¹⁸

Démonstration. (i) est la Proposition 1. (ii) résulte du Corollaire 2 : la condition (a) fait que \(F\) transforme les sommes finies en produits, ce qui ramène la condition de faisceau pour une famille finie \((U_i \to U)\) de \(T'\) à la condition (b) pour le seul morphisme \(\coprod U_i \to U\). ¹⁹

La topologie \(\mathcal{T}\) est donc la topologie fpqc, telle qu'on la définit aujourd'hui précisément par (i) ; (ii) en est le critère de faisceau usuel, et le Corollaire 2 de la page 1 dit que les faisceaux quasi-cohérents en sont.

15–23

Descente fidèlement plate : la factorisation radicielle-étale (pages 15 à 23)

Ces pages suivent la chemise « Descente fidèlement plate » de la page 15. Elles s'ouvrent sur un plan à deux entrées — « A) Application à la comparaison entre les variétés étales [et les variétés] holomorphes » et « B) Application à la factorisation canonique » — dont seule la seconde est traitée.²⁰

17–20

L'énoncé, et le revêtement des numérotations

Pour un morphisme fini \(f : X \to Y\) et \(y \in Y\), notons \(d(y)\) le degré séparable de la fibre \(f^{-1}(y)\) sur \(k(y)\), c'est-à-dire le nombre de ses points géométriques.

Proposition. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini et universellement ouvert, avec \(Y\) localement noethérien, et supposons \(d(y)\) constant. Alors \(f\) se factorise en \[ X \xrightarrow{\ f_1\ } X^{\text{ét}} \xrightarrow{\ f_2\ } Y , \] où \(f_1\) est fini, surjectif et radiciel, et \(f_2\) un revêtement étale (fini étale). De plus tout \(Y\)-morphisme \(X \to Z\), avec \(Z\) étale sur \(Y\), se factorise de façon unique par \(X^{\text{ét}}\).²¹

Les pages qui suivent en esquissent la démonstration par deux voies.

L'espace des numérotations (pages 18 et 20). Soient \(n\) la valeur constante de \(d\), \(I = \{1, \ldots, n\}\), et \[ Y' = X^{I} = X \times_Y \cdots \times_Y X \] (\(n\) facteurs). Les \(n\) projections \(Y' \to X\) sont \(n\) sections du morphisme \(X' = X \times_Y Y' \to Y'\), d'où un \(Y'\)-morphisme \(Y' \times I \to X'\), et pour chaque \(y' \in Y'\) une application \(I \times \mathrm{Spec}\, k(y') \to X'_{y'}\). Soit \(Y'' \subset Y'\) l'ensemble des points où elle est injective sur les points géométriques — donc bijective, puisque la fibre a \(n\) points géométriques : \(Y''\) paramètre les numérotations des points géométriques des fibres de \(f\).

Lemme. \(Y''\) est ouvert dans \(Y'\), et \(Y'' \to Y\) est surjectif. Un point \(y'\) est dans \(Y''\) si et seulement s'il a un voisinage ouvert \(U\) tel que \(U \times I \to X'|_U\) soit une immersion fermée.²²

La section ouverte et fermée (page 19). Si \(f : X \to Y\), fini et universellement ouvert de degré séparable constant \(n\), a une section \(s\), alors \(s(Y)\) est ouvert et fermé dans \(X\). On se ramène à \(Y\) irréductible en regardant les \(f^{-1}(Y_i)\) au-dessus des composantes irréductibles \(Y_i\) de \(Y\). Alors \(s(Y)\) est une réunion de composantes irréductibles de \(X\), puisque \(f\) est fini ; il faut voir qu'elle ne rencontre pas la réunion \(X''\) des autres composantes, ce que la page tire de la constance de \(d\) : un point commun ferait chuter le nombre de points géométriques de la fibre.²³ D'où une décomposition \[ X = X_{(1)} \amalg X^{(1)}, \qquad d(X_{(1)}/Y) = 1, \quad d(X^{(1)}/Y) = n - 1 . \]

21–23

Descente des revêtements étales

On itère (page 21) : avec \(Y_1 = X\), le morphisme \(X_1 = X \times_Y Y_1 \to Y_1\) a la section diagonale, donc \(X_1 = X_{(1)} \amalg X^{(1)}\) ; on pose \(Y_2 = X^{(1)}\), et ainsi de suite. On obtient :

Lemme 2. Il existe \(Y' \to Y\) fini, surjectif et universellement ouvert tel que \(X' = X \times_Y Y'\) soit somme de parties ouvertes et fermées \(X'_i\) de degré séparable \(1\) sur \(Y'\).²⁴

Soit \(I\) l'ensemble des composantes \(X'_i\) ; \(Y' \times I\) est un revêtement étale trivial de \(Y'\), et \(X' \to Y' \times I\) est radiciel et surjectif. Le revêtement \(Y' \times I\) hérite de \(X'\) une donnée de descente relative à \(Y' \to Y\) ; comme les morphismes finis surjectifs sont de descente effective pour les revêtements étales, elle définit un revêtement étale \(X^{\text{ét}}\) de \(Y\) dont \(Y' \times I\) est l'image inverse.²⁵ On choisit ensuite un revêtement étale surjectif \(Y^{*} \to Y\) qui déploie complètement \(X^{\text{ét}}\), et l'on trouve :

Lemme 3. Il existe un morphisme étale surjectif \(Y^{*} \to Y\) tel que les composantes connexes de \(X^{*} = X \times_Y Y^{*}\) soient de degré séparable \(1\) sur \(Y^{*}\).

Le morphisme canonique \(X^{*} \to Y^{*} \times I\) (où \(I\) est maintenant l'ensemble des composantes connexes de \(X^{*}\), \(Y^{*}\) supposé connexe) est compatible aux données de descente relatives à \(Y^{*} \to Y\), et définit donc un morphisme \(X \to X^{\text{ét}}\), fini, surjectif et radiciel. La propriété universelle se vérifie de même après le changement de base étale \(Y^{*} \to Y\), où \(X^{\text{ét}}\) devient trivial et où elle est « immédiate ».²⁶

La page 23 se clôt sur deux notes. « À formuler » : un énoncé pour les morphismes universellement ouverts non nécessairement finis, où il semble que le degré séparable soit remplacé par la connexité géométrique des fibres.²⁷ Et une question : « Caractérisation des foncteurs représentables par des revêtements étales ??? ».

Les noms d'aujourd'hui sont ceux du revêtement étale associé à un morphisme fini, ou de sa « partie étale » ; c'est une forme étale de la factorisation de Stein, et la question finale est celle des faisceaux étales représentables par des revêtements, que la théorie des espaces algébriques et des faisceaux localement constants constructibles a depuis posée en général.

26–29

Descente générique (pages 26 à 29)

Données. \(S\) est un schéma noethérien, \(T \to S\) un morphisme plat de type fini ; on note \(p_i\), \(p_{ij}\) les projections de \(T \times_S T\) et de \(T \times_S T \times_S T\). \(F\) est une catégorie fibrée sur la catégorie des \(S\)-schémas de type fini, telle que les morphismes plats surjectifs (de type fini) soient des morphismes de \(F\)-descente : l'image inverse par un tel morphisme est pleinement fidèle sur les objets munis de données de descente.²⁸ Soient enfin :

• \(U\) un ouvert dense de \(T \times_S T\) et \(V\) un ouvert dense de \(T \times_S T \times_S T\), avec \(V \subset \bigcap_{i \neq j} p_{ij}^{-1}(U)\) ;
• \(X\) un objet de \(F_T\) et un isomorphisme \(\varphi : p_1^{*}X|_U \xrightarrow{\sim} p_2^{*}X|_U\) qui satisfait à la condition de cocycle \(p_{13}^{*}\varphi = p_{23}^{*}\varphi \circ p_{12}^{*}\varphi\) au-dessus de \(V\).²⁹

Notation ponctuelle. Comme la page, on écrit \(\varphi_{ba} : X_a \to X_b\) pour la valeur de \(\varphi\) en un point \((a, b)\) de \(U\) ; la condition de cocycle s'écrit \(\varphi_{ca} = \varphi_{cb}\varphi_{ba}\) pour \((a, b, c) \in V\). Chaque égalité ponctuelle ci-dessous abrège une égalité entre images inverses de \(\varphi\) par des projections, au-dessus d'un ouvert d'une puissance de \(T\) ; c'est sous cette forme qu'elle est vraie.

Proposition. Sous ces conditions, il existe un ouvert dense \(T'\) de \(T\) et une donnée de descente \(\varphi'\) sur \(X|_{T'}\) relativement à \(T' \to S\), c'est-à-dire un isomorphisme \(\varphi' : p_1^{*}X \xrightarrow{\sim} p_2^{*}X\) sur tout \(T' \times_S T'\) satisfaisant à la condition de cocycle, telle que \(\varphi' = \varphi\) au-dessus de \(U \cap (T' \times_S T')\).³⁰

Réductions (page 26). Par les théorèmes de constructibilité (EGA IV, § 9, cité de mémoire), l'ensemble des \(\tau \in U\) tels que \(V \cap p_{ij}^{-1}(\tau)\) soit dense dans la fibre \(p_{ij}^{-1}(\tau)\) pour tout \(i \neq j\) est constructible ; il contient les points maximaux de \(U\), car \(p_{ij}\) est plat. Il contient donc un ouvert dense \(U_1 \subset U\). De même, l'ensemble des \(t \in T\) tels que \(U_1 \cap p_i^{-1}(t)\) soit dense dans \(p_i^{-1}(t)\) pour \(i = 1, 2\) contient un ouvert dense \(T'\). On remplace \(T\) par \(T'\), \(U\) par \(U_1 \cap (T' \times_S T')\) et \(V\) par \(V \cap T'^{3}\) pour les constructions qui suivent, tout en gardant \(\varphi\) sur l'ouvert \(U\) d'origine, qui contient toutes les paires extraites de \(V\).³¹

Le principe de tous les arguments qui suivent est le même : chacune des conditions « \((a, b) \in U\) » ou « \((a, b, c) \in V\) » portant sur un point variable définit, dans la fibre en ce point — qui est \(T\) étendu à un corps —, un ouvert dense, grâce aux réductions et à la platitude ; un nombre fini d'ouverts denses d'une même fibre non vide se rencontrent ; les morphismes de projection qu'on construit sont donc surjectifs, et ils sont plats comme restrictions à des ouverts de projections \(T^{m} \to T^{k}\).

Construction de \(\psi\) (page 27). Posons \[ W = p_{12}^{-1}(U) \cap p_{23}^{-1}(U) \subset T \times_S T \times_S T , \qquad \pi = p_{13}|_W : W \to T \times_S T . \] Un point de \(W\) est un triplet \((t_1, t', t_2)\) avec \((t_1, t')\) et \((t', t_2)\) dans \(U\) ; \(\pi\) est plat et, par les réductions, surjectif. Soient \(X_i = p_i^{*}X\) sur \(T \times_S T\). On définit \(\psi : \pi^{*}X_1 \xrightarrow{\sim} \pi^{*}X_2\) comme le composé passant par le facteur du milieu : \[ \psi_{(t_1, t', t_2)} = \varphi_{t_2 t'}\,\varphi_{t' t_1} , \] c'est-à-dire \(p_1^{(3)*}X \xrightarrow{\sim} p_2^{(3)*}X \xrightarrow{\sim} p_3^{(3)*}X\).

\(\psi\) descend. Il faut voir que \(\psi\) est compatible à la donnée de descente canonique relative à \(\pi\), c'est-à-dire que ses deux images inverses sur \[ W \times_{T \times_S T} W \subset T^{4} , \qquad \text{points } (t_1, t', t'', t_2) , \] coïncident : \(\varphi_{t_2 t'}\varphi_{t' t_1} = \varphi_{t_2 t''}\varphi_{t'' t_1}\).³² On introduit pour cela le schéma \(W' \subset T^{5}\) des \((t_1, t', t'', t_2, t''')\) tels que \[ (t_1, t''', t'),\ (t''', t', t_2),\ (t_1, t''', t''),\ (t''', t'', t_2),\ (t_1, t''', t_2) \in V . \] Sur \(W'\), la condition de cocycle donne \[ \varphi_{t_2 t'}\varphi_{t' t_1} = \varphi_{t_2 t'}(\varphi_{t' t'''}\varphi_{t''' t_1}) = (\varphi_{t_2 t'}\varphi_{t' t'''})\varphi_{t''' t_1} = \varphi_{t_2 t'''}\varphi_{t''' t_1} , \] et de même \(\varphi_{t_2 t''}\varphi_{t'' t_1} = \varphi_{t_2 t'''}\varphi_{t''' t_1}\) ; d'où l'égalité cherchée au-dessus de \(W'\).³³ Or \(W' \to W \times_{T \times_S T} W\) est plat et surjectif — « sauf erreur », écrit la page —, donc un morphisme de \(F\)-descente, et l'égalité descend. Comme \(\pi\) est lui aussi plat et surjectif, \(\psi\) provient d'un unique isomorphisme \[ \varphi' : X_1 \xrightarrow{\sim} X_2 \quad \text{sur } T \times_S T , \qquad \varphi'_{t_2 t_1} = \varphi_{t_2 t'}\varphi_{t' t_1} \ \text{pour tout } t' \text{ convenable.} \]

Condition de cocycle pour \(\varphi'\) (pages 28 et 29). Soit \(W''' \subset T^{6}\) le schéma des \((t_1, t_2, t_3, t', t'', t''')\) tels que \[ (t_1, t'),\ (t', t_2),\ (t_2, t''),\ (t'', t_3) \in U \quad \text{et} \quad (t_1, t', t'''),\ (t''', t'', t_3) \in V ; \] la projection \(W''' \to T^{3}\) est plate et surjective. Sur \(W'''\), \[\begin{align*} \varphi'_{t_3 t_2}\varphi'_{t_2 t_1} &= (\varphi_{t_3 t''}\varphi_{t'' t_2})(\varphi_{t_2 t'}\varphi_{t' t_1}) = \varphi_{t_3 t''}(\varphi_{t'' t'''}\varphi_{t''' t'})\varphi_{t' t_1} \\ &= (\varphi_{t_3 t''}\varphi_{t'' t'''})(\varphi_{t''' t'}\varphi_{t' t_1}) = \varphi_{t_3 t'''}\varphi_{t''' t_1} = \varphi'_{t_3 t_1} , \end{align*}\] où la deuxième égalité vient de ce que \(\varphi_{t'' t_2}\varphi_{t_2 t'}\) et \(\varphi_{t'' t'''}\varphi_{t''' t'}\) valent tous deux \(\varphi'_{t'' t'}\), et la quatrième de la condition de cocycle sur les deux triplets de \(V\). La condition de cocycle descend de \(W'''\) à \(T^{3}\).³⁴

\(\varphi'\) prolonge \(\varphi\) (page 29). Pour \((t_1, t_2, t_3) \in V\), on peut prendre \(t' = t_2\) dans la définition de \(\varphi'\) : \(\varphi'_{t_3 t_1} = \varphi_{t_3 t_2}\varphi_{t_2 t_1} = \varphi_{t_3 t_1}\). Ainsi \(p_{13}^{*}\varphi' = p_{13}^{*}\varphi\) sur \(V\), et comme \(p_{13} : V \to U\) est plat et surjectif, \(\varphi' = \varphi\) sur \(U\). « La démonstration […] facile », conclut la page.

Condition de représentation. Supposons que pour tout ouvert dense \(T'\) de \(T\), il existe un ouvert dense \(S'\) de \(S\) au-dessus duquel \(T'_{S'} \to S'\) soit un morphisme de \(F\)-descente stricte (la descente y est effective). Alors, quitte à rétrécir \(T'\), on trouve \(Y \in F_{S'}\) et un isomorphisme \(X|_{T'} \simeq Y \times_{S'} T'\) compatible aux données de descente.³⁵

Le procédé — définir l'objet cherché en un couple de points génériques \((t_1, t_2)\) en passant par un troisième point \(t'\) « en position générale », puis vérifier l'indépendance par un quatrième — est celui du théorème de Weil sur les lois de groupe birationnelles et de son critère de descente pour les variétés (A. Weil, « The field of definition of a variety », 1956, cité de mémoire) ; on en trouve une version schématique, due à M. Artin, dans SGA 3, exposé XVIII. La page ne nomme ni l'un ni l'autre.

31–34

Descente pour un morphisme fidèlement plat non fini (pages 31 à 34)

Question : la descente est-elle possible le long d'un morphisme fidèlement plat non fini ? Un cas typique est le suivant.

Soient \(f : T \to S\) un revêtement étale galoisien de groupe \(G\) — un \(G\)-torseur fini étale —, \(s\) un point fermé de \(S\) et \(t \in f^{-1}(s)\). On suppose que le groupe de décomposition de \(t\) est trivial, c'est-à-dire que \(G\) permute librement les points de \(f^{-1}(s)\) (par exemple si \(k(s)\) est séparablement clos).³⁶ Soit \(T' = T - \Phi\), où \(\Phi = f^{-1}(s) - \{t\}\) : c'est un ouvert, et \(T' \to S\) est étale et surjectif, fidèlement plat, mais il n'est pas fini. Notons \(T'' = T - f^{-1}(s)\) et \(S'' = S - \{s\}\).

Le produit \(T' \times_S T'\). Comme \(T\) est un \(G\)-torseur, \[ T \times_S T = \coprod_{g \in G} U_g , \qquad U_g = (g \times e)(\Delta_T) \simeq T , \] l'isomorphisme \(\varphi_g : T \xrightarrow{\sim} U_g\) étant \(\tau \mapsto (g\tau, \tau)\).³⁷ On a \[ \varphi_g^{-1}\bigl(U_g \cap (T' \times_S T')\bigr) = g^{-1}(T') \cap T' , \] qui vaut \(T'\) si \(g = e\) et \(T''\) si \(g \neq e\). Ainsi \(T' \times_S T'\) est somme de sa diagonale, isomorphe à \(T'\), et d'ouverts \(U'_g\) (\(g \neq e\)) isomorphes à \(T''\).

Le produit triple. De même \(T \times_S T \times_S T = \coprod_{(g, g')} V_{g,g'}\) avec \(V_{g,g'} = (g \times g' \times e)(\Delta_3 T) \simeq T\), et \(V'_{g,g'} = V_{g,g'} \cap T'^{3}\) s'identifie à \(g^{-1}(T') \cap g'^{-1}(T') \cap T'\), qui est \(T''\) sauf pour \(g = g' = e\), où c'est la diagonale \(\simeq T'\).

Données de descente. Une donnée de descente sur un objet \(X\) au-dessus de \(T'\), relativement à \(T' \to S\), est un isomorphisme \(p_1^{*}X \simeq p_2^{*}X\) sur \(T' \times_S T'\), c'est-à-dire un système d'isomorphismes sur les composantes : sur la diagonale, c'est l'identité, et pour \(g \neq e\), c'est un isomorphisme \(X|_{T''} \simeq g^{*}(X|_{T''})\). La condition de cocycle est automatique sur la diagonale \(V'_{e,e}\) ; sur les autres composantes, elle ne porte que sur \(T''\), et c'est exactement la condition de cocycle d'une donnée de descente sur \(X|_{T''}\) relativement au \(G\)-torseur \(T'' \to S''\). D'où, comme l'écrit la page en le soulignant :

une donnée de descente sur \(X\) relativement à \(T' \to S\) est la même chose qu'une donnée de descente sur \(X|_{T''}\) relativement à \(T'' \to S''\), c'est-à-dire qu'une action de \(G\) sur \(X|_{T''}\) compatible à son action sur \(T''\).

Si par exemple \(X\) est projectif sur \(T'\), la descente galoisienne le long du revêtement fini \(T'' \to S''\) est effective, et la donnée revient à un isomorphisme \(X|_{T''} \simeq X_0 \times_{S''} T''\), avec \(X_0\) projectif sur \(S''\).³⁸

La question d'effectivité (page 34) devient donc la suivante : étant donné \(X_0\) sur \(S - \{s\}\), et un prolongement \(X\) de \(X_0 \times_{S - \{s\}} (T - f^{-1}(s))\) en le seul point \(t\) de \(f^{-1}(s)\) — donc au-dessus de \(T' = (T - f^{-1}(s)) \cup \{t\}\) —, par exemple la restriction d'un prolongement sur \(T\) tout entier, montrer que \(X\) est isomorphe à l'image réciproque d'un schéma sur \(S\) prolongeant \(X_0\).³⁹ Le dossier s'arrête sur cette question, sans y répondre.

On sait que la descente des schémas le long d'un morphisme fpqc n'est pas effective en général, et qu'elle l'est pour les schémas quasi-projectifs munis d'un faisceau ample compatible à la donnée de descente (SGA 1, exposé VIII, § 7, cité de mémoire) ; l'exemple de la page est construit pour isoler ce qui manque quand le morphisme n'est pas fini : tout se passe au-dessus de \(S''\), où le revêtement est fini, sauf en un point, où il n'y a plus de donnée de descente du tout, et où la question devient une question de prolongement.