Fonds Grothendieck, cote n° 125, pages 1–8

Dualité locale et dualité projective

titre de sa main, sur le premier feuillet, qui ne porte rien d'autre : le feuillet est une chemise et ne reçoit donc pas de page. Un mot est biffé d'un pâté d'encre entre dualité et projective et ne se laisse pas lire. L'inventaire de Montpellier ne retient que « Dualité projective » : la chemise porte donc un titre plus long que le catalogue

ce feuillet n'est pas une rédaction mais une carte : six énoncés encadrés, reliés par des équivalences verticales, chacune annotée de ce qui la justifie. On le lit de haut en bas dans la colonne de gauche, la colonne de droite donnant à chaque étage la réduction au cas F = \mathcal{O}(n), n grand. Les chapeaux désignent le complété formel le long de Y

\mathbf{P}^{n} \supset X^{r} \supset Y^{m}, \qquad r > m > 0

H^{p}_{Y}(X, F) = 0 \quad \text{pour } p > \ill{}

X de dimension r.

H^{p}(X^{r}, F) \longrightarrow H^{p}(X^{r} - Y, F) \longrightarrow H^{p+1}_{Y}(X^{r}, F)

la suite exacte de cohomologie locale, qu'il marque d'une astérisque : c'est elle qui fait passer d'un étage à l'autre de tout ce qui suit

Premier encadré : H^{p}(X^{r} - Y, F) = 0 \quad \text{pour } p \geqslant m et, à droite, sa réduction : H^{p}(X - Y, \mathcal{O}(n)) = 0 \quad \text{pour } n \text{ grand},\ p \geqslant m .

Deuxième encadré : H^{p}_{Y}(X^{r}, F) \longrightarrow H^{p}(X^{r}, F) \quad \begin{cases} \text{bijectif pour } p > m \\ \text{surjectif pour } p = m \end{cases} et, à droite : réduit à bijectif pour F = \mathcal{O}(n), n grand.

sous cet encadré de droite, accolé d'un trait : « N.B. Le cas p = m peut être omis, car H^{m}(X^{r}, \mathcal{O}(-n)) = 0 pour n grand »

Troisième encadré, relié au deuxième par une équivalence portant, entourée, la mention « dualité » : \mathrm{Ext}^{q}_{\mathcal{O}_{\hat{X}^{r}}} \!\left(\hat{X}^{r}, \hat{F}, \hat{\Omega}^{r}_{X^{r}/k}\right) \;\xleftarrow{\ \sim\ }\; \mathrm{Ext}^{q}_{\mathcal{O}_{X^{r}}} \!\left(X^{r}, F, \Omega^{r}_{X^{r}/k}\right) \begin{cases} \text{bijectif pour } q < r - m \\ \text{injectif pour } q = r - m \end{cases}

c'est le pivot du feuillet : l'annulation de la cohomologie de X - Y en degrés \geqslant m et la comparaison des Ext à valeurs dans \Omega^{r} le long du complété formel sont le même énoncé, lu des deux côtés de la dualité

Quatrième encadré : H^{q}\!\left(X^{r}, \Omega(n)\right) \longrightarrow H^{q}\!\left(\hat{X}^{r}, \hat{\mathcal{O}}(n)\right) \quad \begin{cases} \text{bijectif pour } q < r - m \\ \text{injectif pour } q = r - m \end{cases} \quad n \text{ grand}

Cinquième encadré : H^{q}(X^{r}, F) \longrightarrow H^{q}(\hat{X}^{r}, \hat{F}) \quad \begin{cases} \text{bij. pour } q < r - m \\ \text{inj. pour } q = r - m \end{cases} \quad \text{pour } F \text{ loc. libre}

H^{p}(X^{r}, \mathcal{O}(n)) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{p}(\hat{X}^{r}, \hat{\mathcal{O}}(n)), et H^{i}(\hat{X}^{r}, \hat{\mathcal{O}}(n)) = 0 pour n grand, 0 < i < r-m

note de sa main, entourée d'un trait, au bas du feuillet

N.B. H^{p}(X^{r} - Y, \Omega(n)) = 0 si 0 < p < r-m H^{p}(X^{r}, \Omega(n)) \longrightarrow H^{p}(X^{r} - Y, \Omega(n)) n < r-1

cette note court en diagonale au bas du feuillet, sur cinq ou six lignes, et n'est lisible que par fragments

[\,m = \dim Y\,]

feuillet dactylographié, en tête « – III-18 – », annoté à la main et souligné au feutre jaune. La prose tapée est ici resserrée sur ses énoncés et ses formules ; les mentions manuscrites sont données en entier. La main qui annote est ronde et posée, et ne ressemble pas à celle des feuillets 2, 4, 5, 7 et 8 ; l'édition ne décide pas à qui elle est

Le feuillet établit qu'une base (d_{i} \otimes 1)_{1 \leqslant i \leqslant n} de D \otimes_{C} C_{y} peut être prise formée de restrictions de sections de \mathcal{O}_{X} au-dessus de X. Le préschéma f^{-1}(y) a un espace de base formé d'un nombre fini de points x_{j} (1 \leqslant j \leqslant m ; II, 2, 7, prop. 17) formant un sous-espace discret de f^{-1}(U) ; l'algèbre D \otimes_{C} C_{y}, qui est l'anneau de ce schéma affine, est donc composée directe des sous-algèbres \mathcal{O}_{x_{j}} (I, 2, 7, prop. 19 et I, 4, 1, prop. 4).

la prose intermédiaire, sur les f_{j} \in \Gamma(X, \mathcal{O}_{X}) = B tels que x_{j} \in X_{f_{j}} \subset f^{-1}(U), sur l'entier q pour lequel d_{i} f_{j}^{q} se prolonge en une section b_{i} \in B (I, 1, 4, th. 2) et sur le fait que les b_{i} \otimes 1 forment encore une base, est ici résumée ; une phrase du tapuscrit est biffée à la machine et une autre à la main

Cela étant, considérons l'homomorphisme \Gamma(Y, \mathcal{O}_{Y}^{n}) \to \Gamma(X, \mathcal{O}_{X}) = B faisant correspondre b_{i} au i-ème élément de base (0, \ldots, 1, \ldots, 0) de \Gamma(Y, \mathcal{O}_{Y}^{n}) ; cet homomorphisme définit évidemment un homomorphisme de faisceaux u : A^{n} \longrightarrow B .

cette formule est encadrée à la main sur le feuillet

Les faisceaux A^{n} et B sont quasi-cohérents sur Y (II, 1, 2, prop. 5), donc cohérents, et il en est donc de même du noyau et du conoyau de u.

puisque Y est noethérien et B de type fini par hypothèse

Or, par construction, si s est une section de \mathrm{Ker}\,u ou de \mathrm{Coker}\,u au-dessus d'un voisinage de y, le germe de s au point y est nul, donc s est nulle dans un voisinage de y ; on en conclut qu'il existe un voisinage ouvert V de y tel que la restriction u|V soit un isomorphisme A^{n}|V \to B|V.

s est est une correction manuscrite portée au-dessus de la ligne, le tapuscrit ayant écrit « si une section »

Cela étant, en vertu du th. 2, il suffit de prouver que pour tout

une seconde note manuscrite, de deux mots, court obliquement dans la marge gauche à mi-feuillet ; elle est au crayon, très pâle, et ne se laisse pas lire. Une croix au crayon marque en outre le haut de la marge

demi-feuillet : le bas en est arraché. C'est le dictionnaire de la dualité, écrit sans un mot de prose

~~X \subset~~ \mathbf{P}^{r} \supset X \supset Y

H^{p}_{Y}(X, F) \simeq H^{p}_{Y}(P, F) = \varinjlim\; \mathrm{Ext}^{p}\!\left(P; \mathcal{O}_{Y_{n}}, F\right)

son dual est \left[\,H^{p}(X - Y, F) = \varinjlim\; \mathrm{Ext}^{p}\!\left(P; J^{n}, F\right)\,\right]

\varprojlim\; \mathrm{Ext}^{r-p}\!\left(P; F, \mathcal{O}_{Y_{n}} \otimes \Omega^{r}_{P/k}\right) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathrm{Ext}^{r-p}\!\left(\hat{Y}, \hat{F}, \hat{\Omega}^{r}_{P^{r}}\right)

H^{p}_{Y}(X, F) \to H^{p}(X, F) \to H^{p}(X - Y, F) \to H^{p+1}_{Y}(X, F) \mathrm{Ext}^{r-p}_{\mathcal{O}_{P}}\!\left(\hat{Y}, \hat{F}, \hat{\Omega}^{r}\right) \leftarrow \mathrm{Ext}^{r-p}\!\left(P, F, \Omega^{r}\right) \leftarrow \varprojlim\; \mathrm{Ext}^{r-p}\!\left(P, F, J^{n}\Omega\right) \leftarrow \mathrm{Ext}^{r}

les deux dernières lignes sont écrites l'une sous l'autre, terme à terme : la seconde est le dual de la première, et le feuillet s'arrête sur \mathrm{Ext}^{r} seul, là où la déchirure commence

Premier encadré, deux suites exactes écrites l'une sous l'autre, appariées terme à terme :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathrm{Ext}^{i}(X, F, G) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\times" description] & \mathrm{Ext}^{i}(X', F', G') \arrow[r] \arrow[d, no head, "\times" description] & \mathrm{Ext}^{i+1}(X, F, G) \arrow[d, no head, "\times" description] \\ \mathrm{Ext}^{r-i}_{a}(X, G, F) & \mathrm{Ext}^{r-i}(X', G', F') \arrow[l] & \mathrm{Ext}^{r-1-i}(X, G, F) \arrow[l] \end{tikzcd}

les traits verticaux ne sont pas des flèches : ce sont les croix par lesquelles il note l'accouplement de dualité entre les deux lignes. L'indice a des \mathrm{Ext} de la seconde ligne est une petite lettre que le feuillet ne définit nulle part ; elle est reproduite telle quelle

\mathrm{Ext}^{i}_{Y}(X; F, G) = \varinjlim\; \mathrm{Ext}^{i}(X, F_{n}, G) dual à \varprojlim\; \mathrm{Ext}^{r-i}_{a}(X, G, F_{n}) \simeq \mathrm{Ext}^{r-i}(\hat{X}, \hat{G}, \hat{F})

\mathrm{Ext}^{i}_{Y'}(X'; F', G') = \varinjlim\; \mathrm{Ext}^{i}(X'; F'_{n}, G') dual à \varprojlim\; \mathrm{Ext}^{r-1-i}(X', G', F'_{n}) \mathrm{Ext}^{r-1-i}(\hat{X}', \hat{G}', \hat{F}') \;?

le point d'interrogation est de sa main et porte sur l'identification elle-même : le passage à X' est ce dont il n'est pas sûr

Second encadré, de nouveau apparié :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathrm{Ext}^{i}_{a}(X, F, G) \arrow[r] & \mathrm{Ext}^{i}_{Y}(X; F, G) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\otimes" description] & \mathrm{Ext}^{i}_{Y'}(X'; F', G') \arrow[d, no head, "\otimes" description] \\ \mathrm{Ext}^{r-i}(\hat{X}, \hat{G}, \hat{F}) & \mathrm{Ext}^{r-i}_{a}(\hat{X}, \hat{G}, \hat{F}) \arrow[l] & \mathrm{Ext}^{r-1-i}(\hat{X}', \hat{G}', \hat{F}') \arrow[l] \end{tikzcd}

\mathrm{Ext}^{r-i}(\hat{X}, \hat{G}, \hat{F}) \simeq \mathrm{Ext}^{r-i}(X; G, F)

~~\mathrm{Ext}^{r-i}(X; G, F)~~

plus général

deux régions de cet encadré sont entourées au trait, sans que le feuillet dise ce que l'entourage retient

\mathrm{Ext}^{i}_{Y}(X; F, G) \longrightarrow \mathrm{Ext}^{i}_{Z}(X; F, G) \longrightarrow \mathrm{Ext}^{i}_{Z-Y}(X; F, G) \mathrm{Ext}^{r-1-i}_{a}\!\left(X_{/Y}; G_{/Y}, F_{/Y}\right) \longleftarrow \mathrm{Ext}^{r-1-i}_{a}\!\left(X_{/Z}; G_{/Z}, F_{/Z}\right) \longleftarrow X_{/Y} \longrightarrow X_{/Z}

second feuillet dactylographié, en tête « – III-5 – », annoté et souligné au feutre comme le précédent. Ce qu'il prouve — que la cohomologie du complémentaire de V(f) se calcule par le complexe de Koszul de la famille f — est exactement la machine dont les feuillets manuscrits se servent, ce qui est la raison pour laquelle ces deux feuillets sont transcrits et non passés

C^{p}(\mathfrak{U}, F) étant le groupe des p-cochaînes alternées de Čech, relativement au recouvrement \mathfrak{U} et à coefficients dans F, il résulte de ce qui précède que l'on peut écrire (11) \qquad C^{p}(\mathfrak{U}, F) = \varinjlim_{n}\; C^{p}_{n}(M) . Or, avec les notations du no 1, C^{p}_{n}(M) s'identifie à K^{p+1}(f, M), et l'application \varphi_{mn} s'identifie à l'application \varphi^{n-m} définie au no 1. On a donc, pour tout p \geqslant 0, un isomorphisme canonique fonctoriel en M (12) \qquad C^{p}(\mathfrak{U}, F) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; C^{p+1}\!\left((f), M\right) . La formule (3) du no 1 montre en outre que ces isomorphismes sont compatibles avec les opérateurs cobord. Il en résulte :

Proposition 2. Si X est un préschéma noethérien, ou un schéma dont l'espace de base est quasi-compact, il existe pour tout p \geqslant 1 un isomorphisme canonique fonctoriel en F (13) \qquad H^{p}(\mathfrak{U}, F) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; H^{p+1}\!\left((f), M\right) . On a en outre une suite exacte fonctorielle en F (14) \qquad 0 \to H^{0}\!\left((f), M\right) \to M \to H^{0}(\mathfrak{U}, F) \to H^{1}\!\left((f), M\right) \to 0 .

un préschéma est une addition manuscrite au-dessus de la ligne ; elle corrige « si X est noethérien » en « si X est un préschéma noethérien », et un membre de phrase tapé est biffé à la machine juste après

Les relations (13) sont en effet évidentes d'après ce qui précède. D'autre part, M = C^{0}((f), M) et C^{0}(\mathfrak{U}, F) = C^{1}((f), M), donc H^{0}(\mathfrak{U}, F) s'identifie au sous-groupe des 1-cocycles de C^{1}((f), M) ; la suite exacte (3) n'est autre alors que celle qui résulte de la définition des groupes de cohomologie H^{0}((f), M) et H^{1}((f), M).

Corollaire. Supposons qu'il existe des g_{i} \in \Gamma(\mathfrak{U}, \mathcal{O}_{X}) tels que \sum_{i=1}^{n} g_{i} f_{i} = 1 au-dessus de \mathfrak{U}. Alors, pour tout faisceau quasi-cohérent G sur \mathfrak{U}, on a H^{i}(\mathfrak{U}, G) = 0 pour i > 0 ; si en outre X = \mathfrak{U}, l'homomorphisme canonique M \to H^{0}(\mathfrak{U}, F) est bijectif. (les X_{f_{i}} = \mathfrak{U}_{i} étant par hypothèse quasi-compacts)

On peut en effet supposer X = \mathfrak{U}, et alors H^{i}((f), M) = 0 pour tout i \geqslant 0 (no 1, cor. de la prop. 1) ; l'assertion découle alors aussitôt de (13) et (14). On observera que puisque H^{0}(\mathfrak{U}, F) = H^{0}(\mathfrak{U}, F), on redémontre ainsi le

les additions au-dessus de \mathfrak{U}, celle qui résulte de, (pacts) — abrégeant quasi-compacts — et puisque sont toutes manuscrites, portées au-dessus de la ligne ou en marge

~~\mathrm{Ext}^{r-i}\!\left(\hat{P}, \Omega^{r}_{X_{P}}(-n)\right)~~

H^{r-i}\!\left(\hat{P}, \Omega^{r}_{P}(-n)\right)

~~H^{p}(\hat{P},~~ ~~H^{p}(\hat{P},~~

Encadré : H^{i}\!\left(\hat{P}, \Omega^{r}_{P}(-n)\right) = 0 \quad \text{si } 0 < i < r-m H^{r}\!\left(P, \Omega^{r}(-n)\right) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; H^{r}\!\left(\hat{P}, \hat{\Omega}^{r}(-n)\right) pour n grand, et (en somme) les remplaçant \Omega^{r}_{P} par \mathcal{O}_{P}

\Longleftrightarrow P - X est de dim. coh. r-m [ et pour grand ]

Les schémas formels s'introduisent en géométrie. Je les groupe de la façon suivante :

1)Techniquement, pour énoncer et prouver des th. généraux comme les deux th. fondamentaux des morphismes propres. 3)En théorie formelle des Modules, une notion de familles 2)En théorie des Lefschetz – Grauert, le plus couramment relations entre une variété (projective, ou locale) et son complété formel le long d'une « section hyperplane ». 4)En formalisme de dualité, les énoncés où les groupes de cohomologie H^{p}_{Y}(X, F) s'expriment par des \mathrm{Ext} ou H^{p} sur \hat{X} (complété formel le long de Y).

l'ordre est celui du feuillet, et il n'est pas croissant : l'item 3 est écrit avant l'item 2, une flèche partant de la marge gauche le rappelle vers le haut, et le 2 de l'item 2 est entouré. Le nom qui suit Lefschetz est écrit d'une main rapide ; les lettres sont compatibles avec Grauert, que la matière rendrait naturel, mais le feuillet ne le prouve pas

5)Théorie des groupes formels, où les th. la sont des schémas formels …

De plus, notons

6)Dans la théorie des types de Greenberg – Néron s'introduisent des schémas relatifs sur des anneaux, qui ne sont pas nécessairement des précédents …

Greenberg et Néron sont soulignés de sa main. Le feuillet s'arrête là : les deux tiers inférieurs en sont blancs, et le programme des six items n'a pas de suite dans le dossier