Cote n° 125 · pages 1–8 · Lecture modernisée · Dualité projective : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [avant 1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–8

Le dossier, sa charpente et ses notations

Huit feuillets, dont un de garde. Le feuillet 1 ne porte que le titre, de sa main : Dualité locale et dualité … projective, un mot étant biffé d'un pâté d'encre au milieu.¹

Les sept feuillets qui suivent sont deux documents entrelacés. Les feuillets 2, 4, 5, 7 et 8 sont de sa main. Les feuillets 3 et 6 sont deux pages d'un tapuscrit, numérotées III-18 et III-5, annotées à la main et surlignées au feutre jaune.²

Le dossier se lit en quatre stations :

• la carte des équivalences, qui est tout le contenu mathématique (feuillet 2) ;
• la machine dont elle se sert, portée par les deux feuillets dactylographiés (feuillets 3 et 6) ;
• le dictionnaire de la dualité, écrit sans un mot de prose, et les suites exactes appariées (feuillets 4 et 5) ;
• le programme en six points (feuillets 7 et 8).

Les notations sont fixées ici. \(P = \mathbf{P}^{n}\) est un espace projectif sur un corps \(k\), \(X \subset P\) une sous-variété de dimension \(r\), et \(Y \subset X\) un fermé de dimension \(m\), avec \(r > m > 0\). On note \(H^{*}_{Y}(X, F)\) la cohomologie locale à support dans \(Y\) — ce qui, dans \(X\), ne se voit que le long de \(Y\) — et \(\widehat{X}\) le complété formel de \(X\) le long de \(Y\). Le chapeau désigne partout cette complétion, et seulement elle : \(\widehat{F}\) est le complété du faisceau \(F\), \(\widehat{\Omega}^{r}\) celui des formes de degré maximal. Enfin \(J\) est l'idéal de \(Y\) et \(Y_{n}\) le sous-schéma défini par \(J^{n}\), de sorte que \(\widehat{X}\) est la limite des \(Y_{n}\).

Un mot sur le nombre \(r - m\), qui gouverne tout le dossier. C'est la codimension de \(Y\) dans \(X\). Elle apparaît de deux côtés : comme borne supérieure pour les degrés où la comparaison à \(\widehat{X}\) est bijective, et comme la dimension cohomologique du complémentaire \(P - X\). Les deux emplois sont les deux faces de la dualité, et c'est ce que le feuillet 2 organise.

2–2

La carte des équivalences (feuillet 2)

Le feuillet 2 n'est pas une rédaction : c'est un tableau. Six énoncés encadrés, reliés verticalement par des doubles flèches, chacune annotée en marge de ce qui la justifie ; et, dans la colonne de droite, à chaque étage, la réduction du cas général au cas \(F = \mathcal{O}(n)\) avec \(n\) grand.³

Le point de départ est la suite exacte de cohomologie locale, qu'il marque d'une astérisque et qui est le seul ingrédient formel du tableau : \[ \cdots \to H^{p}_{Y}(X, F) \to H^{p}(X, F) \to H^{p}(X - Y, F) \to H^{p+1}_{Y}(X, F) \to \cdots \] Elle dit exactement que ce qu'on perd en retirant \(Y\) est ce qui ne se voyait que le long de \(Y\) — et c'est elle qui fait passer d'un étage à l'autre de tout ce qui suit.

Les trois premiers étages sont les suivants.

Premier étage. \[ H^{p}(X - Y, F) = 0 \qquad \text{pour } p \geqslant m . \] Le complémentaire n'a pas de cohomologie au-delà du degré \(m\).

Deuxième étage. \[ H^{p}_{Y}(X, F) \longrightarrow H^{p}(X, F) \quad \text{bijectif pour } p > m, \ \text{surjectif pour } p = m . \] C'est le premier étage lu à travers la suite exacte : tuer la cohomologie du complémentaire, c'est identifier la cohomologie locale à la cohomologie totale.⁴

Troisième étage, relié au deuxième par une flèche portant, entourée d'un trait, le seul mot du feuillet : dualité. \[ \mathrm{Ext}^{q}_{\mathcal{O}_{\widehat{X}}}\!\left( \widehat{F}, \widehat{\Omega}^{r}_{X/k}\right) \;\longleftarrow\; \mathrm{Ext}^{q}_{\mathcal{O}_{X}}\!\left(F, \Omega^{r}_{X/k}\right) \quad \text{bijectif pour } q < r - m, \ \text{injectif pour } q = r-m . \]

C'est le pivot. Les deux énoncés — l'annulation de la cohomologie de \(X - Y\) au-delà du degré \(m\), et la bijectivité de la comparaison des \(\mathrm{Ext}\) à valeurs dans \(\Omega^{r}\) en dessous du degré \(r - m\) — sont le même énoncé, lu des deux côtés de la dualité de Serre. Les bornes se répondent comme il faut : \(p \geqslant m\) d'un côté, \(q < r - m\) de l'autre, et \(p + q = r\).⁵

Les deux étages suivants descendent du général au maniable : \[ H^{q}(X, \Omega(n)) \longrightarrow H^{q}(\widehat{X}, \widehat{\mathcal{O}}(n)), \qquad H^{q}(X, F) \longrightarrow H^{q}(\widehat{X}, \widehat{F}), \] tous deux bijectifs pour \(q < r-m\) et injectifs pour \(q = r - m\), le second pour \(F\) localement libre.⁶

Le bas du feuillet porte deux notes de sa main, l'une entourée d'un trait, l'autre en diagonale. La première ajoute que \[ H^{i}(\widehat{X}, \widehat{\mathcal{O}}(n)) = 0 \qquad \text{pour } n \text{ grand}, \ 0 < i < r-m , \] qui est l'annulation dont les étages précédents ont besoin. La seconde, sur cinq ou six lignes, n'est lisible que par fragments.

3–3

Un lemme de recollement, en tapuscrit annoté (feuillet 3)

Le feuillet 3, numéroté III-18, est une page d'un tapuscrit. Ce qu'elle démontre est un fait local que la théorie utilise constamment : si un homomorphisme de faisceaux cohérents induit un isomorphisme sur les germes en un point, il en induit un sur tout un voisinage.

La page construit un homomorphisme \(u : A^{n} \to B\) entre faisceaux quasi-cohérents sur \(Y\), à partir d'une base \((d_{i} \otimes 1)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) de la fibre, relevée en des sections globales \(b_{i}\).⁷ Elle conclut :

il existe un voisinage ouvert \(V\) de \(y\) tel que la restriction \(u|V\) soit un isomorphisme \(A^{n}|V \to B|V\).

L'argument est en deux temps : noyau et conoyau de \(u\) sont cohérents, et un faisceau cohérent dont le germe en un point est nul est nul au voisinage de ce point. C'est le second temps qui demande la cohérence, et la marge le dit — c'est la seule annotation du feuillet qui ajoute une justification et non une correction :

puisque \(Y\) est noethérien et \(B\) de type fini par hypothèse

4–5

Le dictionnaire, et les suites appariées (feuillets 4 et 5)

Le feuillet 4 est un demi-feuillet — le bas en est arraché — et il n'y a pas un mot de prose dessus. C'est le dictionnaire de la dualité, écrit en cinq lignes.

La cohomologie locale se calcule dans l'ambiant projectif, et comme une limite inductive sur les voisinages infinitésimaux : \[ H^{p}_{Y}(X, F) \;\simeq\; H^{p}_{Y}(P, F) \;=\; \varinjlim_{n} \mathrm{Ext}^{p}_{P}\!\left(\mathcal{O}_{Y_{n}}, F\right), \] tandis que la cohomologie du complémentaire est la même limite prise sur les puissances de l'idéal : \[ H^{p}(X - Y, F) \;=\; \varinjlim_{n} \mathrm{Ext}^{p}_{P}\!\left(J^{n}, F\right). \] Le dual de la première est une limite projective, et c'est là que le complété formel apparaît : \[ \varprojlim_{n} \mathrm{Ext}^{r-p}_{P}\!\left(F, \mathcal{O}_{Y_{n}} \otimes \Omega^{r}_{P/k}\right) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathrm{Ext}^{r-p}_{P}\!\left(\widehat{F}, \widehat{\Omega}^{r}_{P}\right). \] La lecture est directe : passer au dual échange limite inductive et limite projective, et une limite projective de voisinages infinitésimaux est le complété formel. C'est ce seul échange qui fait toute la dualité du dossier.⁸

Le feuillet 5 fait la même chose pour des paires, et c'est là que l'appariement est écrit explicitement. Il porte deux suites exactes longues l'une sous l'autre, reliées terme à terme par des croix :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  \mathrm{Ext}^{i}(X, F, G) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\times" description]
  & \mathrm{Ext}^{i}(X', F', G') \arrow[r] \arrow[d, no head, "\times" description]
  & \mathrm{Ext}^{i+1}(X, F, G) \arrow[d, no head, "\times" description] \\
  \mathrm{Ext}^{r-i}_{a}(X, G, F)
  & \mathrm{Ext}^{r-i}(X', G', F') \arrow[l]
  & \mathrm{Ext}^{r-1-i}(X, G, F) \arrow[l]
\end{tikzcd}

Les traits verticaux ne sont pas des flèches : ce sont les croix par lesquelles il note l'accouplement de dualité entre les deux lignes, et c'est la raison pour laquelle la dualité a été énoncée plus haut comme un accouplement et non comme une égalité.⁹

Puis, pour les versions à support : \[ \mathrm{Ext}^{i}_{Y}(X; F, G) = \varinjlim_{n} \mathrm{Ext}^{i}(X, F_{n}, G), \] duale de \[ \varprojlim_{n} \mathrm{Ext}^{r-i}_{a}(X, G, F_{n}) \;\simeq\; \mathrm{Ext}^{r-i}(\widehat{X}, \widehat{G}, \widehat{F}), \] et la même chose pour la paire accentuée \((X', Y')\) — mais là il s'arrête et porte un point d'interrogation de sa main.¹⁰

Le feuillet se termine sur une variante à trois termes, où \(Y \subset Z\) et où l'on compare les supports : \[ \mathrm{Ext}^{i}_{Y}(X; F, G) \to \mathrm{Ext}^{i}_{Z}(X; F, G) \to \mathrm{Ext}^{i}_{Z-Y}(X; F, G), \] duale d'une suite sur les complétés le long de \(Y\) et de \(Z\), avec le morphisme \(\widehat{X}_{/Y} \to \widehat{X}_{/Z}\) pour la relier. Il écrit en marge « plus général », et c'est en effet la forme dont les deux précédentes sont des cas particuliers.

6–6

La machine : cohomologie d'un complémentaire (feuillet 6)

Le feuillet 6, numéroté III-5, est la seconde page de tapuscrit, et c'est celle qui justifie que le dossier les garde toutes deux. Elle démontre que la cohomologie du complémentaire d'un lieu d'annulation se calcule par un complexe de Koszul.

Soit \(f = (f_{1}, \ldots, f_{n})\) une famille de fonctions et \(\mathfrak{U}\) le recouvrement par les ouverts \(X_{f_{i}}\). Le groupe des \(p\)-cochaînes alternées de Čech s'écrit comme une limite inductive, et s'identifie à un cran du complexe de Koszul : \[ C^{p}(\mathfrak{U}, F) = \varinjlim_{n} C^{p}_{n}(M), \qquad C^{p}(\mathfrak{U}, F) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; C^{p+1}\!\left((f), M\right). \] Ces isomorphismes étant compatibles aux cobords, on obtient :

Proposition. Si \(X\) est un préschéma noethérien, ou un schéma dont l'espace de base est quasi-compact, il existe pour tout \(p \geqslant 1\) un isomorphisme canonique fonctoriel \[ H^{p}(\mathfrak{U}, F) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; H^{p+1}\!\left((f), M\right), \] et une suite exacte \[ 0 \to H^{0}((f), M) \to M \to H^{0}(\mathfrak{U}, F) \to H^{1}((f), M) \to 0 . \]

Le mot « préschéma » de cet énoncé est une addition manuscrite portée au-dessus de la ligne : le tapuscrit disait « si \(X\) est noethérien », la main corrige en « si \(X\) est un préschéma noethérien ». C'est la correction d'un énoncé et non d'une coquille — sans elle, l'hypothèse porte sur le mauvais objet.

Le décalage d'un degré entre \(H^{p}\) et \(H^{p+1}\) est ce qui rend cette page utile au reste du dossier : c'est lui qui transporte les annulations sur \(X - Y\) en annulations du complexe de Koszul, et réciproquement. Le corollaire qui suit en donne le cas dégénéré : si les \(f_{i}\) engendrent l'idéal unité au-dessus de \(\mathfrak{U}\), alors \(H^{i}(\mathfrak{U}, G) = 0\) pour tout \(i > 0\) et tout \(G\) quasi-cohérent.¹¹

7–8

Le programme en six points (feuillets 7 et 8)

Le haut du feuillet 7 achève encore de la mathématique — un encadré donnant, pour \(n\) grand, \[ H^{i}\!\left(\widehat{P}, \Omega^{r}_{P}(-n)\right) = 0 \quad \text{si } 0 < i < r-m, \qquad H^{r}\!\left(P, \Omega^{r}(-n)\right) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; H^{r}\!\left(\widehat{P}, \widehat{\Omega}^{r}(-n)\right), \] avec en marge l'équivalence qui compte : cela revient à dire que \(P - X\) est de dimension cohomologique \(r - m\).¹²

Puis le dossier change de nature. Le reste des feuillets 7 et 8 ne démontre rien : c'est une liste.

Les schémas formels s'introduisent en géométrie. Je les groupe de la façon suivante :

La phrase est écrite vite et deux de ses mots sont douteux : le complément de « s'introduisent en » et le verbe qui ouvre la seconde proposition. Le sens, lui, ne l'est pas — ce qui suit est un inventaire des emplois de la notion.

1. 1)Techniquement, pour énoncer et prouver des théorèmes généraux comme les deux théorèmes fondamentaux des morphismes propres.¹³
2. 3)En théorie formelle des Modules, pour une notion de familles …¹⁴
3. 2)En théorie de Lefschetz, la relation entre une variété (projective, ou locale) et son complété formel le long d'une « section hyperplane ».¹⁵
4. 4)En formalisme de dualité, pour les énoncés où les groupes de cohomologie locale \(H^{p}_{Y}(X, F)\) s'expriment par des \(\mathrm{Ext}\) ou des \(H^{p}\) sur \(\widehat{X}\), complété formel le long de \(Y\). C'est le sujet des six premiers feuillets, ici réduit à une ligne de la liste.
5. 5)Théorie des groupes formels, où les théorèmes … sont … des schémas formels.¹⁶
6. 6)Dans la théorie des types de Greenberg–Néron s'introduisent des schémas relatifs sur des anneaux qui ne sont pas nécessairement ceux des points précédents.

Le dernier point est le seul que le dossier introduise par « De plus, notons », comme un ajout après coup, et les deux noms y sont soulignés de sa main. Il désigne le foncteur de Greenberg, qui transporte un schéma sur un anneau de valuation discrète complet vers un schéma sur le corps résiduel, et les modèles de Néron, où l'objet à construire est déterminé par une propriété universelle sur la base et non par des équations. Ce que les deux ont de commun avec le reste de la liste, c'est que l'anneau de base y est complet — donc formel.¹⁷