Résumé de quelques résultats de Kostant
titre de sa main, en haut à droite de la page 42, qui ne porte rien
d'autre : c'est une chemise, elle ne reçoit donc pas de page. Les
pages 43 à 47 sont écrites au propre et se lisent presque en entier.
G groupe semi-simple adjoint sur une base S, de type constant.
(i) À tout couple de Killing (T, B) dans G, on associe un hom.
\mathbf{G}_{m} \xrightarrow{\ i\ } G par descente à partir du cas où le
système de racines sur T est déployé, donc où
T \simeq \mathbf{G}_{m}^{\Sigma} (\Sigma ens. des racines simples),
quand d'où
\operatorname{Hom}(\mathbf{G}_{m}, \uncertain{T}) \simeq \mathbf{Z}^{\Sigma} :
on prend l'élément dont toutes les coordonnées sont 1. Le centralisateur
d'un tel hom. (i.e. d'un tel sous-tore) est est T, donc
que fournit le couple de Killing.
On appelle hom hom. principal de \mathbf{G}_{m} dans G
un hom. tel qu'il existe un couple de Killing auquel il soit associé. Ce
couple est alors unique [i est régulier], et par suite la condition
envisagée sur i est locale pour fppf. Il y a corr. biunivoque entre hom.
principaux \mathbf{G}_{m} \to G et couples de Killing.
(i bis) Le sous-tore normalisateur de i(\mathbf{G}_{m}) Si i est
principal, i^{-1} = [\lambda \mapsto i(\lambda^{-1})] est
principal aussi, et il est associé au couple de Killing opposé. Le
normalisateur de i(\mathbf{G}_{m}) est le sous-groupe N_{1}(T) de N(T)
image inverse du sous-groupe \simeq (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})_{S} de W
engendré par l'élément w_{(T,B)} de W qui envoie B sur le Borel opposé.
(r \geqslant 1 !)
« N_{1}(T) » est interlinéaire ; « est principal » est ajouté à
l'encre brune au-dessus de la ligne.
Sous-tore de rang 1 principal : qui loc. fppf est
l'image d'un hom. principal \Longleftrightarrow qui sur un revêt. étale
galoisien principal de groupe \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} est
.
Il y a correspondance biunivoque entre ces sous-tores et les sections de
\mathrm{Kill}/(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) [N.B. « le » W opère sur
\mathrm{Kill}, et dans W il y a « le » élément w d'ordre 2 qui
transforme la B chambre de Weyl (standard) en son
opposée, c'est par ce w qu'on divise] : couples d'un tore maximal et d'un
couple de Borel opposés le contenant (mais ces Borels n'étant pas néc.
définis séparément sur S).
(ii) Soit i : \mathbf{G}_{m} \to G un hom. principal. Il induit un hom.
\mu_{h} \to G , h le nb de Coxeter.
G simple ?
Un hom. K est dit hom. de Kostant si loc. fppf (ou ét. f., ceci
revient au même, comme on voit aussitôt) il est obtenu à partir d'un hom.
principal. Le Alors K est régulier, i.e. le centralisateur
connexe de K est un tore maximal. Faisant opérer \mu_{h} sur
\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G), la graduation de type
\mathbf{Z}/h\mathbf{Z} correspondante de \mathfrak{g} donne comme
composante de degré 0 une est
égale a comme rang le nombre de racines positives dont l'ordre est
\equiv j \pmod{h}, i.e. dont l'ordre est j ou j - h ; en fait, si K
est associé à un couple de Killing, déployé avec syst. de racines
associé à T déployé, alors
la composante \mathfrak{g}^{j} (1 \leqslant j \leqslant h) de
\mathfrak{g} relative au caractère \chi^{j} est
\sum_{\substack{\alpha \in R\\ o(\alpha) = j}} \mathfrak{g}_{\alpha}
\;+\; \sum_{\substack{\alpha \in R\\ o(\alpha) = j-h}} \mathfrak{g}_{\alpha}.
En particulier \mathfrak{g}^{1} est de rang r + 1 (r = rang).
Le centralisateur G^{K} = N(T)^{K} de K est un sous-groupe fermé de
N(T), image inverse du sous-groupe W W_{K} de W,
centralisateur stabilisateur de K dans W. Kostant dit que le rang
de W_{K} est égal à celui du centre de \widetilde{G}, et on peut espérer
qu'il soit isomorphe à \overline{P/R}, P = \widehat{T} = réseau des
poids, R = réseau des racines,
La donnée d'un
K : \mu_{h} \longrightarrow T
de Kostant dans un tore maximal défini par le système de racines
R(T) de ce équivaut à la donnée d'un système de racines \Sigma'
\mathbf{Q}-simples, \mathbf{Q}-base ;
l'ens. des racines \alpha telles que \mathfrak{g}_{\alpha} \subset
\mathfrak{g}^{1} (\mathfrak{g}^{1} désignant la composante de
\mathfrak{g} relative au car. \chi_{1} de \mu_{h}). En fait, K est
connu quand on connaît
Je vérifie aussi, dans le cas déployé, que le centralisateur
stabilisateur W_{K} de K dans W est égal (a priori il est \subset) au
stabilisateur de \Sigma' dans W, i.e. l'ensemble des w \in W tels que
w(\Sigma) \subset \Sigma', i.e. tels que w transforme toutes les racines
de \Sigma en
racines de \Sigma, sauf une qui est transformée en -\psi (\psi = plus
grande racine).
Déterminer aussi le normalisateur de K, et l'action de
\operatorname{Norm}(K)/\operatorname{Zent}(K) sur \mu_{h} ;
transitive dans
\operatorname{Aut}(\mu_{h}) = (\mathbf{Z}/h\mathbf{Z})^{*} ?
(iii) Soit
a) Toute section \sum x^{\alpha} \in \Gamma\mathfrak{g}^{1}
(x^{\alpha} \in \Gamma\mathfrak{g}^{\alpha}) telle que les x^{\alpha} ne
s'annulent pas est semi-simple régulière.
il écrit « ½ simple » pour semi-simple.
b) Si un des x^{\alpha} est nulle, elle est nilpotente.
c) Soient deux droites D, D' \subset \check{V}(\mathfrak{g}^{1})^{ss}, qui
soient loc. \operatorname{Isom}_{\underline{0}}(D \xrightarrow{\sim} D')
\mu_{h}-torseur la fibre des t \in T une canonique
(savoir
(iv) Droites cycliques D \subset \check{V}(\mathfrak{g}) : qui loc.
fppf sont propres de caractère \chi_{1} sous
\mu_{h} \xrightarrow{\ K\ } G, K étant de Kostant. Les droites cycliques
sont donc conjuguées. Si D est une droite cyclique, alors (sous réserve que
ce soit unique) \operatorname{Zent}^{0}(D) est un tore maximal
T', et \operatorname{Norm}(D) est un sous-groupe de N' = N(T')
contenant T', qui est l'image inverse d'un sous-groupe de
W' = N(T')/T' qui est étale d'ordre h sur S, et à fibres
cycliques fini can. isom. à \mu_{h} (dans le sur S) et
dont un générateur correspond à un élément de Coxeter.
« fini » (biffé) puis « can. isom. à » sont interlinéaires, au-dessus
du passage biffé. Le reste de la page est blanc.