Cote n° 123 · batch 3 · pages 41–47 · Transcription · [Autour de Kostant] : tapuscrits (s.d.), notes manuscrites (s.d.), lettre (1969).
Datation de l’inventaire : 1969
Édition de démonstration

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la page reprend au milieu d'une phrase commencée à la page 40. Écriture rapide, très reprise ; les mots de liaison se perdent souvent, les formules passent.

[…] dans \(\mathfrak{g}\) sous \(G\)), donc les droites « plus générales », si \(g\) est un […] élément régulier principal de \(G\), alors les droites propres sous \(g\) de \(\mathfrak{g}\) de valeur propre une racine primitive \(h\)-ième exacte, […] \(g\) est régulier principal, et les droites en question sont conjuguées. On appelle de telles droites de \(\mathfrak{g}\) cycliques, les points correspondants (\(\neq 0\)) de \(\mathfrak{g}\) cycliques. On en construit, avec un couple de Killing donné, en prenant \[ \sum_{1}^{r} \lambda_{i}\, e_{\alpha_{i}} + \mu\, e_{-\psi}, \] les \(\lambda_{i}\) et \(\mu\) tous \(\neq 0\) (\(\psi\) la plus haute racine).

Le centralisateur d'un élément cyclique \(x\) de \(\mathfrak{g}\) est un tore maximal \(T\), le centralisateur est un groupe […] \(T'\) entre \(T\) et \(N(T)\) (ce qui […] il dépend de la droite \(D\) engendrée par \(x\)) ; le normalisateur de \(D\) dans \(G\) est un groupe \(\widetilde{T}\), \(T \subset \widetilde{T} \subset N(T)\), \(\widetilde{T}\) correspondant à l'élément de Coxeter, donc n'est pas réduit à \(T\). Il faudrait […] déterminer les s.-groupes correspondants d'ordre \(h\), multiples de \(h\), donc […] \(\widetilde{W}\) de \(W\) ([…] \(\widetilde{W} \subset \mathbf{C}^{*}\) […] un groupe cyclique ; […]) d'ordre \(h\), grâce à la propriété maximale de l'élément de Coxeter, […] il est engendré par l'élément de Coxeter. […] les segments « d'ordre \(h\), multiples de \(h\) … » et « \(h\), grâce à la propriété maximale de l'élément de Coxeter » sont interlinéaires ; leur point d'insertion exact dans la phrase n'est pas sûr.

[…] Si \(D\) est une droite cyclique, alors \(\mathbf{D}/\mu_{h} \simeq \mathbf{E}^{1}\) canoniquement [se vérifie sur un cas quasi-déployé, et dans ce cas on a un élément privilégié cyclique canonique \(\sum_{i} e_{\alpha_{i}} + e_{-\psi}\)]. Donc […] les éléments cycliques qui donnent \(1\) dans \(\mathbf{E}\) \(\mathbf{E}(D) \simeq \mathbf{E}^{1}\), […] voilà les éléments cycliques principaux (déjà définis à priori au choix d'un signe […] près, si \(x\) est principal, […] est une racine primitive \(2h\)-ième […]). Les éléments forment un torseur sous \(G\), de stabilisateur un tore maximal \(T'\). Dans le groupe […], […] […] élément de la forme \(\sum e_{\alpha_{i}} - e_{-\psi}\), […] Mais peut-on choisir un gén. can. de \(e_{-\psi}\) ? i.e. la puissance […] […] d'un groupe épinglé (comparer […]) implique-t-il l'identité […] […] \(P_{-\psi} \simeq P_{\psi}\) ? […] la note marginale, à gauche en bas de page, est écrite en oblique et reliée par un trait au membre \(e_{-\psi}\) ; un « ? » entouré, en face de « stabilisateur », est relié à la même ligne.

N.B. […] centralisateur d'un […] contient un élément régulier […] tore maximal note de la marge gauche, en face de la première proposition sur le centralisateur. Plus haut dans la même marge, une note écrite verticalement est entièrement biffée et ne se lit pas.

e) Considérons les couples \((T, \gamma)\) d'un tore maximal \(T\) de \(G\) et d'un élément \(\gamma \in N(T)\) dont l'image dans \(W\) est un élément de Coxeter. Deux tels couples sont conjugués [[…]] la page s'arrête sur cet énoncé ; la justification entre crochets ne se lit pas.

Résumé de quelques résultats de Kostant

titre de sa main, en haut à droite de la page 42, qui ne porte rien d'autre : c'est une chemise, elle ne reçoit donc pas de page. Les pages 43 à 47 sont écrites au propre et se lisent presque en entier.

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\(G\) groupe semi-simple adjoint sur une base \(S\), de type constant.

(i) À tout couple de Killing \((T, B)\) dans \(G\), on associe un hom. \(\mathbf{G}_{m} \xrightarrow{\ i\ } G\) par descente à partir du cas où le système de racines sur \(T\) est déployé, donc où \(T \simeq \mathbf{G}_{m}^{\Sigma}\) (\(\Sigma\) ens. des racines simples), quand d'où \(\operatorname{Hom}(\mathbf{G}_{m}, \uncertain{T}) \simeq \mathbf{Z}^{\Sigma}\) : on prend l'élément dont toutes les coordonnées sont \(1\). Le centralisateur d'un tel hom. (i.e. d'un tel sous-tore) est est \(T\), donc […] que fournit le couple de Killing.

On appelle hom hom. principal de \(\mathbf{G}_{m}\) dans \(G\) un hom. tel qu'il existe un couple de Killing auquel il soit associé. Ce couple est alors unique [\(i\) est régulier], et par suite la condition envisagée sur \(i\) est locale pour fppf. Il y a corr. biunivoque entre hom. principaux \(\mathbf{G}_{m} \to G\) et couples de Killing.

(i bis) Le sous-tore normalisateur de \(i(\mathbf{G}_{m})\) Si \(i\) est principal, \(i^{-1} = [\lambda \mapsto i(\lambda^{-1})]\) est principal aussi, et il est associé au couple de Killing opposé. Le normalisateur de \(i(\mathbf{G}_{m})\) est le sous-groupe \(N_{1}(T)\) de \(N(T)\) image inverse du sous-groupe \(\simeq (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})_{S}\) de \(W\) engendré par l'élément \(w_{(T,B)}\) de \(W\) qui envoie \(B\) sur le Borel opposé. (\(r \geqslant 1\) !) « \(N_{1}(T)\) » est interlinéaire ; « est principal » est ajouté à l'encre brune au-dessus de la ligne.

Sous-tore de rang \(1\) principal : qui loc. fppf est l'image d'un hom. principal \(\Longleftrightarrow\) qui sur un revêt. étale galoisien principal de groupe \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) est […].

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Il y a correspondance biunivoque entre ces sous-tores et les sections de \(\mathrm{Kill}/(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\) [N.B. « le » \(W\) opère sur \(\mathrm{Kill}\), et dans \(W\) il y a « le » élément \(w\) d'ordre \(2\) qui transforme la B chambre de Weyl (standard) en son opposée, c'est par ce \(w\) qu'on divise] : couples d'un tore maximal et d'un couple de Borel opposés le contenant (mais ces Borels n'étant pas néc. définis séparément sur \(S\)).

(ii) Soit \(i : \mathbf{G}_{m} \to G\) un hom. principal. Il induit un hom. \(\mu_{h} \to G\) […], \(h\) le nb de Coxeter. \(G\) simple ?

Un hom. \(K\) est dit hom. de Kostant si loc. fppf (ou ét. f., ceci revient au même, comme on voit aussitôt) il est obtenu à partir d'un hom. principal. Le Alors \(K\) est régulier, i.e. le centralisateur connexe de \(K\) est un tore maximal. Faisant opérer \(\mu_{h}\) sur \(\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)\), la graduation de type \(\mathbf{Z}/h\mathbf{Z}\) correspondante de \(\mathfrak{g}\) donne comme composante de degré \(0\) une […] sous-algèbre de Cartan \(\mathfrak{t} = \operatorname{Lie}(T)\), \(T = \operatorname{Cent}^{0}(i_{h})\), et la composante de degré \(j\), \(1 \leqslant j \leqslant h-1\), est égale a comme rang le nombre de racines positives dont l'ordre est \(\equiv j \pmod{h}\), i.e. dont l'ordre est \(j\) ou \(j - h\) ; en fait, si \(K\) est associé à un couple de Killing, déployé avec syst. de racines associé à \(T\) déployé, alors

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la composante \(\mathfrak{g}^{j}\) (\(1 \leqslant j \leqslant h\)) de \(\mathfrak{g}\) relative au caractère \(\chi^{j}\) est \[ \sum_{\substack{\alpha \in R\\ o(\alpha) = j}} \mathfrak{g}_{\alpha} \;+\; \sum_{\substack{\alpha \in R\\ o(\alpha) = j-h}} \mathfrak{g}_{\alpha}. \] En particulier \(\mathfrak{g}^{1}\) est de rang \(r + 1\) (\(r\) = rang).

Le centralisateur \(G^{K} = N(T)^{K}\) de \(K\) est un sous-groupe fermé de \(N(T)\), image inverse du sous-groupe \(W\) \(W_{K}\) de \(W\), centralisateur stabilisateur de \(K\) dans \(W\). Kostant dit que le rang de \(W_{K}\) est égal à celui du centre de \(\widetilde{G}\), et on peut espérer qu'il soit isomorphe à \(\overline{P/R}\), \(P = \widehat{T}\) = réseau des poids, \(R\) = réseau des racines, […] ou à son dual […] à valeurs dans \(\mathbf{Q}/\mathbf{Z}\). « \(G^{K} = N(T)^{K}\) » est interlinéaire.

La donnée d'un \[ K : \mu_{h} \longrightarrow T \] de Kostant dans un tore maximal défini par le système de racines \(R(T)\) de ce […] équivaut à la donnée d'un système de racines \(\Sigma'\) \(\mathbf{Q}\)-simples, […] \(\mathbf{Q}\)-base ; l'ens. des racines \(\alpha\) telles que \(\mathfrak{g}_{\alpha} \subset \mathfrak{g}^{1}\) (\(\mathfrak{g}^{1}\) désignant la composante de \(\mathfrak{g}\) relative au car. \(\chi_{1}\) de \(\mu_{h}\)). En fait, \(K\) est connu quand on connaît […] \(\Sigma' \subset R\), […] si \(h > 2\) […]. « \(R(T)\) de ce » et « \(\mathbf{Q}\)-simples » sont interlinéaires, soulignés d'un trait qui les rattache à la ligne ; la fin du paragraphe porte un passage encadré et biffé, illisible.

Je vérifie aussi, dans le cas déployé, que le centralisateur stabilisateur \(W_{K}\) de \(K\) dans \(W\) est égal (a priori il est \(\subset\)) au stabilisateur de \(\Sigma'\) dans \(W\), i.e. l'ensemble des \(w \in W\) tels que \(w(\Sigma) \subset \Sigma'\), i.e. tels que \(w\) transforme toutes les racines de \(\Sigma\) en

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racines de \(\Sigma\), sauf une qui est transformée en \(-\psi\) (\(\psi\) = plus grande racine).

Déterminer aussi le normalisateur de \(K\), et l'action de \(\operatorname{Norm}(K)/\operatorname{Zent}(K)\) sur \(\mu_{h}\) ; transitive dans \(\operatorname{Aut}(\mu_{h}) = (\mathbf{Z}/h\mathbf{Z})^{*}\) ?

(iii) Soit […] \(K : \mu_{h} \to T\) un hom. principal. Considérons comme dessus \(\mathfrak{g}^{1}\) \(\bigl\{= \sum_{\alpha \in Q} \mathfrak{g}^{\alpha}\) (qui dépend de \(K\))\(\bigr\}\). Kostant prouve (en car. \(0\)) :

a) Toute section \(\sum x^{\alpha} \in \Gamma\mathfrak{g}^{1}\) (\(x^{\alpha} \in \Gamma\mathfrak{g}^{\alpha}\)) telle que les \(x^{\alpha}\) ne s'annulent pas est semi-simple régulière. il écrit « ½ simple » pour semi-simple.

b) Si un des \(x^{\alpha}\) est nulle, elle est nilpotente.

c) Soient deux droites \(D, D' \subset \check{V}(\mathfrak{g}^{1})^{ss}\), qui soient loc. […] dans cas a). Alors \(\exists\, t \in \Gamma T\) telle que \(D' = \operatorname{ad}(t).D\) [sans unicité : le stabilisateur dans \(T\) d'une \(D\) comme dessus est \(K(\mu_{h})\), donc \(t\) est une section canonique de \(T/K(\mu_{h})\). […] aussi que dans […] […] \(\operatorname{Isom}_{\underline{0}}(D \xrightarrow{\sim} D')\) […] \(\mu_{h}\)-torseur […] la fibre des \(t \in T\) […] une canonique (savoir […] la […] qui envoie \(D\) dans \(D'\)), et pour un […] donné de \(D\) avec \(D'\) dans cette classe, il \(\exists!\) (unique) \(t \in T\) qui l'induit [cette information résulte du fait que […] de \(T\) qui […] l'identité sur \(D\) est la section \(1\)]]. le dernier crochet est ajouté à l'encre brune. Dans la marge gauche, en face de a) à c), une note oblique au crayon ne se lit pas.

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(iv) Droites cycliques \(D \subset \check{V}(\mathfrak{g})\) : qui loc. fppf sont propres de caractère \(\chi_{1}\) sous \(\mu_{h} \xrightarrow{\ K\ } G\), \(K\) étant de Kostant. Les droites cycliques sont donc conjuguées. Si \(D\) est une droite cyclique, alors (sous réserve que ce soit unique) \(\operatorname{Zent}^{0}(D)\) est un tore maximal \(T'\), et \(\operatorname{Norm}(D)\) est un sous-groupe de \(N' = N(T')\) contenant \(T'\), qui est l'image inverse d'un sous-groupe de \(W' = N(T')/T'\) qui est étale d'ordre \(h\) sur \(S\), et à fibres cycliques fini can. isom. à \(\mu_{h}\) (dans le […] sur \(S\)) et dont un générateur correspond à un élément de Coxeter. « fini » (biffé) puis « can. isom. à » sont interlinéaires, au-dessus du passage biffé. Le reste de la page est blanc.