Cote n° 123, pages 1–20

Cote n° 123 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Autour de Kostant] : tapuscrits (s.d.), notes manuscrites (s.d.), lettre (1969).
Édition de démonstration

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Compléments sur la transformation de Coxeter (d'après Kostant)

pages 1 et 2 : deux feuillets dactylographiés, corrigés et annotés à l'encre de sa main. Le titre ci-dessus est celui de l'éditeur ; le titre dactylographié ouvre la page 1. Les fautes de frappe corrigées à la machine (lettres ou mots recouverts de x) ne sont pas relevées, sauf quand le mot recouvert se lit et que la correction change le sens.

1Compléments sur transformation de Coxeter d'un système de racines irréductible (Kostant). The principal 3-dimensional subgroup … Th. 9.2 les deux ajouts sont à l'encre : irréductible, entouré, est appelé par un trait devant « (Kostant) » ; la ligne anglaise est écrite sous le titre et renvoie, semble-t-il, au titre de l'article de Kostant et à son théorème 9.2.

a) Soit $w\in W$. Alors toute valeur propre de $w$ est une racine de $1$ d'ordre divisant un des entiers $m_i+1$ (où les $m_i$ sont les exposants caractéristiques), donc d'ordre $\leqslant h$. Pour qu'il y en ait une qui soit d'ordre $h$, il faut et suffit que $w$ soit une transformation de Coxeter, et [alors] les éléments non nuls du sous-espace propre correspondant (qui est de dim. 1) sont des éléments réguliers. « alors » est ajouté à l'encre au-dessus de la ligne ; la note marginale gauche est appelée par un signe d'insertion après « correspondant ».

Corollaire 1 : Soit $\mu$ le sous-groupe de $W$ engendré par un élément de Coxeter $c$, donc $\mu\simeq \mathbf{Z}/h\mathbf{Z}$. Alors $\mu$ est égal au centralisateur de $c$, donc de $\mu$, et si $\nu$ est le normalisateur de $\mu$, l'homomorphisme \[\nu/\mu \longrightarrow \operatorname{Aut}(\mu)\simeq(\mathbf{Z}/h\mathbf{Z})^{*}\] est un isomorphisme ; en d'autres termes, pour tout entier $n$ premier à $h$, il existe un $w\in W$ tel que $wcw^{-1}=c^{h}$, et $w$ est déterminé $\operatorname{mod}\mu$. le tapuscrit porte bien $c^{h}$ ; le sens, et la phrase qui suit (« si $n$ est un entier premier à $h$, alors $c^{n}$ est conjugué de $c$ »), demandent $c^{n}$. Non corrigé ici. Les lettres $\mu$, $\nu$ et les symboles $\simeq$, $\in$ sont ajoutés à la main dans les blancs de la frappe. Quelle extension de $(\mathbf{Z}/h\mathbf{Z})^{*}$ par $\mathbf{Z}/h\mathbf{Z}$ obtient-on ? échanger avec cor. 3 ? la première note est dans la marge droite, en face de l'isomorphisme ; la seconde dans la marge gauche, le long d'un trait vertical qui tient tout l'énoncé du corollaire 1.

Soit en effet $D$ [le sous-espace] propre sous $c$ correspondant à une racine primitive $h$.ème de $1$. Alors $\dim D=1$ (prop. 30), et $\mathfrak{z}=\operatorname{Centr}(\mu)$ normalise $D$, d'où un homomorphisme $\mathfrak{z}\to\operatorname{Aut}(D)=\mathbf{C}^{*}$, dont l'image est un sous-groupe fini de $\mathbf{C}^{*}$, contenant l'image (isomorphe) de $\mu$, donc cyclique d'ordre un multiple de $h$. Grâce à Kostant, son ordre est égal à $h$, et on a donc trouvé une rétraction $\mathfrak{z}\to\mu$, il faut prouver que son noyau est réduit à $1$. Or si $w$ est dans ce noyau, il induit centralise $D$, et comme $D$ est régulière par Kostant, cela implique $w=1$. On a donc prouvé $\mathfrak{z}=\mu$. Reste à prouver que si $n$ est un entier premier à $h$, alors $c^{n}$ est conjugué de $c$, ce qui résulte également de Kostant. « le sous-espace » est écrit à la main au-dessus d'un mot recouvert à la machine. La lettre gothique notée ici $\mathfrak{z}$ est une figure de 3 bouclée, ajoutée à la main.

Corollaire. Soit $c$ un élément de Coxeter, et $\lambda$ une valeur propre de $c$, correspondant à un vecteur propre $x$. Pour que $x$ soit régulier, il faut et il suffit que $\lambda$ soit une racine primitive $h$.ème de $1$. un trait vertical, dans la marge gauche, tient cet énoncé.

La suffisance a déjà été énoncée avec le th. de Kostant. Pour la nécessité, soit $h'\leqslant h$ l'ordre de la valeur propre, alors $c^{h'}$ centralise $x$, donc, $x$ étant régulier, on a $c^{h'}=1$, donc $h'=h$, cqfd.

Corollaire. Soit D une Considérons droite régulière[s] dans $V\otimes\mathbf{C}$ telle qu'il existe un élé- deux débuts se superposent à la frappe, « Soit D une » et, au-dessus, « Considérons », tous deux recouverts de caractères ; la phrase reprend à « droite régulières ». La lecture voulue est vraisemblablement « Soit $D$ une droite régulière ».

2ment de Coxeter [$c$] de $W$ qui la normalise. Alors le normalisateur de $D$ dans $W$ est le groupe engendré par $c$, et il existe une unique élément de Coxeter de $W$ normalisant $D$ et y ayant pour valeur propre une racine $h$.ème primitive donnée de $1$. Les droites régulières $D$ ayant la propriété précédente (appelées « droites cycliques » par Kostant) sont conjuguées sous $W$, leur nombre est égal à $\operatorname{card}(W)/h$. le $c$ est ajouté à l'encre ; « $h$.ème » est frappé au-dessus de la ligne.

NB Dans l'ensemble des droites cycliques, le groupe $(\mathbf{Z}/h\mathbf{Z})^{*}$ opère en commutant à l'action de $W$ librement ; deux droites cycliques sont conjuguées sous l'action de ce groupe si et seulement si elles ont même stabilisateur dans $W$. le reste du feuillet est blanc.

Lissification des morphismes de Kostant

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 3, qui ne porte rien d'autre : c'est une chemise, et elle ne reçoit pas de page. Le premier mot est d'une lecture sûre au feuillet 7, où il revient.

4notations : $\underline{\mathfrak{g}}$ transcrit le $\mathfrak{g}$ gothique souligné de l'algèbre de Lie de $G$, $\mathfrak{J}$ le $J$ gothique de l'espace des invariants, $\underline{t}$ l'algèbre de Lie du tore, $\underline{\mathfrak{L}}$ un $L$ ronde soulignée, $\mathfrak{B}$ un $B$ rond. La feuille est une liste de notations, symbole à gauche, définition à droite.

$G$schéma en groupes semi-simple adjoint sur $S$.
$\underline{\mathfrak{g}}$algèbre de Lie comme Module sur $\mathrm{Sch}_{/S}$, donc schéma vectoriel sur $S$
$\underline{\mathfrak{g}}^{\mathrm{rss}}$sous-schéma ouvert des éléments « réguliers [semi-]simples » i.e. de nullité minimum (« réguliers » dans SGA 3 XIII)
$T$« le » tore maximal d'un couple de Killing (tore sur $S$)
$\underline{t}$son algèbre de Lie, regardée comme schéma vectoriel sur $S$
$W$« le » groupe de Weyl, opérant sur $T$, donc sur $\underline{t}$.
$\mathfrak{J}=\underline{t}/W$ ;$\underline{t}$ est parfois noté $\mathfrak{J}'$, donc $\mathfrak{J}'\to\mathfrak{J}$ revêtement (ramifié).
$\underline{t}^{\mathrm{rss}}$ouvert de $\underline{t}$ des éléments « réguliers [semi-]simples ». Il est stable sous $W$.
$\mathfrak{J}^{\mathrm{rss}}=\underline{t}^{\mathrm{rss}}/W$ ;$\mathrm{Tor}$ schéma des tores maximaux, $\mathrm{Kill}$ schéma des couples de Killing
$\mathrm{Bor}$schéma des drapeaux Borels,
$\mathfrak{B}$le « Borel universel » $\subset G_{\mathrm{Bor}}$, donc $\mathfrak{B}/\mathfrak{B}_u\simeq T_{\mathrm{Bor}}$
$\underline{\mathfrak{L}}$son algèbre de Lie, qui est un fibré vectoriel (et autres structures) sur $\mathfrak{B}$ , $\underline{\mathfrak{L}}/\underline{\mathfrak{L}}_u\simeq \underline{t}_{\mathrm{Bor}}$. On a un morphisme « surjectif » $p\colon\underline{\mathfrak{L}}\to\underline{\mathfrak{g}}$ et un morphisme lisse $\tilde f'\colon\underline{\mathfrak{L}}\to\underline{t}=\mathfrak{J}'$
$\underline{\mathfrak{L}}^{\mathrm{rss}}$sous-fibré des éléments « rég. ss » dans $\underline{\mathfrak{g}}_{\mathrm{Bor}}$ ; $=p^{-1}(\underline{\mathfrak{g}}^{\mathrm{rss}})$.

« semi- » est ajouté au-dessus de « simples » aux deux endroits. Les deux morphismes $p$ et $\tilde f'$ sont encadrés dans la marge droite, d'une encre plus claire, et reliés par une accolade ; le premier $\sim$ de $\tilde f'$ se lit mal. La ligne de $\mathrm{Tor}$ et $\mathrm{Kill}$ est ajoutée à droite de $\mathfrak{J}^{\mathrm{rss}}$, liée par un trait à « Kill ».

On a un isom. canon. \[\underline{\mathfrak{L}}^{\mathrm{rss}}\simeq \mathrm{Kill}\times_S \underline{t}^{\mathrm{rss}}\] et un carré cartésien

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\begin{tikzcd}
\underline{\mathfrak{g}}^{\mathrm{rss}} \arrow[d] &
\underline{\mathfrak{L}}^{\mathrm{rss}}\simeq\mathrm{Kill}\times\underline{t}^{\mathrm{rs}} \arrow[l] \arrow[d] \\
\mathrm{Tor} & \mathrm{Kill} \arrow[l]
\end{tikzcd}

$\operatorname{Lie}(\mathcal{T})^{\mathrm{rss}}$, où $\mathcal{T}$ est le tore maximal universel la note marginale, à gauche, est reliée par une flèche au coin $\underline{\mathfrak{g}}^{\mathrm{rss}}$ du carré.

Il y a une opération naturelle de $W$ sur $\mathrm{Kill}$, faisant de $\mathrm{Kill}$ un torseur sous $W_{\mathrm{Tor}}$, d'où une opération de $W$ sur le produit fibré $\underline{\mathfrak{L}}^{\mathrm{rss}}$, qui sur $\mathrm{Kill}\times\underline{t}^{\mathrm{rs}}$ se réduit à l'action diagonale. Comme $\underline{\mathfrak{g}}^{\mathrm{rss}}\simeq \underline{\mathfrak{L}}^{\mathrm{rss}}/W$, on trouve un hom naturel \[\underline{\mathfrak{g}}^{\mathrm{rss}}\longrightarrow \mathfrak{J}=\underline{t}^{\mathrm{rss}}/W\] ce dernier alinéa est d'une encre brune, plus tardive que le reste de la page.

5donnant naissance au diagramme

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\begin{tikzcd}
\underline{\mathfrak{g}}^{\mathrm{rss}} \arrow[d, "f^{\mathrm{rss}}"'] &
\underline{\mathfrak{L}}^{\mathrm{rss}} \arrow[l, "q^{\mathrm{rss}}"'] \arrow[d, "\tilde f'^{\mathrm{rss}}"] \\
\mathfrak{J}^{\mathrm{rs}}=\underline{t}^{\mathrm{rss}}/W &
\mathfrak{J}'=\underline{t}^{\mathrm{rss}} \arrow[l]
\end{tikzcd}

Supposons que $W$ opère trivial. librement sur $\underline{t}^{\mathrm{rss}}$ ; (ce qui est le cas si les car. résiduelles sont toutes $\neq 2$. Il revient ici au même qu'il opère fidèlement […] sur les fibres géom. de $\underline{t}$, Alors le diagramme précédent est cartésien ; […] la note, dans une bulle en haut à droite, est reliée à « librement » ; la parenthèse ouverte avant « ce qui » ne se ferme pas.

Je dis que le morphisme $\underline{\mathfrak{g}}^{\mathrm{rss}}\to\mathfrak{J}^{\mathrm{rss}}$ se prolonge en un morphisme $\underline{\mathfrak{g}}\to\mathfrak{J}$ (évidemment unique), d'où un diagramme commutatif […]

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\begin{tikzcd}
\underline{\mathfrak{g}} \arrow[d, "f"'] & & \underline{\mathfrak{L}} \arrow[ll, "q"'] \arrow[dl, "\tilde f'"] \\
\mathfrak{J}=\underline{t}/W & \mathfrak{J}'=\underline{t} \arrow[l] &
\end{tikzcd}

sous l'avant-dernier $\underline{t}$ un exposant « rss » est biffé.

NB L'anneau affine de $\mathfrak{J}$ sur $S$ est le sous-anneau des invariants de l'anneau […] de $\underline{\mathfrak{g}}$ sur $S$, et $f$ est […] […] d'un […] dans […] invariants dans un schéma affine (construction probablement […] […] sur un schéma […] ?) bloc encadré dans la marge gauche, d'une écriture serrée et en partie effacée ; seul le début se lit sûrement.

Dém. de l'existence de $f$. On se ramène au cas $S=\operatorname{Spec} \mathbf{Z}$, $G$ déployé. Alors il suffit de […] pour […] […] de […]. Comme $\underline{\mathfrak{g}}$ est normal, $\mathfrak{J}$ affine, il suffit de le voir sur les fibres géométriques ; là c'est connu (Kostant …).

Introduisons \[\underline{\mathfrak{g}}'=\underline{\mathfrak{g}}\times_{\mathfrak{J}}\mathfrak{J}'\] on trouve donc un diagramme

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\begin{tikzcd}
\underline{\mathfrak{g}} \arrow[d, "f"'] & \underline{\mathfrak{g}}' \arrow[l] \arrow[d, "f'"'] & \underline{\mathfrak{L}} \arrow[l, "p"'] \arrow[dl, "\tilde f'"] \arrow[r] \arrow[ll, bend right=30, "q"'] & D \\
\mathfrak{J} & \mathfrak{J}' \arrow[l] & &
\end{tikzcd}

la flèche $q$ est tracée en arc au-dessus de la ligne. Le but $D$ de la dernière flèche, écrit à l'encre pâle, est de lecture douteuse : sans doute le schéma de base de $\underline{\mathfrak{L}}$. Deux ovales au crayon pâle entourent $\underline{\mathfrak{g}}'$ et $\underline{\mathfrak{L}}$.

avec $p$ morphisme projectif, $\tilde f'$ morphisme lisse ; dans le cas favorable où $W$ opère fidèlement librement sur $\mathfrak{J}^{\mathrm{rss}}$, i.e. fidèlement sur les fibres géom. de $\underline{t}$, alors $p$ induit est un isom. birationnel, plus précisément il induit un isom. $\underline{\mathfrak{L}}^{\mathrm{rss}}\simeq \underline{\mathfrak{g}}'^{\mathrm{rss}}$, où $\underline{\mathfrak{g}}'^{\mathrm{rss}}=\underline{\mathfrak{g}}'\,|\, \underline{\mathfrak{g}}^{\mathrm{rss}}$. ce dernier alinéa, d'encre brune, est plus tardif.

6Par réduction au cas de la base $\mathbf{Z}$ ou $\mathbf{Z}[1/2]$, et par application du Main theorem, on trouve que le plus grand ouvert de $\underline{\mathfrak{g}}'$ sur lequel $p$ est un isom. est formé des $x'\in\underline{\mathfrak{g}}'$ tels que $p^{-1}(x')$ soit fini (ou encore, [contienne un] élément isolé) i.e. l'image inverse de l'ouvert $\underline{\mathfrak{g}}^{\mathrm{reg}}\subset\underline{\mathfrak{g}}$, formé des points $x$ tels que $q^{-1}(x)$ soit fini (ou encore …), i.e. les $x\in\underline{\mathfrak{g}}$ contenus dans un nb fini seulement de sous-algèbres de Borel. En vertu de Springer PM n° 30, 5.3, il résulte [on voit] que cet ouvert contient rencontre les points unipotents de toute fibre, et on prévoit que l'on pourra en déduire qu'il rencontre toute fibre de $f\colon\underline{\mathfrak{g}}\to\mathfrak{J}$ ? Non en car. 2, cas $A_1$, $B_2$ … peut-être d'autres … « Non » est souligné deux fois et écrit plus tard, à l'encre plus noire, comme le $\mathfrak{J}$ repassé qui le précède.

Questions.

0)$W$ opère-t-il fidèlement sur $\underline{t}^{\mathrm{rss}}$ ?
a)$\mathfrak{J}$ est-il régulier, i.e. $\mathfrak{J}'$ plat sur $\mathfrak{J}$ ?
b)$f$ est-il plat (indépendamment de a)) ; en fait $f$ plat $\Longleftrightarrow$ $\mathfrak{J}$ régulier et $f$ équidimensionnel. Oui pour les « bons » nombres premiers ?
c)Les fibres de $f$ géom. […] intègres ? Sont-elles des […], la […] l'adhérence d'une orbite sous $G$, le complémentaire […] de codim. $\geqslant 2$ (car d'ailleurs dans la fibre […] de […] normales, donc équivaut que les fibres de $f$ soient normales (si bons nombres), […] $f'$ normal, donc $\underline{\mathfrak{g}}'$ normal, dans $\underline{\mathfrak{L}}\to\underline{\mathfrak{g}}'\to\underline{\mathfrak{g}}$ factorisation de Stein)
d)Les points de lissité de $f$ sont-ils les points réguliers (quasi-réguliers ?) i.e. ceux au dessus desquels $\mathfrak{J}$ […] ? […] […] Sont-ce aussi les […] […] dans […] de dimension […] […] […] minimum, soit $r$ ?
e)Les orbites de $G$ sur $\underline{\mathfrak{g}}$ et $\mathfrak{J}$ Définir stratification orbitale […] […] Chevalley sur $\mathbf{Z}$, suivant une filtration naturelle de $\underline{t}$ ; cette structure orbitale devrait être homologue ($G$ opérant sur $\tilde G$) à la structure orbitale de $G$ opérant sur $\tilde G$ […] connue) ; relations entre les classes […] et orbites combinatoires correspondantes : des orbites unipotentes ? / Questions analogues pour $\mathfrak{B}$, $\underline{\mathfrak{L}}$.

f) Reprendre théorie de Kostant : A-t-on section de l'ouvert des pts réguliers etc … g) Étudier fibres de $p\colon\underline{\mathfrak{L}}\to \underline{\mathfrak{g}}'$, i.e. les composantes connexes de la variété des sous-alg. de Borel de $\underline{\mathfrak{g}}$ contenant un élément donné. Quelle est sa dimension (relation avec dim. de l'orbite) ? la page est très chargée et d'écriture rapide ; les questions c), d) et e) ne se lisent que par fragments. Les items f) et g) sont écrits dans la marge gauche, en face de e), à l'encre brune ; e) est lui-même en partie à l'encre brune. Dans la marge gauche, en face de c), un bloc commençant par « NB » et contenant « $\underline{t}/W$ » et « $\underline{\mathfrak{g}}$ sur $S$ » est entièrement biffé de hachures et ne se lit pas.

Lissification des morphismes de Steinberg

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 7, qui ne porte rien d'autre : une chemise, sans page.

$G$schéma en groupes réductif sur base $S$.
$D=\mathrm{Bor}(G)$,schéma des Borels.
$\mathfrak{B}\to D$le « Borel universel » ; $\mathfrak{B}\subset G_D=G\times_S D$ sous-schéma en groupes
$\mathfrak{B}_u\subset\mathfrak{B}$la partie unipotente
$\mathfrak{B}\to T_D=\mathfrak{B}/\mathfrak{B}_u$tore sur $D$.

On sait que $T_D$ est muni d'une donnée de descente de $D$ à $S$, d'où un tore $T$ sur $S$ […] avec isom. \[\struck{\ill{}}\ T_D\simeq T\times_S D, \quad\text{donc}\quad \hat T_D\simeq M_D,\ \text{où}\ M=\hat T\ \text{réseau sur}\ S.\]

$K=\mathrm{Kill}(G)$,schéma des couples de Killing $(T,\mathfrak{B})$, $K=\underline{\mathrm{Tmax}}(\mathfrak{B})$
$K\to D$le morphisme standard
$T_K\hookrightarrow\mathfrak{B}_K$le tore maximal couple de Killing universel ; $T_K=T\times_S K$
$N_K=\operatorname{Norm}(T_K,G_K)$
$P_K=\ill{}$
$W_K=N_K/T_K$opère sur $T_K$, $M_K$

à gauche de « $=\mathrm{Kill}(G)$ » une lettre est biffée et remplacée par $K$. Le couple $(T,\mathfrak{B})$ est ajouté au-dessus de « Killing », avec un trait vers $K=\mathrm{Tmax}(\mathfrak{B})$ ; un trait vertical, dans la marge droite, tient les lignes de $K\to D$ à $N_K$.

On sait que ces opérations proviennent d'opérations d'un groupe $W/S$ sur $T$, $M$ (avec sa structure […]) \[W_K\simeq W\times_S K\] […] [soit] $I=T/W$.

On définit un morphisme [unique] (canonique), invariant par automorphismes intérieurs (donc par tous automorphismes de $G$, quand on fait opérer sur $I$ les automorphismes extérieurs) \[G\xrightarrow{\ f\ } I\] La restriction de $f$ à $T_0$, si $T_0\subset B_0$, est donnée par \[f\,|\,T_0 = \text{morph.\ can.}\ T_0\to T_0/W_0\simeq I .\] Défini sans hypothèse $G$ simpl. connexe ? Oui en dehors de […] (Steinb.) $f$ normal en tous cas ?? [Mais alors il faudrait que $I$ soit lisse$/S$ en tous cas !] la note, à l'encre brune dans la marge gauche, est reliée par une accolade à « $G\xrightarrow{f}I$ » ; « Un », entouré, est écrit devant « La restriction ».

9Soit $G'$ défini par la condition d'avoir un diagramme cartésien

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\mathfrak{X}=G \arrow[d, "f"'] & \mathfrak{X}'=G' \arrow[l] \arrow[d, "f'"] & \mathfrak{B}=\tilde{\mathfrak{X}} \arrow[l, "p"'] \arrow[dl, "\tilde f"] \\
I & I'=T \arrow[l, "\pi"] &
\end{tikzcd}

« cart » est écrit, souligné, au centre du carré de gauche ; $\mathfrak{X}'=G'$ et $\mathfrak{B}=\tilde{\mathfrak{X}}$ sont encadrés ensemble.

Utilisant le fait que $f$ est normal, donc $f'$ normal, on trouve que $G'$ est normal.

On va définir un hom \[p\colon \mathfrak{B}\longrightarrow G'\] i.e. des hom \[\tilde f\colon\mathfrak{B}\to T,\qquad h\colon\mathfrak{B}\to G \qquad\text{tels que }\ \pi\tilde f=f h\] On prendra \[\begin{cases} h(g,B)=g\\ \tilde f(g,B)=g\in B/B_u(-)\simeq T(-), \end{cases}\] i.e. $h$ est le composé $\mathfrak{B}\to G_D=G\times_S D\xrightarrow{\mathrm{pr}_1}G$, i.e. $\tilde f$ est le composé $\mathfrak{B}\to\mathfrak{B}/\mathfrak{B}_u=T_D\simeq T\times_S D\xrightarrow{\mathrm{pr}_1}T$. les deux « i.e. » sont écrits en face des deux lignes de l'accolade ; ils sont reportés ici sous elle.

Pour voir que $\pi\tilde f=fh$, il suffit de le voir sur l'ouvert dense [$\mathfrak{B}^{\mathrm{rs}}$] des pa $(g,B)$ avec $g$ régulier ss, […] donc $g\in T\subset B$, et alors c'est trivial. « $\mathfrak{B}^{\mathrm{rs}}$ des » est écrit au-dessus de la ligne, à la place d'un mot biffé.

NB $\begin{cases}\text{$h$ est propre, donc $p$ est propre (comme on verra qu'il est birationnel)}\\ \text{$\tilde f$ est lisse.}\end{cases}$

$G^{\mathrm{reg}}$l'ouvert des points réguliers de $G$ $=$ ouvert des pts de lissité de $f$
$G'^{\mathrm{reg}}$son image inverse dans $G'$
$\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}}$son image inverse dans $\mathfrak{B}$.

« $=$ ouvert des pts de lissité de $f$ » est ajouté en fin de ligne, d'une écriture plus petite.

10Théorème

(i)(Pour mémoire) $p\colon\mathfrak{B}\to G'$ est projectif, $\tilde f\colon\mathfrak{B}\to T$ est lisse.
(ii)$p$ induit $\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}}\overset{\mathrm{df}}{=}\mathfrak{B}\,|\,G'^{\mathrm{reg}} \xrightarrow{\ \sim\ }G'^{\mathrm{reg}}$ et $G'^{\mathrm{reg}}$ est le plus grand ouvert au dessus duquel $p$ est un isom.
(iii)(Pour mémoire) $\mathfrak{B}-\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}}$ est de codim. $\geqslant 2$ […] dans $\mathfrak{B}$ (fibre par fibre sur $S$ ou sur $D$) ; $G'-G'^{\mathrm{reg}}$ a toutes ses composantes irréductibles de codimension $3$ (fibre par fibre sur $S$)
(iv)(Si $S$ […] normal loc. noeth.) \[\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})\xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pic}(\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}})\xleftarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pic}(G'^{\mathrm{reg}}) \qquad \operatorname{Pic}(D)\xrightarrow{\ \wr\ }\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})\] [[…] Si $T$ est trivial, ou […] génériquement si […] les points maximaux de $S$, l'image de $\pi_1(S,\xi)$ dans $\operatorname{Ext}(G_\xi)$ est telle que $H^1(\Gamma,M)=0$] on a une réciproque si $S$ régulier. et en faisceautisant sur $S$ (pour la top. étale, disons) \[\underline{\mathrm{Pic}}_{\mathfrak{B}/S}\xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Pic}}_{\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}}/S}\xleftarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Pic}}_{G'^{\mathrm{reg}}/S} \qquad M\to P\simeq\underline{\mathrm{Pic}}_{D/S}\xrightarrow{\ \wr\ } \underline{\mathrm{Pic}}_{\mathfrak{B}/S}\] sur la page, $\operatorname{Pic}(D)$ et $M\to P\simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{D/S}$ sont écrits sous le premier terme, avec une flèche verticale vers le haut marquée $\wr$ ; ils sont ramenés ici sur la même ligne. Sous $M\to P$ : « (injectif si $G$ semi-simple) ». Une fin de ligne après $\operatorname{Pic}(G'^{\mathrm{reg}})$ et un terme sous $\underline{\mathrm{Pic}}_{\mathfrak{B}/S}$ sont biffés de hachures. La parenthèse de condition, sous la flèche de gauche, est une insertion de lecture difficile. De plus, le cône ample pour $\underline{\mathrm{Pic}}_{\mathfrak{B}/S}$ est le cône […] pour $\underline{\mathrm{Pic}}_{D/S}$, qui est le cône des poids $P^{+}$. […]

un trait vertical, dans la marge gauche, tient tout l'énoncé du théorème.

Démonstration (i) et (iii) connus (pour (iii) réf. : Steinberg …)

(ii) On commence à voir, posant $G^{\mathrm{rs}}=\ill{}$ \[\begin{aligned} &G^{\mathrm{rs}}\subset G^{\mathrm{reg}} && \text{ouvert des pts de $G$ qui sont réguliers semi-simples}\\ &G'^{\mathrm{rs}}\subset G'^{\mathrm{reg}},\ \ \mathfrak{B}^{\mathrm{rs}}\subset\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}} && \text{images inverses,} \end{aligned}\] que \[\mathfrak{B}^{\mathrm{rs}}\xrightarrow{\ \sim\ }G'^{\mathrm{rs}}\] D'autre part, on sait par Steinberg que les fibres de $\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}}\to G'^{\mathrm{reg}}$ sont finies, d'ailleurs c'est un morphisme propre. Comme $G'^{\mathrm{reg}}$ est normal, on conclut par le Main Theorem. On sait aussi par Steinberg que les fibres des centralisateurs plats […] […] […]. les trois dernières lignes, et la note qui les prolonge en bas à droite, sont à l'encre brune.

11(iv) Supposons d'abord $S$ régulier [normal], Alors $\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})\simeq \operatorname{Pic}(\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}})$ résulte $\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})\to \operatorname{Pic}(\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}})$ injectif résulte des considérations de profondeur et [donc aussi tous les schémas écrits.] […] du fait que $\mathfrak{B}-\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}}$ est de codim. $\geqslant 2$, […] fibre par fibre. Le fait que $\operatorname{Pic}(D)\to\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})$ [et $\operatorname{Pic}(D)\to\operatorname{Pic}(\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}})$] […] [surjectifs] résulte de EGA IV 21.4.13 (EGA IV 53), compte tenu du

Lemme $G$ groupe […] [semi-simple] simplement connexe [sur un corps $k$], $B$ un Borel, alors $\operatorname{Pic}(B)$ […] $=\operatorname{Pic}(B^{\mathrm{reg}})=\operatorname{Pic}(T)=H^1(\Gamma,M)$ $(T=B/B_u)$, $M=\hat T$) On a $\operatorname{Pic}(B)\simeq\operatorname{Pic}(T)$ le lemme est tenu par un double trait vertical à gauche ; ses termes sont ajoutés en plusieurs couches au-dessus de la ligne. La note marginale est à gauche, en face de la preuve.

En tout cas, utilisant la relation $B\to T=B/B_u$, on se ramène au cas où $\operatorname{Pic}(T)=0$ (NB $B_u$ a dévissage en groupes additifs). Or on sait que $T=\prod_{k'/k}T'$, $T'$ un tore sur une extension galoisienne finie déployée, [galoisienne (groupe $\Gamma$)] Donc on a […] équiv. de cat. \[\struck{\underline{\mathrm{Iso}}(T)\simeq\underline{\mathrm{Iso}}(T')} \ \text{donc}\] \[0\to H^1(\Gamma,\underbrace{H^0(T',\underline{O}^{*}_{T'})}_{M\times k'^{*}}) \to\operatorname{Pic}(T)\to H^0(\Gamma,\underbrace{H^1(T',\underline{O}^{*}_{T'})}_{=0})\] à gauche de la suite, un $\operatorname{Pic}(T)$ biffé ; à droite du premier terme, une glose biffée de hachures. donc on trouve \[\operatorname{Pic}(T)=H^1(\Gamma,M)\times \underbrace{H^1(\Gamma,k'^{*})}_{=0\ \text{H.~90}} =H^1(\Gamma,M)=H^1(k,\underline{M})\] Si $P$ est tordu, cela peut être $\neq 0$ ; si $B$ est la fibre générique de $\mathfrak{B}$ sur $D$ ($S$ réduit), alors cela indique donc que l'hom $\operatorname{Pic}(D)\to\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})$ n'est pas surjectif. L'injectivité est claire, car $\mathfrak{B}$ a une section sur $D$ (la section unité). En faisceautisant pour la topologie étale, on trouve donc le diagramme d'isom pour les $\underline{\mathrm{Pic}}$. / Comme $\mathfrak{B}\to D$ est affine, et a une section, […] et l'on voit qu'un faisceau inv. sur $D$ est ample ssi son image inverse sur $\mathfrak{B}$ l'est : indép. de l'hypothèse normal sur $S$ !

Peut-on se passer dans le cas non régulier ? a) L'isomorphisme […] $\operatorname{Pic}(D)\simeq\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})$ et […] […] $\operatorname{Pic}(D)\to \operatorname{Pic}(\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}})$ dès que $S$ est normal. L'injectivité […] […] évidemment ! bloc encadré et barré de traits obliques, en bas de page.

12Remarques a) Si $T$ peut-être tordu, on ne peut plus affirmer que l'hom injectif \[\operatorname{Pic}(D)\longrightarrow\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})\] soit surjectif. Mais (si $S$ […] n'a qu'un nb fini de composantes connexes) on voit que le conoyau est fini ; en fait […] […] pour $S$ irréductible et normal […] complète \[0\to\operatorname{Pic}(D)\to\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})\to H^1(\Gamma,M_{\bar\xi}), \qquad \operatorname{Pic}(\mathfrak{B}_\eta)\simeq\operatorname{Pic}(T_\eta) \simeq\operatorname{Pic}(T_\xi)\] où $\eta$ pt gén. de $D$, $\xi$ pt gén. de $S$, où $\Gamma$ est l'image de $\pi_1(S,\bar\xi)$ dans $\operatorname{Aut}(M_{\bar\xi})$. Si $S$ est régulier, […] on peut mettre une flèche à droite, i.e. la condition $H^1(\Gamma,M_{\bar\xi})=0$ est néc. et suff. pour que l'on ait […] [on a aussi] surjectivité $\operatorname{Pic}(D)\to\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})$ ; […] surjectivité $\operatorname{Pic}(D)\to \operatorname{Pic}(\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}})$ [car $\operatorname{Pic}(\mathfrak{B}_\xi)\to \operatorname{Pic}(\mathfrak{B}_\xi^{\mathrm{reg}})$ est injectif [en tous cas] surjectif par des raisons de codim. $\geqslant 2$ et de régularité] la ligne des isomorphismes $\operatorname{Pic}(\mathfrak{B}_\eta)$ … est écrite sous la flèche, avec une glose « où $\eta$ pt gén. de $D$, $\xi$ pt gén. de $S$ » ; elles sont réunies ici.

b) L'injectivité de $\operatorname{Pic}(D)\to\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})$ et la caractérisation des éléments de $\operatorname{Pic}(D)$ amples$/S$ comme ceux dont l'image inverse sur $\mathfrak{B}$ est ample$/S$, […] restent vrais sans hyp. de normalité sur $S$. [et $H^1(\xi,M)=0$ (p. ex. $T$ non tordu)]

c) Supposons $S$ normal. Alors \[\operatorname{Pic}(S)\xrightarrow{\ \sim\ }\operatorname{Pic}(G')\] En effet, on sait que $\operatorname{Pic}(G')$ a injectivité car $G'$ a une section sur $S$ (section unité). Reste à prouver que si $\xi\in\operatorname{Pic}(G')$ induit $0$ sur la section unité, alors il est nul. Or \[\operatorname{Pic}(G')\hookrightarrow \operatorname{Pic}(G'^{\mathrm{reg}})\,[\simeq \operatorname{Pic}(\mathfrak{B}^{\mathrm{reg}})\leftleftarrows \operatorname{Pic}(\mathfrak{B})]\] injectif par raisons de profondeur, donc il suffit de voir que l'image inverse de $\xi$ dans $\operatorname{Pic}(\mathfrak{B})$ est nulle. Mais il suffit de voir que la restriction de cette dernière à la section unité de $\mathfrak{B}$ sur $D$ est nulle. Mais $D\to G'$ la phrase se poursuit au feuillet suivant. Le symbole $\xi$ de ce paragraphe (une accolade ouvrante sur la page) est de lecture douteuse et n'est pas le point générique de a). Les trois dernières lignes sont à l'encre brune.

13se factorise par la section unité de $G'$ sur $S$ ! En fait, sans hyp. sur $T$, on obtient des suites exactes

LaTeX source

\begin{tikzcd}
G'^{\mathrm{reg}} \arrow[d, hook] & \mathfrak{B}^{\mathrm{reg}} \arrow[l] \arrow[d, hook] \\
G' \arrow[d] & \mathfrak{B} \arrow[l] \\
S \arrow[u, bend left=40] & D \arrow[u, hook] \arrow[ul] \arrow[l]
\end{tikzcd}

\[\cdots\to\operatorname{Pic}(S)\to\operatorname{Pic}(G')\longrightarrow \underbrace{H^1(\xi,M)}_{\text{groupe fini}}\] le diagramme est dessiné dans la marge gauche, la suite à droite ; la flèche $D\to\mathfrak{B}$ est la section unité, et la flèche courbe de $S$ vers $G'$ la section unité de $G'$.

d) On a $\operatorname{Pic}(G)$ ($S$ normal irréd. de point générique $\xi$) \[0\to\operatorname{Pic}(S)\to\operatorname{Pic}(G)\to\operatorname{Pic}(G_\xi)\] sous la première flèche : « injectif car $\exists$ section unité » ; sous le dernier terme : « groupe fini tors. qui est nul si $G_\xi$ est simplement connexe et déployé ».

[…] D'autre part si $S$ régulier on a $\operatorname{Pic}(G)\xrightarrow{\ \text{inj}\ } \operatorname{Pic}(G^{\mathrm{reg}})$ [sans hyp. de normalité,] (car on a codim. $\geqslant 3$ fibre par fibre [sur $S$] de $G-G^{\mathrm{reg}}$), donc on trouve \[\operatorname{Coker}\bigl(\operatorname{Pic}(S)\to \operatorname{Pic}(G^{\mathrm{reg}})\bigr)\ \text{est fini (et $=$ nul si $G_\xi$ est simplement connexe et déployé)}\] Cela montre bien qu'on ne peut trouver une résolution $\tilde X$ des singularités de $f$ analogue à celle de $f'$, sans toucher à $G^{\mathrm{reg}}$ (l'image inverse de $G-G^{\mathrm{reg}}$ dans $\tilde X$ étant de codim. $\geqslant 2$ fibre par fibre …) un « e) » isolé, biffé, figure en bas de page ; il n'est suivi de rien.

Résumé th. de conjugaison Kostant

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 14, chemise de carton qui ne porte rien d'autre ; il se lit « Résumé th. de conjugaison Kostant + lettre à Kostant ». La lettre n'est pas dans ce lot. Les pages 15 à 19 sont un tapuscrit en français, frappé à la machine, que sa main corrige et complète : les lettres gothiques, que la machine ne portait pas, sont ajoutées à l'encre ($\mathfrak{g}$ pour l'algèbre de Lie ; $\underline{G}_m$, $\underline{\varnothing}$ sont soulignés à la frappe). Les fautes de frappe recouvertes de x ne sont pas relevées.

15Résumé de quelques résultats de Kostant (sous groupes simples de rang 1). (The principal 3-dimensional subgroup …, Am. Jour. Oct. 1959, 3.4, 3.5, 3.6, 4.2, 9.3)

$G$ est un groupe semi-simple sur un corps $k$ de car. nulle, $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie, [avec $e\neq 0$, $e$ nilpotent.]

Théorème 1. (i) Soient $x,e\in\mathfrak{g}$ ; pour tout entier $k$, soit $\mathfrak{g}(k)$ le sous-espace propre de […] correspondant à la valeur propre $k$. Donc si $x=\operatorname{Lie}(i)(1)$, où $i\colon\underline{G}_m\to G$, les $\mathfrak{g}(k)$ sont les composants de $\mathfrak{g}$ suivant les caractères de $\underline{G}_m$, opérant sur $\mathfrak{g}$ via $i$ et la représentation adjointe. Les conditions suivantes sont équivalentes : « avec $e\neq 0$, $e$ nilpotent » est ajouté à la main sous la première ligne et relié par une accolade à « Soient $x,e$ ». Après « propre de » la frappe laisse un blanc que la main n'a pas rempli : on attend $\operatorname{ad}(x)$.

a)$e\in\mathfrak{g}(2)$ i.e. $[x,e]=2e$, et [pour tout entier $k\geqslant 1$,] $\operatorname{ad}(e)^{k}\colon\mathfrak{g}(-k)\to \mathfrak{g}(k)$ est un isom.
b)$e\in\mathfrak{g}(2)$, $\operatorname{ad}(e)\colon\mathfrak{g}(0) \to\mathfrak{g}(-2)$ est surjectif, [et $x$ est de la forme $f(x_0)$, pour $f\colon\mathrm{Sl}(2,k)\to G$ (élément de Dynkin).]
b')Comme b), avec $\operatorname{ad}(e)\colon\mathfrak{g}(0)\to\mathfrak{g}(2)$ […]
c)$e\in\mathfrak{g}(2)$, et $x\in\operatorname{ad}(e)(\mathfrak{g})$.
c')$e\in\mathfrak{g}(2)$, et $x\in\operatorname{ad}(e)(\mathfrak{g}(-2))$.
d)Il existe un homomorphisme $f\colon\mathrm{Sl}(2,k)\to G$ tel que $f'(e_0)=e$, $f'(x_0)=x$

où $(x_0,e_0,f_0)$ est la base de $\operatorname{Lie}\mathrm{Sl}(2,k)$ correspondant à l'épinglage habituel de ce groupe. la ligne b') est entièrement barrée à la main ; le complément de b) est écrit à sa suite, et relié à b) par un trait. Dans d), les accents de $f'$ sont ajoutés à la main.

Ces conditions impliquent qu'il existe un homomorphisme $i\colon\underline{G}_m\to G$, tel que $\operatorname{Lie}(i)(1)=x$, a fortiori que $x$ est semi-simple. De plus, le $f$ de d) est déterminé de façon unique.

(ii) Pour tout élément nilpotent $e$ de $\mathfrak{g}$, il existe un homomorphisme $f\colon\mathrm{Sl}(2,k)\to G$ tel que $f(e_0)=e$, ou ce qui revient au même, tel que $f(u_0)=u$ (où $u=\exp(e)$, $u_0=\exp(e_0)$) ; [$f$ est uniquement déterminé par $x=f(x_0)$ i.e. par $i=f\circ i_0$.] En vertu de (i), il revient au même, lorsque $e\neq 0$ i.e. $u\neq 1$, de dire qu'il existe un $x\in\mathfrak{g}$ tel que $(x,e)$ satisfasse aux conditions équivalentes de (i), ou encore un homomorphisme $i\colon\underline{G}_m\to G$ tel que $(\operatorname{Lie}(i)(1),e)$ y satisfasse. Les homomorphismes $f$ en question sont conjugués par $Z=\operatorname{Cent}(e)=\operatorname{Cent}(u)$ (i.e. pour $e\neq 0$, les $x$ en question, ou encore les $i$ en question, sont conjugués par $\operatorname{Cent}(u)$) et lorsque $e\neq 0$, les $f$ en question (ou encore les

16$x$ en question, ou les $i$ en question) forment un torseur sous le groupe $Z^{+}=Z\cap U$ $\operatorname{Cent}(u)$, qui est un groupe unipotent (en fait, celui introduit dans (iv)). Enfin, supposant toujours $e\neq 0$, l'ensemble des $x$ en question est un torseur sous $\mathfrak{g}^{e}=$ (centralisateur de $e$ dans $\mathfrak{g}$) $=\operatorname{Ker}\operatorname{ad}(e)=\operatorname{Lie} \operatorname{Cent}(u)$ $\operatorname{Lie}(Z^{+})=\mathfrak{g}^{e}\cap\operatorname{Fil}^{1} (\mathfrak{g})$ ([torseur] pour l'addition, i.e. est de la forme $a+\mathfrak{g}^{e}$, pour un $a\in\mathfrak{g}$ convenable). et on a $\mathfrak{g}^{e}\subset\sum_{k\geqslant 1}\mathfrak{g}(k) =\operatorname{Fil}^{1}(\mathfrak{g})$ cf. plus bas définition de $U$. On a $Z\simeq Z_0\cdot Z^{+}$ […] (produit semi-direct) avec $Z_0=Z\cap L=\operatorname{Cent}(f)$. les ajouts à la main de ce passage sont d'une même encre : $Z^{+}=$ $Z\cap U$ remplace un « $\operatorname{Cent}(u)$ » dactylographié et biffé, $\operatorname{Lie}(Z^{+})=\mathfrak{g}^{e}\cap\operatorname{Fil}^{1}$ remplace la définition dactylographiée de $\mathfrak{g}^{e}$, biffée. La note marginale est écrite en oblique, à gauche.

(iii) Soit $x$ [$\neq 0$] un élément de Dynkin de $\mathfrak{g}$, donc associé à un homomorphisme de Dynkin $i\colon\underline{G}_m\to G$. Alors les éléments [$e$] de $\mathfrak{g}$ tels que $(x,e)$ satisfassent aux conditions de (i) forment un ouvert dense [$\mathfrak{g}(2)^{*}$] de $\mathfrak{g}(2)$ (savoir l'ouvert des points $e$ tels que $\operatorname{ad}(e)\colon\mathfrak{g}(0)\to\mathfrak{g}(2)$ soit surjectif), [Celui-ci] est un torseur [espace homogène] sous [$L=$] $\operatorname{Cent}(x)=\operatorname{Cent}(i)$, qui est un groupe réductif. au-dessus de « éléments » un « $\neq 0$ » est biffé.

(iv) Pour tout [élément de Dynkin $x$ de $\mathfrak{g}$, $x=\operatorname{Lie}(i)(1)$,] couple $(x,e)$ satisfaisant les conditions de (i) considérons les sous-groupes $P$, $U$, [$L$] de $G$ définis par les conditions \[\operatorname{Lie}P=\sum_{k\geqslant 0}\mathfrak{g}(k),\qquad \operatorname{Lie}U=\sum_{k\geqslant 1}\mathfrak{g}(k),\qquad \operatorname{Lie}L=\mathfrak{g}(0).\] Alors $P$ est un sous-groupe parabolique de $G$, $U$ est son radical unipotent, et $L=\operatorname{Cent}(x)=\operatorname{Cent}(i)$ est un sous-groupe de Lévi de $G$. Si $u$ [$=\exp(e)$] est un élément unipotent de $G$ tel que $(i,u)$ soit un couple de Dynkin (i.e. induit par un $f\colon\mathrm{Sl}(2,k)\to G$), $P$ (donc aussi $U$) est défini en termes de $u$ (i.e. deux $x$ associés au même $u$ donnent le même $P$, cf. (ii)) ; il en est de même du sous-groupe $H=i(\underline{G}_m)\cdot U$ de $G$ (NB $i(\underline{G}_m)$ normalise $U$, et $H$ est un produit semi-direct), et de $i\ \operatorname{mod}U$ i.e. de $\underline{G}_m\to H/U$ induit par $i$. De plus, l'application \[g\longmapsto\operatorname{ad}(g).x\] est un isomorphisme de $U$ avec $x+\operatorname{Fil}^{1}\mathfrak{g}$ [$=x+\operatorname{Lie}U$] (où on pose $\operatorname{Fil}^{k} \mathfrak{g}=\sum_{j\geqslant k}\mathfrak{g}(j)$), et l'application \[g\longmapsto\operatorname{ad}(g).e\] est une application surjective de $U$ sur $e+\operatorname{Fil}^{3} (\mathfrak{g})$, ou de $P$ sur $\mathfrak{g}(2)^{*}+\operatorname{Fil}^{3} (\mathfrak{g})$, où $\mathfrak{g}(2)^{*}$ est l'ouvert de $\mathfrak{g}(2)$ envisagé dans (iii). la frappe porte « $k\geqslant 0$ » corrigé à la main en « $k\geqslant 1$ » sous le signe somme de $\operatorname{Lie}U$.

17Interprétations en termes de filtrations du foncteur oubli sur la catégorie des représentations linéaires de dimension finie de $G$. (Il s'agit de filtrations compatibles au produit tensoriel [et « exactes », cette dernière cond. aut. si car. $k=0$]). Supposons fixé une classe [$c$] de [conjugaison, rationelle sur $k$, de] telles filtrations (NB elle n'admet pas nécessairement un représentant rat$/k$) ; il revient au même de se donner, pour le Chevalley $G_0$ associé à $G$, un élément de $\operatorname{Hom}(\underline{G}_m,T_0)/W=M/W$ ($T_0=M\otimes\underline{G}_m$ est le tore maximal type de $G_0$) invariant par le sous-groupe [$\Gamma$] de $\operatorname{Autext}G_0=E_0$ image de $\operatorname{Gal}(\bar k/k)$, ou encore un élément de $M$ qui soit dans la chambre de Weyl de $M\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{R}$ et qui soit stable par $\Gamma$. On a alors le schéma $\underline{\varnothing}_c$ des filtrations de classe $c$, qui est un espace homogène sous $G$, de stabilisateur des points des paraboliques ; [c'est un sous-schéma ouvert de $\underline{\mathrm{Par}}(G)$, orbite rationnelle sous $G$, soit $c'$.] On peut regarder aussi le schéma $\mathrm{ST}_c$ des homomorphismes $i\colon\underline{G}_m\to G$ de classe $c$, qui est donc une orbite rationelle de $G$ opérant sur $\underline{\mathrm{Homgr}}(\underline{G}_m,G)$. Il est canoniquement isomorphe au schéma des couples de Lévi $(P,L)$ tels que $P$ soit de classe $c'$ [ou encore $\underline{\varnothing}$]. (En d'autres termes, grâce au choix d'un $c$, pour $P$ de classe $c'$ donné, il revient au même de se donner un $i\colon\underline{G}_m\to P$ de la classe définie par $c$, ou un sous-groupe de Lévi de $P$, à $i$ étant associé $\operatorname{Cent}(i)$.) On a deux morphismes de schémas canoniquement isomorphes \[\mathrm{ST}_c\to\underline{\varnothing}_c,\qquad (\mathrm{CL})_{c'}\to\mathrm{Par}_{c'},\] le premier en termes de théorie des filtrations du foncteur fibres, le deuxième en termes de groupes paraboliques. les passages marqués comme ajouts sont à la main ; celui qui suit « paraboliques », interlinéaire, se lit mal (« c'est », « soit $c'$ »).

Supposons maintenant que $k$ soit de car. nulle (j'ignore dans quelle mesure c'est vraiment nécessaire). On peut alors considérer le Schéma $\mathrm{Dyn}_c$ des homomorphismes $f\colon\mathrm{Sl}(2,k)\to G$ tels que $f i_0$ soit de classe $c$. Supposons-le non vide [et non réduit à un point,] i.e. $c$ une classe de Dynkin [$\neq 1$]. Alors $\mathrm{Dyn}_c$ est un torseur [espace homogène] sous $G$ [de stabilisateurs $Z_0$ (il faudrait regarder la structure de ces $Z_0$ ; dimension, semi-simplicité).] (en fait, il est can. is. au torseur $\underline{\mathrm{Isom}}(G_1,G)$, où $G_1$ est le groupe quasi-déployé correspondant à $G$). Soit $\mathrm{Un}_c$ le schéma des éléments unipotents [de $G$] dont la classe corresponde à $c$ par la correspondance

18de Kostant. On a donc des morphismes $f\mapsto f\circ i_0$ et $f\mapsto f(u_0)$ de $\mathrm{Dyn}_c$ dans $\mathrm{ST}_c$ resp. $\mathrm{Un}_c$. D'autre part, Deligne nous fournit $\mathrm{Un}_c\to \underline{\varnothing}_c$, et celui-ci peut aussi être défini par la commutativité du diagramme [d'esp. homogènes]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\mathrm{ST}_c\simeq(\mathrm{CL})_{c'} \arrow[d] & \mathrm{Dyn}_c \arrow[l] \arrow[d] \\
\underline{\varnothing}_c\simeq\mathrm{Par}_{c'} & \mathrm{Un}_c \arrow[l]
\end{tikzcd}

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\begin{tikzcd}
L \arrow[d] & Z_0 \arrow[l] \arrow[d] \\
P & \mathfrak{z}(e) \arrow[l]
\end{tikzcd}

ce second carré est dessiné à la main, à droite du premier, sous « d'esp. homogènes » : il en donne, semble-t-il, les stabilisateurs. La lettre notée $\mathfrak{z}$ est un 3 bouclé, et $Z_0$ récrit sur une autre lettre.

Pour qu'il existe un point rationnel de $\underline{\varnothing}_c\simeq\mathrm{Par}_{c'}$, il faut (et suffit) qu'il en existe un de $\mathrm{Dyn}_c$ [(i.e., si $Z_0=e$, que $G$ soit quasi-déployé)] : i.e. que $G$ soit quasi-déployé ; en effet, $P$ étant choisi, on peut en choisir un sous-groupe de Lévi $L$, [ou ce qui revient au même] un $i\colon\underline{G}_m\to G$ dans la classe $c$, définissant $P$, et alors les $u=\exp(e)$ qui s'adaptent à $i$ forment un ouvert dense de $\mathfrak{g}(2)$, qui a donc un point rationnel. On voit donc que pour certaines classes de paraboliques (qu'on pourrait appeler les paraboliques de [Dynkin-]Kostant) l'existence d'un parabolique de cette classe rationnel sur $k$ implique déjà que $G$ est quasi-déployé. (NB Quand $G$ n'est pas une forme intérieure, il faut faire attention cependant de vérifier d'abord que la classe $c'$ de $P$ provient bien d'un $c$ de Dynkin invariant par $\Gamma$, et il n'est pas clair que cette propriété [de $c$] résulte du fait que $c'$ est invariante par $\Gamma$, faute de savoir si $c\mapsto c'$ est injectif sur les classes de Dynkin). (On notera aussi que l'argument donné marche également sur un anneau semi-local (de car. nulle jusqu'à nouvel ordre).) Il n'est en effet pas […] injectif pour $A_2$, $A_4$ (cela vaut pour $A_3$) Ceci montre l'intérêt, pour les questions arithmétiques, de déterminer exactement les [classes de] sous-groupes paraboliques de Dynkin-Kostant des divers groupes simples, et de voir si leur stabilisateur dans $\operatorname{Autext}(G_0)$ est le même que celui des $c$ de Dynkin correspondants, et pas str. plus grand.

On notera cependant que si une filtration du foncteur oubli peut être définie par un élément unipotent, la classe de conjugaison de ce der-

19nier (ou, ce qui revient au même, $c$) est bien déterminée. Les unipotents qui définissent ladite filtration, en termes d'un $i$ qui la définit, sont [ceux] de la forme $\exp(e)$, où $e$ parcourt $\mathfrak{g}(2)^{*}+\operatorname{Fil}^{3}(\mathfrak{g})$. Ils forment une classe de conjugaison d'éléments de $U$ par $P$ (NB mais pas par $U$), les classes de conjugaison par $U$ s'identifiant aux ensembles de la forme $(\exp(e)\,|\,e\in a+\operatorname{Fil}^{3}(\mathfrak{g}))$, où $a\in\mathfrak{g}(2)^{*}$ est un élément quelconque.

Cas principal. Pour qu'on ait […]$(1)=0$, il faut et suffit que la classe d'homomorphismes $f\colon\mathrm{Sl}(2,k)\to G$ envisagée soit « principale » au sens de Dynkin-Kostant. Alors le parabolique associé $P$ est un Borel (la réciproque n'étant pas vraie sans doute, cf table de Dynkin), et le groupe $Z_0$ est le groupe unité (i.e. $\mathrm{Dyn}_c$ est un torseur sous $G$), la réciproque n'étant pas vraie sans doute. ex Cas $A_2$, $A_4$ : les paraboliques associés aux unipotents « sous-réguliers » sont des Borels ! devant « $(1)=0$ » la frappe laisse un blanc, que la main n'a pas rempli : on attend $\mathfrak{g}(1)$. Le reste du feuillet est blanc.