Cote n° 122 · pages 1–34 · Lecture modernisée · Point singulier isolé de la fibre : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1968-1971]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–34

Le dossier, sa charpente et ses notations

Trente-quatre feuillets, dont dix-sept sont de sa main : les pages paires 2 à 16, la page 19, les pages impaires 21 à 31, et les pages 33 et 34. Les autres sont blancs, ou sont des feuillets dactylographiés d'autres mains dont il a souvent réutilisé le verso ; la transcription les passe, et cette lecture aussi.¹

Le dossier se lit en cinq stations.

• Pages 2 à 10. Préliminaires de topologie : une variété à bord, sa dualité, et une variété coupée en deux morceaux le long d'une hypersurface ; toutes les suites exactes qui en résultent, et leur appariement par dualité.
• Pages 12 à 16. Le modèle : une variété recollée à partir de deux fibrés le long de leur bord commun — un livre ouvert — et le dictionnaire qui le relie à la situation algébrique d'un point singulier isolé de la fibre.
• Pages 19 à 25. Les triangles distingués (a) à (e) dans la catégorie dérivée, l'application de dualité \(u\), et l'énoncé que ces triangles sont autotransposés.
• Pages 25 à 33. Le cas où \(W\) est une sphère : suite de Gysin, Lefschetz local, annulations, et la suite exacte des degrés du milieu ; puis la même chose dite en termes de fibres générique et spéciale.
• Page 34. Un autre sujet : les conditions de finitude pour les systèmes inductifs \(\mathfrak{a}\)-adiques.

Les objets. \(W\) est une variété compacte de dimension \(2n+1\) — dans le bon cas une sphère —, \(W_0 \subset W\) une sous-variété compacte de codimension \(2\), \(Q\) un voisinage tubulaire fermé de \(W_0\), isomorphe à \(W_0 \times D^{2}\), et \(P\) l'adhérence de \(W - Q\), de sorte que \[ W = P \cup Q, \qquad P \cap Q = \partial P = \partial Q \simeq W_0 \times S^{1}, \] et que l'inclusion \(P \subset W - W_0\) est une équivalence d'homotopie. Le morceau \(P\) est fibré sur le cercle \(S^{1}\), de fibre une variété à bord \(M\) de dimension \(2n\), de bord \(\partial M = W_0\). On note \(\pi\) le groupe fondamental du cercle, qui agit sur la cohomologie de \(M\) par monodromie, et \[ K = R\Gamma(M, \Lambda) \in D(\Lambda[\pi]), \qquad L = R\Gamma(W_0, \Lambda) \in D(\Lambda), \] \(L^{\mathrm{triv}}\) désignant \(L\) muni de l'action triviale de \(\pi\). Dans la situation algébrique que le modèle traduit, \(W\) est le bord d'une petite boule autour du point singulier, \(W_0\) son intersection avec la fibre spéciale (le link), \(M\) la fibre de Milnor.²

Deux homonymies à ne pas confondre. La lettre \(n\) désigne aux pages 2 à 10 la dimension d'une variété quelconque, et à partir de la page 19 l'entier tel que \(\dim W = 2n+1\) ; on écrit \(d\) pour la première. Les lettres \(\alpha\), \(\beta\) désignent page 12 deux identifications de recollement, et à partir de la page 19 les deux composantes de la restriction \(R\Gamma(P) \to R\Gamma(\partial P)\) ; on garde ce second usage, qui est celui de tout le reste du dossier, et l'on écrit \(a\), \(b\) pour le premier.

Les coefficients. \(\Lambda\) est un anneau de coefficients, que l'on suppose être un corps, ou plus généralement un anneau auto-injectif comme \(\mathbf{Z}/\ell^{\nu}\), et \((-)^{\vee} = R\mathrm{Hom}_{\Lambda}(-, \Lambda)\) désigne le dual.³ On suppose les variétés orientées quand il le faut ; c'est le cas de toutes celles qui viennent de la géométrie complexe.

2–4

Variétés à bord et dualité (pages 2 à 4)

Soit \(P\) une variété topologique à bord, purement de dimension \(d\), de bord \(\partial P\) et d'intérieur \(\mathring{P} = P - \partial P\), et \(F\) un système local de \(\Lambda\)-modules de type fini. L'inclusion \(\mathring{P} \to P\) est une équivalence d'homotopie, donc \[ H^{*}(P, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}(\mathring{P}, F), \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad H^{*}_{\partial P}(P, F) = 0, \] et, en localisant, les faisceaux de cohomologie locale \(\underline{H}^{*}_{\partial P}(F)\) sont nuls : au voisinage d'un point du bord, \(P\) est un demi-espace. La suite exacte de la paire \((P, \partial P)\) s'écrit \[ \cdots \to H^{i}_{c}(\mathring{P}, F) \to H^{i}(P, F) \to H^{i}(\partial P, F) \to H^{i+1}_{c}(\mathring{P}, F) \to \cdots \] et la dualité de Poincaré sur la variété sans bord \(\mathring{P}\) donne \[ H^{i}_{c}(\mathring{P}, F) \simeq H^{d-i}(\mathring{P}, F^{\vee} \otimes \mathrm{or})^{\vee} \simeq H^{d-i}(P, F^{\vee} \otimes \mathrm{or})^{\vee}, \] où \(\mathrm{or}\) est le faisceau d'orientation.⁴ On obtient ainsi un homomorphisme \[ \varphi : H^{d-i}(P, F^{\vee} \otimes \mathrm{or})^{\vee} \longrightarrow H^{i}(P, F), \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \varphi \in H^{i}(P, F) \otimes H^{d-i}(P, F^{\vee} \otimes \mathrm{or}), \] et si \(\partial P = \emptyset\) c'est un isomorphisme : c'est la dualité de Poincaré pour \(P\).

Le reste de ces deux pages remplace le bord par un collier. Si \(\widetilde{\partial P} \simeq \partial P \times [0, 1]\) est un épaississement du bord et \(P' = \overline{P - \widetilde{\partial P}}\), alors \(P - P'\) se rétracte sur \(\partial P\), et l'excision \((P', \partial P') \to (P, P - P')\) donne \[ H^{i}_{P'}(P, F) \simeq H^{i}(P, \partial P; F) \simeq H^{i}_{c}(\mathring{P}, F) \simeq H^{i}_{c}(\mathring{P}', F). \] Autrement dit, la cohomologie à support compact de l'intérieur se lit aussi comme une cohomologie à support dans un compact \(P'\) que l'on a éloigné du bord ; c'est la forme sous laquelle elle reviendra.⁵

6–10

Une variété coupée en deux (pages 6 à 10)

Soit \(W\) une variété compacte purement de dimension \(d\), et \(P \subset W\) une sous-variété à bord de même dimension, adhérence de son intérieur. Soit \(Q\) l'adhérence de \(W - P\).⁶ Alors \(Q\) est aussi une sous-variété à bord, et \[ W = P \cup Q, \qquad R := P \cap Q = \partial P = \partial Q, \qquad W - R = \mathring{P} \amalg \mathring{Q}, \] avec \(R\) purement de dimension \(d-1\).

Les trois suites et leurs duales

La suite de \((W, R)\). La suite de cohomologie à support dans le fermé \(R\), jointe à l'isomorphisme de Thom en codimension \(1\), \(H^{i+1}_{R}(W, F) \simeq H^{i}(R, F \otimes \mathrm{or}_{R/W})\), s'écrit \[ \cdots \to H^{i}(W, F) \to H^{i}(P, F) \oplus H^{i}(Q, F) \to H^{i}(R, F \otimes \mathrm{or}_{R/W}) \to H^{i+1}(W, F) \to \cdots \] puisque \(H^{i}(W - R) = H^{i}(\mathring{P}) \oplus H^{i}(\mathring{Q}) = H^{i}(P) \oplus H^{i}(Q)\). L'orientation normale \(\mathrm{or}_{R/W}\) est ici triviale, \(R\) bordant \(P\).⁷ Il conjecture — « n'est sans doute autre que » — que c'est la suite de Mayer–Vietoris du recouvrement \(W = P \cup Q\), et c'est le cas, à la convention de signe près sur la flèche \(H^{i}(P) \oplus H^{i}(Q) \to H^{i}(R)\). Sa forme à supports compacts, \[ \cdots \to H^{i}_{c}(\mathring{P}, F) \oplus H^{i}_{c}(\mathring{Q}, F) \to H^{i}_{c}(W, F) \to H^{i}_{c}(R, F) \to \cdots, \] en est la transposée par dualité de Poincaré, puisque \(H^{i}_{c}(\mathring{P}, F) \simeq H^{d-i}(P, F^{\vee} \otimes \mathrm{or}_{W})^{\vee}\) et de même pour \(Q\).⁸

La suite de \((W, P)\). Si \(\widetilde{P}\) est un petit épaississement de \(P\) dans \(W\), l'excision et la page 4 donnent \(H^{i}_{P}(W, F) \simeq H^{i}_{P}(\widetilde{P}, F) \simeq H^{i}_{c}(\mathring{P}, F)\), et \(H^{i}(W - P) = H^{i}(\mathring{Q}) \simeq H^{i}(Q)\). La suite de cohomologie à support dans \(P\) devient donc \[ \cdots \to H^{i}_{c}(\mathring{P}, F) \to H^{i}(W, F) \to H^{i}(Q, F) \to \cdots, \qquad H^{i}_{c}(\mathring{P}, F) \simeq H^{d-i}(P, F^{\vee} \otimes \mathrm{or}_{W})^{\vee}, \] et symétriquement en échangeant \(P\) et \(Q\).

Le tableau de la page 10

Les trois suites s'entrelacent autour de \(H^{i}(W, F)\) en un diagramme en tresse : la suite de \((W, P)\), celle de \((W, Q)\) et celle de Mayer–Vietoris partagent deux à deux leurs termes.

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & H^{i-1}(R) \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
H^{i}_{c}(\mathring{P}) \simeq H^{d-i}(P)^{\vee} \arrow[r] & H^{i}(W) \arrow[dl] \arrow[dr] & H^{d-i}(Q)^{\vee} \simeq H^{i}_{c}(\mathring{Q}) \arrow[l] \\
H^{i}(P) \arrow[r] & H^{i}(R) & H^{i}(Q) \arrow[l]
\end{tikzcd}

Les coefficients sont omis ; les termes duaux sont pris à coefficients \(F^{\vee} \otimes \mathrm{or}_{W}\).⁹

Il en tire un tableau, qu'il appelle « Récapitulation ». Notons \(S(W, P)\) la suite de \((W, P)\) ci-dessus, \(S_{c}(W, P)\) sa forme à supports compacts et \(MV\) la suite de Mayer–Vietoris. On a \[ \left.\begin{aligned} \Phi &= S(W, P) \simeq S_{c}(W, Q) \\ \Phi' &= S(W, Q) \simeq S_{c}(W, P) \end{aligned}\right\}\ \text{duales,} \qquad \left.\begin{aligned} \Psi &= S(W, R) \simeq MV(W; P, Q) \\ \Psi' &= S_{c}(W, R) \simeq MV_{c}(W; P, Q) \end{aligned}\right\}\ \text{duales.} \] Les identifications \(S(W, P) \simeq S_{c}(W, Q)\) tiennent parce que \(W\), \(P\), \(Q\) sont compacts. \(\Psi\) fait intervenir \(H(P)\), \(H(Q)\), \(H(R)\), \(H(W)\) ; \(\Phi\) fait intervenir \(H(P)^{\vee}\), \(H(Q)\), \(H(W)\) ; \(\Phi'\) fait intervenir \(H(P)\), \(H(Q)^{\vee}\), \(H(W)\). Il les dispose en losange, \(\Psi\) en haut, \(\Psi'\) en bas, \(\Phi\) et \(\Phi'\) de part et d'autre.¹⁰

12–16

Le modèle : un livre ouvert (pages 12 à 16)

La construction

Soient \(S\), \(T\) deux variétés différentiables compactes, \(P \to S\) un fibré de fibre une variété à bord \(M\), et \(Q \to T\) un fibré de fibre une variété à bord \(N\). Alors \(\partial P\) est fibré sur \(S\) de fibre \(\partial M\), et \(\partial Q\) sur \(T\) de fibre \(\partial N\). On se donne des difféomorphismes \[ a : S \simeq \partial N, \qquad b : T \simeq \partial M \] et des trivialisations \(\sigma : \partial P \simeq S \times \partial M\), \(\tau : \partial Q \simeq T \times \partial N\).¹¹ On en déduit \[ \partial P \simeq \partial N \times \partial M, \qquad \partial Q \simeq \partial M \times \partial N, \] d'où, en échangeant les facteurs, un difféomorphisme \(\varphi : \partial P \simeq \partial Q\), et \(W\) est la variété obtenue en recollant \(P\) et \(Q\) le long de leurs bords via \(\varphi\). Les inclusions \[ W - Q = P - \partial P \hookrightarrow P, \qquad W - P = Q - \partial Q \hookrightarrow Q \] sont des équivalences d'homotopie.¹²

Le cas qui sert est celui où \(N = D^{2}\) est un disque, de bord \(S = S^{1}\), et où \(T = \partial M\). Alors \(Q = T \times D^{2}\) est un voisinage tubulaire de \(T\) (l'âme \(T \times \{0\}\) étant notre \(W_0\)), \(P\) est fibré sur le cercle de fibre \(M\), et leur bord commun est \[ S^{1} \times T = \partial N \times \partial M = \partial P = \partial Q = P \cap Q . \] C'est la structure qu'on appelle aujourd'hui un livre ouvert : \(T\) est le dos (la reliure), les fibres de \(P \to S^{1}\) sont les pages, et chacune a pour bord le dos.¹³

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
M \arrow[r, hook] & P \arrow[d] & S^{1} \times T \arrow[l, hook'] \arrow[r, hook] \arrow[dl] \arrow[dr] & Q \arrow[d] & N \arrow[l, hook'] \\
 & S = S^{1} & & T = \partial M &
\end{tikzcd}

Les flèches horizontales sont les inclusions d'une fibre et du bord commun ; les flèches obliques sont les deux projections du produit \(S^{1} \times T\).¹⁴

Le dictionnaire (page 16)

La page 16 est une feuille de croquis. Elle porte la clef de tout le dossier : la correspondance entre les morceaux du modèle et les objets de la géométrie algébrique. \[ \begin{array}{c|cccc|cccc} \text{modèle} & W & P & Q & R & M & N & T = \partial M & S = \partial N \\ \hline \text{géométrie} & V' & V_{\eta} & V'_{s} & V'_{s} \times \eta & X'_{\bar\eta} & e & V'_{s} & \eta \sim S^{1} \end{array} \] Ici \(V'\) est un voisinage épointé du point singulier, \(V'_{s}\) sa trace sur la fibre spéciale et \(V_{\eta}\) sa trace sur la fibre générique ; le point générique \(\eta\) du disque épointé joue le rôle du cercle, et la fibre géométrique générique celui de la page du livre. Le groupe \(\pi\) de la page 19 est, dans cette lecture, le groupe d'inertie, qui agit sur la fibre de Milnor par monodromie.¹⁵

La feuille porte encore deux diagrammes en perspective, en forme de cube, l'un sur les objets du modèle, l'autre sur leurs correspondants, qu'on ne reproduit pas ; un second exemplaire de l'hexagone de la page 10, prolongé jusqu'à \(H^{i+1}(W)\) ; l'accouplement \(H^{i}(Q) \times H^{d-i-1}(P) \to H^{d-1}(R) \simeq \Lambda\) ; et un dénombrement. Les dix parties à trois éléments de \(\{1, \ldots, 5\}\) sont écrites en colonnes, des sommes partielles sont encadrées — \(20\), \(14\), \(2\), \(4\) — et le total est entouré : « 40 suites exactes de coh. relative et autant pour l'homologie… En fait 80 suites exactes, mais ». La phrase s'arrête là.¹⁶

19–21

Les triangles de la fibre de Milnor (pages 19 à 21)

On revient aux notations des conventions : \(\dim W = 2n+1\), \(W_0 = T\) le dos, \(M\) la page, \(K = R\Gamma(M)\) dans \(D(\Lambda[\pi])\), \(L = R\Gamma(W_0)\). Toutes les identifications ci-dessous sont celles du modèle : \(R\Gamma(P) \simeq R\Gamma(W - W_0)\), \(R\Gamma(Q) \simeq R\Gamma(W_0)\), et \(R\Gamma_{c}(\mathring{P}) \simeq R\Gamma_{c}(W - W_0)\).¹⁷ La page 19 écrit quatre triangles distingués, la page 21 un cinquième.¹⁸

(a), dans \(D(\Lambda[\pi])\) : la suite de la paire \((M, \partial M)\), avec son action de monodromie, \[ R\Gamma_{c}(\mathring{M}) \longrightarrow K \xrightarrow{\ \rho\ } L^{\mathrm{triv}} \xrightarrow{\ +1\ } . \] L'action sur \(L\) est triviale parce que la monodromie peut être choisie égale à l'identité près du bord de \(M\) — c'est la trivialisation \(\sigma\) de la page 12. La flèche \(\rho\) est la restriction au bord, « compatible avec cup ».

(b) : on applique le foncteur des invariants dérivés \(R\Gamma^{\pi} = R\mathrm{Hom}_{\Lambda[\pi]}(\Lambda, -)\). Comme \(P\) est fibré sur le cercle de fibre \(M\), \(R\Gamma^{\pi}(K) \simeq R\Gamma(P)\) ; et \[ R\Gamma^{\pi}(L^{\mathrm{triv}}) \simeq R\Gamma(W_0 \times S^{1}) \simeq L \otimes^{\mathbf{L}}_{\Lambda} R\Gamma(S^{1}) \simeq L \oplus L[-1] . \] On obtient la suite de la paire \((P, \partial P)\), avec \(\partial P = S^{1} \times W_0\) : \[ R\Gamma_{c}(\mathring{P}) \longrightarrow R\Gamma(P) \xrightarrow{\ (\alpha, \beta)\ } L \oplus L[-1] \xrightarrow{\ +1\ } . \] La composante \(\alpha : R\Gamma(P) \to L\) est la restriction à une copie \(W_0 \times \{\mathrm{pt}\}\) du bord, compatible aux cup-produits. La composante \(\beta : R\Gamma(W - W_0) \to L[-1]\) s'identifie en cohomologie, dit la marge, au cobord de la suite de cohomologie relative qui relie \(H^{i}(W - W_0)\) et \(H^{i-1}(W_0)\) : c'est le résidu le long de \(W_0\).¹⁹

(c) : on applique à (a) le foncteur d'oubli \(D(\Lambda[\pi]) \to D(\Lambda)\), et l'on retrouve la suite de \((M, \partial M)\) sans action : \[ R\Gamma_{c}(\mathring{M}) \longrightarrow R\Gamma(M) \longrightarrow R\Gamma(W_0) \xrightarrow{\ +1\ } . \] ²⁰

(d) : la suite de cohomologie relative de \((W, W - W_0)\) — « au choix pour \((W, P)\) » —, jointe à l'isomorphisme de Thom \(R\Gamma_{W_0}(W) \simeq R\Gamma(W_0)[-2]\) : \[ R\Gamma(W_0)[-2] \longrightarrow R\Gamma(W) \longrightarrow R\Gamma(W - W_0) \xrightarrow{\ \beta\ } R\Gamma(W_0)[-1] . \] La flèche de degré \(1\) de ce triangle est, note la marge, « le \(\beta\) de (b) ».²¹ C'est la suite de Gysin.

(e) (page 21) : la suite de la paire \((W, Q)\), par excision \(H(W, Q) \simeq H_{c}(\mathring{P})\) : \[ R\Gamma_{c}(\mathring{P}) \longrightarrow R\Gamma(W) \xrightarrow{\ \rho_1\ } R\Gamma(Q) \simeq R\Gamma(W_0) \xrightarrow{\ +1\ } . \] ²²

Les restrictions \(W \to P\) et \(Q \to \partial P\) définissent un morphisme de triangles \((\theta_0, \theta_1, \theta_2)\) de (e) dans (b) : \(\theta_0\) est l'identité de \(R\Gamma_{c}(\mathring{P})\) (c'est l'isomorphisme \(u_0\) que la page dit induit), \(\theta_1 = \rho_0 : R\Gamma(W) \to R\Gamma(P)\) est la restriction, et \(\theta_2 : L \to L \oplus L[-1]\) est l'inclusion du premier facteur, image inverse par la projection \(W_0 \times S^{1} \to W_0\). D'où la relation \[ \rho_1 = \alpha \circ \rho_0 \] que la page note en marge.²³

21–25

Dualité : l'application \(u\) et les triangles autotransposés (pages 21 à 25)

L'application \(u\)

Supposons \(W\) non singulière, c'est-à-dire variété topologique ; comme \(W\) est déjà une variété au voisinage de \(W_0\), cela revient à demander que \(\mathring{P}\), ou \(\mathring{M}\), le soit.²⁴ La dualité de Poincaré sur la variété orientée \(\mathring{M}\) de dimension \(2n\) donne, de façon équivariante, \[ R\Gamma_{c}(\mathring{M}) \simeq K^{\vee}[-2n] \qquad \text{dans } D(\Lambda[\pi]), \] où \(\pi\) agit sur \(K^{\vee}\) par la contragrédiente.²⁵ La première flèche de (a) devient alors \[ \boxed{\ u : K^{\vee}[-2n] \longrightarrow K \quad \text{dans } D(\Lambda[\pi])\ } \] et (a) devient le triangle \[ \text{(a')} \qquad K^{\vee}[-2n] \xrightarrow{\ u\ } K \xrightarrow{\ \rho\ } L^{\mathrm{triv}} \xrightarrow{\ \rho'\ } K^{\vee}[-2n+1] . \] En cohomologie, \(u\) est l'application \(H^{i}_{c}(\mathring{M}) \to H^{i}(M)\) qui oublie le support ; en degré \(n\) c'est la forme d'intersection de la fibre de Milnor.

Comme \(K\) est parfait sur \(\Lambda\), une flèche \(K^{\vee}[-2n] \to K\) est la même chose qu'une classe de degré \(2n\) de \(K \otimes^{\mathbf{L}}_{\Lambda} K\) ; pour qu'elle soit une flèche de \(D(\Lambda[\pi])\), la classe doit être prise dans la cohomologie de \(\pi\) : \[ u \in H^{2n}\bigl(\pi,\ K \otimes^{\mathbf{L}}_{\Lambda} K\bigr) = \mathrm{Hom}_{D(\Lambda[\pi])}(K^{\vee}[-2n], K). \] ²⁶

Il affirme que \(\rho\) et \(\rho'\) sont transposés l'une de l'autre, avec un « signe ? », c'est-à-dire que le triangle (a') est autotransposé : son dual, décalé de \(-2n\), est le même triangle tourné. C'est la dualité de Poincaré–Lefschetz pour la variété à bord \(M\) : elle échange \(R\Gamma(M)\) et \(R\Gamma_{c}(\mathring{M})\), et, \(\partial M = W_0\) étant une variété fermée de dimension \(2n-1\), elle identifie \(L^{\vee}[-2n]\) à \(L[-1]\). Le transposé de \(\rho : K \to L\) est alors une flèche \(L[-1] \to K^{\vee}[-2n]\), c'est-à-dire \(\rho'\).²⁷

Les triangles (c') et (b')

Le foncteur d'oubli donne \[ \text{(c')} \qquad R\Gamma(M)^{\vee}[-2n] \longrightarrow R\Gamma(M) \longrightarrow R\Gamma(W_0) \xrightarrow{\ +1\ }, \] « encore un triangle autotransposé ». Le foncteur \(R\Gamma^{\pi}\) donne \[ \text{(b')} \qquad R\Gamma(P)^{\vee}[-2n-1] \xrightarrow{\ u_1\ } R\Gamma(P) \xrightarrow{\ (\alpha, \beta)\ } L \oplus L[-1] \xrightarrow{\ (\alpha', \beta')\ } , \] autotransposé lui aussi, avec \(R\Gamma(P) \simeq R\Gamma(W - W_0)\) et \(R\Gamma(P)^{\vee}[-2n-1] \simeq R\Gamma_{c}(\mathring{P})\) : c'est la dualité de Poincaré–Lefschetz pour la variété à bord \(P\), de dimension \(2n+1\).

Le décalage \(-2n-1\) et non \(-2n\) est ce que la marge encadrée demande de vérifier : « la commutation de \(R\Gamma^{\pi}\) à \(R\mathrm{Hom}_{\Lambda}(-, \Lambda)\) ». Elle a lieu avec un décalage : pour \(\pi = \mathbf{Z}\), groupe de dualité de Poincaré de dimension \(1\) (c'est la dualité sur le cercle), \[ R\Gamma^{\pi}(K^{\vee}) \simeq R\Gamma^{\pi}(K)^{\vee}[-1] . \] ²⁸

Les données nouvelles

Il en tire deux structures nouvelles. La première est \[ \boxed{\ u_1 : R\Gamma(W - W_0)^{\vee}[-2n-1] \longrightarrow R\Gamma(W - W_0)\ }, \] l'image de \(u\) par \(R\Gamma^{\pi}\). La seconde est une paire d'accouplements, obtenus en transposant \(\alpha\) et \(\beta\) et en identifiant \(L^{\vee} \simeq L[2n-1]\) par la dualité de Poincaré sur \(W_0\) : \[ \boxed{\begin{aligned} \lambda &: R\Gamma(W_0) \otimes R\Gamma(W - W_0) \longrightarrow \Lambda[-2n], \\ \mu &: R\Gamma(W_0) \otimes R\Gamma(W - W_0) \longrightarrow \Lambda[-(2n-1)], \end{aligned}} \] soit, en cohomologie, \[ \lambda : H^{2n-i}(W_0) \times H^{i}(W - W_0) \to \Lambda, \qquad \mu : H^{2n-1-i}(W_0) \times H^{i}(W - W_0) \to \Lambda . \] Par la dualité de Poincaré sur \(W_0\), \(H^{2n-i}(W_0)^{\vee} \simeq H^{i-1}(W_0)\) et \(H^{2n-1-i}(W_0)^{\vee} \simeq H^{i}(W_0)\), de sorte que ces accouplements sont des applications \[ \lambda^{i} : H^{i}(W - W_0) \to H^{i-1}(W_0), \qquad \mu^{i} : H^{i}(W - W_0) \to H^{i}(W_0), \] et il le dit : « je dis que c'est \(\beta\) », « je dis que c'est \(\alpha\) ». C'est bien ce qu'ils sont, par construction.²⁹

La page 25 résume : on a deux données remarquables, \(u\) et l'accouplement \[ \boxed{\ R\Gamma(W_0)^{\mathrm{triv}} \otimes K \longrightarrow \Lambda[-(2n-1)]\ }, \] qui n'est autre que \(\rho\) : par dualité de \(W_0\), une flèche \(K \to L^{\vee}[-(2n-1)] \simeq L^{\mathrm{triv}}\) est la même chose qu'un tel accouplement. Et « enfin, les triangles (a) et (b) sont transposés », chacun étant son propre transposé.³⁰

Sans hypothèse de non-singularité

Une remarque (« NB ») étend tout cela : avec des coefficients généraux, localement constants au voisinage de \(W_0\), et les coefficients « duaux » de l'autre côté, on n'a plus besoin que \(W\) soit non singulière. La dualité de Verdier remplace celle de Poincaré, et elle apparie les triangles comme suit : (a), (b) et (c) sont chacun transposés d'un triangle du même type, et (d) est transposé de (e). En effet, le dual de (d) décalé de \(-(2n+1)\) est, terme à terme, \[ R\Gamma_{c}(W - W_0) \longrightarrow R\Gamma(W) \longrightarrow R\Gamma(W_0) \xrightarrow{\ +1\ }, \] qui est (e).³¹

25–31

Quand \(W\) est une sphère (pages 25 à 31)

La suite de Gysin

Supposons que \(W\) soit une sphère cohomologique de dimension \(2n+1\) : \(H^{i}(W) = \Lambda\) pour \(i = 0, 2n+1\), et \(0\) sinon. La suite de Gysin (d), \[ \cdots \to H^{i-2}(W_0) \to H^{i}(W) \to H^{i}(W - W_0) \xrightarrow{\ \beta\ } H^{i-1}(W_0) \to H^{i+1}(W) \to \cdots, \] donne aussitôt :

• a)si \(i \neq 0, 2n\), le résidu \(\beta : H^{i}(W - W_0) \to H^{i-1}(W_0)\) est un isomorphisme ;³²
• b)dans les degrés du haut, la portion \[ 0 = H^{2n}(W) \to H^{2n}(W - W_0) \hookrightarrow H^{2n-1}(W_0) \twoheadrightarrow H^{2n+1}(W) = \Lambda \to H^{2n+1}(W - W_0) = 0 , \] avec \(H^{2n}(W_0) = 0\). Si \(W_0\) est connexe, \(H^{2n-1}(W_0) \simeq \Lambda\) par dualité, et donc \(H^{2n}(W - W_0) = 0\) et \(H^{2n-1}(W_0) \simeq H^{2n+1}(W)\).³³

La réciproque est encadrée en marge, et elle est juste : si \(W\) est une variété fermée connexe orientable de dimension \(2n+1\), c'est une sphère cohomologique si et seulement si \(\beta : H^{i}(W - W_0) \to H^{i-1}(W_0)\) est un isomorphisme pour \(i \neq 0, 2n\) et injectif pour \(i = 2n\) ; quand \(W_0\) est connexe, la dernière condition équivaut à \(H^{2n}(W - W_0) = 0\).³⁴

Lefschetz local

Supposons l'espace total \(X\) régulier au point singulier \(x\) de la fibre. Alors le théorème de Lefschetz local donne \[ H^{i}(W) \longrightarrow H^{i}(W_0) \quad \text{isomorphisme pour } i \leq n-2, \ \text{injectif pour } i = n-1, \] et, transposé par les dualités de \(W\) (dimension \(2n+1\)) et de \(W_0\) (dimension \(2n-1\)), il devient l'énoncé sur l'application de Gysin \[ H^{i}(W_0) \longrightarrow H^{i+2}(W) \quad \text{isomorphisme pour } i \geq n+1, \ \text{surjectif pour } i = n . \] ³⁵

Donc la cohomologie de \(W\) détermine celle de \(W_0\), sauf dans les deux degrés \(n-1\) et \(n\) — « complémentaires, i.e. où les cohomologies sont duales pour \(W_0\) ». Et l'on a \[ H^{i}(W - W_0) = H^{i}(P) = 0 \qquad \text{pour } i > n+1 . \]

Les annulations

Revenant au cas où \(W\) est une sphère, on trouve \[ H^{i}(W_0) = 0 \quad \text{si } i \neq 0, n-1, n, 2n-1, \qquad H^{i}(W - W_0) = 0 \quad \text{si } i \neq 0, 1, n, n+1, \] la première par Lefschetz local et sa transposée, la seconde par le résidu \(\beta\).³⁶ La suite de Gysin est alors triviale, sauf les morceaux \[ \begin{aligned} &0 \to H^{0}(W) \to H^{0}(W - W_0) \to 0, \qquad 0 \to H^{1}(W - W_0) \to H^{0}(W_0) \to 0, \\ &0 \to H^{n}(W - W_0) \to H^{n-1}(W_0) \to 0, \qquad 0 \to H^{n+1}(W - W_0) \to H^{n}(W_0) \to 0 \quad (n \neq 1), \\ &0 \to H^{2n-1}(W_0) \to H^{2n+1}(W) \to 0, \end{aligned} \] et, pour \(n = 1\), où les degrés \(n\) et \(2n-1\) se confondent, le dernier devient \(0 \to H^{2}(W - W_0) \to H^{1}(W_0) \to H^{3}(W) \simeq \Lambda \to 0\). Pour \(n = 1\), \(W_0\) est un entrelacs de la sphère de dimension \(3\), qui peut avoir plusieurs composantes : c'est l'exemple du nœud de trèfle.

Il en déduit, encadré, \[ \boxed{\ H^{i}(M, \Lambda) = 0 \quad \text{pour } i > n\ } \] et ajoute, entre crochets, que c'est « indépendant en fait » de la non-singularité de \(W\) et de \(W_0\). L'énoncé est vrai, et c'est la remarque entre crochets qui le justifie : \(M\) a le type d'homotopie d'un complexe cellulaire de dimension \(n\).³⁷

La suite exacte des degrés du milieu

Lorsque \(W\) est non singulière, le triangle (c') donne la suite exacte longue \[ \cdots \to H^{2n-i}(M)^{\vee} \xrightarrow{\ u\ } H^{i}(M) \to H^{i}(W_0) \to H^{2n-i-1}(M)^{\vee} \xrightarrow{\ u\ } H^{i+1}(M) \to H^{i+1}(W_0) \to \cdots \] Avec l'annulation précédente, elle donne des isomorphismes en dehors du milieu : \[ \begin{aligned} H^{i}(M) &\xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(W_0) && \text{pour } i \leq n-2, && \text{injectif pour } i = n-1, \\ H^{i}(W_0) &\xrightarrow{\ \sim\ } H^{2n-i-1}(M)^{\vee} && \text{pour } i \geq n+1 . \end{aligned} \] ³⁸ Ainsi \(H^{q}(M)\) est connu en termes de \(H^{q}(W_0)\), sauf dans les degrés \(n-1\) et \(n\), où l'on a la suite exacte \[ H^{n-1}(M) \to H^{n-1}(W_0) \to H^{n}(M)^{\vee} \xrightarrow{\ u\ } H^{n}(M) \to H^{n}(W_0) \to H^{n-1}(M)^{\vee} . \] ³⁹

Supposons enfin que \(W\) soit la sphère topologique et \(n \geq 3\). Alors \(H^{i}(W_0) = 0\) pour \(i \neq 0, n-1, n, 2n-1\), donc par ce qui précède \[ H^{i}(M) = 0 \qquad \text{pour } i \neq 0, n-1, n, \] et la suite des degrés du milieu se ferme en une suite exacte que la page encadre sur deux lignes, la seconde étant la transposée de la première : \[ \boxed{\begin{array}{c} 0 \to H^{n+1}(M)^{\vee} \xrightarrow{\ u\ } H^{n-1}(M) \to H^{n-1}(W_0) \to H^{n}(M)^{\vee} \\ \downarrow u \\ 0 \leftarrow H^{n+1}(M) \xleftarrow{\ {}^{t}u\ } H^{n-1}(M)^{\vee} \leftarrow H^{n}(W_0) \leftarrow H^{n}(M) \end{array}} \] Avec \(H^{n+1}(M) = 0\), les deux termes extrêmes sont nuls, et ce qui reste est la suite à six termes \[ 0 \to H^{n-1}(M) \to H^{n-1}(W_0) \to H^{n}(M)^{\vee} \xrightarrow{\ u\ } H^{n}(M) \to H^{n}(W_0) \to H^{n-1}(M)^{\vee} \to 0, \] symétrique sous la dualité, l'application \(u\) du milieu étant autotransposée.⁴⁰

33–33

En termes de fibres (page 33)

La page 33, sur un autre papier, récrit le critère de la page 27 dans le langage du dictionnaire de la page 16 : \(V\) joue le rôle de \(W\), sa partie générique \(V_{\eta}\) celui de \(W - W_0\), sa partie spéciale \(V_{s}\) celui de \(W_0\).⁴¹ Il vient, pour \(n \geq 1\) : \[ V \text{ sphère cohomologique} \iff \left\{\begin{aligned} &H^{i}(V_{\eta}) \to H^{i-1}(V_{s}) \ \text{isomorphisme pour } i \neq 0, 2n, \\ &H^{0}(V_{\eta}) \simeq \Lambda, \\ &H^{2n}(V_{\eta}) \to H^{2n-1}(V_{s}) \ \text{injectif, de conoyau} \simeq \Lambda . \end{aligned}\right. \] C'est le critère encadré de la page 27, rendu complet par les conditions en degrés \(0\) et \(2n\). Il est accompagné de la portion de suite \[ 0 \to H^{2n}(V_{\eta}) \to H^{2n-1}(V_{s}) \to H^{2n+1}(V) \to H^{2n+1}(V_{\eta}) \to H^{2n}(V_{s}) = 0, \] où \(H^{2n}(V_{\eta}) = 0\) si \(n \geq 2\) et \(H^{2n+1}(V_{\eta}) = 0\) si \(n \geq 1\) — c'est l'annulation au-dessus de \(n+1\), puisque \(2n+1 > n+1\).

La page conclut : si l'on sait déjà que la singularité est isolée, « \(H^{i}(V_{s}) = 0\) si \(i \neq 0, n-1, n\) ». Pris au pied de la lettre pour le link, c'est faux en degré \(2n-1\), où la même page a \(H^{2n-1}(V_{s}) \simeq \Lambda\). C'est en revanche exactement l'énoncé de la page 31 pour la fibre de Milnor, et la marge, qui écrit \(H^{i}(V_{\xi}) \simeq H^{i}(V_{s})\), semble aller dans ce sens.⁴²

34–34

Un autre sujet : finitude et noyaux (page 34)

La dernière page, sur le même papier que la précédente, change de sujet. Elle note un « inconvénient sérieux » des groupes \(\mathrm{Ext}^{n}(S, T; A)\) lorsque la catégorie \(A\) satisfait l'axiome (AB5) des limites inductives filtrantes exactes : les conditions de finitude naturelles sur les systèmes inductifs \(\mathfrak{a}\)-adiques, ou essentiellement \(\mathfrak{a}\)-adiques — pour \(A\) localement noethérienne — ne semblent pas stables par passage au noyau. Dualement, sous (AB5\(^{*}\)), les conditions de finitude correspondantes ne semblent pas stables par conoyau. La phrase finit sur deux points d'exclamation.⁴³

Suit un Exemple, entièrement barré : \(A\) un anneau noethérien, \(f\), \(g\) deux éléments formant une suite \(M\)-régulière, et \[ P = M_{f}/M = \varinjlim_{n} M/f^{n}M, \] le système inductif ayant pour flèches de transition \(M/f^{n}M \to M/f^{m}M\) la multiplication par \(f^{m-n}\), donc injectives. L'exemple s'arrête sur « \(Q =\) ».⁴⁴