Cote n° 121 · pages 1–72 · Lecture modernisée · Topologie modérée : notes manuscrites (s.d.), lettre (1974) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1974
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–72

Le dossier, sa charpente et ses notations

Soixante-douze pages, dont neuf sans texte suivi : huit feuillets blancs de séparation (pages 2, 24, 28, 37, 39, 52, 63, 68) et la chemise rose de la page 47, titrée de sa main « Équisingularité / Cellules ». La chemise grise de la page 1 porte de sa main « Topologie Modérée ». Rien n'est daté ; la date de 1974 est celle de l'inventaire, qui l'attache à une « lettre ». Le dossier contient deux brouillons de lettres de sa main : les pages 29 à 36, où il se réfère deux fois à une lettre précédente à A'Campo et qui ont tout l'air d'une lettre au même correspondant, et, tête-bêche sur la page 66, le début biffé d'une lettre de bienvenue en anglais, sans mathématiques, que la transcription ne reproduit pas.¹

Le fil n'est pas continu : ce sont des moutures successives, sur des papiers et des encres différents, d'un même projet. On les garde distinctes.

• Pages 1 et 3 à 23 — l'approche ensembliste. Un ensemble \(\mathcal{F}\) de parties d'un espace \(X\), ses conditions a) à f), les décompositions cellulaires, l'existence d'un découpage plus grossier que tous les autres, les décompositions régulières, la localisation et le passage aux faisceaux. Paragraphes numérotés de sa main, § 1 à § 5.
• Pages 25 à 27 — l'ordre de mobilité. Une singularité est « mobile » si la figure se déplace le long d'une variété en gardant la même allure ; quatre propositions posées comme questions.
• Pages 29 à 36 — « Équisingularité », mis au propre. Partitions équisingulières et privilégiées d'un espace et d'un diagramme d'espaces, deux conjectures d'existence d'une partition canonique, et la construction conjecturale pour une application propre (brouillon de lettre à A'Campo).
• Pages 38 et 40 à 46 — recoller. Une catégorie de faisceaux « recollés » sur un diagramme \(Y \leftarrow Z \hookrightarrow X\), puis la reconstruction d'un espace stratifié à partir de variétés à bord fibrées les unes sur les autres.
• Pages 47 à 51 — « Équisingularité. Cellules ». Reprise des partitions admissibles, du point de vue des feuilles fermées.
• Pages 53 à 67 — la catégorie modérée. Axiomes M0) à M5) d'une catégorie munie d'un foncteur vers les espaces compacts, leur traduction en classes \(\mathcal{M}_n\) de parties des cubes, la généralisation à une catégorie \(\mathcal{K}\) quelconque, les sommes amalgamées.
• Pages 69 à 72 — les \(C\)-modèles. Une dernière mouture, mise au propre et numérotée « 1) », « 2) » : des classes \(C_n\) de parties de \(R^n\) et la catégorie qu'elles engendrent.

Deux homonymies à ne pas confondre. Le mot « admissible » sert trois fois : une décomposition cellulaire est \(\mathcal{F}\)-admissible (page 13) si ses cellules sont dans \(\mathcal{F}\) ; une partition est admissible (page 31, et page 51 sous une forme un peu différente) si chaque feuille est localement fermée et d'adhérence réunion de feuilles ; un système de partitions sur un diagramme est admissible (page 32) si les flèches envoient feuille dans feuille. Les lettres a) b) c) désignent aussi plusieurs listes de conditions sans rapport ; on dit chaque fois de quelle liste il s'agit. Enfin le § 1 emploie deux fois la lettre c) : on appelle ici c bis) la seconde (stabilité par adhérence).²

Vocabulaire. Une partie d'un espace est rare si son adhérence est d'intérieur vide ; \(\overline{A}\), \(\mathring{A}\) et \(\partial A = \overline{A} \setminus \mathring{A}\) sont l'adhérence, l'intérieur et la frontière.³ Les morceaux d'une partition s'appellent cellules aux §§ 2 à 4 et feuilles à partir de la page 25, comme il les appelle.

1–1

La couverture (page 1)

Sous le titre, des esquisses au crayon : des cubes \(I^{n-1} \to I^n \leftarrow I^{n+1}\), des plongements \(X \hookrightarrow I^n\), un espace \(X\) présenté comme quotient d'une somme \(\coprod X_i\) par des flèches de recollement, une relation d'équivalence \(R \simeq X \times_Y X\) et, dans un cadre, un plongement \(\beta : X \hookrightarrow M\) soumis à deux conditions : les composés \(\beta \circ p_i\) sont modérés, et \(\beta\) est injectif.⁴ Ce sont les ingrédients de la troisième mouture du dossier : présenter un objet par recollement de pièces, et le plonger dans un cube.

3–9

§ 1. Structure modérée sur un espace (pages 3 à 9)

L'algèbre de Boole et l'anneau des fonctions étagées

Soit \(X\) un ensemble et \(\mathcal{F}\) un ensemble de parties de \(X\) stable par réunions finies (a), intersections finies (b) et passage au complémentaire (c) : une algèbre de Boole de parties de \(X\). Pour un anneau commutatif \(\Lambda\), soit \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}}\) l'ensemble des fonctions \(f : X \to \Lambda\) ne prenant qu'un nombre fini de valeurs et dont chaque fibre \(f^{-1}(\lambda)\) est dans \(\mathcal{F}\). C'est une sous-\(\Lambda\)-algèbre unitaire de l'algèbre \(\mathrm{Et}(X, \Lambda)\) des fonctions étagées — les fibres d'une somme ou d'un produit sont des réunions finies d'intersections \(f^{-1}(\lambda) \cap g^{-1}(\mu)\) — et \(\mathcal{F}\) s'en déduit, comme l'ensemble des \(A\) dont la fonction caractéristique est dans \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}}\).⁵

Quand \(\Lambda\) est intègre, de corps des fractions \(K\), il affirme que les algèbres ainsi obtenues sont exactement les traces sur \(\mathrm{Et}(X,\Lambda)\) des sous-algèbres de \(\mathrm{Et}(X, K)\), c'est-à-dire les sous-algèbres saturées : si \(\lambda \neq 0\) et \(\lambda \varphi \in \mathcal{A}\), alors \(\varphi \in \mathcal{A}\). C'est juste pour les sous-algèbres unitaires : si \(f \in \mathcal{A}\) prend les valeurs \(c_1, \dots, c_k\), l'interpolation de Lagrange donne \(d \cdot \mathbf{1}_{f^{-1}(c_j)} = \prod_{l \neq j} (f - c_l) \in \mathcal{A}\) avec \(d = \prod_{l \neq j}(c_j - c_l) \neq 0\), et la saturation fait le reste.⁶

Les conditions topologiques (pages 4 et 5)

Supposons maintenant \(X\) topologique. On considère :

• c bis)pour tout \(A \in \mathcal{F}\), \(\overline{A} \in \mathcal{F}\) ; de façon équivalente (par passage au complémentaire), \(\mathring{A} \in \mathcal{F}\). Alors \(\partial A \in \mathcal{F}\), et la partition de \(X\) en \(\mathring{A}\), \(\partial A\), \(X \setminus \overline{A}\) est formée d'éléments de \(\mathcal{F}\).
• d)pour tout \(A \in \mathcal{F}\), \(A\) contient un ouvert dense de son adhérence ; autrement dit, \(\overline{A}\) privé de l'intérieur de \(A\) relatif à \(\overline{A}\) est rare dans \(\overline{A}\) (et a fortiori dans \(X\)).⁷
• e)toute suite décroissante \(A_1 \supset A_2 \supset \cdots\) de fermés appartenant à \(\mathcal{F}\), avec \(A_{n+1}\) rare dans \(A_n\), est stationnaire à \(\emptyset\).

La condition d) est celle qui distingue les parties sages des parties comme \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) ; la condition e) est une dimension finie déguisée : on ne peut pas emboîter indéfiniment des bords dans des bords.

Une remarque sur les générateurs. Si \(\mathcal{L} \subset \mathfrak{P}(X)\) est stable par réunions et intersections finies et contient \(\emptyset\) et \(X\), l'algèbre de Boole engendrée par \(\mathcal{L}\) est formée des réunions finies de parties \(A \cap \complement B\), \(A, B \in \mathcal{L}\).⁸

Proposition (page 5). Si \(\mathcal{F}\) satisfait a) à e), elle est engendrée, comme algèbre de Boole, par l'ensemble \(\mathcal{F}_0\) de ses éléments fermés.⁹

Pour \(A \in \mathcal{F}\), on écrit \(A = \mathring{A} \cup (A \cap \partial A)\). L'intérieur \(\mathring{A} = \complement\, \overline{\complement A}\) est le complémentaire d'un fermé de \(\mathcal{F}\). Reste \(A_1 = A \cap \partial A\), qui est un élément de \(\mathcal{F}\) contenu dans le fermé \(X_1 = \partial A\), et \(X_1\) est rare dans \(X\) (on le montre plus bas). On recommence dans \(X_1\) avec l'algèbre induite \(\mathcal{F}|X_1 = \{ B \in \mathcal{F} : B \subset X_1 \}\), qui satisfait encore a) à e). On obtient une suite de fermés \(X \supset X_1 \supset X_2 \supset \cdots\) de \(\mathcal{F}\), chacun rare dans le précédent ; par e) elle s'arrête, et \(A\) est une réunion finie de différences de fermés de \(\mathcal{F}\).¹⁰

Les fermés suffisent (pages 6 à 8)

Puisque tout se ramène à \(\mathcal{F}_0\), il demande quand un ensemble \(\mathcal{F}_0\) de fermés est exactement l'ensemble des fermés de l'algèbre de Boole qu'il engendre. Il faut évidemment

• \(\alpha\))\(\mathcal{F}_0\) stable par réunions finies ;
• \(\beta\))\(\mathcal{F}_0\) stable par intersections finies ;

et il suffit d'y ajouter

• \(\gamma\))pour \(A, B \in \mathcal{F}_0\), \(\overline{A \cap \complement B} \in \mathcal{F}_0\),

car l'adhérence d'une réunion finie est la réunion des adhérences. Sous \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), la condition d) est alors automatique : si \(C = \bigcup_i C_i\) avec \(C_i = A_i \cap \complement B_i\), posons \(D_i = \overline{C_i} \in \mathcal{F}_0\) et \(E_i = D_i \cap B_i\). Comme \(C_i\) est ouvert et dense dans \(D_i\), le fermé \(E_i = D_i \setminus C_i\) est rare dans \(D_i\), donc dans \(D = \bigcup D_i = \overline{C}\), et \(E = \bigcup E_i\) est rare dans \(D\). Or \(D \setminus E \subset C \subset D\) : \(C\) contient un ouvert dense de son adhérence.¹¹

Sous \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), l'adhérence d'un \(A \in \mathcal{F}\) est le plus petit élément de \(\mathcal{F}_0\) qui le contient : elle se lit dans \(\mathcal{F}_0\), sans faire appel à la topologie de \(X\). Il en va donc de même de la rareté : pour \(A \subset B\) dans \(\mathcal{F}_0\), \(A\) est rare dans \(B\) si et seulement si tout élément de \(\mathcal{F}_0\) contenant \(B \setminus A\) contient \(B\). L'axiome e) se récrit :

• \(\varepsilon\))toute suite décroissante d'éléments de \(\mathcal{F}_0\), chacun « \(\mathcal{F}_0\)-rare » dans le précédent au sens qu'on vient de dire, est stationnaire à \(\emptyset\).

Retrouver la topologie. Inversement, soit \(\mathcal{F}_0\) une famille de parties d'un ensemble nu \(X\), stable par réunions et intersections finies et contenant \(\emptyset\) et \(X\). Il existe une topologie pour laquelle les éléments de \(\mathcal{F}_0\) sont fermés et vérifient \(\gamma\)) si et seulement si

• \(\gamma'\))pour \(A, B \in \mathcal{F}_0\), il existe un plus petit élément de \(\mathcal{F}_0\) contenant \(A \cap \complement B\).¹²

On prend pour fermés les intersections quelconques d'éléments de \(\mathcal{F}_0\) — elles sont stables par réunions finies, par distributivité. C'est la moins fine des topologies qui conviennent, et elle est caractérisée par la propriété : tout point a un système fondamental de voisinages ouverts appartenant à \(\mathcal{F}\).

Le bord est mince (page 8). Sous a) à d), la frontière \(\partial A\) d'un \(A \in \mathcal{F}\) est rare dans \(X\). Soit en effet \(U\) l'intérieur de \(\partial A\), qui est dans \(\mathcal{F}\). Si \(U\) n'était pas vide, \(U \cap A\) serait non vide (car \(U \subset \overline{A}\) est ouvert) et d'intérieur vide (un ouvert contenu dans \(U \cap A\) serait dans \(\mathring{A}\), disjoint de \(\partial A\)) ; mais \(\overline{U \cap A} \supset U\), et par d) \(U \cap A\) contiendrait un ouvert dense de son adhérence, qui rencontrerait \(U\) en un ouvert de \(X\) contenu dans \(A\) — contradiction.¹³

La condition f) (page 9)

• f)pour tout \(A \in \mathcal{F}\) localement fermé — c'est-à-dire \(A = B \setminus C\) avec \(B, C \in \mathcal{F}_0\) —, les composantes connexes de \(A\) sont en nombre fini et appartiennent à \(\mathcal{F}\).

Elles sont alors ouvertes dans \(A\). Sous f), la connexité d'un \(A\) localement fermé se lit dans \(\mathcal{F}_0\) : \(A\) est connexe si et seulement s'il n'est pas réunion disjointe de deux éléments non vides de \(\mathcal{F}\) fermés dans \(A\). Et si les ouverts de \(\mathcal{F}\) forment une base de la topologie, f) entraîne que les éléments de \(\mathcal{F}\) sont localement connexes : la composante d'un point dans \(U \cap A\), pour \(U\) un petit ouvert de \(\mathcal{F}\), est ouverte, étant l'une d'un nombre fini de composantes fermées.¹⁴

Les conditions a) à f) sont, à la terminologie près, celles qu'on demande aujourd'hui aux ensembles définissables d'une structure o-minimale sur \(\mathbb{R}\) : algèbre de Boole stable par adhérence, frontière de dimension plus petite, dimension finie, nombre fini de composantes définissables. ¹⁵

10–13

§ 2. Décompositions cellulaires (pages 10 à 13)

Soit \(\mathcal{P} = (X_i)_{i \in I}\) une partition finie de \(X\), et \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) l'algèbre de Boole des réunions de \(X_i\) ; les fonctions de \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}_{\mathcal{P}}}\) sont celles qui se factorisent par l'ensemble quotient \(X/\mathcal{R} \simeq I\). Pour \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\), la condition c bis) équivaut à

• (1)l'adhérence de chaque \(X_i\) est une réunion de cellules,

qui est la condition de frontière des stratifications. On lui adjoint

• (2)deux cellules distinctes ont des adhérences distinctes.

Une décomposition cellulaire (finie) est une partition finie satisfaisant (1) et (2) ; elle est stricte si de plus

• (3)les cellules sont connexes.

Les cellules sont localement fermées. La relation \(i \prec j\) si \(\overline{X_i} \subset \overline{X_j}\) — la relation d'incidence — est un préordre, et un ordre grâce à (2). Une cellule minimale \(X_{i_0}\) est fermée : \(\overline{X_{i_0}} \setminus X_{i_0}\) est une réunion de cellules d'adhérence contenue dans \(\overline{X_{i_0}}\), donc strictement par (2), ce que la minimalité interdit. On recommence sur l'ouvert \(X \setminus X_{i_0}\) muni de la partition induite, qui satisfait encore (1) et (2). Inversement, (1) et « les cellules sont localement fermées » entraînent (2) : une cellule est ouverte et dense dans son adhérence, et deux ouverts denses d'un même espace se rencontrent.¹⁶ L'algèbre \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) est alors engendrée par les adhérences des cellules, qui vérifient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) ; donc d) est automatique, par la page 6, et e) l'est aussi puisque \(I\) est fini.

(3) équivaut à f). Si f) vaut pour \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\), une cellule, localement fermée et élément non vide minimal de \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\), a ses composantes dans \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\), donc est connexe. Inversement, sous (3), un \(A \in \mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) localement fermé hérite d'une décomposition cellulaire stricte — (2) passe à la partition induite, car si \(X_i, X_j \subset A\) et \(\overline{X_i} \cap A = \overline{X_j} \cap A\), alors \(X_i \subset \overline{X_j}\) et \(X_j \subset \overline{X_i}\) —, et ses composantes connexes sont des réunions de cellules, puisque les cellules sont connexes.¹⁷

Le quotient fini. L'espace quotient \(I = X/\mathcal{R}\) est un espace topologique fini. L'adhérence de \(\{i\}\) correspond au plus petit fermé saturé contenant \(X_i\), c'est-à-dire à \(\overline{X_i}\) par (1) : la relation d'incidence est la relation de spécialisation de \(I\). La condition (2) dit que \(I\) est \(T_0\)¹⁸ , et la condition (1) dit que l'application quotient \(\varphi : X \to I\) est ouverte.¹⁹ D'où l'énoncé, qui clôt le paragraphe : les décompositions cellulaires finies de \(X\) correspondent aux quotients finis \(T_0\) de \(X\) pour lesquels l'application quotient est ouverte.

Un espace fini \(T_0\) est la même chose qu'un ensemble ordonné fini ; une application continue \(X \to I\) vers un ensemble ordonné muni de la topologie d'Alexandrov est ce qu'on appelle aujourd'hui un espace stratifié au-dessus de \(I\), et l'ouverture de l'application est précisément la condition de frontière.²⁰

13–16

§ 3. Décompositions \(\mathcal{F}\)-admissibles : existence (pages 13 à 16)

Une décomposition cellulaire est \(\mathcal{F}\)-admissible si ses cellules sont dans \(\mathcal{F}\), c'est-à-dire si \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}} \subset \mathcal{F}\).

Proposition (page 14). Soit \(\mathcal{F}\) satisfaisant a) à e), et \(\mathcal{L} \subset \mathcal{F}\) une partie finie. Il existe une décomposition cellulaire \(\mathcal{F}\)-admissible dont les éléments de \(\mathcal{L}\) sont des réunions de cellules, et parmi elles une plus grossière que toutes les autres.²¹

Soit \(X' = \bigcup_{Y \in \mathcal{L}} \partial Y\), fermé rare comme réunion finie de fermés rares (page 8), et \(U = X \setminus X'\). Dans \(U\), chaque \(Y \cap U\) est ouvert et fermé ; les atomes \(U_i\) de l'algèbre de Boole finie qu'ils engendrent sont ouverts et fermés dans \(U\), donc ouverts dans \(X\). On résout le même problème dans \(X'\) pour la famille \(\mathcal{L}' = \{ Y \cap X' \}_{Y \in \mathcal{L}} \cup \{ \overline{U_i} \cap X' \}_i\) ; la décomposition cherchée de \(X\) est formée des cellules de \(X'\) et des \(U_i\). Comme \(X'\) est rare dans \(X\), la récurrence s'arrête par e).

La page dit que le résultat est le plus grossier sans le justifier ; voici pourquoi c'est vrai. Si \(\mathcal{Q}\) est une décomposition admissible rendant les \(Y \in \mathcal{L}\) réunions de cellules, une cellule de \(\mathcal{Q}\) qui rencontre \(\partial Y\) y est contenue : si elle est dans \(Y\), elle est dans l'adhérence d'une cellule de \(\complement Y\) par (1), donc disjointe de \(\mathring{Y}\), et symétriquement. Donc \(\mathcal{Q}\) se restreint à \(U\), où elle raffine les atomes \(U_i\), et à \(X'\), où elle rend les \(\overline{U_i} \cap X'\) réunions de cellules ; la récurrence conclut.

Corollaire 1. Sous a) à e), \(\mathcal{F}\) est réunion filtrante des \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\), \(\mathcal{P}\) parcourant les décompositions \(\mathcal{F}\)-admissibles. Corollaire 2. Ces décompositions, ordonnées par raffinement, ont des bornes supérieures finies.²²

Remarque (page 16). Si \(\mathcal{F}\) satisfait aussi f), on peut exiger des cellules connexes : on remplace les \(U_i\) par leurs composantes connexes, en nombre fini et dans \(\mathcal{F}\) puisque \(U_i\) est un ouvert de \(\mathcal{F}\). Il existe alors une décomposition stricte plus grossière que toutes les autres, et \(\mathcal{F}\) est réunion filtrante des \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) stricts.

C'est l'énoncé qu'on appelle aujourd'hui l'existence d'une stratification compatible avec une famille finie d'ensembles définissables, ici sans condition de régularité et avec une stratification canonique, la plus grossière.

16–17

§ 4. Décompositions régulières (pages 16 et 17)

On se donne en plus une partie \(\mathcal{F}_r \subset \mathcal{F}\) d'éléments localement fermés, dits réguliers (on pense aux sous-variétés lisses), avec

• (S)pour tout fermé \(Y \in \mathcal{F}\), il y a une plus grande partie ouverte de \(Y\) appartenant à \(\mathcal{F}_r\), notée \(Y_{\mathrm{reg}}\), et elle est dense : le lieu singulier \(Y_{\mathrm{sing}} = Y \setminus Y_{\mathrm{reg}}\) est rare dans \(Y\).

Une décomposition cellulaire est \(\mathcal{F}\)-régulière si, pour tout fermé \(Y\) réunion de cellules, \(Y_{\mathrm{sing}}\) est encore une réunion de cellules ; les cellules sont alors régulières.²³ La proposition de la page 17 affirme, sous a) à e) et (S), l'existence d'une décomposition \(\mathcal{F}\)-régulière rendant les éléments d'une famille finie \(\mathcal{L}\) réunions de cellules, et d'une plus grossière ; de même à cellules connexes sous f).²⁴ La preuve n'est qu'indiquée : on retire en outre les lieux singuliers, \(X' = \bigcup_{Y} (\partial Y \cup Y_{\mathrm{sing}})\), et l'on ajoute à \(\mathcal{L}'\) les \((\overline{U_i})_{\mathrm{sing}}\). Le caractère « le plus grossier » n'est plus argumenté. Les corollaires suivent le modèle du § 3 : \(\mathcal{F}\) est réunion filtrante des \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) pour \(\mathcal{P}\) régulière (à cellules connexes sous f)), ces décompositions ont des bornes supérieures finies, et (cas \(\mathcal{L} = \emptyset\)) \(X\) aurait une décomposition régulière canonique — l'analogue, dans ce cadre abstrait, de la stratification de Whitney canonique d'un ensemble analytique.²⁵

18–23

§ 5. Localisation et faisceaux (pages 18 à 23)

Restriction à une partie. Soit \(\mathcal{F}\) satisfaisant a) à e) — ou, « c'est kif-kif », \(\mathcal{F}_0\) satisfaisant \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\varepsilon\). Pour \(A \in \mathcal{F}\), l'algèbre induite \(\mathcal{F}_A = \{ B \in \mathcal{F} : B \subset A \}\), dans l'espace \(A\), satisfait encore a) à e). Pour d) : tout élément de \(\mathcal{F}\) est réunion finie de localement fermés de \(\mathcal{F}\), donc \(\mathcal{F}_A\) est engendrée par ses fermés relatifs, et la page 6 s'applique. Pour e) : si \(A_1 \supset A_2 \supset \cdots\) sont des fermés relatifs de \(A\) avec \(A_{i+1}\) rare dans \(A_i\), les adhérences \(\overline{A_{i+1}}\) sont rares dans \(\overline{A_i}\)²⁶ , car \(A_i \setminus A_{i+1} \subset \overline{A_i} \setminus \overline{A_{i+1}}\) est dense dans \(\overline{A_i}\) ; e) dans \(X\) conclut. Si \(\mathcal{F}\) satisfait f), il en va de même de \(\mathcal{F}_A\), et plus fortement tout \(A \in \mathcal{F}\) a un nombre fini de composantes connexes, toutes dans \(\mathcal{F}\) : \(A\) est réunion finie de localement fermés connexes, et chaque composante est réunion de certains d'entre eux.

Le faisceau des germes. Supposons que les ouverts de \(\mathcal{F}\) forment une base de la topologie. Soit \(\underline{\mathcal{F}}\) le sous-faisceau du faisceau des germes de parties de \(X\) engendré par \(\mathcal{F}\), et \(\overline{\mathcal{F}} = \Gamma(X, \underline{\mathcal{F}})\) l'ensemble des parties qui sont localement dans \(\mathcal{F}\) : \(X\) est recouvert par des ouverts \(U_i \in \mathcal{F}\) avec \(A \cap U_i \in \mathcal{F}\). On a \(\mathcal{F} \subset \overline{\mathcal{F}}\), et \(\overline{\mathcal{F}}\) satisfait a) à d) ; il n'est pas clair qu'elle satisfasse e), ni qu'elle soit engendrée par ses fermés. Si \(X\) est quasi-compact, \(\overline{\mathcal{F}} = \mathcal{F}\) : un recouvrement fini suffit.

Sans l'hypothèse de base, on définit encore \(\underline{\mathcal{F}}\) — ses sections sur un ouvert \(U\) sont les \(A \subset U\) qui coïncident localement avec des éléments de \(\mathcal{F}\) — et \(\overline{\mathcal{F}}_U = \Gamma(U, \underline{\mathcal{F}})\). Mais alors, même si \(X\) est compact, on n'a plus \(\overline{\mathcal{F}} = \mathcal{F}\)²⁷ : pour \(\mathcal{F} = \{\emptyset, X\}\), \(\overline{\mathcal{F}}\) est formée des parties ouvertes et fermées.

Le cas d'une décomposition cellulaire (pages 20 et 21). Prenons \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_{\mathcal{P}}\). Une partie ouverte et fermée d'une cellule fermée est dans \(\overline{\mathcal{F}}\) ; pour avoir \(\overline{\mathcal{F}}_U = \mathcal{F}_U\) pour tout ouvert \(U \in \mathcal{F}\), il faut donc que toutes les cellules soient connexes. Cela suffit : un \(U \in \mathcal{F}\) est une réunion de cellules, et si \(A \subset U\) est localement une réunion de cellules, \(A \cap X_i\) est ouvert et fermé dans \(X_i\) pour chaque cellule \(X_i\), donc égal à \(X_i\) ou vide.²⁸ Pour un ouvert \(U\) quelconque, les \(A \in \overline{\mathcal{F}}_U\) sont des réunions de composantes connexes des \(X_i \cap U\), mais pas toutes ces réunions : sur \(X = \mathbb{R}\), avec les cellules \(\{0\}\) et \(\mathbb{R}^{*}\), la demi-droite \(]0, +\infty[\) — composante de \(\mathbb{R}^{*}\) — n'est pas dans \(\overline{\mathcal{F}}\), car près de \(0\) elle ne coïncide avec aucun élément de \(\mathcal{F}\). Et avec des cellules connexes : sur le cercle \(\mathbb{R} \cup \{\infty\}\), avec les cellules \(\{0\}\) et son complémentaire, et \(U = \mathbb{R}\), on retrouve le même phénomène.²⁹

La condition f) n'est pas locale (page 22). Elle passe aux ouverts de \(\mathcal{F}\) mais pas aux ouverts quelconques. Si \(A \in \overline{\mathcal{F}}_U\) est localement fermé dans \(U\), il est localement connexe, ses composantes sont ouvertes, et localement finies dans \(A\) si \(A\) est localement compact ; il demande si elles sont localement finies dans \(U\), et laisse la question.

Le point de vue des faisceaux. Il part alors d'un sous-faisceau \(\underline{\mathcal{F}}\) du faisceau des germes de parties, satisfaisant a) à d) et une forme locale de e) : pour tout ouvert \(U\) et toute suite décroissante de fermés de \(U\), sections de \(\underline{\mathcal{F}}\), chacun rare dans le précédent, la suite est localement finie — tout quasi-compact \(K \subset U\) ne rencontre qu'un nombre fini de termes. Alors \(\Gamma(X, \underline{\mathcal{F}})\) satisfait a) à d), et e) si \(X\) est quasi-compact. Plus commode est l'axiome

• e\(_n\))il existe \(n\) tel que toute telle suite \(X_0 \supset \cdots \supset X_{n+1}\) ait \(X_{n+1} = \emptyset\) — \(X\) est « de \(\underline{\mathcal{F}}\)-dimension \(\leqslant n\) » —,

qui passe à tous les \(\mathcal{F}_A\), \(A\) fermé, et entraîne e).

Le faisceau \(\underline{\mathcal{F}}\) peut être strictement plus gros que celui qu'engendrent ses sections globales. Exemple : les germes de parties analytiques — on entend : de l'algèbre de Boole qu'elles engendrent — d'un tore complexe de dimension 2 sans fonctions méromorphes non constantes.³⁰ Une condition f) est ensuite annoncée (« Nous envisageons maintenant une condition : f) ») et laissée en blanc ; la page s'arrête là, et l'approche ensembliste avec elle.

25–27

L'ordre de mobilité d'une singularité (pages 25 à 27)

Une nouvelle mouture commence, qui ne prend plus une famille de parties pour donnée, mais cherche à la définir à partir de la géométrie.

Soit \(X\) un espace topologique et \(Y \subset X\) une variété topologique (« sous-espace non singulier »). On dit que \(X\) est équisingulier le long de \(Y\) si tout \(y \in Y\) a un voisinage ouvert \(U\) dans \(X\) homéomorphe à un produit \(N \times Y_U\) (\(Y_U = Y \cap U\), \((N, a)\) un espace pointé), l'homéomorphisme envoyant \(Y_U\) sur \(\{a\} \times Y_U\) de façon compatible à l'identité de \(Y_U\). En mots : le long de \(Y\), la figure a partout la même allure, et cette allure est celle du germe \((N, a)\).

Un point \(x\) est \(\nu\)-mobile s'il existe une telle \(Y \ni x\) avec \(\dim_x Y \geqslant \nu\) ; son ordre de mobilité \(\nu(x)\) est le plus grand tel \(\nu\), qui existe si \(X\) est localement de dimension finie. Les points d'ordre \(0\) sont les singularités immobiles, ou éliminables.³¹ L'ensemble \(\mathrm{Mob}^i(X)\) des points \(i\)-mobiles est ouvert — dans une carte \(N \times Y_U\), chaque point \((n, y)\) est \(i\)-mobile le long de \(\{n\} \times Y_U\) —, d'où une suite décroissante d'ouverts \(X = \mathrm{Mob}^0 \supset \mathrm{Mob}^1 \supset \cdots\) et la suite croissante des fermés \(F_i(X) = X \setminus \mathrm{Mob}^{i+1}(X)\).³²

Il se demande, pour un \(X\) donné, si les énoncés suivants sont valables (on pose \(F_{-1} = \emptyset\) et \(Y_i = F_i \setminus F_{i-1}\), l'ensemble des points d'ordre exactement \(i\)) :

• A.\(Y_i\) est une variété de dimension \(i\) en chacun de ses points, et \(X\) est équisingulier le long de \(Y_i\).
• B.Localement près de chaque point de \(Y_i\), \((X, Y_i) \simeq Y_i \times (N, a)\) avec \(a\) immobile dans \(N\), et le type du germe \((N, a)\) ne dépend que de la composante connexe de \(Y_i\).
• C.Le germe de \(Y_i\) en \(y\) est le plus grand germe de variété le long duquel \(X\) est équisingulier ; les autres sont les germes de sous-variétés de \(Y_i\).³³
• D.Si \(Y\) est une variété de dimension \(i\) et \(N\) un espace, \((y, n)\) est \(\nu\)-mobile dans \(Y \times N\) si et seulement si \(n\) est \((\nu - i)\)-mobile dans \(N\) ; donc \(Y_\nu(Y \times N) = Y \times Y_{\nu-i}(N)\).

Ce qu'il construit là est, dans le cadre linéaire par morceaux, la dimension intrinsèque d'un point d'un polyèdre et la stratification intrinsèque qu'elle définit ; dans ce cadre les énoncés A à D sont du type de ceux que la théorie des polyèdres établit.³⁴ Dans le cadre topologique, où la page se place, D est faux : si \(\Sigma\) est une sphère d'homologie de dimension 3 non simplement connexe, le sommet du cône \(c\Sigma\) est immobile, mais \(c\Sigma \times \mathbb{R}^2\) est homéomorphe à \(\mathbb{R}^6\), où tout point est \(6\)-mobile — c'est le théorème de la double suspension de Cannon et Edwards. ³⁵

29–36

Équisingularité, mise au propre (pages 29 à 36)

Le contexte et la définition (page 29)

Les « espaces » sont maintenant les espaces linéaires par morceaux — ou algébriques, ou analytiques —, « variété » et « morphisme » s'entendant dans le contexte choisi. Pour \(Y \subset X\) localement fermé, \(X\) est équisingulier le long de \(Y\) si tout \(y \in Y\) a un voisinage ouvert \(X'\) et un espace pointé \((Z, a)\) avec un carré commutatif

\begin{tikzcd}
Y' = X' \cap Y \arrow[r, hook] \arrow[d, "\simeq"'] & X' \arrow[d, "\simeq"] \\
Y' \times \lbrace a \rbrace \arrow[r, hook] & Y' \times Z
\end{tikzcd}

Plus généralement, pour un diagramme d'espaces \(\mathfrak{X} = (X_i)_{i \in I}\) indexé par un ensemble ordonné, et \(Y\) localement fermé dans \(X_{i_0}\), on demande que le diagramme formé des \(X_j\) pour \(j \leqslant i_0\) soit localement le long de \(Y\) le produit par \(Y\) d'un diagramme \((Z_j)\) d'espaces, \(Z_{i_0}\) pointé, par des plongements ouverts \(Z_j \times Y' \to X_j\).³⁶

Filtrations et partitions (pages 30 à 32)

Une filtration croissante \((X_i)_{i \geqslant 0}\) par des fermés, de réunion \(X\), est équisingulière si, pour chaque \(i\), le diagramme \(X_0 \to X_1 \to \cdots \to X\) est équisingulier le long de \(V_i = X_i \setminus X_{i-1}\). Les feuilles sont les composantes connexes des \(V_i\) ; elles partitionnent \(X\), et (proposition de la page 30) l'adhérence d'une feuille est une réunion de feuilles — finie si \(X\) est compact et les \(X_i\) localement connexes. Les adhérences s'appellent feuilles fermées ; \(F \mapsto \overline{F}\) est bijective ; l'inclusion des feuilles fermées définit la relation d'incidence ; et \(\overline{F} \setminus F\), réunion des feuilles incidentes à \(F\) et distinctes d'elle, est le bord de \(F\).³⁷ Une seconde proposition (page 31) caractérise les filtrations équisingulières : il faut et il suffit que l'adhérence de toute feuille soit une réunion de feuilles, et que le diagramme formé de \(X\) et de toutes les feuilles fermées, avec les inclusions, soit équisingulier le long de chaque feuille.³⁸ Il en vient à privilégier la partition sur la filtration (page 32) : plusieurs filtrations donnent la même partition, et dans le contexte linéaire par morceaux il y a au moins quatre façons canoniques de filtrer une partition donnée (par dimension, par minimalité itérée, et les deux duales).

Une partition \((F_i)\) de \(X\) est admissible si chaque \(F_i\) est différence de deux fermés et chaque \(\overline{F_i}\) est réunion de feuilles — c'est la décomposition cellulaire du § 2, sans finitude — et équisingulière si de plus le diagramme formé de \(X\), des \(\overline{F_i}\) et de leurs inclusions est équisingulier le long de chaque feuille. Elle est privilégiée si elle est équisingulière et si les feuilles sont des variétés sans bord.³⁹ Sur un diagramme d'espaces, un système de partitions est admissible si chaque flèche envoie feuille dans feuille ; il définit alors un diagramme d'ensembles ordonnés de feuilles, et il est équisingulier si le diagramme des applications entre feuilles fermées l'est le long de chaque feuille.

Deux conjectures (pages 33 et 34)

Dans le contexte « par morceaux » :

Conjecture 1. Tout espace \(X\) admet une partition privilégiée, et parmi elles une plus grossière que toutes les autres, dite canonique.

Cela ne suffit pas : il faudra des partitions privilégiées plus fines qu'une partition donnée, ou rendant des fermés donnés réunions de feuilles, ou compatibles avec une application. Tout cela rentre dans :

Conjecture 2. Soit \(I\) un ensemble ordonné fini et \((X_i)_{i \in I}\) un diagramme d'espaces dont les flèches sont propres. Il existe des partitions privilégiées de ce diagramme, et parmi elles une moins fine que toutes les autres, dite canonique.

Remarque. Pour un système de partitions équisingulier et une flèche propre \(f : X_i \to X_j\), l'image d'une feuille \(F\) est la feuille \(\Phi\) entière qui la contient : elle est ouverte dans \(\Phi\) par équisingularité, fermée par propreté, et \(\Phi\) est connexe. De plus \(F \to \Phi\) est une fibration localement triviale, et même \(f^{-1}(\Phi)\) avec sa partition induite ; comme \(F\) et \(\Phi\) sont des variétés, les fibres en sont aussi.⁴⁰

Une construction conjecturale pour une application propre (pages 35 et 36)

« Dans la précédente lettre à A'Campo, j'ai donné une description conjecturale de la “partition privilégiée canonique” d'un espace \(X\), en termes de points “immobiles”. »⁴¹ Voici, pour une application propre \(f : X \to Y\), \(Y\) compact, celle qu'il propose :

• 1.Soit \(U\) le plus grand ouvert de \(Y\) qui soit non singulier et au-dessus duquel \(f\) soit une fibration localement triviale. Il faut prouver que \(Y' = Y \setminus U\) est un sous-espace rare, donc de dimension plus petite. Les composantes connexes de \(U\) sont les feuilles ouvertes de \(Y\).
• 2.Au-dessus de \(U\), les feuilles de \(X\) sont celles de la partition privilégiée canonique de \(V = f^{-1}(U)\), localement le produit de \(U\) par la partition canonique d'une fibre.
• 3.Si \(F_i\) sont ces feuilles, les traces \(\overline{F_i} \cap f^{-1}(Y')\) doivent être des réunions de feuilles. On est ramené à \(f^{-1}(Y') \to Y'\), de dimension plus petite, mais muni en plus de ces fermés et de leurs intersections finies : la récurrence demande donc d'emblée l'énoncé pour un espace muni d'une famille finie de fermés.

Il note que ce cas plus général « peut probablement se faire en paraphrasant celle proposée dans la 1re lettre ». L'étape 1 est un théorème de trivialité générique : dans les cadres semi-algébrique et sous-analytique, c'est le théorème de Hardt (1980), et dans le cadre o-minimal sa généralisation.⁴²

38–38

Recollement de faisceaux (page 38)

Une page de formules sans texte, sur le diagramme \(\mathfrak{X} = (Y \xleftarrow{p} Z \overset{i}{\hookrightarrow} X)\). Un faisceau sur \(\mathfrak{X}\) est un triple \((\mathcal{F}, \mathcal{G}, \alpha)\) formé d'un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(Y\), d'un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(X\) et d'un morphisme \(\alpha : p^{*}\mathcal{F} \to i^{*}\mathcal{G}\). Il note les foncteurs

\[ i'^{*}(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \alpha) = \mathcal{F}, \qquad i'_{*}(\mathcal{F}) = (\mathcal{F}, 0, 0), \qquad p'^{*}(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \alpha) = \mathcal{G}, \qquad p'_{*}(\mathcal{G}) = (p_{*} i^{*} \mathcal{G}, \mathcal{G}, \mathrm{can}), \]

et \(q_{!}(\mathcal{G}) = (0, \mathcal{G}, 0)\) ; \(q^{!}\) reste inachevé. Ces formules sont cohérentes : \(i'_*\) est adjoint à droite de \(i'^*\), \(p'_*\) adjoint à droite de \(p'^*\) (un morphisme vers \(p'_*\mathcal{G}\) est déterminé par sa composante sur \(X\), par adjonction \(p^* \dashv p_*\)), et \((0, \mathcal{G}, 0)\) est adjoint à gauche de \(p'^*\).⁴³ C'est la catégorie de recollement de SGA 4, exposé IV, transportée à un diagramme ; elle décrit les faisceaux sur le cylindre de l'application \(p\) recollé à \(X\) le long de \(Z\). En bas de page : les strates \(X_{I,J} = X_I \setminus X_J\) d'un espace stratifié, les quatre opérations \(\alpha_*\), \(\alpha^*\), \(\alpha_!\), \(\alpha^!\) entre elles et le complexe dualisant — le formalisme des six opérations sur un espace stratifié, simplement nommé.

40–46

Reconstruire un espace stratifié (pages 40 à 46)

Ces pages, surtout faites de croquis, cherchent à décrire un espace stratifié par des données lisses : chaque strate, privée d'un voisinage tubulaire ouvert de ses strates inférieures, est une variété à bord, et son bord est fibré au-dessus des strates inférieures.

La donnée (page 40). \(I\) est un ensemble ordonné fini. Pour chaque \(i \in I\), \(V_i^{\circ}\) est une variété à bord (sans bord si \(i\) est minimal). Pour \(j < i\), une partie \(\partial_j V_i^{\circ}\) du bord est une sous-variété à bord, fibrée sur \(V_j^{\circ}\), de fibres des variétés à bord (sans bord si \(j\) est un prédécesseur immédiat de \(i\)), et \(\partial V_i^{\circ}\) est réunion des \(\partial_j V_i^{\circ}\) pour \(j\) prédécesseur de \(i\). Les bords se décomposent à leur tour : \(\partial(\partial_j V_i^\circ)\) contient les \(\partial_j V_i^\circ | \partial_k V_j^\circ = \partial_{j,k} V_i^\circ\), fibrés sur \(V_k^\circ\), et ainsi de suite le long des chaînes \(j > k > l > \cdots\).⁴⁴ C'est ce qu'on appelle aujourd'hui une variété à coins fibrés, ou une structure de fibration itérée.⁴⁵ La page 40 est un feuillet de cahier titré « Fujii Guruji Nichidatsu » ; les pages 41, 42, 44 et 45 sont presque entièrement des dessins.

Trois strates (page 43). Pour une tour \(U \subset V \subset W\) de dimensions \(r\), \(r+s\), \(r+s+t\), avec \(U\), \(V \setminus U\), \(W \setminus V\) réguliers et l'équisingularité le long des strates, la donnée est :

• 1°)\(U\), régulier de dimension \(r\) ;
• 2°)\(U'\) fibré sur \(U\) à fibres régulières de dimension \(s-1\) ;
• 3°)\(V^{\circ}\) variété à bord, de bord \(U'\) ;
• 4°)\(V^{\circ\prime}\) fibré sur \(V^{\circ}\) à fibres régulières de dimension \(t-1\), dont le bord \(V^{\circ\prime}|U'\) est fibré sur \(U\) ;
• 5°)\(U''\) autre fibré sur \(U\), à fibres des variétés à bord de dimension \(s+t-1\) ;
• 6°)un isomorphisme de fibrés sur \(U\) entre \(\partial U''\) et \(\partial V^{\circ\prime}\), d'où par recollement l'espace \(V' = V^{\circ\prime} \sqcup_\partial U''\) ;
• 7°)\(W^{\circ}\) variété à bord, de bord \(V'\).

On reconstruit \(V = V^{\circ} \sqcup_{U'} U\) (on écrase le bord \(U'\) sur \(U\) par la fibration) et \(W = W^{\circ} \sqcup_{V'} V\).⁴⁶ Les pages 44 à 46 étendent cela à une tour \(U_0 \subset U_1 \subset \cdots \subset U_n\), avec les bords \(\partial_{n-1} U_n^{\circ}, \dots, \partial_0 U_n^{\circ}\) fibrés sur \(U_{n-1}^{\circ}, \dots, U_0^{\circ}\), et la page 45 porte le mot d'ordre : « PL variétés à bord fibrées sur variétés à bord ».

C'est le « dévissage » des structures stratifiées que l'Esquisse d'un programme décrira comme l'un des théorèmes à attendre d'une topologie modérée : l'équivalence entre espaces stratifiés modérés et systèmes de variétés à bord recollées.

48–51

Équisingularité. Cellules (pages 47 à 51)

Sous une chemise rose titrée de sa main, une reprise.

Contextes (page 48). Quatre sont nommés : L.P.M., SA.P.M., \(\mathrm{Alg}_{\mathbb{C}}\), \(\mathrm{An}_{\mathbb{C}}\).⁴⁷ L'énoncé est celui du § 3, localisé : pour une famille localement finie de sous-espaces fermés \(T_\alpha \subset X\), il existe une partition admissible stricte (à feuilles connexes) dont les \(T_\alpha\) sont réunions de feuilles, une plus grossière que toutes les autres, et sa formation commute à la restriction aux ouverts. La démonstration, par récurrence sur \(\dim X\) — trivial si \(\dim X \leqslant 0\) ; ensuite on retire \(X^1 = \bigcup_\alpha \partial T_\alpha\) —, s'interrompt sur « Soit ».⁴⁸

L'ordre et les ouverts (page 49). Pour une partition admissible et un ouvert \(U\), soit \(I_U\) l'ensemble des feuilles qui rencontrent \(U\). L'ordre d'incidence de \(I_U\) calculé dans \(U\) est celui de \(I\) : si \(F_i\) rencontre \(U\) et \(\overline{F_i} \cap U \subset \overline{F_j} \cap U\), un point de \(F_i \cap U\) est dans \(\overline{F_j}\), donc \(F_i \subset \overline{F_j}\) par la condition de frontière.⁴⁹ En conséquence, si \(F_i\) rencontre \(U\), \(i\) est maximal dans \(I\) si et seulement s'il l'est dans \(I_U\) ; et pour une partition admissible localement finie, une feuille est ouverte si et seulement si elle est maximale : si \(F_i\) est maximale, \(X \setminus F_i\) est la réunion localement finie des fermés \(\overline{F_j}\), \(j \neq i\), qui ne rencontrent pas \(F_i\).⁵⁰

Stabilité par restriction (page 50). Il distingue trois conditions sur une partition admissible : (a) feuilles connexes, (b) feuilles non singulières, (c) équisingularité. Les deux dernières, comme l'admissibilité, passent à un ouvert, mais pas (a). La bonne condition stable est

• (C)pour tout ouvert \(U\), la famille des composantes connexes de tous les \(U \cap F_i\) est une partition admissible de \(U\),

c'est-à-dire : ces composantes sont localement finies, et si une composante \(F_{i\alpha}\) de \(U \cap F_i\) a une adhérence qui rencontre une composante \(F_{j\beta}\), elle la contient.⁵¹

Cellules (page 51). Une partition \((F_i)_{i \in I}\) d'un espace \(X\) en feuilles est admissible si (I) :

• (i)elle est localement finie ;
• (ii)chaque \(\overline{F_i}\) est une réunion de feuilles ;
• (iii)chaque \(F_i\) est ouvert dans \(\overline{F_i}\).

Deux feuilles distinctes ont des adhérences distinctes, et la partition se lit sur la famille des feuilles fermées \(\Phi_i = \overline{F_i}\), qui est caractérisée par (II) :

• (0)les \(\Phi_i\) recouvrent \(X\) ;
• (i)la famille est localement finie ;
• (ii)les \(\Phi_i\) sont fermés ;
• (iii)\(\Phi_i \cap \Phi_j\) est une réunion de \(\Phi_k\) ;
• (iv)si \(\Phi_j \subsetneq \Phi_i\), \(\Phi_j\) est rare dans \(\Phi_i\).

Réciproquement, (II) suffit, pour une famille de fermés non vides deux à deux distincts⁵² : on pose \(F_i = \Phi_i \setminus \bigcup_{\Phi_j \subsetneq \Phi_i} \Phi_j\). Tout \(x\) est dans un unique \(F_i\) — celui du plus petit \(\Phi_i\) contenant \(x\), qui existe par (i) et (iii) —, \(F_i\) est localement fermé, la famille est localement finie, \(\overline{F_i} = \Phi_i\) par (iv) (une réunion localement finie de fermés rares est rare), et \(\Phi_i\) est réunion de feuilles : si \(F_j\) rencontre \(\Phi_i\) en \(x\), le plus petit fermé de la famille contenant \(x\) est \(\Phi_j\), donc \(\Phi_j \subset \Phi_i\) par (iii).

53–57

La catégorie modérée (pages 53 à 57)

Troisième mouture : la structure modérée n'est plus une famille de parties d'un espace donné, mais une catégorie d'objets avec leur espace sous-jacent.

Axiomes (page 53)

On se donne une catégorie \(\mathcal{M}\) et un foncteur \(X \mapsto |X|\) de \(\mathcal{M}\) vers les espaces compacts, avec

• M0)le foncteur est « transportable » : on peut transporter la structure d'un objet le long d'un homéomorphisme ;
• M1)les limites projectives finies existent dans \(\mathcal{M}\) et \(|\ |\) les respecte ;
• M2)\(|\ |\) est conservatif (donc fidèle).

Un morphisme \(f\) est alors un monomorphisme si et seulement si \(|f|\) est injectif, et les sous-objets de \(X\) s'identifient à certaines parties de \(|X|\), les parties modérées, stables par intersections finies. Une application \(|X| \to |Y|\) est modérée si elle provient d'un morphisme ; c'est le cas si et seulement si son graphe est une partie modérée de \(|X \times Y|\). On demande encore :

• M3)l'image d'une partie modérée par une application modérée est modérée.

Tout morphisme se factorise alors de façon unique en \(X \xrightarrow{f'} Y' \xrightarrow{i} Y\) avec \(|f'|\) surjectif et \(i\) un monomorphisme, et \(f'\) est un épimorphisme effectif. La clé est un lemme : si \(|f'|\) est surjectif et \(H \circ |f'|\) est modéré, alors \(H\) est modéré, car le graphe de \(H\) est l'image du graphe de \(H \circ |f'|\) par \(|f'| \times \mathrm{id}\), et M3) s'applique.⁵³

Les ind-objets et la droite réelle (pages 53 et 54)

Un ind-objet spécial est une suite de monomorphismes \(X_1 \to X_2 \to \cdots\) telle que chaque \(|X_i|\) soit dans l'intérieur d'un \(|X_j|\) dans tous les \(|X_k|\) suivants. Sa limite \(\varinjlim |X_i|\) est un espace localement compact dénombrable à l'infini, dont les \(|X_i|\) forment un système fondamental de compacts. On en tire la notion de structure pseudo-modérée sur un espace localement compact, et l'image directe d'une partie pseudo-modérée par un morphisme pseudo-modéré propre est pseudo-modérée.

On demande alors une structure pseudo-modérée sur \(\mathbb{R}\) pour laquelle les \(I_n = [-n, n]\) sont modérés et la multiplication par un entier non nul est un isomorphisme. Comme \(\mathbb{R} = \text{``}\varinjlim\text{''}\, I_n\) et que \(I_n \simeq I_1\) par \(t \mapsto t/n\), les transitions devenant la multiplication par \(n/(n+1)\), cela revient à une structure modérée sur \(I_1 = [-1, 1]\) pour laquelle les homothéties \(t \mapsto rt\), \(r \in \mathbb{Q}^*\), \(|r| \leqslant 1\), sont modérées. On suppose de plus

• M4)1°) le point \(1\) est modéré ; 2°) la moyenne \((x, y) \mapsto (x+y)/2\), \(I_1 \times I_1 \to I_1\), est modérée ; 3°) le produit \((x, y) \mapsto xy\) est modéré.

Sous 1°) et 2°), les points rationnels et les translations rationnelles sont modérés, et les applications modérées d'un objet dans \(\mathbb{R}\) forment un \(\mathbb{Q}\)-espace vectoriel. Sous 3°) en plus, les points modérés de \(\mathbb{R}\) forment un corps \(\mathbb{R}_{\mathrm{mod}}\) — l'inverse de \(a\) est la projection de la partie modérée \(\{ (a, y) : ay = 1 \}\) —, et ces applications forment une \(\mathbb{R}_{\mathrm{mod}}\)-algèbre.⁵⁴ Enfin :

• M5)tout objet admet un morphisme modéré injectif dans un cube \(I^n\).

Tout se lit dans les cubes (pages 55 à 57)

Sous M5), \(\mathcal{M}\) se reconstruit à partir des ensembles \(\mathcal{M}_n\) des parties compactes modérées de \(I^n\), \(I = [0, 1]\), qui vérifient

• M\('\)0)les éléments de \(\mathcal{M}_n\) sont compacts ;
• M\('\)1)\(\mathcal{M}_n\) est stable par intersections finies ;
• M\('\)2)stabilité par images réciproques par les applications de coordonnées \(I^n \to I^m\) ;
• M\('\)3)stabilité par images directes par ces applications.

Les « applications simpliciales » de la page sont les applications \(I^J \to I^{J'}\) induites par les applications d'ensembles finis \(J' \to J\) : projections, diagonales, permutations de coordonnées.⁵⁵ Une structure modérée sur un compact est une classe de plongements dans des cubes à image dans les \(\mathcal{M}_n\), deux plongements étant équivalents si le graphe de l'application de transition est dans \(\mathcal{M}_{n+n'}\) ; une application est modérée si son graphe, lu dans les cubes, l'est.

La catégorie \(\mathcal{M}_0\) (pages 56 et 57). Partant de classes \(\mathcal{M}_n\) vérifiant M\('\)1) à M\('\)3), on définit \(\mathcal{M}_0\) : ses objets sont les couples \((n, K)\), \(K \in \mathcal{M}_n\), et ses morphismes \((n,K) \to (n',K')\) les applications \(f : K \to K'\) de graphe dans \(\mathcal{M}_{n+n'}\) — ce qui force \(f\) continue, son graphe étant compact. Le graphe de l'identité est l'image de \(K\) par la diagonale (M\('\)3)). Pour \(f : K \to K'\) et \(g : K' \to K''\), le graphe de \(g \circ f\) est la projection sur \(I^{n+n''}\) de \(p^{-1}(\Gamma_f) \cap q^{-1}(\Gamma_g) \subset I^{n+n'+n''}\), donc est modéré par M\('\)1), M\('\)2), M\('\)3).⁵⁶ Le foncteur \((n, K) \mapsto K\) est fidèle et conservatif ; il y a un objet final \(I^0\), des produits fibrés et des noyaux, calculés comme dans les ensembles ; d'où M1) et M2), M3) par M\('\)3), et M5) par construction. Enfin M4) se traduit :

• M\('\)4)pour \(q\) rationnel, \(|q| \leqslant 1\), le graphe de \(x \mapsto qx\) est dans \(\mathcal{M}_2\) ; \(\{1\} \in \mathcal{M}_1\) ; les graphes de la moyenne et du produit sont dans \(\mathcal{M}_3\).⁵⁷

Ce que M\('\)0) à M\('\)4) décrivent est, à la compacité près, une structure sur \(\mathbb{R}\) au sens de la théorie des modèles, contenant les graphes de l'addition et de la multiplication : une famille de parties de tous les \(\mathbb{R}^n\) stable par intersections, produits et projections. L'axiome d'o-minimalité — les parties modérées de la droite sont les réunions finies de points et d'intervalles — n'est pas ici : il est remplacé, dans la première mouture, par les conditions de finitude d), e), f).

58–62

Changer de catégorie de base ; sommes amalgamées (pages 58 à 62)

(A) Une base quelconque (page 58). On remplace les espaces compacts par une catégorie \(\mathcal{K}\) à limites projectives finies, et l'on se donne un foncteur \(\varphi : \mathcal{M} \to \mathcal{K}\) exact à gauche, conservatif, et un objet \(I_0\) de \(\mathcal{M}\) dans une puissance duquel tout objet se plonge. À équivalence près, cela revient à se donner un objet \(I\) de \(\mathcal{K}\) et des ensembles \(\mathcal{M}_n\) de sous-objets de \(I^n\) stables par intersections finies, par images réciproques d'applications de coordonnées, et par image d'une application de coordonnées qui reste un monomorphisme sur \(K\).⁵⁸

(B) Images. Si tout morphisme de \(\mathcal{K}\) se factorise en un épimorphisme effectif suivi d'un monomorphisme, et si les épimorphismes effectifs sont universels, on peut demander la stabilité par images quelconques (3° bis), qui est M3).

(C) Réunions. Si les sous-objets ont des bornes supérieures finies, on peut demander que les \(\mathcal{M}_n\) y soient stables et qu'il existe un monomorphisme modéré \(e \sqcup e \to I\) ; cela revient à ce que \(\mathcal{M}\) ait des sommes disjointes finies respectées par \(\varphi\).

(D) Sommes amalgamées (pages 59 à 61). Un morphisme \(f : Y \to X\) est un épimorphisme si et seulement si la codiagonale \(X \sqcup_Y X \to X\) est un isomorphisme ; si \(\mathcal{M}\) a les mêmes sommes amalgamées que \(\mathcal{K}\) et que \(\varphi\) les respecte, \(\varphi\) reflète donc les épimorphismes. La question devient : étant donnés des monomorphismes modérés \(Y \leftarrow X \rightarrow Z\), trouver sur la somme amalgamée \(S = Y \sqcup_X Z\) calculée dans \(\mathcal{K}\) une structure modérée qui en fasse une somme amalgamée dans \(\mathcal{M}\).⁵⁹

Il suppose, dans \(\mathcal{K}\), que les sommes amalgamées le long de monomorphismes existent, que leurs flèches structurales sont des monomorphismes et que le carré est cartésien, et il veut de plus un carré cartésien de monomorphismes \(X \to Y, Z \to S'\) dont \(S\) soit la réunion de \(Y\) et de \(Z\). Il en déduit que tout monomorphisme de \(\mathcal{K}\) est effectif — c'est le noyau de la paire \(Y \rightrightarrows Y \sqcup_X Y\) — et que les sommes amalgamées sont universelles. Ce sont presque mot pour mot les propriétés des catégories adhésives.⁶⁰ Pour la structure modérée de \(S\), il ajoute deux conditions sur l'intervalle :

• 5°)\(I_0\) est injectif dans \(\mathcal{M}\) : toute application modérée d'un sous-objet vers \(I_0\) se prolonge ;
• 6°)tout sous-objet \(Y \hookrightarrow X\) est l'image réciproque d'un point \(\sigma_n : e \to I_0^n\) par une application modérée \(X \to I_0^n\).

5°) est un théorème de prolongement de Tietze, 6°) dit que les fermés modérés sont des lieux de zéros d'applications modérées ; dans le cadre o-minimal, les deux sont vrais.⁶¹

La démonstration (page 61). Si \(X\) est un rétracte de \(Y\) et de \(Z\), de rétractions \(r\) et \(r'\), on plonge \(Y\) et \(Z\) dans le produit fibré \(Y \times_X Z\) (pris au-dessus des rétractions) par \(y \mapsto (y, r(y))\) et \(z \mapsto (r'(z), z)\) ; leurs images se coupent exactement le long de la diagonale de \(X\), et l'on prend pour \(S'\) ce produit fibré.⁶² On se ramène à ce cas : par 6°), \(X\) est l'image réciproque d'un point par \(\Psi : Y \to I_0^p\) ; par M5) et 5°), on plonge \(Y\) dans \(I_0^n\) par un \(\Phi\) prolongeant un plongement \(\varphi\) de \(X\) ; on fait de même pour \(Z\) ; puis on prolonge \(\varphi\) à \(Z\) et \(\varphi'\) à \(Y\). On obtient un cube commutatif de monomorphismes à faces cartésiennes, où \(X\), \(Y\), \(Z\) se plongent dans des cubes \(I^\nu\), \(I^N\), \(I^{N'}\) (\(\nu = n + n'\), \(N = p + \nu\), \(N' = p' + \nu\)), et \(I^\nu\) est un rétracte de \(I^N\) et de \(I^{N'}\) ; le cas du rétracte donne \(S\).

Les fonctions modérées (page 62). Les conditions 5°) et 6°) ne s'expriment pas simplement en termes des \(\mathcal{M}_n\). Il propose de prendre pour donnée primitive les ensembles \(F_n = \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(I_0^n, I_0)\) des fonctions modérées de \(n\) variables, avec (F1) les projections sont dans \(F_n\), (F2) les \(F_n\) sont stables par composition — c'est la donnée d'une théorie de Lawvere sur une sorte, ou d'un clone d'opérations —, et l'on pose \(\mathcal{M}_n\) = intersections finies de lieux \(\varphi^{-1}(\alpha)\), \(\varphi \in F_n\), \(\alpha\) un point modéré. Viennent (F3), inachevé, pour avoir M3), et (F4) : un point \(0\) dont les points modérés sont des lieux de zéros, la réunion des deux axes dans \(\mathcal{M}_2\), deux points distincts. ⁶³ Une fonction est dans \(F_n\) si et seulement si son graphe est dans \(\mathcal{M}_{n+1}\) : le « il faut » demande que la diagonale de \(I \times I\) soit dans \(\mathcal{M}_2\), le « il suffit » doit être postulé.

64–67

Axiomes dans les cubes ; carrés de recollement (pages 64 à 67)

Une liste d'axiomes (page 64). Avec \(I = [-1, 1]\) : les \(\mathcal{M}_n\) sont stables par intersections et réunions finies et par images directes et réciproques d'applications de coordonnées ; \(\mathcal{M}_0\) contient \(\{0\}\) et \(\{1\}\) ; entre crochets, \(I\) est injectif et toute partie modérée est un lieu de zéros \(\bigcap_i f_i^{-1}(0)\) de fonctions « permises ». S'y ajoute une exigence de triangulation : la réalisation géométrique de tout complexe simplicial fini porte une structure modérée admissible, tout objet est triangulable, et pour \(Y \subset X\) une triangulation de \(Y\) est induite par une triangulation de \(X\). Exemple : pour des points modérés \(a_0, \dots, a_n\), la partie \(\{ (x, y) : x_i \geqslant 0, \sum x_i = 1, y = \sum a_i x_i \}\) — le graphe de la fonction affine sur le simplexe qui vaut \(a_i\) au sommet \(i\) — est dans \(\mathcal{M}_{n+2}\).⁶⁴

Quand un carré est-il une somme amalgamée ? (page 65). Soit un carré commutatif \(X \overset{i}{\hookrightarrow} Y\), \(X \xrightarrow{p} Z\), \(Z \overset{i'}{\hookrightarrow} S\), \(Y \xrightarrow{p'} S\). Il énonce :

• a)\(i'\) est un monomorphisme ;
• b)le carré est cartésien : \(X = p'^{-1}(Z)\) ;
• c)\(Y \times_S Y = \Delta_Y \cup (X \times_Z X)\) ;
• d)\(Z \sqcup Y \to S\) est un épimorphisme effectif ;

entraînent \(S \simeq Y \sqcup_X Z\). C'est exact : la paire noyau de \(Z \sqcup Y \to S\) se décompose, par a) et b), en \(Z \sqcup X \sqcup X \sqcup (Y \times_S Y)\), et par c) une application \((f, g) : Z \sqcup Y \to T\) avec \(f \circ p = g \circ i\) égalise cette paire, donc passe au quotient par d).⁶⁵

Le réaliser dans un cube (pages 66 et 67). Il cherche à réaliser un tel carré avec \(S\) un cube, en plongeant \(Z\) et \(Y\) par des fonctions \(f_\alpha\), \(g_\alpha\) compatibles (\(f_\alpha \circ p = g_\alpha \circ i\), prolongées par injectivité) et en ajoutant des fonctions qui s'annulent exactement sur \(X\) (par 6°)). Il note « OK pour a) », « OK pour b) ». Pour c), il passe par une factorisation \(S = I^{p+q} \to S' = I^q\) et écrit \(Y \times_{I^q} Y = \Delta_Y \cup (X \times X)\) ; mais cette égalité demande que \(Y \to I^q\) soit injective hors de \(X\), ce que la construction n'assure pas, et la page écrit elle-même un « \(\neq\) » pour l'égalité analogue sur le cube.⁶⁶ La condition c) reste ouverte, et avec elle l'existence générale des sommes amalgamées.

La moitié gauche de la page 65, écrite en travers, est sans rapport : la présentation de la cohomologie d'un fibré en grassmanniennes par les classes de Chern du sous-fibré et du quotient tautologiques, \(H(S)[c_i(M), c_j(N)]\) modulo \(c(M)\,c(N) = c(E)\), et la formule correspondante sur un fibré en drapeaux.⁶⁷

69–72

Les \(C\)-modèles (pages 69 à 72)

La dernière mouture, mise au propre à l'encre noire, numérotée « 1) » et « 2) », reprend tout sur un ensemble \(R\) (« ce sera bientôt \(\mathbb{R}\) »).

1. Les classes \(C_n\) (pages 69 et 70)

Pour chaque \(n\), soit \(C_n\) un ensemble de parties de \(R^n\),⁶⁸ avec

• (1)\(C_n\) est stable par permutation des coordonnées ;
• (2)l'image d'un élément de \(C_n\) par une projection \(R^n \to R^p\) est dans \(C_p\) ;
• (3)l'image d'un élément de \(C_n\) par une application qui répète les coordonnées, \((x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, \dots, x_1, \dots, x_n, \dots, x_n)\), est dans \(C_{p_1 + \cdots + p_n}\) ;
• (4)si \(X \in C_m\) et \(Y \in C_n\), \(X \times Y \in C_{m+n}\).

De façon équivalente, on se donne pour chaque ensemble fini \(I\) une classe \(C_I\) de parties de \(R^I\), stable par les applications \(\alpha^* : R^J \to R^I\) induites par les applications d'ensembles finis \(\alpha : I \to J\), et par produits.

Proposition. Si \(X, Y \in C_n\), alors \(X \cap Y \in C_n\) — pourvu que les \(C_I\) soient aussi stables par images réciproques par les \(\alpha^*\) : alors \(X \cap Y\) est l'image réciproque de \(X \times Y\) par la diagonale \(R^n \to R^{2n}\).⁶⁹

Une application \(f : X \to Y\), \(X \in C_I\), \(Y \in C_J\), est un \(C\)-morphisme si son graphe est dans \(C_{I \sqcup J}\).⁷⁰ Les identités, les composés, les couples \((g, h) : X \to Y \times Z\) dont les composantes le sont, les restrictions des \(\alpha^*\) et les inclusions sont des \(C\)-morphismes ; l'image directe et l'image réciproque d'une partie de \(C\) par un \(C\)-morphisme sont dans \(C\) ; et l'inverse d'un \(C\)-morphisme bijectif est un \(C\)-morphisme, son graphe étant le transposé du premier (1).⁷¹

Les \(C\)-modèles. Une structure de \(C\)-modèle sur un ensemble \(E\) est la donnée, pour chaque \(n\), d'un ensemble \(T_n\) d'injections \(E \to R^n\), non tous vides, tels que, si \(u \in T_n\), une injection \(v : E \to R^m\) est dans \(T_m\) si et seulement si \(v(E) \in C_m\) et \(v \circ u^{-1}\) est un \(C\)-morphisme. En marge, une définition équivalente par l'ensemble des \(C\)-morphismes \(E \to R\). Tout \(X \in C_n\) est un \(C\)-modèle, et les \(C\)-modèles forment une catégorie, avec produits finis, où un morphisme est un isomorphisme si et seulement s'il est bijectif. Il y a un \(C\)-modèle à un point si et seulement si un \(C_n\) contient une partie non vide, si et seulement si \(R^0 \in C_0\) ; on demande plus fortement

• (5)\(R^n\) est réunion des éléments de \(C_n\).

2. Le cas topologique (pages 71 et 72)

On suppose \(R\) topologique séparé et

• (7)les éléments de \(C_n\) sont compacts.

Alors tout \(C\)-morphisme est continu — son graphe est un fermé du produit, à valeurs dans un compact séparé —, et l'on a un foncteur des \(C\)-modèles vers les espaces compacts : c'est la catégorie \(\mathcal{M}\) des pages 53 à 57, retrouvée de l'autre côté. On suppose encore

• (8)pour \(X \in C_n\) et \(x \in X\), les \(Y \in C_n\) qui sont des voisinages de \(x\) dans \(X\) forment un système fondamental de voisinages

— il suffit que les intérieurs des éléments de \(C_n\) forment une base de \(R^n\) —, et

• (6)\(C_n\) est stable par réunions finies (donc contient \(\emptyset\)).

Proposition (page 72). Si un \(C\)-modèle \(X\) est réunion d'une famille finie de \(C\)-parties \(X_i\), une application \(f : X \to Y\) est un \(C\)-morphisme si et seulement si chaque \(f|X_i\) en est un : le graphe de \(f\) est la réunion des graphes des restrictions (6), et chacun de ceux-ci est la trace du graphe de \(f\) sur \(X_i \times Y\). Corollaire : \(X\) est la somme amalgamée des \(X_i\) au-dessus des \(X_i \cap X_j\).

Avec (8), il en déduit que les \(C\)-morphismes d'un \(C\)-modèle dans un autre sont les sections d'un faisceau, celui de leurs germes — ce qui demande précisément ce recollement fini, donc (6).⁷² La connaissance du faisceau des \(C\)-morphismes vers \(R\) ne donne pas, dit-il, la structure de modèle.⁷³ D'où la notion de \(C\)-espace : un espace localement compact muni d'un faisceau de fonctions continues à valeurs dans \(R\) tel que tout point ait un voisinage compact qui soit, pour la structure induite, un \(C\)-modèle — l'analogue des « espaces définissables » de la théorie o-minimale.

La question finale. Pour deux inclusions de \(C\)-modèles \(X \hookleftarrow Z \hookrightarrow Y\), la somme amalgamée existe-t-elle ? Sa réponse : « OK », si l'on suppose que pour \(Y \subset X\) dans \(C_n\), tout \(C\)-morphisme \(Y \to R\) se prolonge en un \(C\)-morphisme \(X \to R\) — la condition 5°) de la page 60, sous forme d'un théorème de Tietze. C'est sur cette condition que le dossier s'arrête.