\mathbb{D} = pour X un espace ind-modéré, p. ex. (si R est réunion des de ses parties modérées (M8),
i.e. sont les R^I des espaces ind-modérés) pour les
fonctions ind-modérées sur les R^I, qui contiennent en tout cas les
ensembles anneaux de polynômes
R_0[(X_i)_{i \in I}] en les fonctions coordonnées.
\mathbb{D} : une lettre D à double trait, entourée d'une boucle, en
tête du feuillet, suivie du signe = ; sa fonction n'est pas claire sur ces
quatre pages. — « ind- » : le préfixe s'écrit comme « rd- » ou « rl- » ; la
lecture ind- est suggérée par les R^I pour I quelconque qui
suivent, et vaut pour les trois occurrences de la page ; elle est confirmée
à la page 14 (lot 1), où le titre de section et sa variante interlinéaire
portent « Ind-structures », « Ind-espaces modérés », avec un I majuscule
sans ambiguïté. — « les R^I » est
écrit au-dessus de la ligne, en remplacement du mot biffé « sont ». —
« ensembles » : le trait passe sous le mot, soulignement ou biffure ; le mot
suivant le remplace peut-être
Dans les applications R_0-polynomiales
Corollaire Soit f une fonction modérée sur l'espace modéré X.
Alors f est inv. dans l'anneau des fonctions modérées ssi f ne s'annule
pas dans X.
En considérant f(X) \subset R^{*}, cela revient au
Corollaire Soit A \subset R^{*}, A \in \mathcal{M}, alors la
restriction de x \mapsto x^{-1} : A est modérée, i.e.
l'ens. des (x, x^{-1}) \in R^2, x \in A est \in \mathcal{M}.
en haut à droite, « 11 », vraisemblablement sa propre numérotation du
feuillet
En effet, c'est aussi l'ens. des
\lbrace (x,y) \in R^2 \mid xy = 1,\ x \in A \rbrace .
Si on suppose qu'il existe B \subset R^{*}, B \in \mathcal{M},
contenant l'ens.
Si X modéré, Y \subset X une partie modérée qui soit
dans un des M6 comme
Y = \bigcap_{\alpha \in I} f_\alpha^{-1}(\lbrace e_\alpha \rbrace),
\qquad e_\alpha \in R ,
alors quitte à remplacer les f_\alpha par f_\alpha - e_\alpha, OPS les
e_\alpha = 0, i.e. Y est l'ens. des zéros communs des
f_\alpha. Soient (g_\beta)_{\beta \in J} les des fonctions
modérées« modérées » est écrit au-dessus, rattaché par un
trait réalisant un plongement X \subset R^J. Considérons les
f_\alpha, f_\alpha g_\beta — elles sont toutes nulles sur Y, et
si x \in X \smallsetminus Y, \exists\, \alpha tel que
f_\alpha(x) \neq 0, et définissent Y comme l'ens. des zéros communs.
de X : en particulier, de plus elles séparent les pts de
X \smallsetminus Y, car si x, y sont deux pts distincts,
\exists\, \beta tel que f_\alpha(x) \neq 0
g_\beta(x) \neq g_\beta(y) d'où
Si les f_\alpha d'où et \alpha tel que
\lambda = f_\alpha(x) \neq 0, alors f_\alpha(y) (= f_\alpha(x) =
\lambda par hypothèse) \neq 0, d'où
\underbrace{f_\alpha}_{\lambda} g_\beta(x) = \lambda\, g_\beta(x)
\neq f_\alpha g_\beta(y) = \lambda\, g_\beta(y) .
Dém :rien ne suit
Proposition Si on a M1 : M7 et M11, alors pour toute partie
fermée modérée Y d'un esp. modéré X,
qui est des zéros communs d'une famille finie de fonctions modérées
sur X, on peut trouver une telle famille qui sépare les pts de X
X/Y est un espace modéré).
« M1 : M7 » : les deux-points sont tels qu'écrits, peut-être
« M1 à M7 ». — « modérée » est écrit au-dessus du mot raturé, dont la
lecture « fermée » est elle-même douteuse. — La parenthèse ouvrante manque ;
le mot illisible avant X/Y, en fin de ligne, commence par une capitale
À prouver
1) Si X \to Y morphisme d'espaces modérés, \exists partie modérée Y'
rare dans Y et
(Z_i)_{i \in \pi_0(Y \smallsetminus Y')}, \qquad
\underbrace{\pi_0(Y \smallsetminus Y')}_{I} = (U_i)_{i \in I},
\qquad Z_i \ \text{modérés}
et des (de sorte que les \overline{U}_i sont des parties modérées
de Y) et enfin \forall\, i \in I = \pi_0(Y \smallsetminus Y'), on ait
une correspondance modérée
R_i \subset (\overline{U}_i \times Z_i) \times X
induisant une bijection entre U_i \times Z_i et X | U_i, i.e.
X | \struck{\ill{}}\, U_i est fibré
Énoncés analogues pour un diagramme fini d'espaces modérés au dessus de
Y ?? Ce diagramme est-il « trivial par morceaux » au dessus d'un
Y \smallsetminus Y' convenable, avec Y' modéré rare dans Y ??? Ce
serait déjà intéressant dans le cas particulier d'un diagramme
de la forme Z \subset X \subset Y \times [0,1] au dessus
de Y…
le crochet ouvrant de [0,1] est tracé par-dessus un premier signe,
peut-être un I ; le mot illisible qui suit commence par une capitale
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