Cote n° 120 · batch 2 · pages 21–24 · Transcription · Topologie modérée : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1973-à partir de 1978]
Édition de démonstration

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\(\mathbb{D}\) \(=\) pour \(X\) un espace ind-modéré, p. ex. (si \(R\) est réunion des de ses parties modérées (M8), i.e. sont les \(R^I\) des espaces ind-modérés) pour les fonctions ind-modérées sur les \(R^I\), qui contiennent en tout cas les ensembles anneaux de polynômes \(R_0[(X_i)_{i \in I}]\) en les fonctions coordonnées. \(\mathbb{D}\) : une lettre D à double trait, entourée d'une boucle, en tête du feuillet, suivie du signe \(=\) ; sa fonction n'est pas claire sur ces quatre pages. — « ind- » : le préfixe s'écrit comme « rd- » ou « rl- » ; la lecture ind- est suggérée par les \(R^I\) pour \(I\) quelconque qui suivent, et vaut pour les trois occurrences de la page ; elle est confirmée à la page 14 (lot 1), où le titre de section et sa variante interlinéaire portent « Ind-structures », « Ind-espaces modérés », avec un I majuscule sans ambiguïté. — « les \(R^I\) » est écrit au-dessus de la ligne, en remplacement du mot biffé « sont ». — « ensembles » : le trait passe sous le mot, soulignement ou biffure ; le mot suivant le remplace peut-être Dans les applications \(R_0\)-polynomiales […] \(R^I \to X\) modérées, et transforment des parties modérées en itou.ajout interligne, serré au droit de « fonctions coordonnées » et au-dessus de l'énoncé suivant ; le mot biffé en fin de deuxième ligne commence comme « transf », un mot illisible écrit au-dessus

Corollaire Soit \(f\) une fonction modérée sur l'espace modéré \(X\). Alors \(f\) est inv. dans l'anneau des fonctions modérées ssi \(f\) ne s'annule pas dans \(X\).

En considérant \(f(X) \subset R^{*}\), cela revient au

Corollaire Soit \(A \subset R^{*}\), \(A \in \mathcal{M}\), alors la restriction de \(x \mapsto x^{-1}\) : \(A\) est modérée, i.e. l'ens. des \((x, x^{-1}) \in R^2\), \(x \in A\) est \(\in \mathcal{M}\).

22en haut à droite, « 11 », vraisemblablement sa propre numérotation du feuillet

En effet, c'est aussi l'ens. des \[ \lbrace (x,y) \in R^2 \mid xy = 1,\ x \in A \rbrace . \] Si on suppose qu'il existe \(B \subset R^{*}\), \(B \in \mathcal{M}\), contenant l'ens. […] \(\lbrace x^{-1} \mid x \in A \rbrace\), on gagne, car l'ens. est la partie modérée de \(A \times B\) image inverse de \(1 \in A.B\) par l'application modérée \((x,y) \mapsto xy\). \(A.B \subset R\), \(\in \mathcal{M}\)écrit en colonne sous « \(A.B\) », au bord droit ; lecture incertaine : on lit un signe \(=\) ou \(''\), puis \(\subset\), \(\cap\), et \(\mathcal{M}\)

[…] Cor« Cor » souligné, écrit au-dessus d'un mot raturé \(R_0\) est un sous-corps de \(R\)toute la ligne est soulignée d'un long trait

Si \(X\) modéré, \(Y \subset X\) une partie modérée qui soit […] dans un des M6 comme \[ Y = \bigcap_{\alpha \in I} f_\alpha^{-1}(\lbrace e_\alpha \rbrace), \qquad e_\alpha \in R , \] alors quitte à remplacer les \(f_\alpha\) par \(f_\alpha - e_\alpha\), OPS les \(e_\alpha = 0\), i.e. \(Y\) est l'ens. des zéros communs des \(f_\alpha\). Soient \((g_\beta)_{\beta \in J}\) les des fonctions modérées« modérées » est écrit au-dessus, rattaché par un trait réalisant un plongement \(X \subset R^J\). Considérons les \(f_\alpha\), \(f_\alpha g_\beta\) — elles sont toutes nulles sur \(Y\), et

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si \(x \in X \smallsetminus Y\), \(\exists\, \alpha\) tel que \(f_\alpha(x) \neq 0\), et définissent \(Y\) comme l'ens. des zéros communs. de \(X\) : en particulier, de plus elles séparent les pts de \(X \smallsetminus Y\), car si \(x, y\) sont deux pts distincts, \(\exists\, \beta\) tel que \(f_\alpha(x) \neq 0\) \(g_\beta(x) \neq g_\beta(y)\) d'où

Si les \(f_\alpha\) […] suffisent pas à les séparer, montrons que les \(f_\alpha g_\beta\) les séparent : en effet, \(\exists\, \beta\) tel que \(g_\beta(x) \neq g_\beta(y)\) d'où et \(\alpha\) tel que \(\lambda = f_\alpha(x) \neq 0\), alors \(f_\alpha(y)\) (\(= f_\alpha(x) = \lambda\) par hypothèse) \(\neq 0\), d'où \[ \underbrace{f_\alpha}_{\lambda} g_\beta(x) = \lambda\, g_\beta(x) \neq f_\alpha g_\beta(y) = \lambda\, g_\beta(y) . \]

Dém :rien ne suit

Proposition Si on a M1 : M7 et M11, alors pour toute partie fermée modérée \(Y\) d'un esp. modéré \(X\), qui est […] des zéros communs d'une famille finie de fonctions modérées sur \(X\), on peut trouver une telle famille qui sépare les pts de \(X\) […] \(X/Y\) est un espace modéré). « M1 : M7 » : les deux-points sont tels qu'écrits, peut-être « M1 à M7 ». — « modérée » est écrit au-dessus du mot raturé, dont la lecture « fermée » est elle-même douteuse. — La parenthèse ouvrante manque ; le mot illisible avant \(X/Y\), en fin de ligne, commence par une capitale

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À prouver

1) Si \(X \to Y\) morphisme d'espaces modérés, \(\exists\) partie modérée \(Y'\) rare dans \(Y\) et \[ (Z_i)_{i \in \pi_0(Y \smallsetminus Y')}, \qquad \underbrace{\pi_0(Y \smallsetminus Y')}_{I} = (U_i)_{i \in I}, \qquad Z_i \ \text{modérés} \] et des (de sorte que les \(\overline{U}_i\) sont des parties modérées de \(Y\)) et enfin \(\forall\, i \in I = \pi_0(Y \smallsetminus Y')\), on ait une correspondance modérée \[ R_i \subset (\overline{U}_i \times Z_i) \times X \] induisant une bijection entre \(U_i \times Z_i\) et \(X | U_i\), i.e. \(X | \struck{\ill{}}\, U_i\) est fibré […] trivial au sens modéré relatif (\(U_i\) étant un espace modéré relatif …)

Énoncés analogues pour un diagramme fini d'espaces modérés au dessus de \(Y\) ?? Ce diagramme est-il « trivial par morceaux » au dessus d'un \(Y \smallsetminus Y'\) convenable, avec \(Y'\) modéré rare dans \(Y\) ??? Ce serait déjà intéressant dans le cas particulier d'un diagramme de la forme \(Z \subset X \subset Y \times [0,1]\) […] au dessus de \(Y\)… le crochet ouvrant de \([0,1]\) est tracé par-dessus un premier signe, peut-être un \(I\) ; le mot illisible qui suit commence par une capitale surchargée