Cote n° 120 · pages 1–24 · Lecture modernisée · Topologie modérée : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1973-à partir de 1978]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Ces vingt-quatre pages cherchent à dire, par un petit nombre de règles, quelles figures de l'espace méritent d'être appelées « sages ».

La topologie générale admet des objets que personne ne dessine : une courbe qui remplit un carré, un ensemble dense et de complémentaire dense, un compact qui a la forme d'une poussière. Ce ne sont pas des erreurs, mais ce n'est pas de la géométrie. La topologie modérée que Grothendieck appelle de ses vœux fait le choix inverse : décider d'avance quelles parties sont admises — les figures définies par des polynômes, par exemple, et ce qu'on en tire par des opérations raisonnables — et ne jamais sortir de cette famille. On perd les monstres ; on espère gagner des théorèmes de finitude.

Le dossier ne commence pas par les figures, mais par les règles. On se donne un ensemble \(R\) — la droite, pensée abstraitement — et, pour chaque \(n\), une famille de parties de \(R^n\) déclarées modérées. Les règles disent seulement ce qu'on a le droit de faire : permuter ou dupliquer des coordonnées, projeter, couper par une condition, former des produits. Une image aide : c'est un jeu de construction. On fournit quelques pièces et quelques façons de les assembler, et l'on ne demande rien d'autre ; tout ce qu'on peut monter est admis, rien d'autre ne l'est. Les deux premières sections montrent que ces règles suffisent à fabriquer une catégorie d'« espaces modérés » où l'on peut former produits, équations et sous-espaces exactement comme dans les ensembles.

La question qui occupe ensuite presque tout le dossier est celle du recollement : peut-on coller deux espaces modérés le long d'une partie commune, ou écraser une partie en un point, sans sortir du jeu ? Projeter et couper ne posent pas de problème ; recoller en pose un, parce qu'il faut trouver, dans un \(R^n\), une place où loger le résultat. Grothendieck donne un critère, puis deux axiomes qui le rendent applicable : toute partie modérée est le lieu où un nombre fini de fonctions modérées prennent des valeurs fixées, et toute fonction modérée sur une partie se prolonge à l'espace entier. Moyennant quoi les recollements existent, et la preuve est une manière de ranger les deux morceaux dans des étages différents d'un même \(R^n\) pour qu'ils ne se rencontrent que là où ils doivent.

Viennent ensuite trois greffes sur ce tronc. Les ind-espaces autorisent les objets non bornés, comme la droite entière, réunions croissantes de pièces modérées. La topologie demande que les pièces soient compactes ; les applications modérées deviennent alors automatiquement continues, et l'on peut parler de ce qui est modéré au voisinage d'un point. La structure de corps demande que l'addition et la multiplication soient modérées ; les fonctions modérées forment alors un anneau, les points modérés un corps — pour les polynômes à coefficients rationnels, ce serait le corps des nombres algébriques réels —, et une fonction modérée qui ne s'annule pas a un inverse modéré.

La dernière page n'est plus une construction mais un programme, marqué « À prouver » : au-dessus d'une base modérée, toute application modérée devrait être un produit trivial hors d'une partie mince, morceau par morceau.

Ces pages anticipent ce qui s'est appelé, quelques années plus tard, les structures o-minimales de la théorie des modèles, dont le livre de référence porte le titre que Grothendieck avait choisi ; le programme de la dernière page est, dans ce cadre, le théorème de trivialité de Hardt. La feuille de garde porte, au crayon, « Autour de l'Éloge » : c'est le même programme que l'Esquisse d'un programme défendra en 1984.

Keywords — tame topology, o-minimal structure, definable sets, semi-algebraic sets, concrete category, transport of structure, finite limits, pushout along monomorphisms, quotient by a closed subset, definable Tietze extension, strict ind-object, colimit topology, sheaf of definable functions, field of definition, Hardt triviality

1–24

Le dossier, sa charpente et ses notations

Vingt-quatre pages, toutes de sa main, d'une même encre et d'une rédaction rapide. La page 1 est une chemise rose ; les pages 2 à 23 sont un exposé axiomatique, divisé par lui en six sections numérotées en chiffres romains cerclés ; la page 24 est un programme. Il numérote lui-même un feuillet sur deux environ, de 1 (page 2) à 11 (page 22), sans lacune : le dossier est une seule rédaction, non des fragments réunis.

Les stations de l'argument :

puis, page 24, le programme « À prouver ».

Le tronc est (I)–(III) : construire, à partir de règles portant seulement sur des parties de \(R^n\), une catégorie où les limites finies et certaines limites inductives finies existent et se calculent comme dans les ensembles. Les sections (IV) à (VI) sont des greffes indépendantes, chacune avec ses axiomes propres ; (VI) commence d'ailleurs par « Oublions les structures topologiques ». La section (VI) revient cependant sur (III) : elle montre que la seconde moitié de l'axiome (M6) est conséquence de la première dès que \(R\) est un corps.

Notations, valables pour tout le dossier. \(R\) est un ensemble quelconque, sans structure, jusqu'à la section (V). Pour \(n \geqslant 1\), \(\mathcal{M}_n\) est un ensemble de parties de \(R^n\) ; ses éléments sont les parties modérées. Pour une application \(u : [1,n] \to [1,m]\), on note \(u^* : R^m \to R^n\), \(x \mapsto x \circ u\), l'application qu'elle induit sur les coordonnées : une projection quand \(u\) est injective, un plongement diagonal quand \(u\) est surjective. \(R_0 \subset R\) est l'ensemble des points modérés, ceux dont le singleton est modéré. \(\Sigma = \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\) est la catégorie des espaces modérés et \(X \mapsto |X|\) son foncteur d'oubli ; \(\Sigma^{\mathrm{ind}}\) est celle des ind-espaces modérés stricts, dont les objets sont notés en lettres gothiques \(\mathfrak{X}, \mathfrak{Y}, \mathfrak{Z}\), comme aux pages 15 et 16.

Les axiomes gardent ses numéros, à une exception près. Il emploie deux fois l'étiquette (M5) : page 6 pour \(R_0 \neq \emptyset\), page 9 pour la stabilité par réunions finies. On garde (M5) pour la première et l'on écrit (M5\('\)) pour la seconde ; toutes les mentions ultérieures de « M5 » (pages 12 et 14) renvoient à la seconde. Récapitulons, pour s'y retrouver :

Un mot sur le mot « modéré ». Une partie modérée est un élément d'un \(\mathcal{M}_n\) ; une application modérée est une application dont le graphe est une partie modérée ; une fonction modérée est une application modérée à valeurs dans \(R\). Ce sont trois emplois d'une même idée — le graphe ramène tout aux parties — et c'est le premier geste du dossier (page 5).

Le dossier voisin 121, daté de 1974, reprend aux pages 53 à 72 une démarche très proche, mais en prenant pour pièces de base les parties des cubes \([0,1]^n\) plutôt que celles des \(R^n\).

1–1

La chemise (page 1)

La chemise rose porte à l'encre, de sa main, « Topologie modérée », le premier mot écrit par-dessus un mot biffé, peut-être « Structures », et la finale de « modérées » corrigée en « modérée ».1 Au-dessous, au crayon très pâle et peut-être d'une autre main, « 1978 » suivi d'un mot illisible, et « (Autour de l'Éloge) ».2

2–5

(I) Modèles \(R\)-modérés (pages 2 à 5)

Les axiomes

On se donne, pour tout \(n \geqslant 1\), un ensemble \(\mathcal{M}_n\) de parties de \(R^n\), et l'on demande :

En clair : (M1) dit que les parties modérées sont stables par permutation et duplication des coordonnées et par projection ; (M2), qu'on peut couper une partie modérée par une diagonale ; (M3), qu'on peut la couper par la condition « telles coordonnées tombent dans telle partie modérée » ; (M4), qu'on peut faire des produits. La stabilité par projection est la règle décisive : c'est, dans le cas des parties semi-algébriques, le théorème de Tarski–Seidenberg, et c'est elle qui fait qu'une partie définie par « il existe \(y\) tel que … » reste modérée.3

Par (M3) appliqué à \(u = \mathrm{id}\), les \(\mathcal{M}_n\) sont stables par intersection de deux parties.

Réductions

Comme (M1) est stable par composition et que toute application \([1,n] \to [1,m]\) est composée d'une surjection et d'une injection, (M1) revient à le demander pour les permutations, pour les « opérations de face » (\(u : [1,n] \hookrightarrow [1,n+1]\) injective, \(u^*\) une projection \(R^{n+1} \to R^n\)) et pour les « opérations de dégénérescence » (\(u : [1,n+1] \to [1,n]\) surjective, \(u^*\) un plongement diagonal \(R^n \hookrightarrow R^{n+1}\)) — et même, à permutation près, pour la seule projection \((x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \dots, x_n)\) et le seul plongement \((x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, \dots, x_n, x_n)\). De même (M2) se réduit à ce plongement diagonal standard.

(M1), (M2) et (M4) entraînent la stabilité des \(\mathcal{M}_n\) par intersection, sans (M3) : \(A \cap B\) est l'image réciproque de \(A \times B\) par la diagonale \(R^n \hookrightarrow R^{2n}\).4 Il en résulte que (M3) n'a à être demandé que lorsque \(u^*\) est une projection, et même pour la seule projection standard \(R^{n+1} \to R^n\).5

En résumé, en présence de (M4), les axiomes (M1) à (M3) équivalent à :

Enfin (M1) permet de définir \(\mathcal{M}_I \subset \mathfrak{P}(R^I)\) pour tout ensemble fini non vide \(I\), par le choix d'une bijection \(I \simeq [1,n]\), indifférent grâce à la stabilité par permutation ; les axiomes se transcrivent en des énoncés (M\('\)1) à (M\('\)4) pour les applications \(u : I \to J\) entre ensembles finis. C'est sous cette forme qu'ils servent dans tout le reste du dossier.

Les cas triviaux

Par (M1), si l'un des \(\mathcal{M}_n\) est vide, tous le sont, et les axiomes sont alors vérifiés trivialement ; on exclut ce cas : \[ (*) \qquad \mathcal{M}_1 \neq \emptyset . \] De même, si l'un des \(\mathcal{M}_n\) contient \(\emptyset\), tous le contiennent. Sinon, chaque \(\mathcal{M}_n\), non vide, stable par intersection et ne contenant pas \(\emptyset\), est une base de filtre sur \(R^n\) — situation étrangère à ce qu'on cherche. On l'exclut aussi : \[ (**) \qquad \emptyset \in \mathcal{M}_1 , \] d'où \(\emptyset \in \mathcal{M}_n\) pour tout \(n\). Ce n'est pas une vraie restriction : si (**) manque, les \(\mathcal{M}_n \cup \{\emptyset\}\) vérifient encore (M1) à (M4). Enfin si \(\mathcal{M}_n = \{\emptyset\}\) pour un \(n\), c'est vrai pour tout \(n\), et l'on exclut ce dernier cas trivial : \[ (***) \qquad \text{il existe } A \in \mathcal{M}_1 \text{ non vide.} \]

Sous (**) et (***), on peut admettre aussi l'ensemble d'indices vide, en posant \(\mathcal{M}_\emptyset = \mathfrak{P}(R^\emptyset) = \{\emptyset, \{e\}\}\), où \(R^\emptyset = \{e\}\) est un point : les propriétés (M\('\)1) à (M\('\)4) restent vraies, et ce choix est d'ailleurs forcé, puisque l'image d'une partie modérée non vide par \(R^I \to R^\emptyset\) est \(\{e\}\).7

Les points modérés

Pour \(x = (x_1, \dots, x_n) \in R^n\), on a \(\{x\} \in \mathcal{M}_n\) si et seulement si \(\{x_i\} \in \mathcal{M}_1\) pour tout \(i\) : dans un sens par projection (M1), dans l'autre par produit (M4).8 On pose donc \[ R_0 = \{x \in R \mid \{x\} \in \mathcal{M}_1\} , \] et l'ensemble des points modérés de \(R^I\) est \(R_0^I\). Si \(R_0\) a au moins deux points \(x \neq y\), alors \(\{x\} \cap \{y\} = \emptyset\) est modérée, et (**) est automatique.

Dans le cas qui guide l'intuition — \(R = \mathbb{R}\), parties semi-algébriques compactes définies par des polynômes à coefficients rationnels — \(R_0\) serait le corps des nombres réels algébriques : les points modérés sont les points « définissables » de la structure.9

Exemples (page 5)

En dehors des deux cas triviaux, on a les exemples : a) les parties de cardinal au plus \(1\) ; b) les parties finies ; c) toutes les parties. Tous vérifient (M1) à (M4), et dans les trois \(R_0 = R\). « Aucun de ces [exemples n'est intéressant] pour nous ! »10 Ce sont les exemples où la projection ne crée rien : la structure ne voit pas la géométrie de \(R\).

5–7

(II) Espaces modérés (pages 5 à 7)

Applications modérées

Pour \(A \in \mathcal{M}_I\) et \(B \in \mathcal{M}_J\), une application \(f : A \to B\) est dite modérée si son graphe \(\Gamma_f \subset A \times B \subset R^{I \sqcup J}\) est une partie modérée.11

Proposition. a) \(\mathrm{id}_A\) est modérée ; b) le composé de deux applications modérées est modéré ; c) l'inverse d'une bijection modérée est modéré.

En effet, le graphe de \(\mathrm{id}_A\) est l'image de \(A\) par un plongement diagonal (M1). Celui de \(g \circ f\), pour \(f : A \to B\) et \(g : B \to C\), est la projection sur \(R^{I \sqcup K}\) de \((\Gamma_f \times C) \cap (A \times \Gamma_g)\), partie modérée de \(R^{I \sqcup J \sqcup K}\) par (M4), (M3) et (M1). Celui de \(f^{-1}\) se déduit de \(\Gamma_f\) par une permutation des coordonnées.12 Plus généralement, l'image d'une partie modérée par une application modérée est modérée, et l'image réciproque aussi : \(f(A') = \mathrm{pr}_J\bigl(\Gamma_f \cap (A' \times R^J)\bigr)\) et \(f^{-1}(B') = \mathrm{pr}_I\bigl(\Gamma_f \cap (R^I \times B')\bigr)\), par (M3) puis (M1).13

La catégorie des espaces modérés

On obtient la catégorie \(\mathrm{Mod}_{\mathcal{M}_*}\) des modèles modérés — les couples \((I, A)\) avec \(A \in \mathcal{M}_I\) — et un foncteur \((I, A) \mapsto A\) vers les ensembles, fidèle, et conservatif par c). On la remplace par une catégorie équivalente \(\Sigma = \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\) d'espaces modérés : un ensemble muni d'une structure transportée d'un modèle par une bijection, deux telles bijections définissant la même structure quand elles diffèrent d'une bijection modérée. Le foncteur d'oubli \(X \mapsto |X|\) est alors fidèle, conservatif et de plus transportable : pour tout objet \(X\) et toute bijection \(\alpha : |X| \xrightarrow{\sim} E\), il existe une structure modérée sur \(E\), et une seule, faisant de \(\alpha\) un isomorphisme de \(\Sigma\) — c'est le transport de structure de Bourbaki.14

La marge note qu'on n'exclut pas les modèles où \(R_0\) est réduit à un point.

Produits et limites finies (page 6)

Proposition. La catégorie \(\Sigma\) a des produits de deux objets, et le foncteur d'oubli les respecte. Elle a aussi des noyaux de couples, respectés par l'oubli ; donc, dès qu'elle a un objet final, toutes les limites projectives finies, que l'oubli respecte.

Le produit de \(A \in \mathcal{M}_I\) et \(B \in \mathcal{M}_J\) est \(A \times B \in \mathcal{M}_{I \sqcup J}\) (M4) ; ses projections sont modérées (M1), et pour \(f : C \to A\), \(g : C \to B\) modérées, le graphe de \((f,g)\) est \((\Gamma_f \times B) \cap \mathrm{pr}_{C,B}^{-1}(\Gamma_g)\), modéré par (M3). Le noyau de \(f, g : A \rightrightarrows B\) est la projection sur \(R^I\) de \(\Gamma_f \cap \Gamma_g\), modérée par (M1) — éventuellement vide, d'où l'utilité de (**).

Pour l'objet final, la page introduit \[ (\mathrm{M}5) \qquad R_0 \neq \emptyset , \] et un point modéré \(\{x\}\), \(x \in R_0\), est alors final : le graphe de l'application constante \(A \to \{x\}\) est \(A \times \{x\}\).15

La droite comme objet (pages 6 et 7)

Si \(R^n \in \mathcal{M}_n\) pour un \(n \geqslant 1\), alors \(R \in \mathcal{M}_1\) par projection, et \(R^I \in \mathcal{M}_I\) pour tout \(I\) fini par produit. D'où l'axiome, facultatif : \[ (\mathrm{M}0) \qquad R \in \mathcal{M}_1 . \] Sous (M0), \(R\) est un objet de \(\Sigma\), et tout objet de \(\Sigma\) est isomorphe à un sous-objet d'une puissance \(R^n\) (produit dans \(\Sigma\)). Les \(\mathcal{M}_n\) se relisent alors dans \(\Sigma\) : ce sont exactement les sous-objets de \(R^n\). En effet un monomorphisme de \(\Sigma\) est injectif — son couple noyau, qui existe et se calcule comme dans les ensembles, est trivial — et une injection modérée \(X \to R^n\) est un isomorphisme sur son image, qui est modérée, par le c) de la Proposition de la page 5.

La page conclut que la donnée de \(\mathcal{M}_*\) équivaut, à isomorphisme près, à celle du triple \((\Sigma, R, X \mapsto |X|)\) soumis à des conditions : a) \(\Sigma\) a des limites projectives finies ; b) le foncteur d'oubli … ; c) tout objet de \(\Sigma\) est un sous-objet d'une puissance de \(R\). Ce qui est établi, c'est un sens : \(\mathcal{M}_*\) se reconstruit à partir du triple, comme ensemble des images des monomorphismes \(X \hookrightarrow R^n\).16

7–13

(III) Limites inductives finies (pages 7 à 13)

Le problème

La section annonce « le problème des quotients des espaces modérés, et des limites inductives finies ».17 C'est la question de fond du dossier. Les limites projectives viennent gratuitement des axiomes, parce que produits et projections y sont ; les limites inductives — recoller, écraser — demandent de trouver dans un \(R^n\) une place où loger le résultat, et rien dans (M1)–(M4) ne la fournit.

Ensembles finis, et le principe de la page 8

Proposition (page 8). Si \(\operatorname{card} R_0 \geqslant 2\), \(\Sigma\) a des limites projectives finies, que l'oubli respecte. — Ce n'est qu'une reprise de la page 6 : deux points modérés distincts donnent un objet final et assurent (**).18

Corollaire. Sur tout ensemble fini, il existe une et une seule structure modérée pour laquelle toutes les parties sont modérées : la structure modérée discrète.19

Le but annoncé est de construire les sommes amalgamées \(X_1 \sqcup_Z X_2\) sans supposer \(Z\) fini. Le principe dont tout dépend est le suivant.

Proposition (pages 8 et 11). Soit \((X_i)_{i \in I}\) un diagramme fini d'espaces modérés, et \(X\) sa limite inductive dans les ensembles, avec les applications canoniques \(g_i : X_i \to X\). S'il existe sur \(X\) une structure modérée rendant les \(g_i\) modérées, alors \(X\), muni de cette structure, est la limite inductive du diagramme dans \(\Sigma\), et l'oubli la respecte.

Démonstration (page 11). Un cône \((f_i : X_i \to Y)\) de \(\Sigma\) définit une application \(f : X \to Y\) avec \(f \circ g_i = f_i\) ; il faut voir qu'elle est modérée. Comme \(X\) est réunion des images des \(X_i\), le graphe \(\Gamma_f\) est la réunion des images des \(\Gamma_{f_i}\) par les applications modérées \(g_i \times \mathrm{id}_Y\) ; ces images sont modérées, et leur réunion finie aussi.20

Réunions (page 9)

On ajoute l'axiome : \[ (\mathrm{M}5') \qquad \text{chaque } \mathcal{M}_n \text{ est stable par réunions finies} \] (y compris la réunion vide : \(\emptyset \in \mathcal{M}_n\)).21 Alors : les parties modérées d'un espace modéré sont stables par réunions finies ; \(\emptyset\) porte une unique structure modérée, qui en fait l'objet initial de \(\Sigma\) ; et si \(X\) est un espace modéré réunion d'une famille finie de parties modérées \(X_i\), \(X\) est la somme amalgamée des \(X_i\) le long des \(X_i \cap X_j\) : une application \(f : X \to Y\) est modérée si et seulement si ses restrictions aux \(X_i\) le sont, puisque \(\Gamma_f = \bigcup_i \Gamma_{f|X_i}\).

Question. Étant donnés deux plongements modérés \(i_1 : Z \hookrightarrow X_1\) et \(i_2 : Z \hookrightarrow X_2\) dans \(\Sigma\),

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & Z \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook] & \\
X_1 & & X_2
\end{tikzcd}

la somme amalgamée \(X_1 \sqcup_Z X_2\) existe-t-elle ? Pour \(Z = \emptyset\), c'est la question des sommes finies.22

Le critère (pages 10 et 11)

Proposition. Pour que la somme amalgamée de \(X_1 \hookleftarrow Z \hookrightarrow X_2\) existe dans \(\Sigma\) et que l'oubli la respecte, il faut et il suffit qu'il existe une famille finie \((f_\alpha, g_\alpha)_{\alpha \in A}\) de couples de fonctions modérées \(f_\alpha : X_1 \to R\), \(g_\alpha : X_2 \to R\) telles que :

Sous (M5\('\)) — et c'est la seule chose à ajouter —, la preuve est la suivante. Les conditions a), b), c) disent exactement que \(f\) et \(g\) se recollent en une injection \(F\) de la somme amalgamée ensembliste \(X = X_1 \sqcup_Z X_2\) dans \(R^A\) : b) sépare les points d'un même côté, c) sépare un point de \(X_1\) hors de \(Z\) d'un point de \(X_2\) hors de \(Z\), et un point \(i_1(z)\) d'un point \(x_2 \neq i_2(z)\) est séparé par \(g\) grâce à a) et b). L'image \(F(X) = f(X_1) \cup g(X_2)\) est modérée, on transporte sa structure à \(X\), les \(g_i\) sont modérées puisque \(F \circ g_1 = f\) et \(F \circ g_2 = g\) le sont, et la Proposition des pages 8 et 11 conclut. Inversement, si la somme existe et que l'oubli la respecte, un plongement \(F : X \hookrightarrow R^A\) donne \(f = F \circ g_1\) et \(g = F \circ g_2\).

NB. De même, pour un diagramme fini quelconque, la structure modérée quotient existe sur la limite inductive ensembliste \(X\) si et seulement s'il existe une famille finie de systèmes compatibles \((f_{\alpha i} : X_i \to R)_{i}\) de fonctions modérées, définissant des \(f_\alpha : X \to R\) qui séparent les points de \(X\).

Corollaire (page 11). Soit \(f : X \to Y\) une application modérée et \(\mathcal{R}_f = X \times_Y X\) la relation d'équivalence qu'elle définit — partie modérée de \(X \times X\), et relation d'équivalence dans \(\Sigma\). Le quotient \(X / \mathcal{R}_f\) existe dans \(\Sigma\) et s'identifie canoniquement à \(f(X)\) muni de sa structure induite. Autrement dit, dans \(\Sigma\), toute application modérée se factorise en un épimorphisme effectif suivi d'un plongement, comme dans les ensembles.24

Deux axiomes (page 12)

Le critère dit ce qu'il faut ; deux axiomes le rendent applicable.

\[ (\mathrm{M}6) \quad \begin{cases} \text{pour } Z \subset X \text{ dans } \mathcal{M}_n, \text{ il existe une famille finie } (f_\alpha)_{\alpha \in A} \\ \text{de fonctions modérées } X \to R \text{ et des } e_\alpha \in R_0 \text{ tels que } Z = \bigcap_\alpha f_\alpha^{-1}(e_\alpha) ; \\ \text{de plus, on peut supposer que les } f_\alpha \text{ séparent les points de } X \smallsetminus Z . \end{cases} \]

Avec \(F = (f_\alpha) : X \to R^A\) et \(e = (e_\alpha)\), \(Z = F^{-1}(e)\), et \(F\) est injective hors de \(Z\) : \(F\) identifie \(X/Z\) — \(X\) où \(Z\) est écrasé en un point — à la partie modérée \(F(X)\) de \(R^A\). L'axiome (M6) signifie donc que le quotient \(X/Z\) existe dans \(\Sigma\) « au sens strict », c'est-à-dire que l'oubli le respecte.25

\[ (\mathrm{M}7) \quad \begin{cases} \text{pour } Z \subset X \text{ dans } \mathcal{M}_n \text{ et } f : Z \to R \text{ modérée,} \\ \text{il existe } g : X \to R \text{ modérée qui prolonge } f . \end{cases} \]

C'est un théorème de Tietze modéré.26

Existence des sommes amalgamées (pages 12 et 13)

Proposition. Sous (M5\('\)), (M6) et (M7), les sommes amalgamées \(X_1 \sqcup_Z X_2\) le long de plongements \(Z \hookrightarrow X_1\), \(Z \hookrightarrow X_2\) existent dans \(\Sigma\), et l'oubli les respecte.

Démonstration (page 13). Soit \(\varphi : Z \hookrightarrow R^I\) un plongement modéré. Par (M7), coordonnée par coordonnée, il se prolonge en \(\varphi_i : X_i \to R^I\) (\(i = 1, 2\)). Par (M6) appliqué à \(Z_i = u_i(Z) \subset X_i\), on a \(F_i : X_i \to R^{A_i}\) avec \(Z_i = F_i^{-1}(e_i)\), \(e_i \in R_0^{A_i}\), injective hors de \(Z_i\). Alors \((\varphi_1, F_1) : X_1 \to R^I \times R^{A_1}\) est un plongement — les points hors de \(Z_1\) sont séparés par \(F_1\), ceux de \(Z_1\) par \(\varphi\) — et le carré

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_1 \arrow[r, hook] & R^I \times R^{A_1} \\
Z \arrow[u, hook] \arrow[r, hook] & R^I \times \lbrace e_1 \rbrace
\arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

est cartésien.27 De même pour \(X_2\). On range alors les deux morceaux à des étages différents d'un même espace :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X_1 \arrow[r, hook] & R^I \times R^{A_1} \times \lbrace e_2 \rbrace
\arrow[r, hook] & R^I \times R^{A_1} \times R^{A_2} \\
 & R^I \times \lbrace e_1 \rbrace \times \lbrace e_2 \rbrace \arrow[u, hook]
\arrow[r, hook] & R^I \times \lbrace e_1 \rbrace \times R^{A_2} \arrow[u,
hook] \\
Z \arrow[uu, hook] \arrow[rr, hook] & & X_2 \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

C'est le diagramme marqué (*) en marge de la page 13.28 \(X_1\) est logé dans l'étage \(R^{A_2}\)-coordonnée \(= e_2\), \(X_2\) dans l'étage \(R^{A_1}\)-coordonnée \(= e_1\). Un point commun aux deux images a ses deux coordonnées égales à \(e_1\) et \(e_2\), donc provient de \(Z_1\) et de \(Z_2\), et la coordonnée \(R^I\) — qui est \(\varphi\) sur \(Z\) — dit qu'il provient du même point de \(Z\). Les deux images se rencontrent donc exactement le long de l'image de \(Z\), et leur réunion, modérée par (M5\('\)), est en bijection avec la somme amalgamée ensembliste ; c'est le critère des pages 10 et 11, et la Proposition des pages 8 et 11 conclut.29

14–16

(IV) Ind-structures modérées strictes (pages 14 à 16)

Un ind-espace modéré strict est un ensemble \(E\) muni d'un ensemble \(\mathcal{M}_E\) de parties — ses parties modérées —, stable par réunions finies et recouvrant \(E\), chacune munie d'une structure modérée, ces structures s'induisant mutuellement, et tel que \(A \in \mathcal{M}_E\), \(B\) partie modérée de \(A\) entraînent \(B \in \mathcal{M}_E\). Il revient au même de se donner la notion d'application modérée d'un espace modéré dans \(E\). C'est un ind-objet strict de \(\Sigma\) : une réunion filtrante d'espaces modérés le long de plongements.30

On suppose \[ (\mathrm{M}8) \qquad R \text{ est réunion de ses parties modérées} ; \] \(R\), et les \(R^I\) pour \(I\) fini, sont alors canoniquement des ind-espaces modérés stricts.31

Proposition. Sous (M1) à (M5\('\)), la catégorie \(\Sigma^{\mathrm{ind}}\) des ind-espaces modérés stricts a des limites projectives finies, que l'oubli respecte ; elle a aussi des sommes finies, respectées par l'oubli.32

Parties localement modérées (pages 15 et 16)

Une partie \(\mathfrak{Y}\) d'un ind-espace \(\mathfrak{X}\) est localement modérée si \(A \cap \mathfrak{Y}\) est modérée pour toute partie modérée \(A\) de \(\mathfrak{X}\). Ces parties sont stables par intersections finies — la famille vide donnant \(\mathfrak{X}\) lui-même — et par image réciproque par les morphismes d'ind-espaces. Une application modérée d'un espace modéré dans un \(R^I\) est un cas particulier de morphisme d'ind-espaces.

Sous (M6) et (M7), la page annonce l'existence, dans \(\Sigma^{\mathrm{ind}}\) et au sens strict, des quotients \(\mathfrak{X}/\mathfrak{Y}\) pour \(\mathfrak{Y}\) localement modérée, et des sommes amalgamées \(\mathfrak{X}_1 \sqcup_{\mathfrak{Z}} \mathfrak{X}_2\) le long d'immersions correspondant à des parties localement modérées \(\mathfrak{Z}_i \subset \mathfrak{X}_i\), avec \(\mathfrak{Z} \simeq \mathfrak{Z}_1 \simeq \mathfrak{Z}_2\). Aucune démonstration n'est esquissée : on passerait à la limite sur les parties modérées dans la construction des pages 12 et 13.33

NB. Contrairement à ce qui se passe dans \(\Sigma\), où les sous-objets d'un objet sont exactement ses parties modérées (page 7), un sous-objet d'un ind-espace ne correspond pas nécessairement à une partie localement modérée.34

16–19

(V) Relations avec les topologies (pages 16 à 19)

Parties modérées compactes

Supposons \(R\) muni d'une topologie ; les \(R^I\) et les modèles modérés en héritent. On veut que les applications modérées soient continues, et il suffit pour cela que les parties modérées soient compactes, d'où l'axiome \[ (\mathrm{M}9) \qquad R \text{ est séparé, et les parties modérées des } R^n \text{ sont compactes.} \] En effet, une application \(f : A \to B\) entre compacts séparés dont le graphe est fermé — ici compact — est continue. Le foncteur d'oubli se factorise alors par la catégorie des espaces compacts séparés, \[ \Sigma \longrightarrow (\text{espaces compacts}) , \] et ce foncteur est encore fidèle, conservatif — une bijection continue entre compacts séparés est un homéomorphisme — et transportable. Réciproquement, quand \(R \in \mathcal{M}_1\) (donc \(R\) compact), la page annonce une caractérisation des \(\mathcal{M}_*\) par un tel foncteur et un objet \(R\) dans une puissance duquel tout objet se plonge, analogue à celle de la page 7.35

Ind-espaces et topologie limite inductive (page 17)

Tout ind-espace modéré est muni de la topologie limite inductive de ses parties modérées. Celle-ci induit sur chaque partie modérée sa topologie propre, et chaque partie modérée y est fermée.36

Voisinages modérés (pages 17 et 18)

On veut que dans un espace modéré tout point ait un système fondamental de voisinages modérés ; il suffit que ce soit vrai dans \(R\), car alors c'est vrai dans les \(R^n\) (par produits) et dans leurs parties modérées (par intersection). D'où l'axiome \[ (\mathrm{M}10) \qquad \text{dans } R, \text{ tout point a un système fondamental de voisinages appartenant à } \mathcal{M}_1 . \] Sous (M9), (M10) entraîne que \(R\) est localement compact.

On dispose alors de la notion d'application modérée au voisinage d'un point.

Proposition (page 18). Sous (M5\('\)), (M9) et (M10), une application d'un espace modéré \(X\) dans un ind-espace modéré est modérée si et seulement si elle l'est au voisinage de chaque point.

En effet, \(X\) étant compact, il est recouvert par un nombre fini de voisinages modérés sur lesquels l'application est modérée, et son graphe est la réunion finie des graphes des restrictions.37 Les applications modérées de \(X\) dans \(Y\) sont donc les sections d'un faisceau sur \(X\), le faisceau des applications modérées. La structure modérée de \(X\) est connue dès qu'on connaît les fonctions modérées \(X \to R\) — c'est vrai déjà dans le cadre ensembliste, sous (M1)\(_0\), (M2), (M3), (M4), puisqu'une application dans \(R^n\) est modérée si et seulement si ses coordonnées le sont —, donc aussi dès qu'on connaît le faisceau des germes de fonctions modérées.38 Un espace modéré devient ainsi un espace annelé — c'est le point de vue des « espaces définissables » de la théorie o-minimale.39

Espaces localement modérés (page 19)

Un espace localement modéré est un ind-espace modéré dont la topologie est séparée, dont tout point a un voisinage modéré — de sorte qu'il est localement compact — et même un système fondamental de voisinages modérés, et dont toute partie compacte est contenue dans une partie modérée : les parties modérées forment alors une partie cofinale, filtrante, de l'ensemble des compacts.40

Par (M10), \(R\) est localement modéré — un compact de \(R\) est recouvert par un nombre fini de voisinages modérés, dont la réunion est modérée par (M5\('\)) — et donc aussi les \(R^I\). Les espaces localement modérés forment une sous-catégorie pleine de \(\Sigma^{\mathrm{ind}}\), stable par limites projectives finies, ce que la page affirme sans le montrer.41

20–23

(VI) Relation avec une structure de corps (pages 20 à 23)

L'axiome (M11)

On oublie la topologie et l'on suppose que \(R\) est un corps. Outre les axiomes qui font de \(\Sigma\) une catégorie à limites projectives finies, on demande :42

\[ (\mathrm{M}11) \quad \begin{cases} \text{a) } 0 \neq 1 \text{ sont des points modérés : } \{0\}, \{1\} \in \mathcal{M}_1 ; \\ \text{b) pour } A \in \mathcal{M}_2, \text{ les fonctions } (x,y) \mapsto x - y \text{ et } (x,y) \mapsto xy \\ \qquad \text{sur } A \text{ sont modérées,} \\ \qquad \text{i.e.\ } \{(x, y, x-y)\} \text{ et } \{(x, y, xy)\},\ (x,y) \in A, \text{ sont dans } \mathcal{M}_3 ; \\ \text{c) pour } A \in \mathcal{M}_1,\ A \subset R^*, \text{ il existe } B \in \mathcal{M}_1 \text{ avec } A^{-1} \subset B . \end{cases} \]

La marge dit deux fois, la première biffée, qu'on pourrait supposer \(B = A^{-1}\) ; la page 22 montre que c'est en effet une conséquence. Une note marginale ajoute que, sous (M0), b) se réduit au cas \(A = R^2\).43

Proposition. Pour un espace modéré \(X\), les fonctions modérées \(X \to R\) forment un sous-anneau de l'anneau de toutes les fonctions sur \(X\). En particulier \(R_0\) est un sous-anneau de \(R\).

En effet, pour \(f, g\) modérées, \((f, g) : X \to R^2\) est modérée, d'image \(A \in \mathcal{M}_2\), et \(f - g\), \(fg\) sont les composés de \((f,g)\) avec les fonctions modérées de b) ; les constantes \(0\) et \(1\) sont modérées par a). Une fonction constante de valeur \(c\) est modérée si et seulement si \(c \in R_0\) — son graphe est \(X \times \{c\}\) —, et \(R_0\) est le sous-anneau des constantes.44

Inverses (pages 21 et 22)

La page 21 s'ouvre sur un signe isolé, un D à double trait entouré d'une boucle, suivi de « \(=\) », dont le dossier ne dit pas la fonction.45 Suit une remarque : sous (M8), sur les ind-espaces \(R^I\), les fonctions ind-modérées contiennent en tout cas l'anneau \(R_0[(X_i)_{i \in I}]\) des polynômes à coefficients dans \(R_0\) en les fonctions coordonnées — ce que donne la Proposition précédente sur chaque partie modérée —, et les applications \(R_0\)-polynomiales entre les \(R^I\) sont modérées et transforment les parties modérées en parties modérées.46

Corollaire. Une fonction modérée \(f\) sur un espace modéré \(X\) est inversible dans l'anneau des fonctions modérées si et seulement si elle ne s'annule pas sur \(X\).

Comme \(f(X)\) est une partie modérée de \(R^*\), cela revient au

Corollaire. Pour \(A \in \mathcal{M}_1\), \(A \subset R^*\), la restriction de \(x \mapsto x^{-1}\) à \(A\) est modérée : \(\{(x, x^{-1}) \mid x \in A\} \in \mathcal{M}_2\).

En effet, cet ensemble est \(\{(x, y) \in A \times B \mid xy = 1\}\), où \(B \in \mathcal{M}_1\) contient \(A^{-1}\) (M11 c) : c'est l'image réciproque du point modéré \(1\) par la fonction modérée \((x,y) \mapsto xy\) sur \(A \times B\). En projetant sur la seconde coordonnée, \(A^{-1}\) est elle-même modérée, ce que suggérait la marge.

Corollaire (page 22). \(R_0\) est un sous-corps de \(R\) : pour \(x \in R_0^*\), appliquer ce qui précède à \(A = \{x\}\).

Retour sur (M6) (pages 22 et 23)

Soit \(Y\) une partie modérée d'un espace modéré \(X\), définie comme dans (M6) par \(Y = \bigcap_{\alpha} f_\alpha^{-1}(e_\alpha)\) avec \(e_\alpha \in R_0\). Quitte à remplacer \(f_\alpha\) par \(f_\alpha - e_\alpha\), qui est modérée parce que la constante \(e_\alpha\) l'est, on peut supposer \(e_\alpha = 0\) : \(Y\) est le lieu des zéros communs des \(f_\alpha\).47 Soit \((g_\beta)_{\beta \in J}\) une famille finie de fonctions modérées réalisant un plongement \(X \hookrightarrow R^J\). Les fonctions \(f_\alpha\) et \(f_\alpha g_\beta\) sont modérées, s'annulent sur \(Y\), ont \(Y\) pour lieu des zéros communs, et séparent les points de \(X \smallsetminus Y\). Soient en effet \(x \neq y\) dans \(X \smallsetminus Y\). Si un \(f_\alpha\) les sépare, c'est fini. Sinon \(f_\alpha(x) = f_\alpha(y)\) pour tout \(\alpha\) ; comme \(x \notin Y\), il existe \(\alpha\) avec \(\lambda = f_\alpha(x) \neq 0\), et il existe \(\beta\) avec \(g_\beta(x) \neq g_\beta(y)\) ; alors \[ f_\alpha g_\beta(x) = \lambda\, g_\beta(x) \neq \lambda\, g_\beta(y) = f_\alpha g_\beta(y) , \] puisque \(\lambda \neq 0\) dans le corps \(R\).

Proposition (page 23). Sous (M1) à (M7) et (M11), toute partie modérée \(Y\) d'un espace modéré \(X\) qui est le lieu des zéros communs d'une famille finie de fonctions modérées est aussi celui d'une famille finie de fonctions modérées séparant les points de \(X \smallsetminus Y\) ; autrement dit \(X/Y\) est un espace modéré, au sens strict de la page 12.48

Ainsi, dès que \(R\) est un corps, la seconde moitié de (M6) est conséquence de la première : c'est le seul endroit où le dossier allège ses propres axiomes.

24–24

À prouver (page 24)

La dernière page n'est plus une construction mais un programme.

1) Pour un morphisme \(X \to Y\) d'espaces modérés, il existerait une partie modérée \(Y'\) rare dans \(Y\) telle que, en notant \((U_i)_{i \in I}\) les composantes connexes de \(Y \smallsetminus Y'\) — leurs adhérences \(\overline{U}_i\) étant des parties modérées de \(Y\) —, il existe pour chaque \(i\) un espace modéré \(Z_i\) et une correspondance modérée \[ R_i \subset (\overline{U}_i \times Z_i) \times X \] induisant une bijection entre \(U_i \times Z_i\) et la partie \(X|U_i\) de \(X\) au-dessus de \(U_i\) : au-dessus de chaque \(U_i\), \(X\) est un fibré trivial au sens modéré relatif.

Puis la question : un énoncé analogue vaut-il pour un diagramme fini d'espaces modérés au-dessus de \(Y\) — est-il « trivial par morceaux » au-dessus de \(Y \smallsetminus Y'\) pour un \(Y'\) modéré rare convenable ? « Ce serait déjà intéressant » dans le cas d'un diagramme \(Z \subset X \subset Y \times [0,1]\) au-dessus de \(Y\).49

Ce programme suppose tacitement ce que le dossier n'a pas posé ensemble : une topologie (« rare », « composantes connexes »), la finitude de \(\pi_0(Y \smallsetminus Y')\), et un ordre sur \(R\) pour parler de \([0,1]\). Le choix d'une correspondance sur \(\overline{U}_i\) plutôt que d'une bijection est juste : une trivialisation sur \(U_i\) ne se prolonge pas en bijection sur le bord, mais son graphe a une adhérence.

C'est, à la lettre, le théorème de trivialité de Hardt : établi pour les applications semi-algébriques par Hardt en 1980, il vaut dans toute structure o-minimale, et sous une forme compatible avec un nombre fini de parties — ce qui répond par l'affirmative à la question du diagramme \(Z \subset X\), la partie rare \(Y'\) étant de dimension strictement plus petite que \(Y\).50

Notes

  1. Lecture de la transcription, qui donne « Structures » comme douteux. Le titre initial aurait donc été « Structures modérées », ce qui décrit mieux les pages 2 à 23 que le titre retenu : il s'agit de structures sur des ensembles, la topologie n'arrivant qu'à la page 16. ↩
  2. La lecture « Autour de l'Éloge » est douteuse. Si elle est juste, elle rattache ces pages à un « éloge » de la topologie modérée, ce que l'Esquisse d'un programme (1984) développe en effet ; l'édition n'en tire pas de datation. La cote de l'inventaire, « [à partir de 1973-à partir de 1978] », est reproduite telle quelle dans le titre. ↩
  3. Le rapprochement avec Tarski–Seidenberg est de l'édition ; la page ne nomme aucun exemple géométrique. Noter aussi ce qui manque à la liste : ni réunions ni complémentaires. Les parties modérées ne forment pas une algèbre de Boole, contrairement aux ensembles définissables d'une structure o-minimale ; la réunion n'arrive qu'avec (M5\('\)) page 9, et le complémentaire jamais, ce qui s'accorde avec la compacité demandée en (M9) page 16 : il pense à des parties fermées bornées. ↩
  4. La page écrit « les \(\mathfrak{S}_n\) sont stables par intersection » et « \(A, B \in \mathfrak{S}_n \Rightarrow A \cap B \in \mathfrak{S}_n\) », avec le sigle du groupe symétrique employé trois lignes plus haut ; c'est \(\mathcal{M}_n\) qui est entendu. ↩
  5. La page dit « pour \(u\) surjectif ». C'est le cas inverse qui reste à traiter : si \(u\) est surjective, \((u^*)^{-1}(B)\) est déjà modérée par (M2) et son intersection avec \(A\) l'est par stabilité par intersection ; le cas non trivial est celui où \(u\) est injective et \(u^*\) une projection. C'est bien ce cas, et lui seul, que retient le c\(_1\)) du résumé de la page 3, avec \(\beta_n : [1,n] \hookrightarrow [1,n+1]\). Le passage d'une projection quelconque à la projection standard se fait par récurrence, en écrivant, pour \(p = p_1 \circ p_2\), \(A \cap p^{-1}(B) = A \cap p_2^{-1}\bigl(p_2(A) \cap p_1^{-1}(B)\bigr)\), où \(p_2(A)\) est modérée par (M1). ↩
  6. La page dit « M1, M2, M3 peuvent être remplacés par » a), b), c), sans mentionner (M4). Il faut (M4), ou (M3) en entier, pour obtenir la stabilité par intersection dont la réduction de (M3) se sert ; d'où la précision « en présence de (M4) ». En b\(_1\)), l'exposant de \(\alpha_n\) est mal formé sur la page ; c'est bien une image directe. ↩
  7. La page écrit « si on pose pour \(I \neq \emptyset\) », lecture douteuse, puis \(\mathcal{M}_\emptyset = \ldots\) ; c'est le cas \(I = \emptyset\) qui est traité. La vérification de (M\('\)1) à (M\('\)4) est laissée sur la page à des points de suspension ; elle est immédiate, et c'est (**) qui la rend vraie. ↩
  8. La page écrit « \(\{x\} \in R^n\) » à gauche de l'équivalence ; c'est \(\{x\} \in \mathcal{M}_n\) qui est entendu. ↩
  9. Exemple de l'édition ; le dossier n'en donne aucun de cette sorte. Il annonce à la page 20 que \(R_0\) est un sous-anneau, et à la page 22 un sous-corps, ce qui va dans ce sens. ↩
  10. La phrase est coupée par un long ajout interlinéaire en biais, dont on ne lit que des fragments (« exemples », « discrets ») ; la fin de la phrase de la page est elle-même en partie illisible, et la restitution entre crochets est de l'édition. Une note marginale reliée à l'exemple a) renvoie aux axiomes et à « l'exclusion de (2) » ; sa lecture est trop incertaine pour qu'on en tire quoi que ce soit. ↩
  11. La page écrit l'indice « \(I \cup J\) » ; c'est la réunion disjointe qui est entendue, pour que \(R^I \times R^J \simeq R^{I \sqcup J}\). ↩
  12. En face de la Proposition, la marge porte « via M2 ». La vérification ci-dessus n'emploie que (M1), (M3) et (M4) ; (M2) sert à la réduction de (M3) et à l'intersection, ce que la marge vise peut-être. ↩
  13. Ces deux formules explicitent une note marginale de la page 7, à demi lisible : « Introduire les parties modérées des espaces modérés, … les parties \(f(A)\), \(f^{-1}(B)\) ». ↩
  14. Le terme « transportable » est celui de la page. Aujourd'hui on dirait que le foncteur d'oubli est uniquement transportable (Adámek, Herrlich et Strecker), ce qui fait de \(\Sigma\), à équivalence près, une catégorie concrète d'ensembles structurés. La page écrit « \(\exists\) un unique \(f : X \to Y\) qui relève \(\alpha\) » : c'est le couple formé de \(Y\) et de \(f\) qui est unique, \(|Y| = E\) étant fixé. ↩
  15. Deux remarques. D'abord, si l'on admet l'ensemble d'indices vide, comme la page 4 le permet et comme la marge de la page 5 le dit expressément (« on n'exclut pas \(I\) vide »), le point \(R^\emptyset = \{e\}\) est déjà un objet final, sans (M5). (M5) n'est nécessaire que si l'on se borne aux \(I\) non vides. Ensuite, sur la page, tout le passage qui va de « le foncteur \(X \mapsto |X|\) » à « limites finies » est encadré et barré de trois traits obliques, avec en biais un ajout dont on lit « existence d'un objet final … des produits … commute » : il a repris cet énoncé, et la page 8 le reformule sous l'hypothèse \(\operatorname{card} R_0 \geqslant 2\). On donne ici ce qui est vrai. ↩
  16. La condition b) est illégible sur la page (trois mots). On attend « fidèle, conservatif, transportable, et commute aux limites projectives finies », mais c'est une restitution. La réciproque — qu'un triple vérifiant a), b), c) provienne d'un \(\mathcal{M}_*\) — demande au moins que l'image d'un sous-objet de \(R^m\) par une application de coordonnées \(R^m \to R^n\) soit encore un sous-objet, c'est-à-dire une factorisation image dans \(\Sigma\) ; rien sur la page ne la fournit. Le dossier 121, à la page 58, se donne explicitement de telles factorisations. Le titre final de la page, « Parlons aussi des opérations … modérées d'espaces modérés … dans des \(R^I\) », est trop lacunaire pour être restitué. ↩
  17. L'introduction de la section, au bas de la page 7, est presque entièrement illisible ; seuls ces mots sont sûrs. ↩
  18. Les quatre premières lignes de l'énoncé sont biffées et surchargées ; seule la reprise finale est sûre dans son sens. Le « moyennant (M5) » qui y figure est sans objet une fois \(\operatorname{card} R_0 \geqslant 2\) supposé. ↩
  19. Ce corollaire demande la stabilité par réunions finies, (M5\('\)), qui n'apparaît qu'à la page suivante. Sans elle il est faux : dans l'exemple a) de la page 5 (parties de cardinal au plus \(1\)), \(R_0 = R\) a autant de points qu'on veut, et pourtant aucun ensemble à deux éléments ne porte de structure modérée. Avec (M5\('\)) et \(\operatorname{card} R_0 \geqslant 2\), un ensemble à \(n\) éléments s'envoie injectivement dans \(R_0^k\) dès que \(2^k \geqslant n\), son image est une réunion finie de points modérés, et toute application entre deux tels ensembles a un graphe fini de points modérés, donc modéré : d'où existence et unicité. ↩
  20. La dernière étape demande (M5\('\)), stabilité par réunions finies, que la page n'introduit qu'à la page 9, après l'énoncé de la page 8 et avant la démonstration de la page 11 : l'énoncé est donc à lire sous (M5\('\)). Pour un conoyau de couple, \(X\) est l'image d'un seul \(X_i\) et la réunion est superflue. Le début de la page 11 est d'une lecture incertaine ; la démonstration est restituée d'après ce qui en est lisible, qui en donne toutes les étapes. ↩
  21. Sur la page, l'étiquette est (M5), déjà employée page 6 pour \(R_0 \neq \emptyset\) ; voir la section des notations. ↩
  22. La page écrit « Si \(Y = \emptyset\) » : la lettre \(Z\) du diagramme est écrite par-dessus une autre, sans doute \(Y\), restée dans la phrase. Pour les sommes finies, deux points modérés distincts \(a \neq b\) et (M5\('\)) suffisent : on loge \(X_1 \subset R^I\) et \(X_2 \subset R^J\) dans \(R^I \times R^J \times R\) comme \(X_1 \times \{c_J\} \times \{a\}\) et \(\{c_I\} \times X_2 \times \{b\}\), avec \(c_I, c_J\) des points modérés. ↩
  23. Le mot « modérées » n'est pas dans l'énoncé de la page, mais il l'est dans le NB qui le généralise, et le critère est faux sans lui. En b), la page écrit « \(X_1 \to R^I\) » pour le premier plongement ; l'ensemble d'indices est \(A\) dans tout le reste. ↩
  24. La traduction en termes de factorisation est de l'édition. Le corollaire suit de la Proposition des pages 8 et 11 appliquée au conoyau de \(\mathcal{R}_f \rightrightarrows X\), sans même (M5\('\)). Le « Cor. 2 » qui suit sur la page — de nouveau le diagramme \(X_1 \hookleftarrow Z \hookrightarrow X_2\) — est barré de quatre traits ; il est repris page 12. ↩
  25. Pour \(Z\) non vide ; pour \(Z = \emptyset\), \(X/Z\) est \(X\) augmenté d'un point. Que \(e_\alpha\) soit pris dans \(R_0\) est essentiel : c'est ce qui rend \(\{e\}\) modéré, et l'on s'en sert page 13. La seconde moitié de l'axiome (« de plus, on peut supposer », écrit « OPS ») n'est pas une conséquence de la première dans le cadre ensembliste ; elle le devient dès que \(R\) est un corps, et c'est ce que prouvent les pages 22 et 23. Sur la page, sous (M6), un diagramme carré \(Z \hookrightarrow R^n \times \{e\}\), \(X \hookrightarrow R^n \times R^A\) est pris dans un bloc barré ; il est repris correctement page 13. ↩
  26. Dans le cadre o-minimal, les deux axiomes sont des théorèmes : un fermé définissable est le lieu des zéros d'une fonction définissable continue, et les fonctions définissables continues sur un fermé se prolongent (théorème de Tietze définissable ; voir le livre de van den Dries, Tame topology and o-minimal structures, 1998). Cela suppose la topologie et la structure de corps ordonné, qu'ici le dossier n'a pas encore introduites ; ce sont des rapprochements de l'édition. ↩
  27. Dans ce diagramme, la page trace la flèche verticale de gauche vers le bas, de \(X_1\) vers \(Z\) ; on la donne dans le sens de l'inclusion, qui est celui de la flèche de droite. ↩
  28. Il le reprend d'une première version barrée. La page trace la flèche de la première ligne de droite à gauche, sans crochet, et note les crochets de la colonne de droite par de petites marques de sens incertain ; on les donne toutes dans le sens des inclusions, qui est le seul où le diagramme commute. ↩
  29. La page s'arrête après le diagramme ; la conclusion est restituée. Les étages \(\{e_1\}\), \(\{e_2\}\) sont des parties modérées parce que \(e_1, e_2\) sont des points modérés, ce que (M6) exige. ↩
  30. Le titre porte en interligne « (ou Ind-espaces modérés) », avec une majuscule nette ; les « ind- » minuscules des pages suivantes sont le même préfixe. L'expression « ind-objet strict » est de l'édition ; c'est la notion de SGA 4 restreinte aux systèmes de monomorphismes. ↩
  31. La page ajoute au-dessus de la ligne « (impliqué par M5) », lecture douteuse. Ni l'une ni l'autre de ses deux (M5) n'entraîne (M8) : si \(R_0 \subsetneq R\) et que \(\mathcal{M}_n\) est l'ensemble des parties finies de \(R_0^n\), les axiomes (M1) à (M4), (M5) et (M5\('\)) sont vérifiés et \(R\) n'est pas réunion de ses parties modérées. (M8) est en revanche conséquence de (M0). ↩
  32. La marge porte « M1 : M5 ». Le sigle de la catégorie est \(\mathrm{Esp}\) avec un indice surchargé, \(\mathcal{M}_*\) ou \(\mathcal{M}\) ; on écrit \(\Sigma^{\mathrm{ind}}\) pour la distinguer de \(\Sigma\). La page met les sommes finies sous l'hypothèse « \(R_0 \neq \emptyset\) ». La construction qu'on connaît (note de la page 9) demande deux points modérés distincts, pour séparer les deux termes ; avec un seul, l'édition ne voit pas de preuve. Une remarque marginale, en partie lisible, ajoute « stricts … (en principe !) ». ↩
  33. La page écrit « dans \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\) » ; c'est la catégorie des ind-espaces qui est entendue, puisque \(\mathfrak{X}\) en est un objet. La dernière phrase, sur la méthode, est de l'édition. ↩
  34. Exemple de l'édition, dans le cadre semi-algébrique compact : l'ensemble \(\mathbb{N}\), ind-espace discret réunion de ses parties finies, s'envoie injectivement dans la droite par \(n \mapsto 1/(n+1)\) ; l'image coupe \([0,1]\) en un ensemble infini dénombrable, qui n'est pas semi-algébrique. La page porte peut-être sur les deux sigles \(\mathrm{Esp}\) une marque qui distinguerait la catégorie des ind-espaces. ↩
  35. Sous (M0) et (M9), \(R\) est compact ; le dossier ne revient pas sur la tension avec la section (VI), où \(R\) est un corps : un corps topologique séparé et compact est fini. Dans la section (VI) il a d'ailleurs « oublié les structures topologiques ». ↩
  36. La page met une hypothèse : l'espace serait « ind-dénombrable », limite inductive de suites croissantes d'espaces modérés (« dénombrable » est une lecture douteuse). Pour l'énoncé tel qu'il est écrit, elle est superflue : si \(F\) est fermé dans une partie modérée \(A\), alors pour toute partie modérée \(B\), \(F\) est compact dans le compact séparé \(A \cup B\), donc fermé, et \(F \cap B\) est fermé dans \(B\) ; \(F\) est donc fermé dans l'ind-espace, ce qui donne les deux assertions. Là où la dénombrabilité sert vraiment, c'est pour que la topologie limite inductive commute aux produits finis : c'est le cas pour les réunions de suites croissantes de compacts (les « \(k_\omega\)-espaces »), et non en général. L'édition ne sait pas laquelle des deux choses la page avait en vue. ↩
  37. La page ne donne pas la preuve ni la liste des axiomes ; on la donne, avec les hypothèses dont elle se sert. ↩
  38. « (M1)\(_0\) » : l'indice \(0\) est net sur la page, et revient dans une note en biais de la page 7 que l'on ne sait pas lire. Le dossier ne définit nulle part cette variante de (M1) ; on garde le sigle sans lui attribuer de contenu. ↩
  39. Rapprochement de l'édition. ↩
  40. La page dit « les parties compactes sont les parties contenues dans une partie modérée » : lu à la lettre, toute partie d'une partie modérée serait compacte, ce qui est faux. On lit l'inclusion dans le seul sens vrai, que la suite de la phrase (« un ensemble filtrant cofinal : celui des parties compactes ») confirme. Le mot « ind-modéré » est écrit au-dessus de « loc. cpct », biffé. ↩
  41. Il note cette sous-catégorie « \(\mathrm{Esploc}_{\mathcal{M}_*}\) ». Une note en biais au bas de la page est presque illisible. ↩
  42. La page dit « en plus de (M1) et (M4), minimum pour construire \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\) avec ses \(\varprojlim\) finies ». Les limites finies de la page 6 se servent aussi de la stabilité par intersection, donc de (M3), ou de (M2) avec (M4) ; un indice surchargé après « (M1) » visait peut-être cela. Une première version de (M11), ne portant que sur \(a \mapsto -a\), est barrée de sept traits. ↩
  43. Lecture partielle : « NB si … \(A \in \mathcal{M}_2\) … (M11) pour \(A = R^2\) ». La réduction est juste : si \(R^2\) est modérée et que les graphes de \(x - y\) et \(xy\) sur \(R^2\) le sont, leurs restrictions à \(A\) le sont par (M3). ↩
  44. La page s'arrête au bas du feuillet sur « En particulier \(R_0\) est un sous-anneau de \(R\), et les … » ; la page 21 ne la continue pas visiblement. La marge porte, verticalement, un fragment où l'on lit « \(R_0\) intègre », lecture douteuse — ce qui est vrai de tout sous-anneau d'un corps. ↩
  45. On ne lui donne pas de sens. La transcription le rend par \(\mathbb{D}\). ↩
  46. Cette dernière clause est un ajout interlinéaire serré, lu « Dans les applications \(R_0\)-polynomiales \(R^I \to X\) modérées, et transforment des parties modérées en itou » ; le « \(X\) » et plusieurs mots sont douteux, et l'on restitue « entre les \(R^I\) ». La page ne dit pas si \(I\) peut être infini ; partout ailleurs dans le dossier il est fini, et on le garde fini. « Ensembles », souligné ou biffé, est suivi de « anneaux » : on lit « anneaux ». ↩
  47. La page écrit « \(e_\alpha \in R\) ». C'est \(e_\alpha \in R_0\) qu'exige (M6), et c'est ce qui rend la translation légitime : la constante \(e_\alpha\) n'est modérée que si \(e_\alpha\) est un point modéré. ↩
  48. La page écrit « qui sépare les points de \(X\) » : une telle famille, constante sur \(Y\), ne peut séparer les points de \(Y\) dès que \(Y\) en a deux ; c'est \(X \smallsetminus Y\) qui est entendu, comme dans l'argument qui précède. Les mots entre « famille » et « \(X/Y\) » sont illisibles, la parenthèse ouvrante manque ; la lecture « \(X/Y\) est un espace modéré » est sûre. Le « Dém : » qui précède l'énoncé est resté vide : la démonstration est l'argument écrit juste au-dessus, aux pages 22 et 23. « M1 : M7 » est peut-être « M1 à M7 ». Un mot barré devant « modérée », lu « fermée », est douteux. ↩
  49. Le dernier mot avant « au dessus de \(Y\) » est illisible. Le crochet de \([0,1]\) est tracé par-dessus un premier signe, peut-être un \(I\). ↩
  50. Voir le chapitre 9 du livre de van den Dries cité plus haut. Ces pages, datées par l'inventaire « à partir de 1973 — à partir de 1978 », ne pouvaient connaître ni l'article de Hardt (1980) ni les structures o-minimales (van den Dries, Pillay et Steinhorn, à partir de 1984–1986) ; elles pouvaient connaître le théorème de Tarski–Seidenberg, les ensembles semi-analytiques de Łojasiewicz (1964) et sous-analytiques de Hironaka (1973), qu'elles ne citent pas. Rapprochement de l'édition, sans affirmation de priorité. ↩