Fonds Grothendieck, cote n° 12, pages 161–167

suite directe de la page 160 (lot 8), qui pose les conditions (i), (ii), (iii) sur les ensembles \Phi_{X} de formes fondamentales \varphi = (\varphi_{i}), \varphi_{i} \in \operatorname{Hom}(\underline{h}^{i}(X) \otimes \underline{h}^{i}(X), \Lambda(-i))

On va exprimer l'axiome (iii) de façon équivalente, et utilisant \Lambda(i). en introduisant \chi = \varphi \boxtimes \psi sur X \boxtimes Y. (On trouve alors ~~sur \operatorname{Hom}(\Lambda(-i), H^{2i}(X \boxtimes Y))~~ la forme « et utilisant \Lambda(i) » est ajouté sous la fin de la première ligne ; la parenthèse ouverte avant « On trouve » n'est pas refermée

(iii bis) Sur ~~H^{2i}(X)(i)~~ \operatorname{Hom}(\Lambda(-i), \underline{h}^{2i}(X)) \simeq \Gamma\, \underline{h}^{2i}(X)(i), la forme induite par la forme \varphi_{i} est définie positive. il écrit bien \varphi_{i}, sur \underline{h}^{2i}(X)

l'équivalence de (iii) avec (iii bis) vient moyennant (ii) et le cas (iii_{0}), enfin dualité pour exprimer les homomorphismes X \to Y en termes d'éléments de \Gamma H^{2i}(X \boxtimes Y)(i) note oblique de la marge gauche, en face de (iii bis) ; le petit « 0 » sous « (iii) » se lit comme un indice, lecture douteuse ; le « \boxtimes » de la dernière ligne est surchargé

Prenons \varphi, \psi \in \Phi_{X}, donc \widetilde{\psi} = \widetilde{\varphi} \circ A. Alors pour tout u : X \to X, induisant u = u^{(i)} : \underline{h}^{i}(X) \to \underline{h}^{i}(X), ~~transp.~~ soit u' la transposée de u relativement à \varphi, \varphi, et u'' la transposée relatif à \varphi, \psi \to u'' = u'A, et on doit avoir \operatorname{Tr} u u'' \geqslant 0 donc \operatorname{Tr} u u' A \geqslant 0. « donc \widetilde{\psi} = \widetilde{\varphi} \circ A » est ajouté en interligne et renvoyé par un trait après « \Phi_{X} » ; le mot biffé devant, peut-être \varphi(x, x), ne se lit pas sûrement

Cela exige que A est dans le cône positif de l'algèbre involutive de Riemann \operatorname{End}(\underline{h}^{i}(X)) définie par \varphi, – ce qui revient à dire que, \varphi et \psi sont des formes « équivalentes » au point de vue des structures Riemanniennes qu'elles définissent. « de Riemann » est ajouté au-dessus de la ligne ; un trait court sous « involutive », qui peut être un soulignement ou une rature

~~Soit maintenant~~ Plus généralement, soit M un motif effectif, homogène de degré i. Choisissons un homomorphisme injectif M \to \underline{h}^{i}(X) et considérons la forme induite par une \varphi \in \Phi_{X}, soit \varphi_{0}. Choisissons de même M \to \underline{h}^{i}(Y), et \psi \in \Phi_{Y}, d'où \psi_{0}. Je dis que \varphi_{0} et \psi_{0} sont (définies et) équivalentes. ~~que injective que~~ Tr « Plus généralement » surcharge « Soit maintenant », biffé ; « (définies et) » est ajouté au-dessus de la ligne et dans la marge

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \underline{h}^{i}(X) \arrow[dr, bend left=20, "\lambda'"] & & & \underline{h}^{j}(Y) \arrow[dl, bend right=20, "\mu'"'] \\ & M \arrow[ul, hook, bend left=20, "\lambda"] \arrow[r, "u"] & M \arrow[ur, hook', bend right=20, "\mu"'] & \\ & \varphi_{0} & \psi_{0} & \end{tikzcd}

schéma redessiné d'après un croquis : \varphi est écrit à gauche de \underline{h}^{i}(X), \psi à droite de l'autre motif, \varphi_{0} et \psi_{0} sous les deux M ; le sens des flèches \lambda et \mu (crochet côté M) est lu d'après le texte, M \to \underline{h}^{i}(X) injectif ; un symbole biffé précède \lambda' ; l'exposant du motif de droite se lit j (ou d), là où le texte dit \underline{h}^{i}(Y)

La première viendrait des ~~que \varphi est ~~définie~~~~ ~~positive~~ … Riemanniennes … La deuxième ~~exprime~~ signifie que la forme \operatorname{Tr}(u'u) en u \in \operatorname{End}(M) est définie, où u' est défini par \varphi_{0} et \psi_{0}. ces lignes, serrées dans la colonne de droite à côté du schéma, sont en grande partie biffées ; « en u \in \operatorname{End}(M) » est ajouté au-dessus de « est définie »

Or et pour cela, il suffit de noter que la forme \operatorname{Tr}\,(\mu u \lambda')'(\mu u \lambda') = \operatorname{Tr} \lambda u' \mu' \mu u \lambda' = \operatorname{Tr} \lambda' \lambda u' \mu' \mu u l'est, car \mu'\mu = \mathrm{id} et \lambda'\lambda = \mathrm{id}, donc cette forme est \operatorname{Tr} u'u, OK! Car donc, « \lambda'\lambda = \mathrm{id} donc » est ajouté en interligne

Pour les motifs effectifs, on définit donc des classes d'équivalence de formes riemanniennes, par \Psi_{M} ( notation !). Les \Psi_{M} satisfont

Les conditions analogues à : (i) (ii) (iii) (iii bis) commutativités. le dernier mot est ajouté sous « (iii bis) », renvoyé par une flèche

~~Lorsqu'on dispose d'un de structure par un \Lambda(-1),~~ On a un isom B(M(-1), M(-1)) \simeq B(M, M) et il y a lieu de vérifier la condition que \Psi_{M(-1)} correspond à \Psi_{M}. ~~Cela~~ doit pouvoir se faire difficultés. ~~[ l'explicitation en termes de directement, il faudrait expliciter comment \Lambda(-1) en termes d'un dispositif.]~~ le passage entre crochets est encadré et barré de trois diagonales ; ses mots ne se lisent qu'en partie

En fait, utilisant la propriété (ii), on devrait voir qu'il suffit de vérifier que la forme canonique 1 sur 1 \in B(\Lambda(-1), \Lambda(-1)) est dans \Psi_{\Lambda(-1)}. ~~Cela me semble~~ La vérification dans le cas classique est triviale. « La vérification » est ajouté au-dessus de « Cela me semble », biffé ; le mot abrégé avant « est triviale » (« Alg. » ?) ne se lit pas

Ceci permet d'étendre la notion de forme définie positive aux motifs non nécessairement effectifs. « définie » est ajouté au-dessus de « positive »