Cote n° 12 · batch 9 · pages 161–167 · Transcription · Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1964-[vers 1971]
Édition de démonstration

162suite directe de la page 160 (lot 8), qui pose les conditions (i), (ii), (iii) sur les ensembles \(\Phi_{X}\) de formes fondamentales \(\varphi = (\varphi_{i})\), \(\varphi_{i} \in \operatorname{Hom}(\underline{h}^{i}(X) \otimes \underline{h}^{i}(X), \Lambda(-i))\)

On va exprimer l'axiome (iii) de façon équivalente, et utilisant \(\Lambda(i)\). en introduisant \(\chi = \varphi \boxtimes \psi\) sur \(X \boxtimes Y\). (On trouve alors sur \(\operatorname{Hom}(\Lambda(-i), H^{2i}(X \boxtimes Y))\) la forme « et utilisant \(\Lambda(i)\) » est ajouté sous la fin de la première ligne ; la parenthèse ouverte avant « On trouve » n'est pas refermée

(iii bis) Sur \(H^{2i}(X)(i)\) \(\operatorname{Hom}(\Lambda(-i), \underline{h}^{2i}(X)) \simeq \Gamma\, \underline{h}^{2i}(X)(i)\), la forme induite par la forme \(\varphi_{i}\) est définie positive. il écrit bien \(\varphi_{i}\), sur \(\underline{h}^{2i}(X)\)

l'équivalence de (iii) avec (iii bis) vient moyennant (ii) et le cas […] (iii\(_{0}\)), enfin dualité pour exprimer les homomorphismes \(X \to Y\) en termes d'éléments de \(\Gamma H^{2i}(X \boxtimes Y)(i)\) note oblique de la marge gauche, en face de (iii bis) ; le petit « 0 » sous « (iii) » se lit comme un indice, lecture douteuse ; le « \(\boxtimes\) » de la dernière ligne est surchargé

Prenons \(\varphi, \psi \in \Phi_{X}\), donc […] \(\widetilde{\psi} = \widetilde{\varphi} \circ A\). Alors pour tout \(u : X \to X\), induisant \(u = u^{(i)} : \underline{h}^{i}(X) \to \underline{h}^{i}(X)\), […] transp. […] soit \(u'\) la transposée de \(u\) relativement à \(\varphi, \varphi\), et \(u''\) la transposée relatif à \(\varphi, \psi\) \(\to\) \(u'' = u'A\), et on doit avoir \(\operatorname{Tr} u u'' \geqslant 0\) donc \(\operatorname{Tr} u u' A \geqslant 0\). « donc \(\widetilde{\psi} = \widetilde{\varphi} \circ A\) » est ajouté en interligne et renvoyé par un trait après « \(\Phi_{X}\) » ; le mot biffé devant, peut-être \(\varphi(x, x)\), ne se lit pas sûrement

Cela exige que \(A\) est dans le cône positif de l'algèbre involutive de Riemann \(\operatorname{End}(\underline{h}^{i}(X))\) définie par \(\varphi\), – ce qui revient à dire que, \(\varphi\) et \(\psi\) sont des formes « équivalentes » au point de vue des structures Riemanniennes qu'elles définissent. « de Riemann » est ajouté au-dessus de la ligne ; un trait court sous « involutive », qui peut être un soulignement ou une rature

164Soit maintenant Plus généralement, [soit] \(M\) un motif effectif, homogène de degré \(i\). Choisissons un homomorphisme injectif \(M \to \underline{h}^{i}(X)\) et considérons la forme induite par une \(\varphi \in \Phi_{X}\), soit \(\varphi_{0}\). Choisissons de même \(M \to \underline{h}^{i}(Y)\), et \(\psi \in \Phi_{Y}\), d'où \(\psi_{0}\). Je dis que \(\varphi_{0}\) et \(\psi_{0}\) sont (définies et) équivalentes. […] que […] injective que Tr « Plus généralement » surcharge « Soit maintenant », biffé ; « (définies et) » est ajouté au-dessus de la ligne et dans la marge

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  \underline{h}^{i}(X) \arrow[dr, bend left=20, "\lambda'"] & & & \underline{h}^{j}(Y) \arrow[dl, bend right=20, "\mu'"'] \\
  & M \arrow[ul, hook, bend left=20, "\lambda"] \arrow[r, "u"] & M \arrow[ur, hook', bend right=20, "\mu"'] & \\
  & \varphi_{0} & \psi_{0} &
\end{tikzcd}

schéma redessiné d'après un croquis : \(\varphi\) est écrit à gauche de \(\underline{h}^{i}(X)\), \(\psi\) à droite de l'autre motif, \(\varphi_{0}\) et \(\psi_{0}\) sous les deux \(M\) ; le sens des flèches \(\lambda\) et \(\mu\) (crochet côté \(M\)) est lu d'après le texte, \(M \to \underline{h}^{i}(X)\) injectif ; un symbole biffé précède \(\lambda'\) ; l'exposant du motif de droite se lit \(j\) (ou \(d\)), là où le texte dit \(\underline{h}^{i}(Y)\)

La première […] viendrait des […] […] que \(\varphi\) est […] définie positive … Riemanniennes … La deuxième […] exprime signifie que la forme \(\operatorname{Tr}(u'u)\) en \(u \in \operatorname{End}(M)\) est définie, où \(u'\) est défini par \(\varphi_{0}\) et \(\psi_{0}\). ces lignes, serrées dans la colonne de droite à côté du schéma, sont en grande partie biffées ; « en \(u \in \operatorname{End}(M)\) » est ajouté au-dessus de « est définie »

Or et pour cela, il suffit de […] noter que la forme \[ \operatorname{Tr}\,(\mu u \lambda')'(\mu u \lambda') = \operatorname{Tr} \lambda u' \mu' \mu u \lambda' = \operatorname{Tr} \lambda' \lambda u' \mu' \mu u \] l'est, car \(\mu'\mu = \mathrm{id}\) [et] \(\lambda'\lambda = \mathrm{id}\), donc cette forme est \(\operatorname{Tr} u'u\), OK! Car […] donc, […] « \(\lambda'\lambda = \mathrm{id}\) donc » est ajouté en interligne

Pour les motifs effectifs, on définit donc […] des classes d'équivalence de formes riemanniennes, […] par \(\Psi_{M}\) ([…] notation !). Les \(\Psi_{M}\) satisfont

166Les conditions […] analogues à : (i) (ii) (iii) (iii bis) commutativités. le dernier mot est ajouté sous « (iii bis) », renvoyé par une flèche

Lorsqu'on dispose d'un […] de structure […] par un […] \(\Lambda(-1)\), On a un isom \[ B(M(-1), M(-1)) \simeq B(M, M) \] et il y a lieu de vérifier la condition que \(\Psi_{M(-1)}\) correspond à \(\Psi_{M}\). Cela […] doit pouvoir se faire […] difficultés. [[…] l'explicitation en termes de […] directement, il faudrait expliciter comment […] \(\Lambda(-1)\) en termes d'un dispositif.] le passage entre crochets est encadré et barré de trois diagonales ; ses mots ne se lisent qu'en partie

En fait, utilisant la propriété (ii), on devrait voir qu'il suffit de vérifier que la forme canonique \(1\) sur \[ 1 \in B(\Lambda(-1), \Lambda(-1)) \] est dans \(\Psi_{\Lambda(-1)}\). Cela me semble La vérification dans le cas classique […] est triviale. « La vérification » est ajouté au-dessus de « Cela me semble », biffé ; le mot abrégé avant « est triviale » (« Alg. » ?) ne se lit pas

Ceci permet d'étendre la notion de forme définie positive aux motifs non nécessairement effectifs. « définie » est ajouté au-dessus de « positive »