Cote n° 12 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1964-[vers 1971]
Édition de démonstration

1212) \(F\) […] strictement spécial[,] […] projectif \(X\) régulier. l'insertion interlinéaire au-dessus de « spécial, \(X\) » est de sa main ; on n'en lit que le dernier mot, douteux

\begin{tikzcd}
X' \arrow[r, "f'"] \arrow[d, "\varphi"'] & Y' \arrow[d, "g"] \\
X \arrow[r, "f"'] & \uncertain{Y}
\end{tikzcd}

le carré \(X' \to Y' \to\) est entouré d'un trait ; le sommet en bas à droite est écrit en gras, par-dessus une autre lettre, et ne se lit pas sûrement

[…] […] […] \(F = R^{d}\varphi_{*}(\mathbb{Q}_{\ell X'})\), \(\varphi\) de dimension relative \(d\) la précision « \(\varphi\) de dimension relative \(d\) » est encadrée On a alors \[ R^{\bullet}(f\varphi)_{*}(\mathbb{Q}_{\ell X'}) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = R^{p}f_{*}(R^{q}\varphi_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})) \] suite spectrale qui […] dégénère par Deligne, \[ R^{i}f_{*}(F) = R^{i}f_{*}(R^{j}\varphi_{*}(\mathbb{Q}_{\ell X'})) \] est un […] de \(R^{i+j}(f\varphi)_{*}(\mathbb{Q}_{\ell X'})\). la page écrit tantôt \(R^{d}\varphi_{*}\), tantôt \(R^{j}\varphi_{*}\) pour le même faisceau \(F\) ; transcrit tel quel. Le mot souligné avant « de » se termine peut-être en « -quotient »

Or aussi : \[ R^{n}(f\varphi)_{*}(\mathbb{Q}_{\ell X'}) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = R^{p}g_{*}(R^{q}f'_{*}(\mathbb{Q}_{\ell X'})) \] où \(Y'\) est de dim […] \(n' \leq n+j\), « \(n+j\) » est cerclé \(R^{q}f'_{*}(\mathbb{Q}_{\ell X'})\) est effectif de poids \(\leq 2\,\mathrm{Inf}(\ill{})\) au niveau \(\leq \mathrm{Inf}(q, n+j-q)\) ; […] est de […] relatif \(\leq\) […] \(p+q = i+j\) […] \(E_{2}^{pq}\) de variété \(\leq\) […]

122feuillet dactylographié, corrigé de sa main. Ses ajouts manuscrits sont donnés comme notes marginales de sa main ; ce qu'il a biffé à la main, comme ce que la frappe a barré de x, est donné comme biffé

4) Trivialité cohomologique d' Un morphisme projectif et lisse \(f\colon X \to Y\) de schémas (correspondant intuitivement à une fibration sur \(Y\) à fibres de variétés projectives non singulières). est toujours cohomologiquement trivial (i.e. En d'autres termes, la suite spectrale de Leray pour la cohomologie \(\ell\)-adique – ou à coéfficients réels dans le cas du corps de base \(\mathbb{C}\) – dégénère. […] Ce théorème est prouvé par Deligne modulo le « théorème de Lefschetz » pour la cohomologie des fibres. Sa démonstration s'applique également […] dans le contexte des variétés analytiques, pour une fibration analytique complexe à fibres compactes kählériennes. Un cas très particulier de ce théorème, relatif au cas où le système local de la cohomologie des fibres était trivial, constitueait le résultat principal de la thèse de Blanchard ; mais l'hypothèse de Blanchard n'est réalisée dans presque aucun cas intéressant en géométrie. La démonstration de Deligne est différente bien entendu de celle de Blanchard, que Deligne ne connaissait pas. le titre « Trivialité cohomologique d' » est ajouté à la main au-dessus de la ligne, et souligné avec « Un morphisme projectif et lisse » et « de schémas » ; le « U » de « Un » est corrigé en minuscule. La ligne dactylographiée qui suit « Sa démonstration s'applique également » est barrée de x à la frappe, et l'ajout « Ce théorème est prouvé par Deligne … » est écrit entre les lignes, au-dessus de cette phrase

Déjà du point de vue transcendant, l'intérêt du résultat de Deligne pour la topologie des variétés analytiques est évident. Dans l'optique du rédacteur cependant, ce sont ses implications en géométrie algébrique abstraite, et à longue échéance, à la théorie des nombres, qui sont les plus intéressantes, par exemple, la et Ce sont d'ailleurs des considérations arithmétiques qui avaient amené le rédacteur rapporteur à communiquer à Deligne la conjecture l'énoncé précédent comme une conjecture. Grâce au théorème de Deligne, on peut voir par exemple que les hypothèses de Riemann-Weil en géométrie diophantienne, interprétées en termes des propriétés d'un endomorphisme de frobénius sur la cohomologie \(\ell\)-adique, restent valables sous impliquent des propriétés analogues dans le cas de coéfficients tordus (pouvant avoir des singularités quelconques, de plus). Le théorème de Deligne sera un des nombreux ingrédients techniques nécessaires indispensables pour développer la « théorie des motifs », qui se[…] les mots barrés de x à la frappe sont lus sous la surcharge : « par exemple, la », « la conjecture », « restent valables sous » ; « et », barré à la main, est remplacé par une majuscule à « Ce » ; la fin de la page, « qui se », est surchargée à la main et la phrase se poursuit sur un feuillet qui n'est pas dans ce lot

Divers types de \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceaux

titre souligné, en tête du feuillet, de sa main ; le premier mot est douteux

124Un faisceau

Un \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceau \(F\) […] sur \(X\) est dit de type \(\leq d\) admissible s'il satisfait la condition suivante :

\(\forall x \in X\), existe voisinage ouvert \(U\) de \(x\) dans \(X\) et filtration finie de \(F|U\) par des sous-faisceaux […] tels que les en. constituants \(\mathrm{gr}^{i}(F|U)\) soient isomorphes à des sommes directes d'un faisceau[x] de la forme \[ R^{n}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell}), \] où \(g_{i}\colon V \to U\) est un morphisme projectif, et lisse, à fibres connexes de dim \(\leq d\). dans la parenthèse de \(R^{n}g_{*}(-)\) un symbole est noirci avant \(\mathbb{Q}_{\ell}\). Une note oblique de sa main dans la marge de gauche, près de cette formule, se lit en partie : « […] en. constituants […] faisceaux […] »

[Se vérifie fibre par fibre, \(+\) \(F\) est « constructible »] Ceci est […] que \(F\) […] est […] admissible […] fibre par fibre

Lemme 1. Les \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceaux admissibles de type \(\leq d\) forment une sous-catégorie épaisse […] et épaisse (stable par abélienne […] de la catégorie des \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceaux constructibles ([…] noyaux, conoyaux, extensions) de la catégorie des la fin de l'énoncé est un enchevêtrement de mots biffés et de mots ajoutés entre les lignes ; on n'en donne que ce qui se lit

[…] Elle est stable par ss-faisc. objet et objet quotient. En effet, si \(F|U\) est muni d'une filtration et si \(G|U\) est en. constituants, de type spécial, alors la filtration induite sur […] […] de spécial, […] […]

[…] […] stable par extensions : trivial.

Lemme 2. Image inverse : trivial. les trois dernières lignes avant le lemme 2 sont d'une écriture très rapide ; seuls les mots ci-dessus se lisent

126Lemme 2 3. Soit \(f\colon X \to Y\) un compactifiable morphisme de type fini, de dim. relative \(\leq d'\), \(F\) un \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceau admissible de type \(\leq d\) sur \(X\), alors pour tout \(i\), \(R^{i}_{!}f(F)\) sur \(Y\) est admissible de type \(\leq d+d'\). le lemme est marqué dans la marge de gauche par un long trait vertical terminé en flèche. Le « \(\mathbb{Q}_{\ell}\) » de « \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceau » ressemble ici à un \(\mathbb{Z}_{\ell}\) ; les autres occurrences de la page et de la précédente sont des \(\mathbb{Q}_{\ell}\). Il écrit \(R^{i}_{!}f\) pour \(R^{i}f_{!}\)

On peut supposer \(Y = \operatorname{Spec} k\), \(k\) un corps.

Récurrence sur \(d+d'\), trivial si \(d' \leq 0\). Supposons \(d+d' > 0\) et le th. démontré pour les […] \(\delta' < d'\).

Soit \(U \subset X\) ouvert lisse sur \(K\) et dense dans \(X\), et tel que \(F|U\) ait une filtration d'admissibilité. [N.B. On peut exiger dans la déf. plus haut d'admettre une extension radicielle sur la base…] « \(\delta' < d'\) » est écrit au-dessus d'un mot biffé. Dans le N.B., le verbe « exiger » et le mot qui précède « sur la base » sont douteux ; les points de suspension sont de sa main

Soit \(Z = X - U\). On a \[ R^{i}_{!}f_{U}(F|U) \to R^{i}_{!}f_{*}(F) \to R^{i}_{!}f_{Z*}(F|Z) \] ce qui nous ramène à prouver le th. pour \(f_{Z}\) et \(f_{U}\) grâce aux lemmes 1 et 2 ; or le cas de \(f_{Z}\) est couvert par l'hyp. de réc., et […] finalement on est ramené au cas où \(X\) est lisse sur \(k\) et a une filtration d'admissible. Par dévissage et le lemme 1 on peut supposer que \(F\) est en. const. un quotient d'un la phrase s'arrête ici, au bas du feuillet ; elle reprend au feuillet 128

128suite de la phrase interrompue au bas du feuillet 126 somme directe en. const. d'un […] \(R^{m}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})\), […] \(g\colon V \to U\) un morphisme projectif de relative dim. \(\leq d\). On a […] […] […], des suites exactes \[ 0 \to G \to R^{m}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell}) \to H \to 0 \] \[ 0 \to I \to G \to F \to 0 \] un astérisque de sa main est posé sous \(I\), sous \(G\) et sous \(F\) dans la seconde suite ; un trait oblique sous le \(G\) de la première. Le « ex. dans » écrit au-dessus, à gauche des suites, ne se lit pas sûrement

et de nouvelles applications du lemme 2 nous ramènent au cas de \(I\) et \(G\), \(R^{n}f_{*}(F)\) lorsque \(I\), \(G\) \(F\) en. const. \(= R^{m}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})\). Pour conclure, il faut utiliser le « théorème de […] » […] complète admissibilité. la fin de la phrase est soulignée d'un trait qui court sous toute la ligne

Pour […], soumis […] […] […] […]. \(F\) est de la forme \(R^{m}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})\). Reste deux cas à examiner. Ce cas : \[ R^{p}_{!}f_{*}(R^{q}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})) \qquad p, q \geq 0 \]

b) Cas \(m = 0\). Nous procédons par réc. descendante sur \(p+q\) […], on suppose […] vrai pour les \((p', q')\) avec \(p' > p\) […] ces trois dernières lignes sont encadrées à gauche d'un crochet et barrées de trois longues diagonales

130De plus, procédant par récurrence sur \(d+d'\), et en utilisant une factorisation d'Artin de \(U\) [ce qui est loisible, car on peut prendre \(U\) petit], on peut supposer que \(U\) est de dim 1.

Alors la suite exacte […] […] \(g\), compte tenu de \[ R^{0}_{!}f(R^{q}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})) = 0, \] se réduit à […] des suites exactes courtes \[ 0 \to R^{2}_{!}f_{*}(R^{n-2}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})) \to R^{n}_{!}(gf)_{*}(\mathbb{Q}_{\ell}) \to R^{1}_{!}f_{*}(R^{n-1}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})) \to 0 \] le \(0\) final est écrit sous le dernier terme, au bout d'une petite flèche verticale

donc par le lemme 1 il suffit de vérifier que \[ R^{n}_{!}(gf)_{!}(\mathbb{Q}_{\ell}) \] est spécial. « \(h\) » est écrit au-dessus de \(gf\) : c'est la lettre qui sert dans la suite Or utilisons la résolution des singularités pour \(V\), \[ V = \hat{V} - Z, \qquad \hat{V} \text{ projectif et lisse sur } k, \] d'où la suite […] \[ R^{n-1}_{!}h_{Z}(\mathbb{Q}_{\ell}) \to R^{n}_{!}h(\mathbb{Q}_{\ell}) \to R^{n}_{!}\hat{h}(\mathbb{Q}_{\ell}) \] le terme du milieu porte au-dessus du \(h\) un signe (chapeau ou astérisque) qui ne se distingue pas sûrement de celui du troisième terme ; la page s'arrête sur cette suite

132et […] par le lemme 1 il suffit […] […] […] les […] catégories. Celui-ci a […] […] dont […] est O.K. […] par définition, […] […] par hyp. de récurrence. O.K. le haut du feuillet, qui achève sans doute un raisonnement commencé ailleurs, est d'une écriture très rapide ; seuls les mots ci-dessus se lisent

Proposition 1. Soit \(i\colon U \to X\) une immersion ouverte, avec \(X\) excellent, de dim \(\leq d\), \(F\) un \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceau […] \(d'\)-admissible. Alors \(R^{n}i_{*}(F)\) est \((d+d'\uncertain{-1})\)-admissible. l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge. « avec \(X\) excellent, de dim \(\leq d\) » est ajouté entre les lignes. Dans l'indice final, le dernier chiffre est biffé et surchargé d'un « 1 » écrit au-dessus ; la lecture « \(d+d'-1\) » est douteuse

admissible.

En effet, […] \(V \subset U\), \(W\) […], \(W\) […] […] \(U\), tel […] deux lignes barrées de longs traits ondulés

Récurrence sur \(d+d'\), trivial si \(d+d' = 0\) i.e. \(d = 0\), \(d' = 0\). Supposons \(d+d' > 0\), et le th. prouvé si \(\delta + \delta' < d+d'\). […] peut supposer \(X\) […] […] […]. […] Le th. est […] par récurrence noethérienne sur les \(Y \subset X\) fermés, \(Y \neq X\), et \(X \neq \emptyset\).

Soit donc \(V \subset U\) […] dense de \(U\), régulier, tel que \[ F \to \mathbf{R}j_{*}F \to Q^{*}, \] où \(Q^{*}\) est concentré sur \(Z \cap U\), \(Z = \overline{U - V}\) vu dans \(X\), […] \(\neq X\). Donc […] […] […] […] prouver que les \(\mathbf{R}^{n}i_{*}(\mathbf{R}j_{*}(F))\) et \(\mathbf{R}^{n}i_{*}(Q^{*})\) sont admissibles. Par la \(j\colon V \to U\) ; \(Q^{*}\) est écrit au-dessus d'une flèche partant de \(\mathbf{R}j_{*}F\), comme troisième sommet du triangle. La phrase se poursuit au feuillet 134

134suite de la phrase interrompue au bas du feuillet 132 lemme 1 et l'hyp. de récurrence, c'est OK pour \(\mathbf{R}^{n}i_{*}(Q^{*})\). Reste : \(\mathbf{R}^{n}i_{*}(\mathbf{R}j_{*}(F))\) i.e. aussi \(\mathbf{R}^{n}(ij)_{*}(F)\), ce qui nous ramène au cas où \(U\) est régulier. Alors par résolution […], \(i = fi'\), avec

\begin{tikzcd}
& X' \arrow[d, "f"] \\
U \arrow[ur, hook, "i'"] \arrow[r, hook, "i"'] & X
\end{tikzcd}

\(f\) projectif, \(X'\) régulier, \(i'\) une immersion […] à complémentaire un diviseur à croisements normaux.

Mais \[ \mathbf{R}^{*}\uncertain{f_{*}}(F) \Longleftarrow \mathbf{R}^{p}f_{*}(R^{q}i'_{*}(F)) \] et cela nous ramène par le lemme 3 au cas où \(X\) \(X - U\) est un diviseur à croisements normaux. Lorsque \(F = \mathbb{Q}_{\ell}\), on gagne alors par (th. de pureté). [On va ramener le cas général à celui-ci, […] […] : celui-ci, on compactifie \(V\) […] en […] \(g\colon Y \to X\) morphisme projectif (par […] […]), où \(F\) […] […] de dim. rel. \(g \leq d'\) facteur direct de \(R^{n}t_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})\) ; (on a

\begin{tikzcd}
V \arrow[r, hook, "j"] \arrow[d, "t"'] & \hat{Y} \arrow[d, "g"] \\
U \arrow[r, hook, "i"'] & X
\end{tikzcd}

le premier membre de la suite spectrale est d'une lecture douteuse : on attendrait \(R^{*}(fi')_{*} = R^{*}i_{*}\) ; transcrit tel qu'il paraît. Au-dessus de \(Y\), dans le carré, un accent circonflexe, que le texte n'a pas

Posons \(F = R^{n}t_{*}(\mathbb{Q}_{\ell}) = R^{n}j_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})|U\). Par […] des diviseurs […] ailleurs, utilisant lemme 3 […] […] […] […], on se ramène au cas où \(d' = 1\). Alors le cas spécial […] […] […] dans la marge de gauche, en bas, une note oblique soulignée, de sa main, dont on ne lit rien sûrement. La page s'arrête ici

136\[ \mathbf{R}^{*}(if)_{*} \Longleftarrow \mathbf{R}^{p}i_{*}(\mathbf{R}^{q}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})) \] […] […] \(E_{2}^{pq} = 0\) si \(q \notin [0, 2]\). sous la formule, un croquis du terme \(E_{2}\) : trois lignes horizontales, la plus haute marquée « 2 », fermées à droite par un trait vertical marqué « \(N\) » ; des points sur les lignes, et deux flèches obliques \(d_{2}\) descendant de la ligne 2 vers la ligne 1, puis de la ligne 1 vers la ligne 0, vers la droite

(Car […] […] si \(f\) […] […] […] revient […] […] […].) D'ailleurs \(\mathbf{R}^{0}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})\) est essentiellement \(\mathbb{Q}_{\ell}\) [[…] à fibres connexes, […] […] facteurs …], donc les \(R^{p}i_{*}\) […] \(E_{2}^{p0}\) sont \((d-1)\)-admissibles […] […] hyp. récurr. les points de suspension entre crochets sont de sa main

Donc D'autre part \(R^{2}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell}) \simeq \mathbb{Q}_{\ell}(-1)\), et \[ E_{2}^{p2} \simeq \mathbf{R}^{p}i_{*}(\mathbf{R}^{2}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})) \simeq \mathbb{Q}_{\ell}(-1) \otimes E_{2}^{p0} \] est donc également \((d-1)\) admissible, i.e. fortiori […] \(d\)-admissible, \((d+d'-1)\)-admissible. Pour Enfin on voit et la constructibilité des \(E_{2}^{pq}\) […] utilisant lemme 2, que \(E_{2}^{p1}\) est une extension de […] trois faisceaux, les autres \((d+d'-1)\) […] \(d\)-admissible, et le troisième […] \(E_{3}^{p1} = \cdots = E_{\infty}^{p1}\), […] effet […] […] prouver que \(E_{\infty}^{p1}\) est \(d\)-admissible, […] […] […] que \(\mathbf{R}^{p+1}(gf)_{*}(\mathbb{Q}_{\ell}|V)\), […] […] […] pour \(R^{n}(gf)_{*}(\ill{})\) […] […] […] […] […] lemme et lemme 3 […], ramène au cas […] […] \(R^{n}j_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})\), qui reste à traiter…!! la seconde moitié de la page est d'une écriture très rapide, chargée d'ajouts interlinéaires ; les formules se lisent, la prose presque pas. Les points de suspension et le double point d'exclamation final sont de sa main

Motifs lisses versus Isomotifs lisses

titre encadré, seul sur le feuillet 138, de sa main

139\(S\) schéma normal intègre, pt générique \(\eta\), \(k(\eta) = K\).

Isomotif (\(\tfrac{1}{2}\) simple) lisse sur \(S\) : isomotif semi-simple \(M\) \(M\) sur \(S\), tel que pour tout \(\ell \in \mathbb{P}\), \(\ell \neq \mathrm{car}\, K\), \(T_{\ell}(M)\) soit non ramifié rel. à \(S_{\ell} = S[1/\ell]\). Conjecturalement, il suffit que ce soit vrai pour un \(\ell\) premier à toutes les car. résiduelles (\(\Longrightarrow\) il suffit que ce soit vrai pour deux \(\ell \neq \ell'\)). « \(\tfrac{1}{2}\) simple » : sa notation de « semi-simple », qu'il écrit en toutes lettres juste après. Le « \(M\) » est ajouté au-dessus de la ligne, avec un trait d'insertion avant « sur \(S\) ». L'isomotif étant pris sur le corps \(K\), on attendrait « sur \(K\) » là où la page écrit « sur \(S\) »

Motif ([…] isosemisimple) lisse sur \(S\) (si \(\mathrm{car}\, K = 0\)) : \[ = \bigl\{ M, \{E_{\ell}\}, \{\alpha_{\ell}\} \bigr\} \] où

1. a)\(M\) un isomotif lisse sur \(S\) ;
2. b)\(\forall \ell\), \(E_{\ell}\) un faisceau \(\ell\)-adique et tordu sur \(S_{\ell} = S[1/\ell]\) [ou encore sur \(K\), mais non ramifié rel. à \(S[1/\ell]\)] ;
3. c)\(\forall \ell\), \(\alpha_{\ell}\colon E_{\ell} \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{\ell}(M)\),

avec un axiome : « pour presque tout \(\ell\), \(u_{\ell}\) provient d'un isomorphisme sur \(\mathbb{Z}_{\ell}\) – pas seulement : torsion près ». le produit tensoriel de c) est surchargé ; « et tordu » en b) est une lecture douteuse. Dans l'axiome, il écrit \(u_{\ell}\) là où l'on attend \(\alpha_{\ell}\)

Ceci indique que pour presque tout \(\ell\), \(E_{\ell}\) est sans torsion.

Homomorphismes de motifs lisses sur \(S\) \[ \bigl(M, \{E_{\ell}\}, \{\alpha_{\ell}\}\bigr) \to \bigl(M', \{E'_{\ell}\}, \{\alpha'_{\ell}\}\bigr) \] données par \((u, \{u_{\ell}\})\), avec \(u\colon M \to M'\) un hom. de isomotifs, et \(u_{\ell}\colon E_{\ell} \to E'_{\ell}\) un hom. de faisceaux \(\ell\)-adiques tels que pour tout \(\ell\), on ait commutativité dans

\begin{tikzcd}
E_{\ell} \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell} \arrow[r, "\alpha_{\ell}"] \arrow[d, "u_{\ell} \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell}"'] & T_{\ell}(M) \arrow[d, "T_{\ell}(u)"] \\
E'_{\ell} \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell} \arrow[r, "\alpha'_{\ell}"'] & T_{\ell}(M')
\end{tikzcd}

N.B. Le foncteur […] (Motifs sur \(K\)) \(\longleftarrow\) (Motifs lisses sur \(S\)) est pleinement fidèle. « Motifs » est écrit sous un mot biffé, à gauche ; à droite, le mot qui suit « Motifs » paraît biffé, sans certitude Les Hom sont des modules de type fini sur \(\mathbb{Z}\). La catégorie des motifs lisses sur \(S\) est abélienne (on prend […] noyaux et conoyaux […] […] \(M\), \(E_{\ell}\)). […] Le composé lisses (Motifs lisses sur \(S\)) \(\to\) (Motifs sur \(K\)) […] […] Mot (Motifs lisses […]) est exact et fidèle, identifiant à une sous-catégorie épaisse. Le foncteur lisses (Motifs) \(\to\) (Isomotifs) lisses est exact essentiellement surjectif le bas du feuillet est une suite d'ajouts entre les lignes et de mots biffés ; l'ordre de lecture proposé ici est incertain

140La catégorie des groupes finis commut. \(G\) finis sur \(K\) tels que pour tout \(\ell\), \(G(\ell)\) soit non ramifié rel. à \(S[1/\ell]\), est une sous-catégorie épaisse de celle des motifs sur \(S\), la catégorie quotient est équivalente : celle des isomotifs lisses sur \(S\). « commut. \(G\) » est ajouté au-dessus de la ligne, entre « finis » et « sur \(K\) », et le premier « finis » semble repris par le second ; lecture de l'ensemble douteuse. \(G(\ell)\) : sa composante \(\ell\)-primaire, semble-t-il

La catégorie des motifs est une \(\otimes\)-catégorie avec \(\underline{\mathrm{Hom}}\). Les foncteurs Motifs \(\to\) Isomotifs, Motifs \(\to\) faisceaux \(\ell\)-adiques, sont des \(\otimes\)-foncteurs, compatibles aux \(\underline{\mathrm{Hom}}\). les deux « Hom » soulignés sont écrits seuls sur leur ligne, au bout de chacune des deux phrases

Une définition […] […] […] […] un isom. sur les isomotifs sous-jacents. En effet […] la dimension (hors le […] fibres vides), la niveau etc. en termes des isomotifs.

Tout schéma projectif et lisse \(X\) sur \(S\) définit des motifs sur \(S\), notés \(R^{i}f_{*}(\mathbb{Z}_{X})\) s'il n'y a pas de confusion à craindre. […] […] […] […] motifs lisses et propres.

Relations avec les schémas en groupes commutatifs propres et lisses.

On définit un foncteur contravariant de la catégorie des schémas en groupes A lisses sur \(S\), dans la catégorie des motifs sur \(S\), en posant \(\mathfrak{P}(A) = R^{1}f_{*}(\mathbb{Z}_{A}) = \{R^{1}f_{*}(\)

\[ \mathfrak{P}(A) = (M, E_{\ell}, u) \] où \[ \begin{cases} M = R^{1}(f_{A^{0}})_{*}(\mathbb{Q}_{A^{0}}) \\ E_{\ell} = \underline{\mathrm{Hom}}({}_{\ell^{\infty}}A, \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}) \quad \text{extension de } \underline{\mathrm{Hom}}(A/A^{0}, \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}) \text{ par } R^{1}f_{A^{0}*}(\mathbb{Z}_{\ell A^{0}}) \\ u_{\ell} \text{ provenant de l'hom.\ induit } E_{\ell} \to R^{1}f_{A^{0}*}(\mathbb{Z}_{\ell A^{0}}) \end{cases} \] la première ligne de définition, \(\mathfrak{P}(A) = R^{1}f_{*}(\mathbb{Z}_{A}) = \{R^{1}f_{*}(\,\), est barrée de deux traits et reprise sur la ligne suivante. Le \(\mathfrak{P}\) est une lecture : une capitale gothique ou ronde. \({}_{\ell^{\infty}}A\) : la torsion \(\ell\)-primaire de \(A\), l'indice écrit à gauche

NB Il suffirait que \(A\) […] extension […] […] […] […] \(A/A^{0}\) […] un schéma abélien \(A^{0}\), avec \(A/A^{0}(\ell)\) extension […] d'un groupe fini étale sur \(S_{\ell}\). ce N.B. est corrigé en cours d'écriture, et sa construction ne se lit pas sûrement. La page s'arrête ici